Yüksek mertebeden toplam diferansiyeller ve kısmi türevler. Tam diferansiyel işareti. İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri Kavram ve çözüm örnekleri Kısmi türevler ve toplam diferansiyel

Bir fonksiyonun argümanlarından yalnızca birine bir artış belirtirken onu değiştirmeyi düşünelim - x ben ve onu çağıralım.

Tanım 1.7.Kısmi türev argümana göre işlevler x ben isminde .

Tanımlar: .

Böylece, çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi aslında fonksiyonun türevi olarak tanımlanır. bir değişken – x i. Dolayısıyla tek değişkenli bir fonksiyon için kanıtlanmış türevlerin tüm özellikleri o fonksiyon için de geçerlidir.

Yorum. Kısmi türevlerin pratik hesaplamasında, türevin alındığı argümanın değişken olduğunu ve geri kalan argümanların sabit olduğunu varsayarak, tek değişkenli bir fonksiyonun türevini almak için olağan kuralları kullanırız.

1. z = 2X² + 3 xy –12sen² + 5 X – 4sen +2,

2. z =xy,

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik yorumu.

Yüzey denklemini düşünün z = f(x,y) ve bir uçak çiz x = inşaat Düzlem ile yüzeyin kesiştiği doğru üzerinde bir nokta seçelim. M(x,y). Eğer argümanı verirseniz enΔ'yı artır en ve koordinatları olan eğri üzerindeki T noktasını düşünün ( x, y+Δ y, z+Δy z), daha sonra MT sekantının O ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantı en,'ye eşit olacaktır. 'deki limite geçerek, kısmi türevin, o noktada ortaya çıkan eğriye teğet tarafından oluşturulan açının tanjantına eşit olduğunu buluyoruz. M O ekseninin pozitif yönü ile sen. Buna göre kısmi türev, O ekseni ile olan açının tanjantına eşittir. X yüzeyin kesilmesi sonucu elde edilen eğriye teğet z = f(x,y) uçak y = inşaat

Tanım 2.1. u = f(x, y, z) fonksiyonunun tam artışına denir

Tanım 2.2. Eğer u = f (x, y, z) fonksiyonunun (x 0 , y 0 , z 0) noktasındaki artışı (2.3), (2.4) formunda temsil edilebiliyorsa, o zaman fonksiyona diferansiyellenebilir denir. Bu noktadaki ifadeye, söz konusu fonksiyonun artımının veya toplam diferansiyelinin ana doğrusal kısmı denir.

Tanımlar: du, df (x 0, y 0, z 0).

Tek değişkenli bir fonksiyonda olduğu gibi, bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri de bunların keyfi artışları olarak kabul edilir, bu nedenle

Açıklama 1. Dolayısıyla, "fonksiyon türevlenebilirdir" ifadesi, "fonksiyonun kısmi türevleri vardır" ifadesine eşdeğer değildir - türevlenebilirlik için bu türevlerin söz konusu noktada sürekliliği de gereklidir.

4. Yüzeye teğet düzlem ve normal. Diferansiyelin geometrik anlamı.

Fonksiyona izin ver z = f(x,y) noktanın komşuluğunda diferansiyellenebilir M (x 0, y 0). Daha sonra kısmi türevleri, yüzeyin kesişme çizgilerine teğetlerin açısal katsayılarıdır. z = f(x,y) uçaklarla y = y 0 Ve x = x 0, yüzeye teğet olacak z = f(x,y). Bu doğrulardan geçen düzlem için bir denklem oluşturalım. Teğet yön vektörleri (1; 0; ) ve (0; 1; ) biçimindedir, dolayısıyla düzlemin normali bunların vektör çarpımı olarak temsil edilebilir: N = (- ,- , 1). Bu nedenle düzlemin denklemi şu şekilde yazılabilir:

Nerede z0 = .

Tanım 4.1. Denklem (4.1) ile tanımlanan düzleme denir teğet düzlem fonksiyonun grafiğine z = f(x,y) koordinatları olan bir noktada (x 0, y 0, z 0).

İki değişkenli durum için formül (2.3)'ten, fonksiyonun artması sonucu çıkar. F bir noktanın yakınında Mşu şekilde temsil edilebilir:

Sonuç olarak, bir fonksiyonun grafiğinin uygulamaları ile teğet düzlem arasındaki fark, bundan daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçüktür. ρ, en ρ→ 0.

Bu durumda fonksiyon diferansiyeli Fşu forma sahiptir:

hangisine karşılık gelir Bir fonksiyonun grafiğine teğet bir düzlemin uygulamalarının arttırılması. Diferansiyelin geometrik anlamı budur.

Tanım 4.2. Bir noktada teğet düzleme dik sıfır olmayan vektör M (x 0, y 0) yüzeyler z = f(x,y), isminde normal bu noktada yüzeye çıkıyor.

Vektörü almak uygundur -- N = { , ,-1}.

İki değişkenli fonksiyon kavramı

Büyüklük z isminde iki bağımsız değişkenin fonksiyonu x Ve sen, eğer bu miktarların izin verilen değerlerinin her bir çifti, belirli bir yasaya göre, miktarın tamamen belirli bir değerine karşılık geliyorsa z. Bağımsız değişkenler X Ve sen isminde argümanlar işlevler.

Bu fonksiyonel bağımlılık analitik olarak gösterilir

Z = f(x,y),(1)

Fonksiyonun gerçek değerlerine karşılık gelen x ve y argümanlarının değerleri z, dikkate alındı kabul edilebilir ve kabul edilebilir tüm x ve y değer çiftlerinin kümesi denir tanım alanı iki değişkenli fonksiyonlar.

Çok değişkenli bir fonksiyon için, tek değişkenli bir fonksiyonun aksine, onun kavramları özel artışlar argümanların ve kavramların her biri için tam artış.

z=f (x,y) fonksiyonunun Δ x z'nin bağımsız değişkene göre kısmi artışı x, argümanı x artırıldığında bu fonksiyonun alacağı artıştır Δx sabit ile sen:

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Bir z= f(x, y) fonksiyonunun y argümanı üzerindeki kısmi artışı Δ y z, bu fonksiyonun, y argümanı x değişmeden bir Δy artışı alırsa alacağı artıştır:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Tam artış Δz işlevler z=f(x,y) argümanla X Ve sen bir fonksiyonun her iki argümanının da artış alması durumunda alacağı artıştır:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Yeterince küçük artışlar için Δx Ve Δy fonksiyon argümanları

yaklaşık bir eşitlik vardır:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

ve ne kadar küçükse o kadar doğrudur Δx Ve Evet.

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri

z=f (x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasındaki x argümanına göre kısmi türevi kısmi artış oranının limiti denir Δxz bu fonksiyon karşılık gelen artışa Δxçabalarken x argümanı Δx 0'a ve bu sınırın mevcut olması koşuluyla:

, (6)

Fonksiyonun türevi benzer şekilde belirlenir z=f(x,y) argümanla y:

Belirtilen gösterime ek olarak kısmi türev fonksiyonları da şu şekilde gösterilir: z΄x, f΄x(x,y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Kısmi türevin asıl anlamı şu şekildedir: çok değişkenli bir fonksiyonun argümanlarından herhangi birine göre kısmi türevi, bu argüman değiştiğinde bu fonksiyonun değişim oranını karakterize eder.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun herhangi bir argümana göre kısmi türevi hesaplanırken, bu fonksiyonun diğer tüm argümanları sabit kabul edilir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulma

f (x, y)= x 2 + y 3

Çözüm. Bu fonksiyonun x argümanına göre kısmi türevini bulurken, y argümanının sabit bir değer olduğunu düşünüyoruz:

;

Y argümanına göre kısmi türevi bulurken, x argümanının sabit bir değer olduğunu düşünüyoruz:

.

Çok değişkenli fonksiyonların kısmi ve tam diferansiyelleri

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi diferansiyeli-veya argümanlarından Bu fonksiyonun belirli bir argümana göre kısmi türevinin ve bu argümanın diferansiyelinin çarpımına denir:

dxz= ,(7)

d y z= (8)

Burada dxz Ve d y z-bir fonksiyonun kısmi diferansiyelleri z=f(x,y) argümanla X Ve y. burada

dx=Δx; dy=Δy, (9)

Tam diferansiyelçok değişkenli bir fonksiyona kısmi diferansiyellerinin toplamı denir:

dz= d x z + d y z, (10)

Örnek 2. Fonksiyonun kısmi ve tam diferansiyellerini bulalım f(x,y)= x2 + y3 .

Bu fonksiyonun kısmi türevleri Örnek 1'de bulunduğundan şunu elde ederiz:

d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun bağımsız değişkenlerinin her birine göre kısmi diferansiyeli, fonksiyonun karşılık gelen kısmi artışının ana parçasıdır..

Sonuç olarak şunu yazabiliriz:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Toplam diferansiyelin analitik anlamı, birkaç değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin, bu fonksiyonun toplam artışının ana kısmını temsil etmesidir..

Böylece yaklaşık bir eşitlik elde edilir.

Δz dz, (12)

Yaklaşık hesaplamalarda toplam diferansiyelin kullanılması formül (12)'nin kullanımına dayanmaktadır.

Artışı hayal edelim Δz gibi

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

ve toplam diferansiyel şu şekildedir:

Sonra şunu elde ederiz:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3.Öğrencilerin sınıftaki etkinliklerinin amacı:

Öğrenci şunları bilmelidir:

1. İki değişkenli bir fonksiyonun tanımı.

2. İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi ve toplam artış kavramı.

3. Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevinin belirlenmesi.

4. Çok değişkenli bir fonksiyonun bağımsız değişkenlerinden herhangi birine göre kısmi türevinin fiziksel anlamı.

5. Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi diferansiyelinin belirlenmesi.

6. Çok değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin belirlenmesi.

7. Toplam diferansiyelin analitik anlamı.

Öğrenci şunları yapabilmelidir:

1. İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi ve toplam artışını bulun.

2. Çok değişkenli fonksiyonların kısmi türevlerini hesaplayabilecektir.

3. Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi ve tam diferansiyellerini bulun.

4. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini yaklaşık hesaplamalarda kullanın.

Teorik kısım:

1. Çok değişkenli fonksiyon kavramı.

2. İki değişkenli fonksiyon. İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi ve toplam artışı.

3. Çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi.

4. Çok değişkenli fonksiyonların kısmi diferansiyelleri.

5. Çok değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyeli.

6. Çok değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin yaklaşık hesaplamalara uygulanması.

Pratik kısım:

1.Fonksiyonların kısmi türevlerini bulun:

1) ; 4) ;

2) z= e xy+2 x; 5) z= 2tg xe y;

3) z= x 2 sin 2 y; 6) .

4. Verilen bir argümana göre bir fonksiyonun kısmi türevini tanımlayın.

5. İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi ve toplam türevine ne denir? Nasıl ilişkilidirler?

6. Son bilgi seviyesini kontrol etmek için soru listesi:

1. Çok değişkenli keyfi bir fonksiyonun genel durumunda, toplam artışı tüm kısmi artışların toplamına eşit midir?

2. Çok değişkenli bir fonksiyonun bağımsız değişkenlerinden herhangi birine göre kısmi türevinin ana anlamı nedir?

3. Toplam diferansiyelin analitik anlamı nedir?

7.Eğitim seansının kronografı:

1. Organizasyon anı – 5 dk.

2. Konunun analizi – 20 dk.

3. Örnek ve problem çözme - 40 dk.

4. Mevcut bilgi kontrolü -30 dk.

5. Dersin Özetlenmesi – 5 dk.

8. Derse yönelik eğitim literatürünün listesi:

1. Morozov Yu.V. Yüksek matematik ve istatistiğin temelleri. M., “Tıp”, 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. ve diğerleri Yüksek matematiğin ve matematiksel istatistiğin temelleri. M., "GEOTAR-Medya", 2006, § 3.3.

Kısmi türev fonksiyonlar z = f(x, y x değişkenine göre Bu fonksiyonun y değişkeninin sabit değerindeki türevi denir, veya z" x ile gösterilir.

Kısmi türev fonksiyonlar z = f(x, y) y değişkenine göre y değişkeninin sabit bir değerinde y'ye göre türev denir; veya z" y olarak belirtilir.

Çok sayıda değişkenden oluşan bir fonksiyonun bir değişkene göre kısmi türevi, geri kalan değişkenlerin sabit tutulması koşuluyla, o fonksiyonun karşılık gelen değişkene göre türevi olarak tanımlanır.

Tam diferansiyel z = f(x, y) fonksiyonuna bir noktada M(X, y) ifadesi denir

,

Nerede ve M(x, y) noktasında hesaplanır ve dx = , dy = y.

örnek 1

Fonksiyonun toplam diferansiyelini hesaplayın.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 M(1; 2) noktasında

Çözüm:

1) Kısmi türevleri bulun:

2) M(1; 2) noktasındaki kısmi türevlerin değerini hesaplayın

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular:

1. Terstürev ne denir? Antiderivatifin özelliklerini listeleyin.

2. Belirsiz integrale ne denir?

3. Belirsiz integralin özelliklerini listeleyiniz.

4.Temel integral alma formüllerini listeleyiniz.

5. Hangi entegrasyon yöntemlerini biliyorsunuz?

6. Newton-Leibniz formülünün özü nedir?

7. Belirli bir integralin tanımını verin.

8. Belirli bir integrali ikame yöntemini kullanarak hesaplamanın özü nedir?

9. Belirli bir integrali parçalara göre hesaplama yönteminin özü nedir?

10. Hangi fonksiyona iki değişkenli fonksiyon denir? Nasıl belirlenir?

11. Hangi fonksiyona üç değişkenli fonksiyon denir?

12. Hangi kümeye bir fonksiyonun tanım tanım kümesi denir?

13. Düzlemde kapalı bir D bölgesini hangi eşitsizlikleri kullanarak tanımlayabilirsiniz?

14. z = f(x, y) fonksiyonunun x değişkenine göre kısmi türevi nedir? Nasıl belirlenir?

15. z = f(x, y) fonksiyonunun y değişkenine göre kısmi türevi nedir? Nasıl belirlenir?

16. Bir fonksiyonun toplam diferansiyeli hangi ifadeye denir?

Konu 1.2 Adi diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklemlere yol açan problemler. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Genel ve özel çözümler. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler. Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen denklemler.

Pratik ders No. 7 “Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemlere genel ve özel çözümler bulma”*

Pratik ders No. 8 “Doğrusal ve homojen diferansiyel denklemler”

Pratik Ders No. 9 “Sabit Katsayılı 2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözülmesi”*

L4, bölüm 15, s. 243 – 256

Yönergeler

Deşifre metni

1 DERS N Toplam diferansiyel, kısmi türevler ve yüksek mertebeden diferansiyeller Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Yüksek mertebeden kısmi türevler Yüksek mertebeden diferansiyeller 4 Karmaşık fonksiyonların türevleri 4 Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller z=f(,) fonksiyonu türevlenebilirse, o zaman toplam diferansiyel dz eşittir dz= a +B () z z A=, B = olduğuna dikkat ederek formül ()'i aşağıdaki biçimde yazıyoruz z z dz= + () Fonksiyon diferansiyeli kavramını bağımsız değişkenlere genişletelim. bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri artışlarına eşittir: d= ; d= Bundan sonra fonksiyonun toplam diferansiyeli formülü şu formu alacaktır: z z dz= d + d () d + d Örnek Let =ln(+) O halde dz= d + d = Benzer şekilde, eğer u=f( , n) n bağımsız n değişkenli türevlenebilir bir fonksiyondur, bu durumda du= d (d =) = d z=f (,)d (4) ifadesine z=f(,) fonksiyonunun kısmi diferansiyeli denir. değişkene; d z=f (,)d (5) ifadesine z=f(,) fonksiyonunun değişkene göre kısmi diferansiyeli denir. (), (4) ve (5) formüllerinden toplam diferansiyelin olduğu sonucu çıkar bir fonksiyonun kısmi diferansiyellerinin toplamıdır: dz=d z+d z z=f(,) fonksiyonunun toplam z artışının, genel olarak konuşursak, kısmi artışların toplamına eşit olmadığına dikkat edin. (,) z=f(,) fonksiyonu diferansiyellenebilir ve diferansiyel dz 0 bu noktada, bu durumda toplamı z= z z + + α (,) + β (,) doğrusal kısmından farklıdır dz= z z + yalnızca 0 ve 0'da doğrusal kısmın terimlerinden daha yüksek dereceden sonsuz küçükler olan son α + β terimlerinin toplamı ile Bu nedenle dz 0'da, diferansiyellenebilir fonksiyonun artışının doğrusal kısmına ana kısım denir Fonksiyonun artışının değeri ve yaklaşık z dz formülü kullanılır; argümanların artışları mutlak değer açısından ne kadar küçük olursa o kadar doğru olur,97 Örnek Arctg(),0'ı yaklaşık olarak hesaplayın

2 Çözüm f(,)=arctg() fonksiyonunu düşünün f(x 0 + x,y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz formülünü uygulayarak, arctg(+) arctg() + [ elde ederiz. arctg() ] + [ arctg()] veya + + arctg() arctg() () + () Let =, =, sonra =-0.0, =0.0 Bu nedenle, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0,0 = arktan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Yaklaşık z dz formülünün uygulanmasından kaynaklanan hatanın, M'nin en büyük olduğu = M (+) sayısını aşmadığı gösterilebilir. ikinci kısmi türevlerin mutlak değerlerinin değeri f(,), f(,), f(,) argümanlar +'dan +'ya ve +'ya değiştiğinde Yüksek mertebeden kısmi türevler Eğer fonksiyon u =f(, z) bazı (açık) D alanındaki değişkenlerden birine göre kısmi bir türevine sahipse, o zaman kendisi de z'nin bir fonksiyonu olan bulunan türev, bir noktada (0, 0, z 0) kısmi türevlere sahip olabilir. aynı veya başka herhangi bir değişkene göre Orijinal u=f(, z) fonksiyonu için, bu türevler ikinci dereceden kısmi türevler olacaktır. Örneğin, birinci türev alınmışsa, o zaman bunun türevi z şu şekilde gösterilir: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = veya u, u, u z z z Üçüncü, dördüncü ve benzeri mertebelerin türevleri benzer şekilde belirlenir.En yüksek mertebenin kısmi türevinin çeşitli değişkenlere göre alındığına dikkat edin, örneğin; karışık kısmi türev denir Örnek u= 4 z, o zaman u =4 z; sen = 4z; sen z = 4 z; sen = z; u =6 4 z; sen zz = 4; sen = z; sen = z; sen z = 4 z; sen z =8 z; sen z =6 4 z; u z =6 4 z Aynı değişkenlere göre fakat farklı sıralarda alınan karışık türevlerin çakıştığına dikkat edin.Bu özellik genel anlamda tüm fonksiyonlar için geçerli değildir ancak geniş bir fonksiyon sınıfında ortaya çıkar.Teorem Varsayalım ki) f(,) fonksiyonu (açık) D alanında tanımlanır,) bu alanda birinci türevler f ve f, ayrıca ikinci karışık türevler f ve f ve son olarak) bu son türevler f ve f bulunur ve'nin fonksiyonları olarak D tanım kümesinin bir (0, 0) noktasında süreklidir. O halde bu noktada f (0, 0)=f (0, 0) İspat Şu ifadeyi düşünün:

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, burada sıfırdan farklıdır, örneğin pozitiftir ve D'nin tamamını içerecek kadar küçüktür dikdörtgen [ 0, 0 +; 0, 0 +] Aşağıdakilerden bir yardımcı fonksiyon tanıtalım: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, () nedeniyle [ 0, 0 +] aralığında bir a'ya sahiptir türev: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= ve dolayısıyla sürekli Bu fonksiyonla f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) W ifadesi eşittir W= şu şekilde yeniden yazılabilir: ϕ (0 +) ϕ (0) W= [ 0, 0 +] aralığındaki ϕ() fonksiyonu için Lagrange teoreminin tüm koşulları karşılandığından, sonlu artış formülünü kullanarak W f ifadesini şu şekilde dönüştürebilirsiniz: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 +θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 du'nun aynı zamanda bir fonksiyonu olduğunu görüyoruz. Eğer u için ikinci dereceden sürekli kısmi türevlerin varlığını varsayarsak, bu durumda du'nun birinci dereceden sürekli kısmi türevleri olacaktır ve bu di diferansiyelinin toplam diferansiyeli hakkında konuşabiliriz. u'nun ikinci derece diferansiyeli (veya ikinci diferansiyeli) olarak adlandırılan d(du); d u ile gösterilir. d, d, d artışlarının sabit kabul edildiğini ve bir diferansiyelden diğerine geçerken aynı kaldığını (ve d, d'nin sıfır olacağını) vurguluyoruz. Yani, d u=d(du)=d( d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d veya d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Benzer şekilde, üçüncü dereceden diferansiyel d u tanımlanır ve bu böyle devam eder. Eğer u fonksiyonu için n'inci dahil tüm mertebelerin sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman n'inci diferansiyelin varlığı garanti edilir Ama onların ifadeleri giderek daha karmaşık hale geliyor Gösterimi basitleştirebilirsiniz Birinci diferansiyelin ifadesindeki “u harfini” parantezlerden çıkaralım O zaman gösterim sembolik olacaktır: du=(d + d + + d ) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, bu şu şekilde anlaşılmalıdır: ilk olarak, parantez içindeki "polinom" resmi olarak bir kuvvete yükseltilir cebir kurallarına göre, ortaya çıkan tüm terimler u ile "çarpılır" (bu, paylara n eklenir) ve ancak bundan sonra Bu, tüm sembollerin türevler ve diferansiyeller olarak anlamlarına döndürüldüğü anlamına gelir u d) d u 4Türevler Karmaşık fonksiyonların D bölgesinde tanımlanmış bir u=f(, z) fonksiyonumuz olsun ve z değişkenlerinin her biri, sırasıyla, t değişkeninin belirli bir aralıktaki bir fonksiyonudur: =ϕ(t), = ψ(t), z=λ(t) Ayrıca t değiştiğinde (, z) noktaları D bölgesinin sınırlarını aşmasın. ve z değerlerini u fonksiyonunda yerine koyarsak şunu elde ederiz: karmaşık fonksiyon: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) u ve z'nin u, u ve u z'nin sürekli kısmi türevleri olduğunu ve t, t ve z t'nin var olduğunu varsayalım. karmaşık bir fonksiyonun türevini alıp hesaplayalım. t değişkenine bir miktar t artışı verelim, sonra z sırasıyla artışlar alacak ve z, u fonksiyonu da u artışını alacak. u fonksiyonunun artışını şu şekilde temsil edelim: ( u, u ve u z) sürekli bölüm türevlerinin varlığını varsaydığımız için bu yapılabilir. u=u +u +u z z+α +β +χ z, burada α, β, χ 0 at, z 0 Her iki tarafı böl t ile eşitlikten u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t 4 elde ederiz

5 Şimdi t'nin artışını sıfıra yönlendirelim: z'nin t fonksiyonları sürekli olduğundan z sıfıra yönelecektir (t, t, z t türevlerinin varlığını varsaydık) ve bu nedenle α, β, χ de eğilimi olacaktır sıfıra Limitte elde ettiğimiz u t =u t +u t +u z z t () Yapılan varsayımlar altında, karmaşık bir fonksiyonun türevinin gerçekten var olduğunu görüyoruz.Eğer diferansiyel gösterimi kullanırsak, o zaman du d d dz () şu forma sahip olacaktır: = + + () dt dt dt z dt Şimdi birkaç değişken t'de z'nin bağımlılık durumunu ele alalım: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) In f(, z) fonksiyonunun kısmi türevlerinin varlığına ve sürekliliğine ek olarak, burada z fonksiyonlarının t ve v'deki türevlerinin de varlığını varsayıyoruz. Bu durum, kısmi hesaplanırken daha önce ele alınan durumdan önemli ölçüde farklı değildir. iki değişkenli bir fonksiyonun türevi, değişkenlerden birini sabitliyoruz ve elimizde tek değişkenli bir fonksiyon kalıyor, formül () aynı olacak z, a () şeklinde yeniden yazılması gerekiyor: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Örnek u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t sen t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Çeşitli değişkenlerin fonksiyonları Geometri, doğa bilimleri ve diğer disiplinlerle ilgili birçok soruda, iki, üç veya daha fazla değişkenli fonksiyonlarla uğraşmak gerekir. Örnekler: a'nın tabanı olduğu S a h üçgeninin alanı

13. Yüksek mertebeden kısmi türevler = olsun ve D O üzerinde tanımlıdır. Ve fonksiyonlarına aynı zamanda bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri veya bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevleri de denir. ve genel olarak

Ek Türevin tanımı Argümanın değerleri olsun ve olsun ve f) ve f) - ((fonksiyonun karşılık gelen değerleri f () Fark, argümanın artışı olarak adlandırılır ve fark, segmentteki fonksiyonun arttırılması,

Pratik ders KARMAŞIK VE ÖRTÜLÜ FONKSİYONLARIN DİĞERLENDİRİLMESİ Karmaşık fonksiyonların türevlenmesi Bir denklemle belirtilen örtülü fonksiyonların türevlenmesi Örtülü ve parametrik olarak belirlenmiş sistemler

BİRÇOK DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI Bir bağımsız değişkenin fonksiyonları doğada var olan tüm bağımlılıkları kapsamaz. Bu nedenle, iyi bilinen fonksiyonel bağımlılık kavramını genişletmek ve tanıtmak doğaldır.

6. Örtülü işlevler 6.1 Tanımlar, ön bilgiler Bir değişkenin diğerine (veya diğerlerine) bağımlılığı, aşağıdaki durumlarda açık gösterim adı verilen yöntem kullanılarak mutlaka ifade edilemez.

1. Temel kavramlar. Çok değişkenli fonksiyonlar. Tüm bu tanımlar ve elde edilen sonuçlar nedeniyle, iki ve üç değişkenli fonksiyon örneklerini kullanarak birkaç değişkenin fonksiyonunu inceleyeceğiz.

2.2.7. Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalara uygulanması. y = fonksiyonunun diferansiyeli x'e bağlıdır ve x'in artışının ana kısmıdır. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz: dy d O halde mutlak hata:

Ders 9. Yüksek mertebeden türevler ve diferansiyeller, özellikleri. Fonksiyonun ekstremum noktaları. Fermat ve Rolle Teoremleri. y fonksiyonu belirli bir aralıkta [b] türevlenebilir olsun. Bu durumda türevi

5 F F F'nin veya bu türevlerden en az birinin bulunmadığı noktaya yüzeyin tekil noktası denir Böyle bir noktada yüzeyin teğet bir düzlemi olmayabilir Tanım Yüzeye dik

KESİN İNTEGRAL. İntegral toplamları ve belirli integral [, b] aralığında tanımlı bir y = f () fonksiyonu verilsin, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

BİRİNCİ DERECE OLAĞAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Temel kavramlar Diferansiyel denklem, türev veya diferansiyel işareti altında bilinmeyen bir fonksiyonun göründüğü bir denklemdir.

6. Bir fonksiyonun diferansiyeli 1. Tanımı ve geometrik anlamı TANIM. Bir y = f(x) fonksiyonuna, eğer bu noktadaki artışı doğrusal bir fonksiyonun toplamı olarak yazılabiliyorsa, x 0 noktasında türevlenebilir denir.

Dersler Bölümü Çok değişkenli fonksiyonlar Temel kavramlar Çok değişkenli bazı fonksiyonlar iyi biliniyor Birkaç örnek verelim Bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü S biliniyor

~ 1 ~ ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYON 3 İki değişkenli fonksiyon, tanım alanı, tanım yöntemleri ve geometrik anlamı. Tanım: zf, iki değişkenli bir fonksiyon olarak adlandırılır, eğer her değer çifti,

Türeve göre çözülen birinci dereceden diferansiyel denklemler Çözümün varoluş ve tekliği teoremi Genel durumda, birinci dereceden diferansiyel denklem F () şeklindedir.

Ders 3 Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Çok değişkenli bir u = f (x, x) fonksiyonu D alanında tanımlansın ve x (x, x) = noktası bu alana ait olsun. u = f ( fonksiyonu x, x) vardır

Modül Konusu Fonksiyonel diziler ve seriler Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığının özellikleri Kuvvet serileri Ders Fonksiyonel diziler ve serilerin tanımları Düzgün

9 Türev ve diferansiyel 91 Problem çözmek için temel formüller ve tanımlar Tanım y f () fonksiyonu noktasının bazı f (Δ) f () Δy komşuluklarında tanımlansın. İlişkinin Δ Δ Δ'daki limiti, eğer

1 Konu 1. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler 1.0. Temel tanım ve teoremler Birinci mertebeden diferansiyel denklem: bağımsız değişken; y = y() gerekli fonksiyon; y = y() onun türevidir.

Ders 8 Karmaşık bir fonksiyonun türevlenmesi Karmaşık bir fonksiyon düşünün t t t f burada ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t Teorem Fonksiyonların bir N t t t noktasında türevlenebilir olmasına ve f fonksiyonunun türevlenebilir olmasına izin verin

MOSKOVA DEVLET SİVİL HAVACILIK TEKNİK ÜNİVERSİTESİ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Disiplin ve test ödevlerini incelemek için Shurinov MATEMATİK KILAVUZU

II DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Tanım Bilinmeyen değişkenlerin ve fonksiyonlarının türev veya diferansiyel işaret altında olduğu bağıntılara denir.

6 Türev kavramına yol açan problemler Maddesel bir noktanın s f (t) yasasına göre tek yönde düz bir çizgi boyunca hareket ettiğini varsayalım; burada t zaman ve s, t zaman noktasının kat ettiği yoldur. belli nokta

Ders 3. Belirsiz integral. Ters türev ve belirsiz integral Diferansiyel analizde problem çözülür: Verilen bir f() fonksiyonu, onun türevini (veya diferansiyelini) bulun. Integral hesabı

1 Ders 7 Yüksek mertebeden türevler ve diferansiyeller Özet: Türevlenebilir fonksiyon kavramı tanıtılır, birinci diferansiyelin geometrik yorumu verilir ve değişmezliği kanıtlanır

Çeşitli argümanların işlevleri Bir fonksiyon kavramı: X kümesindeki her x elemanına, bir y = f(x) yasasına göre, her sayı çiftine Y kümesindeki y değişkeninin benzersiz bir değeri atanır.

VPBelkin tarafından derlenmiştir 1 Ders 1 Çok değişkenli fonksiyon 1 Temel kavramlar Bir değişkenin 1, n değişkenine bağımlılığı = f (1, n) n argümanın bir fonksiyonu olarak adlandırılır 1, n Aşağıda ele alacağız

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Genel kavramlar Diferansiyel denklemlerin mekanik, fizik, astronomi, teknoloji ve yüksek matematiğin diğer dallarında çok sayıda ve çeşitli uygulamaları vardır (örneğin,

I Çok değişkenli bir fonksiyonun tanımı Tanımın alanı Birçok olguyu incelerken, iki veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonlarıyla uğraşmak gerekir, örneğin belirli bir andaki vücut sıcaklığı.

Ders 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange ve L'Hopital Teoremleri Özet: Tüm bu teoremler ispatlanmış ve L'Hopital kuralına göre belirsizlikleri ortaya çıkarma örnekleri verilmiştir. Tanım y=f() fonksiyonu şuna ulaşır:

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Ders 4 Karmaşık fonksiyonların diferansiyellenmesi Örtük diferansiyel Tek değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı olarak da adlandırılan diferansiyel kuralını hatırlayalım (bkz.

Bölüm Bir ve birkaç değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı Gerçel argümanın işlevi Gerçek sayılar Pozitif tam sayılara doğal sayılar denir Doğal sayılara ekleme

Atölye: “Bir fonksiyonun türevlenebilirliği ve türevi” Eğer bir y f () fonksiyonunun bir noktada sonlu bir türevi varsa, o zaman fonksiyonun bu noktadaki artışı şu şekilde temsil edilebilir: y(,) f () () (), nerede

Ders: 3. mertebeden diferansiyel denklemler 3. mertebeden diferansiyel denklemlerin temel türleri ve çözümleri Diferansiyel denklemler matematiksel hesaplamaların en yaygın araçlarından biridir.

KONU 1 BİR FONKSİYONUN FONKSİYON DİFERANSİYELİNİN TÜREVİ PROGRAM SORULARI: 11 Fonksiyonel bağlantı Bir fonksiyonun limiti 1 Bir fonksiyonun türevi 1 Türevin mekanik fiziksel ve geometrik anlamı 14 Temel

KIROSSIAN FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANI FEDERAL DEVLET ÖZERK EĞİTİM KURUMU YÜKSEK ÖĞRETİM "Ulusal Araştırma

DİSİPLİN "YÜKSEK MATEMATİK" dersi, yarıyıl Yazışma dersi KONU Matris cebiri Ekonomik problemleri çözerken, çözümü kullanan ekonomik ve matematiksel modelleme yöntemleri kullanılır.

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirliği. Kısmi türevler cinsinden türevlenebilmenin yeterli koşulları. Kompleksin farklılaşması

Bölüm 4 Bir Fonksiyonun Limiti 4 1 BİR FONKSİYONUN LİMİT KAVRAMI Bu bölüm bir fonksiyonun limit kavramına odaklanmaktadır. Bir fonksiyonun sonsuzda limitinin ne olduğu belirlenir ve ardından bir noktadaki limit, limitler belirlenir.

DERS 23 KANONİK DÖNÜŞÜMLER. FAZ HACMİNİN KORUNMASINA İLİŞKİN LIOUVILLE TEOREMİ. SERBEST BİR DÖNÜŞÜMÜN ÜRETİM İŞLEVİ Kanonik dönüşümleri incelemeye devam edelim. Öncelikle ana konuyu hatırlayalım

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Matematiksel analiz Uzaktan teknolojileri kullanarak okuyan yüksek öğretim öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül 3 Birin fonksiyonlarının diferansiyel hesabı

55, ρ n (,) ile karşılaştırıldığında daha yüksek bir küçüklük düzeyinde sonsuz küçük bir miktardadır, burada ρ () + (), bunlar Peano formunda n R, ρ olarak temsil edilebilir. Örnek Taylor'ın formülünü n'de yazın.

Konu Belirli İntegral Belirli İntegral Belirli İntegral Kavramına Yol Açan Problemler Eğrisel Yamuğun Alanının Hesaplanması Problemi Oksi koordinat sisteminde kavisli bir yamuk verilmiştir,

5 Kuvvet serileri 5 Kuvvet serileri: tanım, yakınsaklık bölgesi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) formunda fonksiyonel seriler burada, a, a, K, a ,k bazı sayılara kuvvet serisi sayıları denir

Sayı serisi Sayı dizisi Def Bir sayı dizisi, x doğal sayıları kümesinde tanımlanan sayısal bir fonksiyondur - x =, x =, x =, x = dizisinin genel bir üyesi

Diferansiyel denklemler dersi 4 Toplam diferansiyel denklemler. İntegral faktör Öğretim Görevlisi Anna Igorevna Sherstneva 9. Toplam diferansiyellerdeki denklemler d + d = 14 denklemine denklem denir

Metalurji Fakültesi Yüksek Matematik Bölümü Rütbeler Metodolojik talimatlar Novokuznetsk 5 Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitim devlet eğitim kurumu

Matematiksel analiz Bölüm: Çeşitli değişkenlerin fonksiyonu Konu: FNP'lerin türevlenebilirliği (son. Karmaşık FNP'lerin kısmi türevleri ve diferansiyelleri. Örtülü fonksiyonların türevi) Öğretim Görevlisi Rozhkova S.V.

( Fermat teoremi - Darboux teoremi - Rolle teoremi - Lagrange teoremi ortalama değer teoremi - ortalama değer teoreminin geometrik yorumu - Cauchy teoremi - sonlu artış formülü - L'Hopital kuralı

Bölüm 4 Diferansiyel hesabın temel teoremleri Belirsizliklerin açıklanması Diferansiyel hesabın temel teoremleri Fermat teoremi (Pierre Fermat (6-665) Fransız matematikçi) Eğer y f fonksiyonu

DERS 7 TEK DEĞİŞKENLİ BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYEL HESABI 1 Bir fonksiyonun türev kavramı (a; b) aralığında tanımlanan y=f() fonksiyonunu düşünün. Herhangi bir x (a; b) değerini alın ve argümanı ayarlayın

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı Vitebsk Devlet Teknoloji Üniversitesi Konusu. Teorik ve Uygulamalı Matematik "Satırlar" Bölümü. Doç. E.B. Dunina. Temel

Ders 3 Taylor ve Maclaurin serileri Kuvvet serilerinin uygulanması Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serileri Uygulamalar için, belirli bir fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletebilmek önemlidir; bu fonksiyonlar

58 Belirli integral () fonksiyonu aralıkta verilsin. Gerekli olmasa da fonksiyonun sürekli olduğunu düşüneceğiz. 3, n- aralığında koşulu sağlayan keyfi sayıları seçelim:

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler. Konev V.V. Dersin ana hatları. İçindekiler 1. Temel kavramlar 1 2. Sırasıyla indirgenebilen denklemler 2 3. Yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Ders 20 TÜREV KOMPLEKS FONKSİYONUNA İLİŞKİN TEOREM. y = f(u) ve u= u(x) olsun. X argümanına bağlı olarak bir y fonksiyonu elde ederiz: y = f(u(x)). Son fonksiyona, bir fonksiyondan veya karmaşık bir fonksiyondan bir fonksiyon denir.

Örtülü olarak verilen bir fonksiyonun türevlenmesi (,) = C (C = const) fonksiyonunu düşünün. Bu denklem örtülü fonksiyonu () tanımlar. Diyelim ki bu denklemi çözdük ve açık ifadeyi = () bulduk.

Moskova Havacılık Enstitüsü (Ulusal Araştırma Üniversitesi) "Yüksek Matematik" Bölümü Limit Türevleri Çeşitli değişkenlerin fonksiyonları Metodolojik talimatlar ve test seçenekleri

LABORATUVAR ÇALIŞMASI 7 GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLAR I. TEMEL KAVRAMLAR VE TEOREMLER Bir gerçel değişkenin tüm sonsuz türevlenebilir sonlu fonksiyonlarının kümesini D ile gösterelim. Bu

Bölüm 3. Türev kullanarak fonksiyonların incelenmesi 3.1. Ekstrem ve monotonluk Belirli bir I R aralığında tanımlanan y = f () fonksiyonunu düşünün. Bu noktada yerel bir maksimuma sahip olduğu söylenir.

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kasikov,

Tasarım uzmanlığı öğrencileri için çeşitli değişkenlerin işlevi konusundaki araştırma çalışmaları için yönergeler ve seçenekler. Bir miktar, büyüklüklerin değerleri belirtilerek ve birbirinden bağımsız olarak benzersiz bir şekilde belirleniyorsa,

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

YÜKSEK MATEMATİK DERSLERİNDE HESAPLAMA GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR “SIRA DİFERANSİYEL DENKLEMLER SERİLERİ ÇİFT İNTEGRALLER” BÖLÜM KONU DİZİ İçindekiler Seri Sayı serileri Yakınsaklık ve Iraksaklık

Fonksiyon sınırı. Sayı Dizisi Limit Tanımı. Sonsuz bir sayı dizisi (veya basitçe bir sayı dizisi) bir f f fonksiyonudur (tüm sayılar kümesinde tanımlanır)

Anlatım 19 TÜREV VE UYGULAMALARI. TÜREVİN TANIMI. Belirli bir aralıkta tanımlanan bir y=f(x) fonksiyonumuz olsun. Bu aralıktaki x argümanının her değeri için y=f(x) fonksiyonu

Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı Çok değişkenli fonksiyonlar Belirli bir X kümesine ait her M n noktasına atanmışsa, bir miktara değişken miktarlar n'nin bir fonksiyonu denir.

DERS N 7. Kuvvet serileri ve Taylor serileri.. Kuvvet serileri..... Taylor serileri.... 4. Bazı temel fonksiyonların Taylor ve Maclaurin serilerine genişletilmesi.... 5 4. Kuvvet serilerinin uygulanması... 7.Güç

Ders 3 Bir skaler denklemin çözümünün varlığı ve tekliği teoremi Problem ifadesi Ana sonuç Cauchy problemini düşünün d f () d =, () = f (,) fonksiyonu düzlemin G bölgesinde tanımlanır (,

Federal Eğitim Ajansı Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi (MIIGAiK) YÜKSEK MATEMATİK Sayısal dersinde BAĞIMSIZ ÇALIŞMA İÇİN YÖNTEMSEL TALİMATLAR VE GÖREVLER

Materyalin kaydedilmesini ve sunumunu basitleştirmek için kendimizi iki değişkenli fonksiyonlar durumuyla sınırlayacağız. Aşağıdaki her şey herhangi bir sayıda değişkenin fonksiyonları için de geçerlidir.

Tanım. Kısmi türev işlevler z = f(x, y) bağımsız değişkene göre X türev denir

sabit olarak hesaplandı en.

Bir değişkene göre kısmi türev benzer şekilde belirlenir en.

Kısmi türevler için genel türev kuralları ve formülleri geçerlidir.

Tanım. Kısmi türevin çarpımı ve argümanın artışı X(y) denir kısmi diferansiyel değişkene göre X(en) iki değişkenli fonksiyonlar z = f(x, y) (sembol: ):

Bağımsız değişkenin diferansiyeli altında ise dx(ölmek) artışı anlayın X(en), O

İşlev için z = f(x, y) frekans türevlerinin geometrik anlamını bulalım ve .

Noktayı düşünün, nokta P 0 (X 0 ,sen 0 , z 0) yüzeyde z = f(X,en) ve eğri L yüzeyin bir düzlemle kesilmesiyle elde edilen y = y 0. Bu eğri tek değişkenli bir fonksiyonun grafiği olarak görülebilir. z = f(x, y) uçakta y = y 0. noktada tutulursa R 0 (X 0 , sen 0 , z 0) eğriye teğet L o zaman tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin geometrik anlamına göre , Nerede A – eksenin pozitif yönü ile bir teğetin oluşturduğu açı Ah.

Veya: Benzer şekilde başka bir değişkeni düzeltelim; yüzeyin kesitini alalım z = f(x, y) uçak x = x 0. Daha sonra fonksiyon

z = f(X 0 , sen) bir değişkenin fonksiyonu olarak düşünülebilir en:

Nerede B– teğetin bu noktada oluşturduğu açı M 0 (X 0 , sen 0) pozitif eksen yönü ile oy(Şekil 1.2).

Pirinç. 1.2. Kısmi türevlerin geometrik anlamının gösterimi

Örnek 1.6. Bir fonksiyon verildiğinde z = x 2 – 3xy – 4en 2 – x + 2sen + 1. Bul ve .

Çözüm. Düşünen en sabit olarak şunu elde ederiz

Sayma X sabit, buluyoruz