Twierdzenie. Niech funkcja x=φ(t) ciągły w pewnym punkcie A i funkcja y=f(x) ciągły w pewnym punkcie b=φ(a). Następnie funkcja złożona y=f[φ(t)]=F(t) ciągły w pewnym punkcie A.

Pozwalać x=φ(t) I y=f(x)- najprostsze funkcje elementarne, z wieloma wartościami (X) Funkcje x=φ(t) jest zakresem funkcji y=f(x). Jak wiemy, funkcje elementarne są ciągłe w każdym punkcie danej dziedziny. Dlatego, zgodnie z poprzednim twierdzeniem, funkcja zespolona y=f(φ(t)), czyli superpozycja dwóch funkcji elementarnych, jest ciągła. Na przykład funkcja jest ciągła w dowolnym punkcie x ≠ 0, jako złożona funkcja dwóch funkcji elementarnych x=t -1 I y=grzech x. Również funkcjonować y=ln grzech x ciągły w dowolnym punkcie przedziału (2kπ,(2k+1)π), k ∈ Z (grzech x > 0).

Ciągłość funkcji. Punkty załamania.

Byk chodzi, kołysze się, wzdycha po drodze:
- Och, deska się kończy, teraz spadam!

Na tej lekcji zajmiemy się pojęciem ciągłości funkcji, klasyfikacją punktów nieciągłości i powszechnym problemem praktycznym badania ciągłości funkcji. Już od samej nazwy tematu wielu intuicyjnie domyśla się, co będzie omawiane i uważa, że ​​​​materiał jest dość prosty. To prawda. Jednak to proste zadania są najczęściej karane za zaniedbania i powierzchowne podejście do ich rozwiązywania. Dlatego zalecam bardzo dokładne przestudiowanie artykułu i wyłapanie wszystkich subtelności i technik.

Co musisz wiedzieć i umieć? Nie bardzo. Aby dobrze nauczyć się lekcji, musisz zrozumieć, co to jest granica funkcji. Czytelnikom o niskim poziomie przygotowania wystarczy zrozumienie artykułu Granice funkcji. Przykłady rozwiązań i spójrz na geometryczne znaczenie limitu w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych. Wskazane jest również zapoznanie się z przekształcenia geometryczne grafów, ponieważ praktyka w większości przypadków polega na konstruowaniu rysunku. Perspektywy dla wszystkich są optymistyczne i nawet pełny czajnik poradzi sobie sam z zadaniem w ciągu najbliższej godziny lub dwóch!

Ciągłość funkcji. Punkty przerwania i ich klasyfikacja

Pojęcie ciągłości funkcji

Rozważmy pewną funkcję ciągłą na całej osi liczbowej:

Lub, mówiąc prościej, nasza funkcja jest ciągła na (zbiorze liczb rzeczywistych).

Jakie jest „filistyńskie” kryterium ciągłości? Oczywiście wykres funkcji ciągłej można narysować bez odrywania ołówka od papieru.

W tym przypadku należy wyraźnie rozróżnić dwa proste pojęcia: dziedzina funkcji I ciągłość funkcji. Ogólnie to nie to samo. Na przykład:

Funkcja ta jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, czyli dla wszyscy Znaczenie „x” ma swoje własne znaczenie „y”. W szczególności, jeśli , to . Należy pamiętać, że drugi punkt jest przerywany, ponieważ zgodnie z definicją funkcji wartość argumentu musi odpowiadać Jedyną rzeczą wartość funkcji. Zatem, domena nasza funkcja: .

Jednakże ta funkcja nie jest włączona w sposób ciągły! Jest całkiem oczywiste, że w tym momencie cierpi luka. Określenie to jest również dość zrozumiałe i wizualne, bo w tym przypadku ołówek i tak trzeba będzie oderwać od papieru. Nieco później przyjrzymy się klasyfikacji punktów przerwania.

Ciągłość funkcji w punkcie i na przedziale

W konkretnym problemie matematycznym możemy mówić o ciągłości funkcji w punkcie, ciągłości funkcji na przedziale, półprzedziale lub ciągłości funkcji na odcinku. To jest, nie ma „zwykłej ciągłości”– funkcja może być GDZIEŚ ciągła. Podstawowym „cegiełkiem” wszystkiego innego jest ciągłość funkcji w tym punkcie .

Teoria analizy matematycznej definiuje ciągłość funkcji w punkcie za pomocą sąsiedztwa „delta” i „epsilon”, ale w praktyce stosuje się inną definicję, na którą zwrócimy szczególną uwagę.

Najpierw pamiętajmy jednostronne granice który wdarł się w nasze życie już na pierwszej lekcji o wykresach funkcji. Rozważ codzienną sytuację:

Jeśli zbliżymy się do osi do punktu lewy(czerwona strzałka), wówczas odpowiednie wartości „gier” przejdą wzdłuż osi do punktu (karmazynowa strzałka). Matematycznie fakt ten ustala się za pomocą lewe ograniczenie:

Zwróć uwagę na wpis (czytaj: „x ma tendencję do ka po lewej stronie”). Symbolizuje „dodatek” „minus zero”. , zasadniczo oznacza to, że zbliżamy się do liczby od lewej strony.

Podobnie, jeśli zbliżysz się do punktu „ka” po prawej(niebieska strzałka), wówczas „gry” osiągną tę samą wartość, ale wzdłuż zielonej strzałki i granica prawa zostanie sformatowany w następujący sposób:

„Dodatek” symbolizuje , a wpis brzmi: „x ma tendencję do ka po prawej stronie”.

Jeśli granice jednostronne są skończone i równe(jak w naszym przypadku): , to powiemy, że istnieje OGÓLNA granica. To proste, ogólny limit jest naszym „zwykłym” granica funkcji, równa liczbie skończonej.

Należy pamiętać, że jeśli funkcja nie jest zdefiniowana w (wyróżnij czarną kropkę na gałęzi wykresu), to powyższe obliczenia pozostają ważne. Jak już kilkakrotnie zauważono, w szczególności w artykule na nieskończenie małych funkcjach, wyrażenia oznaczają, że „x” nieskończenie blisko zbliża się do punktu, podczas gdy NIE MA ZNACZENIA, niezależnie od tego, czy sama funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie, czy nie. Dobry przykład można znaleźć w następnym akapicie, kiedy analizowana jest funkcja.

Definicja: funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli granica funkcji w danym punkcie jest równa wartości funkcji w tym punkcie: .

Definicja jest szczegółowo opisana w następujących terminach:

1) Funkcja musi być zdefiniowana w punkcie, czyli wartość musi istnieć.

2) Musi istnieć ogólna granica funkcji. Jak zauważono powyżej, oznacza to istnienie i równość granic jednostronnych: .

3) Granica funkcji w danym punkcie musi być równa wartości funkcji w tym punkcie: .

Jeśli naruszone przynajmniej jeden trzech warunków, wówczas funkcja traci właściwość ciągłości w punkcie .

Ciągłość funkcji w przedziale jest sformułowane pomysłowo i bardzo prosto: funkcja jest ciągła na przedziale, jeśli jest ciągła w każdym punkcie danego przedziału.

W szczególności wiele funkcji jest ciągłych na nieskończonym przedziale, to znaczy na zbiorze liczb rzeczywistych. Jest to funkcja liniowa, wielomiany, wykładnicza, sinus, cosinus itp. I ogólnie dowolna funkcja elementarna ciągły na swoim dziedzina definicji na przykład funkcja logarytmiczna jest ciągła w przedziale . Mamy nadzieję, że masz już całkiem niezłe pojęcie o tym, jak wyglądają wykresy podstawowych funkcji. Bardziej szczegółowe informacje na temat ich ciągłości można uzyskać od życzliwego człowieka nazwiskiem Fichtenholtz.

Przy ciągłości funkcji na odcinku i półprzedziałach wszystko też nie jest trudne, ale lepiej porozmawiać o tym na zajęciach o znalezieniu minimalnej i maksymalnej wartości funkcji w segmencie, ale na razie nie martwmy się tym.

Klasyfikacja punktów przerwania

Fascynujące życie funkcji jest bogate w różnego rodzaju punkty szczególne, a punkty przerwania to tylko jedna ze stron ich biografii.

Notatka : na wszelki wypadek zatrzymam się na punkcie elementarnym: punktem krytycznym jest zawsze pojedyńczy punkt– nie ma „kilku punktów przerwania z rzędu”, czyli nie ma czegoś takiego jak „przerwa”.

Punkty te z kolei dzielą się na dwie duże grupy: pęknięcia pierwszego rodzaju I pęknięcia drugiego rodzaju. Każdy rodzaj luki ma swoje charakterystyczne cechy, którym teraz się przyjrzymy:

Punkt nieciągłości pierwszego rodzaju

Jeśli w pewnym momencie zostanie naruszony warunek ciągłości i jednostronne granice skończone , wtedy to się nazywa punkt nieciągłości pierwszego rodzaju.

Zacznijmy od najbardziej optymistycznego przypadku. Zgodnie z pierwotną ideą lekcji chciałem opowiedzieć teorię „w kategoriach ogólnych”, ale aby wykazać realność materiału, zdecydowałem się na opcję z określonymi postaciami.

To smutne, jak zdjęcie nowożeńców na tle Wiecznego Płomienia, ale poniższe ujęcie jest powszechnie akceptowane. Przedstawmy wykres funkcji na rysunku:


Funkcja ta jest ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu. I w rzeczywistości mianownik nie może być równy zero. Jednak zgodnie ze znaczeniem limitu możemy nieskończenie blisko zbliżaj się do „zera” zarówno od lewej, jak i od prawej strony, to znaczy istnieją jednostronne granice i oczywiście pokrywają się:
(Warunek nr 2 ciągłości jest spełniony).

Jednak funkcja nie jest zdefiniowana w tym punkcie, dlatego też warunek nr 1 ciągłości zostaje naruszony i funkcja w tym miejscu cierpi na nieciągłość.

Przerwa tego typu (z istniejącym ogólny limit) są nazywane naprawialna luka. Dlaczego wyjmowany? Ponieważ funkcja może przedefiniować w punkcie krytycznym:

Czy to wygląda dziwnie? Może. Ale taki zapis funkcji w niczym nie zaprzecza! Teraz luka została zamknięta i wszyscy są szczęśliwi:


Przeprowadźmy kontrolę formalną:

2) – istnieje ogólny limit;
3)

Zatem wszystkie trzy warunki są spełnione, a funkcja jest ciągła w punkcie z definicji ciągłości funkcji w punkcie.

Jednak hejterzy matan mogą na przykład źle zdefiniować funkcję :


Co ciekawe, spełnione są tutaj dwa pierwsze warunki ciągłości:
1) – funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie;
2) – istnieje ogólne ograniczenie.

Ale trzecia granica nie została przekroczona: , czyli granica funkcji w punkcie nie równe wartość danej funkcji w danym punkcie.

Zatem w pewnym momencie funkcja wykazuje nieciągłość.

Drugi, smutniejszy przypadek to tzw pęknięcie pierwszego rodzaju ze skokiem. A smutek jest wywoływany przez jednostronne ograniczenia skończone i różne. Przykład pokazano na drugim rysunku lekcji. Taka luka zwykle występuje w funkcje określone fragmentarycznie, o których była już mowa w artykule o przekształceniach grafów.

Rozważmy funkcję fragmentaryczną i uzupełnimy jego rysunek. Jak zbudować wykres? Bardzo prosta. Na półodcinku rysujemy fragment paraboli (kolor zielony), na przedziale odcinek prosty (kolor czerwony), a na połowie odcinka linię prostą (kolor niebieski).

Ponadto ze względu na nierówność wyznaczana jest wartość dla funkcji kwadratowej (zielona kropka), a ze względu na nierówność wartość jest wyznaczana dla funkcji liniowej (niebieska kropka):

W najtrudniejszym przypadku należy zastosować konstrukcję punkt po punkcie każdego fragmentu wykresu (patrz pierwszy lekcja o wykresach funkcji).

Teraz będzie nas interesować tylko ten punkt. Zbadajmy to pod kątem ciągłości:

2) Obliczmy granice jednostronne.

Po lewej stronie mamy odcinek czerwonej linii, zatem lewa granica wynosi:

Po prawej stronie znajduje się niebieska linia prosta i prawa granica:

W rezultacie otrzymaliśmy skończone liczby, i oni nie równe. Ponieważ jednostronne granice skończone i różne: , to nasza funkcja toleruje nieciągłość pierwszego rodzaju ze skokiem.

Logiczne jest, że luki nie można wyeliminować - funkcji tak naprawdę nie można dalej zdefiniować i „skleić”, jak w poprzednim przykładzie.

Punkty nieciągłości drugiego rodzaju

Zwykle wszystkie inne przypadki pęknięcia są sprytnie klasyfikowane do tej kategorii. Nie będę wymieniał wszystkiego, bo w praktyce w 99% problemów się spotkasz niekończąca się przepaść– gdy jest się leworęcznym lub praworęcznym, a częściej obie granice są nieskończone.

I oczywiście najbardziej oczywistym obrazem jest hiperbola w punkcie zerowym. Tutaj obie jednostronne granice są nieskończone: , zatem funkcja cierpi na nieciągłość drugiego rodzaju w punkcie .

Staram się wypełniać swoje artykuły możliwie różnorodną treścią, dlatego przyjrzyjmy się wykresowi funkcji, która jeszcze nie została napotkana:

według standardowego schematu:

1) Funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana, ponieważ mianownik dąży do zera.

Oczywiście możemy od razu stwierdzić, że funkcja ma nieciągłość w punkcie , ale dobrze byłoby sklasyfikować charakter nieciągłości, czego często wymaga warunek. Dla tego:

Przypomnę, że pisząc mamy na myśli nagrywanie nieskończenie mała liczba ujemna, a pod wpisem - nieskończenie mała liczba dodatnia.

Granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że ​​funkcja ma w punkcie nieciągłość II rodzaju. Oś Y jest pionowa asymptota dla wykresu.

Nierzadko zdarza się, że istnieją obie jednostronne granice, ale tylko jedna z nich jest nieskończona, na przykład:

To jest wykres funkcji.

Badamy punkt ciągłości:

1) Funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana.

2) Obliczmy granice jednostronne:

O sposobie obliczania takich jednostronnych granic porozmawiamy w dwóch ostatnich przykładach wykładu, choć wielu czytelników już wszystko widziało i domyślało się.

Lewa granica jest skończona i równa zeru („nie idziemy do samego punktu”), ale prawa granica jest nieskończona i pomarańczowa gałąź wykresu zbliża się nieskończenie blisko swojej pionowa asymptota, podane równaniem (czarna linia przerywana).

Zatem funkcja cierpi nieciągłość drugiego rodzaju W punkcie .

W przypadku nieciągłości pierwszego rodzaju funkcję można zdefiniować w samym punkcie nieciągłości. Na przykład dla funkcji fragmentarycznej Możesz umieścić czarną, pogrubioną kropkę na początku współrzędnych. Po prawej stronie znajduje się gałąź hiperboli, a prawa granica jest nieskończona. Myślę, że prawie każdy ma pojęcie, jak wygląda ten wykres.

To na co wszyscy czekali:

Jak sprawdzić ciągłość funkcji?

Badanie funkcji na ciągłość w punkcie przeprowadza się według ustalonego już rutynowego schematu, który polega na sprawdzeniu trzech warunków ciągłości:

Przykład 1

Przeglądaj funkcję

Rozwiązanie:

1) Jedynym punktem w zakresie jest sytuacja, w której funkcja nie jest zdefiniowana.

2) Obliczmy granice jednostronne:

Granice jednostronne są skończone i równe.

Zatem w tym punkcie funkcja cierpi na usuwalną nieciągłość.

Jak wygląda wykres tej funkcji?

Chciałbym uprościć i wygląda na to, że otrzymano zwykłą parabolę. ALE pierwotna funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie , dlatego wymagana jest następująca klauzula:

Zróbmy rysunek:

Odpowiedź: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu, w którym występuje usuwalna nieciągłość.

Funkcję można dalej zdefiniować w dobry lub niezbyt dobry sposób, ale w zależności od warunku nie jest to wymagane.

Mówisz, że to naciągany przykład? Zupełnie nie. W praktyce zdarzało się to dziesiątki razy. Prawie wszystkie zadania serwisu pochodzą z prawdziwej, niezależnej pracy i testów.

Pozbądźmy się naszych ulubionych modułów:

Przykład 2

Przeglądaj funkcję dla ciągłości. Określić charakter nieciągłości funkcji, jeśli istnieją. Wykonaj rysunek.

Rozwiązanie: Z jakiegoś powodu uczniowie boją się i nie lubią funkcji z modułem, chociaż nie ma w nich nic skomplikowanego. Już trochę poruszaliśmy te tematy na lekcji. Przekształcenia geometryczne grafów. Ponieważ moduł jest nieujemny, rozwija się go w następujący sposób: , gdzie „alfa” jest pewnym wyrażeniem. W tym przypadku naszą funkcję należy zapisać fragmentarycznie:

Ale ułamki obu części muszą zostać zmniejszone o . Redukcja, podobnie jak w poprzednim przykładzie, nie odbędzie się bez konsekwencji. Funkcja pierwotna nie jest zdefiniowana w tym punkcie, ponieważ mianownik dąży do zera. Dlatego system powinien dodatkowo określić warunek i uczynić pierwszą nierówność ścisłą:

A teraz o BARDZO PRZYDATNEJ technice decyzyjnej: przed sfinalizowaniem zadania na szkicu warto wykonać rysunek (niezależnie od tego, czy wymagają tego warunki, czy nie). Pomoże to, po pierwsze, od razu dostrzec punkty ciągłości i nieciągłości, a po drugie, w 100% uchroni Cię przed błędami przy znajdowaniu granic jednostronnych.

Zróbmy rysunek. Zgodnie z naszymi obliczeniami, na lewo od punktu należy narysować fragment paraboli (kolor niebieski), a na prawo fragment paraboli (kolor czerwony), natomiast funkcja nie jest zdefiniowana na sam wskaż:

Jeśli masz wątpliwości, weź kilka wartości x i podłącz je do funkcji (pamiętając, że moduł niszczy ewentualny znak minus) i sprawdź wykres.

Zbadajmy analitycznie funkcję ciągłości:

1) Funkcja nie jest w punkcie zdefiniowana, więc od razu można powiedzieć, że nie jest w tym miejscu ciągła.

2) Ustalmy naturę nieciągłości, w tym celu obliczamy granice jednostronne:

Granice jednostronne są skończone i różne, co oznacza, że ​​funkcja doznaje nieciągłości pierwszego rodzaju ze skokiem w punkcie . Należy jeszcze raz zauważyć, że przy znajdowaniu granic nie ma znaczenia, czy funkcja w punkcie przerwania jest zdefiniowana, czy nie.

Teraz pozostaje tylko przenieść rysunek z szkicu (został wykonany jakby na podstawie badań ;-)) i wykonać zadanie:

Odpowiedź: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu, w którym wraz ze skokiem następuje nieciągłość pierwszego rodzaju.

Czasami wymagają dodatkowego wskazania skoku nieciągłości. Oblicza się to prosto - od prawej granicy należy odjąć lewą granicę: , czyli w punkcie przerwania nasza funkcja przeskoczyła o 2 jednostki w dół (jak mówi nam znak minus).

Przykład 3

Przeglądaj funkcję dla ciągłości. Określić charakter nieciągłości funkcji, jeśli istnieją. Narysuj coś.

Jest to przykład do samodzielnego rozwiązania, przykładowe rozwiązanie na końcu lekcji.

Przejdźmy do najpopularniejszej i najbardziej rozpowszechnionej wersji zadania, gdy funkcja składa się z trzech części:

Przykład 4

Zbadaj ciągłość funkcji i narysuj jej wykres .

Rozwiązanie: oczywiste jest, że wszystkie trzy części funkcji są ciągłe w odpowiednich przedziałach, zatem pozostaje sprawdzić tylko dwa punkty „połączenia” pomiędzy częściami. Na początek zróbmy szkic, technikę konstrukcyjną wystarczająco szczegółowo opisałem w pierwszej części artykułu. Jedyną rzeczą jest to, że musimy uważnie śledzić nasze punkty osobliwe: ze względu na nierówność wartość należy do linii prostej (zielona kropka), a ze względu na nierówność wartość należy do paraboli (czerwona kropka):


Cóż, w zasadzie wszystko jest jasne =) Pozostaje tylko sformalizować decyzję. Dla każdego z dwóch punktów „łączenia” standardowo sprawdzamy 3 warunki ciągłości:

I) Badamy punkt pod kątem ciągłości

1)

Granice jednostronne są skończone i różne, co oznacza, że ​​funkcja doznaje nieciągłości pierwszego rodzaju ze skokiem w punkcie .

Obliczmy skok nieciągłości jako różnicę między prawą i lewą granicą:
oznacza to, że wykres podskoczył o jedną jednostkę.

II) Badamy punkt pod kątem ciągłości

1) – funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie.

2) Znajdź granice jednostronne:

– granice jednostronne są skończone i równe, co oznacza, że ​​istnieje granica ogólna.

3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.

Na ostatnim etapie przenosimy rysunek do wersji ostatecznej, po czym umieszczamy ostateczny akord:

Odpowiedź: funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, z wyjątkiem punktu, w którym wraz ze skokiem następuje nieciągłość pierwszego rodzaju.

Przykład 5

Zbadaj ciągłość funkcji i skonstruuj jej wykres .

Jest to przykład samodzielnego rozwiązania, krótkie rozwiązanie i przybliżona próbka problemu na końcu lekcji.

Można odnieść wrażenie, że w jednym punkcie funkcja musi być ciągła, a w innym musi być nieciągłość. W praktyce nie zawsze tak jest. Staraj się nie zaniedbywać pozostałych przykładów - będzie kilka interesujących i ważnych funkcji:

Przykład 6

Biorąc pod uwagę funkcję . Zbadaj funkcję ciągłości w punktach. Zbuduj wykres.

Rozwiązanie: i ponownie natychmiast wykonaj rysunek na szkicu:

Osobliwością tego wykresu jest to, że funkcja odcinkowa jest określona przez równanie osi odciętych. Tutaj obszar ten jest narysowany na zielono, ale w notatniku jest zwykle zaznaczany pogrubioną czcionką za pomocą prostego ołówka. I oczywiście nie zapomnij o naszych baranach: wartość należy do gałęzi stycznej (czerwona kropka), a wartość należy do linii prostej.

Z rysunku wszystko jest jasne - funkcja jest ciągła na całej osi liczbowej, pozostaje tylko sformalizować rozwiązanie, które doprowadza się do pełnej automatyzacji dosłownie po 3-4 podobnych przykładach:

I) Badamy punkt pod kątem ciągłości

1) – funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie.

2) Obliczmy granice jednostronne:

, co oznacza, że ​​istnieje ogólna granica.

Na wszelki wypadek przypomnę banalny fakt: granica stałej jest równa samej stałej. W tym przypadku granica zera jest równa samemu zero (granica lewoskrętna).

3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.

Zatem funkcja jest ciągła w punkcie zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie.

II) Badamy punkt pod kątem ciągłości

1) – funkcja jest zdefiniowana w danym punkcie.

2) Znajdź granice jednostronne:

I tutaj – granica jedności jest równa samej jednostce.

– istnieje ogólne ograniczenie.

3) – granica funkcji w punkcie jest równa wartości tej funkcji w danym punkcie.

Zatem funkcja jest ciągła w punkcie zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie.

Tradycyjnie po badaniach przenosimy nasz rysunek do wersji ostatecznej.

Odpowiedź: funkcja jest ciągła w punktach.

Należy pamiętać, że pod warunkiem, że nie zapytano nas o nic o badanie całej funkcji na ciągłość i uważa się, że jest to dobra forma matematyczna do sformułowania precyzyjne i jasne odpowiedź na zadane pytanie. Swoją drogą, jeśli warunki nie wymagają od Ciebie zbudowania wykresu, to masz pełne prawo go nie budować (choć później nauczyciel może Cię do tego zmusić).

Mały matematyczny „łamacz języka” do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Biorąc pod uwagę funkcję . Zbadaj funkcję ciągłości w punktach. Sklasyfikuj punkty przerwania, jeśli występują. Wykonaj rysunek.

Spróbuj poprawnie „wymówić” wszystkie „słowa” =) I narysuj wykres dokładniej, z dokładnością, nie będzie to wszędzie zbędne ;-)

Jak pamiętacie, zalecałem natychmiastowe uzupełnienie rysunku w wersji roboczej, ale czasami zdarzają się przykłady, w których nie można od razu zorientować się, jak wygląda wykres. Dlatego w niektórych przypadkach korzystne jest najpierw znalezienie jednostronnych granic, a dopiero potem na podstawie badania zobrazowanie gałęzi. W dwóch ostatnich przykładach nauczymy się także techniki obliczania limitów jednostronnych:

Przykład 8

Zbadaj ciągłość funkcji i skonstruuj jej schematyczny wykres.

Rozwiązanie: złe punkty są oczywiste: (redukuje mianownik wykładnika do zera) i (redukuje mianownik całego ułamka do zera). Nie jest jasne, jak wygląda wykres tej funkcji, dlatego lepiej najpierw przeprowadzić pewne badania.

Funkcje ciągłe stanowią główną klasę funkcji, z którymi operuje analiza matematyczna. Ideę funkcji ciągłej można uzyskać mówiąc, że jej wykres jest ciągły, tj. można go narysować bez odrywania ołówka od papieru.

Funkcja ciągła wyraża matematycznie jedną właściwość, z którą często spotykamy się w praktyce, a mianowicie to, że mały przyrost zmiennej niezależnej odpowiada małemu przyrostowi zmiennej zależnej (funkcji). Doskonałymi przykładami funkcji ciągłej mogą być różne prawa ruchu ciał \(s=f(t)\), wyrażające zależność drogi pokonywanej przez ciało od czasu \(t\). Czas i przestrzeń są ciągłe, podczas gdy to czy inne prawo ruchu ciała \(s=f(t)\) ustanawia między nimi pewne ciągłe połączenie, charakteryzujące się tym, że małemu przyrostowi czasu odpowiada mały przyrost drogi.

Człowiek doszedł do abstrakcji ciągłości obserwując otaczające go tzw. ośrodki ciągłe – stałe, ciekłe lub gazowe, np. metale, wodę, powietrze. W rzeczywistości, jak powszechnie wiadomo, każde medium fizyczne jest nagromadzeniem dużej liczby poruszających się cząstek oddzielonych od siebie. Jednakże cząstki te i odległości między nimi są na tyle małe w porównaniu z objętościami ośrodków, z którymi mamy do czynienia w makroskopowych zjawiskach fizycznych, że wiele takich zjawisk można całkiem dobrze zbadać, jeśli przyjmiemy w przybliżeniu masę badanego ośrodka bez żadnych przerw , rozmieszczonych w sposób ciągły w zajmowanej przez nią przestrzeni . Na tym założeniu opiera się wiele dyscyplin fizycznych, na przykład hydrodynamika, aerodynamika i teoria sprężystości. Matematyczna koncepcja ciągłości naturalnie odgrywa dużą rolę w tych dyscyplinach, podobnie jak w wielu innych.

Rozważmy pewną funkcję \(y=f(x)\) i dobrze zdefiniowaną wartość zmiennej niezależnej \(x_0\) . Jeśli nasza funkcja odzwierciedla jakiś proces ciągły, to wartości \(x\), które niewiele różnią się od \(x_0\), powinny odpowiadać wartościom funkcji \(f(x)\), które niewiele różnią się od wartość \(f(x_0)\) w punkcie \(x_0\) . Zatem jeśli przyrost \(x-x_0\) zmiennej niezależnej jest mały, to odpowiadający mu przyrost \(f(x)-f(x_0)\) funkcji również musi być mały. Innymi słowy, jeśli przyrost zmiennej niezależnej \(x-x_0\) dąży do zera, to przyrost \(f(x)-f(x_0)\) funkcji musi z kolei dążyć do zera, co można zapisać następująco:

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

Zależność ta jest matematyczną definicją ciągłości funkcji w punkcie \(x_0\).

Funkcja \(f(x)\) nazywana jest ciągłą w punkcie \(x_0\), jeśli spełniona jest równość (1).

Podajmy inną definicję:

Funkcja nazywana jest ciągłą dla wszystkich wartości należących do danego odcinka, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie \(x_0\) tego odcinka, tj. w każdym takim punkcie równość (1) jest spełniona.

Zatem, aby wprowadzić matematyczną definicję właściwości funkcji, która polega na tym, że jej wykres jest krzywą ciągłą (w potocznym tego słowa znaczeniu), konieczne stało się w pierwszej kolejności określenie lokalnej, lokalnej właściwości funkcji ciągłość (ciągłość w punkcie \(x_0\) ), a następnie na tej podstawie określić ciągłość funkcji na całym odcinku.

Powyższa definicja, wskazana po raz pierwszy na początku ubiegłego wieku przez Cauchy’ego, jest powszechnie przyjęta we współczesnej analizie matematycznej. Testowanie na licznych konkretnych przykładach wykazało, że ta definicja dobrze odpowiada naszej obecnej praktycznej koncepcji funkcji ciągłej, na przykład idei wykresu ciągłego.

Przykładami funkcji ciągłych są podstawowe funkcje znane ze szkolnej matematyki \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \ ( \lg(x),\) \(\arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . Wszystkie wymienione funkcje są ciągłe w przedziałach zmian \(x\), w których są zdefiniowane.

Jeśli dodamy, odejmiemy, pomnożymy i podzielimy funkcje ciągłe (z mianownikiem różnym od zera), to w rezultacie ponownie otrzymamy funkcję ciągłą. Jednak podczas dzielenia ciągłość jest zwykle przerywana dla tych wartości \(x_0\), przy których funkcja w mianowniku dąży do zera. Wynik dzielenia reprezentuje wówczas funkcję nieciągłą w punkcie \(x_0\).

Za przykład funkcji nieciągłej w punkcie \(y=0\) może służyć funkcja \(y=\frac(1)(x)\). Szereg innych przykładów funkcji nieciągłych dają wykresy pokazane na ryc. 1.

Zalecamy dokładne przejrzenie tych wykresów. Należy zauważyć, że nieciągłości funkcji są różne: czasami, gdy \(x\) zbliża się do punktu \(x_0\), w którym funkcja ulega nieciągłości, granica \(f(x)\) istnieje, ale różni się od \(f (x_0)\ ), a czasami, jak na ryc. 1c, granica ta po prostu nie istnieje. Zdarza się również, że gdy \(x\) zbliża się do \(x_0\) z jednej strony \(f(x)-f(x_0)\to0\) , a jeśli \(x\do x_0\) zbliża się z drugiej z drugiej strony, wówczas \(f(x)-f(x_0)\) nie dąży już do zera. W tym przypadku mamy oczywiście nieciągłość funkcji, choć można o niej powiedzieć, że w tym momencie jest ona „ciągła z jednej strony”. Wszystkie te przypadki można prześledzić na podanych wykresach.

Definicja ciągłości funkcji

1. Funkcja \(y=f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x=a\), jeśli granice po lewej i prawej stronie są równe i równe wartości funkcji w tym punkcie, tj.

\(\lim_(x\do a-0)f(x)=\lim_(x\do a+0)f(x)=f(a).\)

2. Funkcja \(y=f(x)\) jest ciągła w punkcie \(x=a\), jeżeli jest w tym punkcie zdefiniowana i jeżeli nieskończenie małemu przyrostowi argumentu odpowiada nieskończenie małemu przyrostowi funkcji, tj. \(\lim_(\Delta x\do 0)\Delta y=0\) w pobliżu punktu \(a\) .

Suma, różnica i iloczyn skończonej liczby funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Funkcja ciągła na przedziale \(\) przyjmuje dowolną wartość pośrednią między jej najmniejszą \(m\) a największą wartością \(M\), to znaczy \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) dla wszystkich \(x\in\) . Wynika z tego, że jeżeli na brzegach odcinka \(\) funkcja ma różne znaki, to wewnątrz odcinka istnieje przynajmniej jedna wartość \(x=c\), przy której funkcja zanika. Ta właściwość ciągłości funkcji pozwala znaleźć w przybliżeniu pierwiastki wielomianów.

Punkty przerwania funkcji

Nazywa się wartości argumentów, które nie spełniają warunków ciągłości punkty przerwania funkcji. W tym przypadku wyróżnia się dwa typy punktów nieciągłości funkcji.

Jeżeli dla \(x\to a\) po lewej stronie funkcja ma skończoną granicę \(k_1\) , a dla \(x\to a\) po prawej stronie funkcja ma skończoną granicę \(k_2\) i \(k_1\ne k_2\) , to mówią, że funkcja dla \(x=a\) ma pęknięcie pierwszego rodzaju. Różnica \(|k_1-k_2|\) określa skok funkcji w punkcie \(x=a\) . Wartość funkcji w \(x=a\) może być równa dowolnej liczbie \(k_3\) .

Jeśli wartość funkcji w \(x=a\) jest równa \(k_1\) , to mówimy, że funkcja jest ciągła; jeśli \(k_2\) , to mówią, że funkcja jest prawociągła.

Jeśli \(k_1=k_2\ne k_3\) mówią, że funkcja ma w punkcie \(a\) naprawialna luka.

Jeżeli dla \(x\to a\) po prawej lub lewej stronie granica funkcji nie istnieje lub jest równa nieskończoności, czyli \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), to mówią, że funkcja for \ (x=a\) ma nieciągłość drugiego rodzaju.

Przykład 1. Znajdź zbiór wartości \(x\), dla którego funkcja \(y=x^3-2x\) jest ciągła.

Rozwiązanie. Znajdźmy przyrost funkcji

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)

Dla dowolnych wartości zmiennej \(x\) przyrost wynosi \(\Delta y\to0\) chyba że \(\Delta x\to0\) więc funkcja jest ciągła dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej \ (X\) .

Przykład 2. Udowodnij ciągłość funkcji \(y=\frac(1)(x-1)\) w punkcie \(x=3\) .

Rozwiązanie. Aby to udowodnić, znajdźmy przyrost funkcji \(y\), gdy wartość argumentu przesuwa się z \(x=3\) do \(x=3+\Delta x\)

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

Znajdźmy granicę przyrostu funkcji w \(\Delta x\to0\)

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

Ponieważ granica przyrostu funkcji w \(\Delta x\to0\) jest równa zeru, to funkcja w \(x\to3\) jest ciągła.

Przykład 3. Określ naturę nieciągłości funkcji i skonstruuj wykresy:

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (if)~x=2;\end(cases)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ nazwaoperatora(arctg)\frac(1)(x).\)

Rozwiązanie.

a) Gdy \(x=1\) funkcja nie jest zdefiniowana, w tym miejscu znajdujemy jednostronne granice:

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

Zatem w punkcie \(x=1\) funkcja ma nieciągłość drugiego rodzaju.

b) Dla \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). Gdy \(x>0\) granica jest równa \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). Zatem w punkcie \(x=1\) funkcja \(y\) ma nieciągłość pierwszego rodzaju, a skok funkcji jest równy \(|k_1-k_2|=|-1-1|= 2\) .

c) Funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej, nieelementarnej, ponieważ w punkcie \(x=2\) zmienia się wyrażenie analityczne funkcji. Zbadajmy ciągłość funkcji w punkcie \(x=2\) :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

Jest oczywiste, że w punkcie \(x=2\) funkcja ma usuwalną nieciągłość.

d) Znajdź lewą i prawą granicę funkcji w punkcie \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

Zatem w punkcie \(x=0\) funkcja ma po prawej stronie nieciągłość drugiego rodzaju, a po lewej ciągłość.

e) Znajdź jednostronne granice funkcji w punkcie \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\nazwa operatora(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

Zatem w punkcie \(x=0\) po obu stronach funkcji \(y=\nazwa operatora(arctg)\frac(1)(x)\) wyścigi konne