Matematiksel beklenti m. Rastgele bir değişkenin ortalama değeri

izin ver rastgele değişken X olası değerler:

X1, x2,…, xk.

Ölçümler yapılıyor N zamanlar, sonuç X Ben gözlemlendi N Ben bir kez, sonra

Ortalama değer

(ölçüm sonuçlarının toplamı)/(tüm ölçümlerin sayısı) =
.

Şu tarihte:
(1.1) dikkate alınarak

aldık

. (1.5)

Rastgele değişkenli bir fonksiyon için

. (1.5a)

Bir miktarın ortalama değeri, değerlerinin çarpımlarının ve bu değerlerin olasılıklarının toplamına eşittir. .

Şu tarihte:
aldık
ve (1.5a) şunu verir olasılıkların normalleştirilmesi

. (1.6)

Ortalamanın özellikleri

Sabit için
ve bağımsız rastgele değişkenler X Ve sen gerçekleştirildi:

1)

– sabit çarpan ortalama işaretinin altından çıkarılır;

– toplamın/farkın ortalaması, ortalamaların toplamına/farkına eşittir;

3)

– bağımsız büyüklüklerin çarpımının ortalaması, ortalamalarının çarpımına eşittir.

Mülkiyet Kanıtı 1

Ortalamanın tanımından (1.5a)

aldık

Mülkiyet Kanıtı 2

İşlev
rastgele bir değişken için olasılık dağılımını açıklayan X, işlevler için aynıdır
Ve
, daha sonra ortalamanın tanımından (1.5a)

;

Kanıtözellikler 3

Ortalamanın tanımını ve dağılım fonksiyonunu kullanıyoruz
bağımsız rastgele değişkenler X Ve sen. Bağımsız olaylar teoremine göre olasılıkları çarpılır

Sonra alırız

.

Temel tanımlar

Ortalamadan sapma rastgele değişken

.

Ortalama sapma ortalamadan rastgele değişken sıfıra eşittir

Ortalama kare değeri

. (1.7)

Rastgele değişkenlerin ortalama değerleri için X Ve sen gerçekleştirilen Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz eşitsizliği

. (1.7a)

(1.7a)'dan itibaren
bulduk

. (1.7b)

Kök ortalama, ortalamanın karesinden büyük veya ona eşittir.

Dağılım– ortalamadan standart sapma

(1.7b)'den şunu elde ederiz:
.

Dalgalanma– varyansın karekökü

Bağıl dalgalanma

. (1.10)

Eğer X zaman içinde rastgele değişiyorsa, bağıl dalgalanma sistemin bu durumda olduğu zamanın oranını gösterir.
.

Teorem:Sistemi karakterize eden katkı miktarının göreceli dalgalanması, bağımsız alt sistem sayısının kareköküyle ters orantılı olarak azalır ve makroskopik bir sistem için küçüktür.. Katkı miktarına bir örnek (Latince additivus'tan - “eklendi”) enerjidir. Bir makrosistem için enerji dalgalanmaları ihmal edilebilir düzeydedir, ancak bir mikrosistem için bunlar önemlidir.

Kanıt

Katkı miktarı X sistem için değerlerin toplamına eşittir X kİçin N bağımsız alt sistemler

.

Ortalama almanın 2. özelliğine göre - toplamın ortalaması ortalamaların toplamına eşittir

– alt sistemlerin sayısıyla orantılıdır.

Ortalamadan sapma

,

dağılım

.

Karesini alırken
ve çapraz çarpımlar için sonucun ortalaması alınırken, ortalamanın 3. özelliği dikkate alınır - bağımsız miktarların ürününün ortalaması, ortalamalarının çarpımına eşittir

,
,

ve ortalamadan ortalama sapmanın sıfır olduğu kullanılır

.

Büyüklüklerin kareleri sıfırdan farklı kalır. Sonuç olarak dalgalanma

.

Bağıl dalgalanma

(S.1.11)

bağımsız alt sistem sayısının kareköküyle ters orantılı olarak azalır.

Oluşturma işlevi. Rastgele bir değişken var N aralıkta ayrık değerler alan
. Sonuç alma olasılığı N eşittir
. Üreten fonksiyonun tanımlanması

. (S.1.14)

Üreten fonksiyon biliniyorsa olasılık dağılımı (A.1.14)'ten elde edilir.

, (S.1.15)

nerede kullanıldı

Normalleştirme koşulu (1.6)

yerine getirilmesini gerektirir

. (S.1.16)

Rastgele bir değişkenin ortalama değerlerini elde etmek için farklılaştırma yaparız (A.1.14)

,

ve buluyoruz

. (S.1.17)

Çift farklılaşma (A.1.14)

. (S.1.18)

Üreten fonksiyonların çarpımı üzerine teorem. Üreten işlevlerle olasılık dağılımlarıyla tanımlanan iki bağımsız olay türü meydana gelirse
Ve
, olayların toplamının dağılımı, onları üreten fonksiyonların çarpımı ile ifade edilir.

Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımı, topluluk entropisi, matematiksel beklenti ve dağılımı hakkında bilgi sahibi olma ihtimalinden korkmuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. En önemlilerinden birkaçına göz atalım temel konseptler bu bilim dalı.

Temelleri hatırlayalım

En çok hatırlasan bile basit kavramlar Olasılık teorisi, makalenin ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Önemli olan şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamazsınız.

Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek çalışmaya başlayabilirsiniz. matematiksel beklenti ve sürekli rastgele değişkenlerin varyansları.

Ortalama

Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Bizim için asıl önemli olan şu an bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacağımızdır.

Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.

Dağılım

Konuşuyorum bilimsel dil dağılım, elde edilen karakteristik değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.

Dispersiyonun problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat artırıldığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.

Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.

Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?

Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.

Deney sayısına bağımlılık

Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?

Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız. Birim cinsinden ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.

Görev

Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.

Beklenen değer

Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.

Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemleri gerçekleştirmenize izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı - şimdi pratik yapma zamanı.

Bir örnek daha

50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti probleminin çözümüne bir örnek sunalım.

Aritmetik ortalamayı ilkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz: 50/10 = 5.

Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.

90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin; muhtemelen her şey yerine oturacaktır.

Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.

Sapma

Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. O da belirlenmiş Latin harfleriyle sd veya Yunanca küçük harf "sigma". Bu kavram değerlerin ortalama olarak ne kadar saptığını gösterir Merkezi özellik. Değerini bulmak için hesaplamanız gerekir Kare kök dağılımdan.

Eğer komplo kurarsan normal dağılım ve doğrudan sapmanın karesini görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.

Yazılım

Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretimde kullanılan programı kullanmak mantıklıdır. Eğitim Kurumları- buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.

Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihayet

Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.

Bu makalede sunulanlara benzer görevleri çözerek en az bir hafta, günde yarım saat pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.

Her bir değer tamamen kendi dağılım fonksiyonu tarafından belirlenir. Ayrıca pratik problemleri çözmek için, rastgele bir değişkenin ana özelliklerini kısa bir biçimde sunmanın mümkün olduğu birkaç sayısal özelliği bilmek yeterlidir.

Bu miktarlar öncelikle şunları içerir: beklenen değer Ve dağılım .

Beklenen değer- olasılık teorisindeki rastgele bir değişkenin ortalama değeri. Olarak belirtilir.

En basit şekliyle bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w), nasıl olduğunu bul integralLebesgue olasılık ölçüsüyle ilgili olarak R orijinal olasılık alanı

Bir değerin matematiksel beklentisini de şu şekilde bulabilirsiniz: Lebesgue integrali itibaren X olasılık dağılımına göre Rx miktarları X:

tüm olası değerlerin kümesi nerede X.

Rastgele bir değişkenden fonksiyonların matematiksel beklentisi X dağıtım yoluyla bulundu Rx. Örneğin, Eğer X- ve değerlerine sahip rastgele bir değişken f(x)- kesin Borel'inişlev X , O:

Eğer F(x)- dağıtım işlevi X, o zaman matematiksel beklenti temsil edilebilir integralLebesgue - Stieltjes (veya Riemann - Stieltjes):

bu durumda entegre edilebilirlik X Açısından ( * ) integralin sonluluğuna karşılık gelir

Belirli durumlarda, eğer X olası değerlerle ayrık bir dağılıma sahiptir xk, k=1, 2, . ve olasılıklar, o zaman

Eğer X olasılık yoğunluğu ile kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir p(x), O

bu durumda matematiksel bir beklentinin varlığı, karşılık gelen serinin veya integralin mutlak yakınsamasına eşdeğerdir.

Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin özellikleri.

• Sabit bir değerin matematiksel beklentisi şu değere eşittir:

C- devamlı;

• M=C.M[X]

• Rastgele alınan değerlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

• Bağımsız rastgele alınan değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi = matematiksel beklentilerinin çarpımı:

M=M[X]+M[Y]

Eğer X Ve e bağımsız.

seri yakınsarsa:

Matematiksel beklentiyi hesaplamak için algoritma.

Ayrık rastgele değişkenlerin özellikleri: tüm değerleri doğal sayılarla yeniden numaralandırılabilir; her değere sıfır olmayan bir olasılık atayın.

1. Çiftleri birer birer çarpın: x ben Açık ben.

2. Her çiftin ürününü ekleyin x ben p ben.

Örneğin, İçin N = 4 :

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu olasılıkları pozitif işaretli olan noktalarda adım adım aniden artar.

Örnek: Formülü kullanarak matematiksel beklentiyi bulun.

Matematiksel beklenti kavramı, zar atma örneği kullanılarak düşünülebilir. Her atışta düşen puanlar kaydedilir. Bunları ifade etmek için 1 – 6 aralığındaki doğal değerler kullanılır.

Belirli sayıda atıştan sonra basit hesaplamalar kullanarak atılan puanların aritmetik ortalamasını bulabilirsiniz.

Aralıktaki değerlerden herhangi birinin oluşması gibi bu değer de rastgele olacaktır.

Atış sayısını birkaç kat artırırsanız ne olur? Çok sayıda atışla, puanların aritmetik ortalaması, olasılık teorisinde matematiksel beklenti olarak adlandırılan belirli bir sayıya yaklaşacaktır.

Yani matematiksel beklenti ile rastgele bir değişkenin ortalama değerini kastediyoruz. Bu gösterge aynı zamanda olası değer değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak da sunulabilir.

Bu kavramın birkaç eşanlamlısı vardır:

• ortalama değer;
• ortalama değer;
• merkezi eğilim göstergesi;
• ilk an.

Başka bir deyişle, bir rastgele değişkenin değerlerinin etrafına dağıldığı bir sayıdan başka bir şey değildir.

İnsan faaliyetinin farklı alanlarında, matematiksel beklentiyi anlamaya yönelik yaklaşımlar biraz farklı olacaktır.

Şu şekilde düşünülebilir:

• büyük sayılar teorisi açısından bakıldığında, bir kararın verilmesinden elde edilen ortalama fayda;
• Her bahis için ortalama olarak hesaplanan olası kazanma veya kaybetme miktarı (kumar teorisi). Argoda, "oyuncunun avantajı" (oyuncu için olumlu) veya "kumarhane avantajı" (oyuncu için olumsuz) gibi görünürler;
• kazançlardan elde edilen kârın yüzdesi.

Beklenti kesinlikle tüm rastgele değişkenler için zorunlu değildir. Karşılık gelen toplam veya integralde tutarsızlık olanlar için mevcut değildir.

Matematiksel beklentinin özellikleri

Herhangi bir istatistiksel parametre gibi, matematiksel beklenti de aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Matematiksel beklenti için temel formüller

Matematiksel beklentinin hesaplanması, hem süreklilik (formül A) hem de ayrıklık (formül B) ile karakterize edilen rastgele değişkenler için gerçekleştirilebilir:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi rastgele değişkenin değerleridir, pi ise olasılıklardır:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilen olasılık yoğunluğudur.

Matematiksel beklentiyi hesaplama örnekleri

Örnek A.

Pamuk Prenses masalında cücelerin ortalama boylarını bulmak mümkün mü? 7 cücenin her birinin belirli bir boya sahip olduğu biliniyor: 1.25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 ve 0,81 m.

Hesaplama algoritması oldukça basittir:

• büyüme göstergesinin tüm değerlerinin toplamını buluyoruz (rastgele değişken):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Ortaya çıkan miktarı cüce sayısına bölün:
  6,31:7=0,90.

Yani bir masaldaki cücelerin ortalama boyu 90 cm'dir. Yani cücelerin büyümesinin matematiksel beklentisi budur.

Çalışma formülü - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Matematiksel beklentinin pratik uygulaması

Matematiksel beklentinin istatistiksel göstergesinin hesaplanmasına çeşitli pratik faaliyet alanlarında başvurulur. Öncelikle ticari alandan bahsediyoruz. Sonuçta, Huygens'in bu göstergeyi tanıtması, bazı olaylar için olumlu veya tam tersi olumsuz olabilecek şansların belirlenmesiyle ilişkilidir.

Bu parametre, özellikle finansal yatırımlar söz konusu olduğunda riskleri değerlendirmek için yaygın olarak kullanılır.
Dolayısıyla iş dünyasında matematiksel beklentinin hesaplanması, fiyatları hesaplarken riskin değerlendirilmesi için bir yöntem görevi görür.

Bu gösterge, örneğin işgücünün korunması gibi belirli önlemlerin etkinliğini hesaplamak için de kullanılabilir. Bu sayede bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Bu parametrenin bir diğer uygulama alanı da yönetimdir. Ürün kalite kontrolü sırasında da hesaplanabilir. Örneğin mat kullanmak. Beklentilerinize göre üretilen hatalı parça sayısını hesaplayabilirsiniz.

Bilimsel araştırma sırasında elde edilen sonuçların istatistiksel işlenmesini gerçekleştirirken de matematiksel beklentinin vazgeçilmez olduğu ortaya çıkıyor. Hedefe ulaşma düzeyine bağlı olarak bir deneyin veya çalışmanın istenen veya istenmeyen sonucunun olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Sonuçta, başarısı kazanç ve faydayla ilişkilendirilebilir, başarısızlığı ise kayıp veya kayıpla ilişkilendirilebilir.

Forex'te matematiksel beklentiyi kullanmak

Bu istatistiksel parametrenin pratik uygulaması döviz piyasasında işlem yaparken mümkündür. Onun yardımıyla ticari işlemlerin başarısını analiz edebilirsiniz. Ayrıca beklenti değerinin artması başarının da arttığını gösterir.

Matematiksel beklentinin, bir yatırımcının performansını analiz etmek için kullanılan tek istatistiksel parametre olarak değerlendirilmemesi gerektiğini de unutmamak gerekir. Ortalama değerle birlikte çeşitli istatistiksel parametrelerin kullanılması analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırır.

Bu parametre, ticari hesapların gözlemlerinin izlenmesinde kendini kanıtlamıştır. Bu sayede mevduat hesabında yapılan çalışmaların hızlı bir değerlendirmesi yapılmaktadır. Yatırımcının faaliyetinin başarılı olduğu ve kayıplardan kaçındığı durumlarda, yalnızca matematiksel beklenti hesaplamasının kullanılması önerilmez. Bu durumlarda riskler dikkate alınmaz ve bu da analizin etkinliğini azaltır.

Tüccarların taktikleri üzerine yapılan çalışmalar şunu göstermektedir:

• En etkili taktikler rastgele girişe dayalı olanlardır;
• En az etkili olanı ise yapılandırılmış girdilere dayalı taktiklerdir.

Olumlu sonuçlara ulaşmada daha az önemli olmayanlar şunlardır:

• para yönetimi taktikleri;
• çıkış stratejileri.

Matematiksel beklenti gibi bir göstergeyi kullanarak 1 dolar yatırım yaparken kar veya zararın ne olacağını tahmin edebilirsiniz. Casinoda oynanan tüm oyunlar için hesaplanan bu göstergenin işletme lehine olduğu bilinmektedir. Para kazanmanızı sağlayan şey budur. Uzun bir oyun serisi durumunda müşterinin para kaybetme olasılığı önemli ölçüde artar.

Profesyonel oyuncuların oynadığı oyunların kısa sürelerle sınırlı olması kazanma olasılığını artırırken kaybetme riskini de azaltır. Yatırım işlemleri yapılırken de aynı durum gözlenmektedir.

Bir yatırımcı, olumlu beklentilere sahip olarak ve kısa sürede çok sayıda işlem yaparak önemli miktarda kazanç elde edebilir.

Beklenti, kâr yüzdesinin (PW) ortalama kârla (AW) çarpımı ile zarar olasılığının (PL) ortalama zararın (AL) çarpımı arasındaki fark olarak düşünülebilir.

Örnek olarak şunu düşünebiliriz: pozisyon – 12,5 bin dolar, portföy – 100 bin dolar, mevduat riski – %1. İşlemlerin karlılığı, ortalama% 20 karla vakaların% 40'ıdır. Kayıp durumunda ortalama kayıp %5'tir. İşlemin matematiksel beklentisinin hesaplanması 625 ABD doları değerinde bir değer verir.

Bir takım pratik problemlerin birkaç dağıtım karakteristiği kullanılarak çözülebileceği ve bir rastgele değişkenin tam dağılım fonksiyonuna ilişkin bilginin isteğe bağlı olduğu ortaya çıktı. Bir rastgele değişkenin bu tür tanımlayıcı özellikleri, örneğin ortalama ve standart kare değerlerinin yanı sıra standart sapmayı içerir.

Rastgele değişkenlerin ortalama değerlerini deneyimlerden ve ayrıca rastgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarını bilerek bulabilirsiniz. Çeşitli durumlarda bu ortalamaları nasıl bulacağımıza bakalım.

Rastgele bir değişkenin şunu almasına izin verin: olasılıklı değerler veya bu değer bir kez düşer

olasılıklı değer veya bu değer nihayetten bir kez düşer,

olasılıklı değer veya bu değer bir kez düşer

Daha sonra test sırasında rastgele değişkenin değerlerinin toplamı şöyle olacaktır:

Bir rastgele değişkenin ortalama değerini, yani test başına değeri bulmak için toplamı, toplam test sayısına bölmeniz gerekir:

Formül (2.11) kullanılarak bulunan belirli bir ortalama değere sahipsek, genel olarak konuşursak, toplam test sayısının farklı değerleri için, ortalama değerin değerleri de farklı olacaktır, çünkü aşağıdaki değerler dikkate alınması doğası gereği rastgeledir. Ancak sayı arttıkça belirli bir miktarın ortalama değeri belirli bir a sınırına doğru yönelecektir. Ve test sayısı ne kadar fazla olursa, formül (2.11) ile belirlenen sınır değeri o kadar yakın olacaktır:

Son eşitlik, büyük sayılar kanunu veya Chebyshev teoremi olarak adlandırılan şeydir: Rastgele bir değişkenin ortalama değeri, çok sayıda ölçüm boyunca sabit bir sayıya yönelecektir.

Yani bir rastgele değişkenin ortalama değeri, rastgele değişkenin çarpımları ile onun oluşma olasılığının toplamına eşittir.

Bir rastgele değişken sürekli değişiyorsa ortalama değeri entegrasyon kullanılarak bulunabilir:

Ortalama değerlerin bir takım önemli özellikleri vardır:

1) sabit bir değerin ortalama değeri, sabit değerin kendisine eşittir, yani.

2) bazı rastgele değişkenlerin ortalama değeri sabit bir değerdir, yani.

3) birkaç rastgele değişkenin toplamının ortalama değeri, bu değişkenlerin ortalama değerlerinin toplamına eşittir, yani.

4) karşılıklı olarak bağımsız iki rastgele değişkenin çarpımının ortalama değeri, her birinin ortalama değerlerinin çarpımına eşittir, yani.

Bu kuralı daha fazla sayıda bağımsız niceliğe genişletirsek:

Bazen, şu ya da bu nedenle, bir rastgele değişkenin ortalama değerine ilişkin bilgi yetersizdir. Bu gibi durumlarda bir rastgele değişkenin sadece ortalama değeri değil, bu değerin karesinin (ikinci dereceden) ortalama değeri de aranır. Bu durumda benzer formüller geçerlidir:

ayrık değerler için ve

Rastgele bir değişkenin sürekli değişmesi durumunda.

Bir rastgele değişkenin ortalama kare değeri her zaman pozitiftir ve kaybolmaz.

Çoğunlukla yalnızca rastgele değişkenin ortalama değerleriyle değil, aynı zamanda rastgele değişkenin bazı fonksiyonlarının ortalama değerleriyle de ilgilenmek gerekir.

Örneğin moleküllerin hıza göre dağılımı verildiğinde ortalama hızı bulabiliriz. Ancak hızın ikinci dereceden bir fonksiyonu olan termal hareketin ortalama kinetik enerjisiyle de ilgilenebiliriz. Bu gibi durumlarda, ayrık bir dağılım durumunda rastgele bir değişkenin keyfi bir fonksiyonunun ortalama değerini belirleyen aşağıdaki genel formülleri kullanabilirsiniz.

sürekli dağıtım durumunda

Normalleştirilmemiş bir dağılım fonksiyonu kullanarak rastgele bir değişkenin veya rastgele değişkenin bir fonksiyonunun ortalama değerlerini bulmak için aşağıdaki formülleri kullanın:

Burada entegrasyon, rastgele değişkenin olası değerlerinin tüm aralığı boyunca her yerde gerçekleştirilir.

Ortalamadan sapma. Bazı durumlarda, bir rastgele değişkenin ortalama ve ortalama karekök değeri bilgisinin, rastgele değişkeni karakterize etmede yetersiz olduğu ortaya çıkar. Bir rastgele değişkenin ortalama değeri etrafındaki dağılımı da ilgi çekicidir. Bunun için bir rastgele değişkenin ortalama değerden sapması incelenir.

Ancak bir rastgele değişkenin ortalama değerinden ortalama sapmasını yani sayıların ortalamasını alırsak:

o zaman hem kesikli hem de sürekli dağılım durumunda sıfır elde ederiz. Gerçekten mi,

Bazen rastgele bir değişkenin sapma modülünün ortalama değerini ortalama değerden, yani değerden bulmak mümkündür:

Ancak mutlak değerlerle yapılan hesaplamalar çoğu zaman zordur ve bazen imkansızdır.

Bu nedenle, bir rastgele değişkenin ortalama değeri etrafındaki dağılımını karakterize etmek için çok daha sık olarak standart sapma veya ortalama kare sapma adı verilen bir terim kullanılır. Ortalama kare sapmaya rastgele bir değişkenin varyansı da denir. Varyans aşağıdaki formüllerle belirlenir:

bunlar tek bir türe dönüştürülür (bkz. problem 5, 9).

burada değer, rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının karesini temsil eder.

Rastgele bir değişkenin varyansının kareköküne, rastgele değişkenin standart sapması denir ve fiziksel büyüklükler için dalgalanma:

Bazen formülle belirlenen göreceli bir dalgalanma ortaya çıkar

Böylece, bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bilerek, bir rastgele değişkenin bizi ilgilendiren tüm özelliklerini belirleyebiliriz: ortalama değer, ortalama kare, bir rastgele değişkenin keyfi bir fonksiyonunun ortalama değeri, ortalama kare sapma veya dağılım ve dalgalanma. rastgele bir değişken.

Bu nedenle istatistiksel fiziğin temel görevlerinden biri, çeşitli fiziksel sistemlerdeki belirli fiziksel rastgele değişkenlerin ve parametrelerin yasalarını ve dağılım fonksiyonlarını bulmaktır.