Równanie okręgu na płaszczyźnie współrzędnych

Definicja 1. Oś liczbowa ( oś liczbowa, oś współrzędnych) Ox to linia prosta, na której wybrany jest punkt O początek (początek współrzędnych)(ryc. 1), kierunek

O → X

Wymienione jako pozytywny kierunek i zaznaczany jest odcinek, którego długość przyjmuje się jednostka długości.

Definicja 2. Odcinek, którego długość przyjmuje się jako jednostkę długości, nazywa się skalą.

Każdy punkt na osi liczb ma współrzędną będącą liczbą rzeczywistą. Współrzędna punktu O wynosi zero. Współrzędna dowolnego punktu A leżącego na promieniu Ox jest równa długości odcinka OA. Współrzędna dowolnego punktu A osi liczbowej, który nie leży na promieniu Ox, jest ujemna i w wartości bezwzględnej jest równa długości odcinka OA.

Definicja 3. Prostokątny kartezjański układ współrzędnych Oxy na płaszczyźnie zadzwoń do dwóch siebie prostopadły osie numeryczne Ox i Oy z tę samą skalę I wspólny początek odliczanie w punkcie O i tak, aby obrót od promienia Ox pod kątem 90° do promienia Oy odbywał się w kierunku przeciwnie do ruchu wskazówek zegara(ryc. 2).

Notatka. Nazywa się prostokątny kartezjański układ współrzędnych Oxy, pokazany na rysunku 2 prawy układ współrzędnych, W odróżnieniu lewe układy współrzędnych, w którym obrót belki Ox pod kątem 90° do belki Oy odbywa się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. W tym przewodniku rozważamy tylko prawoskrętne układy współrzędnych, bez wyraźnego określenia tego.

Jeśli wprowadzimy na płaszczyznę jakiś układ prostokątnych współrzędnych kartezjańskich Oxy, to każdy punkt płaszczyzny uzyska dwie współrzędne – odcięta I rzędna, które oblicza się w następujący sposób. Niech A będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie. Porzućmy prostopadłe z punktu A AA 1 i AA 2 do linii prostych, odpowiednio Ox i Oy (ryc. 3).

Definicja 4. Odcięta punktu A jest współrzędną punktu A 1 na osi liczbowej Ox, współrzędną punktu A jest współrzędna punktu A 2 na osi liczbowej Oy.

Przeznaczenie Współrzędne (odcięta i rzędna) punktu Zwykle oznacza się A w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy (ryc. 4). A(X;y) Lub A = (X; y).

Notatka. Punkt O, tzw pochodzenie, ma współrzędne O(0 ; 0) .

Definicja 5. W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych Oxy oś liczbowa Ox nazywana jest osią odciętych, a oś numeryczna Oy nazywana jest osią rzędnych (ryc. 5).

Definicja 6. Każdy prostokątny kartezjański układ współrzędnych dzieli płaszczyznę na 4 ćwiartki (ćwiartki), których numerację pokazano na rysunku 5.

Definicja 7. Nazywa się płaszczyznę, na której dany jest prostokątny kartezjański układ współrzędnych płaszczyzna współrzędnych.

Notatka. Oś odciętych jest określona na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równania y= 0, oś rzędnych jest dana na płaszczyźnie współrzędnych za pomocą równania X = 0.

Oświadczenie 1. Odległość między dwoma punktami płaszczyzna współrzędnych

A 1 (X 1 ;y 1) I A 2 (X 2 ;y 2)

obliczony według formuły

Dowód . Rozważ rysunek 6.

|A 1 A 2 | 2 = = (X 2 -X 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 .

(1)

Stąd,

co było do okazania

Równanie okręgu na płaszczyźnie współrzędnych

Rozważmy na płaszczyźnie współrzędnych Oxy (rys. 7) okrąg o promieniu R ze środkiem w punkcie A 0 (X 0 ;y 0) .

Współrzędne biegunowe

Numer jest wywoływany promień biegunowy kropki lub pierwsza współrzędna biegunowa. Odległość nie może być ujemna, więc promień biegunowy dowolnego punktu wynosi . Pierwsza współrzędna biegunowa jest również oznaczona grecką literą („rho”), ale jestem przyzwyczajony do wersji łacińskiej i będę jej używać w przyszłości.

Numer jest wywoływany kąt polarny dany punkt lub druga współrzędna biegunowa. Kąt biegunowy zazwyczaj zmienia się w obrębie (tzw główne wartości kąta). Jednak użycie zakresu jest całkiem dopuszczalne, a w niektórych przypadkach istnieje bezpośrednia potrzeba uwzględnienia wszystkich wartości kątów od zera do „plus nieskończoności”. Nawiasem mówiąc, zalecam przyzwyczajenie się do radialnej miary kąta, ponieważ w wyższej matematyce operowanie stopniami nie jest uważane za coś, co się zdarza.

Para jest tzw współrzędne biegunowe kropki Są łatwe do znalezienia i konkretne wartości. Tangens kąt ostry trójkąt prostokątny - jest stosunkiem przeciwnej strony do sąsiedniej: zatem sam kąt: . Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: , co oznacza promień biegunowy:

Zatem, .

Jeden pingwin jest dobry, ale stado jest lepsze:


Kąty zorientowane negatywnie Zaznaczyłem to strzałkami na wszelki wypadek, gdyby część czytelników nie wiedziała jeszcze o tej orientacji. W razie potrzeby możesz „przykręcić” 1 obrót (rad. lub 360 stopni) do każdego z nich i, przy okazji, uzyskać wygodę wartości tabeli:

Jednak wadą tych „tradycyjnie” zorientowanych kątowników jest to, że są one „skręcone” zbyt mocno (o ponad 180 stopni) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Uprzedzam pytanie: „dlaczego jest to wada i po co w ogóle potrzebne są pewne ujemne kąty?” W matematyce cenione są najkrótsze i najbardziej racjonalne ścieżki. Cóż, z punktu widzenia fizyki kierunek obrotu ma często fundamentalne znaczenie – każdy z nas próbował otworzyć drzwi pociągając klamkę w złym kierunku =)

Kolejność i technika konstruowania punktów we współrzędnych biegunowych

Piękne zdjęcia są piękne, ale konstruowanie ich w biegunowym układzie współrzędnych jest dość żmudnym zadaniem. Nie ma trudności z punktami, których kąty biegunowe są , w naszym przykładzie są to punkty ; Wartości będące wielokrotnościami 45 stopni również nie sprawiają większych problemów: . Ale jak poprawnie i kompetentnie skonstruować, powiedzmy, punkt?

Będziesz potrzebować kartki papieru w kratkę, ołówka i następujących rzeczy narzędzia do rysowania: linijka, kompas, kątomierz. W ostateczności możesz obyć się z jedną linijką, a nawet... bez niej! Czytaj dalej, a otrzymasz kolejny dowód na to, że ten kraj jest niepokonany =)

Przykład 1

Skonstruuj punkt w biegunowym układzie współrzędnych.

Przede wszystkim musisz znaleźć miarę kąta. Jeśli narożnik jest nieznany lub masz wątpliwości, zawsze lepiej jest go użyć tabela lub ogólny wzór na przeliczanie radianów na stopnie. Zatem nasz kąt to (lub).

Narysujmy biegunowy układ współrzędnych (patrz początek lekcji) i podnieś kątomierz. Właściciele okrągłego instrumentu nie będą mieli trudności z oznaczeniem 240 stopni, ale najprawdopodobniej będziesz mieć na rękach półokrągłą wersję urządzenia. Problem całkowitego braku kątomierza w obecności drukarki i nożyczek rozwiązać rękodziełem.

Istnieją dwa sposoby: obróć arkusz i zaznacz 120 stopni lub „wkręć” o pół obrotu i spójrz pod przeciwnym kątem. Wybierzmy metodę dla dorosłych i zaznaczmy 60 stopni:


Albo kątomierz liliputowski, albo wielka klatka =) Jednak przy mierzeniu kąta skala nie jest istotna.

Za pomocą ołówka narysuj cienką prostą linię przechodzącą przez słupek i wykonaj znak:


Ustaliliśmy już kąt, teraz następny jest promień biegunowy. Weź kompas i wzdłuż linii jego rozwiązanie ustawiamy na 3 jednostki, najczęściej są to oczywiście centymetry:

Teraz ostrożnie umieść igłę na drążku i ruch obrotowy Wykonujemy mały szeryf (kolor czerwony). Wymagany punkt został zbudowany:


Możesz obejść się bez kompasu, przykładając linijkę bezpośrednio do zbudowanej linii prostej i mierząc 3 centymetry. Ale, jak zobaczymy później, w zagadnieniach związanych z konstrukcją w biegunowym układzie współrzędnych typowa sytuacja ma miejsce, gdy trzeba zaznaczyć dwa lub duża ilość punkty o tym samym promieniu biegunowym, dzięki czemu bardziej efektywne jest utwardzanie metalu. W szczególności na naszym rysunku, obracając nogę kompasu o 180 stopni, łatwo jest wykonać drugie nacięcie i skonstruować punkt symetryczny względem bieguna. Wykorzystajmy go do przerobienia materiału z następnego akapitu:

Zależność między prostokątnymi i biegunowymi układami współrzędnych

Oczywiście dodajmy do biegunowego układu współrzędnych, „zwykłej” siatki współrzędnych i narysuj punkt na rysunku:

Zawsze warto pamiętać o tym połączeniu podczas rysowania współrzędnych biegunowych. Chociaż, chcąc nie chcąc, nasuwa się samo bez dalszej podpowiedzi.

Ustalmy związek między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi na przykładzie konkretnego punktu. Rozważmy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna jest równa promieniowi biegunowemu: , a ramiona są równe współrzędnym „X” i „Y” punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych: .

Sinus kąta ostrego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąta ostrego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Jednocześnie powtórzyliśmy definicje sinusa, cosinusa (i nieco wcześniejszej tangensa) z programu nauczania dla klasy IX szkoły ogólnokształcącej.

Proszę dodać działające wzory w swoim podręczniku, które wyrażają współrzędne kartezjańskie punktu poprzez jego współrzędne biegunowe - będziemy musieli sobie z nimi poradzić więcej niż raz, a następnym razem już teraz =)

Znajdźmy współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych:

Zatem:

Powstałe formuły otwierają kolejną lukę w problemie konstrukcyjnym, kiedy w ogóle można obejść się bez kątomierza: najpierw znajdujemy współrzędne kartezjańskie punktu (oczywiście w szkicu), następnie mentalnie znajdujemy pożądane miejsce na rysunku i zaznacz ten punkt. NA Ostatni etap narysuj cienką linię prostą przechodzącą przez skonstruowany punkt i słup. W efekcie okazuje się, że kąt rzekomo mierzono kątomierzem.

Zabawne, że bardzo zdesperowani uczniowie radzą sobie nawet bez linijki, zamiast tego sięgając po gładką krawędź podręcznika, zeszytu czy dziennika ocen – w końcu producenci zeszytów zadbali o metrykę, 1 kwadrat = 5 milimetrów.

Wszystko to przypomniało mi znany dowcip, w którym pomysłowi piloci wyznaczali kurs wzdłuż stada Biełomorów =) Chociaż, pomijając żarty, żart nie jest tak odległy od rzeczywistości, pamiętam, że podczas jednego z krajowych lotów w Rosji Federacji, w samolocie zawiodły wszystkie przyrządy nawigacyjne, a załodze udało się wylądować samolotem, korzystając ze zwykłej szklanki wody, która wskazywała kąt samolotu względem ziemi. A pas startowy - tutaj jest, z przednia szyba Widoczny

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa przytoczonego na początku lekcji, łatwo jest otrzymać wzory odwrotne: , zatem:

Sam kąt „phi” jest standardowo wyrażany poprzez arcustangens - absolutnie taki sam jak argument liczbowy zespolony ze wszystkimi jego problemami.

Drugą grupę receptur warto także umieścić w bagażu referencyjnym.

Po szczegółowa analiza loty z indywidualnymi punktami przejdźmy do naturalnej kontynuacji tematu:

Równanie prostej we współrzędnych biegunowych

Zasadniczo równanie linii w biegunowym układzie współrzędnych jest funkcja promienia biegunowego od kąta biegunowego (argument). W tym przypadku brany jest pod uwagę kąt biegunowy w radianach(!) I bez przerwy przyjmuje wartości od do (czasami należy to rozpatrywać w nieskończoności lub w wielu problemach dla wygody od do). Każda wartość kąta „phi”, która jest zawarta w domena funkcja, odpowiada pojedynczej wartości promienia biegunowego.

Funkcję biegunową można porównać do swego rodzaju radaru - gdy wiązka światła wychodząca ze słupa obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i „wykrywa” (rysuje) linię.

Standardowym przykładem krzywej biegunowej jest Spirala Archimedesa. Przedstawia ją poniższe zdjęcie pierwsza runda– gdy promień biegunowy podążający za kątem biegunowym przyjmuje wartości od 0 do:

Dalej, przecinając oś biegunową w punkcie , spirala będzie nadal się rozwijać, poruszając się w nieskończonej odległości od bieguna. Jednak takie przypadki są w praktyce dość rzadkie; bardziej typową sytuacją jest, gdy przy wszystkich kolejnych obrotach „idziemy po tej samej linii”, która została uzyskana w danym zakresie.

W pierwszym przykładzie spotykamy się z koncepcją dziedzina definicji funkcja biegunowa: ponieważ promień biegunowy jest nieujemny, nie można tutaj uwzględnić kątów ujemnych.

! Notatka : w niektórych przypadkach zwyczajowo się go używa uogólnione współrzędne biegunowe, gdzie promień może być ujemny, a my pokrótce przeanalizujemy to podejście nieco później

Oprócz spirali Archimedesa istnieje wiele innych znanych krzywych, ale, jak mówią, sztuki nie ma dość, dlatego wybrałem przykłady, które bardzo często można znaleźć w prawdziwych praktycznych zadaniach.

Najpierw najprostsze równania i najprostsze linie:

Równanie postaci określa równanie wychodzące z bieguna Promień. Rzeczywiście, pomyśl o tym, jeśli wartość kąta Zawsze(czymkolwiek jest „er”) stale, to która to jest linia?

Notatka : w uogólnionym układzie współrzędnych biegunowych równanie to definiuje linię prostą przechodzącą przez biegun

Równanie postaci określa... zgadnij po raz pierwszy - jeśli dla kazdego Kąt promienia „phi” pozostaje stały? W rzeczywistości jest to definicja koło ze środkiem na biegunie promienia.

Na przykład, . Dla jasności znajdźmy równanie tej linii w prostokątnym układzie współrzędnych. Korzystając ze wzoru uzyskanego w poprzednim akapicie dokonujemy zamiany:

Podstawmy obie strony do kwadratu:

– równanie okręgu ze środkiem na początku promienia 2, co należało sprawdzić.

Od momentu powstania i wydania artykułu o liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów Otrzymałem kilka listów od osób odwiedzających witrynę, które zadały pytanie w duchu: „istnieje prosty i wygodny prostokątny układ współrzędnych, dlaczego potrzebujemy kolejnego ukośnego przypadku afinicznego?” Odpowiedź jest prosta: matematyka stara się objąć wszystko i wszystkich! Poza tym w danej sytuacji ważna jest wygoda - jak widać dużo bardziej opłaca się pracować z okręgiem we współrzędnych biegunowych ze względu na skrajną prostotę równania.

I czasami model matematyczny przewiduje odkrycia naukowe. Tak więc kiedyś rektor Uniwersytetu Kazańskiego N.I. Łobaczewski ściśle udowodnione, można narysować przez dowolny punkt płaszczyzny nieskończenie wiele prostych, równolegle do tego. W rezultacie został zniesławiony przez wszystko świat naukowy, ale... obalić ten fakt nikt nie mógł. Zaledwie dobre sto lat później astronomowie odkryli, że światło w przestrzeni przemieszcza się po zakrzywionych trajektoriach, gdzie zaczyna działać nieeuklidesowa geometria Łobaczewskiego, formalnie opracowana przez niego na długo przed tym odkryciem. Zakłada się, że jest to właściwość samej przestrzeni, której krzywizna jest dla nas niewidoczna ze względu na małe (jak na standardy astronomiczne) odległości.

Rozważmy bardziej znaczące zadania konstrukcyjne:

Przykład 2

Zbuduj linię

Rozwiązanie: przede wszystkim znajdźmy domena. Ponieważ promień biegunowy jest nieujemny, nierówność musi być spełniona. Czy pamiętasz? Przepisy szkolne rozwiązania nierówności trygonometrycznych, ale w prostych przypadkach, takich jak ten, polecam szybsze i bardziej wizualne rozwiązanie:

Wyobraź sobie wykres cosinus. Jeżeli nie zapisał się jeszcze w Twojej pamięci, to znajdź go na stronie Wykresy funkcji elementarnych. Co nam mówi nierówność? Mówi nam, że należy zlokalizować wykres cosinusa nie mniej oś odciętych. A to dzieje się w segmencie. W związku z tym interwał nie jest odpowiedni.

Zatem dziedziną definicji naszej funkcji jest: , czyli wykres położony jest na prawo od bieguna (w terminologii układu kartezjańskiego – w prawej półpłaszczyźnie).

We współrzędnych biegunowych często nie jest jasne, która prosta definiuje dane równanie, dlatego aby je skonstruować, trzeba znaleźć punkty do niej należące – a im więcej, tym lepiej. Zwykle ograniczają się one do kilkunastu lub dwóch (lub nawet mniej). Najłatwiej jest oczywiście wziąć wartości kąta stołu. Dla większej przejrzystości „przykręcę” jeden obrót do wartości ujemnych:

Ze względu na parzystość cosinusa odpowiednie wartości dodatnie nie muszą być ponownie liczone:

Przedstawmy biegunowy układ współrzędnych i narysujmy znalezione punkty te same wartości Wygodnie jest odkładać „er” na raz, wykonując sparowane wycięcia za pomocą kompasu, korzystając z technologii omówionej powyżej:

W zasadzie linia jest wyraźnie narysowana, ale aby całkowicie potwierdzić przypuszczenie, znajdźmy jej równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych. Można zastosować ostatnio wyprowadzone formuły , ale opowiem Ci o bardziej przebiegłej sztuczce. Sztucznie mnożymy obie strony równania przez „er” i używamy bardziej zwartych wzorów przejściowych:

Wybierając pełny kwadrat, doprowadzamy równanie linii do rozpoznawalnej postaci:

– równanie okręgu ze środkiem w punkcie, promień 2.

Ponieważ zgodnie z warunkiem wystarczyło po prostu przeprowadzić konstrukcję i to wszystko, płynnie łączymy znalezione punkty linią:

Gotowy. Nie ma problemu, jeśli wyjdzie trochę nierówno, nie musiałeś wiedzieć, że to kółko ;-)

Dlaczego nie uwzględniliśmy wartości kąta poza przedziałem? Odpowiedź jest prosta: nie ma sensu. Ze względu na okresowość funkcji mamy do czynienia z nieskończonym bieganiem po skonstruowanym okręgu.

Łatwo jest przeprowadzić prostą analizę i dojść do wniosku, że równanie postaci określa okrąg o średnicy mający środek w punkcie. Mówiąc obrazowo, wszystkie takie okręgi „siedzą” na osi biegunowej i koniecznie przechodzą przez biegun. Jeśli następnie śmieszne towarzystwo przesunie się w lewo - do kontynuacji osi biegunowej (zastanów się dlaczego).

Podobne zadanie dla niezależna decyzja:

Przykład 3

Skonstruuj prostą i znajdź jej równanie w prostokątnym układzie współrzędnych.

Usystematyzujmy procedurę rozwiązania problemu:

Przede wszystkim znajdujemy dziedzinę definicji funkcji; w tym celu wygodnie jest spojrzeć sinusoida aby natychmiast zrozumieć, gdzie sinus jest nieujemny.

W drugim kroku obliczamy współrzędne biegunowe punktów za pomocą wartości kąta stołu; Przeanalizuj, czy można zmniejszyć liczbę obliczeń?

W trzecim kroku nanosimy punkty w biegunowym układzie współrzędnych i starannie łączymy je linią.

I wreszcie znajdujemy równanie prostej w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Przykładowe rozwiązanie znajduje się na końcu lekcji.

Algorytm ogólny i szczegółowo opisujemy technikę budowy we współrzędnych biegunowych
i znacznie przyspieszyć w drugiej części wykładu, ale wcześniej zapoznamy się z innym wspólnym twierdzeniem:

Róża Polarna

Zgadza się, mówimy o kwiatku z płatkami:

Przykład 4

Konstruuj proste określone równaniami we współrzędnych biegunowych

Istnieją dwa podejścia do konstruowania róży polarnej. Najpierw podążajmy po radełkowanym torze, zakładając, że promień biegunowy nie może być ujemny:

Rozwiązanie:

a) Znajdźmy dziedzinę definicji funkcji:

Tę nierówność trygonometryczną można również łatwo rozwiązać graficznie: z materiałów artykułu Przekształcenia geometryczne grafów wiadomo, że jeśli argument funkcji zostanie podwojony, to jej wykres zmniejszy się do osi rzędnych 2 razy. Proszę znaleźć wykres funkcji w pierwszym przykładzie tej lekcji. Gdzie znajduje się ta sinusoida powyżej osi x? W przerwach . W konsekwencji nierówność jest spełniona przez odpowiednie segmenty i domena nasza funkcja: .

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązaniem rozważanych nierówności jest suma nieskończonej liczby odcinków, ale znowu interesuje nas tylko jeden okres.

Być może niektórym czytelnikom łatwiej będzie zastosować metodę analityczną do znalezienia dziedziny definicji, którą nazwę „krojeniem okrągłego ciasta”. Wytniemy na równe części i przede wszystkim znajdź granice pierwszego elementu. Rozumujemy następująco: sinus nie jest ujemny, Gdy jego argument waha się od 0 do rad. włącznie. W naszym przykładzie: . Dzieląc wszystkie części podwójnej nierówności przez 2, otrzymujemy wymagany przedział:

Teraz zaczynamy sekwencyjnie „ciąć równe kawałki po 90 stopni” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

– znaleziony segment oczywiście należy do dziedziny definicji;

– następny interwał – nieuwzględniony;

– kolejny segment – ​​wliczony w cenę;

– i wreszcie interwał – nie jest uwzględniony.

Zupełnie jak stokrotka – „kocha, nie kocha, kocha, nie kocha” =) Z tą różnicą, że tu nie ma mowy o wróżeniu. Tak, to po prostu rodzaj miłości po chińsku….

Więc, a linia przedstawia różę z dwoma identycznymi płatkami. Schematyczne narysowanie rysunku jest całkiem możliwe, ale zdecydowanie zaleca się prawidłowe znalezienie i oznaczenie wierzchołki płatków. Wierzchołki odpowiadają punkty środkowe segmentów dziedziny definicji, które w tym przykładzie mają oczywiste współrzędne kątowe . W której długości płatków Czy:

Oto naturalny wynik troskliwego ogrodnika:

Należy zauważyć, że długość płatka można łatwo wywnioskować z równania - skoro sinus jest ograniczony: , to maksymalna wartość „er” z pewnością nie przekroczy dwóch.

b) Zbudujmy linię, dane równaniem. Oczywiście długość płatka tej róży jest również równa dwa, ale przede wszystkim interesuje nas dziedzina definicji. Odpowiedni Metoda analityczna„cięcia”: sinus nie jest liczbą ujemną, gdy jest jej argumentem mieści się w zakresie od zera do „pi” włącznie, w w tym przypadku: . Dzielimy wszystkie części nierówności przez 3 i otrzymujemy pierwszy przedział:

Następnie zaczynamy od „krojenia ciasta na kawałki” rad. (60 stopni):
– segment wejdzie do domeny definicji;
– interwał – nie będzie uwzględniany;
– segment – ​​będzie pasował;
– interwał – nie będzie uwzględniany;
– segment – ​​będzie pasował;
– interwał – nie będzie uwzględniany.

Proces zostaje pomyślnie zakończony w 360 stopniach.

Zatem zakres definicji wynosi: .

Czynności wykonywane w całości lub w części są łatwe do przeprowadzenia mentalnie.

Budowa. Jeśli w poprzednim akapicie wszystko poszło dobrze z kątami prostymi i kątami 45 stopni, to tutaj będziesz musiał trochę majstrować. Znajdźmy wierzchołki płatków. Ich długość była widoczna od samego początku zadania, pozostało jedynie obliczyć współrzędne kątowe, które są równe środkom odcinków dziedziny definicyjnej:

Należy pamiętać, że pomiędzy wierzchołkami płatków muszą być równe odstępy, w tym przypadku 120 stopni.

Wskazane jest zaznaczenie rysunku w sektorach co 60 stopni (rozdzielonych zielone linie) i narysuj kierunki wierzchołków płatków (szare linie). Wygodnie jest oznaczyć same wierzchołki za pomocą kompasu - odmierz jednorazowo odległość 2 jednostki i wykonaj trzy nacięcia w narysowanych kierunkach 30, 150 i 270 stopni:

Gotowy. Rozumiem, że jest to kłopotliwe zadanie, ale jeśli chcesz wszystko mądrze ułożyć, będziesz musiał poświęcić czas.

Sformułujmy wzór ogólny: równanie postaci , jest liczbą naturalną), definiuje różę o płatkach polarnych, której długość płatka jest równa .

Na przykład równanie określa czteroliść o długości płatka wynoszącej 5 jednostek, równanie określa różę o pięciu płatkach i długości płatka wynoszącej 3 jednostki. itp.

Prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie tworzą dwie wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych X’X i Y’Y. Osie współrzędnych przecinają się w punkcie O, który nazywa się początkiem, na każdej osi wybierany jest dodatni kierunek. Dodatni kierunek osi (w prawoskrętnym układzie współrzędnych) jest wybierany w taki sposób, że przy obrocie osi X'X. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o 90°, jego dodatni kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y'Y. Cztery kąty (I, II, III, IV) utworzone przez osie współrzędnych X'X i Y'Y ​​nazywane są kątami współrzędnych (patrz rys. 1).

Położenie punktu A na płaszczyźnie wyznaczają dwie współrzędne x i y. Współrzędna x jest równa długości odcinka OB, współrzędna y jest równa długości odcinka OC w wybranych jednostkach miary. Odcinki OB i OC wyznaczają linie poprowadzone z punktu A równolegle do osi Y'Y ​​i X'X. Współrzędna x nazywana jest odciętą punktu A, współrzędna y nazywana jest rzędną punktu A. Zapisuje się ją następująco: A(x, y).

Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych I, to punkt A ma dodatnią odciętą i rzędną. Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych II, to punkt A ma ujemną odciętą i dodatnią rzędną. Jeżeli punkt A leży w kącie współrzędnych III, to punkt A ma ujemną odciętą i rzędną. Jeżeli punkt A leży w kącie IV współrzędnych, to punkt A ma dodatnią odciętą i ujemną rzędną.

Prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni tworzą trzy wzajemnie prostopadłe osie współrzędnych OX, OY i OZ. Osie współrzędnych przecinają się w punkcie O, który nazywa się początkiem, na każdej osi wybierany jest kierunek dodatni, oznaczony strzałkami i jednostka miary odcinków na osiach. Jednostki miary są takie same dla wszystkich osi. OX - oś odciętej, OY - oś rzędnych, OZ - oś zastosowania. Dodatni kierunek osi dobiera się tak, aby przy obrocie osi OX o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara jej dodatni kierunek pokrywał się z dodatnim kierunkiem osi OY, jeżeli obrót ten obserwuje się od dodatniego kierunku osi OZ. Taki układ współrzędnych nazywa się prawoskrętnym. Jeśli kciuk prawa ręka przyjąć kierunek X jako kierunek X, indeksowany jako kierunek Y, a środkowy jako kierunek Z, wówczas powstaje prawoskrętny układ współrzędnych. Podobne palce lewej ręki tworzą lewy układ współrzędnych. Niemożliwe jest połączenie prawego i lewego układu współrzędnych tak, aby odpowiednie osie pokrywały się (patrz ryc. 2).

Położenie punktu A w przestrzeni wyznaczają trzy współrzędne x, y i z. Współrzędna x jest równa długości odcinka OB, współrzędna y jest długością odcinka OC, współrzędna z jest długością odcinka OD w wybranych jednostkach miary. Odcinki OB, OC i OD wyznaczają płaszczyzny poprowadzone z punktu A równoległe do płaszczyzn odpowiednio YOZ, XOZ i XOY. Współrzędna x nazywana jest odciętą punktu A, współrzędna y nazywana jest rzędną punktu A, współrzędna z nazywana jest aplikacją punktu A. Zapisujemy ją następująco: A(a, b, c).

Orty

Prostokątny układ współrzędnych (o dowolnym wymiarze) opisuje się także zbiorem wektorów jednostkowych ustawionych zgodnie z osiami współrzędnych. Liczba wektorów jednostkowych jest równa wymiarowi układu współrzędnych i wszystkie są do siebie prostopadłe.

W przypadku trójwymiarowym takie wektory jednostkowe są zwykle oznaczane I J k Lub mi X mi y mi z. W takim przypadku w przypadku prawoskrętnego układu współrzędnych obowiązują następujące wzory z iloczynem wektorowym wektorów:

• [I J]=k ;
• [J k]=I ;
• [k I]=J .

Fabuła

Prostokątny układ współrzędnych został po raz pierwszy wprowadzony przez Kartezjusza w jego dziele „Rozprawa o metodzie” w 1637 r. Dlatego prostokątny układ współrzędnych nazywany jest również - Kartezjański układ współrzędnych. Współrzędnościowa metoda opisu obiektów geometrycznych zapoczątkowała geometrię analityczną. Do rozwoju metody współrzędnych przyczynił się także Pierre Fermat, jednak jego prace ukazały się po raz pierwszy po jego śmierci. Kartezjusz i Fermat stosowali metodę współrzędnych tylko na płaszczyźnie.

Metodę współrzędnych dla przestrzeni trójwymiarowej po raz pierwszy zastosował Leonhard Euler już w XVIII wieku.

Zobacz też

Spinki do mankietów

Fundacja Wikimedia. 2010.

• Kartezjański układ współrzędnych
• Stopień kartezjański

Zobacz, jakie „współrzędne kartezjańskie” znajdują się w innych słownikach:

WSPÓŁRZĘDNE KARTEZYNY- (kartezjański układ współrzędnych) układ współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni, zwykle o wzajemnie prostopadłych osiach i równych skalach wzdłuż osi prostokątnych współrzędnych kartezjańskich; Nazwany na cześć R. Kartezjusza... Wielki słownik encyklopedyczny

współrzędne kartezjańskie- Układ współrzędnych składający się z dwóch prostopadłych osi. Położenie punktu w takim układzie wyznacza się za pomocą dwóch liczb określających odległość od środka współrzędnych wzdłuż każdej z osi. Tematyka informacyjna... ... Przewodnik tłumacza technicznego

współrzędne kartezjańskie- (kartezjański układ współrzędnych), układ współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni, zwykle o wzajemnie prostopadłych osiach i równych skalach wzdłuż osi prostokątnych współrzędnych kartezjańskich; Nazwany na cześć R. Kartezjusza... słownik encyklopedyczny

współrzędne kartezjańskie- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: pol. Współrzędne kartezjańskie vok. kartesische Koordynator, f… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

współrzędne kartezjańskie- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Współrzędne kartezjańskie; współrzędne siatki vok. kartesische Koordynator, f rus. Współrzędne kartezjańskie, f pranc. coordonnées Cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

WSPÓŁRZĘDNE KARTEZYNY- metoda wyznaczania położenia punktów na płaszczyźnie na podstawie ich odległości od dwóch ustalonych, prostopadłych osi prostych. Koncepcję tę można już spotkać u Archimedesa i Appologisa z Pergi ponad dwa tysiące lat temu, a nawet wśród starożytnych Egipcjan. Po raz pierwszy to... ... Encyklopedia matematyczna

WSPÓŁRZĘDNE KARTEZYNY- Kartezjański układ współrzędnych [nazwany na cześć Francuzów. filozof i matematyk R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], układ współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni, zwykle o wzajemnie prostopadłych osiach i równych skalach wzdłuż osi prostokątnych D ... Wielki encyklopedyczny słownik politechniczny

WSPÓŁRZĘDNE KARTEZYNY- (Kartezjański układ współrzędnych), układ współrzędnych na płaszczyźnie lub w przestrzeni, zwykle o wzajemnie prostopadłych osiach i równych skalach wzdłuż osi prostokątnych. Nazwany na cześć R. Kartezjusza... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

WSPÓŁRZĘDNE KARTEZYNY- System pozycjonowania dowolnego punktu znajdującego się na kościach względem dwóch osi przecinających się pod kątem prostym. System ten, opracowany przez René Descartesa, stał się podstawą standardowe metody graficzna prezentacja danych. Linia pozioma… … Słownik w psychologii

Współrzędne- Współrzędne. W samolocie (po lewej) i w przestrzeni (po prawej). WSPÓŁRZĘDNE (od łacińskiego co razem i uporządkowane ordinatus), liczby określające położenie punktu na linii prostej, płaszczyźnie, powierzchni, w przestrzeni. Współrzędne to odległości... Ilustrowany słownik encyklopedyczny

Instrukcje

Zanotować operacje matematyczne w formie tekstowej i wprowadź je w polu zapytania pod adresem strona główna Witryna Google, jeśli nie możesz korzystać z kalkulatora, ale masz dostęp do Internetu. Ta wyszukiwarka posiada wbudowany wielofunkcyjny kalkulator, który jest znacznie łatwiejszy w użyciu niż jakikolwiek inny. Nie ma interfejsu z przyciskami - wszystkie dane należy wpisać w formie tekstowej w jednym polu. Na przykład, jeśli jest znany współrzędne skrajne punkty człon w trójwymiarowym układzie współrzędnych A(51,34 17,2 13,02) i A(-11,82 7,46 33,5), to współrzędne punkt środkowy człon C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Wpisując (51.34-11.82)/2 w polu zapytania wyszukiwania, następnie (17.2+7.46)/2 i (13.02+33.5)/2, możesz użyć Google, aby uzyskać współrzędne C(19,76 12,33 23,26).

Standardowe równanie okręgu pozwala znaleźć kilka ważna informacja o tej figurze, na przykład współrzędne jej środka, długość promienia. W przypadku niektórych problemów wręcz przeciwnie, należy utworzyć równanie przy użyciu podanych parametrów.

Instrukcje

Na podstawie powierzonego ci zadania określ, jakie informacje posiadasz na temat okręgu. Pamiętaj, że ostatecznym celem jest określenie współrzędnych środka i średnicy. Wszystkie Twoje działania powinny mieć na celu osiągnięcie tego konkretnego rezultatu.

Wykorzystaj dane o obecności punktów przecięcia z liniami współrzędnych lub innymi liniami. Należy pamiętać, że jeśli okrąg przechodzi przez oś odciętych, to drugi będzie miał współrzędną 0, a jeśli przechodzi przez oś rzędnych, to pierwszy. Współrzędne te pozwolą Ci znaleźć współrzędne środka okręgu, a także obliczyć promień.

Nie zapomnij o podstawowych własnościach siecznych i stycznych. W szczególności najbardziej użytecznym twierdzeniem jest to, że w punkcie styku promień i styczna tworzą kąt prosty. Pamiętaj jednak, że możesz zostać poproszony o udowodnienie wszystkich twierdzeń używanych w trakcie kursu.

Rozwiązuj najbardziej standardowe typy, aby od razu dowiedzieć się, jak wykorzystać określone dane do równania okręgu. Tak więc oprócz wspomnianych już zadań bezpośrednio podane współrzędne oraz te, w których podana jest informacja o obecności punktów przecięcia, do ułożenia równania okręgu można wykorzystać wiedzę o środku okręgu, długości cięciwy i tym, na czym ta cięciwa leży.

Aby rozwiązać, skonstruuj trójkąt równoramienny, którego podstawą będzie dana cięciwa, a równe boki będą promieniami. Kompiluj, z której łatwo znajdziesz potrzebne dane. Aby to zrobić, wystarczy skorzystać ze wzoru na znalezienie długości odcinka w płaszczyźnie.

Wideo na ten temat

Przez okrąg rozumie się figurę składającą się z wielu punktów na płaszczyźnie w jednakowej odległości od jej środka. Odległość od środka do punktów koło zwany promieniem.

Nazywa się uporządkowany układ dwóch lub trzech przecinających się osi prostopadłych do siebie, mających wspólny początek (początek współrzędnych) i wspólną jednostkę długości prostokątny kartezjański układ współrzędnych .

Ogólny kartezjański układ współrzędnych (afiniczny układ współrzędnych) niekoniecznie muszą zawierać osie prostopadłe. Na cześć francuskiego matematyka Rene Descartesa (1596-1662) nazwano właśnie taki układ współrzędnych, w którym na wszystkich osiach mierzona jest wspólna jednostka długości, a osie są proste.

Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie ma dwie osie i prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni - trzy osie. Każdy punkt na płaszczyźnie lub w przestrzeni jest zdefiniowany przez uporządkowany zbiór współrzędnych - liczb odpowiadających jednostce długości układu współrzędnych.

Należy pamiętać, że jak wynika z definicji, kartezjański układ współrzędnych występuje na linii prostej, czyli w jednym wymiarze. Wprowadzenie współrzędnych kartezjańskich na prostą jest jednym ze sposobów powiązania dowolnego punktu na linii z dobrze określoną liczbą rzeczywistą, czyli współrzędną.

Metoda współrzędnych, która pojawiła się w pracach Rene Descartesa, oznaczała rewolucyjną restrukturyzację całej matematyki. Interpretacja stała się możliwa równania algebraiczne(lub nierówności) w postaci obrazów geometrycznych (wykresów) i odwrotnie, szukać rozwiązań problemów geometrycznych za pomocą wzorów analitycznych i układów równań. Tak, nierówność z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOj i znajduje się nad tą płaszczyzną o 3 jednostki.

Używając kartezjańskiego układu współrzędnych, przynależność punktu do danej krzywej odpowiada faktowi, że liczby X I y spełnić jakieś równanie. Zatem współrzędne punktu na okręgu mającym środek w danym punkcie ( A; B) spełniają równanie (X - A)² + ( y - B)² = R² .

Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie

Dwie prostopadłe osie na płaszczyźnie o wspólnym początku i tej samej formie jednostki skali Kartezjański prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie . Jedna z tych osi nazywa się osią Wół, Lub oś x , drugi - oś Oj, Lub oś y . Osie te nazywane są również osiami współrzędnych. Oznaczmy przez MX I My odpowiednio rzut dowolnego punktu M na osi Wół I Oj. Jak uzyskać projekcje? Przejdźmy przez ten punkt M Wół. Ta linia prosta przecina oś Wół w tym punkcie MX. Przejdźmy przez ten punkt M linia prosta prostopadła do osi Oj. Ta linia prosta przecina oś Oj w tym punkcie My. Pokazano to na poniższym obrazku.

X I y zwrotnica M odpowiednio nazwiemy wartości skierowanych segmentów OMX I OMy. Wartości tych skierowanych segmentów są obliczane odpowiednio jako X = X0 - 0 I y = y0 - 0 . współrzędne kartezjańskie X I y zwrotnica M odcięta I rzędna . Fakt, że chodzi M ma współrzędne X I y, oznacza się następująco: M(X, y) .

Osie współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery kwadrant , których numerację pokazano na poniższym rysunku. Pokazuje także rozmieszczenie znaków współrzędnych punktów w zależności od ich położenia w danej ćwiartce.

Oprócz prostokątnych współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie często uwzględnia się także biegunowy układ współrzędnych. O sposobie przejścia z jednego układu współrzędnych do drugiego - na lekcji biegunowy układ współrzędnych .

Prostokątny kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni

Współrzędne kartezjańskie w przestrzeni wprowadza się całkowicie analogicznie do współrzędnych kartezjańskich w płaszczyźnie.

Trzy wzajemnie prostopadłe osie w przestrzeni (osie współrzędnych) o wspólnym początku O i przy tej samej jednostce skali tworzą Kartezjański prostokątny układ współrzędnych w przestrzeni .

Jedna z tych osi nazywa się osią Wół, Lub oś x , drugi - oś Oj, Lub oś y , trzecia - oś Oz, Lub zastosowanie osi . Pozwalać MX, My Mz- rzuty dowolnego punktu M miejsce na osi Wół , Oj I Oz odpowiednio.

Przejdźmy przez ten punkt M WółWół w tym punkcie MX. Przejdźmy przez ten punkt M płaszczyzna prostopadła do osi Oj. Ta płaszczyzna przecina oś Oj w tym punkcie My. Przejdźmy przez ten punkt M płaszczyzna prostopadła do osi Oz. Ta płaszczyzna przecina oś Oz w tym punkcie Mz.

Współrzędne prostokątne kartezjańskie X , y I z zwrotnica M odpowiednio nazwiemy wartości skierowanych segmentów OMX, OMy I OMz. Wartości tych skierowanych segmentów są obliczane odpowiednio jako X = X0 - 0 , y = y0 - 0 I z = z0 - 0 .

współrzędne kartezjańskie X , y I z zwrotnica M są odpowiednio nazywane odcięta , rzędna I zastosować .

Osie współrzędnych wzięte parami znajdują się w płaszczyznach współrzędnych xOj , yOz I zOx .

Zagadnienia dotyczące punktów w kartezjańskim układzie współrzędnych

Przykład 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś odciętych.

Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś odciętej znajduje się na samej osi odciętej, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu i rzędną (współrzędną na osi Oj, którego oś x przecina w punkcie 0), równy zeru. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Przykład 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów na oś rzędnych.

Rozwiązanie. Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś rzędnych znajduje się na samej osi rzędnych, czyli osi Oj, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu i odciętą (współrzędną na osi Wół, który przecina oś rzędnych w punkcie 0), który jest równy zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne tych punktów na osi rzędnych:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Przykład 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Wół .

Wół Wół Wół, będzie miał tę samą odciętą co dany punkt i rzędną równą wartości bezwzględnej rzędnej danego punktu i przeciwną do znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Wół :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Samodzielnie rozwiązuj problemy, korzystając z kartezjańskiego układu współrzędnych, a następnie spójrz na rozwiązania

Przykład 4. Określ, w których ćwiartkach (ćwiartki, rysunek z ćwiartkami - na końcu akapitu „Prostokątny kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie”) może znajdować się punkt M(X; y) , Jeśli

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − y = 0 ;

4) X + y = 0 ;

5) X + y > 0 ;

6) X + y < 0 ;

7) X − y > 0 ;

8) X − y < 0 .

Przykład 5. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(A; B) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj .

Kontynuujmy wspólne rozwiązywanie problemów

Przykład 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj .

Rozwiązanie. Obróć o 180 stopni wokół osi Oj odcinek kierunkowy od osi Oj do tego momentu. Na rysunku, na którym wskazano ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny do danego względem osi Oj, będzie miał tę samą rzędną co dany punkt i odciętą równą wartości bezwzględnej odciętej danego punktu i przeciwną do znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem osi Oj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Przykład 7. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podane są na płaszczyźnie

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem początku układu współrzędnych.

Rozwiązanie. Obracamy skierowany odcinek biegnący od początku do zadanego punktu o 180 stopni wokół początku układu współrzędnych. Na rysunku, na którym zaznaczono ćwiartki płaszczyzny, widzimy, że punkt symetryczny do danego punktu względem początku współrzędnych będzie miał odciętą i rzędną równą wartości bezwzględnej odciętej i rzędnej danego punktu, ale znak przeciwny. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem początku układu współrzędnych:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Przykład 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Znajdź współrzędne rzutów tych punktów:

1) w samolocie Oksy ;

2) w samolocie Oxz ;

3) do samolotu Oj ;

4) na osi odciętej;

5) na osi rzędnych;

6) na osi zastosowania.

1) Rzut punktu na płaszczyznę Oksy znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a zatem ma odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu oraz aplikację równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oksy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Rzut punktu na płaszczyznę Oxz znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a zatem ma odciętą i aplikację równą odciętej i aplikacji danego punktu oraz rzędną równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Rzut punktu na płaszczyznę Oj znajduje się na samej tej płaszczyźnie, a zatem ma rzędną i zastosowanie równe rzędnej i zastosowaniu danego punktu oraz odciętą równą zero. Otrzymujemy więc następujące współrzędne rzutów tych punktów na Oj :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Jak wynika z części teoretycznej tej lekcji, rzut punktu na oś odciętej znajduje się na samej osi odciętej, czyli osi Wół, a zatem ma odciętą równą odciętej samego punktu, a rzędna i zastosowanie rzutu są równe zeru (ponieważ oś rzędnej i zastosowania przecinają odciętą w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś odciętych:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Rzut punktu na oś rzędnych znajduje się na samej osi rzędnych, czyli osi Oj, a zatem ma rzędną równą rzędnej samego punktu, a odcięta i aplikacja rzutu są równe zeru (ponieważ osie odciętych i zastosowania przecinają oś rzędnych w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś rzędnych:

Ay(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Rzut punktu na oś zastosowania znajduje się na samej osi zastosowania, czyli osi Oz, a zatem ma aplikację równą aplikacji samego punktu, a odcięta i rzędna rzutu są równe zeru (ponieważ oś odciętych i rzędnych przecinają oś aplikacji w punkcie 0). Otrzymujemy następujące współrzędne rzutów tych punktów na oś zastosowania:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Przykład 9. W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty podawane są w przestrzeni

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Znajdź współrzędne punktów symetrycznych do tych punktów względem:

1) samolot Oksy ;

2) samoloty Oxz ;

3) samoloty Oj ;

4) osie odciętych;

5) osie rzędnych;

6) zastosować osie;

7) początek współrzędnych.

1) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oksy Oksy, będzie miał odciętą i rzędną równą odciętej i rzędnej danego punktu oraz aplikatę równą wielkości aplikatowi danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oksy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oxz na tę samą odległość. Z rysunku przedstawiającego przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt jest symetryczny do danego względem osi Oxz, będzie miał odciętą i aplikację równą odciętej i aplikacji danego punktu oraz rzędną równą wielkości rzędnej danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Przesuń” punkt na drugą stronę osi Oj na tę samą odległość. Z rysunku przedstawiającego przestrzeń współrzędnych widzimy, że punkt jest symetryczny do danego względem osi Oj, będzie miał rzędną i aplikatę równą rzędnej i aplikatowi danego punktu oraz odciętą o wartości równej odciętej danego punktu, ale o przeciwnym znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem płaszczyzny Oj :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Przez analogię do symetrycznych punktów na płaszczyźnie i punktów w przestrzeni, które są symetryczne względem danych względem płaszczyzn, zauważamy, że w przypadku symetrii względem jakiejś osi kartezjańskiego układu współrzędnych w przestrzeni, współrzędna na osi względem którym podana jest symetria, zachowa swój znak, a współrzędne na pozostałych dwóch osiach będą miały tę samą wartość bezwzględną, co współrzędne danego punktu, ale przeciwny znak.

4) Odcięta zachowa swój znak, ale rzędna i zastosowanie zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi odciętych:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Rzędna zachowa swój znak, ale odcięta i aplikacja zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi rzędnych:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Zgłoszenie zachowa swój znak, ale odcięta i rzędna zmienią znaki. Otrzymujemy zatem następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem osi zastosowania:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Analogicznie do symetrii w przypadku punktów na płaszczyźnie, w przypadku symetrii względem początku współrzędnych, wszystkie współrzędne punktu symetrycznego do danego punktu będą w wartości bezwzględnej równe współrzędnym danego punktu, ale naprzeciwko nich w znaku. Otrzymujemy więc następujące współrzędne punktów symetrycznych względem danych względem początku układu współrzędnych.