Geometryczne znaczenie pochodnej. Prezentacja z algebry „Pochodna funkcji. Znaczenie geometryczne pochodnej” Praktyczna praca badawcza Znaczenie geometryczne pochodnej

„Wzory trygonometryczne” – Cos x. Sałata. Wzory na przeliczenie sumy na iloczyn Grzech (x+y). Formuły z podwójnym argumentem. Formuły konwersji szturchać. w ilości. Formuły dodawania. Trygonometria. Tg. Grzech x. Stosunek pomiędzy f-s. Żałosny pół-argument. Równania trygonometryczne.

„Obliczanie pola trapezu krzywoliniowego” - Obszary trapezu krzywoliniowego. Wzory do obliczania powierzchni. Jaką figurę nazywa się zakrzywionym trapezem? Powtórzenie teorii. Powierzchnia zakrzywionego trapezu. Znajdź funkcję pierwotną funkcji. Które z figur są trapezami krzywoliniowymi. Rozwiązanie. Szablony wykresów funkcji. Przygotowanie do egzaminów. Figura, która nie jest zakrzywionym trapezem.

„Określ, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta” - Funkcje nieparzyste. Nie jest równa. Funkcjonować. Wykres funkcji nieparzystej. Czy funkcja jest parzysta? Kolumna. Wykres funkcji parzystej. Nawet funkcje. Funkcja jest dziwna. Symetria względem osi. Przykład. Czy funkcja jest nieparzysta? To nie jest dziwne. Funkcje parzyste i nieparzyste.

„Logarity i ich własności” – Właściwości stopni. Tablice logarytmiczne. Własności logarytmów. Historia logarytmów. Zapoznaj się z definicją logarytmu. Oblicz. Zastosowanie badanego materiału. Sprawdź to. Definicja logarytmu. Odkrycie logarytmów. Znajdź drugą połowę wzoru.

„Nierówności logarytmiczne” klasa 11” – Zastosowanie twierdzenia. log26… log210 log0.36… log0.310. Definicja. > ,T.K. 6<10 и функция у=log0,3x - убывающая. Повторить свойства логарифмической функции. График какой функции изображен на рисунке? Сравните числа: Логарифмические неравенства. < , Т.К. 6<10 и функция у=log2x - возрастающая. Найдите область определения функции: Если а>1, to loga f(x)>loga g(x)? Jeśli 0<а<1, то logа f(x)>loga g(x)?.

„Wiele funkcji pierwotnych” – funkcja pierwotna. Wybierz pierwotną funkcję. Określenie poziomu wiedzy. Rozwiązanie nowego typu zadania. Badanie frontalne. Sprawdzanie postępu. Kontrola wyjścia. Niezależna praca edukacyjna. Pojęcie integracji. Ogólny widok prymitywów. Formuły. System oceny.

, Geometryczne znaczenie pochodnej

Typ lekcji: nauka nowego materiału.

Cel lekcji: dowiedzieć się, jakie jest znaczenie geometryczne pochodnej, wyprowadzić równanie stycznej do wykresu funkcji.

Zadanie poznawcze: wyrobić sobie pojęcie o znaczeniu geometrycznym pochodnej, umiejętność ułożenia równania stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie, znaleźć współczynnik kątowy stycznej do wykresu funkcja, kąt pomiędzy styczną do wykresu a osią Wół.

Zadanie rozwojowe: dalsze kształtowanie umiejętności i zdolności do pracy z tekstem naukowym, umiejętności analizowania informacji, umiejętności ich systematyzacji, oceny i wykorzystania; rozwój logicznego myślenia, świadome postrzeganie materiałów edukacyjnych.

Zadanie edukacyjne: zwiększenie zainteresowania procesem uczenia się i aktywnego postrzegania materiału edukacyjnego, rozwijanie umiejętności komunikacyjnych do pracy w parach i grupach.

Zadanie praktyczne: rozwijanie umiejętności krytycznego myślenia w zakresie myślenia twórczego, analitycznego, spójnego i ustrukturyzowanego, rozwijanie umiejętności samokształcenia.

Forma lekcji: lekcja problemowa z wykorzystaniem technologii do rozwoju krytycznego myślenia (TRKM).

Wykorzystana technologia: technologia rozwijania krytycznego myślenia, technologia pracy zespołowej

Stosowane techniki: „Koszyk pomysłów”, „Pytania grube i cienkie”, zdania prawdziwe i fałszywe, WSTAW, klaster, „Sześć myślących kapeluszy”.

Wyposażenie: prezentacja PowerPoint, tablica interaktywna, materiały informacyjne (kartki, materiały tekstowe, tabele), kwadratowe kartki papieru,

Podczas zajęć

Etap połączenia:

1. Wprowadzenie nauczyciela.

Pracujemy nad opanowaniem tematu „Pochodna funkcji”. Masz już wiedzę i umiejętności w zakresie technik różnicowania. Ale dlaczego konieczne jest badanie pochodnej funkcji?

„Kosz pomysłów”.

Zaproponuj, gdzie można wykorzystać zdobytą wiedzę?

Uczniowie zgłaszają swoje pomysły, które zapisują na tablicy. Otrzymujemy klaster, który pod koniec lekcji może znacznie się rozgałęziać.

Jak widać, nie mamy jednoznacznej odpowiedzi na to pytanie. Dziś postaramy się częściowo odpowiedzieć na to pytanie. Tematem naszej lekcji jest „Geometryczne znaczenie pochodnych”.

Motywacja do działania.

Z otwartego banku zadań na stronie FIPI, materiałów przygotowujących do egzaminu Unified State Exam, wybrałem kilka zadań, które zawierają terminy „funkcja” i „pochodna”. Są to zadania B8. Leżą przed tobą na biurkach.

Przykłady zadań B8. Ćwiczenia. Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji y = f(x) i styczne do nich w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Czy możesz zaproponować sposób rozwiązania tych zadań? (NIE)

Dziś dowiemy się, jak rozwiązywać takie i podobne zadania.

2. Aktualizowanie podstawowej wiedzy i umiejętności.

Pracuj w parach „Utwórz parę”. Załącznik nr 1

Przed tobą znajduje się stół. Funkcje i ich pochodne są zapisane w sposób chaotyczny w komórkach tabeli. Dla każdej funkcji znajdź pochodną i zapisz zgodność numerów komórek.

Godziny pracy

• Każdy uczeń pracuje samodzielnie przez 2 minuty.
• 2 minuty – praca w parach. Omówcie wyniki i zapiszcie odpowiedzi na kartce.
• 1 minuta – sprawdź pracę.

1. Co było łatwe, a co nie wyszło?
2. Znalezienie pochodnych jakich funkcji sprawiało trudności?

3. Pracuj ze słownikiem lekcji.

Słownictwo lekcji: pochodna; funkcja różniczkowalna w punkcie; funkcja liniowa, wykres funkcji liniowej, nachylenie prostej, styczna do wykresu, tangens kąta w trójkącie prostokątnym, wartości tangensów kątów (ostry, rozwarty).

Chłopaki, zadajcie sobie nawzajem pytania, używając słownictwa co najmniej 4 pytania. Pytania nie powinny wymagać odpowiedzi „tak” lub „nie”.

Następnie słuchamy po jednym pytaniu i odpowiedzi z każdej pary, pytania nie powinny się powtarzać.

Na swoich stołach macie karty z pytaniami. Wszystkie zaczynają się od słów „Czy wierzysz, że…”

Odpowiedź na to pytanie może brzmieć tylko „tak” lub „nie”. Jeśli „tak”, to po prawej stronie pytania w pierwszej kolumnie postaw znak „+”, jeśli „nie”, to znak „-”. Jeżeli masz wątpliwości, postaw znak „?”.

Pracujcie w parach. Czas działania 3 minuty. (Załącznik nr 2)

Po wysłuchaniu odpowiedzi uczniów następuje wypełnienie pierwszej kolumny tabeli podsumowującej na tablicy.

Etap zrozumienia treści (10 min.).

Podsumowując pracę pytaniami z tabeli, nauczyciel przygotowuje uczniów na założenie, że odpowiadając na pytania, nie wiemy jeszcze, czy mamy rację, czy nie.

Zadanie grupowe. Odpowiedzi na pytania można znaleźć studiując tekst §8 s. 84-87 (lub proponowane arkusze z wyodrębnieniem materiału akapitowego, na których można swobodnie sporządzać odręczne notatki), stosując technikę INSERT - metoda semantycznego oznaczania tekstu.

V - już wiedziałem

– – myślałem inaczej

nie zrozumiałem)

Omówienie tekstu paragrafu §8.

Co już wiedziałeś, co jest dla Ciebie nowe, a czego nie zrozumiałeś?

Dyskusja, wyjaśnianie tego, co nie jest rozumiane.

Grupowe odpowiedzi na pytania:

Jaki znak ma f „(x 0)?

Etap refleksji. Wstępne podsumowanie.

Wróćmy do pytań poruszonych na początku lekcji i omówmy uzyskane wyniki. Zobaczymy, może po pracy nasze zdanie się zmieniło.

Uczniowie w grupach porównują swoje założenia z informacjami uzyskanymi podczas pracy z podręcznikiem, wprowadzają zmiany w tabeli, dzielą się swoimi przemyśleniami z klasą i omawiają odpowiedzi na każde pytanie.

Etap wywołania.

W jakich przypadkach i przy wykonywaniu jakich zadań, Twoim zdaniem, można zastosować omawiany materiał teoretyczny?

Oczekiwane odpowiedzi uczniów: znalezienie wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 z wykresu stycznej do tej funkcji; kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x 0 a osią Ox; otrzymanie równania stycznej do wykresu funkcji.

Proponuję rozpocząć pracę nad algorytmami wyznaczania wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 wykorzystując wykres stycznej do tej funkcji; kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x 0 a osią Ox; otrzymanie równania stycznej do wykresu funkcji.

Utwórz algorytmy:

1. znalezienie wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 zgodnie z wykresem stycznej do funkcji;
2. kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x 0 a osią Ox;
3. otrzymanie równania stycznej do wykresu funkcji.

Etap zrozumienia treści.

1) Praca nad kompilacją algorytmów.

Każdy wykonuje pracę w zeszycie. A potem, po dyskusji w grupie, dochodzą do konsensusu. Po zakończeniu pracy przedstawiciel każdej grupy wypowiada się w obronie swojej pracy.

Algorytm wyznaczania wartości pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 z wykorzystaniem wykresu stycznej do tej funkcji.

Znalezienie algorytmu kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x0 a osią Ox.

.Algorytm obliczania równania stycznej do wykresu funkcji

1) Pracuj nad zastosowaniem zdobytej wiedzy w praktyce. (Załącznik nr 4)

2) Przegląd zadań B8.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0

Zadanie 2. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Zadanie 3. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Zadanie 4. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Odpowiedzi. Problem 1. 2. Problem 2. -1 Problem 3. 0 Problem 4. 0.2 .

Odbicie.

Podsumujmy.

• Poczucie własnej wartości

„Autotest, arkusz samooceny”

• Dlaczego konieczne jest badanie pochodnej funkcji? (Aby badać funkcje, szybkość różnych procesów w fizyce, chemii...)

• Korzystając z techniki „Sześć myślących kapeluszy”, zakładając mentalnie kapelusz o określonym kolorze, przeanalizujemy pracę na lekcji. Zmiana nakrycia głowy pozwoli nam zobaczyć lekcję z różnych perspektyw, aby uzyskać jak najpełniejszy obraz.

Biały kapelusz: informacja (konkretne sądy bez konotacji emocjonalnej).

Czerwony kapelusz: osądy emocjonalne bez wyjaśnienia.

Czarny kapelusz: krytyka – odzwierciedla problemy i trudności.

Żółty kapelusz: pozytywne oceny.

Zielony kapelusz: twórcze oceny, sugestie.

Niebieski kapelusz: uogólnienie tego, co zostało powiedziane, pogląd filozoficzny.

Tak naprawdę dotknęliśmy jedynie powierzchni rozwiązywania problemów wykorzystując geometryczne znaczenie pochodnej. Dalej czekają na nas jeszcze ciekawsze, różnorodne i złożone zadania.

Praca domowa: § 8 s. 84-88, nr 89-92, 94-95 (parzyste).

Literatura

1. Zair.Bek S.I. Rozwój krytycznego myślenia w klasie: podręcznik dla nauczycieli szkół ogólnokształcących. instytucje. – M. Edukacja, 2011. – 223 s.
2. Kolyagin Yu.M. Algebra i początki analizy. Klasa 11: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje: poziom podstawowy i profilowy. – M.: Edukacja, 2010.
3. Otwarty bank zadań z matematyki http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=TrainArchive
4. Otwarty bank zadań z ujednoliconego egzaminu państwowego/matematyki http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

Strony internetowe związane z tematyką krytycznego myślenia

Krytyczne myślenie http://www.criticalthinking.org/
http://www.ct-net.net/ru/rwct_tcp_ru

Aby obejrzeć prezentację ze zdjęciami, projektami i slajdami, pobierz jego plik i otwórz go w programie PowerPoint w Twoim komputerze.
Treść tekstowa slajdów prezentacji: V.N. Egorova, nauczyciel matematyki, KOU „Szkoła średnia nr 1 (stacjonarna i niestacjonarna)” Definicja pochodnej. Pochodna funkcji jest jednym z trudnych tematów w programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, jaka jest pochodna AСВtg A-?tg B -?АВСPraca ustnie Tangens to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej

АСВtg A-?tg В -?47АВСZnajdź miarę stopnia< В.3Найдите градусную меру < А.Работа устноВычислите tgα, если α = 150°.

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który rośnie szybciej?Praca ustna Kostya, Grisha i Matvey dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku: dochody Kostyi wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Grishy również wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Matveya spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale szybkość zmian funkcji jest inna. Jeśli chodzi o Matveya, jego dochody są generalnie ujemne.Pracuj ustnie

Intuicyjnie łatwo szacujemy szybkość zmian funkcji. Ale jak to zrobić? Tak naprawdę patrzymy na to, jak stromo wykres funkcji rośnie (lub maleje). Innymi słowy, jak szybko zmienia się y, gdy zmienia się x? Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może zmieniać się szybciej lub wolniej
Pochodna jest szybkością zmiany funkcji.
Problemy prowadzące do pojęcia pochodnej1. Problem szybkości zmian funkcji Narysowano wykres pewnej funkcji. Weźmy na to odciętą. Narysujmy w tym punkcie styczną do wykresu funkcji. Aby oszacować nachylenie wykresu funkcji, wygodną wartością jest tangens kąta stycznego. Za kąt nachylenia przyjmujemy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi OX. Znajdźmy k=tg α∆AMN: ˂ ANM = 90˚, tgα = 𝐴𝑁𝑀𝑁 Znaczenie geometryczne pochodnej Streszczenie

Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie. Znaczenie geometryczne pochodnej Pochodna funkcji jest równa tangensowi kąta stycznego - takie jest znaczenie geometryczne pochodnej
Czas przejścia równy tABU=S / tZagadnienia prowadzące do pojęcia pochodnej2. Problem z prędkością
ZADANIE. Pewne ciało (punkt materialny) porusza się po linii prostej, na której podany jest początek, jednostka miary (metr) i kierunek. Prawo ruchu wyraża się wzorem S=s(t), gdzie t to czas (w sekundach), s(t) to położenie ciała na linii prostej (współrzędna poruszającego się punktu materialnego) w chwili t względem początku (w metrach). Znajdź prędkość ciała w chwili t (w m/s).ROZWIĄZANIE. Załóżmy, że w chwili t ciało znajdowało się w punkcie MOM=S(t). Nadajmy argumentowi t przyrost ∆t i rozważmy sytuację w chwili czasu t + ∆t. Współrzędna punktu materialnego ulegnie zmianie, ciało w tym momencie będzie w punkcie P: OP= s(t+ ∆t) – s(t). Oznacza to, że w ciągu ∆t sekund ciało przemieściło się z punktu M do punktu P. Mamy: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t). Powstałą różnicę nazywamy przyrostem funkcji: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Zatem MP= ∆s (m) Następnie średnia prędkość w okresie czasu: 𝑣av.=∆𝑆∆𝑡 Średnia prędkość S(t)S(t + Δt)0МРΔt
Pochodna funkcji y = f(x) w danym punkcie x0 jest granicą stosunku przyrostu funkcji w tym punkcie do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że przyrost argumentu dąży do zera. oznaczenie: 𝑦′𝑥0 lub 𝑓′𝑥0 𝑓′𝑥0=lim∆ 𝑥→0∆𝑦∆𝑥 lub 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥 DefinicjaSpis treści
Prędkość chwilowa to prędkość średnia w przedziale, pod warunkiem, że ∆t → 0, tj.: 𝒍𝒊𝒎∆𝒕 →𝟎𝒗av.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕 →𝟎∆𝑺∆𝒕 Prędkość chwilowa Podsumowanie Rozważanie mają dwie wartości argumentu x0 i ∆ x, gdzie ∆x jest przyrostem argumentu Znajdźmy przyrost funkcji ∆f(x) = f(x0 + ∆x) – f(x0) Znajdźmy stosunek przyrostu funkcji do przyrost argumentu ∆𝐟(x)∆x Obliczmy granicę tego stosunku przy ∆x → 0 lim∆𝑥→0Δ𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓′(𝑥) Algorytm znajdowania pochodnej (z definicji) Przykład obliczenia pochodne uwagi do rozwiązania

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji y = x Rozwiązanie: f(x) = x, 1. Weź dwie wartości argumentu x i x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑥 +∆𝑥−𝑥=∆𝑥 .3.∆𝑓∆𝑥=∆𝑥∆𝑥=1.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→01=1. Zatem (𝒙) ′ = 1 Przykład obliczenia pochodnej Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji y = x2 Rozwiązanie: f(x) = x2.1. Weź dwie wartości argumentu x i x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥 +∆𝑥 -𝑓𝑥 = (𝑥+∆𝑥) 2 - 𝑥2 = 𝑥2+2𝑥∆𝑥+(∆𝑥) 2 - 𝑥2 = ∆𝑥 (2𝑥+∆𝑥). 𝑥(2𝑥+∆𝑥)∆𝑥=2𝑥+∆𝑥.4. 𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0(2𝑥+∆𝑥)=lim∆𝑥→02 𝑥+lim ∆𝑥 →0∆𝑥=2𝑥 Zatem (𝒙 𝟐)′ = 2x Przykład obliczania pochodnej Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji y =𝒌𝒙+𝒎Rozwiązanie: f(x) = 𝑘𝑥+𝑚.1.Weź dwie wartości argumentu x i x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑘𝑥+ ∆𝑥+𝑚− 𝑘𝑥−𝑚=𝑘𝑥+𝑘∆𝑥−𝑘𝑥=𝑘 ∆𝑥.3. ∆𝑓(𝑥)∆𝑥=𝑘∆𝑥∆𝑥=𝑘.4.𝑓 ′𝑥=lim∆𝑥→0 ∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑘=𝑘. Zatem (𝒌𝒙+ 𝒎)′ = k Przykład obliczenia pochodnej Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji y = 𝟏𝒙Rozwiązanie: f(x) = 1𝑥.1. Weź dwie wartości argumentu x i x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥 −𝑓𝑥= 1𝑥+∆𝑥−1𝑥=𝑥−𝑥−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆ 𝑥).3.∆ 𝑓(𝑥)∆𝑥=−∆ 𝑥𝑥(𝑥+∆ 𝑥):∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥=−1𝑥(𝑥+∆𝑥) .4.𝑓′𝑥=lim ∆𝑥 →0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0−1 𝑥 (𝑥+∆𝑥)=−1lim∆𝑥→01𝑥2+𝑥∆𝑥=−lim∆𝑥→01lim∆𝑥→0𝑥2+lim∆ 𝑥→0𝑥∆𝑥 =−1𝑥2 .Więc 𝟏𝒙′ = −𝟏𝒙𝟐 Przykład obliczeń pochodna Tabela pochodnych𝑪′=𝟎 𝒙' = 1𝒙𝟐′=𝟐𝒙𝒌𝒙+𝒎′=𝒌𝟏𝒙= − 𝟏𝒙𝟐 Dokończ zdanie: Nasza dzisiejsza lekcja była poświęcona... Na lekcji dowiedziałem się, że... Na lekcji się nauczyłem ... Pochodna funkcji w punkcie równa się... tangensowi poprowadzonej do wykresu funkcji w danym punkcie. Szybkość zmian funkcji wynosi... Było to dla mnie trudne... DOBRZE ZROBIONY!
ppt_y

Załączone pliki