Suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń. Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych

Wykład 7. Teoria prawdopodobieństwa

KONSEKWENCJE TWIERDZENIA DODANIA I MNOŻENIA

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń

Twierdzenie o dodawaniu dla niekompatybilny wydarzenia. Tutaj przedstawimy twierdzenie o dodawaniu dla wspólny wydarzenia.

Nazywa się dwa zdarzenia wspólny, jeżeli pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego w tej samej rozprawie.

Przykład 1 . A – pojawienie się czterech punktów przy rzucie kostką; B – pojawienie się parzystej liczby punktów. Zdarzenia A i B są wspólne.

Niech zdarzenia A i B będą wspólne i podane zostaną prawdopodobieństwa tych zdarzeń oraz prawdopodobieństwo ich wspólnego wystąpienia. Jak znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia A + B, że zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A i B? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń.

Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch łącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich łącznego wystąpienia: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Dowód . Ponieważ zdarzenia A i B są zgodne pod warunkiem, zdarzenie A + B nastąpi, jeśli wystąpi jedno z następujących trzech niezgodnych zdarzeń: . Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych mamy:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Zdarzenie A nastąpi, jeśli wystąpi jedno z dwóch niezgodnych zdarzeń: A
lub AB. Z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych mamy

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Podobnie mamy

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Podstawiając (**) i (***) do (*), w końcu otrzymujemy

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

co było do okazania

Notatka 1. Korzystając z otrzymanego wzoru, należy pamiętać, że zdarzenia A i B mogą być jednym i drugim niezależny, Więc zależny.

Na niezależne wydarzenia

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Dla zdarzeń zależnych

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Uwaga 2. Jeśli zdarzenia A i B niekompatybilny, to ich kombinacja jest zdarzeniem niemożliwym i dlatego P(AB) = 0.

Wzór (****) na zdarzenia niezgodne ma postać

P(A + B) = P(A) + P(B).

Ponownie otrzymaliśmy twierdzenie o dodawaniu dla zdarzeń niezgodnych. Zatem wzór (****) obowiązuje zarówno w przypadku zdarzeń łącznych, jak i niezgodnych.

Przykład 2. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z pierwszego i drugiego działa jest odpowiednio równe: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia jedną salwą
(z obu dział) z co najmniej jednym z dział.

Rozwiązanie . Prawdopodobieństwo trafienia celu przez każde działo nie zależy od wyniku wystrzału z drugiego działa, zatem zdarzenia A (trafienie z pierwszego działa) i B (trafienie z drugiego działa) są niezależne.

Prawdopodobieństwo zdarzenia AB (oba pistolety trafiły)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Pożądane prawdopodobieństwo P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Uwaga 3. Ponieważ w tym przykładzie zdarzenia A i B są niezależne, możemy zastosować wzór P = 1 – q 1 q 2

W rzeczywistości prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych do zdarzeń A i B, tj. prawdopodobieństwo chybienia wynosi:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Wymagane prawdopodobieństwo, że w jednej salwie trafi co najmniej jedno działo, jest równe

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Jak można było się spodziewać, uzyskano ten sam wynik.

Podstawowe koncepcje
Zdarzenia nazywamy niezgodnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych zdarzeń w tej samej rozprawie. W przeciwnym razie nazywane są one wspólnymi.
Kompletna grupa to zbiór zdarzeń, których kombinacja stanowi zdarzenie wiarygodne.
Jedyne dwa możliwe zdarzenia, które się tworzą, nazywane są przeciwieństwami. pełna grupa.
Zdarzenia nazywamy zależnymi, jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich zależy od wystąpienia lub niewystąpienia innych zdarzeń.
Zdarzenia nazywamy niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo jednego z nich nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia innych.
Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych
P(A+B)=P(A)+P(B),
gdzie A, B są zdarzeniami niezgodnymi.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), gdzie A i B są zdarzeniami wspólnymi.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych
,
gdzie A i B są zdarzeniami niezależnymi.
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych
P(AB)=P(A)P A (B),
gdzie P A (B) jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia B, pod warunkiem, że zdarzenie A miało miejsce; A i B są zdarzeniami zależnymi.

Zadanie 1.
Strzelec oddaje dwa strzały do ​​celu. Prawdopodobieństwo trafienia każdego strzału wynosi 0,8. Skomponuj pełną grupę zdarzeń i znajdź ich prawdopodobieństwa. Rozwiązanie.
Test – do tarczy oddawane są dwa strzały.
Wydarzenie A- spudłowałem oba razy.
Wydarzenie W- uderz raz.
Wydarzenie Z- uderzył oba razy.
.

Kontrola: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Zadanie 2.
Według prognoz meteorologów P(deszcz)=0,4; P(wiatr)=0,7; R(deszcz i wiatr) = 0,2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie padać deszcz lub wiatr? Rozwiązanie. Z twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw i ze względu na zgodność proponowanych zdarzeń mamy:
P(deszcz lub wiatr lub jedno i drugie)=P(deszcz) +P(wiatr) –P(deszcz i wiatr)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Zadanie 3.
Na stacji odlotów znajduje się 8 zamówień na towar do wysłania: pięć na przesyłki krajowe i trzy na eksport. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dwa losowo wybrane zamówienia będą przeznaczone do spożycia krajowego? Rozwiązanie. Wydarzenie A– pierwsze losowe zamówienie realizowane jest na terenie kraju. Wydarzenie W– drugi przeznaczony jest również do spożycia krajowego. Musimy znaleźć prawdopodobieństwo. Następnie, korzystając z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych, mamy

Zadanie 4.
Z partii produktów sprzedawca losowo wybiera produkty najwyższej jakości. Prawdopodobieństwo, że wybrany przedmiot będzie najwyższej jakości, wynosi 0,8; klasa pierwsza – 0,7; klasa druga – 0,5. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród trzech losowo wybranych produktów będzie:
a) tylko dwie klasy premium;
b) każdy jest inny. Rozwiązanie. Niech wydarzenie będzie produktem najwyższej jakości; wydarzenie - produkt najwyższej klasy; wydarzenie to produkt drugiej klasy.
Zgodnie z warunkami problemu; ; Wydarzenia są niezależne.
a) Wydarzenie A– tak będą wtedy wyglądać tylko dwa produkty najwyższej klasy

b) Wydarzenie W– wszystkie trzy produkty są różne – ujmę to tak: , Następnie .
Zadanie 5.
Prawdopodobieństwo trafienia w cel przy strzale z trzech dział jest następujące: p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Znajdź prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia (event A) jedną salwą ze wszystkich dział. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdego działa nie zależy od wyników ostrzału z innych dział, dlatego rozpatrywane zdarzenia (trafienie z pierwszego działa), (trafienie z drugiego działa) i (trafienie z trzeciego działa) są niezależne w całości.
Prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych do zdarzeń (tj. Prawdopodobieństwo chybień) są odpowiednio równe:

Wymagane prawdopodobieństwo
Zadanie 6.
Drukarnia posiada 4 maszyny drukarskie. Dla każdej maszyny prawdopodobieństwo, że działa ten moment, jest równe 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna maszyna aktualnie pracuje (event A). Rozwiązanie. Zdarzenia „maszyna pracuje” i „maszyna nie pracuje” (w tej chwili) są przeciwne, dlatego suma ich prawdopodobieństw jest równa jedności:
Zatem prawdopodobieństwo, że maszyna w danej chwili nie pracuje, jest równe
Wymagane prawdopodobieństwo. Zadanie 7. W czytelni znajduje się 6 podręczników z teorii prawdopodobieństwa, w tym trzy w oprawie. Bibliotekarz wziął losowo dwa podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba podręczniki będą oprawione.

Rozwiązanie. Rozważ następujące zdarzenia:
A1 – pierwszy zabrany podręcznik oprawiony;
A2 to drugi podręcznik oprawiony.
Zdarzenie polegające na tym, że oba zabrane podręczniki są oprawione. Zdarzenia A1 i A2 są zależne, ponieważ prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A2 zależy od wystąpienia zdarzenia A1. Aby rozwiązać ten problem, skorzystamy z twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych: .
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A1 p(A1) zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A2 wyznaczane jest przez prawdopodobieństwo warunkowe wystąpienia zdarzenia A2 pod warunkiem wystąpienia zdarzenia A1, tj. (A2)==0,4.
Następnie pożądane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby m wyników testu, które sprzyjają wystąpieniu zdarzenia A, do całkowitej liczby n wszystkich równie możliwych niezgodnych wyników: P(A)=m/n.

Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A (lub prawdopodobieństwo zdarzenia A, pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B), to liczba P B (A) = P (AB) / P (B), gdzie A i B to dwa zdarzenia losowe z tej samej próby.

Suma skończonej liczby zdarzeń Zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z nich nazywa się. Suma dwóch zdarzeń jest oznaczona jako A+B.

Zasady dodawania prawdopodobieństw :

• wspólne wydarzenia A i B:
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), gdzie P(A) to prawdopodobieństwo zdarzenia A, P(B) to prawdopodobieństwo zdarzenia B, P(A+B ) to prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch zdarzeń, P(AB) to prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch zdarzeń.
• zasada dodawania prawdopodobieństw niekompatybilne zdarzenia A i B:
  P(A+B) = P(A)+P(B), gdzie P(A) to prawdopodobieństwo zdarzenia A, P(B) to prawdopodobieństwo zdarzenia B.

Produkt skończonej liczby zdarzeń nazywa się wydarzeniem, w którym nastąpi każde z nich. Iloczyn dwóch zdarzeń oznaczono jako AB.

Zasady mnożenia prawdopodobieństwa :

• zdarzenia zależne A i B:
  P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), gdzie P A (B) jest prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia B, jeżeli zdarzenie A już nastąpiło, P B ( A) jest prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A, jeżeli zdarzenie B już nastąpiło;
• reguła mnożenia prawdopodobieństwa niezależne wydarzenia A i B:
  P(AB) = P(A)*P(B), gdzie P(A) to prawdopodobieństwo zdarzenia A, P(B) to prawdopodobieństwo zdarzenia B.

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Operacje na zdarzeniach. Zasady dodawania i mnożenia prawdopodobieństw”

Problem 1 . Pudełko zawiera 250 żarówek, z czego 100 ma moc 90 W, 50 to 60 W, 50 to 25 W i 50 to 15 W. Oblicz prawdopodobieństwo, że moc losowo wybranej żarówki nie będzie większa niż 60W.

Rozwiązanie.

A = (moc żarówki wynosi 90 W), prawdopodobieństwo P(A) = 100/250 = 0,4;
B = (moc żarówki to 60W);
C = (moc żarówki to 25W);
D = (moc żarówki wynosi 15 W).

2. Forma zdarzeń A, B, C, D kompletny system , ponieważ wszystkie są niekompatybilne i któryś z nich na pewno wystąpi w tym eksperymencie (wybór żarówki). Istnieje możliwość, że któryś z nich nastąpi wiarygodne wydarzenie, wtedy P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Zdarzenia (moc żarówki nie większa niż 60W) (tj. mniejsza lub równa 60W) oraz (moc żarówki większa niż 60W) (w w tym przypadku– 90W) są przeciwne. Zgodnie z własnością liczb przeciwnych, P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. Biorąc pod uwagę, że P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D) otrzymujemy P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Problem 2 . Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem przez pierwszego strzelca wynosi 0,7, a przez drugiego strzelca – 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że
a) cel zostanie trafiony tylko przez jednego strzelca;
b) cel zostanie trafiony co najmniej przez jednego strzelca.

Rozwiązanie.
1. Rozważ następujące zdarzenia:
A1 = (pierwszy strzelec trafia w cel), P(A1) = 0,7 z warunków problemowych;
Ā1 = (pierwszy strzelec chybił), podczas gdy P(A1)+P(Ā1) = 1, ponieważ A1 i Ā1 to zdarzenia przeciwne. Stąd P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (drugi strzelec trafia w cel), P(A2) = 0,9 z warunków problemowych;
Ā2 = (drugi strzelec chybił), natomiast P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1.

2. Zdarzenie A=(cel zostaje trafiony tylko przez jednego strzelca) oznacza, że ​​miało miejsce jedno z dwóch niezgodnych zdarzeń: A1A2 lub A1A2.
Zgodnie z zasadą dodawania prawdopodobieństw P(A)= P(A1A2)+P(A1A2).

Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0,3*0,9=0,27.
Wtedy P(A)= P(A1A2)+P(A1A2)=0,07+0,27=0,34.

3. Zdarzenie B=(cel trafiony przez co najmniej jednego strzelca) oznacza, że ​​albo w tarczę trafił pierwszy strzelec, albo w tarczę trafił drugi strzelec, albo w tarczę trafili obaj strzelcy.

Zdarzenie B̄=(cel nie zostaje trafiony przez żadnego strzelca) jest przeciwieństwem zdarzenia B, co oznacza P(B)=1-P(B̄).
Zdarzenie B̄ oznacza jednoczesne wystąpienie niezależnych zdarzeń Ā1 i Ā2, zatem P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Wtedy P(B)= 1-P(B̄)=1-0,3=0,7.

Problem 3 . Bilet egzaminacyjny składa się z trzech pytań. Prawdopodobieństwo, że uczeń odpowie na pierwsze pytanie wynosi 0,7; na drugim – 0,9; na trzecim – 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że student wybierając bilet odpowie:
a) na wszystkie pytania;
d) co najmniej dwa pytania.

Rozwiązanie. 1. Rozważ następujące zdarzenia:
A1 = (uczeń odpowiedział na pierwsze pytanie), P(A1) = 0,7 z warunków problemowych;
Ā1 = (uczeń nie odpowiedział na pierwsze pytanie), natomiast P(A1)+P(Ā1) = 1, gdyż A1 i Ā1 to zdarzenia przeciwne. Stąd P(Ā1)=1-0,7=0,3;
A2 = (uczeń odpowiedział na pytanie drugie), P(A2) = 0,9 z warunków problemowych;
Ā2 = (uczeń nie odpowiedział na pytanie drugie), natomiast P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1;
A3 = (uczeń odpowiedział na pytanie trzecie), P(A3) = 0,6 z warunków problemowych;
Ā3 = (uczeń nie odpowiedział na pytanie trzecie), natomiast P(Ā3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Zdarzenie A = (uczeń odpowiedział na wszystkie pytania) oznacza jednoczesne wystąpienie niezależnych zdarzeń A1, A2 i A3, tj. P(A)= P(A1A2A3). Zgodnie z zasadą mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378 .
Wtedy P(A)= P(A1A2A3)=0,378.

3. Zdarzenie D = (uczeń odpowiedział na co najmniej dwa pytania) oznacza, że ​​odpowiedział na dowolne dwa pytania lub na wszystkie trzy, tj. wystąpiło jedno z czterech niezgodnych zdarzeń: albo A1A2Ā3, albo A1Ā2A3, albo Ā1A2A3, albo A1A2A3.
Zgodnie z zasadą dodawania prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych: P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

Zgodnie z zasadą mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042;
P(Ā1A2A3)= P(Ā1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Wtedy P(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.
Zadania edukacyjne:
- podać pojęcie zdarzenia losowego, prawdopodobieństwo zdarzenia;
- uczy obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia; prawdopodobieństwa zdarzeń losowych według definicji klasycznej;
- uczyć stosowania twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw do rozwiązywania problemów;
- nadal rozwijać zainteresowania matematyką poprzez rozwiązywanie problemów wykorzystując klasyczną definicję prawdopodobieństwa do bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw zjawisk;
- zaszczepiać zainteresowanie matematyką z wykorzystaniem materiału historycznego;
- kultywować świadomą postawę wobec procesu uczenia się, zaszczepiać poczucie odpowiedzialności za jakość wiedzy, wykazywać samokontrolę nad procesem rozwiązywania i projektowania ćwiczeń.

Prowadzenie zajęć:
- karty zadań do zadawania pytań indywidualnych;
- karty zadań dot praca testowa;
- prezentacja.

Uczeń musi wiedzieć:
- definicje i wzory na liczbę permutacji, rozmieszczeń i kombinacji;
- klasyczna definicja prawdopodobieństwa;
- określenie sumy zdarzeń, iloczynu zdarzeń; sformułowania i wzory twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.

Uczeń musi potrafić:
- obliczać permutacje, rozmieszczenia i kombinacje;
- obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, korzystając z klasycznej definicji i wzorów kombinatoryki;
- rozwiązywać zadania wykorzystując twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw.

Motywacja aktywność poznawcza studenci.
Nauczyciel podaje, że początki teorii prawdopodobieństwa datuje się na połowę XVII wieku. i związany z badaniami B. Pascala, P. Fermata i H. Huygensa (1629-1695). Najważniejszy krok w rozwoju teorii prawdopodobieństwa wiąże się z twórczością J. Bernoulliego (1654-1705). Jest pierwszym dowodem jednego z najważniejszych założeń teorii prawdopodobieństwa – prawa wielkich liczb. Kolejny etap rozwoju teorii związany jest z nazwiskami A. Moivre'a (1667-1754), C. Gaussa, P. Laplace'a (1749-1827), S. Poissona (1781-1840). Wśród naukowców szkoły petersburskiej należy wymienić nazwiska A.M. Lapunow (1857–1918) i A.A. Markow (1856–1922). Po pracach tych matematyków teorię prawdopodobieństwa zaczęto nazywać na całym świecie „nauką rosyjską”. W połowie lat 20. A.Ya. Chinchin (1894-1959) i A.N. Kołmogorow stworzył Moskiewską Szkołę Teorii Prawdopodobieństwa. Wkład acad. A.N. Kołmogorow – laureat Nagrody Lenina, nagroda międzynarodowa ich. B. Bolzano, członek szeregu zagranicznych naukowców, jest ogromny we współczesnej matematyce. Zasługą A.N. Kołmogorowa jest nie tylko rozwój nowych teorie naukowe, ale także w w większym stopniu fakt, że wyszkolił całą plejada utalentowanych naukowców (akademik Ukraińskiej Akademii Nauk SRR B.V. Gnedenko, akademik Yu.V. Prochorow, B.A. Sevastyanov itp.).
Teoria prawdopodobieństwa jest nauką matematyczną badającą wzorce zmiennych losowych – np Ostatnia dekada stała się jedną z głównych metod nowoczesna nauka i technologia. Szybki rozwój teorii sterowania automatycznego doprowadził do konieczności rozwiązania wielu zagadnień związanych z wyjaśnieniem możliwego przebiegu procesów, na które wpływają czynniki losowe. Teoria prawdopodobieństwa jest konieczna do szerokiego koła specjaliści - fizycy, biolodzy, lekarze, ekonomiści, inżynierowie, personel wojskowy, organizatorzy produkcji itp.

Postęp lekcji.

I. Organizowanie czasu.

II. Sprawdzanie pracy domowej
Przeprowadź ankietę frontalną w formie odpowiedzi na pytania:

Sprawdź rozwiązanie ćwiczeń:

• Na ile sposobów można utworzyć listę 10 osób?
• Na ile sposobów można wykorzystać 15 pracowników, aby utworzyć zespoły składające się z 5 osób każdy?
• 30 uczniów wymieniło się między sobą kartkami fotograficznymi. Ile łącznie rozdano kartek fotograficznych?

III. Nauka nowego materiału.
W słownik objaśniający SI. Ozhegov i N.Yu. Szwedowej czytamy: „Prawdopodobieństwo to możliwość spełnienia, wykonalność czegoś”. Często używamy Życie codzienne„prawdopodobnie”, „bardziej prawdopodobne”, „niesamowite”, bez żadnego znaczenia konkretnych szacunków ilościowych tej możliwości realizacji.
Założyciel współczesna teoria prawdopodobieństwa Kołmogorow pisał o prawdopodobieństwie w ten sposób: „Prawdopodobieństwo matematyczne jest charakterystyka numeryczna stopień możliwości wystąpienia określonego zdarzenia w określonych warunkach, który może się powtórzyć nieograniczoną liczbę razy.”
Zatem w matematyce prawdopodobieństwo mierzy się liczbą. Już niedługo dowiemy się dokładnie, jak można to zrobić. Ale zaczniemy od omówienia, które zdarzenia mają „prawdopodobieństwo matematyczne” i jakie są te „pewne warunki, które można powtarzać nieograniczoną liczbę razy”. Dlatego rozważymy zdarzenia losowe i eksperymenty losowe.
Trzeba powiedzieć, że teoria prawdopodobieństwa, jak żadna inna dziedzina matematyki, jest pełna sprzeczności i paradoksów. Wyjaśnienie tego jest bardzo proste – jest ono zbyt ściśle powiązane z otaczającą nas realną rzeczywistością. Przez długi czas oni, podobnie jak statystyka matematyczna, nie chcieli nawet klasyfikować jej jako dyscypliny matematycznej, uznając je za nauki czysto stosowane.
Dopiero w pierwszej połowie ubiegłego wieku, głównie dzięki twórczości naszego wielkiego rodaka A.N. Zbudowano Kołmogorowa, którego nazwisko zostało już wspomniane powyżej podstawy matematyczne teorię prawdopodobieństwa, która umożliwiła oddzielenie samej nauki od jej zastosowań. Podejście zaproponowane przez Kołmogorowa jest obecnie powszechnie nazywane aksjomatycznym, ponieważ prawdopodobieństwo w nim (a raczej przestrzeń prawdopodobieństwa) definiuje się jako pewną strukturę matematyczną, która spełnia określony system aksjomatów.
Właśnie na tym podejściu zbudowany jest nowoczesny uniwersytecki kurs teorii prawdopodobieństwa, przez który przeszli wszyscy obecni nauczyciele matematyki. Jednak w szkole takie podejście do badania prawdopodobieństwa (i matematyki w ogóle) jest mało rozsądne. Jeśli na uniwersytecie główny nacisk położony jest na studiowanie aparatu matematycznego do badania modeli probabilistycznych, to w szkole uczeń musi nauczyć się budować te modele, analizować, sprawdzać ich adekwatność do rzeczywistych sytuacji. Ten punkt widzenia podziela dziś większość naukowców zajmujących się problematyką szkolnej edukacji matematycznej.
W nowoczesnym podręczniki szkolne można znaleźć następującą definicję: zdarzenie nazywa się losowy, jeśli w tych samych warunkach może się to zdarzyć lub nie. Przykładowo zdarzenie „Przy rzucie kostką pojawi się 6 punktów” będzie losowe.
Z powyższej definicji wynika jeden ważny wymóg, który należy podkreślić: musimy być w stanie wielokrotnie odtwarzać te same warunki, w jakich obserwuje się dane zdarzenie(na przykład rzucanie kostką) - w przeciwnym razie nie można ocenić jego losowości.
Dlatego mówiąc o jakimkolwiek zdarzeniu losowym, zawsze mamy na myśli obecność pewnych warunków, bez których w ogóle nie ma sensu mówić o tym zdarzeniu. Ten zestaw warunków nazywa się przypadkowe doświadczenie Lub losowy eksperyment.
Dalej każde zdarzenie związane z losowym eksperymentem nazwiemy losowym. Przed eksperymentem z reguły nie można z całą pewnością stwierdzić, czy dane zdarzenie nastąpi, czy nie – staje się to jasne dopiero po jego zakończeniu. Ale nie bez powodu stworzyliśmy klauzulę „z reguły”: w teorii prawdopodobieństwa zwyczajowo uważa się za losowe wszystkie zdarzenia związane z eksperymentem losowym, w tym:

• niemożliwe to nigdy nie może się zdarzyć;
• niezawodny, które występują w każdym takim eksperymencie.

Na przykład zdarzenie „Kostka rzuci 7 punktów” jest niemożliwa, ale „Kostka rzuci mniej niż 7 punktów” jest wiarygodne. Oczywiście jeśli mówimy o o sześcianie, na którego bokach są zapisane liczby od 1 do 6.
Wydarzenia nazywają się niekompatybilny, jeśli za każdym razem możliwe jest wystąpienie tylko jednego z nich. Wydarzenia nazywają się wspólny, jeżeli w danych warunkach zajście jednego z tych zdarzeń nie wyklucza wystąpienia drugiego w tej samej próbie (w urnie znajdują się dwie kule - biała i czarna, pojawienie się kuli czarnej nie wyklucza zajścia białego podczas tej samej próby). Wydarzenia nazywają się naprzeciwko, jeżeli w warunkach testu, jako jego jedyne wyniki, są one niezgodne. Prawdopodobieństwo zdarzenia uważa się za miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia losowego.

Oznaczenia:
Zdarzenia losowe (wielkimi literami alfabetu łacińskiego): A,B,C,D,.. (lub ). „Losowe” jest pomijane i mówi się po prostu „wydarzenia”.
Liczba wyników sprzyjających zaistnieniu danego zdarzenia – m;
Liczba wszystkich wyników (eksperymentów) wynosi n.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo zdarzenie A to stosunek liczby wyników m sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia do liczby n wszystkich wyników (niespójnych, tylko możliwych i równie możliwych), tj.
– prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia nie może być mniejsze od zera i większe od jedności, tj. 0≤P(A)≤1
Zdarzenie niemożliwe odpowiada prawdopodobieństwu P(A)=0, a zdarzenie wiarygodne odpowiada prawdopodobieństwu P(A)=1

Twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństwa.
Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych.
Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z kilku zdarzeń niezgodnych parami, bez względu na to, które, jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń.
Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich łącznego wystąpienia:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Dla trzech wspólnych wydarzeń formuła obowiązuje:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (tj. niewystąpienie zdarzenia A) oznaczamy przez . Suma prawdopodobieństw dwóch przeciwnych zdarzeń jest równa jeden: P(A)+P()=1

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, obliczane przy założeniu, że zdarzenie B już nastąpiło, nazywa się warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia A podlegają B i są oznaczone jako (A) lub P(A/B).
Jeśli A i B są zdarzeniami niezależnymi, to
P(B)-(B)=(B).

Zdarzenia A, B, C,... nazywane są łącznie niezależne, jeżeli prawdopodobieństwo każdego z nich nie ulegnie zmianie na skutek wystąpienia lub niewystąpienia innych zdarzeń oddzielnie lub w dowolnej ich kombinacji.

Twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństwa.
Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych.
Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:
P(AB)=P(A) P(B)

Prawdopodobieństwo wystąpienia kilku niezależnych w sumie zdarzeń oblicza się ze wzoru:
P()=P() P()… P().

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych.
Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch zależnych zdarzeń jest równe iloczynowi jednego z nich i prawdopodobieństwa warunkowego drugiego:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Zastosowanie wiedzy w rozwiązywaniu typowych problemów
Zadanie 1.
W loterii składającej się z 1000 losów wygrywa 200. Losowo wydawany jest jeden bilet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten bilet będzie zwycięzcą?
Rozwiązanie: Bilet A na wydarzenie wygrywa. Całkowita liczba różnych wyników wynosi n=1000
Liczba wyników sprzyjających wygranej wynosi m=200. Ze wzoru P(A)= otrzymujemy P(A)== = 0,2 = 0,147

Problem 4.
W pudełku znajduje się 20 części ułożonych w losowej kolejności, z czego 5 jest standardowych. Robotnik bierze losowo 3 części. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna z pobranych części będzie standardowa.

Zadanie 5.
Znajdź prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba dwucyfrowa będzie wielokrotnością 3, 5 lub obu

Zadanie 6.
W jednej urnie znajdują się 4 kule białe i 8 czarnych, w drugiej 3 kule białe i 9 czarnych. Z każdej urny wyjęto kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie kule będą białe.
Rozwiązanie: Niech A będzie pojawieniem się białej kuli z pierwszej urny, a B będzie pojawieniem się białej kuli z drugiej urny. Oczywiście zdarzenia A i B są niezależne. Znajdźmy P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4 i otrzymamy
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Zadanie 7.
Pudełko zawiera 12 części, z czego 8 to standardowe elementy. Pracownik bierze losowo dwie części, jedną po drugiej. Znajdź prawdopodobieństwo, że obie części będą standardowe.
Rozwiązanie: Wprowadźmy następującą notację: A – pierwsza część jest standardowa; B – druga część jest standardowa. Prawdopodobieństwo, że pierwsza część jest standardowa, wynosi P(A)=8/12=2/3. Prawdopodobieństwo, że druga część będzie standardowa, pod warunkiem, że pierwsza część była standardowa, tj. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B jest równe (B)=7/11.
Prawdopodobieństwo, że obie części okażą się standardowe, oblicza się za pomocą twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń zależnych:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Samodzielne wykorzystanie wiedzy, umiejętności i zdolności.
Opcja 1.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba całkowita z zakresu od 40 do 70 jest wielokrotnością 6?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy pięciokrotnie monetą, wypadnie ona trzy razy?

Opcja 2.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba całkowita z zakresu od 1 do 30 (włącznie) będzie dzielnikiem 30?
2. Instytut badawczy zatrudnia 120 osób, z czego 70 wie język angielski, 60 mówi po niemiecku, a 50 zna oba. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik nie zna ani jednego języka obcego?

VI. Podsumowanie lekcji.

VII. Praca domowa:
G.N. Jakowlew, matematyka, księga 2, § 24.1, 24.2, s. 365-386. Ćwiczenia 24.11, 24.12, 24.17