Электричество и магнетизм Н.Ф. Шемяков

… Заряд и ток несут поля, зовут их электромагнитными не зря,

Дают они тепло и свет, чтоб жил в комфорте человек…

4. Электричество и магнетизм введение

1. Предмет классической электродинамики

Раздел физики, в котором исследуются свойства электромагнитного поля и взаимодействующих с ним других видов материи, называют классической электродинамикой .

Электромагнитное поле представляет собой самостоятельный вид материи. По историческим причинам термин «поле» в физике имеет два разных смысла. Вопервых, полем называют особый вид материи. Вовторых, среди физических величин функциями координат считаются такие, которые называют полями, например, поле скоростей. Словосочетание «электромагнитное поле» характеризует его особый вид материи. Электрическое поле, как и всякий физический объект, характеризуется состоянием и уравнениями движения. В каждый момент времени состояние электромагнитного поля описывается двумя полями: электрическим и магнитным. Уравнения движения для электромагнитного поля содержатся в микроскопических уравнениях Максвелла . Микроскопические уравнения Максвелла совместно с уравнениями Лоренца для заряженных частиц образуют фундаментальную систему уравнений классической электродинамики. Наряду с микроскопическими, используются макроскопические уравнения Максвелла , макроскопические уравнения Лоренца и материальные уравнения (например, закон Ома ), которые образуют макроскопическую систему уравнений.

2. Понятие близкодействия

Для описания взаимодействия тел используется понятие силового поля. Так как взаимодействие заряженных частиц передается с конечной скоростью посредством близкодействия, то посредником является электромагнитное поле. Гипотезу о близкодействующем характере электромагнитных взаимодействий предложил Фарадей в середине 19 столетия. Позднее Максвелл написал свои знаменитые уравнения электродинамики, содержащие математическую трактовку идеи близкодействия и позволившие сделать предсказание об электромагнитной природе света. Герц экспериментально установил генерацию и распространение электромагнитных волн в соответствии с уравнениями Максвелла , что окончательно подтвердило идею близкодействия.

4.1. Электростатика

1.1. Квантование заряда.

Электрические силы относятся к одному из фундаментальных взаимодействий  электромагнитному взаимодействию, которое зависит от величины электрических зарядов. Существование электромагнитных сил обнаружено давно. Их действие было известно древним грекам.

Электрический заряд имеют многие элементарные частицы, например, электрон, протон, ионы или заряженные макротела и т. д.

Электрический заряд частицы является одной из ее характеристик.

Элементарная частица может существовать без заряда, например, нейтрон, фотон и др., но не существует заряда без частицы.

Например, заряд электрона и протона равен по абсолютной величине элементарному заряду:

е=1,6 10  19 Кл.

Электрический заряд квантуется, т.е. может принимать величину заряда, кратную элементарному заряду. Любой макроскопический заряд можно представить в виде выражения:

или Q = nе,

где n  число заряженных частиц.

2. Существуют положительный и отрицательный электрические заряды. Например, электрон  отрицательно заряженная частица, протон  положительно заряженная частица.

3. Электрический заряд  инвариантен, т. е. его величина не зависит от системы отсчета, т. е. не зависит от того, движется он или покоится.

4. Закон сохранения заряда открыт Фарадеем

В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов есть величина постоянная , т. е.

. (1.1)

Фундаментальные свойства заряда имеют важнейшее значение в современной физике и в естествознании вообще.

Замечание:

Открыты элементарные частицы  кварки, которые имеют дробный заряд, кратный ,. В свободном состоянии кварки не существуют.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Курс лекций по физике

для студентов инженерно-технических

специальностей

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Лекция 1. Электрическое поле в вакууме

План лекции

1.1. Предмет классической электродинамики.

1.2. Электростатика. Закон Кулона. Напряженность.

1.3. Теорема Гаусса для электростатического поля и ее применение к расчету электростатических полей.

Предмет классической электродинамики

Еще в глубокой древности были известны опыты по электризации трением (сам термин появился позднее) и особенности силового взаимодействия тел после электризации (притяжение и отталкивание). Было установлено, что существуют только два типа электрических зарядов, названных условно положительными и отрицательными, и что заряды одного знака отталкиваются, разноименные – притягиваются. К этой (в основном качественной) информации с конца восемнадцатого века начали добавляться выявленные количественные соотношения и закономерности, определяющие электрические явления.

Было установлено, что электрический заряд дискретен , то есть заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда «е » (е = 1,6·10 19 Кл). Элементарные частицы: электрон и протон являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного заряда. Обобщение опытных данных позволило сформулировать закон сохранения заряда : алгебраическая сумма зарядов любой замкнутой системы (не обменивающейся зарядами с внешними телами) остается неизменной. Оказалось, что электрические заряды инвариантны к преобразованиям координат, т.е. не зависят от системы отсчета. Единица электрического заряда в «СИ» – 1 Кулон (производная единица, определяемая через силу тока) – это заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за одну секунду при силе тока в 1А.

1.2. Электростатика. Закон Кулона.
Напряженность

В 1785 году французским ученым Ш.Кулоном был установлен закон взаимодействия неподвижных точечных зарядов (размеры которых малы по сравнению с расстояниями до других зарядов): сила взаимодействия F между двумя точечными зарядами Q 1 , и Q 2 пропорциональна величинам зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

, (1.1)

здесь – электрическая постоянная ; – диэлектрическая проницаемость среды – безразмерная величина, показывающая во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в вакууме ослабляется данной средой (для примера: диэлектрическая проницаемость парафина равна 2; слюды – 6, этилового спирта – 25; дистиллированной воды – 81; воздуха – 1,0003 ≈ 1,0). Кулоновская сила направлена по прямой, соединяющей заряды, то есть является центральной и соответствует притяжению в случае разноименных зарядов и отталкиванию в случае – одноименных зарядов.

В векторной форме закон Кулона имеет вид:

(1.1а)

Если в пространство, окружающее электрический заряд, внести другой заряд, то на него будет действовать кулоновская сила, то есть в пространстве вокруг заряда существует силовое поле . В данном случае говорят об электрическом поле , посредством которого взаимодействуют электрические заряды.

Рассмотрим электрические поля, которые создаются неподвижными зарядами и которые называются электростатическими . Если в некоторую точку А поля, создаваемого зарядом Q , помещать поочередно заряды Q 1 ; Q 2 ;… Q n и определять значения кулоновской силы: , то согласно (1.1) и, это подтверждается экспериментом, отношение . Эта величина принята в качестве силовой характеристики электростатического поля и называется напряженностью

Из (1.2) следует, что при Q = 1 , то есть напряженность электростатического поля в данной точке определяется силой действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля. В соответствии с (1.1) и (1.2) напряженность поля точечного заряда можно находить по формуле

(1.3)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Размерность напряженности в СИ – .

В векторном виде:

Графически электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности – линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора в этой точке. Так как в каждой данной точке пространства вектор имеет только одно направление, то линии напряженности никогда не пересекаются. Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, их проводят с определенной густотой: число линий напряженности dN пронизывающих единицу площади поверхности dS ,перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно числовому значению вектора . Если приписать величине размерность

Е , то (1.4)

В качестве примера на (рис.1.1 ) представлено графическое изображение (с помощью линий ) электростатических полей: положительного точечного заряда ("а "); отрицательного точечного заряда ("б "); двух точечных зарядов ("в ") и поля двух параллельных равномерно заряженных разноименными зарядами плоскостей ("г ").

Рис.1.1

Электростатическое поле также характеризуется скалярной величиной, называемой поток вектора напряженности сквозь рассматриваемые поверхности Ф Е . Элементарный поток вектора сквозь площадку dS вводится как скалярное произведение по формуле

(см.. рис.1.2 ), здесь dS – площадь элементарной площадки, – единичный вектор нормали к площадке; – угол между векторами и ; – проекция вектора Е на направление ; – условный вектор, модуль которого равен площади dS , а направление совпадает с " ".

Поток Ф E через конечную поверхность S определяется, как

(1.6)

Из выражений (1.5, 1.6) следует, что знак Ф E зависит от знака cos , который в свою очередь зависит от взаимного расположения векторов и .

Направление задается расположением электрических зарядов, а за направление для замкнутой поверхности S – направление нормали, выходящей из области, охватываемой замкнутой поверхностью S . Таким образом, поток вектора напряженности электростатического поля сквозь рассматриваемую поверхность S пропорционален числу линий вектора , пронизывающих эту поверхность.

Рис.1.2

Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое системой неподвижных точечных зарядов Q 1 ; Q 2 ;… Q n , в некоторой точке которого находится заряд Q . Эксперимент показывает, что для кулоновских сил справедлив, действующий в механике принцип независимости действия сил – результирующая сила , действующая со стороны поля на заряд Q , равна векторной сумме сил , приложенных к нему со стороны каждого из зарядов Q i:

Согласно (1.2) , где – напряженность результирующего поля; – напряженность поля заряда Q i . Подставляя эти выражения в (1.7) получим соотношение

выражающее принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей : напряженность поля системы неподвижных точечных зарядов в некоторой точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым из зарядов в отдельности. Принцип суперпозиции позволяет рассчитывать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов так как, если заряды не точечные, то их всегда можно свести к совокупности точечных зарядов.

Из истории электродинамики

Курс общей физики (лекции)

Раздел II Электродинамика

Москва, 2003

Лекция 1 «Основы электростатики»

План лекции

1.Введение. Предмет классической электродинамики.

a. Из истории электродинамики.

b. Электродинамика и научно-технический прогресс.

2.Электрические заряды.

a. Свойства электрических зарядов.

b. Закон Кулона.

3.Электрическое поле.

a. Идеи близко – и дальнодействия.

b. Напряжённость электрического поля. Поле точечного заряда. Графическое представление электрических полей.

4.Принцип суперпозиции электрических полей.

a. Поле диполя.

b. Поле бесконечной заряженной нити.

Введение. Предмет классической электродинамики

Из истории электродинамики

Разнообразные электрические и магнитные явления, которые люди наблюдают с незапамятных времён, всегда пробуждали их любопытство и интерес. Однако, «наблюдать» ещё не значит «исследовать».

Первые научные шаги в изучении электричества и магнетизма были сделаны только в конце 16 века врачом английской королевы Елизаветы Уильямом Гильбертом (1540 – 1603). В своей монографии «О магните, магнитных телах и о большом магните - Земля», Гильберт впервые ввёл понятие «магнитное поле Земли»… Экспериментируя с различными материалами, он обнаружил, что свойством притягивать легкие предметы обладает не только янтарь, потёртый о шёлк, но и многие другие тела: алмаз, хрусталь, смола, сера и т.д. Эти вещества он назвал «электрические», то есть «как янтарь». Так возник термин «электричество».

Первую теорию электрических явлений попытался создать французский исследователь Шарль Дюфэ (1698 – 1739). Он установил, что существует электричество двух родов: «Один род, - писал он, - я назвал «стеклянным» электричеством, другой - «смоляным». Особенность этих двух родов электричества: отталкивать однородное с ним и притягивать противоположное…» (1733 г.).

Дальнейшее развитие теория электричества получила в работах американского учённого Бенджамина Франклина (1706 – 1790). Он ввёл понятие «положительное» и «отрицательное» электричество, установил закон сохранения электрического заряда, исследовал «атмосферное электричество», предложил идею громоотвода. Целый ряд созданных им экспериментальных установок стали классикой и уже более 200 лет украшают физические лаборатории учебных заведений (например, «колесо Франклина»).

В 1785 году французский исследователь Шарль Кулон (1736 – 1806) экспериментально установил закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов и позднее - магнитных полюсов. Закон Кулона - фундамент электростатики. Он позволил, наконец-то, установить единицу измерения электрического заряда и магнитных масс. Открытие этого закона стимулировало разработку математической теории электрических и магнитных явлений.

Впрочем, долгое время (ещё со времён Гильберта) считалось, что электричество и магнетизм не имеют ничего общего. Только в 1820 году датчанин Ганс Эрстед (1777 – 1851) обнаружил влияние электрического тока на магнитную стрелку, которое он объяснил тем, что «вокруг проволоки с током образуется магнитный вихрь». Иными словами Эрстед установил, что электрический ток является источником магнитного поля. Это положение стало первым из двух основных законов электродинамики. Второе было установлено экспериментально английским физиком Майклом Фарадеем (1791 – 1867). В 1831 году он впервые наблюдал явление «магнитоэлектрической индукции», когда в проводящем контуре возникал индукционный электрический ток при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур.

В конце 19-го столетия разрозненные результаты исследований электромагнитных явлений обобщил молодой шотландский физик Джемс Кларк Максвелл (1831 – 1879). Он создал классическую теорию электродинамики, в которой в частности предсказал существование электромагнитных волн, выдвинул идею электромагнитной природы света, вычислил объемную плотность энергии электромагнитной волны, рассчитал давление, которое должна производить электромагнитная волна при падении на поглощающую поверхность.

• Электродинамика изучает электромагнитные процессы в вакууме и в веществе — в диэлектриках, магнетиках, проводниках, полупроводниках, сверхпроводниках, электролитах и в плазме.

• Классическая электродинамика изучает сплошное не квантованное классическое электромагнитное поле и электромагнитные процессы в этом поле, связанные с зарядами и токами, а также релятивизм этих процессов.

• Фундаментальными законами классической электродинамики являются уравнения Максвелла и материальные уравнения.

1.1 Электрический заряд. Электрический момент

1.1.1 Электричес-кий заряд

• Электрический заряд — это фундаментальное свойство материи. Отдельно от материи заряд не существует. Носителями заряда являются элементарные частицы и материальные тела.

1.1.2 Элементар-ный заряд

• Элементарный заряд — это наименьший положительный или отрицательный заряд, равный по величине заряду электрона

1.1.3 Макроскопи-ческий заряд

• Носитель макроскопического заряда — материальное тело. Заряд состоит из целого числа элементарных зарядов

Целое число

1.1.4 Закон сохранения заряда

• При перераспределении заряда между объектами замкнутой системы общая величина заряда сохраняется

1.1.5 Заряд, распределённый по объёму тела

— объёмная плотность заряда,

— заряд элемента объема,

— объёмный заряд всего тела.

1.1.6 Заряд, распределённый по поверхности тела

• — поверхностная плотность заряда,

— заряд элемента поверхности,

— поверхностный заряд всего тела.

1.1.7 Заряд, распределённый по телу линейной формы

• — линейная плотность заряда,

— заряд элемента длины,

— линейный заряд всего тела.

1.1.8 Полярные системы связанных зарядов

• В полярной системе заряды противоположных знаков разобщены, а сама система электронейтральна. Варианты таких систем: диполь, квадруполь, октуполь, …, мультиполь. Носителями полярных зарядов могут быть частицы вещества, — атомы, молекулы, элементы кристаллической решётки, а также макроскопические тела. Главной характеристикой полярной системы является её электрический момент. Это векторная величина, через которую выражается взаимодействие полярной системы с электрическим полем.

1.1.9 Электриче-ский момент диполя

• Диполь — двухполюсная система. Это два равных и противоположных по знаку заряда, разобщённых один от другого на расстояние. Электрический момент диполя — это вектор

направленный по оси диполя от отрицательного к положительному полюсу.

1.2 Магнитный заряд. Магнитный момент

1.2.1 Магнитный монополь

• Это частица – носитель положительного или отрицательного элементарного магнитного заряда. Существование такой частицы обосновано теоретически Дираком в 1931 году, однако экспериментально она ещё не обнаружена.

1.2.2 Магнитный момент частиц вещества

Электроны, атомы, молекулы и другие частицы вещества обладают магнитным моментом. Это главная магнитная характеристика частиц, которая определяет их взаимодействие с магнитным полем. В отличие от магнитного заряда магнитный момент надёжно подтвержден экспериментом и рассматривается, как первичная информация о магнитных свойствах частиц.

1.2.3 Кулоновская модель магнитного момента

• Реальному магнитному моменту частицы можно формально в качестве модели поставить в соответствие момент воображаемого магнитного диполя

где — магнитный заряд полюсов, а — векторное расстояние между полюсами. Хотя магнитных зарядов нет, эта модель магнитного момента, введённая в физику в прошлом, оказалась формально удобной и во многих случаях применяется сейчас, как имеющая лишь виртуальный смысл в промежуточных выкладках.

1.2.4 Амперовская модель магнитного момента

• Реальному магнитному моменту частицы можно также формально в качестве модели поставить в соответствие магнитный момент воображаемого плоского витка с током

где — ток в витке, — векторная площадь витка, — единичная нормаль к поверхности, связанная с направлением тока правилом правого винта. В данной модели предполагается, что виток тока охватывает частицу и ток, названный молекулярным, протекает вокруг нее. Этот ток следует рассматривать как формальный, а это значит, что амперовская модель магнитного момента столь же виртуальна, как и кулоновская, хотя она и превосходит последнюю во многих теоретических расчетах.

1.2.5 Сравнение моделей магнитного момента

• Магнитный диполь подобен электрическому и их моменты и определяются сходными выражениями. Виток с током не подобен магнитному диполю, однако они в полной мере подобны и эквивалентны друг другу по магнитному моменту и по своему взаимодействию с магнитным полем (Рис 1.2.5). Выбор кулоновской или амперовской модели магнитного момента определяется тем, какая из них приводит к более глубокому пониманию и расчёту магнитного состояния вещества.

Рис 1.2.5

Электрический и магни т ный моменты частиц вещества

1.3 Электрическая и магнитная поляризация вещества

1.3.1 Ориенти-рующее действие электрического поля на частицу вещества

• Если частица вещества обладает электрическим моментом, то электрическое поле напряжённостью поворачивает частицу, при этом вращающий момент

Под действием электрический момент ориентируется по направлению поля (Рис 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Ориентирующее дейс т вие полей и на частицы, обладающие электрическим моме н том или магнитным м о ментом

1.3.2 Ориенти-рующее действие магнитного поля на частицу вещества

• Если частица вещества обладает магнитным моментом, то магнитное поле с индукцией поворачивает частицу, при этом вращающий момент

Под действием магнитный момент ориентируется по направлению магнитного поля, а плоскость витка с током устанавливается перпендикулярно к полю (Рис. 1.3.1).

1.3.3 Электриче-ская поляризация вещества (диэлектрика)

• Внешнее электрическое поле производит массовое ориентирующее действие на электрические моменты всех частиц и приводит вещество в состояние электрической поляризации. Степень поляризации вещества характеризуется вектором поляризации.

Эта величина является локальной, т. к. суммарный электрический момент относится не ко всему веществу, а к его элементарной части объёмом. При однородной поляризации вектор имеет одинаковое значение во всех точках вещества и равен электрическому моменту единицы объёма диэлектрика.

1.3.4 Магнитная поляризация вещества (магнетика)

• Внешнее магнитное поле производит массовое ориентирующее действие на магнитные моменты всех частиц и приводит вещество в состояние магнитной поляризации или намагничения. Степень магнитной поляризации вещества характеризуется вектором намагничения

Эта величина является локальной, т. к. суммарный магнитный момент относится не ко всему веществу, а к его элементарной части объёмом. При однородном намагничении вектор имеет одинаковое значение во всех точках вещества и равен магнитному моменту единицы объёма магнетика.

1.4 Граничные явления, вызванные поляризацией вещества

1.4.1 Возможен ли объемный макроскопический заряд внутри поляризованного вещества?

• Отдельный электрический диполь электронейтрален и обладает общим нулевым зарядом. Аналогично воображаемый магнитный диполь обладает общим нулевым магнитным зарядом. Любая макроскопическая совокупность диполей при любой их ориентации будет тоже обладать нулевым зарядом. Поэтому как однородная, так и неоднородная поляризация вещества не приводит к образованию внутреннего объёмного макроскопического заряда ни в диэлектриках, ни в магнетиках.

1.4.2 Возможен ли макроскопический молекулярный ток внутри поляризованного магнетика?

По амперовской модели магнетик рассматривается как макроскопическая совокупность молекулярных витков тока, магнитные моменты которых при поляризации ориентируются по направлению внешнего магнитного поля, а плоскости витков — перпендикулярно к полю. При этом молекулярные токи в соприкасающихся витках направлены встречно по всему объёму магнетика. По этой причине отличный от нуля результирующий молекулярный ток внутри магнетика невозможен.

1.4.3 Локализация связанных зарядов и связанных молекулярных токов на поверхности тела

• Связанные заряды как электрические так и магнитные, а также молекулярные токи сосредотачиваются только на границе вещества. Для упрощения удобно избрать тело с самой простой формой замкнутой граничной поверхности

где — часть поверхности, перпендикулярная к направлению поляризации, а — параллельная этому направлению. С некоторым приближением этому соответствует тело в форме диска или цилиндра, поляризованных вдоль своей оси. Тогда — поверхность торцов цилиндра или диска, а — их боковая поверхность. Очевидно, что связанные заряды, как электрические, так и магнитные и могут сосредоточиться только на поверхности, на поверхности же их не будет. Наоборот молекулярный ток может сосредоточиться только на поверхности и его не будет на поверхности (Рис. 1.4.3).

Рис. 1.4.3

а) поляризованный д и электрик (соср е доточен только на пов.)

б) поляризованный ма г нетик (сосредот о ченный только на пов.)

1.4.4 Моделирова-ние поляризо-ванного тела пустотной полостью.

• Поскольку полеобразующие связанные заряды и и молекулярные токи сосредотачиваются только на границе тела, а внутри тела их нет, то при расчете поля внутреннее пространство тела в рамках его границ можно рассматривать как свободную от зарядов и токов пустую полость. Исключение относится только к случаю, когда тело неоднородно по своей структуре и свойствам, из-за чего

• полеобразующие источники могут появиться внутри тела.

1.5 Уравнение поля в диэлектрике

1.5.1 Связь вектора поляризации с поверхностной плотностью связанных зарядов

• На торцах однородного поляризованного диэлектрика в форме цилиндра образуются связанные заряды и, превращающие его в макроскопический диполь со своим электрическим моментом, модуль которого

где — расстояние между зарядами, а — поверхностная плотность связанного заряда. Очевидно, что отношение

выражает поляризованность единицы объема диэлектрика, а это по определению совпадает с абсолютным значением вектора поляризации. Из приведенных выражений следует

Эта связь остается в силе, если цилиндр превратить в диск. Тогда торцевые поверхности со связанными зарядами и можно рассматривать как плоский конденсатор.

Рис. 1.5.2

Поляризующее поле свободных зарядов и деполяризующее поле связанных зарядов в поляризованном диэле к трике

1.5.2 Уравнение поля в диэлектрике

Если в заряженный плоский конденсатор со свободными зарядами и на его пластинах внести неполяризованный диэлектрик в форме диска, то он подвергнется поляризации с образованием на своих поверхностях связанных зарядов и. Образуется конденсатор в конденсаторе или сдвоенный конденсатор (Рис. 1.5.2). При этом конденсатор на свободных зарядах создает в диэлектрике стороннее поляризующее поле, а конденсатор на связанных зарядах — противоположное деполяри-зующее поле соответственно

В связи с противоположным направлением полей и результирующее поле можно представить их разностью

Учитывая, что, и рассматривая произведение как несиловую, отличную от E q характеристику стороннего поля, т. е. принимая, что

находим уравнение поля в скалярном виде

где,

Поскольку D , E и P – это модули параллельных друг другу векторов, то уравнение поля в диэлектрике можно представить окончательно в векторном виде

где , и - это соответственно вектор электрической индукции (электрического смещения), напряженность результирующего электрического поля и вектор поляризации диэлектрика.

1.5.3 Замечание к уравнению поля в д и электрике

Следует особо подчеркнуть, что выбором диэлектрика в форме плоского тонкого диска, помещенного в стороннее однородное поле плоского конденсатора, была обеспечена такая физическая ситуация, когда результирующее поле оказалось коллинеарным стороннему полю:

, .

При таких условиях вектор электрического смещения определяется выражением

и может рассматриваться как несиловая характеристика стороннего поля. Но возможна ситуация, когда результирующее поле не коллениарно стороннему полю

, .

В этом случае вектор электрического смещения уже не является характеристикой стороннего поля, так как

, .

Таким образом, можно обобщить

При

При

Очевидно в случае, когда, вектор можно рассматривать как обозначение суммы. В этой сумме, т. к.

Следовательно, и в общем случае, когда, все три вектора и имеют одно направление, как и в частном случае, когда.

1.5.4 Диэлектри-ческая проницае-мость и диэлектрическая восприимчивость диэлектрика

• Физический смысл диэлектрической проницаемости и диэлектрической восприимчивости вытекает из их определения

, .

Связанные заряды - это отклик диэлектрика на действие сторонних свободных зарядов. Значения материальных

характеристик диэлектрика и определяются этим откликом. Чем ближе к тем больше и тем больше.

1. Уравнение поля в магнетике

1.6.1 Связь вектора намагничения с молекулярными токами

• На боковой поверхности поляризованного магнетика в форме длинного цилиндра образуется общий молекулярный ток, что превращает его в макроскопический магнитный диполь со своим магнитным моментом, модуль которого

где — площадь торца цилиндра. Намагниченность единицы объема магнетика совпадает по определению с абсолютным значением вектора намагничения:

где — длина цилиндра. Таким образом:

1.6.2 Уравнение поля в магнетике.

• Если в длинный токопроводящий соленоид с общим током во всех витках внести ненамагниченный магнетик в форме столь же длинного цилиндра, то он подвергнется намагничиванию с возбуждением общего амперовского тока на своей боковой поверхности. Образуется соленоид в соленоиде — амперовский в токопроводящем (Рис. 1.6.2.).

Рис. 1.6.2

Магнитная поляризация магнетика. Внешнее магнитное поле сол е ноида во з буждает в магнетике д о полнительное магнитное поле того же направления

Каждый из соленоидов создает свое магнитное поле одного и того же направления соответственно и, при этом

, .

Величину Н можно рассматривать как отличную от н е силовую характеристику стороннего магнитного поля, о б разованного токопроводящим соленоидом. Хотя Н в отл и чие от не является силовой характеристикой, ее принято называть напряжённостью магнитного поля.

Поскольку и совпадают по направлению, то инду к ция результирующего магнитного поля будет определяться суммой

Следовательно, можно записать

где,

Величина B , H и H – это модули параллельных друг другу векторов, поэтому уравнение поля в магнетике можно представить окончательно в векторном виде

где, и — это соответственно вектор магнитной индукции результирующего магнитного поля, вектор напряженности стороннего поля и вектор намагничения магнетика.

1.6.3 Замечания к уравнению поля в магнетике

• Следует особо подчеркнуть, что выбором магнетика в фо р ме длинного стержня, помещённого в стороннее одноро д ное магнитное поле длинного токопроводящего соленоида, была обеспечена такая физическая ситуация, когда резул ь тирующее поле оказалось коллинеарным стороннему полю:

, .

При таких условиях вектор напряжённости магнитного п о ля может рассматриваться как несиловая характерист и ка стороннего магнитного поля и определяться выр а жением

,
где – ток в отдельном витке соленоида, N – общее число ви т ков, n - их линейная плотность.

Но возможна иная ситуация, когда

Этому способствует отсутствие коллинеарности между р е зультирующим и сторонним полями. Во всех случаях, к о гда, под величиной следует понимать обознач е ние разности

1. Сравнение формального и физического содержания материальных уравнений поля в диэлектриках и магнетиках

1.7.1 Силовые свойства электрического и магнитного поля

• Электрическое и магнитное поля проявляют себя физич е ски как поля силовые. Каждое из них способно оказать на электрический заряд силовое дейс т вие, соответственно

где - напряжённость электрического поля, - индукция магни т ного поля.

По указанным силам векторы и легко определяются в условиях вакуума. В материальной среде векторы и тоже сохраняют своё силовое содержание, так как поляр и зация вещества и является следствием силового ор и ентирующего действия этих полей на моменты частиц и соответстве н но

, .

1.7.2 Аналоги в м а териальных уравнениях

• Векторы и – это силовые характеристики электрич е ского и магнитного полей и по своему смыслу являются аналогами. Векторы и – это тоже аналоги, опред е ляющие состояние поляризации соответственно диэлектр и ков и магнетиков. Векторы и - являются аналогами в том смысле, что они в удобной форме выражают связь м е жду силовыми полями и в материальной среде и с о стоянием ее поляризации и. Иными словами и выражают связь между полями и “ не полями”. Аналоговые соотношения между величинами материальных уравнений можно наглядно представить выр а жениями:

1.7.3 Особый смысл векторов и в условиях коллинеарн о сти результ и рующих и ст о ронних полей

В общем случае при отсутствии коллинеарности, когда и, векторы и не являются характ е ристиками сторонних полей, так как и или иначе и. Только в частном случае, к о гда результирующее и стороннее поля коллинеарны выполняется условие и, при котором векторы и становятся несил о выми характеристиками сторонних полей. На Рис.1.7.3 пр и водятся дополнительные пояснения к этому случаю.

Рис.1.7.3

Схема смыслового значения векторных величин в матер и альных уравнениях в условиях колл и неарности

Результирующие поля в веществе, их источники и их силовые характеристики

Источники поля: Источники поля: токи

Свободные и связанные проводимости и связанные

Заряды совместно молекулярные токи совместно

Источники поля: Источники поля:

Свободные сторонние сторонние токи

Заряды () проводимости ()

Сторонние поля в веществе, их источники и их

Несиловые характеристики

1.7.4 Поле в вакууме

В вакууме вещество отсутствует и поляризация как электрич е ская так и магнитная исключены, т. е. и, а также и. Материальные уравнения и принимают для вакуума свою частную форму

В условиях вакуума векторы и характеризуют не ра з ные поля, а одно и тоже электрическое поле. Аналогично одно и тоже магнитное поле характеризуют вектора и. Эта особенность выполняется и во многих материальных средах, в частности в газах, в которых .

1.7.5 Электричес-кая и магнитная постоянные

• Электрическая и магнитная постоянные и связаны со скоростью света соотношением

Их численные значения:

1.8 Электрические и магнитные характеристики вещества в материальных ура в нениях

1.8.1- Характерис-тики вещества в основных материальных уравнениях

• Среди основных выделяются три материальных уравнения

, .

Величины, и в этих уравнениях являются характ е ристиками вещества соответственно диэлектриков,магнетиков и проводящих сред. Поскольку

то к характеристикам вещества следует также отнести диэлектрическую и магнитную восприимчивости, соответственно и.

1.8.2 Диэлектри-ческая проницаемость

В качестве диэлектрической проницаемости вещества диэлектрика принимается его проницаемость в таких условиях, когда результирующее и стороннее поля в нем коллинеарны(). В этом случае принимает свое максимально возможное значение и выражается самым простым выражением

о скольку поля и надёжно контролируются экспер и ментом. Таким образом, показывает во сколько раз меньше или иными словами во сколько раз поляризация диэлектрика ослабляет в нём стороннее поле.

Условия коллинеарности и, необходимые для опр е деления, требует от тела диэлектрика определённой формы. В частности это может быть тонкий плоский диск в стороннем поле, перпендикулярном к пло с кости диска.

1.8.3 Магнитная проницаемость

• В качестве магнитной проницаемости вещества магнетика принимается его проницаемость в таких условиях, когда результирующее и стороннее поля в нем коллинеа р ны(). В этом случае принимает своё максимал ь но возможное значение и определяется простым выражен и ем

Кроме того, в этом случае легко находится из опыта, п о скольку индукция поля намагниченного магнетика и и н дукция стороннего намагничивающего поля надежно контролируются экспериментом. Таким образом, намагн и чивание магнетика сторонним магнитным полем прив о дит к возбуждению в магнетике более сильного результ и рующего магнитного поля. При этом показывает во сколько раз последнее превосходит первое. Следует зам е тить, что для магнетиков характерны значения и даже. Исключение составляют диамагнетики, для кот о рых.

Условие коллинеарности и, необходимое для опр е деления, требует от тела магнетика определённой фо р мы. Это должен быть длинный тонкий стержень в сторо н нем поле, параллельном оси стержня.

1.8.4 Удельная эле к тропрово д ность

• Зависимость плотности тока в проводящей среде от н а пряжённости электрического поля в ней определяется м а териальным уравнением

Удельная электропроводность среды, как её материальная характеристика, может быть определена выражением

в котором величины и контролируются экспериме н том.

1.9 Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля

1.9.1 Векторное поле

• Электрические и магнитные поля являются полями векторными и их формально можно представить одним векторным полем некоторого вектора, подразумевая, что вектор — обобщенный: Векторное поле вектора — это область пространства, каждой точке которого соответствует свое значение и свое направление этого вектора. Векторное поле можно изобразить множеством векторов в точках, но нагляднее поле можно представить множеством направленных векторных линий, каждая из которых строиться так, чтобы в любой ее точке вектор был направлен по касательной (Рис. 1.9.1). При этом густотой векторных линий можно отразить интенсивность векторного поля в локальных областях пространства. Для этого необходимо, чтобы в локальной области плотность векторных линий равнялась значению вектора в этой области т. е.

где — поперечная к линиям площадка, а — число проходящих через нее линий.

Рис. 1.9.1

Изображение векторного поля множеством вект о ров, или множеством направленных векторных линий

1.9.2 Поток вектора через поверхность

• Элементарный поток вектора — это поток векторных линий через площадку т.е.

Если площадь не поперечна к линиям вектора, то тогда

где — единичная нормаль к площадке а.

Под элементарным потоком вектора следует понимать элементарные электрические и магнитные потоки векторов, а именно

Поток вектора через незамкнутую поверхность складывается из элементарных потоков и определяется интегралом

Поток вектора через замкнутую поверхность определяется аналогичным интегралом, только по всей замкнутой поверхности

где учитывается, что — это внешние векторы на элементах поверхности.

Под потоком вектора следует понимать электрические и магнитные потоки векторов, а именно

В качестве примера на Рис. 1.8.2 показано выражение магнитного потока.

Рис. 1.9.2

Магнитный поток через поверхность: элеме н тарную, незамкнутую и замкнутую

1.9.3 Электричес-кий поток через замкнутую поверхность

• Поток векторов и через замкнутую поверхность произвольной формы определяется интегралами

Потоки и — скалярные величины, в системе СИ измеряются соответственно и.

1.9.4 Магнитный поток через замкнутую поверхность

• Аналогично поток векторов и через замкнутую поверхность произвольной формы определяются интегралами

Потоки и — тоже скалярные величины, в системе СИ измеряются соответственно и.

1.9.5 Дивергенция вектора в векторном поле

• Дивергенция является локальной скалярной характеристикой векторного поля и определяет наличие или отсутствие в нем особых точек. Это такие точки, в которых векторные линии либо зарождаются, либо исчезают, т.е. заканчиваются. Таким образом, дивергенция определяет в векторном поле локальные источники или локальные стоки (“поглотители”) векторных линий. Математически дивергенция вектора определяется простым выражением:

где — замкнутая поверхность, а — объем, ограниченный этой же поверхностью. Из выражения дивергенции вытекают очевидные выводы, а именно, если — то векторные линии зарождаются в локальной области поля (в его отдельной точке); если — то линии заканчиваются в локальной области поля (в его отдельной точке);

Если же — то линии проходят “транзитом” через локальную область поля или через его отдельную точку.

1.9.6 Дивергенция в электрическом и магнитном полях

• Под дивергенцией вектора надо понимать дивергенцию векторов соответственно в электрическом и магнитном полях, т. е.

Понятие дивергенции имеет математическое содержание. Оно указывает где находится источник поля, но не дает информации о том, что он представляет собой физически.

1.10 Уравнения Максвелла о связи электрического и магнитного полей с их зарядовыми источниками

1.10.1 Электричес-кое поле свободных зарядов

• Электрическое поле в диэлектрике определяется материальными уравнениями

Первоисточником появления всех величин в этом уравнении является свободный сторонний заряд. В результате его воздействия на диэлектрик возбуждается связанный заряд и его поле, а сумма образует при этом вектор электрического смещения:

Непосредственная связь между и определяется уравнением Максвелла и по своей значимости является фундаментальной.

1.10.2 Уравнение Максвелла в интегральной форме о связи вектора со свободным сторонним зарядом

• Связанное со свободным зарядом электрическое поле полностью определяется его потоком через замкнутую поверхность, когда сам заряд находится внутри нее. Для упрощения в качестве замкнутой поверхности уместно принять сферу, а в качестве свободного заряда - точечный заряд в центре сферы. Тогда на всех элементах сферы и, что упрощает вычисление потока:

Для точечного заряда

Таким образом

Это уравнение вытекает из закона Кулона. Из теоремы Гаусса следует, что оно остается в силе при любой форме замкнутой поверхности и при любом количестве свободных зарядов в ней. Доказано так же, что оно сохраняет свой вид когда заряды движутся внутри поверхности и даже когда через неё происходит излучение. Когда приведенное уравнение называют уравнением Максвелла, то имеют в виду все указанные обобщения.

1.10.3 Уравнение Максвелла в дифференциальной форме о локальных зарядовых источниках электрического поля

• Дифференциальное уравнение Максвелла вытекает из интегрального путем предельного сокращения объема замкнутой поверхности и перехода к понятию дивергенции

Это и приводит к дифференциальной форме уравнения Максвелла

Из него следует, что точки пространства, в которых плотность свободного заряда, являются особыми точками векторного электрического поля. В этих точках линии вектора зарождаются, если и исчезают (заканчиваются), если, а также проходят “транзитом” через любую точку, если в ней (Рис. 1.9.3).

Рис. 1.9.3

Поток и дивергенция вектора

1.10.4 Уравнение Максвелла в интегральной форме о потоке вектора через замкнутую поверхность в магнитном поле

• Уравнения о потоке вектора через замкнутую поверхность было бы полным аналогом уравнению о потоке вектора через замкнутую поверхность, если бы подобно свободному электрическому заряду существовал свободный магнитный заряд. Но его нет, его нельзя обнаружить в замкнутой поверхности при любой физической ситуации. Поэтому

Каких-либо исключений из этого уравнения Максвелла не существует.

1.10.5 Уравнение Максвелла в дифференциальной форме об отсутствии зарядовых источников магнитного поля

• Отсутствие свободных магнитных зарядов исключает всякое понятие об их плотности, поэтому в уравнении Максвелла в дифференциальной форме утверждается, что

т.е. что зарядовых источников магнитного поля не существует. Это значит, что в магнитном поле нет особых точек, где бы зарождались или заканчивались векторные линии вектора. Эти линии непрерывны во всем пространстве своего существования и могут быть только замкнутыми линиями.

1.11 Вихревое векторное поле. Циркуляция и ротор в вихревом поле

1.11.1 Главные характеристики вихревого поля

• Каждый из векторов может образовать вихревое поле с одинаковыми, характерными признаками, которые достаточно рассмотреть на примере одного обобщенного вектора. Поле вектора считается вихревым, если все его векторные линии замкнуты сами на себя, при этом замкнутые линии не соприкасаются и не пересекаются. Главными характеристиками вихревого поля являются циркуляция вектора по замкнутому контуру и ротор этого вектора в данной точке поля.

1.11.2 Циркуляция вектора по замкнутому контуру в вихревом поле

• Контур в виде произвольной замкнутой линии охватывает определенную область векторного поля вектора. Под циркуляцией вектора по контуру, подразумевается интеграл

где — векторные элементы длины самого контура, совпадающие по направлению с направлением его обхода. Этот интеграл несет информацию о самом главном: является или не является векторное поле вихревым в той области, которая ограничивается контуром.

Так отличная от нуля циркуляция означает, что в пределах контура поле вихревое и его источник находится внутри контура, тогда как нулевая циркуляция указывает на отсутствие в контуре источника вихревого поля, а также на то, что в пределах контура поле потенциальное, т.е. невихревое. Циркуляция вектора по разным контурам, охватывающим один и тот же источник вихревого поля, имеет одно и то же значение, следовательно, циркуляционный интеграл не зависит от формы и размеров контура содержащего данный источник. Если в качестве контура выбирается замкнутая векторная линия самого поля, то циркуляция вектора по ней всегда отлична от нуля, т.к. она всегда содержит внутри себя источник вихревого поля. Существенно то, что циркуляционный интеграл по векторной линии вихревого поля и интеграл по любому контуру, охватывающему тот же источник вихревого поля, имеют одинаковое значение. На Рис. 1.11.2 приводятся примеры этих ситуаций.

Рис. 1.11.2

Вихревое поле вектора

Векторные линии поля — концентрические окружности с общим центром в источнике вихревого поля в точке. Значение циркул я ционного интеграла:

1.11.3 Ротор вектора в точке вихревого поля

• Циркуляция вектора указывает лишь на наличие в пределах замкнутого контура источника вихревого поля, тогда как ротор векторного поля определяет положение этого источника локально, т.е. в конкретной точке. Ротор в отличие от циркуляции является векторной величиной и математически определяется простым выражением

где — площадь поверхности, ограниченной контуром циркуляции, в качестве которого для упрощения принята замкнутая векторная линия самого поля, а — единичная векторная правовинтовая нормаль к плоскости векторной линии. На Рис. 1.11.3 приведено иллюстративное пояснение к определению ротора. Из выражения ротора вытекают очевидные выводы: не все точки вихревого поля являются его источниками. Так если — то в локальной области (в точке) есть источник вихревого поля (есть источник вихря), если же — то в локальной области (в точке) источника вихревого поля нет (нет источника вихря).

Рис. 1.11.3

Ротор вихревого поля

1.11.4 Циркуляция и ротор вектора в вихревых электрических и магнитных полях

• Все изложенные обоснования циркуляции и ротора вектора с такой же математической формальностью относятся к векторам электрического поля и, а также к векторам магнитного поля и:

1.12 Уравнение Максвелла о связи вихревого магнитного поля с его вихревыми источниками

1.12.1 Электричес-кий ток проводимости

• Если под действием постоянного электрического поля в среде поддерживается постоянный электрический ток, то он и является током проводимости, а среда – проводящей. К проводящим средам относятся металлы, полупроводники, электролиты, плазма. Проводящая среда характеризуется удельным сопротивлением  и удельной проводимостью  (величина, обратная удельному сопротивлению). Плотность тока и ток определяются выражениями

где — поверхность поперечного сечения проводника (проводящей среды), — площадь плоского поперечного сечения проводника.

1.12.2 Вихревое магнитное поле тока проводимости

• Ток проводимости является источником вихревого магнитного поля, и это следует рассматривать как исходный физически обоснованный факт. В случае тонкого прямолинейного проводника с током векторные линии векторов и лежат в поперечной к проводнику плоскости и принимают форму концентрических окружностей с правовинтовой ориентацией векторных линий по отношению к направлению тока. В каждой точке круговой линии радиусом вектора и имеют постоянные численные значения

1.12.3 Циркуляция вектора в вихревом магнитном поле тока проводимости

• Для упрощения в качестве контура циркуляции вектора удобно избрать замкнутую круговую линию самого вектора (Рис.1.12.3). Тогда на каждом элементе контура и это приводит к простому выражению циркуляционного интеграла

Для линейного тока проводимости

Отсюда следует фундаментальное уравнение в интегральной форме

Уравнение сохраняет свою силу при любой форме контура циркуляции, даже когда он охватывает не один, а несколько одинаково или разнонаправленных токов проводимости, т.е. когда

Рис.1.12.3

Вихревое магнитное поле линейного тока проводимости

1.12.4 Ротор вектора в вихревом магнитном поле тока проводимости

• Из раздела 1.11.3 следует, что ротор вектора получается из его циркуляции путем предельного сокращения ограниченной контуром площади с учетом того, что при этом одновременно происходит переход от тока к его плотности

Таким образом

Из этого фундаментального уравнения в дифференциальной форме следует, что только ту локальную область пространства, где есть ток проводимости плотностью, можно рассматривать как источник вихревого магнитного поля. В этом случае и. В тех же областях магнитного поля, в том числе и вихревого, где также и, т.е. в таких областях источника вихревого поля быть не может.

Таким образом, ток проводимости является источником вихревого магнитного поля, а плотность тока –

Его – локальным источником. Но таким же источником кроме тока проводимости является и ток смещения, сущность которого выяснится ниже.

1.12.5 Принцип замкнутости электрического тока

• Конденсатор, включенный в цепь переменного тока, разрывает ее проводниковую часть, но не разрывает переменного тока в ней. Электрический ток остается замкнутым. Ток проводимости, текущий по проводниковой

части цепи, находит свое продолжение в ином виде, а именно в виде тока смещения внутри конденсатора, где нет проводящей среды, и не может быть тока проводимости (Рис. 1.12.5). Таким образом, по величине и по направлению ток смещения и ток проводимости должны совпадать, и определятся изменением свободного заряда на обкладках конденсатора

Рис. 1.12.5

Ток смещения на не пр о водниковом участке цепи (в конденсаторе)

1.12.6 Ток смещения

• Впервые на существование тока смещения указал Максвелл, исходя из принципа непрерывности тока на всех участках замкнутой токовой цепи. Учитывая, что для плоского конденсатора,

а также, что

ток смещения можно представить выражением

Таким образом, ток смещения не связан с направленным движением свободных зарядов внутри конденсатора, где их

нет, а с изменением потока смещения внутри конденсатора. Можно выразить и плотность тока смещения

Как видно, направление плотности тока смещения определяется не направлением вектора, а изменением этого вектора. Это весьма существенно, т.к. и в конденсаторе имеют одно направление только тогда, когда по модулю возрастает, тогда, как при уменьшении модуля вектор противоположен, хотя последний и сохраняет свое прежнее направление. Именно вектор придает току смещения такое направление, которое согласуется с направлением тока проводимости в проводниковой части цепи.

1.12.7 Составля-ющие тока смещения

• Исходя из уравнения поля в диэлектрике (раздел 1.5.2), можно глубже раскрыть физику тока смещения. Из преобразования

видно, что плотность тока смещения состоит из двух составляющих

Одна из составляющих никак не связана с движением зарядов и порождается только изменением электрического поля в диэлектрике. Другая же составляющая порождается изменением вектора поляризации диэлектрика и связана с движением внутри диэлектрика зарядов, только не свободных, а связанных в дипольных структурах. Переменное поле возбуждает переориентацию диполей и смещение их полюсов, т.е. связанных зарядов. По существу этот процесс массового смещения связанных зарядов возбуждает в диэлектрике особый поляризационный ток.

1.12.8 Вихревое магнитное поле тока смещения

• Хотя по своей физической природе ток смещения существенно отличен от тока проводимости, он также как и ток проводимости возбуждает вихревое магнитное поле и является его источником. В настоящее время это заключение принимается как исходный экспериментально обоснованный факт.

Тогда по аналогии с током проводимости можно записать и для тока смещения такие же фундаментальные уравнения

1.12.9 Вихревое магнитное поле полного тока

• Если в среде вместе с возбуждением тока смещения возбуждается и ток проводимости, то магнитное поле будет определяться полным током и полной плотностью тока, соответственно

Общее магнитное поле полного тока тоже вихревое, а сам ток является его источником.

1.12.10 Уравнения Максвелла о вихревом магнитном поле полного тока

• По аналогии с уравнениями для вихревых магнитных полей тока проводимости и тока смещения, аналогичные фундаментальные уравнения остаются в силе и для вихревого магнитного поля полного тока

Первое из этих уравнений называется уравнением Максвелла в интегральной форме и с учетом (1.12.6) и (1.12.9) записывается в виде

Второе из уравнений называется уравнением Максвелла в дифференциальной форме и с учетом (1.12.6) и (1.12.9) записывается в виде

1.12.11 Переменное электрическое поле как источник вихревого магнитного поля в вакууме

• Если из конденсатора, включенного в цепь переменного тока, убрать диэлектрик и создать вакуум между его обкладками, то и в этом случае разрыва тока в цепи не происходит. Это значит, что и в пустом пространстве между обкладками конденсатора существует ток смещения как продолжение тока проводимости в проводниковой части замкнутой токовой цепи. В пустом пространстве ток проводимости и поляризация вещества исключены. Полагая и, и учитывая, что для вакуума, уравнения

Максвелла примут вид

Таким образом из последовательного развития концепции Максвелла о замкнутости токовой цепи и о существовании тока смещения вытекает важнейший фундаментальный физический вывод: переменное электрическое поле возбуждает вихревое магнитное поле. На Рис. 1.12.11 приводится иллюстрация этого вывода на примере однородного переменного электрического поля.

Рис. 1.12.11

Возбуждение вихревого магнитного поля пер е менным электрическим полем (током смещения)

1.13 Уравнение Максвелла о связи вихревого электрического поля с его вихревыми источниками

1.13.1 Закон электромагнитной индукции по Фарадею

• В замкнутом контуре проводника под действием переменного магнитного потока возбуждается ЭДС индукции, пропорциональная скорости его изменения. Закон установлен Фарадеем в 1831 г. В то время считалось, что этот закон проявляет себя только в материальном контуре, когда контур является токопроводом. В этом случае ЭДС индукции можно рассматривать как сумму падений напряжения dU на всех элементах контура, т.е.

Следовательно, закон Фарадея для материального проводникового контура можно представить в виде

1.13.2 Закон электромагнитной индукции по Максвеллу

• Под действием ЭДС индукции в замкнутом проводниковом контуре возникает индукционный ток проводимости, который возможен только под действием электрического поля. Тогда через напряженность этого поля можно выразить и падение напряжения dU на элементах контура и в целом ЭДС в контуре

после чего закон Фарадея можно представить в виде

где направление элемента контура соответствует направлению индукционного тока в контуре.

1.13.3 Возбуждение вихревого электрического поля переменным магнитным потоком в проводниковом контуре

• Из максвелловской трактовки закона электромагнитной индукции следует, что переменный магнитный поток возбуждает в проводниковом контуре электрическое поле и что циркуляция напряженности этого поля по контуру отлична от нуля

Но это, как следует из (1.11.2.),главный признак того, что поле вектора в проводниковом контуре является вихревым и что источником этого вихревого поля является переменный магнитный поток.

1. Уравнения Максвелла о вихревом электрическом поле

Дальнейшее развитие максвелловской трактовки закона Фарадея связано с допущением того, что под действием переменного магнитного потока вихревое электрическое поле возбуждается не только в проводниковом контуре, но и вне его в окружающем пространстве. Контур просто присутствует в вихревом электрическом поле, и именно оно создает в контуре ЭДС индукции. Переменный магнитный поток в отсутствии проводникового контура возбуждает вихревое электрическое поле также как и в присутствии контура. Таким образом, переменный магнитный поток является источником вихревого электрического поля, и это следует рассматривать как исходный фундамен

тальный факт, нашедший физическое экспериментальное обоснование. При этом в соответствии с (1.13.2.) фундаментальная взаимосвязь между переменным магнитным и вихревым электрическим полями сводится к уравнениям Максвелла

На рисунке 1.13.4. приводится иллюстрация возбуждения вихревого электрического поля переменным однородным магнитным потоком.

Рис. 1.13.4

Возбуждение вихревого электрического поля п е ременным магнитным полем

1. Полная система уравнений Максвелла

1.14.1 Уравнения Максвелла и форма их записи

• Уравнения Максвелла выражают связь электрического, магнитного и электромагнитного полей со своими источн и ками – с произвольной системой зарядов и токов. Обладая всеобъемлющим физическим содержанием, четыре ма к свелловских уравнения оказались достаточными для созд а ния фундаментальных научных основ классической эле к тродинамики, а также основ электромагнитной теории св е та. Электромагнитные поля – это поля векторные, в силу чего уравнения Максвелла выражаются «на языке» векто р ного анализа. При дифферинциальной форме записи они носят локальный характер, поскольку устанавливают связь между полями и их источниками в отдельной произвольной точке среды. В интегральной же форме записи они опред е ляют связь не в отдельной точке среды, а в целой области

среды, ограниченной либо замкнутой поверхностью S , либо замкнутой контурной линией L . Уравнения Максвелла с одинаковым основанием применимы как к однородным, так и к неоднородным полям, при этом учитывается, что в п о следнем случае производные по времени от векторных в е личин становятся частными произво д ными.

1. Первое уравнение Максвелла

Первые уравнения Максвелла – это фундаментальный физич е ский закон, согласно которому источником вихревого ма г нитного поля могут быть только токи, в том числе ток пр о водимости, ток смещения и полный ток. Связь вихревого магнитного поля со своими источниками выражается двумя способами – уравнением в интегральной форме или ура в нением в дифферинциальной форме, соответстве н но:

Циркуляция вектора по произвольной замкнутой ко н турной линии L равна полному току I + I см , проходящему через поверхность, огран и ченную контуром L .

Всякая точка среды является локальным источником ви х ревого магнитного поля, если только в ней плотность по л ного тока.

При отсутствии тока проводимости, когда I = 0 и уравнения соответственно упрощаются:

Из них следует, что источником вихревого магнитного поля является ток смещения или фактически переменное электрическое поле.

1. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла-это фундаментальный физический закон, согласно которому источником вихревого электрического поля может быть только переменное магнитное поле. Связь вихревого электрического поля с переменным магнитным полем выражается интегральным или дифференциальным уравнением соответственно:

Циркуляция вектора по произвольной замкнутой контурной линии L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром L .Всякая точка среды является локальным источником вихревого электрического поля, если вектор в этой точке переменный

Второе уравнение Максвелла формально не подобно первому и это связано с отсутствием в природе свободных магнитных зарядов и магнитных токов. При их гипотетическом наличии подобие имело бы место, и уравнения имели бы вид:

, .

В этом гипотетическом случае магнитный ток I m являлся бы источником вихревого электрического поля. Но п о скольку магнитного тока нет, то единственным реальным источником вихревого электрического поля может быть только переменное магнитное поле. Тем не менее второе уравнение Максвелла может быть подобно первому в час т ном случае, когда первое относится к току смещения при отсутствии тока проводимости, т. е. когда вихревое ма г нитное поле возбуждается только переменным электрич е ским полем. Т о гда

1.14.4 Третье ура в нение Ма к свелла

Третье уравнение Максвелла-это фундаментальный физ и ческий закон о связи электрического поля со своим заряд о вым источником. Закон определяет связь электрического поля в среде со сторонними свободными электрическими зарядами и выражает эту связь математически в интеграл ь ной или дифференциальной формах, соответстве н но :

Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S равен свободному заряду q внутри этой поверхности, при этом заряд может быть постоянным или переменным, покоиться или двигаться, быть точечным или распределённым. Отдельная точка среды, в которой ρ ≠0, является локальным источником (или стоком) поля вектора.

1. Четвертое уравнение Максвелла

• Четвёртое уравнение Максвелла-это фундаментальный физический закон, согласно которому магнитное поле не имеет своего зарядового источника в виде магнитного заряда за его реальным отсутствием в природе. Математически этот факт выражается интегральным или дифференциальным уравнениями соответственно

Поток вектора через произвольную замкнутую повер х ность S всегда равен нулю. Это значит, что, проходя через замкнутую повер х ность, магнитный поток внутри неё не претерпевает никаких изменений при любых физ и ческих ситуациях, т. е. магнитный п о ток проходит через замкн у

Тую поверхность “транзитом”. Это относится не только к потоку, но и к отдельной силовой линии вектора, поскольку локальных магнитных зарядов не существует нигде. По этой причине силовая линия вектора нигде не может прерваться, она всюду непрерывна, а значит, зам к нута сама на себя. Из четвёртого уравнения Максвелла сл е дует вывод о том, что магнитное поле не может быть п о тенциальным, оно может быть только вихр е вым.

1.14.6 Виртуальные магнитные заряды и магнитные токи в симметричных уравнениях Максвелла

• Уравнения Максвелла не симметричны как по зарядовым источникам поля, так и по источникам вихревого поля, что напрямую связано с отсутствием магнитных зарядов и магнитных токов, которых в действительности не существует. В этом отношении уравнения Максвелла реалистичны. Однако несимметричные уравнения Максвелла принимают симметричный вид путём формального введения в них магнитного заряда и магнитного тока плотностью соответственно и. Тогда система уравнений принимает вид

где знак ’’– , отражает лишь то, что направление вихревого магнитного поля соответствует правому винту, а электрического — левому. Несмотря на искусственное достижение симметрии, эти уравнения, тем не менее, оказались полезными для обоснования расчётных моделей, например, по расчёту излучения электромагнитных волн от излучающих устройств — антенн. Так вместо того, чтобы рассматривать сам реальный излучающий источник, рассматривается охватывающая его абстрактная излучающая поверхность с магнитными токами. При этом в конечных результатах по расчёту излучения магнитные токи исключаются, они фигурируют лишь в промежуточных выкладках как токи виртуальные. Можно сослаться на аналог этому методу в оптике, а именно на метод Гюйгенса – Френеля, в котором тоже реальный источник световой волны заменяется излучающей поверхностью, на которой сосредоточены точечные источники вторичных волн.

1.14.7 Значимость уравнений Максвелла

• Уравнения Максвелла составляют фундаментальную научную основу всей электродинамики. На их основе было доказано существование электромагнитных волн и была обоснована электромагнитная природа света. На основе уравнений Максвелла было достигнуто научное единство электричества и магнетизма, электродинамики и волновой оптики.

Уместно привести слова известного немецкого физика Г. Герца об уравнениях Максвелла:

Нельзя изучать эту удивительную теорию не испытывая временами такого чувства, будто математические формулы живут собственной жизнью, обладают собственным разумом — кажется, что эти формулы умнее нас, умнее даже самого автора, как будто они дают нам больше, чем в своё время было в них заложено “.

1.14.8 Решение уравнений Максвелла

• Уравнения Максвелла составляются под конкретную электромагнитную задачу, в которой заранее на основе физического анализа ситуации выявляются исходные особенности полей и их источников и вместе с тем устанавливаются материальные уравнения по исходным условиям задачи. Математическое решение задачи достигается только на основе совместной системы уравнений Максвелла и материальных уравнений.

1.15 Стационарные электромагнитные процессы

1.15.1 Условие стационарности

• Стационарные электромагнитные процессы реализуются при неизменных во времени магнитных и электрических полях и постоянных токах, для чего необходимо что бы в уравнениях Максвелла производные по времени отсутствовали, т. е.:

1.15.2 Уравнения Максвелла для стационарных процессов

• Уравнения Максвелла после исключения из них производных по времени принимают вид стационарных уравнений

По существу это основные законы обширного класса стационарных электромагнитных процессов. Одна из частей этого класса относится к электростатике, другая — к магнитостатике и третья — к токовой статике (к постоянному току).

1.15.3 Электроста-тика

Электростатика изучает постоянное электрическое поле в вакууме, в диэлектриках и в проводниках при отсутствии магнитного поля и электрического тока. Если из стационарных уравнений исключить магнитное поле и ток, то уравнения Максвелла для электростатики примут вид

1. Магнито-статика

• Магнитостатика изучает постоянное магнитное поле в вакууме и в магнетиках, а так же магнитное поле постоянного тока. Магнитостатические явления рассматриваются в отсутствии электрического поля и в отсутствии свободных макроскопических электрических зарядов. Если их исключить из стационарных уравнений, то уравнения Максвелла для маннитостатики примут вид:

1.15.5 Токовая статистика (постоянный ток)

• К токовой статике относятся электромагнитные процессы в цепях из проводящих материалов, в которых под действием макроскопических электрических зарядов и электрических полей возбуждается постоянный электрический ток, при этом магнитное поле тока, как отнесённое к магнитостатике, не рассматривается. В таком случае для токовой статики достаточно двух стационарных уравнений Максвелла, связанных с электрическими зарядами и электрическими полями:

1.16 Нестационарные электромагнитные процессы

1.16.1 Условие нестационарности

• Нестационарность электромагнитных процессов, как в вакууме, так и в веществе обусловлена непостоянством во времени электрических и магнитных полей. Переменные

поля возбуждают переменные токи проводимости и переменные токи смещения. Таким образом, для нестационарных процессов

т.е. все величины — переменны.

1.16.2 Уравнения Максвелла для нестационарных процессов

• Все обширное многообразие нестационарных электромагнитных процессов подчиняется нестационарным уравнениям Максвелла в полном их виде

где сумма

означает полный ток, т.е. ток проводимости и ток смещения.

1.16.3 Основные группы нестационарных процессов

• Нестационарные электромагнитные процессы подразделяются на существенно различные группы в зависимости от соотношения между током проводимости и током смещения, а точнее между их амплитудными значениями и, т.к сами токи переменны и обычно изменяются по гармоническому закону с циклической частотой. Поэтому соотношение между амплитудами и будет существенно зависеть от частоты, и от свойств вещества, в котором возбуждается электромагнитный процесс.

Возможны варианты:

1.16.4 Нестаци-онарные процессы в проводящих средах (в металлах)

• Переменное электрическое поле в проводящей среде, особенно в металле, возбуждает переменный ток проводимости настолько превосходящий ток смещения, что последним можно пренебречь даже при весьма высоких частотах, что означает

Нестационарные уравнения Максвелла для проводящей среды (для металлов) принимают вид

где все величины переменны. Существенно, что магнитное поле переменного тока остаётся вихревым и связано с током так же, как и при стационарном режиме.

1.16.5 Нестаци-онарные процессы в непроводящих диэлектриках

• Ток проводимости в непроводящих диэлектриках исключён, остаётся возможным только ток смещения, так что

Таким образом, нестационарные уравнения Максвелла для непроводящих диэлектриков принимают вид

1.16.6 Нестаци-онарные процессы в вакууме

• В вакууме исключены как свободные макроскопические электрические заряды, так и токи проводимости, но ток смещения остаётся возможным, так что

при этом

Таким образом, нестационарные уравнения Максвелла для вихревых полей в вакууме принимает вид

Они определяют образование электромагнитного поля в виде распространяющихся со скоростью света электромагнитных волн. Из уравнений также следует, что электромагнитное поле порождает само себя и может существовать без зарядов и токов.

История развития классической электродинамики является поучительным примером того, как математизация естественно научной дисциплины и переход к изящному (хотя и достаточно сложному) языку описания повлекли за собой качественный скачок в понимании целого ряда явлений природы, часть из которых была первоначально предсказана теоретически (“на кончике пера”), а потом получила блестящее экспериментальное подтверждение. В настоящей теме будет содержаться достаточно большое количество математических формул, приводимых лишь с целью иллюстрации красоты и компактности языка математики.

Непрерывные распределения зарядов. Входящие в выражения для электростатических и магнитостатических полей (9_4) и (9_8) суммы в случае макроскопических заряженных тел содержат очень большое число слагаемых, соответствующих вкладам в поля от точечных зарядов. Их вычисление неудобно с чисто “технической” точки зрения: математическая операция суммирования более трудоемка, чем, например, интегрирование (сказанное относится к аналитическим расчетам, при компьютерном счете суммирование предпочтительнее взятия интегралов, однако в 19 веке подобной альтернативы в математике не существовало). Переход к интегрированию требовал приближенной замены дискретного распределения элементарных зарядов на непрерывное , характеризуемое плотностью электрического заряда (отношение величины заряда к объему содержащего его небольшого, но макроскопического элемента пространства):

Естественно, что замена (1) приводила к “сглаживанию” рассчитываемых макроскопических полей по сравнению с реальными микроскопическими, сильно изменяющимися на сравнимых с размером атома расстояниях. Описанный переход к непрерывному распределение зарядов существенно упрощал расчеты, не снижая их практическую ценность (наука и техника 19 века еще не доросли до эффектов, происходящих на микроскопическом уровне организации материи).

Математический формализм. Переход к непрерывным распределениям зарядов и токов позволил переписать законы электро и магнитостатики сразу в нескольких математических формах, эквивалентных по физическому смыслу, но существенно различающихся по технике выполнения конкретных расчетов:

интегральные формулировки:

дифференциальные формулировки:

(3)
;

расчет полей через скалярный и векторный
потенциалы :

Т.о. адекватное описание одних и тех же законов естествознания возможно на различных языках математики .

Операторы . В начале 20 века в математике были введены новые объекты - операторы , без использования которых современная физика была бы немыслима. Понятие оператора является естественным обобщением традиционного для классической математики понятия функции. Если под функцией понимается закон (правило, отображение), по которому одному числу (набору чисел) ставится в соответствие другое число (набор чисел), то под оператором подразумевают закон, по которому одному объекту (группе объектов) ставится в соответствие другой объект (группа). Наиболее часто встречаются операторы, действующие на функции (операторы умножения на число, дифференцирования, интегрирования и т.д.) или векторы (оператор поворота, проектирования и т.д.). Весьма полезной оказалась идея определения математических операций над операторами. Например, под произведением двух операторов подразумевается оператор, выполняющий последовательно действия каждого из перемножаемых операторов. Для операции умножения операторов в общем случае не выполняется свойство коммутативности:

(5)
.

Использование языка операторов существенно сокращает запись многих математических формул и делает их более “элегантными”. Так введение лишь одного дифференциального оператора “набла”

при помощи стандартным образом определенных операций скалярного (,) и векторного [ , ] умножения позволяет записать системы уравнений (3) и (4) в весьма компактной форме:

(3’)
;

(4’)
,
.

В последних равенствах использован оператор Лапласа:

(7)
.

Помимо краткости записи преимущество операторного метода состоит в том, что. с самим оператором набла можно обращаться почти так же, как с обычным вектором, что, несомненно, облегчает громоздкие выкладки.

Закон электромагнитной индукции Фарадея. Долгое время электрические и магнитные явления считались независимыми, хотя даже на уровне магнитостатики это не совсем верно: магнитостатическое поле порождается постоянными токами, существование которых в веществе невозможно без наличия электрического поля. Фарадей экспериментальным путем установил, что изменяющееся во времени магнитное поле может порождать электрическое . Это электрическое поле в отличие от порождаемого зарядами потенциального электростатического является вихревым, т.е. его линии представляют собой замкнутые кривые (рис. 11_1). Открытый Фарадеем закон индукции впоследствии имел колоссальное практическое значение, поскольку открыл весьма удобный и дешевый способ преобразования механической энергии движения источников магнитного поля в электрическую, ныне лежащий в основе промышленного производства электроэнергии.

С точки зрения математической записи уравнений для поля открытое Фарадеем явление требует видоизменения системы уравнений (6):

(10)
.

Гипотеза Максвелла. Рассмотрев совместно систему уравнений (7) и (10) Максвелл обратил внимание на следующие ее недостатки:

1. Указанная система несовместна с законом сохранения заряда.

2. Система оказалась весьма несимметричной даже для случая описания электромагнитного поля в пустом пространстве (=0 и j=0 ).

Несоответствие уравнений закону сохранения заряда было достаточным аргументом для того, чтобы усомниться в их истинности, поскольку законы сохранения носят весьма общий характер. Оказалось, что существует множество способов видоизменения системы уравнений (7), (10), приводящих их в соответствие с законом сохранения. Максвеллом был выбран простейший из возможных путь, приводящий систему к симметричному виду в случае ее использования для описания полей в пустом пространстве. В последнее уравнение было добавлено слагаемое, описывающее возможность генерации вихревого магнитного поля изменяющимся электрическим (“ток смещения”):

(11)

.

Чисто математическими следствиями из видоизмененной системы уравнений Максвелла были утверждение о сохранении энергии в электромагнитных процессах и теоретический вывод о возможности независимого от зарядов и токов существования поля в виде электромагнитных волн в пустом пространстве. Это последнее предсказание нашло блестящее экспериментальное подтверждение в знаменитых опытах Герца и Попова, положивших основу современной радиосвязи. Рассчитываемая из системы (11) скорость распространения электромагнитных волн оказалась равной экспериментально измеренной скорости распространения света в вакууме, что означало объединение практически ранее независимых разделов физики электромагнетизма и оптики в одну законченную теорию.

Проблема существования магнитного монополя. Колоссальный успех теории Максвелла продемонстрировал возможность теоретического поиска новых законов природы на основе анализа математических уравнений, описывающих ранее известные закономерности, с обязательной экспериментальной проверкой таким образом “угадываемых” результатов.

Симметричная для описания электромагнитных полей в пустом пространстве система уравнений Максвелла (11) существенно “теряет свою красоту” при учете электрических зарядов и токов: создаваемое электрическими зарядами потенциальное поле Е не имеет аналога в магнитных взаимодействиях. Эта ассиметрия послужила поводом для постановки множества экспериментов по поиску магнитных монополей (или магнитных зарядов) - гипотетических частиц, являющихся источником потенциального магнитного поля и теоретических исследований их предполагаемых свойств. До настоящего времени надежных экспериментальных данных о существовании магнитных монополей не получено.

Противоречия между электродинамикой и классической физикой. Сформулированные в виде законченной теории и выдержавшие экспериментальную проверку законы электромагнетизма Максвелла оказались в противоречии с принципами, лежащими в основе классического миропонимания Галлилея - Ньютона:

1. Удовлетворяющие принципу относительности Галилея классические силы могут зависеть от времени, расстояний между телами и их относительных скоростей, т.е. величин, не изменяющихся при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Магнитостатические поля и связанные с ними силы Лоренца являются функциями скоростей зарядов по отношению к наблюдателю и различны в разных инерциальных системах отсчета. Т.о. явления природы, обусловленные электромагнитными взаимодействиями, с точки зрения классической физики в различных инерциальных системах отсчета должны протекать по-разному.

2. Получаемая в результате решения уравнений Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в пустом пространстве оказалась независящей от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя. Этот вывод полностью противоречило классическому закону сложения скоростей.

Все попытки видоизменить уравнения электромагнетизма так, чтобы привести их в согласие с принципами классического естествознания приводили к теоретическому предсказанию эффектов, ненаблюдаемых на эксперименте, и были признаны несостоятельными.

Преобразования Лоренца. Поскольку уравнения Максвелла не были инвариантными относительно преобразований Галилея, т.е. вопреки требованиям принципа относительности изменяли свою форму при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, по правилам, задаваемым соотношениями:

(12) ,

Лоренцем был поставлен естественный вопрос об отыскании таких преобразований координат и времени, которые не изменяли бы уравнений Максвелла и были при этом максимально простыми. Эта задача была им решена как чисто математическая:

(13) .

Сравнивая преобразования Галилея (12) и Лоренца (13), легко заметить, что последние переходят в классические в случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света с . Т.о. предложенные Лоренцем соотношения удовлетворяли принципу соответствия , согласно которому новая теория должна согласовываться со старой о областях, где последняя была надежно проверена на экспериментах. Кроме того, следующий из преобразований Лоренца релятивистский закон сложения скоростей оставлял скорость света инвариантной относительно переходя в любую инерциальную систему отсчета, движущуюся со скоростью, меньшей с .

Опыты Майкельсона. Следующее из уравнений Максвелла утверждение о постоянстве скорости света при переходах в другие системы отсчета полностью противоречило классическим представлениям. Вставал естественный вопрос о его экспериментальной проверке. Весьма изящный эксперимент был осуществлен Майкельсоном с помощью специально сконструированного им прибора - интерферомета , позволяющего сравнивать времена распространения световых сигналов вдоль двух взаимно перпендикулярных отрезков прямых, ограниченных на концах зеркалами (рис. 11_2). Идея опыта состояла в попытке зарегистрировать различие скоростей распространения света вдоль разных плеч интерферометра, вызванное орбитальным движением Земли. Опыты с интерферометром Майкельсона дали отрицательные результаты: скорость света с высокой точностью оказалась независящей от соотношения направлений его распространения и движения Земли .

Многочисленные попытки спасти классический закон сложения скоростей путем введения гипотетической среды - эфира , в которой распространяются световые колебания потерпели полную неудачу свойства предполагаемой Среды оказывались весьма экзотическими, никаких экспериментальных подтверждений ее реального существования получено не было.

Выход из возникшей на рубеже веков в естествознании тупиковой ситуации был предложен А. Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности (СТО), в которой на основе двух хорошо проверенных на эксперименте постулатов (утверждений) строится внутренне непротиворечивая (хотя и весьма странная с точки зрения классического естествознания и житейского опыта) концепция, объясняющая преобразования Лоренца и предсказывающая ряд новых явлений, реально зарегистрированных в природе.