Energia kinetyczna wirującego ciała sztywnego. Energia kinetyczna obracającego się ciała

« Fizyka – klasa 10”

Dlaczego łyżwiarz rozciąga się wzdłuż osi obrotu, aby zwiększyć prędkość kątową obrotu?
Czy helikopter powinien się obracać, gdy obraca się jego wirnik?

Zadane pytania sugerują, że jeśli na ciało nie działają siły zewnętrzne lub ich działanie zostanie zrekompensowane i jedna część ciała zacznie obracać się w jednym kierunku, to druga część powinna obracać się w drugim kierunku, tak jak przy wyrzucaniu paliwa z rakieta, sama rakieta porusza się w przeciwnym kierunku.

Moment impulsu.

Jeśli weźmiemy pod uwagę obracający się dysk, staje się oczywiste, że całkowity pęd dysku równy zeru, ponieważ każda cząstka ciała odpowiada cząstce poruszającej się z równą prędkością pod względem wielkości, ale w przeciwny kierunek(ryc. 6.9).

Ale dysk się porusza, prędkość kątowa obrotu wszystkich cząstek jest taka sama. Wiadomo jednak, że im dalej cząstka znajduje się od osi obrotu, tym większy jest jej pęd. W związku z tym dla ruchu obrotowego konieczne jest wprowadzenie innej cechy zbliżonej do impulsu - momentu pędu.

Moment pędu cząstki poruszającej się po okręgu jest iloczynem pędu cząstki i odległości od niej do osi obrotu (rys. 6.10):

Prędkości liniowe i kątowe powiązane są zatem zależnością v = ωr

Wszystkie punkty obiektu stałego poruszają się względem ustalonej osi obrotu z tym samym prędkość kątowa. Ciało bryłowe można przedstawić jako zbiór punktów materialnych.

Moment pędu ciała sztywnego jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej obrotu:

Moment pędu jest wielkością wektorową i zgodnie ze wzorem (6.3) moment pędu jest skierowany w taki sam sposób, jak prędkość kątowa.

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego w postaci impulsowej.

Przyspieszenie kątowe ciała jest równe zmianie prędkości kątowej podzielonej przez okres czasu, w którym ta zmiana nastąpiła: Podstaw to wyrażenie do podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego stąd I(ω 2 - ω 1) = MΔt lub IΔω = MΔt.

Zatem,

ΔL = MΔt. (6.4)

Zmiana momentu pędu jest równa iloczynowi całkowitego momentu sił działających na ciało lub układ i czasu działania tych sił.

Prawo zachowania momentu pędu:

Jeżeli całkowity moment sił działających na ciało lub układ ciał o stałej osi obrotu jest równy zeru, to zmiana momentu pędu również wynosi zero, czyli moment pędu układu pozostaje stały.

ΔL = 0, L = stała.

Zmiana pędu układu jest równa sumie pędu sił działających na układ.

Obracająca się łyżwiarka rozkłada ramiona na boki, zwiększając w ten sposób moment bezwładności i zmniejszając prędkość kątową obrotu.

Prawo zachowania momentu pędu można wykazać za pomocą następującego doświadczenia, zwanego „eksperymentem na ławce Żukowskiego”. Osoba stoi na ławce, której środek ma pionową oś obrotu. Mężczyzna trzyma hantle w dłoniach. Jeśli ławka jest obracana, osoba może zmienić prędkość obrotu, dociskając hantle do klatki piersiowej lub opuszczając ramiona, a następnie je podnosząc. Rozkładając ramiona, zwiększa moment bezwładności, a prędkość kątowa obrotu maleje (ryc. 6.11, a), opuszczając ramiona, zmniejsza moment bezwładności, a prędkość kątowa obrotu ławki wzrasta (ryc. 6.11, a) 6.11, b).

Ławkę można również obrócić, spacerując wzdłuż jej krawędzi. W takim przypadku ławka będzie się obracać w przeciwnym kierunku, ponieważ całkowity moment pędu powinien pozostać równy zeru.

Zasada działania urządzeń zwanych żyroskopami opiera się na prawie zachowania momentu pędu. Główną właściwością żyroskopu jest zachowanie kierunku osi obrotu, jeśli na tę oś nie działają siły zewnętrzne. W 19-stym wieku Żyroskopy były używane przez żeglarzy do orientacji na morzu.

Energia kinetyczna obrotowy sztywny korpus.

Energia kinetyczna obracającego się ciała stałego jest równa sumie energii kinetycznych jego poszczególnych cząstek. Podzielmy ciało na małe elementy, z których każdy można uznać za punkt materialny. Wówczas energia kinetyczna ciała jest równa sumie energii kinetycznych punktów materialnych, z których się ono składa:

Prędkość kątowa obrotu wszystkich punktów ciała jest zatem taka sama

Wartość w nawiasie, jak już wiemy, to moment bezwładności ciała sztywnego. Wreszcie wzór na energię kinetyczną ciała sztywnego o ustalonej osi obrotu ma postać

W ogólnym przypadku ruchu ciała sztywnego, gdy oś obrotu jest swobodna, jego energia kinetyczna jest równa sumie energii ruchu postępowego i obrotowego. Zatem energia kinetyczna koła, którego masa jest skupiona w obręczy, toczącego się po drodze ze stałą prędkością, jest równa

W tabeli porównano wzory na mechanikę ruchu postępowego punktu materialnego z podobnymi wzorami na ruch obrotowy ciała sztywnego.

Ponieważ ciało stałe jest szczególny przypadek układ punktów materialnych, wówczas energia kinetyczna ciała obracającego się wokół stałej osi Z będzie równa sumie energii kinetycznych wszystkich jego punktów materialnych, czyli

Wszystkie punkty materialne solidny W tym przypadku obracają się po okręgach o promieniach i z równymi prędkościami kątowymi. Prędkość liniowa każdego punktu materialnego ciała sztywnego jest równa . Energia kinetyczna ciała stałego przybierze postać

Suma po prawej stronie tego wyrażenia, zgodnie z (4.4), reprezentuje moment bezwładności tego ciała względem danej osi obrotu. Zatem wzór na obliczenie energii kinetycznej ciała sztywnego obracającego się względem ustalonej osi przyjmie ostateczną postać:

. (4.21)

Bierze się tu pod uwagę, że

Obliczanie energii kinetycznej ciała sztywnego w przypadku ruchu dowolnego staje się znacznie bardziej skomplikowane. Rozważmy ruch płaski, gdy trajektorie wszystkich punktów materialnych ciała leżą w płaszczyznach równoległych. Prędkość każdego punktu materialnego ciała sztywnego, zgodnie z (1.44), można przedstawić w postaci

,

gdzie jako chwilową oś obrotu wybieramy oś przechodzącą przez środek bezwładności ciała, prostopadłą do płaszczyzny trajektorii dowolnego punktu ciała. W tym przypadku w ostatnim wyrażeniu reprezentuje prędkość środka bezwładności ciała, promienie okręgów, wzdłuż których punkty ciała obracają się z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez jego środek bezwładności. Ponieważ przy takim ruchu ^ wektor równy leży w płaszczyźnie trajektorii punktu.

Z powyższego wynika, że ​​energia kinetyczna ciała podczas jego ruchu płaskiego jest równa

.

Podnosząc wyrażenie w nawiasach do kwadratu i biorąc ze znaku sumy stałe wielkości dla wszystkich punktów ciała, otrzymujemy

Bierze się tu pod uwagę, że ^.

Rozważmy osobno każdy termin po prawej stronie ostatniego wyrażenia. Pierwszy wyraz, na mocy oczywistej równości, jest równy

Drugi człon jest równy zeru, ponieważ suma wyznacza wektor promienia środka bezwładności (3,5), który w w tym przypadku leży na osi obrotu. Biorąc pod uwagę (4.4), ostatni wyraz będzie miał postać . Wreszcie energię kinetyczną podczas dowolnego, ale płaskiego ruchu ciała sztywnego można przedstawić jako sumę dwóch wyrazów:

, (4.23)

gdzie pierwszy człon reprezentuje energię kinetyczną punktu materialnego wraz z masą, równa masa ciało i porusza się z prędkością środka masy ciała;

drugi człon reprezentuje energię kinetyczną ciała obracającego się wokół osi (poruszającej się z prędkością) przechodzącej przez jego środek bezwładności.

Wnioski: Zatem energię kinetyczną ciała sztywnego podczas jego obrotu wokół ustalonej osi można obliczyć korzystając z jednej z zależności (4.21), a w przypadku ruchu płaskiego korzystając z (4.23).

Pytania kontrolne.

4.4. W jakich przypadkach (4.23) przekształca się w (4.21)?

4,5. Jak będzie wyglądał wzór na energię kinetyczną ciała poruszającego się w płaszczyźnie, jeśli chwilowa oś obrotu nie przechodzi przez środek bezwładności? Jakie jest znaczenie ilości zawartych we wzorze?

4.6. Pokaż, że praca wykonana przez siły wewnętrzne podczas obrotu ciała sztywnego wynosi zero.

Zadania

1. Określ, ile razy masa efektywna większa niż masa grawitacyjna pociągu o masie 4000 ton, jeżeli masa kół stanowi 15% masy pociągu. Przyjmijmy, że koła to tarcze o średnicy 1,02 m. Jak zmieni się odpowiedź, jeśli średnica kół będzie o połowę mniejsza?

2. Oblicz przyspieszenie, z jakim para kół o masie 1200 kg stacza się w dół wzniesienia o nachyleniu 0,08. Rozważ koła jako dyski. Współczynnik oporu toczenia 0,004. Wyznaczyć siłę przyczepności pomiędzy kołami i szynami.

3. Wyznacz przyspieszenie, z jakim para kół o masie 1400 kg wjeżdża pod wzniesienie o nachyleniu 0,05. Współczynnik oporu 0,002. Jaki powinien być współczynnik przyczepności, aby koła się nie ślizgały? Rozważ koła jako dyski.

4. Określ, z jakim przyspieszeniem samochód o masie 40 ton stacza się w dół wzniesienia o nachyleniu 0,020, jeśli ma osiem kół o masie 1200 kg i średnicy 1,02 m. Określ siłę przyczepności kół do szyn. Współczynnik oporu 0,003.

5. Wyznacz siłę docisku klocków hamulcowych do opon, jeśli pociąg o masie 4000 ton hamuje z przyspieszeniem 0,3 m/s 2 . Moment bezwładności jednej pary kół wynosi 600 kg m 2, liczba osi 400, współczynnik tarcia ślizgowego klocka wynosi 0,18, a współczynnik oporu toczenia 0,004.

6. Wyznacz siłę hamowania samochodu czteroosiowego o masie 60 ton znajdującego się na platformie hamulcowej garbu, jeżeli prędkość na torze o długości 30 m zmniejszyła się z 2 m/s do 1,5 m/s. Moment bezwładności jednej pary kół wynosi 500 kg m 2.

7. Prędkościomierz lokomotywy pokazywał wzrost prędkości pociągu w ciągu jednej minuty z 10 m/s do 60 m/s. Prawdopodobnie doszło do poślizgu pary kół napędowych. Wyznaczyć moment sił działających na twornik silnika elektrycznego. Moment bezwładności zestawu kołowego wynosi 600 kg m 2, szkielet 120 kg m 2. Przełożenie skrzyni biegów wynosi 4,2. Siła nacisku na szyny wynosi 200 kN, współczynnik tarcia ślizgowego kół na szynie wynosi 0,10.

11. ENERGIA KINETYCZNA OBROTU

RUCHY

Wyprowadźmy wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego. Niech ciało obraca się z prędkością kątową ω względem stałej osi. Każda mała cząstka ciała podlega ruchowi translacyjnemu po okręgu z prędkością gdzie ja – odległość od osi obrotu, promień orbity. Energia kinetyczna cząstek szerokie rzesze ja równy . Całkowita energia kinetyczna układu cząstek jest równa sumie ich energii kinetycznych. Podsumujmy wzory na energię kinetyczną cząstek ciała i wyjmijmy połowę kwadratu prędkości kątowej, która jest taka sama dla wszystkich cząstek, jako znak sumy, . Suma iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich odległości od osi obrotu to moment bezwładności ciała względem osi obrotu . Więc, energia kinetyczna ciała obracającego się względem ustalonej osi jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności ciała względem osi i kwadratu prędkości kątowej obrotu:

Za pomocą obracających się ciał można magazynować energię mechaniczną. Takie ciała nazywane są kołami zamachowymi. Zwykle są to ciała rewolucji. Zastosowanie kół zamachowych w kole garncarskim znane jest już od czasów starożytnych. W silnikach spalinowych podczas suwu mocy tłok przekazuje energię mechaniczną do koła zamachowego, które następnie wykonuje pracę polegającą na obracaniu wału silnika przez trzy kolejne suwy. W stemplach i prasach koło zamachowe wprawiane jest w ruch obrotowy za pomocą silnika elektrycznego o stosunkowo małej mocy, akumuluje energię mechaniczną podczas niemal pełnego obrotu i w krótkim momencie uderzenia oddaje ją do pracy tłoczącej.

Podejmowano liczne próby wykorzystania do napędu obracających się kół zamachowych Pojazd: samochody, autobusy. Nazywa się je mahomobilami, żyromobilami. Powstało wiele takich eksperymentalnych maszyn. Obiecujące byłoby wykorzystanie kół zamachowych do akumulacji energii podczas hamowania pociągów elektrycznych w celu wykorzystania zgromadzonej energii podczas późniejszego przyspieszania. Wiadomo, że w nowojorskich pociągach metra wykorzystuje się magazynowanie energii w postaci koła zamachowego.

Mechanika.

Pytanie nr 1

System referencyjny. Inercyjne układy odniesienia. Zasada względności Galileusza - Einsteina.

Ramy Odniesienia- jest to zbiór ciał, względem których opisuje się ruch dane ciało i powiązany układ współrzędnych.

Inercyjny układ odniesienia (IRS) to układ, w którym swobodnie poruszające się ciało znajduje się w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Zasada względności Galileo-Einsteina- Wszystkie zjawiska naturalne w dowolnym inercjalnym układzie odniesienia zachodzą w ten sam sposób i mają tę samą postać matematyczną. Innymi słowy, wszystkie wartości ISO są równe.

Pytanie nr 2

Równanie ruchu. Rodzaje ruchu ciała sztywnego. Główne zadanie kinematyki.

Równania ruchu punktu materialnego:

- kinematyczne równanie ruchu

Rodzaje ruchu ciała sztywnego:

1) Ruch postępowy - każda linia prosta narysowana w ciele porusza się równolegle do siebie.

2) Ruch obrotowy - dowolny punkt ciała porusza się po okręgu.

φ = φ(t)

Główne zadanie kinematyki- jest to uzyskanie zależności prędkości V = V(t) i współrzędnych (lub wektora promienia) r = r(t) punktu materialnego od czasu ze znanej zależności przyspieszenia a = a(t) od czasu oraz znane warunki początkowe V 0 i r 0 .

Pytanie nr 7

Puls (Ilość ruchu) - wektor wielkość fizyczna, charakteryzujący środek ruch mechaniczny ciała. W mechanice klasycznej pęd ciała jest równy iloczynowi masy M tego punktu swoją prędkością w, kierunek impulsu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości:

W mechanika teoretyczna uogólniony impuls jest cząstkową pochodną Lagrangianu układu względem uogólnionej prędkości

Jeśli Lagrangian układu nie zależy od niektórych uogólnione współrzędne, to z powodu Równania Lagrange'a .

Dla cząstki swobodnej funkcja Lagrange'a ma postać: , stąd:

Niezależność Lagrangianu zamknięty system z jego położenia w przestrzeni wynika z własności jednorodność przestrzeni: w przypadku dobrze izolowanego systemu jego zachowanie nie zależy od tego, gdzie w przestrzeni go umieścimy. Przez Twierdzenie Noether Z tej jednorodności wynika zachowanie pewnej wielkości fizycznej. Wielkość tę nazywa się impulsem (zwykłym, nie uogólnionym).

W mechanice klasycznej kompletny impuls układ punktów materialnych nazywany jest wielkością wektorową równą sumie iloczynów mas punktów materialnych i ich prędkości:

odpowiednio wielkość tę nazywa się pędem jednego punktu materialnego. Jest to wielkość wektorowa skierowana w tym samym kierunku, co prędkość cząstki. Jednostka impulsu jest włączona System międzynarodowy jednostek (SI). kilogram metr na sekundę(kg m/s)

Jeżeli mamy do czynienia z ciałem o skończonych rozmiarach, to dla określenia jego pędu konieczne jest rozbicie ciała na małe części, które można uznać za punkty materialne i po nich zsumować, w wyniku czego otrzymamy:

Impuls układu, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (lub są one kompensowane) zapisane w samą porę:

Zasada zachowania pędu w tym przypadku wynika z drugiej i trzeciej zasady Newtona: pisząc drugie prawo Newtona dla każdego z punktów materialnych tworzących układ i sumując po wszystkich punktach materialnych tworzących układ, na mocy trzeciego prawa Newtona otrzymujemy równość (* ).

W mechanice relatywistycznej trójwymiarowy pęd układu nie oddziałujących ze sobą punktów materialnych jest wielkością

,

Gdzie ja- waga I materialny punkt.

W przypadku zamkniętego układu nie oddziałujących ze sobą punktów materialnych wartość ta zostaje zachowana. Jednakże pęd trójwymiarowy nie jest wielkością relatywistycznie niezmienną, ponieważ zależy od układu odniesienia. Bardziej znaczącą wielkością będzie czterowymiarowy pęd, który dla jednego punktu materialnego definiuje się jako

W praktyce często stosuje się następujące zależności pomiędzy masą, pędem i energią cząstki:

W zasadzie dla układu nieoddziałujących punktów materialnych sumuje się ich 4-momenty. Jednak w przypadku cząstek oddziałujących w mechanice relatywistycznej należy wziąć pod uwagę nie tylko pęd cząstek tworzących układ, ale także pęd pola interakcji między nimi. Dlatego o wiele bardziej znaczącą wielkością w mechanice relatywistycznej jest tensor energii i pędu, który w pełni spełnia prawa zachowania.

Pytanie nr 8

Moment bezwładności- skalarna wielkość fizyczna, miara bezwładności ciała podczas ruch obrotowy wokół osi, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym. Charakteryzuje się rozkładem mas w ciele: moment bezwładności jest równy sumie iloczynów mas elementarnych przez kwadrat ich odległości od zbioru podstawowego

Osiowy moment bezwładności

Osiowe momenty bezwładności niektórych ciał.

Moment bezwładności układu mechanicznego względem ustalonej osi („osiowy moment bezwładności”) jest wielkością Ja, równa sumie iloczynów mas wszystkich N punkty materialne układu przez kwadraty ich odległości od osi:

,

• ja- waga I ten punkt,
• r ja- odległość od I punkt osi.

Osiowy moment bezwładności ciało Ja jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół osi, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym.

,

• dm = ρ dV- masa małego elementu objętości ciała dV,
• ρ - gęstość,
• R- odległość od elementu dV do osi a.

Jeżeli ciało jest jednorodne, to znaczy jego gęstość jest wszędzie taka sama

Wyprowadzenie wzoru

dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie

Cylinder cienkościenny (pierścień, obręcz)

Wyprowadzenie wzoru

Moment bezwładności ciała jest równy sumie momentów bezwładności jego części składowych. Podzielić cienkościenny cylinder na elementy posiadające masę dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie

Ponieważ wszystkie elementy cienkościennego walca znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu, wzór (1) przekształca się do postaci

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności położenia ciała stałego względem dowolnej osi zależy nie tylko od masy, kształtu i wielkości ciała, ale także od położenia ciała względem tej osi. Zgodnie z twierdzeniem Steinera (twierdzenie Huygensa-Steinera), moment bezwładności ciało J względem dowolnej osi jest równa sumie moment bezwładności to ciało J.c względem osi przechodzącej przez środek masy ciała równoległej do rozpatrywanej osi i iloczynu masy ciała M na kwadrat odległości D pomiędzy osiami:

Jeżeli moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to moment bezwładności względem oddalonej od niego osi równoległej jest równy

,

gdzie jest całkowita masa ciała.

Przykładowo moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy:

Energia obrotowa

Energia kinetyczna ruchu obrotowego- energia ciała związana z jego obrotem.

Głównymi charakterystykami kinematycznymi ruchu obrotowego ciała są jego prędkość kątowa (ω) i przyspieszenie kątowe. Główne cechy dynamiczne ruchu obrotowego – moment pędu względem osi obrotu z:

K z = Izω

i energię kinetyczną

gdzie I z jest momentem bezwładności ciała względem osi obrotu.

Podobny przykład można znaleźć rozważając obracającą się cząsteczkę z głównymi osiami bezwładności ja 1, ja 2 I ja 3. Energię rotacyjną takiej cząsteczki podaje wyrażenie

Gdzie ω 1, ω 2, I ω 3- główne składowe prędkości kątowej.

Ogólnie rzecz biorąc, energię podczas obrotu z prędkością kątową oblicza się ze wzoru:

, Gdzie I- tensor bezwładności.

Pytanie nr 9

Moment impulsu (moment kinetyczny, moment pędu, moment orbitalny, moment pędu) charakteryzuje wielkość ruchu obrotowego. Wielkość zależna od tego, jak duża masa się obraca, jak jest ona rozłożona względem osi obrotu i z jaką prędkością następuje obrót.

Należy zaznaczyć, że obrót jest tu rozumiany szeroko, a nie tylko jako regularny obrót wokół osi. Na przykład nawet z prosty ruch ciało poza dowolny, wyimaginowany punkt nie leżący na linii ruchu, ma również moment pędu. Być może największą rolę w opisie rzeczywistego ruchu obrotowego odgrywa moment pędu. Jest to jednak niezwykle ważne w przypadku znacznie szerszej klasy problemów (zwłaszcza jeśli problem ma centralny lub symetria osiowa ale nie tylko w tych przypadkach).

Prawo zachowania momentu pędu(prawo zachowania momentu pędu) - suma wektorów wszystkich momentów pędu względem dowolnej osi dla układu zamkniętego pozostaje stała w przypadku równowagi układu. Zgodnie z tym moment pędu układu zamkniętego względem dowolnej niepochodnej momentu pędu względem czasu jest momentem siły:

Zatem wymóg domknięcia układu można osłabić do wymagania, aby główny (całkowity) moment sił zewnętrznych był równy zeru:

gdzie jest momentem jednej z sił przyłożonych do układu cząstek. (Ale oczywiście, jeśli w ogóle nie ma sił zewnętrznych, wymóg ten również jest spełniony).

Matematycznie prawo zachowania momentu pędu wynika z izotropii przestrzeni, to znaczy z niezmienności przestrzeni względem obrotu o dowolny kąt. Po obróceniu o dowolny, nieskończenie mały kąt, wektor promienia cząstki o numerze zmieni się o , a prędkość - . Funkcja Lagrange'a układu nie zmieni się przy takim obrocie ze względu na izotropię przestrzeni. Dlatego

1. Rozważ obrót ciała wokół bez ruchu oś Z. Podzielmy całe ciało na zbiór elementarnych mas m I. Prędkość liniowa masy elementarnej m I– v ja = w R I, gdzie r I– odległość masy m I od osi obrotu. Dlatego energia kinetyczna I masa elementarna będzie równa . Całkowita energia kinetyczna ciała: , tutaj jest moment bezwładności ciała względem osi obrotu.

Zatem energia kinetyczna ciała obracającego się wokół ustalonej osi jest równa:

2. Teraz pozwól ciału obraca się względem jakiejś osi i siebie oś porusza się stopniowo, pozostając równoległym do siebie.

PRZYKŁAD: Kulka tocząca się bez poślizgu wykonuje ruch obrotowy, a jej środek ciężkości, przez który przechodzi oś obrotu (punkt „O”) porusza się translalnie (rys. 4.17).

Prędkość I- ta elementarna masa ciała jest równa , gdzie jest prędkością pewnego punktu „O” ciała; – wektor promienia określający położenie masy elementarnej względem punktu „O”.

Energia kinetyczna masy elementarnej jest równa:

KOMENTARZ: produkt wektorowy pokrywa się w kierunku z wektorem i ma moduł równy (ryc. 4.18).

Biorąc pod uwagę tę uwagę, możemy to napisać , gdzie jest odległością masy od osi obrotu. W drugim terminie dokonujemy cyklicznego przegrupowania czynników, po czym otrzymujemy

Aby otrzymać całkowitą energię kinetyczną ciała, sumujemy to wyrażenie po wszystkich masach elementarnych, przyjmując stałe czynniki poza znak sumy. Dostajemy

Suma mas elementarnych to masa ciała „m”. Wyrażenie jest równe iloczynowi masy ciała i promienia wektora środka bezwładności ciała (z definicji środka bezwładności). Wreszcie moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez punkt „O”. Dlatego możemy pisać

.

Jeśli za punkt „O” przyjmiemy środek bezwładności ciała „C”, wektor promienia będzie równy zero, a drugi wyraz zniknie. Następnie oznaczając przelotowo – prędkość środka bezwładności i przelotowo – moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez punkt „C”, otrzymujemy:

(4.6)

Zatem na energię kinetyczną ciała w ruchu płaskim składa się energia ruchu postępowego przy prędkości równej prędkości środka bezwładności oraz energia obrotu wokół osi przechodzącej przez środek bezwładności ciała.

Praca sił zewnętrznych podczas ruchu obrotowego ciała sztywnego.

Znajdźmy pracę wykonaną przez siły, gdy ciało obraca się wokół stacjonarnej osi Z.

Niech na masę działają siła wewnętrzna i siła zewnętrzna (wypadkowa siła leży w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu) (ryc. 4.19). Siły te działają w czasie dt stanowisko:

Po przeprowadzeniu w prace mieszane wektory cyklicznej permutacji czynników znajdujemy:

gdzie , są odpowiednio momentami sił wewnętrznych i zewnętrznych względem punktu „O”.

Sumując wszystkie masy elementarne, otrzymujemy elementarną pracę wykonaną nad ciałem w czasie dt:

Suma momentów sił wewnętrznych wynosi zero. Następnie oznaczając całkowity moment sił zewnętrznych przez , dochodzimy do wyrażenia:

.

Wiadomo, że produkt skalarny dwa wektory nazywane są skalarem równym iloczynowi modułu jednego z wektorów przez rzut drugiego na kierunek pierwszego, biorąc pod uwagę, że , (kierunki osi Z pokrywają się), otrzymujemy

,

ale w dt=D j, tj. kąt, o jaki ciało obraca się w czasie dt. Dlatego

.

Znak pracy zależy od znaku M z, tj. od znaku rzutu wektora na kierunek wektora.

Tak więc, kiedy ciało się obraca siły wewnętrzne nie jest wykonywana żadna praca, a pracę sił zewnętrznych określa wzór .

Pracę wykonaną w skończonym czasie oblicza się poprzez całkowanie

.

Jeśli rzut wypadkowego momentu sił zewnętrznych na kierunek pozostaje stały, to można go wyjąć ze znaku całki:

, tj. .

Te. praca wykonana przez siłę zewnętrzną podczas ruchu obrotowego ciała jest równa iloczynowi rzutu momentu siły zewnętrznej na kierunek i kąt obrotu.

Natomiast praca siły zewnętrznej działającej na ciało zwiększa energię kinetyczną ciała (lub jest równa zmianie energii kinetycznej obracającego się ciała). Pokażmy to:

;

Stąd,

. (4.7)

Na własną rękę:

Siły sprężyste;

Prawo Hooke’a.

WYKŁAD 7

Hydrodynamika

Linie i rury prądowe.

Hydrodynamika bada ruch cieczy, ale jej prawa dotyczą również ruchu gazów. W stacjonarnym przepływie płynu prędkość jego cząstek w każdym punkcie przestrzeni jest wielkością niezależną od czasu i jest funkcją współrzędnych. Przy stałym przepływie trajektorie cząstek płynu tworzą linię opływową. Połączenie linii prądu tworzy rurę prądową (ryc. 5.1). Zakładamy, że płyn jest nieściśliwy, a następnie objętość płynu przepływającego przez sekcje S 1 i S 2 będzie takie samo. W ciągu sekundy przez te sekcje przejdzie objętość cieczy równa

, (5.1)

gdzie i są prędkościami płynu w przekrojach S 1 i S 2 , a wektory i są zdefiniowane jako i , gdzie i są normalnymi do przekrojów S 1 i S 2. Równanie (5.1) nazywane jest równaniem ciągłości strumienia. Wynika z tego, że prędkość płynu jest odwrotnie proporcjonalna do przekroju rury prądowej.

Równanie Bernoulliego.

Rozważymy idealny, nieściśliwy płyn, w którym nie występuje tarcie wewnętrzne (lepkość). Wybierzmy cienką rurkę prądową w stacjonarnej przepływającej cieczy (ryc. 5.2) z przekrojami S 1 I S2, prostopadle do linii prądu. W przekroju 1 w krótkim czasie T cząstki przesuną się na odległość l 1 i w sekcji 2 - z dystansu l 2. Przez obie części w czasie T przepłyną jednakowe małe objętości cieczy V= V 1 = V 2 i przelać dużo płynu m=rV, Gdzie R- gęstość cieczy. Ogólnie rzecz biorąc, zmiana energii mechanicznej całego płynu w rurze przepływowej pomiędzy sekcjami S 1 I S2 co się wydarzyło podczas T, można zastąpić zmieniając energię objętościową V co miało miejsce w momencie przejścia z sekcji 1 do sekcji 2. Przy takim ruchu zmieni się energia kinetyczna i potencjalna tej objętości oraz całkowita zmiana jej energii

, (5.2)

gdzie w 1 i w 2 - prędkości cząstek płynu w przekrojach S 1 I S2 odpowiednio; G- przyśpieszenie grawitacyjne; godz. 1 I godz. 2- wysokość środka sekcji.

W idealnym płynie nie ma strat tarcia, więc wzrost energii jest DE musi być równa pracy wykonanej przez siły nacisku na przydzieloną objętość. W przypadku braku sił tarcia praca ta:

Przyrównując prawe strony równości (5.2) i (5.3) i przenosząc wyrazy o tych samych indeksach na jedną stronę równości, otrzymujemy

. (5.4)

Sekcje rur S 1 I S2 zostały przyjęte arbitralnie, dlatego można argumentować, że w dowolnej części obecnej lampy wyrażenie to jest prawidłowe

. (5.5)

Równanie (5.5) nazywa się równaniem Bernoulliego. Dla poziomego usprawnienia H = konst i równość (5.4) przybiera formę

R /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

te. ciśnienie jest mniejsze w tych punktach, w których prędkość jest większa.

Wewnętrzne siły tarcia.

Rzeczywista ciecz charakteryzuje się lepkością, która objawia się tym, że wszelki ruch cieczy i gazu samoistnie zatrzymuje się w przypadku braku przyczyn, które go spowodowały. Rozważmy doświadczenie, w którym nad nieruchomą powierzchnią znajduje się warstwa cieczy, a po niej porusza się z prędkością , a po niej unosi się płyta o powierzchni S(ryc. 5.3). Doświadczenie pokazuje, że aby poruszać się ze stałą prędkością, należy na nią oddziaływać siłą. Ponieważ płyta nie otrzymuje przyspieszenia, oznacza to, że działanie tej siły jest równoważone przez inną siłę o równej wielkości i przeciwnie skierowaną, czyli siłę tarcia . Newton pokazał, że siła tarcia

, (5.7)

Gdzie D- grubość warstwy cieczy, h - współczynnik lepkości lub współczynnik tarcia cieczy, znak minus uwzględnia różne kierunki wektorów F tr I w o. Jeśli zbadasz prędkość cząstek cieczy w różnych miejscach warstwy, okaże się, że zmienia się ona zgodnie z prawem liniowym (ryc. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Różniczkując tę ​​równość, otrzymujemy dv/dz= w 0 /D. Mając to na uwadze

wzór (5.7) przyjmie postać

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Gdzie H- współczynnik lepkości dynamicznej. Ogrom dv/dz zwany gradientem prędkości. Pokazuje, jak szybko zmienia się prędkość w kierunku osi z. Na dv/dz= stały gradient prędkości jest liczbowo równy zmianie prędkości w kiedy to się zmienia z za sztukę. Wstawmy liczbowo do wzoru (5.8) dv/dz =-1 i S= 1, otrzymujemy H = F. to oznacza znaczenie fizyczne H: współczynnik lepkości jest liczbowo równy sile działającej na warstwę cieczy o powierzchni jednostkowej przy gradiencie prędkości równym jedności. Jednostka lepkości w układzie SI nazywana jest sekundą paskala (oznaczaną jako Pa s). W systemie CGS jednostką lepkości jest 1 puaz (P), przy czym 1 Pa s = 10 P.