Wzór na znalezienie kąta wpisanego. Koło. Kąt środkowy i wpisany

To jest kąt utworzony przez dwa akordy, mający swój początek w jednym punkcie okręgu. Mówi się, że jest to kąt wpisany odpoczywa na łuku zawartym pomiędzy jego bokami.

Kąt wpisany równy połowie łuku, na którym spoczywa.

Innymi słowy, kąt wpisany zawiera tyle stopni kątowych, minut i sekund, ile stopnie łuku, minuty i sekundy zawarte są w połowie łuku, na którym się opiera. Aby to uzasadnić, przeanalizujmy trzy przypadki:

Pierwszy przypadek:

Centrum O znajduje się z boku kąt wpisany ABC. Rysując promień AO, otrzymujemy ΔABO, w nim OA = OB (jako promienie) i odpowiednio ∠ABO = ∠BAO. W związku z tym trójkąt, kąt AOC - zewnętrzny. A to oznacza, że ​​jest równy sumie kątów ABO i BAO, czyli równy podwójnemu kątowi ABO. Zatem ∠ABO jest równe połowie kąt centralny AOC. Ale ten kąt jest mierzony łukiem AC. Oznacza to, że kąt wpisany ABC jest mierzony przez połowę łuku AC.

Drugi przypadek:

Centrum O znajduje się pomiędzy bokami kąt wpisany ABC Po narysowaniu średnicy BD dzielimy kąt ABC na dwa kąty, z których zgodnie z pierwszym przypadkiem jeden jest mierzony przez połowę łuki AD, a druga połowa łuku CD. I odpowiednio mierzony jest kąt ABC (AD+DC) /2, tj. 1/2 prądu przemiennego.

Trzeci przypadek:

Centrum O znajduje się na zewnątrz kąt wpisany ABC. Rysując średnicę BD, będziemy mieli: ∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Ale kąty ABD i CBD mierzone są na podstawie wcześniej uzasadnionej połowy łuk AD i CD. A ponieważ ∠ABC mierzy się za pomocą (AD-CD)/2, czyli połowy łuku AC.

Wniosek 1. Wszystkie oparte na tym samym łuku są takie same, czyli równe sobie. Ponieważ każdy z nich jest mierzony przez połowę tego samego łuki .

Konsekwencja 2. Kąt wpisany, w oparciu o średnicę - prosty kąt. Ponieważ każdy taki kąt jest mierzony przez pół półkola i odpowiednio zawiera 90°.

Dziś przyjrzymy się innemu rodzajowi problemów 6 - tym razem z okręgiem. Wielu uczniów ich nie lubi i uważa je za trudne. I zupełnie na próżno, ponieważ takie problemy zostały rozwiązane podstawowy, jeśli znasz pewne twierdzenia. Albo w ogóle nie mają odwagi, jeśli ich nie znasz.

Zanim opowiem o głównych właściwościach, przypomnę definicję:

Kąt wpisany to taki, którego wierzchołek leży na samym okręgu i którego boki przecinają cięciwę na tym okręgu.

Kąt środkowy to dowolny kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu. Jego boki również przecinają ten okrąg i rzeźbią na nim cięciwę.

Zatem pojęcia kąta wpisanego i środkowego są nierozerwalnie związane z okręgiem i znajdującymi się w nim akordami. A teraz główne stwierdzenie:

Twierdzenie. Kąt środkowy jest zawsze dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Pomimo prostoty stwierdzenia istnieje cała klasa problemów 6, które można za jego pomocą rozwiązać – i nic więcej.

Zadanie. Znajdź ostry kąt wpisany oparty na cięciwie równej promieniowi okręgu.

Niech AB będzie rozważanym cięciwą, O środkiem okręgu. Dodatkowa konstrukcja: OA i OB to promienie okręgu. Otrzymujemy:

Rozważmy trójkąt ABO. W nim AB = OA = OB - wszystkie boki są równe promieniowi okręgu. Zatem trójkąt ABO jest równoboczny i wszystkie w nim kąty mają po 60°.

Niech M będzie wierzchołkiem kąta wpisanego. Ponieważ kąty O i M opierają się na tym samym łuku AB, kąt wpisany M jest 2 razy mniejszy od kąta środkowego O. Mamy:

M = O: 2 = 60: 2 = 30

Zadanie. Kąt środkowy jest o 36° większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku koła. Znajdź kąt wpisany.

Wprowadźmy następującą notację:

1. AB jest cięciwą okręgu;
2. Punkt O jest środkiem okręgu, więc kąt AOB jest kątem środkowym;
3. Punkt C jest wierzchołkiem kąta wpisanego ACB.

Ponieważ szukamy kąta wpisanego ACB, oznaczmy go ACB = x. Wtedy kąt środkowy AOB wynosi x + 36. Z drugiej strony kąt środkowy jest 2 razy większy od kąta wpisanego. Mamy:

AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.

Zatem znaleźliśmy kąt wpisany AOB - wynosi on 36°.

Okrąg jest kątem 360°

Po przeczytaniu podtytułu doświadczony czytelnik prawdopodobnie powie teraz: „Ugh!” Rzeczywiście porównanie koła z kątem nie jest całkowicie poprawne. Aby zrozumieć o czym mówimy, spójrz na klasyczny okrąg trygonometryczny:

Do czego służy to zdjęcie? A poza tym pełny obrót to kąt 360 stopni. A jeśli podzielisz go, powiedzmy, na 20 równych części, wówczas rozmiar każdej z nich będzie wynosić 360: 20 = 18 stopni. To jest dokładnie to, czego potrzeba do rozwiązania problemu B8.

Punkty A, B i C leżą na okręgu i dzielą go na trzy łuki, których miary stopni są w stosunku 1: 3: 5. Znajdź większy kąt trójkąta ABC.

Najpierw znajdźmy miarę stopnia każdego łuku. Niech mniejszy będzie x. Na rysunku łuk ten oznaczony jest jako AB. Następnie pozostałe łuki - BC i AC - można wyrazić w postaci AB: łuk BC = 3x; AC = 5x. W sumie łuki te dają 360 stopni:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.

Rozważmy teraz duży łuk AC, który nie zawiera punktu B. Łuk ten, podobnie jak odpowiadający mu kąt środkowy AOC, wynosi 5x = 5 · 40 = 200 stopni.

Kąt ABC jest największym ze wszystkich kątów w trójkącie. Jest to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy AOC. Oznacza to, że kąt ABC jest 2 razy mniejszy od AOC. Mamy:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

To będzie miara stopnia większy kąt w trójkącie ABC.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Wiele osób zapomina o tym twierdzeniu. Ale na próżno, ponieważ bez tego niektórych problemów B8 w ogóle nie da się rozwiązać. Dokładniej, są one rozwiązywane, ale przy takiej liczbie obliczeń, że wolisz zasnąć, niż dotrzeć do odpowiedzi.

Twierdzenie. Środek okręgu opisanego trójkąt prostokątny, leży pośrodku przeciwprostokątnej.

Co wynika z tego twierdzenia?

1. Środek przeciwprostokątnej jest w jednakowej odległości od wszystkich wierzchołków trójkąta. Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia;
2. Mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej dzieli pierwotny trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. To jest dokładnie to, czego potrzeba do rozwiązania problemu B8.

W trójkącie ABC rysujemy środkową CD. Kąt C ma 90°, a kąt B 60°. Znajdź kąt ACD.

Ponieważ kąt C wynosi 90°, trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Okazuje się, że CD to mediana poprowadzona do przeciwprostokątnej. Oznacza to, że trójkąty ADC i BDC są równoramienne.

W szczególności rozważ trójkąt ADC. W nim AD = CD. Ale w trójkącie równoramiennym kąty u podstawy są równe - patrz „Zadanie B8: Odcinki linii i kąty w trójkątach”. Dlatego pożądany kąt ACD = A.

Pozostaje więc dowiedzieć się, jaki jest kąt A. Aby to zrobić, wróćmy ponownie do pierwotnego trójkąta ABC. Oznaczmy kąt A = x. Ponieważ suma kątów w dowolnym trójkącie wynosi 180°, mamy:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.

Oczywiście ostatni problem można rozwiązać inaczej. Na przykład łatwo udowodnić, że trójkąt BCD jest nie tylko równoramienny, ale równoboczny. Zatem kąt BCD wynosi 60 stopni. Zatem kąt ACD wynosi 90 − 60 = 30 stopni. Jak widać, można użyć różnych trójkątów równoramiennych, ale odpowiedź zawsze będzie taka sama.

Najczęściej proces przygotowania do Unified State Exam z matematyki rozpoczyna się od powtórzenia podstawowych definicji, wzorów i twierdzeń, w tym na temat „Kąty środkowe i wpisane w okręgu”. Z reguły ta sekcja planimetrii jest badana Liceum. Nic dziwnego, że wielu uczniów staje przed koniecznością powtarzania podstawowe koncepcje oraz twierdzenia na temat „Kąt środkowy koła”. Po zrozumieniu algorytmu rozwiązywania takich problemów uczniowie będą mogli liczyć na uzyskanie konkurencyjnych wyników na podstawie wyników zdania ujednoliconego egzaminu państwowego.

Jak łatwo i skutecznie przygotować się do zdania egzaminu certyfikacyjnego?

Podczas nauki przed zdaniem jednolitego egzaminu państwowego wielu uczniów szkół średnich staje przed problemem znalezienia niezbędnych informacji na temat „Kąty środkowe i wpisane w okrąg”. Nie zawsze podręcznik szkolny dostępne od ręki. A szukanie receptur w Internecie czasami zajmuje dużo czasu.

Nasz zespół pomoże Ci „podkręcić” swoje umiejętności i poszerzyć wiedzę w tak trudnym dziale geometrii jakim jest planimetria portalu edukacyjnego. „Szkolkowo” oferuje uczniom szkół średnich i ich nauczycielom nowy sposób budowania procesu przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego. Cały podstawowy materiał jest prezentowany przez naszych specjalistów w najbardziej przystępnej formie. Po zapoznaniu się z informacjami zawartymi w dziale „Podstawy teoretyczne” uczniowie dowiedzą się, jakie właściwości ma kąt środkowy okręgu, jak znaleźć jego wartość itp.

Następnie, w celu utrwalenia zdobytej wiedzy i praktycznych umiejętności, zalecamy wykonanie odpowiednich ćwiczeń. Duży wybór zadania polegające na znalezieniu wartości kąta wpisanego w okrąg i innych parametrów znajdują się w dziale „Katalog”. Do każdego ćwiczenia nasi eksperci rozpisali szczegółowe rozwiązanie i wskazali poprawną odpowiedź. Lista zadań na stronie jest stale uzupełniana i aktualizowana.

Uczniowie szkół średnich mogą przygotować się do egzaminu Unified State Exam, ćwicząc na przykład ćwiczenia polegające na obliczaniu wielkości kąta środkowego i długości łuku koła w Internecie z dowolnego regionu Rosji.

W razie potrzeby wykonane zadanie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby wrócić do niego później i jeszcze raz przeanalizować zasadę jego rozwiązania.

Pojęcie kąta wpisanego i środkowego

Najpierw wprowadźmy pojęcie kąta środkowego.

Notatka 1

Zauważ to miara stopnia kąta środkowego jest równa mierze stopnia łuku, na którym się on opiera.

Wprowadźmy teraz pojęcie kąta wpisanego.

Definicja 2

Kąt, którego wierzchołek leży na okręgu i którego boki przecinają ten okrąg, nazywa się kątem wpisanym (ryc. 2).

Rysunek 2. Kąt wpisany

Twierdzenie o kącie wpisanym

Twierdzenie 1

Stopień miary kąta wpisanego jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym jest on oparty.

Dowód.

Otrzymamy okrąg ze środkiem w punkcie $O$. Oznaczmy kąt wpisany $ACB$ (rys. 2). Możliwe są trzy następujące przypadki:

• Promień $CO$ pokrywa się z dowolną stroną kąta. Niech to będzie bok $CB$ (ryc. 3).

Rysunek 3.

W tym przypadku łuk $AB$ jest mniejszy niż $(180)^(()^\circ )$, zatem kąt środkowy $AOB$ jest równy łukowi $AB$. Ponieważ $AO=OC=r$, to trójkąt $AOC$ jest równoramienny. Oznacza to, że kąty podstawowe $CAO$ i $ACO$ są sobie równe. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że:

• Wiązka $CO$ dzieli się kącik wewnętrzny pod dwoma kątami. Niech przecina okrąg w punkcie $D$ (rys. 4).

Rysunek 4.

Dostajemy

• Promień $CO$ nie dzieli kąta wewnętrznego na dwa kąty i nie pokrywa się z żadnym z jego boków (ryc. 5).

Rysunek 5.

Rozważmy osobno kąty $ACD$ i $DCB$. Zgodnie z tym, co zostało udowodnione w punkcie 1, otrzymujemy

Dostajemy

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dajmy konsekwencje z tego twierdzenia.

Wniosek 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.

Wniosek 2: Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.

Instrukcje

Jeżeli znany jest promień (R) okręgu i długość łuku (L) odpowiadająca pożądanemu kątowi środkowemu (θ), można go obliczyć zarówno w stopniach, jak i radianach. Suma jest określana wzorem 2*π*R i odpowiada kątowi centralnemu wynoszącemu 360° lub dwóm liczbom Pi, jeśli zamiast stopni stosuje się radiany. Dlatego należy wyjść z proporcji 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Wyraź z niego kąt środkowy w radianach θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R lub stopniach θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) i oblicz, korzystając z otrzymanego wzoru.

Na podstawie długości cięciwy (m) łączącej punkty wyznaczające kąt środkowy (θ) można również obliczyć jej wartość, jeśli znany jest promień (R) okręgu. Aby to zrobić, rozważmy trójkąt utworzony przez dwa promienie i . To jest trójkąt równoramienny, wszyscy są znani, ale trzeba znaleźć kąt naprzeciwko podstawy. Sinus jego połowy jest równy stosunkowi długości podstawy - cięciwy - do dwukrotności długości boku - promienia. Dlatego do obliczeń użyj odwrotnej funkcji sinus - arcsine: θ = 2*arcsin(½*m/R).

Kąt środkowy można określić w ułamkach obrotu lub na podstawie kąta obrotu. Na przykład, jeśli chcesz znaleźć kąt środkowy odpowiadający jednej czwartej pełnego obrotu, podziel 360° przez cztery: θ = 360°/4 = 90°. Ta sama wartość w radianach powinna wynosić 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Kąt rozłożony jest równy połowie pełnego obrotu, dlatego np. kąt środkowy odpowiadający jego czwartej będzie połową wartości obliczonych powyżej zarówno w stopniach, jak i radianach.

Odwrotność sinusa nazywa się funkcją trygonometryczną arcsinus. Może przyjmować wartości w granicach połowy liczby Pi, zarówno dodatnie, jak i ujemne. zła strona mierzona w radianach. Mierząc w stopniach, wartości te będą odpowiednio mieścić się w zakresie od -90° do +90°.

Instrukcje

Niektórych „okrągłych” wartości nie trzeba obliczać, łatwiej je zapamiętać. Na przykład: - jeśli argument funkcji równy zeru, to wartość jego arcsinusa również wynosi zero; - od 1/2 równa się 30° lub 1/6 Pi, jeśli jest mierzona; - arcsinus -1/2 jest równy -30° lub -1/ 6 liczby Pi w - arcsinus od 1 jest równy 90° lub 1/2 Pi w radianach - arcsinus -1 jest równy -90° lub -1/2 Pi w radianach;

Aby zmierzyć wartości tej funkcji na podstawie innych argumentów, najłatwiej jest skorzystać ze standardowego kalkulatora Windows, jeśli taki masz pod ręką. Aby rozpocząć, otwórz menu główne przyciskiem „Start” (lub naciskając klawisz WIN), przejdź do sekcji „Wszystkie programy”, a następnie do podsekcji „Akcesoria” i kliknij „Kalkulator”.

Przełącz interfejs kalkulatora na tryb pracy, który pozwala na obliczenia funkcje trygonometryczne. Aby to zrobić, otwórz w jego menu sekcję „Widok” i wybierz „Inżynieria” lub „Naukowe” (w zależności od rodzaju system operacyjny).

Wprowadź wartość argumentu, z którego ma zostać obliczony arcus tangens. Można to zrobić klikając myszką przyciski interfejsu kalkulatora, naciskając klawisze , lub kopiując wartość (CTRL + C), a następnie wklejając ją (CTRL + V) do pola wejściowego kalkulatora.

Wybierz jednostki miary, w których chcesz uzyskać wynik obliczenia funkcji. Poniżej pola wejściowego znajdują się trzy opcje, z których należy wybrać (klikając myszką) jedną - , radiany lub rady.

Zaznacz pole wyboru odwracające funkcje wskazane na przyciskach interfejsu kalkulatora. Obok krótki napis Inv.

Kliknij przycisk grzechu. Kalkulator odwróci związaną z nim funkcję, wykona obliczenia i przedstawi wynik w określonych jednostkach.

Wideo na ten temat

Jednym z typowych problemów geometrycznych jest obliczenie pola odcinka kołowego - części koła ograniczonej cięciwą i odpowiadającej cięciwy łukiem koła.

Pole segmentu kołowego jest równe różnicy między obszarem odpowiedniego sektora kołowego a obszarem trójkąta utworzonego przez promienie sektora odpowiadającego segmentowi i cięciwie ograniczającej segment.

Przykład 1

Długość cięciwy opierającej się na okręgu jest równa wartości a. Miara stopnia łuku odpowiadającego cięciwie wynosi 60°. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie

Trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę jest równoramienny, więc wysokość narysowana od wierzchołka kąta środkowego do boku trójkąta wynosi utworzony przez akord, będzie także dwusieczną kąta środkowego, dzielącą go na pół, i środkową, dzielącą cięciwę na pół. Wiedząc, że sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do przeciwprostokątnej, możemy obliczyć promień:

Grzech 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio S▲=√3/4*a².

Pole odcinka, obliczone jako Sreg = Sc – S▲, jest równe:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Zastępowanie wartość numeryczna Zamiast wartości a można łatwo obliczyć wartość liczbową pola powierzchni segmentu.

Przykład 2

Promień okręgu jest równy a. Miara stopnia łuku odpowiadającego segmentowi wynosi 60°. Znajdź obszar segmentu kołowego.

Rozwiązanie:

Pole sektora odpowiadające danemu kątowi można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Pole trójkąta odpowiadające sektorowi oblicza się w następujący sposób:

S▲=1/2*ah, gdzie h jest wysokością narysowaną od wierzchołka kąta środkowego do cięciwy. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Odpowiednio S▲=√3/4*a².

I wreszcie pole odcinka, obliczone jako Sreg = Sc - S▲, jest równe:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Rozwiązania w obu przypadkach są niemal identyczne. Możemy zatem stwierdzić, że aby obliczyć pole odcinka w najprostszym przypadku wystarczy znać wartość kąta odpowiadającego łukowi odcinka oraz jeden z dwóch parametrów – albo promień okręgu, albo długość cięciwy opierającej się na łuku okręgu tworzącego odcinek.

Źródła:

• Segment - geometria