Zrób to sam złudzenia optyczne trójkąta Penrose'a. Trójkąt Penrose'a. Tworzymy niemożliwy trójkąt. Niemożliwy trójkąt w Perth

Niemożliwy trójkąt to jeden z niesamowitych paradoksów matematycznych. Na pierwszy rzut oka nie można wątpić w jego prawdziwe istnienie. To jednak tylko złudzenie, oszustwo. A samą możliwość takiej iluzji wyjaśni nam matematyka!

Odkrycie Penroses

W 1958 roku British Psychological Journal opublikował artykuł L. Penrose'a i R. Penrose'a, w którym przedstawili nowy typ złudzenie optyczne, które nazwali „ niemożliwy trójkąt».

Niemożliwy wizualnie trójkąt jest postrzegany jako struktura, która faktycznie istnieje w przestrzeni trójwymiarowej i składa się z prostokątnych prętów. Ale to tylko złudzenie optyczne. Nie da się zbudować prawdziwego modelu niemożliwego trójkąta.

Artykuł Penrose'a zawierał kilka opcji przedstawiania niemożliwego trójkąta. - jego „klasyczna” prezentacja.

Jakie elementy składają się na niemożliwy trójkąt?

A dokładniej, z jakich elementów wydaje się nam zbudowany? Projekt opiera się na narożniku prostokątnym, który uzyskuje się poprzez połączenie dwóch identycznych prostokątnych prętów pod kątem prostym. Potrzebne są trzy takie rogi, a zatem pręty sześć sztuk. Te rogi muszą być wizualnie „połączone” ze sobą w określony sposób, aby tworzyły zamknięty łańcuch. To, co się dzieje, to niemożliwy trójkąt.

Umieść pierwszy narożnik w płaszczyźnie poziomej. Przymocujemy do niego drugi róg, kierując jedną z jego krawędzi do góry. Na koniec dodajemy trzeci narożnik do tego drugiego narożnika, tak aby jego krawędź była równoległa do pierwotnej płaszczyzny poziomej. W tym przypadku dwie krawędzie pierwszego i trzeciego narożnika będą równoległe i skierowane w różnych kierunkach.

Jeżeli potraktujemy pręt jako odcinek o jednostkowej długości, to końce prętów pierwszego narożnika mają współrzędne, a drugiego narożnika - , a trzeciego - , i. Otrzymaliśmy „skręconą” strukturę, która faktycznie istnieje w przestrzeni trójwymiarowej.

A teraz spróbujmy spojrzeć na to w myślach z różnych punktów przestrzeni. Wyobraź sobie, jak wygląda z jednego punktu, z drugiego, z trzeciego. Zmieniając punkt obserwacji, wydaje się, że dwie „końcowe” krawędzie naszych narożników poruszają się względem siebie. Nie jest trudno znaleźć pozycję, w której się połączą.

Ale jeśli odległość między żebrami jest znacznie mniejsza niż odległość od rogów do punktu, z którego patrzymy na naszą konstrukcję, to oba żebra będą miały dla nas tę samą grubość i pojawi się pomysł, że te dwa żebra są w rzeczywistości kontynuacja siebie nawzajem. Ta sytuacja jest pokazana w 4.

Nawiasem mówiąc, jeśli jednocześnie spojrzymy na odbicie konstrukcji w lustrze, to nie zobaczymy tam obwodu zamkniętego.

I z wybranego punktu obserwacji widzimy na własne oczy cud, który się wydarzył: jest zamknięty łańcuch trzech rogów. Tylko nie zmieniaj punktu obserwacji, aby ta iluzja się nie załamała. Teraz możesz narysować obiekt, który widzisz, lub umieścić obiektyw aparatu w znalezionym punkcie i zrobić zdjęcie niemożliwego obiektu.

Penrose'owie jako pierwsi zainteresowali się tym zjawiskiem. Wykorzystali możliwości, jakie pojawiają się przy mapowaniu trójwymiarowej przestrzeni i trójwymiarowych obiektów na dwuwymiarową płaszczyznę i zwrócili uwagę na pewną niepewność projektową - otwarta struktura trzech narożników może być postrzegana jako zamknięty łańcuch.

Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a

Analizując cechy dwuwymiarowego obrazu trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie, zrozumieliśmy, w jaki sposób cechy tego wyświetlacza prowadzą do niemożliwego trójkąta. Być może kogoś zainteresuje dowód czysto matematyczny.

Niezwykle łatwo jest udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje, ponieważ każdy z jego kątów jest prawy, a ich suma wynosi 270 stopni zamiast „umieszczonych” 180 stopni.

Co więcej, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę niemożliwy trójkąt sklejony z narożników mniejszych niż 90 stopni, to w tym przypadku możemy udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje.

Widzimy trzy płaskie twarze. Przecinają się parami wzdłuż linii prostych. Płaszczyzny zawierające te ściany są parami prostopadłe, więc przecinają się w jednym punkcie.

Ponadto przez ten punkt muszą przechodzić linie wzajemnego przecięcia płaszczyzn. Dlatego proste 1, 2, 3 muszą przecinać się w jednym punkcie.

Ale nie jest. Dlatego prezentowana konstrukcja jest niemożliwa.

Sztuka „niemożliwa”

Losy tej czy innej idei – naukowej, technicznej, politycznej – zależą od wielu okoliczności. I nie tylko w formie, w jakiej ten pomysł zostanie przedstawiony, w jakim wizerunku pojawi się opinii publicznej. Czy wcielenie będzie suche i trudne do zauważenia, czy wręcz przeciwnie, manifestacja idei będzie jasna, przykuwając naszą uwagę nawet wbrew naszej woli.

Niemożliwy trójkąt ma szczęśliwy los. W 1961 roku holenderski artysta Moritz Escher ukończył litografię, którą nazwał „Wodospad”. Artysta przeszedł długą, ale szybką drogę od samej idei niemożliwego trójkąta do jego niesamowitego artystycznego wcielenia. Przypomnijmy, że artykuł Penrose'a ukazał się w 1958 roku.

W sercu „Wodospadu” pokazano dwa niemożliwe trójkąty. Jeden trójkąt jest duży, w środku znajduje się inny trójkąt. Może się wydawać, że przedstawiono trzy identyczne niemożliwe trójkąty. Ale nie o to chodzi, prezentowana konstrukcja jest dość skomplikowana.

Na pierwszy rzut oka jego absurdalność nie będzie od razu widoczna dla wszystkich, ponieważ każdy przedstawiony związek jest możliwy. jak mówią, lokalnie, to znaczy na niewielkim obszarze rysunku, taki projekt jest wykonalny ... Ale ogólnie rzecz biorąc, jest to niemożliwe! Jego poszczególne elementy nie pasują do siebie, nie pasują do siebie.

Aby to zrozumieć, musimy podjąć pewne wysiłki intelektualne i wizualne.

Wybierzmy się w podróż po krawędziach konstrukcji. Ta ścieżka jest niezwykła, ponieważ wzdłuż niej, jak nam się wydaje, poziom względem płaszczyzny poziomej pozostaje niezmieniony. Idąc tą ścieżką, nie idziemy ani w górę, ani w dół.

I wszystko byłoby dobrze, znajomo, gdybyśmy na końcu ścieżki - a mianowicie w punkcie - nie odkryli, że w stosunku do początkowego, początkowego punktu, jakoś tajemniczo, niewyobrażalnie wspięliśmy się na pion!

Aby dojść do tego paradoksalnego wyniku, musimy wybrać tę ścieżkę, a nawet monitorować poziom względem płaszczyzny poziomej… Niełatwe zadanie. W swojej decyzji Escher przyszedł z pomocą… wodzie. Zapamiętajmy piosenkę o ruchu z cudownego cykl wokalny Franz Schubert „Piękny młynarz”

A najpierw w wyobraźni, a potem pod ręką wspaniałego mistrza, nagie i suche konstrukcje zamieniają się w akwedukty, przez które przepływają czyste i szybkie strumienie wody. Ich ruch przykuwa nasz wzrok i teraz wbrew naszej woli pędzimy z prądem, podążając za wszystkimi zakrętami i zakrętami ścieżki, razem ze strumykiem, który załamujemy, padamy na łopatki młyna wodnego, a potem znowu pędzimy z prądem.. .

Okrążamy tę ścieżkę raz, dwa, trzy razy… i dopiero wtedy uświadamiamy sobie: poruszając się w dół i w dół, jakoś fantastycznie wznosimy się na szczyt! Początkowe zaskoczenie przeradza się w rodzaj intelektualnego dyskomfortu. Wygląda na to, że staliśmy się ofiarą jakiegoś żartu, przedmiotem jakiegoś żartu, który nie został jeszcze zrozumiany.

I znowu powtarzamy tę drogę dziwnym kanałem wodnym, teraz powoli, ostrożnie, jakby obawiając się podstępu z paradoksalnego obrazu, krytycznie postrzegając wszystko, co dzieje się na tej tajemniczej ścieżce.

Próbujemy rozwikłać zadziwiającą nas tajemnicę i nie możemy uciec z jej niewoli, dopóki nie znajdziemy ukrytego źródła, które leży u jego podstaw i nie wprawia w nieustanny ruch niewyobrażalnego wiru.

Artysta w szczególny sposób podkreśla, narzuca nam postrzeganie swoich obrazów jako obrazów rzeczywistych trójwymiarowych obiektów. Kubatura podkreśla wyobrażenie całkiem realnych wielościanów na wieżach, mury akweduktu z najdokładniejszym odwzorowaniem każdej cegły, wznoszące się tarasy z ogrodami w tle. Wszystko ma na celu przekonanie widza o rzeczywistości tego, co się dzieje. A dzięki sztuce i świetna technika cel ten został osiągnięty.

Kiedy wyrywamy się z niewoli, w jaką popada nasza świadomość, zaczynamy porównywać, kontrastować, analizować, odkrywamy, że podstawa, źródło tego obrazu kryją się w cechach konstrukcyjnych.

I dostaliśmy jeszcze jeden - „fizyczny” dowód niemożliwości „niemożliwego trójkąta”: gdyby taki trójkąt istniał, to istniałby również „Wodospad” Eschera, który jest w zasadzie perpetuum mobile. Ale maszyna perpetuum mobile jest niemożliwa, dlatego „trójkąt niemożliwy” jest również niemożliwy. I być może ten „dowód” jest najbardziej przekonujący.

Co uczyniło Moritza Eschera fenomenem, wyjątkową osobą, która nie miała w sztuce oczywistych poprzedników i której nie można naśladować? To połączenie płaszczyzn i tomów, zwracanie szczególnej uwagi na przedziwne formy mikrokosmosu - żywego i nieożywionego, na niezwykłe punkty widzenia na zwykłe rzeczy. Głównym efektem jego kompozycji jest efekt powstania niemożliwych relacji między znajomymi przedmiotami. Takie sytuacje na pierwszy rzut oka mogą zarówno przestraszyć, jak i wywołać uśmiech. Możesz z radością spojrzeć na zabawę, jaką oferuje artysta, lub możesz poważnie zanurzyć się w czeluści dialektyki.

Moritz Escher pokazał, że świat może wcale nie jest taki, jak go widzimy i przywykliśmy go postrzegać – wystarczy spojrzeć na niego z innej, nowej perspektywy!

Moritz Escher

Moritz Escher miał więcej szczęścia jako naukowiec niż jako artysta. Jego ryciny i litografie były postrzegane jako klucze do udowodnienia twierdzeń lub oryginalnych kontrprzykładów, które były sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem. W najgorszym przypadku byli postrzegani jako piękne ilustracje do rozpraw naukowych z zakresu krystalografii, teorii grup, psychologii poznawczej czy grafiki komputerowej. Moritz Escher zajmował się relacjami czasoprzestrzennymi i ich tożsamością, wykorzystywał podstawowe wzory mozaik, nakładając na nie przekształcenia. To jest Wielki mistrz iluzje optyczne. Ryciny Eschera przedstawiają nie świat formuł, ale piękno świata. Ich intelektualny magazyn jest zasadniczo przeciwny nielogicznym kreacjom surrealistów.

Holenderski artysta Moritz Cornelius Escher urodził się 17 czerwca 1898 roku w prowincji Holandia. Dom, w którym urodził się Escher, jest teraz muzeum.

Od 1907 Moritz studiuje stolarstwo i grę na fortepianie, studiując na Liceum. Oceny Moritza ze wszystkich przedmiotów były słabe, z wyjątkiem rysunku. Nauczyciel plastyki zauważył talent chłopca i nauczył go wykonywać drzeworyty.

W 1916 Escher wykonał swój pierwszy praca graficzna, grawer na fioletowym linoleum - portret ojca G. A. Eschera. Odwiedza warsztat artysty Gerta Stiegemanna, który miał prasę drukarską. Na tej maszynie wydrukowano pierwsze ryciny Eschera.

W latach 1918-1919 Escher uczęszczał do Wyższej Szkoły Technicznej w holenderskim mieście Delft. Otrzymuje odroczenie służby wojskowej na kontynuowanie studiów, ale ze względu na zły stan zdrowia Moritz nie poradził sobie z programem nauczania i został wydalony. W rezultacie nigdy nie otrzymał wyższa edukacja. Studiuje w Szkole Architektury i Zdobnictwa w Haarlemie, gdzie pobiera lekcje rysunku u Samuela Jeserina de Mesquite, który miał kształtujący wpływ na życie i twórczość Eschera.

W 1921 rodzina Escherów odwiedziła Riwierę i Włochy. Zafascynowany roślinnością i kwiatami klimatu śródziemnomorskiego Moritz wykonał szczegółowe rysunki kaktusów i drzew oliwnych. Narysował wiele szkiców pejzaży górskich, które później stały się podstawą jego twórczości. Później stale wracał do Włoch, które byłyby dla niego źródłem inspiracji.

Escher zaczyna dla siebie eksperymentować w nowym kierunku, już wtedy w jego pracach pojawiają się odbicia lustrzane, kryształowe figury i kule.

Koniec lat dwudziestych okazał się dla Moritza bardzo owocnym okresem. Jego prace były pokazywane na wielu wystawach w Holandii, a do 1929 jego popularność osiągnęła taki poziom, że w ciągu jednego roku odbyło się pięć wystaw indywidualnych w Holandii i Szwajcarii. To właśnie w tym okresie obrazy Eschera zostały po raz pierwszy nazwane mechanicznymi i „logicznymi”.

Asher dużo podróżuje. Mieszka we Włoszech i Szwajcarii, Belgii. Studiuje mozaiki mauretańskie, wykonuje litografie, ryciny. Na podstawie szkiców z podróży tworzy swój pierwszy obraz niemożliwej rzeczywistości Martwa natura z ulicą.

Pod koniec lat trzydziestych Escher kontynuował eksperymenty z mozaikami i przekształceniami. Tworzy mozaikę w postaci dwóch lecących ku sobie ptaków, które stały się podstawą obrazu „Dzień i noc”.

W maju 1940 r. hitlerowcy zajęli Holandię i Belgię, a 17 maja do strefy okupacyjnej wpadła także Bruksela, w której mieszkał wówczas Escher z rodziną. Znajdują dom w Warnie i przenoszą się tam w lutym 1941 roku. Do końca swoich dni Escher będzie mieszkał w tym mieście.

W 1946 roku Escher zainteresował się technologią druku wklęsłego. I choć ta technologia była znacznie bardziej skomplikowana niż ta, którą wcześniej zastosował Escher i wymagała więcej czasu na stworzenie obrazu, rezultaty były imponujące – cienkie linie i dokładne odwzorowanie cieni. Jeden z najbardziej znane prace we wklęsłodruku „Kropla rosy” została ukończona w 1948 roku.

W 1950 roku Moritz Escher zyskał popularność jako wykładowca. Następnie, w 1950 roku, jego pierwsza indywidualna wystawa odbyła się w Stanach Zjednoczonych i zaczęto kupować jego prace. 27 kwietnia 1955 Moritz Escher zostaje pasowany na rycerza i zostaje szlachcicem.

W połowie lat pięćdziesiątych Escher łączy mozaiki z postaciami sięgającymi w nieskończoność.

Na początku lat 60. ukazała się pierwsza książka z dziełami Eschera, Grafiek en Tekeningen, w której sam autor skomentował 76 dzieł. Książka pomogła uzyskać zrozumienie wśród matematyków i krystalografów, w tym niektórych w Rosji i Kanadzie.

W sierpniu 1960 Escher wygłosił wykład z krystalografii w Cambridge. Matematyczne i krystalograficzne aspekty prac Eschera stają się bardzo popularne.

W 1970 r. po Nowa seria Operacje Eschera zostały przeniesione do nowy dom w Laren, który miał pracownię, ale zły stan zdrowia uniemożliwiał ciężką pracę.

Moritz Escher zmarł w 1971 roku w wieku 73 lat. Escher żył wystarczająco długo, by zobaczyć „Świat M.C. Eschera” przetłumaczony na język angielski i był z tego bardzo zadowolony.

Różne niemożliwe zdjęcia można znaleźć na stronach internetowych matematyków i programistów. bardzo pełna wersja z tych, na które patrzyliśmy, naszym zdaniem jest strona Vlada Alekseeva

Ta strona prezentuje nie tylko szeroką gamę znane obrazy, w tym M. Escher, ale także animowane obrazy, śmieszne rysunki niemożliwych zwierząt, monety, znaczki itp. Ta strona żyje, jest okresowo aktualizowana i uzupełniana niesamowitymi rysunkami.

kierownik

nauczyciel matematyki

1.Wprowadzenie ………………………………………………….……3

2. Tło historyczne………………………………………..…4

3. Część główna……………………………………………………….7

4. Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a ...... 9

5. Wnioski………………………………………………..……………11

6. Literatura……………………………………………….…… 12

Stosowność: Matematyka to przedmiot studiowany od pierwszego do klasa maturalna. Wielu uczniów uważa to za trudne, nieciekawe i niepotrzebne. Ale jeśli wyjrzysz poza strony podręcznika, przeczytasz dodatkową literaturę, matematyczne sofizmaty i paradoksy, wtedy zmieni się idea matematyki, pojawi się chęć studiowania więcej niż jest studiowane kurs szkolny matematyka.

Cel:

pokazanie, że istnienie figur niemożliwych poszerzy horyzonty, rozwinie wyobraźnię przestrzenną, jest wykorzystywane nie tylko przez matematyków, ale i artystów.

Zadania :

1. Przestudiuj literaturę na ten temat.

2. Rozważ niemożliwe figury, stwórz model niemożliwego trójkąta, udowodnij, że niemożliwy trójkąt nie istnieje na płaszczyźnie.

3. Rozłóż niemożliwy trójkąt.

4. Rozważ przykłady użycia niemożliwego trójkąta w sztuce.

Wstęp

Z historycznego punktu widzenia matematyka odgrywała ważną rolę w sztukach wizualnych, w szczególności w przedstawianiu perspektywy, która polega na realistycznym przedstawianiu trójwymiarowej sceny na płaskim płótnie lub kartce papieru. Według współczesnych poglądów matematyka i sztuka bardzo odległe od siebie dyscypliny, pierwsza – analityczna, druga – emocjonalna. Matematyka nie odgrywa oczywistej roli w większości zawodów Sztuka współczesna w rzeczywistości wielu artystów rzadko lub nigdy nie używa perspektywy. Jest jednak wielu artystów, którzy skupiają się na matematyce. Kilka znaczących postaci w sztukach wizualnych utorowało drogę tym osobom.

Ogólnie rzecz biorąc, nie ma żadnych reguł ani ograniczeń dotyczących korzystania z różnych tematów w sztuce matematycznej, takich jak figury niemożliwe, wstęga Möbiusa, zniekształcenia lub nietypowe systemy perspektywy i fraktale.

Historia niemożliwych postaci

Figury niemożliwe są pewnego rodzaju paradoksem matematycznym, składającym się z regularnych kawałków połączonych w nieregularny kompleks. Jeśli spróbujesz sformułować definicję terminu „obiekty niemożliwe”, prawdopodobnie brzmiałoby to mniej więcej tak – fizycznie możliwe figury złożone w niemożliwej formie. Ale o wiele przyjemniej jest na nie patrzeć, formułować definicje.

Błędy budownictwo przestrzenne spotkał się z artystami i tysiąc lat temu. Ale za pierwszego, który budował i analizował niemożliwe przedmioty, uważa się szwedzkiego artystę Oscara Reutersvärda, który namalował w 1934 roku. pierwszy niemożliwy trójkąt składający się z dziewięciu kostek.

Trójkąt Reutersvärda

Niezależny od Reutersvaerda, angielski matematyk i fizyk Roger Penrose na nowo odkrywa niemożliwy trójkąt i publikuje jego obraz w British Psychology Journal w 1958 roku. Iluzja wykorzystuje „fałszywą perspektywę”. Czasami taka perspektywa nazywana jest chińską, ponieważ podobny sposób rysowania, gdy głębia rysunku jest „niejednoznaczna”, często znajdował się w pracach chińskich artystów.

Upadek Eschera

W 1961 Holender M. Escher, zainspirowany niemożliwym trójkątem Penrose'a, tworzy słynną litografię „Wodospad”. Woda na zdjęciu płynie bez końca, za kołem wodnym przechodzi dalej i opada z powrotem do punktu wyjścia. W rzeczywistości jest to obraz maszyny perpetum mobile, ale każda próba zbudowania tego projektu w rzeczywistości jest skazana na niepowodzenie.

Kolejny przykład niemożliwych postaci przedstawiono na rysunku „Moskwa”, który przedstawia niezwykły schemat moskiewskiego metra. Początkowo postrzegamy obraz jako całość, ale śledząc wzrokiem poszczególne linie, jesteśmy przekonani o niemożliwości ich istnienia.

« Moskwa”, grafika (tusz, ołówek), 50x70 cm, 2003

Rysunek „Trzy ślimaki” kontynuuje tradycje drugiej słynnej niemożliwej postaci - niemożliwej kostki (pudełka).

„Trzy ślimaki” Niemożliwa kostka

Kombinację różnych obiektów można również znaleźć w niezbyt poważnym rysunku „IQ” (iloraz inteligencji). Interesujące jest to, że niektórzy ludzie nie dostrzegają obiektów niemożliwych ze względu na to, że ich świadomość nie jest w stanie utożsamić płaskich obrazów z obiektami trójwymiarowymi.

Donald Simanek ocenił, że rozumienie paradoksów wizualnych jest jedną z takich cech rozpoznawczych kreatywność w posiadaniu najlepszych matematyków, naukowców i artystów. Wiele prac z obiektami paradoksalnymi można zaklasyfikować jako „intelektualne”. gry matematyczne». nowoczesna nauka mówi o 7- lub 26-wymiarowym modelu świata. Modelowanie takiego świata jest możliwe tylko przy pomocy wzory matematyczne, człowiek po prostu nie jest w stanie sobie tego wyobrazić. Tutaj przydają się liczby niemożliwe.

Trzecią popularną niemożliwą figurą są niesamowite schody stworzone przez Penrose'a. Będziesz stale wznosić się (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) lub schodzić (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) wzdłuż niego. Podstawą był model Penrose'a sławny obraz M. Escher „W górę iw dół” Niesamowite schody Penrose'a

Niemożliwy trójząb

„Cholera widelec”

Istnieje inna grupa obiektów, których nie można zaimplementować. Klasyczna figura to niemożliwy trójząb, czyli „diabelski widelec”. Po dokładnym przestudiowaniu obrazu można zauważyć, że trzy zęby stopniowo zamieniają się w dwa na raz, co prowadzi do konfliktu. Porównujemy ilość zębów z góry i z dołu i dochodzimy do wniosku, że obiekt jest niemożliwy. Jeśli zamkniesz górną część trójzębu ręką, zobaczymy bardzo prawdziwy obraz - trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okazuje się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

Widać więc, że przód i tło ta liczba jest w konflikcie. To znaczy, co było pierwotnie pierwszoplanowy cofa się, a tło (środkowy ząb) czołga się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła ten rysunek ma inny efekt - płaskie krawędzie górnej części trójzębu stają się okrągłe u dołu.

Głównym elementem.

Trójkąt- figura składająca się z 3 sąsiadujących ze sobą części, która za pomocą niedopuszczalnych połączeń tych części tworzy iluzję struktury niemożliwej z matematycznego punktu widzenia. W inny sposób ten trzytakt jest również nazywany kwadrat Penrose

Graficzna zasada tej iluzji zawdzięcza swoje sformułowanie psychologowi i jego synowi Rogerowi, fizykowi. Kwadrat Penrouze składa się z 3 barów przekrój kwadratowy zlokalizowane w 3 wzajemnie prostopadłych kierunkach; każdy łączy się z następnym pod kątem prostym, z których wszystkie pasują do trójwymiarowej przestrzeni. Oto prosty przepis na narysowanie tego izometrycznego widoku kwadratu Penrose'a:

Przytnij rogi trójkąta równobocznego wzdłuż linii równoległych do boków;

Narysuj równoległe do boków wewnątrz przyciętego trójkąta;

Ponownie przytnij rogi

Ponownie narysuj wewnątrz równoleżniki;

· Wyobraź sobie jeden z dwóch możliwych sześcianów w jednym z rogów;

· Kontynuuj to „rzeczą” w kształcie litery L;

Uruchom ten projekt w kółko.

Gdybyśmy wybrali inny sześcian, to kwadrat byłby „skręcony” w drugą stronę .

Rozwój niemożliwego trójkąta.

przerwać linię

przecinanie liny

Jakie elementy składają się na niemożliwy trójkąt? Dokładniej, z jakich elementów wydaje się nam (wydaje się!) zbudowany? Projekt opiera się na narożniku prostokątnym, który uzyskuje się poprzez połączenie dwóch identycznych prostokątnych prętów pod kątem prostym. Potrzebne są trzy takie rogi, a zatem pręty sześć sztuk. Te rogi muszą być wizualnie „połączone” ze sobą w określony sposób, aby tworzyły zamknięty łańcuch. To, co się dzieje, to niemożliwy trójkąt.

Umieść pierwszy narożnik w płaszczyźnie poziomej. Przymocujemy do niego drugi róg, kierując jedną z jego krawędzi do góry. Na koniec dodajemy trzeci narożnik do tego drugiego narożnika, tak aby jego krawędź była równoległa do pierwotnej płaszczyzny poziomej. W tym przypadku dwie krawędzie pierwszego i trzeciego narożnika będą równoległe i skierowane w różnych kierunkach.

A teraz spróbujmy mydlanie spojrzeć na figurę z różnych punktów w przestrzeni (lub zrobić prawdziwy model drutu). Wyobraź sobie, jak to wygląda z jednego punktu, z drugiego, z trzeciego... Gdy zmienisz punkt obserwacyjny (lub - co jest tym samym - gdy obrócisz konstrukcję w przestrzeni), wyda się, że dwie „końcowe” krawędzie naszych rogów porusza się względem siebie. Nie jest trudno znaleźć pozycję, w której się połączą (oczywiście w tym przypadku bliższy róg wyda nam się grubszy niż dłuższy).

Ale jeśli odległość między żebrami jest znacznie mniejsza niż odległość od rogów do punktu, z którego patrzymy na naszą konstrukcję, to oba żebra będą miały dla nas tę samą grubość i pojawi się pomysł, że te dwa żebra są w rzeczywistości kontynuacja siebie nawzajem.

Nawiasem mówiąc, jeśli jednocześnie spojrzymy na wyświetlanie konstrukcji w lustrze, to nie zobaczymy tam obwodu zamkniętego.

I z wybranego punktu obserwacji widzimy na własne oczy cud, który się wydarzył: jest zamknięty łańcuch trzech rogów. Tylko nie zmieniaj punktu obserwacji, aby ta iluzja (w rzeczywistości jest iluzją!) się nie zawaliła. Teraz możesz narysować obiekt, który widzisz, lub umieścić obiektyw aparatu w znalezionym punkcie i zrobić zdjęcie niemożliwego obiektu.

Penrose'owie jako pierwsi zainteresowali się tym zjawiskiem. Wykorzystali możliwości, jakie pojawiają się przy mapowaniu trójwymiarowej przestrzeni i trójwymiarowych obiektów na dwuwymiarową płaszczyznę (czyli przy projektowaniu) i zwrócili uwagę na pewną niepewność projektową – otwarta konstrukcja trzech narożników może być postrzegana jako zamknięta okrążenie.

Jak już wspomniano, najprostszy model można łatwo wykonać z drutu, co w zasadzie wyjaśnia obserwowany efekt. Weź prosty kawałek drutu i podziel go na trzy równe części. Następnie wygnij skrajne części tak, aby tworzyły kąt prosty ze środkową częścią i obróć się względem siebie o 900. Teraz obróć tę figurkę i obserwuj ją jednym okiem. W pewnej pozycji wydaje się, że jest uformowany z zamkniętego kawałka drutu. Włączając lampę stołową możesz obserwować cień padający na stół, który również zamienia się w trójkąt w określonej pozycji postaci w przestrzeni.

Jednak tę cechę konstrukcyjną można zaobserwować w innej sytuacji. Jeśli zrobisz pierścień z drutu, a następnie rozłożysz go w różnych kierunkach, otrzymasz jeden obrót cylindrycznej spirali. Ta pętla jest oczywiście otwarta. Ale rzutując go na samolot, możesz uzyskać linię zamkniętą.

Po raz kolejny widzieliśmy, że rzut na płaszczyznę, zgodnie z rysunkiem, trójwymiarowa figura zostaje przywrócona niejednoznacznie. Oznacza to, że projekcja zawiera pewną niejednoznaczność, niedopowiedzenie, z których powstaje „trójkąt niemożliwy”.

I możemy powiedzieć, że „niemożliwy trójkąt” Penroses, podobnie jak wiele innych złudzeń optycznych, jest na równi z logiczne paradoksy i kalambury.

Dowód niemożliwości trójkąta Penrose'a

Analizując cechy dwuwymiarowego obrazu trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie, zrozumieliśmy, w jaki sposób cechy tego wyświetlacza prowadzą do niemożliwego trójkąta.

Niezwykle łatwo jest udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje, ponieważ każdy z jego kątów ma rację, a ich suma wynosi 2700 zamiast „umieszczonych” 1800.

Co więcej, nawet jeśli weźmiemy pod uwagę niemożliwy trójkąt sklejony z narożników mniejszych niż 900, to w tym przypadku można udowodnić, że niemożliwy trójkąt nie istnieje.

Rozważ inny trójkąt, który składa się z kilku części. Jeśli części, z których się składa, są ułożone inaczej, uzyskamy dokładnie ten sam trójkąt, ale z jedną małą wadą. Brakuje jednego kwadratu. Jak to jest możliwe? A może to tylko iluzja.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="(!JĘZYK:Niemożliwy trójkąt" width="298" height="161">!}

Wykorzystanie zjawiska percepcji

Czy istnieje sposób na zwiększenie efektu niemożliwości? Czy niektóre przedmioty są „niemożliwe” niż inne? I tu na ratunek przychodzą cechy ludzkiej percepcji. Psychologowie ustalili, że oko zaczyna badać obiekt (obraz) od lewego dolnego rogu, następnie wzrok przesuwa się w prawo do środka i schodzi do prawego dolnego rogu obrazu. Taka trajektoria może wynikać z faktu, że nasi przodkowie, spotykając się z wrogiem, najpierw patrzyli na najgroźniejsze prawa ręka, a potem wzrok przesunął się w lewo, na twarz i sylwetkę. Zatem, percepcja artystyczna będzie w znacznym stopniu zależeć od tego, jak zbudowana jest kompozycja obrazu. Ta cecha w średniowieczu przejawiała się wyraźnie w produkcji gobelinów: ich wzór był odbicie lustrzane oryginał, a wrażenie, jakie wywierają gobeliny i oryginały, jest inne.

Właściwość tę można z powodzeniem wykorzystać przy tworzeniu kreacji z niemożliwymi obiektami, zwiększając lub zmniejszając „stopień niemożliwości”. Otwiera też perspektywę uzyskania ciekawych kompozycji przy użyciu techniki komputerowej lub z kilku obróconych obrazów (być może przy użyciu różnego rodzaju symetrie) jedna względem drugiej, stwarzając widzom inne wrażenie przedmiotu i głębsze zrozumienie istoty idei, lub obracającą się (ciągle lub szarpiącą) za pomocą prostego mechanizmu pod pewnymi kątami.

Taki kierunek można nazwać wielokątnym (wielokątnym). Ilustracje przedstawiają obrazy obrócone względem siebie. Kompozycja powstała w następujący sposób: rysunek na papierze wykonany tuszem i ołówkiem został zeskanowany, zdigitalizowany i poddany obróbce w edytor graficzny. Można zauważyć prawidłowość – obrócony obraz ma większy „stopień niemożliwości” niż oryginalny. Łatwo to wytłumaczyć: w trakcie pracy artysta podświadomie dąży do stworzenia „właściwego” obrazu.

Wniosek

Użycie różnych liczb i praw matematycznych nie ogranicza się do powyższych przykładów. Uważnie przeglądając wszystkie powyższe liczby, możesz znaleźć inne niewymienione w tym artykule, ciała geometryczne lub wizualna interpretacja praw matematycznych.

Matematyczne sztuki wizualne rozkwitają dzisiaj, a wielu artystów tworzy obrazy w stylu Eschera i we własnym stylu. Artyści ci pracują w różnych mediach, w tym rzeźbie, malowaniu na płaskich i trójwymiarowych powierzchniach, litografii i Grafika komputerowa. A najpopularniejsze tematy sztuki matematycznej to wielościany, figury niemożliwe, paski Möbiusa, zniekształcone systemy perspektywy i fraktale.

Wyniki:

1. Tak więc rozważanie figur niemożliwych rozwija naszą wyobraźnię przestrzenną, pomaga „wyjść” z płaszczyzny w przestrzeń trójwymiarową, co pomoże w badaniu stereometrii.

2. Modele figur niemożliwych pomagają uwzględnić rzuty na płaszczyźnie.

3. Uwzględnienie sofizmatów i paradoksów matematycznych wzbudza zainteresowanie matematyką.

Kiedy wykonujesz tę pracę

1. Dowiedziałem się, jak, kiedy, gdzie i przez kogo po raz pierwszy rozważano figury niemożliwe, że jest ich wiele, artyści nieustannie starają się je przedstawić.

2. Razem z tatą wykonałem model niemożliwego trójkąta, zbadałem jego rzuty na płaszczyznę, zobaczyłem paradoks tej figury.

3. Zbadałem reprodukcje artystów, które przedstawiają te postacie

4. Moje studia zainteresowały moich kolegów z klasy.

W przyszłości zdobytą wiedzę wykorzystam na lekcjach matematyki i byłem zainteresowany, ale czy są jeszcze inne paradoksy?

LITERATURA

1. Kandydat nauk technicznych D. RAKOV Historia niemożliwych postaci

2. Rutesward O. Niemożliwe figury.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. Strona internetowa V. Alekseev Illusions · 7 komentarzy

4. J. Timothy Anrach. - Niesamowite postacie.
(LLC „Wydawnictwo AST”, LLC „Wydawnictwo Astrel”, 2002, 168 s.)

5. . - Grafika.
(Art-Wiosna, 2001)

6. Douglasa Hofstadtera. - Gödel, Escher, Bach: ta niekończąca się girlanda. ( Wydawnictwo"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko - Tajemnice postaci niemożliwych
(Omsk: Lewy, 199)

Dziś otwieram nowy dział „Cięcie”, w którym będę zamieszczać rysunki, szablony, a także wzór złudzeń optycznych. Dziś zrobimy z papieru niemożliwy trójkąt. Ponieważ nie możemy stworzyć niemożliwego trójkąta, stworzymy model, który rozważymy pod pewnym kątem.

1. Pobierz i wydrukuj
2. Postępuj zgodnie z instrukcjami na obrazku

Jak poprawnie rozważyć niemożliwy trójkąt?

Ponieważ złudzenie opiera się na niejednoznacznym rysunku sześcianu w Widok izometryczny. Wtedy w tej orientacji rogi najbliższe widzowi i róg odległy od widza będą się pokrywać. Oznacza to, że schodząc w dół najbliższą krawędzią sześcianu i dwoma dolnymi krawędziami, wracamy do punkt początkowy, w którym ścieżka faktycznie kończy się w odległym rogu.

Ten niemożliwy trójkąt Penrose'a

W takiej dziedzinie sztuki malarskiej jak malowanie ludzkiej skóry najnowszym trendem są dziś figury złudzeń optycznych, w szczególności trójkąt Penrose'a, czyli trybun, który jest również nazywany niemożliwym. Po raz pierwszy tę formę odkrył, czy też wymyślił, szwedzki malarz Oscar Reutersvärd, który przedstawił ją światu w postaci zestawu kostek na przełomie 1935 roku. Później, już w latach 80. naszego wieku, wzór plemienia został wydrukowany w Szwecji na znaczku pocztowym.

Jednak obraz niemożliwego trójkąta Penrose'a, który należy do kategorii złudzeń optycznych, stał się powszechnie znany w 1958 roku, po publikacji publikacji angielskiego matematyka Rogera Penrose'a o niemożliwe dane opublikowany w British Journal of Psychology. Zainspirowany tym postem, słynny malarz z Holandii Maurits Escher stworzył w 1961 jedno ze swoich najpopularniejszych dzieł „Wodospad”.

Złudzenie optyczne

Złudzenia optyczne w malarstwie są złudzenie wizualne postrzeganie prawdziwe zdjęcie, wykonane przez artystę pewien układ linii na płaszczyźnie. Jednocześnie widz błędnie ocenia wielkość kątów postaci czy długość jej boków, co jest przedmiotem badań takich podrozdziałów psychologii, jak np. terapia gestalt. Oprócz Eschera inny lubił tworzyć złudzenia optyczne. wspaniały artystaświatowej sławy Salvador Dali. Żywą ilustracją jego pasji jest na przykład obraz „Łabędzie odbite w słoniach”.

Powyższy trójkąt dotyczy również iluzje optyczne, a dokładniej do tej części, która nazywa się figurami niemożliwymi. Nazywa się je tak ze względu na uczucie, które pojawia się przy patrzeniu na taką formę, że jej istnienie w prawdziwy świat po prostu niemożliwe.

Zastosowanie iluzji

Ze względu na swój niepowtarzalny kształt iluzoryczne przedmioty są przedmiotem szczególnej uwagi nie tylko artystów i tatuatorów - wykonany samodzielnie lub przy pomocy profesjonalistów trójkąt może również pełnić funkcję logo firmy. Świetnymi przykładami takiego wykorzystania iluzorycznych form są: logo psychodelicznego zespołu muzycznego grającego muzykę ludową, Conundum in Deed, czyli kostka niemożliwa, czy marka producenta chipów Digilent Inc, będąca klasycznym trójkątnym wizerunkiem Penrose'a.

Możesz stworzyć własne logo bez uciekania się do profesjonalistów. Aby to zrobić, wystarczy postępować zgodnie z instrukcjami, po których możesz wykonać zarówno prosty rysunek na papierze, jak i w tablecie, a także zrobić figura wolumetryczna. Może być umieszczony jako szyld lub reklama zewnętrzna Twojego sklepu.

Jak zrobić to sam

Instrukcje krok po kroku dotyczące rysowania trybun za pomocą programu Adobe Illustrator:

1. Najpierw musisz zrobić 3 kwadraty za pomocą narzędzia Prostokąt. Aby to zrobić, musisz najpierw przejść do menu Widok i włączyć Inteligentne przewodniki.
2. Teraz musisz zaznaczyć wszystko i przejść do menu Obiekt, następnie Przekształć i otwórz Przekształć każdy, gdzie w oknie Skala musisz wpisać wartość Skala pionowa = 86,6% i kliknąć OK.
3. Teraz musisz ustawić dla każdej powierzchni własny kąt obrotu, a w tym celu przejdź do okna Przekształć otwarte. Tam najpierw podaj wartość dla skosu (Shear), a następnie dla obrotu (Obrót): górna powierzchnia sześcianu to Ścinanie +30 °, Obrót -30 °; prawa powierzchnia - Ścinanie +30°, Obrót +30°; lewa powierzchnia — Ścinanie -30°, Obrót -30°.
4. Teraz, korzystając z linii Smart Guides, musisz połączyć wszystkie części sześcianu: w tym celu zahacz myszą róg jednego z boków i przeciągnij go do drugiego, wyrównując je.
5. Na tym etapie musisz obrócić sześcian o 30°: w tym celu przejdź do Object, wybierz Transform and Rotate, ustaw tam wartość kąta na 30° i kliknij OK.
6. Ponieważ potrzebujesz 6 kostek, aby uzyskać tri-bar, powinieneś wybrać kostkę, nacisnąć Alt i Shift i przeciągnąć wybrany obiekt na bok za pomocą myszy, rozciągając go w kierunku poziomym. Bez usuwania zaznaczenia naciśnij 6 razy CMD + D. Otrzymaliśmy 6 kostek.
7. Pozostawiając zaznaczenie na ostatniej kostce, naciśnij Enter iw oknie Przesuń zmień wartość kąta na 240 °, a następnie naciśnij Kopiuj. Następnie ponownie naciśnij CMD + D, aż otrzymasz 6 kopii.
8. Teraz powtórz wszystko: ponownie naciśnij Enter, wybierz ostatnią kostkę, ustaw tylko kąt na 120 ° i wykonaj tylko 5 kopii.
9. Za pomocą narzędzia zaznaczania musisz zaznaczyć górną powierzchnię kształtu (możesz zmienić kolor, aby był wyraźniejszy), otwórz menu Obiekt - Rozmieść - Przesuń na spód. Teraz wybierz pomalowaną powierzchnię górnego sześcianu, przejdź do Object - Arrange - Bring to Front.

Iluzja Penrose'a jest gotowa. Można go opublikować na swojej stronie w sieciach społecznościowych lub blogu lub wykorzystać w celach biznesowych.

Znany również pod nazwami niemożliwy trójkąt oraz trybuna.

Fabuła

Postać ta zyskała dużą popularność po opublikowaniu artykułu o niemożliwych figurach w British Journal of Psychology przez angielskiego matematyka Rogera Penrose'a w 1958 roku. W tym artykule niemożliwy trójkąt został przedstawiony najbardziej ogólna forma- w trzy belki połączone ze sobą pod kątem prostym. Pod wpływem tego artykułu holenderski artysta Maurits Escher stworzył jedną ze swoich słynnych litografii Wodospad.

rzeźby

13-metrowa rzeźba niemożliwego trójkąta wykonana z aluminium została wzniesiona w 1999 roku w mieście Perth (Australia)

Deutsches Technikmuseum Berlin luty 2008 0004.JPG

Ta sama rzeźba przy zmianie punktu widzenia

Inne postacie

Chociaż możliwe jest zbudowanie analogów trójkąta Penrose'a w oparciu o regularne wielokąty, ich efekt wizualny nie jest tak imponujący. Wraz ze wzrostem liczby boków obiekt wydaje się po prostu wygięty lub skręcony.

Zobacz też

• Trzy zające (angielski) trzy zające )

Napisz recenzję artykułu "Trójkąt Penrose'a"

Fragment charakteryzujący Trójkąt Penrose'a

Powiedziawszy wszystko, co mu kazano, Balashev powiedział, że cesarz Aleksander chce pokoju, ale nie rozpocznie negocjacji, chyba że ... Tutaj Balashev zawahał się: przypomniał sobie te słowa, których cesarz Aleksander nie napisał w liście, ale których on z pewnością kazał Sałtykowowi wstawić je do reskryptu, a Balashevowi kazał je przekazać Napoleonowi. Bałaszew przypomniał sobie te słowa: „aż na ziemi rosyjskiej nie pozostanie ani jeden uzbrojony wróg”, ale niektórzy skomplikowane uczucie trzymał go. Nie mógł wypowiedzieć tych słów, chociaż chciał. Zawahał się i powiedział: pod warunkiem, że wojska francuskie wycofają się za Niemen.
Napoleon zauważył zakłopotanie Balasheva, gdy mówił: ostatnie słowa; jego twarz drżała, lewa łydka jego nogi zaczęła miarowo drżeć. Nie ruszając się z miejsca, zaczął mówić głosem wyższym i szybszym niż wcześniej. Podczas późniejszej przemowy Bałaszew niejednokrotnie spuszczając oczy, mimowolnie obserwował drżenie łydki w lewej nodze Napoleona, które nasilało się, im bardziej podniósł głos.
„Życzę pokoju nie mniej niż cesarzowi Aleksandrowi” – ​​zaczął. „Czy przez osiemnaście miesięcy nie robiłem wszystkiego, żeby to dostać? Od osiemnastu miesięcy czekam na wyjaśnienia. Ale aby rozpocząć negocjacje, czego się ode mnie wymaga? – powiedział, marszcząc brwi i wykonując energiczny pytający gest swoją małą, białą i pulchną dłonią.
- Odwrót wojsk nad Niemnem, suwerennie - powiedział Balaszew.
- Dla Niemna? powtórzył Napoleon. - Więc teraz chcesz wycofać się za Niemen - tylko dla Niemna? powtórzył Napoleon, patrząc wprost na Bałaszewa.
Balashev z szacunkiem skłonił głowę.
Zamiast żądać przed czterema miesiącami wycofania się z Numberanii, teraz zażądali wycofania się tylko poza Niemen. Napoleon szybko odwrócił się i zaczął chodzić po pokoju.
- Mówisz, że muszę wycofać się za Niemen, aby rozpocząć negocjacje; ale dwa miesiące temu zażądali ode mnie wycofania się przez Odrę i Wisłę dokładnie w ten sam sposób, a mimo to zgadzasz się negocjować.
Po cichu przeszedł z jednego rogu pokoju do drugiego i ponownie zatrzymał się przed Balashevem. Jego twarz wydawała się skamieniała w swoim surowym wyrazie, a lewa noga drżała jeszcze szybciej niż wcześniej. Napoleon znał to drżenie lewej łydki. La Vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi [Drżenie mojej lewej łydki to wspaniały znak], powiedział później.