1 zasada dzielenia ułamków zwykłych liczb mieszanych. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Ponieważ tak jest łatwiej. Dla przypomnienia, aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (będzie to licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:

Na przykład:

Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie jest on tu potrzebny...

Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż, czyli:

Na przykład:

Jeśli natkniesz się na mnożenie lub dzielenie liczb całkowitych i ułamków, nie ma problemu. Podobnie jak w przypadku dodawania, z liczby całkowitej tworzymy ułamek zwykły z jedynką w mianowniku - i dalej! Na przykład:

W szkole średniej często masz do czynienia z ułamkami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:

Jak mogę sprawić, aby ta frakcja wyglądała przyzwoicie? Tak, bardzo proste! Użyj podziału dwupunktowego:

Ale nie zapomnij o kolejności dzielenia! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale łatwo jest popełnić błąd w ułamku trzech pięter. Zwróć uwagę na przykład:

W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):

W drugim (wyrażenie po prawej):

Czy czujesz różnicę? 4 i 1/9!

Co decyduje o kolejności podziału? Albo w nawiasach, albo (jak tutaj) z długością poziomych linii. Rozwijaj swoje oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, np.:

potem dziel i mnóż w kolejności od lewej do prawej!

A także bardzo proste i ważna technika. W działaniach ze stopniami będzie ci bardzo przydatny! Podzielmy jeden przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:

Strzał się odwrócił! I to zawsze się zdarza. Dzieląc 1 przez dowolny ułamek, otrzymasz ten sam ułamek, tylko odwrócony do góry nogami.

To tyle, jeśli chodzi o operacje na ułamkach. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Notatka praktyczne porady, a będzie ich mniej (błędów)!

Praktyczne wskazówki:

1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! To nie są ogólne słowa, ani dobre życzenia! To pilna konieczność! Wykonuj wszystkie obliczenia na egzaminie Unified State Exam jako pełnoprawne zadanie, skupione i jasne. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w wersji roboczej, niż zepsuć obliczenia w pamięci.

2. W przykładach z różne rodzaje ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż się zatrzymają.

4. Wielostopniowe wyrażenia ułamkowe redukujemy do zwykłych, stosując dzielenie przez dwa punkty (zachowujemy kolejność dzielenia!).

5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.

Oto zadania, które zdecydowanie musisz wykonać. Odpowiedzi podawane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów na ten temat i praktycznych wskazówek. Oszacuj, ile przykładów udało Ci się poprawnie rozwiązać. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnij właściwe wnioski...

Pamiętaj - prawidłowa odpowiedź to otrzymane za drugim (zwłaszcza trzecim) razem się nie liczy! Takie jest surowe życie.

Więc, rozwiązać w trybie egzaminu ! Nawiasem mówiąc, jest to już przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy go, rozwiązujemy następny. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.

Oblicz:

Czy zdecydowałeś?

Szukamy odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo spisałem je w nieładzie, z dala od pokus, że tak powiem... Oto odpowiedzi zapisane średnikami.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało, cieszę się razem z Tobą! Podstawowe obliczenia na ułamkach to nie Twój problem! Możesz zająć się poważniejszymi rzeczami. Jeśli nie...

Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale to rozpuszczalny Problemy.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

TEMAT: Dzielenie ułamków.

• Poznanie zasad dzielenia ułamków zwykłych; Kształtowanie podstawowych umiejętności dzielenia ułamków zwykłych;
• wykształcenie podstawowych umiejętności dzielenia ułamków z wykorzystaniem podstawowego algorytmu; Rozwój uwagi logiczne myślenie;
• pielęgnowanie zainteresowania studiowaniem przedmiotu i umiejętności pracy w grupie.

PLAN LEKCJI:

1. Moment organizacyjny.

2. Praca ustna, co prowadzi do nowego przepisu.

3. Wprowadzenie definicji.

4. Praca z kartami asymilacyjnymi.

5. Ćwiczenia fizyczne.

6. Praca ustna „znajdź błąd”.

7. Przypinanie: obliczenia łańcuchowe.

8. Podsumowanie lekcji.

PODCZAS ZAJĘĆ

1) Dzisiaj na zajęciach, chłopaki, musimy wykonać poważną pracę. Będziesz potrzebować wytrwałości, chęci, uwagi, konsekwencji i poprawności w wykonywaniu zadań.

Praca ustna: napisz odwrotność tej liczby:

2) Jak sprawdzić, czy operacja mnożenia została wykonana poprawnie? (Przez działanie podziału).

Nie wiemy, jak dzieli się ułamki. Czas zapoznać się z tą nową akcją.

Dzielenie i dzielenie może czasami być trudne, dlatego sama operacja dzielenia ułamków wymaga szczególnej uwagi.

Przypomnijmy sobie, czym jest dzielenie jako operacja matematyczna? (działanie odwrotne do mnożenia; działanie, gdy jeden z czynników i iloczyn jest używany do znalezienia innego czynnika).

Teraz wspólnie spróbujemy poznać zasadę dzielenia ułamków, która jest dla nas nowa przy rozważaniu kolejnego problemu.

Teraz nasze rozwiązania będą się różnić.

Jakie macie propozycje rozwiązania tego równania?

Po pierwsze, umiemy rozwiązywać takie równania wykorzystując pojęcie liczb odwrotnych (wystarczy pomnożyć obie strony równania przez odwrotność współczynnika zmiennej X).

Po drugie, znamy standardową zasadę wyszukiwania nieznany mnożnik(iloczyn należy podzielić przez znany współczynnik).

Rozważmy oba te przypadki:

Przyjrzyj się uważnie dwóm powstałym wyrażeniom służącym do znalezienia wartości X. Są to odpowiedzi na ten sam problem, co oznacza, że ​​odpowiedzi muszą być takie same. W jednym przypadku mnożymy przez 7/6, a w drugim dzielimy przez 6/7.

Odkryliśmy, że dzieląc przez 6/7, tę samą odpowiedź należy uzyskać, jeśli pomnożymy przez 7/6. Oznacza to, że sens dzielenia ułamków sprowadza się do pomnożenia przez odwrotność dzielnika. Nie jest to przypadkowa funkcja, którą zauważyliśmy.

Wprowadź nową zasadę na stronie 100 podręcznika, powtórz kilka razy, zapytaj kilku uczniów z pamięci.

3) Korzystając z wyuczonej reguły, rozważ jej zastosowanie na różnych przykładach .

Dzieci otrzymują specjalne karty, które wypełniają wspólnie z nauczycielem, opisując uwagi z miejsca. Powinieneś rozważyć dzielenie ułamka przez ułamek, dzielenie liczby naturalnej przez ułamek i ułamek przez Liczba naturalna, dzielenie liczb mieszanych. Wypełniając, dzieci ponownie wypowiadają regułę. Podczas podziału należy zwrócić szczególną uwagę na trzy etapy: dywidenda pozostaje niezmieniona; dzielenie zastępuje się mnożeniem; pomnóż przez odwrotność dzielnika.

	Dział ułamki	Aplikacja zasady podziały	Reguła mnożenie	Konwersja
	5/7: 3/4 =	5/7 * 4/3=	(5*4) / (7*3) =	20/21	20/21
	5: 2/5 =	5 *
7/8: 2 =	7/8: 2/1=	7/8 *
4 1/2: 1 1/2=	9/2: 3/2 =	9/2 *

Na odwrocie karty znajdują się trzy zadania, które dzieci rozwiązują po wypełnieniu karty na miejscu, a następnie sprawdzają otrzymane rozwiązania i wyniki.

DECYDUJ SAM

1. 4/6: 3 =

2. 8: 4/5 =

3 . 1 2/3: 1 1/10 =

4) Prowadzenie ćwiczeń fizycznych.

5) Etap opanowywania definicji.

Sprawdźmy, jak nauczyłeś się dzisiejszej zasady i przekonaj się, jak bardzo jesteś uważny: „ZNAJDŹ BŁĄD”

6) Rozwiązywanie zadań z podręcznika: nr 619 (a, b, d).

7) Pracuj w grupach. Dzieci po kolei podchodzą do tablicy i zapisują rozwiązanie do przykładu.

8) Dobrze zrobiony. Dobrze zrobiony. Podsumujmy:

Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?

Jak dzieli się ułamki?

Co to są liczby odwrotne?

W domu: Zasada nr 617.

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

1. Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
2. Dodawanie ułamków za pomocą różne mianowniki

Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź nie brzmiała Prawidłowa frakcja. Jeśli nadejdzie koniec zadania, to od ułamki niewłaściwe Zwyczajem jest się go pozbyć. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku cała częśćłatwo się wyróżnia - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne Nie jest w zwyczaju pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że ​​jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

1. Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
2. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Liczbę mnożoną przez ułamek i mianownik ułamka rozwiązuje się, jeśli mają wspólny czynnik większy niż jeden.

Na przykład wyrażenie można ocenić na dwa sposoby.

Pierwszy sposób. Pomnóż liczbę 4 przez licznik ułamka, a mianownik ułamka pozostaw bez zmian:

Drugi sposób. Czwórkę mnożoną i czwórkę w mianowniku ułamka można zmniejszyć. Te czwórki można zmniejszyć o 4, ponieważ największym wspólnym dzielnikiem dwóch czwórek jest sama czwórka:

Otrzymaliśmy ten sam wynik 3. Po zredukowaniu czwórek w ich miejsce powstają nowe liczby: dwie jedyneki. Ale pomnożenie jednego przez trzy, a następnie podzielenie przez jeden niczego nie zmienia. Dlatego rozwiązanie można zapisać krótko:

Redukcję można przeprowadzić nawet wtedy, gdy zdecydowaliśmy się na pierwszą metodę, ale na etapie mnożenia liczby 4 i licznika 3 zdecydowaliśmy się na redukcję:

Ale na przykład wyrażenie można obliczyć tylko w pierwszy sposób - pomnóż 7 przez mianownik ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Wynika to z faktu, że liczba 7 i mianownik ułamka nie mają wspólnego dzielnika większego niż jeden i odpowiednio nie znoszą się.

Niektórzy uczniowie błędnie skracają mnożoną liczbę i licznik ułamka. Nie możesz tego zrobić. Na przykład następujący wpis jest nieprawidłowy:

Zmniejszenie ułamka oznacza to zarówno licznik, jak i mianownik zostanie podzielony przez tę samą liczbę. W sytuacji z wyrażeniem dzielenie odbywa się tylko w liczniku, gdyż zapisanie tego jest równoznaczne z zapisaniem . Widzimy, że dzielenie odbywa się tylko w liczniku, a dzielenie nie następuje w mianowniku.

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o mniej więcej tej samej wielkości pizza. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesujący temat w matematyce. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci liczby całkowitej, należy uwzględnić części lub ułamki jakiejś miary. Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.

Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:

• prawidłowy;
• błędny;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu nie jest trudna do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o identycznych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z pierwotnie istniejących.

Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:

A/B * C/D = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że liczba utworzona pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko za pomocą liczb mianownikowych; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.

Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia podano kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:

A* B/C = a*b /C.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

D* mi/F = mi/f: d.

Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego i można go również przedstawić jako wzór ogólny:

A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w Odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkować w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.

W Internecie jest wiele pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych różne odmiany programy. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, wypełniasz odpowiednie pola na stronie serwisu, wybierasz znak operacji matematycznej i klikasz „oblicz”. Program oblicza automatycznie.

Temat działań arytmetycznych na ułamkach zwykłych jest aktualny w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze opanowana wiedza podstawowa daje w większości całkowitą pewność skutecznego rozwiązania złożone zadania.

Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Zwiększenie licznika – zasług – nie jest w mocy człowieka, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie, a przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.

Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszą częścią tych działań było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobre wieści jest to, że te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Rozważmy najpierw najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki oddzielnie. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne

Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus przez minus daje minus;
2. Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.

Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:

1. Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
2. Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeżeli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to wychodzimy poza granice mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:

Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Uwaga również liczby ujemne: Podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.

Redukowanie ułamków na bieżąco

Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal się zmniejszała.

Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.

Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:

Prawidłowe rozwiązanie:

Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.