Арифметичний корінь прикладів. Квадратний корінь. Вичерпний гід (2019)

Арифметичний коріньдругого ступеня

Визначення 1

Коренем другого ступеня (або квадратним коренем) у складі $a$називають таке число, яке при зведенні в квадрат дорівнюватиме $a$.

Приклад 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, отже число $7$ є коренем 2-го ступеня у складі $49$;

$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, отже число $0,9$ є коренем 2-го ступеня у складі $0,81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, отже число $1$ є коренем 2-го ступеня у складі $1$.

Примітка 2

Простіше кажучи, для будь-якого числа $a

$a=b^2$ при негативному $a$ не так, т.к. $a=b^2$ не може бути негативним за будь-якого значення $b$.

Можна зробити висновок, що для дійсних чисел не може існувати корінь 2-го ступеня із негативного числа.

Примітка 3

Т.к. $0^2=0 \cdot 0=0$, то з визначення випливає, що нуль – корінь 2-го ступеня з нуля.

Визначення 2

Арифметичним коренем 2-го ступеня з $a$($a \ge 0$) є невід'ємне число, яке при зведенні в квадрат дорівнює $a$.

Коріння 2-го ступеня ще називаються квадратним корінням.

Позначають арифметичний корінь 2-го ступеня з $a$ як $sqrt(a)$ або можна зустріти позначення $sqrt(a)$. Але найчастіше для квадратного кореня число $2$ - показник кореня- Не вказується. Знак «$\sqrt( )$» – знак арифметичного кореня 2-го ступеня, який ще називають « знак радикала». Поняття «корінь» і «радикал» – це назви одного й того самого об'єкта.

Якщо під знаком арифметичного кореня стоїть число, його називають підкореним числом, а якщо вираз, то - підкореним виразом.

Читається запис $\sqrt(8)$ як "арифметичний корінь 2-го ступеня з восьми", причому слово "арифметичний" часто не називають.

Визначення 3

Відповідно до визначення арифметичного кореня 2-го ступеняможна записати:

Для будь-якого $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a) \ge 0$.

Ми показали різницю між коренем другого ступеня та арифметичним коренем другого ступеня. Далі розглядатимемо лише коріння з неотрицательных чисел і виразів, тобто. лише арифметичні.

Арифметичний корінь третього ступеня

Визначення 4

Арифметичним коренем 3-го ступеня (або кубічним коренем) у складі $a$($a \ge 0$) називають невід'ємне число, яке при зведенні в куб дорівнюватиме $a$.

Часто арифметичний слово опускають і говорять «корінь 3-го ступеня з числа $а$».

Позначають арифметичний корінь 3-го ступеня з $а$ як $\sqrt(a)$, знак «$\sqrt( )$» – знак арифметичного кореня 3-го ступеня, а число $3$ у цьому записі називається показником кореня. Число або вираз, що стоїть під знаком кореня, називають підкореним.

Приклад 2

$\sqrt(3,5)$ – арифметичний корінь 3-го ступеня із $3,5$ або кубічний корінь із $3,5$;

$\sqrt(x+5)$ – арифметичний корінь 3-го ступеня з $x+5$ або кубічний корінь із $x+5$.

Арифметичний корінь n-го ступеня

Визначення 5

Арифметичне коріння n-го ступеня з $a \ge 0$ називають невід'ємне число, яке при зведенні в $n$-ну ступінь стане рівним $a$.

Позначення арифметичного кореня ступеня $n$ із $a \ge 0$:

де $a$ - підкорене число або вираз,

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Корінням ступеня nз дійсного числа a, де n- натуральне число, називається таке дійсне число x, n-а ступінь якого дорівнює a.

Корінь ступеня nз числа aпозначається символом. Відповідно до цього визначення.

Знаходження кореня n-ого ступеня з числа aназивається вилученням кореня. Число аназивається підкореним числом (виразом), n- Показником кореня. При непарному nіснує корінь n-ой міри для будь-якого дійсного числа a. При парному nіснує корінь n-ой міри тільки для невід'ємного числа a. Щоб усунути двозначність кореня n-ого ступеня з числа a, вводиться поняття арифметичного кореня n-ого ступеня з числа a.

Поняття арифметичного кореня ступеня N

Якщо і n- натуральне число, більше 1 , то існує, і лише одне, невід'ємне число х, Таке, що виконується рівність . Це число хназивається арифметичним коренем n-й ступеня з невід'ємного числа аі позначається. Число аназивається підкореним числом, n- Показником кореня.

Отже, відповідно до визначення запис , де , означає, по-перше, як і, по-друге, що , тобто. .

Поняття ступеня з раціональним показником

Ступінь із натуральним показником: нехай а- дійсне число, а n- натуральне число, більше одиниці, n-й ступенем числа аназивають твір nмножників, кожен з яких дорівнює а, тобто. . Число а- основа ступеня, n- Показник ступеня. Ступінь з нульовим показником: вважають за визначенням, якщо , то . Нульовий ступінь числа 0 немає сенсу. Ступінь з негативним цілим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, то . Ступінь із дробовим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, m- ціле число, то .

Операції з корінням.

У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь (підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:

3. При зведенні кореня в ступінь достатньо звести в цей ступінь підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в n разів і одночасно звести в n-ий ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в n разів і одночасно отримати корінь n-ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативних, нульових та дробових показників. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:

Тепер формула a m: a n = a m - n може бути використана не тільки при m, більшому, ніж n, але і при m меншому, ніж n.

П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Якщо ми хочемо, щоб формула a m: a n = a m - n була справедлива за m = n , нам необхідне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, (-5) 0 = 1, (-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-ого ступеня цього числа а:

Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

Випадок 1.

Де a ≠ 0 не існує.

Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0 x, тобто. a = 0, що суперечить умові: a ≠ 0

Випадок 2

Будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце за будь-якого числа x, що й потрібно було довести.

Справді,

Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 - це значення не задовольняє даному рівнянню

2) за x > 0 отримуємо: x / x = 1, тобто. 1 = 1, звідки випливає, що x – будь-яке число; але з огляду на, що у разі x > 0 , відповіддю є x > 0 ;

3) при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

у разі немає рішення. Отже, x > 0.

Арифметичним коренем n-ого ступеня з невід'ємного числа називається невід'ємне число, n-й ступіньякого дорівнює:

Ступінь кореня – це натуральне число, більше 1.

3.

4.

Приватні випадки:

1. Якщо показник кореня ціле непарне число(), то підкорене вираз може бути негативним.

У разі непарного показника рівнянняпри будь-якому дійсному значенні та цілому ЗАВЖДИ має єдиний корінь:

Для кореня непарного ступеня справедливо тотожність:

,

2. Якщо показник кореня ціле парне число (), то підкорене вираз може бути негативним.

У разі парного показника рівняннямає

при єдине коріння

і, якщо і

Для кореня парного ступеня справедливо тотожність:

Для кореня парного ступеня справедливі рівність:

Ступінна функція, її властивості та графік.

Ступінна функція та її властивості.

Ступінна функція з натуральним показником. Функція у = х n де n - натуральне число, називається статечною функцією з натуральним показником. При n = 1 отримуємо функцію у = х, її властивості:

Пряма пропорційність. Прямою пропорційністю називається функція, задана формулою у = kx n де число k називається коефіцієнтом пропорційності.

Перелічимо властивості функції у = kx.

Область визначення функції – безліч усіх дійсних чисел.

y = kx - не парна функція(f(-х) = k(-х)=-kx=-k(х)).

3) При k > 0 функція зростає, а при k< 0 убывает на всей числовой прямой.

Графік (пряма) зображено малюнку II.1.

Мал. ІІ.1.

При n=2 отримуємо функцію y = х 2 її властивості:

Функція у-х 2 . Перерахуємо властивості функції у = х2.

у = х 2 - парна функція (f(-х) = (-x) 2 = x 2 = f(х)).

На проміжку функція зменшується.

Насправді, якщо ,то - х 1 > - х 2 > 0, тому

(-х 1) 2 > (- х 2) 2 , тобто , а це і означає зменшення функції.

Графіком функції y=х 2 є парабола. Цей графік зображено малюнку II.2.

Мал. ІІ.2.

При n = 3 отримуємо функцію у = х 3 її властивості:

Область визначення функції – вся числова пряма.

y = х 3 - непарна функція (f(-х) = (-x) 2 = - х 3 = - f(x)).

3) Функція y = x 3 зростає на всій числовій прямій. Графік функції y = x 3 зображено малюнку. Він називається кубічною параболою.

Графік (кубічна парабола) зображено малюнку II.3.

Мал. ІІ.3.

Нехай n- довільне парне натуральне число, більше двох:

n = 4, 6, 8, .... У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 2 . Графік такої функції нагадує параболу у = х 2 тільки гілки графіка при | n | >1 тим крутіше йдуть нагору, що більше n, а при цьому «тісніше притискаються» до осі х, що більше n.

Нехай n - довільне непарне число, більше за три: n = = 5, 7, 9, ... . У цьому випадку функція у = х n має ті ж властивості, що і функція у = х 3 . Графік такої функції нагадує кубічну параболу (тільки гілки графіка тим крутіше йдуть вгору, вниз, чим більше n. Зазначимо також, що на проміжку (0; 1) графік статечної функції у = х n тим повільніше віддаляється від осі х зі зростанням х, ніж більше n.

Ступінна функція з цілим негативним показником. Розглянемо функцію у = х - n, де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо у = х - n або у = Властивості цієї функції:

Графік (гіперболу) зображено малюнку II.4.

вирішимо просте завданняза знаходженням сторони квадрата площа якого дорівнює 9 см 2 . Якщо приймаємо, що сторона квадрата Асм, то складаємо відповідно до умов задачі рівняння:

Ах А = 9

А 2 = 9

А 2 -9 = 0

(А-3)(А+3)=0

А=3 чи А=-3

Довжина сторони квадрата не може бути негативним числомтому шукана сторони квадрата 3 см.

При розв'язанні рівняння ми знайшли числа 3 і -3, квадрати яких дорівнюють 9. Кожне з цих чисел називають квадратним коренем із числа 9. Невід'ємний із цього коріння, тобто число 3, називають арифметичним коренем числа.

Цілком логічно прийняти той факт, що корінь можна знаходити з чисел третього ступеня (кубічний корінь), четвертого ступеня і так далі. І в принципі корінь – це зворотна операція до зведення в ступінь.

Коренемn -го ступеняз числа α є таке число b, де b n = α .

Тут n-натуральне число прийнято називати показником кореня(або ступенем кореня); як правило, воно більше або дорівнює 2, тому що випадок n = 1 банально.

Позначають на листі так символ (знак кореня) у правій частині називається радикалом. Число α - підкорене вираз. Для нашого прикладу зі стороною рішення могло мати такий вигляд: тому що (± 3) 2 = 9 .

Ми отримали позитивне та негативне значення кореня. Ця особливість ускладнює розрахунки. Щоб досягти однозначності, було введено поняття арифметичного кореня, Значення якого завжди зі знаком плюс, тобто тільки позитивне.

Коріньназивається арифметичнимякщо він витягується з позитивного числа і сам є позитивним числом.

Наприклад,

Арифметичний корінь заданого ступеня із заданого числа існує лише один.

Операцію розрахунків прийнято називати « вилученням кореня n-й ступеня» з числа α . По суті ми виконуємо операцію зворотну до зведення в ступінь, а саме - знаходження основи ступеня bза відомим показником nта результату зведення у ступінь

α = b n.

Коріння другого і третього ступеня використовується на практиці частіше за інших і тому їм було дано спеціальні назви.

Квадратний корінь: У цьому випадку показник ступеня 2 прийнято не писати, а термін «корінь» без вказівки ступеня найчастіше означає квадратний корінь. Геометрично тлумачення є довжиною сторони квадрата, площа якого дорівнює α .

Кубічний корінь: Геометрично тлумаченням, виступає довжина ребра куба, обсяг якого дорівнює α .

Властивості арифметичного коріння.

1) При обчисленні арифметичного кореня з твору, необхідно витягти його з кожного співмножника окремо

Наприклад,

2) Для розрахунку кореня з дробу, необхідно витягти його з чисельника та знаменника даного дробу

Наприклад,

3) При розрахунку кореня зі ступеня, необхідно розділити показник ступеня на показник кореня

Наприклад,

Перші розрахунки, пов'язані із вилученням квадратного кореня, виявлено у роботах математиків стародавнього Вавилонута Китаю, Індії, Греції (про досягнення стародавнього Єгиптуу цьому відношенні у джерелах інформація відсутня).

Математики стародавнього Вавилона (II тисячоліття е.) застосовували для добування квадратного кореня особливий чисельний метод. Початкове наближення для квадратного кореня знаходили виходячи з найближчого до кореня (у менший бік) натурального числа n. Представивши підкорене вираз у вигляді: α=n 2 +r, отримуємо: x 0 =n+r/2n, Потім застосовувався ітеративний процес уточнення:

Ітерації у цьому методі дуже швидко сходяться. Для ,

Наприклад, α=5; n=2; r=1; x 0 = 9/4 = 2,25і ми отримуємо послідовність наближень:

У заключному значенні вірні всі цифри, крім останньої.

Греки сформулювали проблему подвоєння куба, яка зводилася до побудови кубічного кореня за допомогою циркуля та лінійки. Правила обчислення будь-якого ступеня з цілого числа вивчені математиками Індії та арабських держав. Далі вони набули широкого розвитку в середньовічній Європі.

Сьогодні для зручності розрахунків квадратного і кубічного коріння широко використовуються калькулятори.