Wzór definicji linii środkowej trójkąta i trapezu. Linia środkowa trapezu

Powierzchnia trapezu. Pozdrowienia! W tej publikacji przyjrzymy się tej formule. Dlaczego ona taka jest i jak ją zrozumieć. Jeśli istnieje zrozumienie, nie musisz go uczyć. Jeśli chcesz tylko spojrzeć na tę formułę i pilnie, możesz od razu przewinąć stronę w dół))

Teraz szczegółowo i po kolei.

Trapez jest czworokątem, dwa boki tego czworokąta są równoległe, a pozostałe dwa nie. Te, które nie są równoległe, to podstawy trapezu. Pozostałe dwa nazywane są stronami.

Jeśli boki są równe, trapez nazywa się równoramiennym. Jeśli jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw, wówczas taki trapez nazywa się prostokątnym.

W klasyczny wygląd Trapez jest przedstawiony w następujący sposób: większa podstawa znajduje się na dole, a mniejsza podstawa znajduje się na górze. Ale nikt nie zabrania przedstawiania jej i odwrotnie. Oto szkice:

Następna ważna koncepcja.

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków. Linia środkowa jest równoległa do podstaw trapezu i równa ich połowie.

Teraz zagłębimy się głębiej. Dlaczego tak jest?

Rozważmy trapez z podstawami a i b i z linią środkową l, i wykonaj dodatkowe konstrukcje: narysuj linie proste przez podstawy i prostopadłe przez końce linii środkowej, aż przetną się z podstawami:

*Oznaczenia literowe wierzchołków i innych punktów nie zostały uwzględnione celowo, aby uniknąć niepotrzebnych oznaczeń.

Spójrz, trójkąty 1 i 2 są równe zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów, trójkąty 3 i 4 są takie same. Z równości trójkątów wynika równość elementów, a mianowicie nóg (są one oznaczone odpowiednio kolorem niebieskim i czerwonym).

Teraz uwaga! Jeśli mentalnie „odetniemy” niebieskie i czerwone segmenty od dolnej podstawy, pozostanie nam odcinek (jest to bok prostokąta) równy środkowej linii. Następnie, jeśli „przykleimy” wycięte segmenty niebieski i czerwony do górnej podstawy trapezu, to otrzymamy również odcinek (jest to jednocześnie bok prostokąta) równy linii środkowej trapezu.

Rozumiem? Okazuje się, że suma podstaw będzie równa dwóm środkowym liniom trapezu:

Zobacz inne wyjaśnienie

Zróbmy tak - skonstruuj linię prostą przechodzącą przez dolną podstawę trapezu oraz linię prostą, która przejdzie przez punkty A i B:

Otrzymujemy trójkąty 1 i 2, są one równe wzdłuż boku i sąsiednich kątów (drugi znak równości trójkątów). Oznacza to, że powstały odcinek (na szkicu jest zaznaczony na niebiesko) jest równy górnej podstawie trapezu.

Teraz rozważmy trójkąt:

*Środek tego trapezu pokrywa się z linią środkową trójkąta.

Wiadomo, że trójkąt jest równy połowie równoległej do niego podstawy, czyli:

OK, wymyśliliśmy to. Teraz o obszarze trapezu.

Wzór na pole trapezu:

Mówią: pole trapezu jest równe iloczynowi połowy sumy jego podstaw i wysokości.

Oznacza to, że jest równy iloczynowi linii środkowej i wysokości:

Pewnie już zauważyłeś, że to oczywiste. Geometrycznie można to wyrazić w ten sposób: jeśli w myślach odetniemy trójkąty 2 i 4 z trapezu i umieścimy je odpowiednio na trójkątach 1 i 3:

Otrzymamy wtedy prostokąt o polu równym polu naszego trapezu. Pole tego prostokąta będzie równe iloczynowi linii środkowej i wysokości, to znaczy możemy napisać:

Ale tu nie chodzi oczywiście o pisanie, ale o zrozumienie.

Pobierz (przejrzyj) materiał artykułu w formacie *pdf

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander.

Trapez jest szczególny przypadek czworokąt, w którym jedna para boków jest równoległa. Określenie „trapez” pochodzi od greckiego słowa τράπεζα, oznaczającego „stół”, „stół”. W tym artykule przyjrzymy się rodzajom trapezu i jego właściwościom. Dodatkowo dowiemy się jak obliczyć poszczególne elementy tego np. przekątną trapezu równoramiennego, linię środkową, pole itp. Materiał przedstawiony jest w stylu elementarnej popularnej geometrii, czyli w łatwo dostępnej formie .

Informacje ogólne

Najpierw dowiedzmy się, czym jest czworokąt. Ta figura jest szczególnym przypadkiem wielokąta zawierającego cztery boki i cztery wierzchołki. Dwa wierzchołki czworokąta, które nie sąsiadują ze sobą, nazywane są przeciwległymi. To samo można powiedzieć o dwóch niesąsiadujących ze sobą stronach. Główne typy czworokątów to równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat, trapez i naramienny.

Wróćmy więc do trapezów. Jak już powiedzieliśmy, liczba ta ma dwa równoległe boki. Nazywa się je bazami. Pozostałe dwa (nierównoległe) to boki boczne. W materiałach egzaminacyjnych i różnych testy bardzo często można spotkać się z zadaniami związanymi z trapezami, których rozwiązanie często wymaga od studenta posiadania wiedzy nie przewidzianej w programie. Szkolny kurs geometrii zapoznaje uczniów z właściwościami kątów i przekątnych oraz linią środkową trapezu równoramiennego. Ale oprócz tego wspomniana figura geometryczna ma inne cechy. Ale o nich trochę później...

Rodzaje trapezu

Istnieje wiele rodzajów tej figury. Jednak najczęściej zwyczajowo rozważa się dwa z nich - równoramienne i prostokątne.

1. Trapez prostokątny to figura, w której jeden z boków jest prostopadły do ​​podstaw. Jej dwa kąty są zawsze równe dziewięćdziesięciu stopniom.

2. Trapez równoramienny to figura geometryczna, której boki są sobie równe. Oznacza to, że kąty przy podstawach są również równe parami.

Główne zasady metodologii badania właściwości trapezu

Główną zasadą jest stosowanie tzw. podejścia zadaniowego. Właściwie nie ma potrzeby wprowadzania nowych własności tej figury do teoretycznego przebiegu geometrii. Można je odkrywać i formułować w procesie rozwiązywania różnorodnych problemów (najlepiej systemowych). Jednocześnie bardzo ważne jest, aby nauczyciel wiedział, jakie zadania należy przypisać uczniom w danym momencie proces edukacyjny. Co więcej, każdą właściwość trapezu można przedstawić jako kluczowe zadanie w systemie zadań.

Drugą zasadą jest tak zwana spiralna organizacja badania „niezwykłych” właściwości trapezu. Oznacza to powrót w procesie uczenia się do indywidualnych cech danego figura geometryczna. Dzięki temu uczniowie łatwiej je zapamiętają. Na przykład właściwość czterech punktów. Można to udowodnić zarówno badając podobieństwo, jak i później używając wektorów. Natomiast równoważność trójkątów przylegających do boków figury można udowodnić, stosując nie tylko własności trójkątów o jednakowych wysokościach narysowanych do boków leżących na tej samej prostej, ale także korzystając ze wzoru S = 1/2( ab*sinα). Ponadto możesz pracować na trapezie wpisanym lub trójkącie prostokątnym na trapezie wpisanym itp.

Wykorzystanie w treści „pozaprogramowych” cech figury geometrycznej kurs szkolny- jest to technologia zadaniowa służąca do ich nauczania. Ciągłe odwoływanie się do badanych właściwości podczas przechodzenia przez inne tematy pozwala studentom na głębsze poznanie trapezu i gwarantuje sukces w rozwiązywaniu postawionych problemów. Zacznijmy więc studiować tę cudowną postać.

Elementy i właściwości trapezu równoramiennego

Jak już zauważyliśmy, ta figura geometryczna ma równe boki. Znany jest również jako prawidłowy trapez. Dlaczego jest tak niezwykły i dlaczego otrzymał taką nazwę? Osobliwością tej figury jest to, że nie tylko boki i kąty u podstaw są równe, ale także przekątne. Ponadto suma kątów trapezu równoramiennego wynosi 360 stopni. Ale to nie wszystko! Ze wszystkich znanych trapezów tylko trapez równoramienny można opisać jako okrąg. Wynika to z faktu, że suma przeciwnych kątów tej figury wynosi 180 stopni i tylko pod tym warunkiem można opisać okrąg wokół czworoboku. Kolejną właściwością rozważanej figury geometrycznej jest to, że odległość od wierzchołka podstawy do rzutu przeciwległego wierzchołka na prostą zawierającą tę podstawę będzie równa linii środkowej.

Teraz zastanówmy się, jak znaleźć kąty trapezu równoramiennego. Rozważmy rozwiązanie tego problemu, pod warunkiem, że znane są wymiary boków figury.

Rozwiązanie

Zazwyczaj czworokąt jest zwykle oznaczany literami A, B, C, D, gdzie BS i AD są podstawami. W trapezie równoramiennym boki są równe. Założymy, że ich rozmiar jest równy X, a rozmiary podstaw są równe Y i Z (odpowiednio mniejsze i większe). Aby przeprowadzić obliczenia, należy narysować wysokość H z kąta B. W rezultacie powstaje trójkąt prostokątny ABN, gdzie AB jest przeciwprostokątną, a BN i AN są przyprostokątnymi. Obliczamy rozmiar nogi AN: od większej podstawy odejmujemy mniejszą i dzielimy wynik przez 2. Zapisujemy to w postaci wzoru: (Z-Y)/2 = F. Teraz obliczamy ostrość kąt trójkąta, korzystamy z funkcji cos. Otrzymujemy następujący wpis: cos(β) = X/F. Teraz obliczamy kąt: β=arcos (X/F). Ponadto, znając jeden kąt, możemy określić drugi, w tym celu wykonujemy elementarną operację arytmetyczną: 180 - β. Wszystkie kąty są zdefiniowane.

Istnieje drugie rozwiązanie tego problemu. Najpierw obniżamy go od rogu do wysokości H. Obliczamy wartość nogi BN. Wiemy, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąt prostokątny równa sumie kwadratów nóg. Otrzymujemy: BN = √(X2-F2). Dalej używamy funkcja trygonometryczna tg. W rezultacie mamy: β = arctan (BN/F). Znaleziono kąt ostry. Następnie definiujemy to podobnie jak w przypadku pierwszej metody.

Własność przekątnych trapezu równoramiennego

Najpierw napiszmy cztery zasady. Jeżeli przekątne w trapezie równoramiennym są prostopadłe, to:

Wysokość figury będzie równa sumie podstaw podzielonej przez dwa;

Jego wysokość i linia środkowa są równe;

Środek okręgu to punkt, w którym ;

Jeśli bok boczny zostanie podzielony przez punkt styczności na odcinki H i M, wówczas będzie równy pierwiastek kwadratowy produkty tych segmentów;

Czworokąt utworzony przez punkty styczności, wierzchołek trapezu i środek okręgu wpisanego jest kwadratem, którego bok jest równy promieniowi;

Pole figury jest równe iloczynowi podstaw i iloczynu połowy sumy podstaw i jej wysokości.

Podobne trapezy

Ten temat jest bardzo wygodny do badania właściwości tego. Na przykład przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty, a te sąsiadujące z podstawami są podobne, a te sąsiadujące z bokami są równej wielkości. Stwierdzenie to można nazwać właściwością trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne. Pierwszą część tego stwierdzenia można udowodnić za pomocą znaku podobieństwa pod dwoma kątami. Aby udowodnić drugą część, lepiej zastosować metodę podaną poniżej.

Dowód twierdzenia

Przyjmujemy, że figura ABSD (AD i BS są podstawami trapezu) jest podzielona przez przekątne VD i AC. Punkt ich przecięcia to O. Otrzymujemy cztery trójkąty: AOS - u dolnej podstawy, BOS - u górnej podstawy, ABO i SOD po bokach. Trójkąty SOD i BOS mają wspólną wysokość, jeśli odcinki BO i OD są ich podstawami. Stwierdzamy, że różnica między ich obszarami (P) jest równa różnicy między tymi segmentami: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Zatem PSOD = PBOS/K. Podobnie trójkąty BOS i AOB mają wspólną wysokość. Za ich podstawy przyjmujemy segmenty CO i OA. Otrzymujemy PBOS/PAOB = CO/OA = K i PAOB = PBOS/K. Wynika z tego, że PSOD = PAOB.

Aby utrwalić materiał, zaleca się uczniom znalezienie połączenia między obszarami powstałych trójkątów, na które trapez jest podzielony przez jego przekątne, rozwiązując następujący problem. Wiadomo, że trójkąty BOS i AOD mają równe pola, konieczne jest znalezienie pola trapezu. Ponieważ PSOD = PAOB, oznacza to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobieństwa trójkątów BOS i AOD wynika, że ​​BO/OD = √(PBOS/PAOD). Zatem PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Otrzymujemy PSOD = √(PBOS*PAOD). Wtedy PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Właściwości podobieństwa

Kontynuując rozwijanie tego tematu, można udowodnić inny ciekawe funkcje trapez. Zatem korzystając z podobieństwa można wykazać własność odcinka przechodzącego przez punkt utworzony przez przecięcie przekątnych tej figury geometrycznej, równoległych do podstaw. W tym celu rozwiążmy następujące zadanie: musimy znaleźć długość odcinka RK przechodzącego przez punkt O. Z podobieństwa trójkątów AOD i BOS wynika, że ​​AO/OS = AD/BS. Z podobieństwa trójkątów AOP i ASB wynika, że ​​AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=BS*BP/(BS+BP). Podobnie z podobieństwa trójkątów DOC i DBS wynika, że ​​OK = BS*AD/(BS+AD). Stąd otrzymujemy RO=OK i RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odcinek przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych, równoległy do ​​podstaw i łączący dwa boki boczne, dzieli się na pół przez punkt przecięcia. Jego długość jest średnią harmoniczną podstaw figury.

Rozważmy następującą właściwość trapezu, zwaną własnością czterech punktów. Punkty przecięcia przekątnych (O), przecięcie kontynuacji boków (E), a także środki podstaw (T i F) zawsze leżą na tej samej prostej. Można to łatwo udowodnić metodą podobieństwa. Powstałe trójkąty BES i AED są podobne i w każdym z nich środkowe ET i EJ dzielą kąt wierzchołkowy E na równe części. Zatem punkty E, T i F leżą na tej samej prostej. Podobnie punkty T, O, Zh leżą na tej samej prostej, co wynika z podobieństwa trójkątów BOS i AOD. Stąd wnioskujemy, że wszystkie cztery punkty – E, T, O i F – będą leżeć na tej samej linii prostej.

Korzystając z podobnych trapezów, możesz poprosić uczniów o znalezienie długości odcinka (LS), który dzieli figurę na dwie podobne. Odcinek ten musi być równoległy do ​​podstaw. Ponieważ powstałe trapezy ALFD i LBSF są podobne, to BS/LF = LF/AD. Wynika z tego, że LF=√(BS*AD). Stwierdzamy, że odcinek dzielący trapez na dwa podobne ma długość równą średniej geometrycznej długości podstaw figury.

Rozważ następującą właściwość podobieństwa. Opiera się na odcinku dzielącym trapez na dwie równe figury. Zakładamy, że trapez ABSD jest podzielony odcinkiem EH na dwa podobne. Z wierzchołka B pominięto wysokość, którą odcinkiem EN dzielimy na dwie części – B1 i B2. Otrzymujemy: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 i PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Następnie tworzymy układ, którego pierwsze równanie to (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, a drugie (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Wynika z tego, że B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) i BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Stwierdzamy, że długość odcinka dzielącego trapez na dwie równe części jest równa pierwiastkowi kwadratowemu długości podstaw: √((BS2+AD2)/2).

Ustalenia dotyczące podobieństwa

W ten sposób udowodniliśmy, że:

1. Odcinek łączący środki boków trapezu jest równoległy do ​​AD i BS i równy średniej arytmetycznej BS i AD (długość podstawy trapezu).

2. Prosta przechodząca przez punkt O przecięcia przekątnych równoległych do AD i BS będzie równa średniej harmonicznej liczb AD i BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Odcinek dzielący trapez na podobne ma długość średniej geometrycznej podstaw BS i AD.

4. Element dzielący figurę na dwie równe części ma długość średniego kwadratu liczb AD i BS.

Aby utrwalić materiał i zrozumieć powiązania pomiędzy rozważanymi segmentami, uczeń musi je skonstruować dla konkretnego trapezu. Z łatwością potrafi wskazać linię środkową oraz odcinek przechodzący przez punkt O – przecięcie przekątnych figury – równoległy do ​​podstaw. Ale gdzie będzie zlokalizowany trzeci i czwarty? Odpowiedź ta doprowadzi ucznia do odkrycia pożądanej zależności pomiędzy wartościami średnimi.

Odcinek łączący środki przekątnych trapezu

Rozważ następującą właściwość tej figury. Zakładamy, że odcinek MH jest równoległy do ​​podstaw i dzieli przekątne na pół. Nazwijmy punkty przecięcia Ш i Ш.Odcinek ten będzie równy połowie różnicy podstaw. Przyjrzyjmy się temu bardziej szczegółowo. MS to środkowa linia trójkąta ABS, równa się BS/2. MSH jest środkową linią trójkąta ABD i jest równa AD/2. Następnie otrzymujemy, że ShShch = MSh-MSh, zatem ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Środek ciężkości

Przyjrzyjmy się, jak wyznacza się ten element dla danej figury geometrycznej. Aby to zrobić, konieczne jest przedłużenie podstaw w przeciwnych kierunkach. Co to znaczy? Musisz dodać dolną podstawę do górnej podstawy - w dowolnym kierunku, na przykład w prawo. I przedłużamy dolny o długość górnego w lewo. Następnie łączymy je po przekątnej. Punkt przecięcia tego odcinka z linią środkową figury jest środkiem ciężkości trapezu.

Trapezy wpisane i opisane

Wymieńmy cechy takich liczb:

1. Trapez można wpisać w okrąg tylko wtedy, gdy jest równoramienny.

2. Trapez można opisać wokół okręgu pod warunkiem, że suma długości ich podstaw jest równa sumie długości boków.

Następstwa okręgu:

1. Wysokość opisanego trapezu jest zawsze równa dwóm promieniom.

2. Bok opisywanego trapezu obserwujemy od środka okręgu pod kątem prostym.

Pierwszy wniosek jest oczywisty, ale aby udowodnić drugi, należy ustalić, że kąt SOD jest prosty, co w rzeczywistości również nie jest równe dużo pracy. Ale wiedza tej nieruchomości pozwoli ci używać trójkąta prostokątnego przy rozwiązywaniu problemów.

Określmy teraz te konsekwencje dla trapezu równoramiennego wpisanego w okrąg. Okazuje się, że wysokość jest średnią geometryczną podstaw figury: H=2R=√(BS*AD). Ćwicząc podstawową technikę rozwiązywania problemów trapezowych (zasada rysowania dwóch wysokości), student musi rozwiązać następujące zadanie. Zakładamy, że BT jest wysokością figury równoramiennej ABSD. Konieczne jest znalezienie odcinków AT i TD. Korzystając ze wzoru opisanego powyżej, nie będzie to trudne.

Teraz zastanówmy się, jak określić promień koła za pomocą obszaru opisanego trapezu. Obniżamy wysokość od wierzchołka B do podstawy AD. Ponieważ okrąg jest wpisany w trapez, to BS+AD = 2AB lub AB = (BS+AD)/2. Z trójkąta ABN znajdujemy sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Otrzymujemy PABSD = (BS+BP)*R, z czego wynika, że ​​R = PABSD/(BS+BP).

Wszystkie wzory na linię środkową trapezu

Teraz czas przejść do ostatniego elementu tej figury geometrycznej. Zastanówmy się, jaka jest środkowa linia trapezu (M):

1. Przez podstawy: M = (A+B)/2.

2. Przez wysokość, podstawę i narożniki:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Poprzez wysokość, przekątne i kąt między nimi. Na przykład D1 i D2 to przekątne trapezu; α, β - kąty między nimi:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. Powierzchnia przelotowa i wysokość: M = P/N.

Nazywa się czworokąt, w którym tylko dwa boki są równoległe trapez.

Nazywa się je równoległymi bokami trapezu powodów, a te boki, które nie są równoległe, nazywane są boki. Jeśli boki są równe, to taki trapez jest równoramienny. Odległość między podstawami nazywa się wysokością trapezu.

Trapez linii środkowej

Linia środkowa to odcinek łączący środki boków trapezu. Linia środkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw.

Twierdzenie:

Jeżeli prosta przechodząca przez środek jednego boku jest równoległa do podstaw trapezu, to przecina drugi bok trapezu na pół.

Twierdzenie:

Długość linii środkowej jest równa średniej długości arytmetyczne jego podstawy

Linia środkowa MN, AB i CD - podstawy, AD i BC - boki

MN = (AB + DC)/2

Twierdzenie:

Długość linii środkowej trapezu jest równa średniej arytmetycznej długości jego podstaw.

Główne zadanie: Udowodnić, że linia środkowa trapezu przecina odcinek, którego końce leżą pośrodku podstaw trapezu.

Środkowa linia trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta nazywa się linią środkową trójkąta. Jest równoległy do ​​trzeciego boku i jego długość jest równa połowie długości trzeciego boku.
Twierdzenie: Jeśli linia przecinająca środek jednego boku trójkąta jest równoległa do drugiego boku trójkąta, to przecina trzeci bok na pół.

AM = MC i BN = NC =>

Stosowanie właściwości linii środkowej trójkąta i trapezu

Dzielenie odcinka na określoną liczbę równych części.
Zadanie: Podziel odcinek AB na 5 równych części.
Rozwiązanie:
Niech p będzie półprostą losową, której początek znajduje się w punkcie A i który nie leży na prostej AB. Kolejno odkładamy 5 równych segmentów na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Łączymy A 5 z B i rysujemy takie linie przez A 4, A 3, A 2 i A 1, które są równoległe do A 5 B. Przecinają one AB odpowiednio w punktach B 4, B 3, B 2 i B 1. Punkty te dzielą odcinek AB na 5 równych części. Rzeczywiście z trapezu BB 3 A 3 A 5 widzimy, że BB 4 = B 4 B 3. W ten sam sposób z trapezu B 4 B 2 A 2 A 4 otrzymujemy B 4 B 3 = B 3 B 2

Natomiast z trapezu B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Następnie z B 2 AA 2 wynika, że ​​B 2 B 1 = B 1 A. Podsumowując, otrzymujemy:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Oczywiste jest, że aby podzielić odcinek AB na inną liczbę równych części, musimy rzutować tę samą liczbę równych odcinków na półprostą p. A następnie kontynuuj w sposób opisany powyżej.

Linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy fusy. Łączy środki boków trapezu i jest zawsze równoległa do podstaw.

Jeśli podstawy trapezu są równe a i b, to środkowa linia m jest równa m=(a+b)/2.

Jeśli znany jest obszar trapezu, to można znaleźć środkową linię i w inny sposób dzieląc obszar trapezu S przez wysokość trapezu h:



To jest, linia środkowa trapezu m=S/godz

Długość linii środkowej trapezu można znaleźć na wiele sposobów. Wybór metody zależy od danych wyjściowych.

Tutaj wzory na długość linii środkowej trapezu:

Aby znaleźć linię środkową trapezu, możesz użyć jednego z pięciu wzorów (nie będę ich wypisywać, ponieważ są już w innych odpowiedziach), ale dzieje się tak tylko w przypadkach, gdy potrzebujemy wartości danych początkowych są znane.

W praktyce wiele problemów musimy rozwiązać, gdy brakuje danych i dobry rozmiar nadal muszę to znaleźć.

Tutaj są takie opcje

rozwiązanie krok po kroku, które doprowadzi wszystko do formuły;

używając innych wzorów, ułóż i rozwiąż niezbędne równania.

znalezienie długości środka trapezu za pomocą potrzebnego wzoru przy pomocy innej wiedzy o geometrii i użytkowaniu równania algebraiczne:

Mamy trapez równoramienny, jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, jego wysokość wynosi 9 cm.

Wykonujemy rysunek i widzimy, że tego problemu nie można rozwiązać bezpośrednio (nie ma wystarczających danych)



Dlatego trochę uprościmy i narysujemy wysokość przez punkt przecięcia przekątnych.

To pierwszy ważny krok prowadzący do szybkiego rozwiązania.

oznaczmy wysokość przez dwie niewiadome, zobaczymy potrzebne nam trójkąty równoramienne z bokami X I Na



i z łatwością możemy go znaleźć suma podstaw trapezoidy

jest równe 2х+2у

I dopiero teraz możemy zastosować formułę gdzie

i jest równe x+y i zgodnie z warunkami zadania jest to długość wysokości równa 9cm.

A teraz wyprowadziliśmy kilka momentów dla trapezu równoramiennego, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym

w takich trapezach

linia środkowa jest zawsze równa wysokości

pole jest zawsze równe kwadratowi wysokości.

Linia środkowa trapezu to odcinek łączący środki boków trapezu.

Linię środkową dowolnego trapezu można łatwo znaleźć, jeśli użyjesz wzoru:

m = (a + b)/2

m jest długością linii środkowej trapezu;

a, b długości podstaw trapezu.

Więc, długość linii środkowej trapezu jest równa połowie sumy długości podstaw.

Podstawowy wzór na wzór na linię środkową trapezu: długość linii środkowej trapezu jest równa połowie sumy podstaw a i b: MN=(a+b)2.Dowodem tego wzoru jest wzór na linię środkową trójkąta. Każdy trapez można przedstawić po narysowaniu od końców mniejszej podstawy wysokości do większej podstawy. Rozważane są 2 powstałe trójkąty i prostokąt. Następnie wzór na linię środkową trapezu to łatwo udowodnić.

Aby znaleźć linię środkową trapezu, musimy znać wartości podstaw.

Po znalezieniu tych wartości, a może były nam znane, dodajemy te liczby i po prostu dzielimy je na pół.

To właśnie się stanie linia środkowa trapezu.

O ile pamiętam szkolne lekcje geometrii, aby obliczyć długość linii środkowej trapezu, należy dodać długości podstaw i podzielić przez dwa. Zatem długość linii środkowej trapezu jest równa połowie sumy podstaw.

W tym artykule postaramy się jak najpełniej odzwierciedlić właściwości trapezu. W szczególności omówimy ogólne cechy i właściwości trapezu, a także właściwości trapezu wpisanego i okręgu wpisanego w trapez. Dotkniemy także właściwości trapezu równoramiennego i prostokątnego.

Przykład rozwiązania problemu z wykorzystaniem omawianych właściwości pomoże Ci uporządkować go w miejsca w głowie i lepiej zapamiętać materiał.

Trapez i wszystko-wszystko

Na początek przypomnijmy sobie krótko, czym jest trapez i jakie inne pojęcia są z nim związane.

Zatem trapez jest figurą czworoboczną, której dwa boki są do siebie równoległe (są to podstawy). I te dwa nie są równoległe - to są boki.

W trapezie wysokość można obniżyć - prostopadle do podstaw. Rysowana jest linia środkowa i przekątne. Można również narysować dwusieczną z dowolnego kąta trapezu.

O różne właściwości, związane ze wszystkimi tymi elementami i ich kombinacjami, teraz porozmawiamy.

Własności przekątnych trapezowych

Aby było to jaśniejsze, podczas czytania naszkicuj trapez ACME na kartce papieru i narysuj w nim przekątne.

1. Jeśli znajdziesz środki każdej z przekątnych (nazwijmy te punkty X i T) i połącz je, otrzymasz odcinek. Jedną z właściwości przekątnych trapezu jest to, że odcinek HT leży na linii środkowej. A jego długość można uzyskać, dzieląc różnicę podstaw przez dwa: ХТ = (a – b)/2.
2. Przed nami ten sam trapez ACME. Przekątne przecinają się w punkcie O. Przyjrzyjmy się trójkątom AOE i MOK utworzonym z odcinków przekątnych wraz z podstawami trapezu. Te trójkąty są podobne. Współczynnik podobieństwa k trójkątów wyraża się stosunkiem podstaw trapezu: k = AE/KM.
   Stosunek pól trójkątów AOE i MOK opisuje współczynnik k 2 .
3. Ten sam trapez, te same przekątne przecinające się w punkcie O. Tylko tym razem rozważymy trójkąty, które utworzyły odcinki przekątnych razem z bokami trapezu. Pola trójkątów AKO i EMO są równej wielkości - ich pola są takie same.
4. Inną właściwością trapezu jest konstrukcja przekątnych. Jeśli więc będziesz kontynuować boki AK i ME w kierunku mniejszej podstawy, to prędzej czy później przetną się w pewnym punkcie. Następnie narysuj linię prostą przez środek podstaw trapezu. Przecina podstawy w punktach X i T.
   Jeśli teraz przedłużymy linię XT, to połączy ona ze sobą punkt przecięcia przekątnych trapezu O, punkt, w którym przecinają się przedłużenia boków i środki podstaw X i T.
5. Przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek, który połączy podstawy trapezu (T leży na mniejszej podstawie KM, X na większej AE). Punkt przecięcia przekątnych dzieli ten odcinek w następującym stosunku: TO/OX = KM/AE.
6. Teraz przez punkt przecięcia przekątnych narysujemy odcinek równoległy do ​​podstaw trapezu (a i b). Punkt przecięcia podzieli go na dwie równe części. Długość odcinka można znaleźć za pomocą wzoru 2ab/(a + b).

Właściwości linii środkowej trapezu

Narysuj linię środkową trapezu równolegle do jego podstaw.

1. Długość linii środkowej trapezu można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: m = (a + b)/2.
2. Jeśli przeciągniesz dowolny odcinek (na przykład wysokość) przez obie podstawy trapezu, środkowa linia podzieli go na dwie równe części.

Własność dwusiecznej trapezu

Wybierz dowolny kąt trapezu i narysuj dwusieczną. Weźmy na przykład kąt KAE naszego trapezu ACME. Po samodzielnym wykonaniu konstrukcji łatwo sprawdzić, czy dwusieczna odcina od podstawy (lub jej kontynuacji na linii prostej poza samą figurą) odcinek o tej samej długości co bok.

Właściwości kątów trapezowych

1. Niezależnie od tego, którą z dwóch par kątów przylegających do boku wybierzesz, suma kątów w parze wynosi zawsze 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
2. Połączmy środki podstaw trapezu z odcinkiem TX. Przyjrzyjmy się teraz kątom u podstaw trapezu. Jeżeli suma kątów któregokolwiek z nich wynosi 90 0, długość odcinka TX można łatwo obliczyć na podstawie różnicy długości podstaw podzielonej na pół: TX = (AE – KM)/2.
3. Jeśli przez boki kąta trapezowego poprowadzono równoległe linie, podzielą one boki kąta na proporcjonalne odcinki.

Właściwości trapezu równobocznego

1. W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe.
2. Teraz zbuduj ponownie trapez, aby łatwiej było sobie wyobrazić, o czym mówimy. Przyjrzyj się uważnie bazie AE - wierzchołek przeciwnej podstawy M jest rzutowany do pewnego punktu na linii zawierającej AE. Odległość wierzchołka A od punktu rzutu wierzchołka M i linii środkowej trapezu równoramiennego są równe.
3. Kilka słów o własności przekątnych trapezu równoramiennego - ich długości są równe. A także kąty nachylenia tych przekątnych do podstawy trapezu są takie same.
4. Okrąg można opisać tylko wokół trapezu równoramiennego, ponieważ suma przeciwnych kątów czworoboku wynosi 180 0 - jest to warunek wstępny.
5. Właściwość trapezu równoramiennego wynika z poprzedniego akapitu - jeśli w pobliżu trapezu można opisać okrąg, jest to równoramienny.
6. Z cech trapezu równoramiennego wynika właściwość wysokości trapezu: jeśli jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, wówczas długość wysokości jest równa połowie sumy podstaw: h = (a + b)/2.
7. Ponownie narysuj odcinek TX przez środki podstaw trapezu - w trapezie równoramiennym jest on prostopadły do ​​podstaw. Jednocześnie TX jest osią symetrii trapezu równoramiennego.
8. Tym razem obniż wysokość z przeciwnego wierzchołka trapezu na większą podstawę (nazwijmy to a). Otrzymasz dwa segmenty. Długość jednego można obliczyć, dodając długości podstaw i dzieląc je na pół: (a + b)/2. Drugą otrzymamy, gdy od większej podstawy odejmiemy mniejszą i uzyskaną różnicę podzielimy przez dwa: (a – b)/2.

Właściwości trapezu wpisanego w okrąg

Ponieważ mówimy już o trapezie wpisanym w okrąg, zastanówmy się nad tym zagadnieniem bardziej szczegółowo. W szczególności, gdzie środek okręgu znajduje się w stosunku do trapezu. Tutaj również zaleca się poświęcenie czasu na chwycenie ołówka i narysowanie tego, co zostanie omówione poniżej. W ten sposób szybciej zrozumiesz i lepiej zapamiętasz.

1. Położenie środka okręgu wyznacza kąt nachylenia przekątnej trapezu na jego bok. Na przykład przekątna może rozciągać się od góry trapezu pod kątem prostym do boku. W tym przypadku większa podstawa przecina środek okręgu opisanego dokładnie w środku (R = ½AE).
2. Przekątna i bok mogą również spotykać się pod kąt ostry– wówczas środek okręgu znajduje się wewnątrz trapezu.
3. Środek okręgu opisanego może znajdować się na zewnątrz trapezu, poza jego większą podstawą, jeśli między przekątną trapezu a jego bokiem istnieje kąt rozwarty.
4. Kąt utworzony przez przekątną i większą podstawę trapezu ACME (kąt wpisany) jest o połowę mniejszy kąt środkowy, co mu odpowiada: MAE = ½MOE.
5. Krótko o dwóch sposobach wyznaczania promienia opisanego okręgu. Metoda pierwsza: przyjrzyj się uważnie swojemu rysunkowi – co widzisz? Łatwo zauważyć, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Promień można obliczyć ze stosunku boku trójkąta do sinusa przeciwnego kąta pomnożonego przez dwa. Na przykład, R = AE/2*sinAME. W podobny sposób wzór można zapisać dla dowolnego boku obu trójkątów.
6. Metoda druga: znajdź promień opisanego koła przez obszar trójkąta utworzonego przez przekątną, bok i podstawę trapezu: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Właściwości trapezu opisanego na okręgu

Można zmieścić okrąg w trapezie, jeśli spełniony jest jeden warunek. Przeczytaj więcej na ten temat poniżej. Razem ta kombinacja liczb ma wiele interesujących właściwości.

1. Jeśli w trapez wpisano okrąg, długość jego linii środkowej można łatwo obliczyć, dodając długości boków i dzieląc otrzymaną sumę na pół: m = (c + d)/2.
2. Dla trapezu ACME opisanego na okręgu suma długości podstaw jest równa sumie długości boków: AK + ME = KM + AE.
3. Z tej własności podstaw trapezu wynika stwierdzenie odwrotne: w trapezoid, którego suma podstaw jest równa sumie jego boków, można wpisać okrąg.
4. Punkt styczny okręgu o promieniu r wpisanego w trapez dzieli bok na dwa odcinki, nazwijmy je a i b. Promień okręgu można obliczyć korzystając ze wzoru: r = √ab.
5. I jeszcze jedna nieruchomość. Aby uniknąć nieporozumień, sam również narysuj ten przykład. Mamy stary, dobry trapez ACME opisany wokół okręgu. Zawiera przekątne przecinające się w punkcie O. Trójkąty AOK i EOM utworzone przez odcinki przekątnych i boki boczne są prostokątne.
   Wysokości tych trójkątów, obniżone do przeciwprostokątnych (tj. bocznych boków trapezu), pokrywają się z promieniami okręgu wpisanego. A wysokość trapezu pokrywa się ze średnicą wpisanego koła.

Właściwości trapezu prostokątnego

Trapez nazywa się prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. I z tej okoliczności wynikają jego właściwości.

1. Trapez prostokątny ma jeden bok prostopadły do ​​podstawy.
2. Wysokość i boczny bok trapezu przylegającego do prosty kąt, są równe. Pozwala to obliczyć pole prostokątnego trapezu (wzór ogólny S = (a + b) * godz/2) nie tylko przez wysokość, ale także przez bok przylegający do kąta prostego.
3. W przypadku trapezu prostokątnego istotne są ogólne właściwości przekątnych trapezu opisane już powyżej.

Dowody na niektóre właściwości trapezu

Równość kątów u podstawy trapezu równoramiennego:

• Prawdopodobnie już zgadłeś, że tutaj znów będziemy potrzebować trapezu AKME - narysuj trapez równoramienny. Narysuj linię prostą MT z wierzchołka M, równoległą do boku AK (MT || AK).

Powstały czworobok AKMT jest równoległobokiem (AK || MT, KM || AT). Ponieważ ME = KA = MT, ∆ MTE jest równoramienne, a MET = MTE.

AK || MT, zatem MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Gdzie AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

co było do okazania

Teraz, bazując na własności trapezu równoramiennego (równość przekątnych), udowodnimy to trapez ACME jest równoramienny:

• Najpierw narysujmy linię prostą MX – MX || KE. Otrzymujemy równoległobok KMHE (podstawa – MX || KE i KM || EX).

∆AMX jest równoramienne, ponieważ AM = KE = MX i MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, zatem MAE = MXE.

Okazało się, że trójkąty AKE i EMA są sobie równe, ponieważ AM = KE i AE są wspólnymi bokami obu trójkątów. A także MAE = MXE. Możemy stwierdzić, że AK = ME i z tego wynika, że ​​trapez AKME jest równoramienny.

Przejrzyj zadanie

Podstawy trapezu ACME mają długości 9 cm i 21 cm, bok KA równy 8 cm tworzy z mniejszą podstawą kąt 150 0. Musisz znaleźć obszar trapezu.

Rozwiązanie: Z wierzchołka K obniżamy wysokość do większej podstawy trapezu. Zacznijmy patrzeć na kąty trapezu.

Kąty AEM i KAN są jednostronne. Oznacza to, że w sumie dają 180 0. Zatem KAN = 30 0 (na podstawie właściwości kątów trapezowych).

Rozważmy teraz prostokątną ∆ANC (uważam, że ten punkt jest oczywisty dla czytelników bez dodatkowych dowodów). Z niego znajdziemy wysokość trapezu KH - w trójkącie jest to noga leżąca naprzeciw kąta 30 0. Dlatego KH = ½AB = 4 cm.

Pole trapezu obliczamy ze wzoru: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Posłowie

Jeśli dokładnie i starannie przestudiowałeś ten artykuł, nie byłeś zbyt leniwy, aby narysować trapezy dla wszystkich podanych właściwości ołówkiem w dłoniach i przeanalizować je w praktyce, powinieneś dobrze opanować materiał.

Oczywiście jest tu mnóstwo informacji, różnorodnych, a czasem nawet zagmatwanych: nie tak trudno pomylić właściwości opisywanego trapezu z właściwościami wpisanego. Ale sam widziałeś, że różnica jest ogromna.

Teraz masz szczegółowe podsumowanie wszystkie ogólne właściwości trapezu. A także specyficzne właściwości i cechy trapezów równoramiennych i prostokątnych. Jest bardzo wygodny w użyciu w celu przygotowania się do sprawdzianów i egzaminów. Wypróbuj sam i udostępnij link swoim znajomym!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.