Diferansiyel denklemin kısmi çözüm tipini bulun. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler. Çözüm örnekleri. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Çözüm diferansiyel denklemler. Bizim sayesinde çevrimiçi hizmet Her türden ve karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz: homojen olmayan, homojen, doğrusal olmayan, doğrusal, birinci, ikinci dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip vb. Diferansiyel denklemlerin çözümünü analitik biçimde ayrıntılı bir açıklamayla birlikte alırsınız. Birçok kişi ilgileniyor: Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmek neden gerekli? Bu tür denklem matematik ve fizikte çok yaygındır ve burada diferansiyel denklemi hesaplamadan birçok problemi çözmek imkansızdır. Diferansiyel denklemler ekonomi, tıp, biyoloji, kimya ve diğer bilimlerde de yaygındır. Böyle bir denklemi çevrimiçi olarak çözmek, görevlerinizi büyük ölçüde basitleştirir, size materyali daha iyi anlama ve kendinizi test etme fırsatı verir. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenin avantajları. Modern bir matematik hizmeti web sitesi, her türlü karmaşıklıktaki diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize olanak tanır. Bildiğiniz gibi var büyük sayı diferansiyel denklem türleri ve her birinin kendine özgü çözüm yöntemleri vardır. Hizmetimizde, herhangi bir düzen ve türdeki diferansiyel denklemlerin çözümlerini çevrimiçi olarak bulabilirsiniz. Çözüme ulaşmak için başlangıç ​​verilerini doldurup “Çözüm” butonuna tıklamanızı öneririz. Hizmetin işleyişindeki hatalar hariçtir, böylece doğru cevabı aldığınızdan %100 emin olabilirsiniz. Hizmetimizle diferansiyel denklemleri çözün. Diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözün. Varsayılan olarak böyle bir denklemde y fonksiyonu x değişkeninin bir fonksiyonudur. Ancak kendi değişken adınızı da belirleyebilirsiniz. Örneğin, bir diferansiyel denklemde y(t)'yi belirtirseniz hizmetimiz, y'nin t değişkeninin bir fonksiyonu olduğunu otomatik olarak belirleyecektir. Tüm diferansiyel denklemin sırası, denklemde mevcut fonksiyonun türevinin maksimum derecesine bağlı olacaktır. Böyle bir denklemi çözmek, istenen fonksiyonu bulmak anlamına gelir. Hizmetimiz diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenize yardımcı olacaktır. Denklemi çözmek sizin açınızdan fazla çaba gerektirmez. Denklemin sol ve sağ taraflarını gerekli alanlara girip “Çözüm” butonuna tıklamanız yeterli. Girerken, bir fonksiyonun türevi kesme işaretiyle belirtilmelidir. Birkaç saniye içinde diferansiyel denklemin hazır ayrıntılı çözümünü alacaksınız. Hizmetimiz tamamen ücretsizdir. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Bir diferansiyel denklemin sol tarafında y'ye bağlı bir ifade, sağ tarafında ise x'e bağlı bir ifade varsa, bu tür bir diferansiyel denklem ayrılabilir değişkenli olarak adlandırılır. Sol taraf y'nin bir türevini içerebilir; bu tür diferansiyel denklemlerin çözümü, denklemin sağ tarafının integrali ile ifade edilen bir y fonksiyonu biçiminde olacaktır. Sol tarafta y fonksiyonunun bir diferansiyeli varsa, bu durumda denklemin her iki tarafı da entegre edilir. Bir diferansiyel denklemdeki değişkenler ayrılmadığında, ayrılmış bir diferansiyel denklem elde etmek için bunların ayrılması gerekecektir. Doğrusal diferansiyel denklem. Fonksiyonu ve tüm türevleri birinci dereceden olan bir diferansiyel denkleme doğrusal denir. Genel görünüm denklemler: y’+a1(x)y=f(x). f(x) ve a1(x) sürekli fonksiyonlar x'ten. Bu tür diferansiyel denklemlerin çözülmesi, iki diferansiyel denklemin ayrı değişkenlerle integralinin alınmasına indirgenir. Diferansiyel denklemin sırası. Bir diferansiyel denklem birinci, ikinci ve n. mertebeden olabilir. Bir diferansiyel denklemin sırası, içerdiği en yüksek türevin sırasını belirler. Hizmetimizde diferansiyel denklemleri çözebilirsiniz önce çevrimiçi, ikinci, üçüncü vb. emir. Denklemin çözümü herhangi bir y=f(x) fonksiyonu olacaktır, bunu denklemde yerine koyarsanız bir özdeşlik elde edersiniz. Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulma sürecine entegrasyon denir. Cauchy sorunu. Diferansiyel denklemin kendisine ek olarak bir verilirse orijinal durum y(x0)=y0 ise buna Cauchy problemi denir. Denklemin çözümüne y0 ve x0 göstergeleri eklenir ve keyfi bir C sabitinin değeri belirlenir ve ardından bu C değerinde denklemin özel bir çözümü belirlenir. Bu, Cauchy probleminin çözümüdür. Cauchy problemi aynı zamanda fizik ve mekanikte çok yaygın olan sınır koşulları problemi olarak da adlandırılmaktadır. Ayrıca Cauchy problemini, yani her şeyden kurma fırsatınız da var. olası çözümler Denklemde verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan bölümü seçin.

Bazı fizik problemlerinde süreci tanımlayan büyüklükler arasında doğrudan bir bağlantı kurmak mümkün değildir. Ancak incelenen fonksiyonların türevlerini içeren bir eşitlik elde etmek mümkündür. Diferansiyel denklemler bu şekilde ortaya çıkar ve bilinmeyen bir fonksiyonu bulmak için bunları çözme ihtiyacı ortaya çıkar.

Bu makale, bilinmeyen fonksiyonun tek değişkenli bir fonksiyon olduğu diferansiyel denklemi çözme problemiyle karşı karşıya kalanlar için hazırlanmıştır. Teori şu şekilde inşa edilmiştir: boş gösterim diferansiyel denklemler konusunda, görevinizin üstesinden gelebileceksiniz.

Her diferansiyel denklem türü, ayrıntılı açıklamalar ve tipik örneklere ve problemlere yönelik çözümler içeren bir çözüm yöntemiyle ilişkilendirilir. Tek yapmanız gereken probleminizin diferansiyel denkleminin türünü belirlemek, analiz edilmiş benzer bir örnek bulmak ve benzer eylemleri gerçekleştirmek.

Diferansiyel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için aynı zamanda antiderivatif kümelerini (belirsiz integraller) bulma becerisine de ihtiyacınız olacak. çeşitli işlevler. Gerekiyorsa bölümüne başvurmanızı öneririz.

Öncelikle türete göre çözülebilen birinci mertebeden adi diferansiyel denklem türlerini ele alacağız, sonra ikinci mertebeden ODE'lere geçeceğiz, sonra daha yüksek mertebeden denklemler üzerinde duracağız ve sistemlerle bitireceğiz. diferansiyel denklemler.

Eğer y, x argümanının bir fonksiyonu ise bunu hatırlayın.

Birinci mertebeden diferansiyel denklemler.

Formun en basit birinci dereceden diferansiyel denklemleri.

Bu tür uzaktan kumandalara birkaç örnek yazalım .

Diferansiyel denklemler eşitliğin her iki tarafının f(x)'e bölünmesiyle türev açısından çözülebilir. Bu durumda f(x) ≠ 0 için orijinal denkleme eşdeğer bir denklem elde ederiz. Bu tür ODE'lerin örnekleri şunlardır.

Eğer x argümanının f(x) ve g(x) fonksiyonlarının aynı anda sıfır olduğu değerleri varsa, o zaman ek çözümler ortaya çıkar. Denklemin ek çözümleri verilen x, bu bağımsız değişken değerleri için tanımlanan herhangi bir işlevdir. Bu tür diferansiyel denklemlerin örnekleri şunları içerir:

İkinci dereceden diferansiyel denklemler.

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemler.

Sabit katsayılı LDE çok yaygın bir diferansiyel denklem türüdür. Çözümleri özellikle zor değil. Öncelikle karakteristik denklemin kökleri bulunur. . Farklı p ve q için üç durum mümkündür: karakteristik denklemin kökleri gerçek ve farklı, gerçek ve çakışık olabilir veya karmaşık konjugatlar. Karakteristik denklemin köklerinin değerlerine bağlı olarak yazılır genel çözüm diferansiyel denklem , veya veya sırasıyla.

Örneğin, sabit katsayılara sahip doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün. Karakteristik denkleminin kökleri k 1 = -3 ve k 2 = 0'dır. Kökler gerçek ve farklıdır, bu nedenle LOD'nin sabit katsayılı genel çözümü şu şekildedir:


İkinci dereceden sabit katsayılı lineer homojen olmayan diferansiyel denklemler.

Sabit y katsayılı ikinci dereceden bir LDDE'nin genel çözümü, karşılık gelen LDDE'nin genel çözümünün toplamı şeklinde aranır. ve orijinal homojen olmayan denklemin özel bir çözümü, yani . Önceki paragraf, sabit katsayılı homojen bir diferansiyel denklemin genel çözümünün bulunmasına ayrılmıştır. Ve belirli bir çözüm ya yöntemle belirlenir belirsiz katsayılar f(x) fonksiyonunun belirli bir formu için orijinal denklemin sağ tarafında veya keyfi sabitlerin değiştirilmesi yöntemiyle.

Sabit katsayılı ikinci dereceden LDDE'lere örnek olarak şunu veriyoruz:


Teoriyi anlamak ve örneklerin ayrıntılı çözümlerini tanımak için size sayfada sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan ikinci dereceden diferansiyel denklemler sunuyoruz.

Doğrusal homojen diferansiyel denklemler (LODE) ve ikinci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemler (LNDE'ler).

Bu tip diferansiyel denklemlerin özel bir durumu sabit katsayılı LODE ve LDDE'dir.

LODE'nin belirli bir segment üzerindeki genel çözümü, bu denklemin doğrusal olarak bağımsız iki kısmi çözümü y 1 ve y 2'nin doğrusal bir kombinasyonu ile temsil edilir, yani, .

Asıl zorluk tam olarak bu tip bir diferansiyel denklemin doğrusal bağımsız kısmi çözümlerini bulmakta yatmaktadır. Tipik olarak, belirli çözümler aşağıdaki doğrusal bağımsız fonksiyon sistemlerinden seçilir:


Ancak belirli çözümler her zaman bu biçimde sunulmamaktadır.

Bir LOD örneği: .

LDDE'nin genel çözümü, karşılık gelen LDDE'nin genel çözümü ve orijinal diferansiyel denklemin özel çözümü olan formda aranır. Az önce onu bulmaktan bahsettik, ancak isteğe bağlı sabitleri değiştirme yöntemi kullanılarak belirlenebilir.

LNDU'ya bir örnek verilebilir .

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler.

Sırada azalmaya izin veren diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklem sırası İstenilen fonksiyonu ve k-1 mertebesine kadar türevlerini içermeyen , değiştirilerek n-k'ye indirgenebilir.

Bu durumda orijinal diferansiyel denklem . Çözümü p(x) bulduktan sonra, yerine koymaya geri dönüp bilinmeyen y fonksiyonunu belirlemeye devam eder.

Örneğin, diferansiyel denklem değiştirildikten sonra ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklem haline gelecek ve sırası üçüncüden birinciye düşecektir.

Belirli integralleri bulurken karşı karşıya kaldığımız görevi hatırlayalım:

veya dy = f(x)dx. Onun çözümü:

ve iş belirsiz integralin hesaplanmasına gelir. Pratikte daha sık görülür zor görev: işlevi bul senşeklinde bir ilişkiyi sağladığı biliniyorsa

Bu ilişki bağımsız değişkenle ilgilidir X, bilinmeyen işlev sen ve mertebeye kadar türevleri N dahil, denir .

Bir diferansiyel denklem, şu veya bu dereceden türevlerin (veya diferansiyellerin) işareti altındaki bir fonksiyonu içerir. En yüksek sıraya sıra denir (9.1) .

Diferansiyel denklemler:

- ilk sipariş,

İkinci derece

- beşinci derece vb.

Belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan fonksiyona çözümü denir , veya integral . Bunu çözmek, tüm çözümlerini bulmak anlamına gelir. Gerekli fonksiyon için ise sen tüm çözümleri veren bir formül elde etmeyi başardık, sonra onun genel çözümünü bulduğumuzu söylüyoruz , veya genel integral .

Genel çözüm içerir N keyfi sabitler ve benziyor

ile ilgili bir ilişki elde edilirse x, y Ve N izin verilmeyen bir biçimde keyfi sabitler sen -

bu durumda böyle bir ilişkiye denklem (9.1)'in genel integrali denir.

Cauchy sorunu

Her özel çözüme, yani belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan ve keyfi sabitlere bağlı olmayan her özel fonksiyona özel çözüm denir. , veya kısmi bir integral. Genel çözümlerden özel çözümler (integraller) elde etmek için belirli sabitlerin verilmesi gerekir. sayısal değerler.

Belirli bir çözümün grafiğine integral eğrisi denir. Tüm kısmi çözümleri içeren genel çözüm, bir integral eğri ailesidir. Birinci dereceden bir denklem için bu aile, denklem için keyfi bir sabite bağlıdır. N-inci sipariş - itibaren N keyfi sabitler.

Cauchy problemi denklem için özel bir çözüm bulmaktır. N-th sipariş, tatmin edici N başlangıç ​​koşulları:

bununla n sabiti c 1, c 2,..., cn belirlenir.

1. dereceden diferansiyel denklemler

Türevine göre çözülmemiş 1. dereceden diferansiyel denklem için şu forma sahiptir:

veya nispeten izin verilen için

Örnek 3.46. Denklemin genel çözümünü bulun

Çözüm. Bütünleşerek şunu elde ederiz

burada C keyfi bir sabittir. C'ye belirli sayısal değerler atarsak belirli çözümler elde ederiz, örneğin,

Örnek 3.47. 100 r tahakkuğa tabi olarak bankaya yatırılan para miktarının arttığını düşünün Yıllık bileşik faiz. Başlangıçtaki para miktarı Yo olsun ve sonunda Yx olsun X yıllar. Faiz yılda bir kez hesaplanırsa,

burada x = 0, 1, 2, 3,.... Faiz yılda iki kez hesaplandığında şunu elde ederiz:

burada x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Faiz hesaplanırken N yılda bir kez ve eğer x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... sıralı değerlerini alır, ardından

1/n = h'yi belirtin, o zaman önceki eşitlik şöyle görünecektir:

Sınırsız büyütme ile N(saatte ) limitte artış sürecine geliyoruz toplam para sürekli faiz tahakkukları ile:

Dolayısıyla sürekli değişimle açıkça görülüyor ki X para arzındaki değişim kanunu 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade edilir. Y x bilinmeyen bir fonksiyon olduğunda, X- bağımsız değişken, R- devamlı. Bu denklemi çözelim, bunun için aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

Neresi , veya , burada P, e C'yi belirtir.

Y(0) = Yo başlangıç ​​koşullarından P: Yo = Pe o'yu buluruz, buradan Yo = P olur. Bu nedenle çözüm şu şekildedir:

İkinci ekonomik sorunu ele alalım. Makroekonomik modeller aynı zamanda gelir veya Y çıktısındaki değişiklikleri zamanın fonksiyonu olarak tanımlayan 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerle de tanımlanır.

Örnek 3.48. Milli gelir Y'nin değeriyle orantılı bir oranda artmasına izin verin:

ve devlet harcama açığının orantı katsayısı ile gelir Y ile doğru orantılı olmasına izin verin Q. Harcama açığı ulusal borcun artmasına neden olur D:

Başlangıç ​​koşulları Y = Yo ve D = Do t = 0'da. İlk denklemden Y= Yoe kt. Y'yi değiştirerek dD/dt = qYoe kt elde ederiz. Genel çözüm şu şekildedir:
D = (q/ k) Yoe kt +С, burada С = sabit, başlangıç ​​koşullarından belirlenir. Başlangıç ​​koşullarını yerine koyarsak Do = (q/ k)Yo + C elde ederiz. Yani son olarak,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

bu, ulusal borcun aynı oranda arttığını gösteriyor k Milli gelirle aynı.

En basit diferansiyel denklemleri ele alalım N mertebeden, bunlar formun denklemleridir

Genel çözümü kullanılarak elde edilebilir. N kez entegrasyonlar.

Örnek 3.49. y """ = cos x örneğini düşünün.

Çözüm. Bütünleşerek şunu buluruz

Genel çözüm şu şekildedir:

Doğrusal diferansiyel denklemler

Ekonomide yaygın olarak kullanılırlar; bu tür denklemleri çözmeyi düşünelim. Eğer (9.1) şu şekle sahipse:

o zaman buna doğrusal denir, burada рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) fonksiyonları verilir. f(x) = 0 ise (9.2)'ye homojen, aksi takdirde homojen olmayan denir. Denklemin (9.2) genel çözümü, herhangi bir özel çözümünün toplamına eşittir. y(x) ve buna karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü:

Eğer р o (x), р 1 (x),..., р n (x) katsayıları sabitse, o zaman (9.2)

(9.4) sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılır N .

(9.4) için şu forma sahiptir:

Genelliği kaybetmeden, p o = 1'i ayarlayabilir ve (9.5) formunu yazabiliriz.

k'nin bir sabit olduğu y = e kx formunda bir çözüm (9.6) arayacağız. Sahibiz: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ortaya çıkan ifadeleri (9.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(9.7) evet cebirsel denklem, bilinmiyor k, karakteristik denir. Karakteristik denklemin derecesi vardır N Ve N aralarında hem çoklu hem de karmaşık olabilen kökler. k 1 , k 2 ,..., k n gerçek ve farklı olsun, o zaman - özel çözümler (9.7) ve genel

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün:

Karakteristik denklemi şu şekildedir:

(9.9)

diskriminantı D = p 2 - 4q, D'nin işaretine bağlı olarak üç durum mümkündür.

1. Eğer D>0 ise, k 1 ve k 2 (9.9) kökleri gerçel ve farklıdır ve genel çözüm şu şekildedir:

Çözüm. Karakteristik denklem: k 2 + 9 = 0, dolayısıyla k = ± 3i, a = 0, b = 3, genel çözüm şu şekildedir:

y = C 1 çünkü 3x + C 2 sin 3x.

2. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler, P fiyatındaki değişim oranının stok büyüklüğüne bağlı olduğu, mal stokları içeren web tipi bir ekonomik model incelenirken kullanılır (bkz. Paragraf 10). Arz ve talebin eşit olması durumunda doğrusal fonksiyonlar fiyatlar yani

a, reaksiyon hızını belirleyen bir sabittir, bu durumda fiyat değişimi süreci diferansiyel denklemle tanımlanır:

Belirli bir çözüm için sabit alabiliriz

anlamlı denge fiyatı Sapma homojen denklemi karşılar

(9.10)

Karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır:

Terimin pozitif olması durumunda. Haydi belirtelim . Karakteristik denklemin kökleri k 1,2 = ± i w, dolayısıyla genel çözüm (9.10) şu şekildedir:

burada C ve keyfi sabitlerdir, başlangıç ​​koşullarından belirlenirler. Zaman içinde fiyat değişimi yasasını elde ettik:

Ya türeve göre çözülmüşlerdir ya da türeve göre çözülebilirler. .

Aralıktaki türdeki diferansiyel denklemlerin genel çözümü X Verilen bu eşitliğin her iki tarafının integrali alınarak bulunabilir.

Aldık .

Belirsiz integralin özelliklerine bakarsak istenen genel çözümü buluruz:

y = F(x) + C,

Nerede F(x)- ilkel işlevlerden biri f(x) arada X, A İLE- keyfi sabit.

Lütfen çoğu problemde aralığın X belirtmeyin. Bu, herkes için bir çözüm bulunması gerektiği anlamına geliyor. X, bunun için ve istenen işlev sen ve orijinal denklem anlamlıdır.

Başlangıç ​​koşulunu karşılayan bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünü hesaplamanız gerekiyorsa y(x 0) = y 0 genel integrali hesapladıktan sonra y = F(x) + C sabitin değerini belirlemek hala gereklidir C = C 0, başlangıç ​​koşulunu kullanarak. Yani bir sabit C = C 0 denklemden belirlenir F(x 0) + C = y 0 ve diferansiyel denklemin istenen kısmi çözümü şu şekli alacaktır:

y = F(x) + C 0.

Bir örneğe bakalım:

Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulalım ve sonucun doğruluğunu kontrol edelim. Bu denklemin başlangıç ​​koşulunu sağlayacak özel bir çözümünü bulalım.

Çözüm:

Verilen diferansiyel denklemin integralini aldıktan sonra şunu elde ederiz:

.

Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanarak bu integrali alalım:

O., diferansiyel denklemin genel çözümüdür.

Sonucun doğru olduğundan emin olmak için bir kontrol yapalım. Bunu yapmak için bulduğumuz çözümü verilen denklemde yerine koyarız:

.

Yani, ne zaman orijinal denklem bir kimliğe dönüşür:

dolayısıyla diferansiyel denklemin genel çözümü doğru olarak belirlendi.

Bulduğumuz çözüm, argümanın her gerçek değeri için diferansiyel denklemin genel bir çözümüdür. X.

Geriye ODE'nin başlangıç ​​koşulunu sağlayacak özel bir çözümünün hesaplanması kalıyor. Başka bir deyişle sabitin değerini hesaplamak gerekir. İLE eşitliğin doğru olacağı yer:

.

.

Daha sonra yerine C = 2 ODE'nin genel çözümünde, diferansiyel denklemin başlangıç ​​koşulunu karşılayan özel bir çözümünü elde ederiz:

.

Adi diferansiyel denklem Türev için denklemin 2 tarafı şu şekilde bölünerek çözülebilir: f(x). Bu dönüşüm şu durumda eşdeğer olacaktır: f(x) hiçbir koşulda sıfıra dönmez X diferansiyel denklemin entegrasyon aralığından X.

Argümanın bazı değerleri için olası durumlar vardır. X ∈ X işlevler f(x) Ve g(x) aynı anda sıfır olur. Benzer değerler için X bir diferansiyel denklemin genel çözümü herhangi bir fonksiyondur sen, bunlarda tanımlanmış, çünkü .

Bazı argüman değerleri için ise X ∈ X koşul sağlanmıştır; bu, bu durumda ODE'nin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.

Diğer herkes için X aralıktan X diferansiyel denklemin genel çözümü dönüştürülen denklemden belirlenir.

Örneklere bakalım:

Örnek 1.

ODE'ye genel bir çözüm bulalım: .

Çözüm.

Ana özelliklerden temel işlevler fonksiyonun olduğu açıktır doğal logaritma negatif olmayan bağımsız değişken değerleri için tanımlanır, dolayısıyla ifadenin kapsamı ln(x+3) bir aralık var X > -3 . Bu, verilen diferansiyel denklemin anlamlı olduğu anlamına gelir. X > -3 . Bu bağımsız değişken değerleri için ifade x+3 kaybolmaz, dolayısıyla türevin ODE'sini 2 parçaya bölerek çözebilirsiniz. x + 3.

Aldık .

Daha sonra, elde edilen diferansiyel denklemin türevine göre çözülmüş halini entegre ediyoruz: . Bu integrali almak için onu diferansiyel işaret altına alma yöntemini kullanırız.

Verilen çevrimiçi hesap makinesi diferansiyel denklemleri çevrimiçi çözmenizi sağlar. Fonksiyonun türevini kesme işaretiyle belirten uygun alana denkleminizi girmeniz ve "denklem çöz" düğmesine tıklamanız yeterlidir. Ve popüler WolframAlpha web sitesi temelinde uygulanan sistem ayrıntılı bilgi verecektir. diferansiyel denklem çözme tamamen ücretsiz. Ayrıca, olası çözümlerin tüm kümesinden, verilen başlangıç ​​koşullarına karşılık gelen bölümü seçmek için bir Cauchy problemi tanımlayabilirsiniz. Cauchy problemi ayrı bir alana girilir.

Diferansiyel denklem

Varsayılan olarak denklemdeki işlev sen bir değişkenin fonksiyonudur X. Ancak değişken için kendi tanımınızı belirleyebilirsiniz; örneğin denklemde y(t) yazarsanız hesap makinesi bunu otomatik olarak tanıyacaktır. sen bir değişkenden bir fonksiyon var T. Hesap makinesi yardımıyla şunları yapabilirsiniz diferansiyel denklemleri çöz her türlü karmaşıklık ve tipte: homojen ve homojen olmayan, doğrusal veya doğrusal olmayan, birinci dereceden veya ikinci ve daha yüksek dereceden, ayrılabilir veya ayrılamayan değişkenlere sahip denklemler, vb. Çözüm farklılığı denklem analitik formda verilmiştir, detaylı açıklama. Diferansiyel denklemler fizik ve matematikte çok yaygındır. Bunları hesaplamadan birçok problemi (özellikle matematiksel fizikte) çözmek imkansızdır.

Diferansiyel denklemleri çözmenin aşamalarından biri fonksiyonların integralidir. Yemek yemek standart yöntemler diferansiyel denklemlerin çözümleri. Denklemleri ayrılabilir y ve x değişkenlerine sahip bir forma indirgemek ve ayrılan fonksiyonları ayrı ayrı entegre etmek gerekir. Bunu yapmak için bazen belirli bir değişiklik yapılması gerekir.