Функція y kx b її властивості. Лінійна функція та її графік

Завдання на властивості та графіки квадратичної функціївикликають, як свідчить практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.

Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній виглядграфіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.

Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.

Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.

Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.

Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

У даному випадку а = 0,5

А тепер для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В даному випадку а = - 0,5

Вплив коефіцієнта зтеж досить просто простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.

з > 0:

y = x 2 + 4x + 3

з < 0

y = x 2 + 4x - 3

Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:

y = x 2 + 4x

Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале і від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.

Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.

Розглянемо приклад:

Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.

Визначення лінійної функції

Введемо визначення лінійної функції

Визначення

Функція виду $y=kx+b$, де $k$ на відміну від нуля називається лінійної функцією.

Графік лінійної функції – пряма. Число $k$ називається кутовим коефіцієнтом прямої.

При $b=0$ лінійна функція називається функцією прямої пропорційності $y=kx$.

Розглянемо рисунок 1.

Мал. 1. Геометричний зміст кутового коефіцієнта прямої

Розглянемо трикутник АВС. Бачимо, що $ВС=kx_0+b$. Знайдемо точку перетину прямої $y=kx+b$ з віссю $Ox$:

\ \

Значить $AC=x_0+frac(b)(k)$. Знайдемо ставлення цих сторін:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

З іншого боку $ frac (BC) (AC) = tg angle A $.

Таким чином, можна зробити наступний висновок:

Висновок

Геометричний змісткоефіцієнта $k$. Кутовий коефіцієнт прямої $k$ дорівнює тангенсу кута нахилу цієї прямої до осі $Ox$.

Дослідження лінійної функції $f\left(x\right)=kx+b$ та її графік

Спочатку розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx+b$, де $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Отже, дана функціязростає по всій області визначення. Точок екстремуму немає.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Графік (рис. 2).

Мал. 2. Графіки функції $y=kx+b$, за $k > 0$.

Тепер розглянемо функцію $f\left(x\right)=kx$, де $k

1. Область визначення - усі числа.
2. Область значення - усі числа.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. При $x=0,f\left(0\right)=b$. При $y=0,0=kx+b, x=-frac(b)(k)$.

Точки перетину з осями координат: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ і $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Отже, функція не має точок перегину.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Графік (рис. 3).

Розглянемо завдання. Мотоцикліст, який виїхав з міста А, теперішній моментзнаходиться за 20 км від нього. На якій відстані s (км) від А буде мотоцикліст через t годин, якщо він рухатиметься зі швидкістю 40 км/год?

Очевидно, що за t години мотоцикліст проїде 50t км. Отже, через t годин він перебуватиме від А з відривом (20 + 50t) км, тобто. s = 50t + 20, де t ≥ 0.

Кожному значенню t відповідає єдине значення s.

Формулою s = 50t + 20, де t ≥ 0, задається функція.

Розглянемо ще одне завдання. За відправлення телеграми стягується плата 3 копійки за кожне слово та додатково 10 копійок. Скільки копійок (u) потрібно сплатити за відправлення телеграми, яка містить n слів?

Так як за n слів відправник повинен сплатити 3n копійок, то вартість відправлення телеграми в n слів може бути знайдена за формулою u = 3n + 10, де n – натуральне число.

В обох розглянутих задачах ми зіткнулися з функціями, заданими формулами виду у = kx + l, де k і l – це деякі числа, а х і у – це змінні.

Функція, яку можна задати формулою виду = kx + l, де k і l – деякі числа, називається лінійною.

Так як вираз kx + l має сенс за будь-яких х, то областю визначення лінійної функції може служити безліч всіх чисел або будь-яке його підмножина.

Окремим випадком лінійної функції є розглянута раніше пряма пропорційність. Згадаємо, при l = 0 і k ≠ 0 формула у = kx + l набуває вигляду = kx, а цією формулою, як відомо, при k ≠ 0 задається пряма пропорційність.

Нехай нам потрібно побудувати графік лінійної функції f, заданої формулою
у = 0,5 х + 2.

Отримаємо кілька відповідних значень змінної для деяких значень х:

Зазначимо точки з отриманими координатами: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Очевидно, що збудовані точки лежать на деякій прямій. З цього ще слід, що графіком цієї функції є пряма лінія.

Щоб з'ясувати, який вигляд має графік функції f, порівняємо його зі знайомим нам графіком прямої пропорційності х – у, де х = 0,5.

Для будь-якого х значення вираз 0,5 х + 2 більше відповідного значення виразу 0,5 х на 2 одиниці. Тому ордината кожної точки графіка функції f більша за відповідну ординату графіка прямої пропорційності на 2 одиниці.

Отже, графік цієї функції f може бути отриманий з графіка прямої пропорційності шляхом паралельного переносу на 2 одиниці в напрямку осі ординат.

Оскільки графік прямої пропорційності – це пряма лінія, те й графік аналізованої лінійної функції f також пряма лінія.

Взагалі графік функції, заданої формулою виду у = kx + l, є пряма лінія.

Ми знаємо, що для побудови прямої лінії достатньо визначити положення двох її точок.

Нехай, наприклад, потрібно побудувати графік функції, заданої формулою
у = 1,5 х - 3.

Візьмемо два довільні значення х, наприклад, х 1 = 0 і х 2 = 4. Обчислимо відповідні значення функції у 1 = -3, у 2 = 3, побудуємо в координатній площині точки А (-3; 0) та В (4; 3) та проведемо через ці точки пряму. Ця пряма і є потрібний графік.

Якщо область визначення лінійної функції представлена ​​не всі ми числами, то її графіком буде підмножина точок прямої (наприклад, промінь, відрізок, безліч окремих точок).

Від значень l та k залежить розташування графіка функції, заданої формулою у = kx + l. Зокрема, від коефіцієнта k залежить величина кута нахилу графіка лінійної функції до осі х. Якщо k – додатне числото цей кут гострий; якщо k – від'ємне число, то кут – тупий. Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Навчіться брати похідні від функцій.Похідна характеризує швидкість зміни функції у певній точці, що лежить на графіку цієї функції. У разі графіком може бути як пряма, і крива лінія. Тобто похідна характеризує швидкість зміни функції у конкретний час. Згадайте загальні правила, За якими беруться похідні, і тільки потім переходьте до наступного кроку.

• Прочитайте статтю.
• Як брати найпростіші похідні, наприклад похідну показового рівняння, описано . Обчислення, подані в наступних кроках, будуть ґрунтуватися на описаних у ній методах.

Навчіться розрізняти завдання, в яких кутовий коефіцієнт потрібно обчислити через похідну функцію.У завданнях не завжди пропонується знайти кутовий коефіцієнт або похідну функцію. Наприклад, вас можуть попросити знайти швидкість зміни функції у точці А(х,у). Також вас можуть попросити знайти кутовий коефіцієнт, що стосується в точці А(х,у). В обох випадках необхідно брати похідну функцію.

>>Математика: Лінійна функція та її графік

Лінійна функція та її графік

Алгоритм побудови графіка рівняння ах + by + с = 0, який ми сформулювали в § 28, за всієї його чіткості та визначеності математикам не дуже подобається. Зазвичай вони висувають претензії до перших двох кроків алгоритму. Навіщо, кажуть вони, двічі розв'язувати рівняння щодо змінної у: спочатку ах1 + Ьу + с = О, потім ахг + Ьу + с = О? Чи не краще відразу виразити з рівняння ах + by + с = 0, тоді легше буде проводити обчислення (і, головне, швидше)? Давайте перевіримо. Розглянемо спочатку рівняння 3x - 2у + 6 = 0 (див. приклад 2 § 28).

Надаючи х конкретні значеннялегко обчислити відповідні значення у. Наприклад, за х = 0 отримуємо у = 3; при х = -2 маємо у = 0; при х = 2 маємо у = 6; при х = 4 одержуємо: у = 9.

Бачите, як легко і швидко знайдені точки (0; 3), (-2; 0), (2; 6) та (4; 9), які були виділені в прикладі 2 з § 28.

Так само рівняння Ьх - 2у = 0 (див. приклад 4 з § 28) можна було перетворити на вигляд 2у = 16 -3x. далі у = 2,5 x; неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), що задовольняють цьому рівнянню.

Нарешті, рівняння 3x + 2у - 16 = 0 з того ж прикладу можна перетворити на вигляд 2y = 16 -3x і далі неважко знайти точки (0; 0) та (2; 5), які йому задовольняють.

Розглянемо тепер зазначені перетворення на загальному вигляді.

Таким чином, лінійне рівняння (1) з двома змінними х і у завжди можна перетворити на вигляд
y = kx + m,(2) де k,m - числа (коефіцієнти), причому .

Цей приватний виглядлінійного рівняння називатимемо лінійною функцією.

За допомогою рівності (2) легко, вказавши конкретне значення х, обчислити відповідне значення у. Нехай, наприклад,

у = 2х + 3. Тоді:
якщо х = 0, то у = 3;
якщо х = 1, то у = 5;
якщо х = -1, то у = 1;
якщо х = 3, то у = 9 тощо.

Зазвичай ці результати оформляють як таблиці:

Значення у другого рядка таблиці називають значеннями лінійної функції у = 2х + 3, відповідно, в точках х = 0, х = 1, х = -1, х = -3.

У рівнянні (1) змінні хну рівноправні, а рівнянні (2) - немає: конкретні значення ми надаємо однієї з них - змінної х, тоді як значення змінної у залежить від обраного значення змінної х. Тому зазвичай кажуть, що х – незалежна змінна (або аргумент), у – залежна змінна.

Зверніть увагу: лінійна функція – це спеціальний вид лінійного рівняння із двома змінними. Графіком рівнянняу - kx + т, як і будь-якого лінійного рівняння з двома змінними, є пряма - її називають також графком лінійної функції y = kx + тп. Отже, справедлива наступна теорема.

приклад 1.Побудувати графік лінійної функції у = 2х+3.

Рішення. Складемо таблицю:

У другій ситуації незалежна змінна х, що позначає, як і в першій ситуації, число днів, може набувати лише значень 1, 2, 3, ..., 16. Дійсно, якщо х = 16, то за формулою у = 500 - З0x знаходимо : у = 500 - 30 16 = 20. Отже, вже на 17-й день вивезти зі складу 30 т вугілля не вдасться, оскільки на складі до цього дня залишиться всього 20 т і процес вивезення вугілля доведеться припинити. Отже, уточнена математична модель другої ситуації виглядає так:

у = 500 - ЗОд: де х = 1, 2, 3, .... 16.

У третій ситуації незалежна зміннах теоретично може прийняти будь-яке невід'ємне значення (напр., значення х = 0, значення х = 2, значення х = 3,5 і т. д.), але практично турист не може крокувати з постійною швидкістю без сну та відпочинку скільки завгодно часу . Отже, нам потрібно було зробити розумні обмеження на х, скажімо, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Нагадаємо, що геометричною моделлю нестрогої подвійної нерівності 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Умовимося замість фрази «х належить множині X» писати (читають: «елемент х належить множині X», е – знак приналежності). Як бачите, наше знайомство з математичною мовою продовжується.

Якщо лінійну функцію у = kx + m треба розглядати не за всіх значень х, а лише для значень х з деякого числового проміжку X, то пишуть:

Приклад 2. Побудувати графік лінійної функції:

Рішення, а) Складемо таблицю для лінійної функції y = 2x + 1

Побудуємо на координатній площині хОу точки (-3; 7) та (2; -3) і проведемо через них пряму лінію. Це графік рівняння у = -2x: + 1. Далі, виділимо відрізок, що з'єднує побудовані точки (рис. 38). Цей відрізок є графік лінійної функції у = -2х+1, дехе [-3, 2].

Зазвичай кажуть так: ми збудували графік лінійної функції у = - 2х + 1 на відрізку [- 3, 2].

б) Чим відрізняється цей приклад від попереднього? Лінійна функція та сама (у = -2х + 1), отже, і її графіком служить та ж пряма. Але – будьте уважні! - цього разу х е (-3, 2), тобто значення х = -3 і х = 2 не розглядаються, вони не належать інтервалу (- 3, 2). Як ми відзначали кінці інтервалу на координатній прямій? Світлими кружальцями (рис. 39), про це ми говорили в § 26. Так само і точки (-3; 7) і B; - 3) доведеться відзначити на кресленні світлими кружальцями. Це буде нагадувати нам про те, що беруться лише ті точки прямої у = - 2х + 1, які лежать між точками, позначеними кружальцями (рис. 40). Втім, іноді у таких випадках використовують не світлі кружечки, а стрілки (рис. 41). Це неважливо, головне, розуміти, про що йдеться.

приклад 3.Знайти найбільше та найменше значення лінійної функції на відрізку.
Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції

Побудуємо на координатній площині хОу точки (0; 4) та (6; 7) і проведемо через них пряму - графік лінійної х функції (рис. 42).

Нам потрібно розглянути цю лінійну функцію не повністю, а на відрізку, тобто для хе.

Відповідний відрізок графіка виділено на кресленні. Зауважуємо, що найбільша ордината у точок, що належать виділеній частині, дорівнює 7 - це і є найбільше значеннялінійної функції на відрізку. Зазвичай використовують такий запис: у най =7.

Зазначаємо, що найменша ордината у точок, що належать виділеній малюнку 42 частини прямої, дорівнює 4 - це і є найменше значення лінійної функції на відрізку .
Зазвичай використовують такий запис: y найм. = 4.

приклад 4.Знайти у наиб і y найм. для лінійної функції y = -1,5x + 3,5

а) на відрізку; б) на інтервалі (1,5);
в) на напівінтервалі.

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = -l,5x + 3,5:

Побудуємо на координатній площині хОу точки (1; 2) та (5; - 4) і проведемо через них пряму (рис. 43-47). Виділимо на побудованій прямій частину, що відповідає значенням х із відрізка (рис. 43), з інтервалу A, 5) (рис. 44), з напівінтервалу (рис. 47).

а) За допомогою малюнка 43 неважко дійти невтішного висновку, що у наиб = 2 (цього значення лінійна функція досягає при х = 1), а у найм. = - 4 (цього значення лінійна функція досягає при х = 5).

б) Використовуючи малюнок 44, робимо висновок: ні найбільшого, ні найменшого значень на заданому інтервалі даної лінійної функції немає. Чому? Справа в тому, що, на відміну від попереднього випадку, обидва кінці відрізка, в яких і досягалися найбільше і найменше значення, з розгляду виключені.

в) За допомогою малюнка 45 укладаємо, що y наб. = 2 (як і першому випадку), а найменшого значеннялінійної функції немає (як і в другому випадку).

г) Використовуючи малюнок 46, робимо висновок: у най = 3,5 (цього значення лінійна функція досягає при х = 0), а у найм. не існує.

д) За допомогою малюнка 47 робимо висновок: y най = -1 (цього значення лінійна функція досягає при х = 3), а у наиб., не існує.

Приклад 5. Побудувати графік лінійної функції

у = 2х - 6. За допомогою графіка відповісти на такі питання:

а) за якого значення х буде у = 0?
б) за яких значень х буде у > 0?
в) при яких значеннях х буде у< 0?

Рішення. Складемо таблицю для лінійної функції у = 2х-6:

Через точки (0; - 6) та (3; 0) проведемо пряму - графік функції у = 2х - 6 (рис. 48).

а) у = 0 при х = 3. Графік перетинає вісь х у точці х = 3, і є точка з ординатою у = 0.
б) у > 0 при х > 3. Справді якщо х > 3, то пряма розташована вище за осі ж, отже, ординати відповідних точок прямої позитивні.

в) у< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Зверніть увагу, що в цьому прикладі ми вирішили за допомогою графіка:

а) рівняння 2х – 6 = 0 (отримали х = 3);
б) нерівність 2х - 6> 0 (одержали х> 3);
в) нерівність 2x – 6< 0 (получили х < 3).

Зауваження. У російській мові часто той самий об'єкт називають по-різному, наприклад: «будинок», «будівля», «споруди», «котедж», «особняк», «барак», «хибара», «хатинка». У математичній мові ситуація приблизно та сама. Скажімо, рівність із двома змінними у = кх + m, де до, m – конкретні числа, можна назвати лінійною функцією, можна назвати лінійним рівняннямз двома змінними х і у (або з двома невідомими х і у), можна назвати формулою, можна назвати співвідношенням, що зв'язує х і у, можна, нарешті, назвати залежністю між х та у. Це неважливо, головне, розуміти, що у всіх випадках мова йдепро математичної моделіу = кх + m

.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, а. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно збільшуються, ми хіба що «піднімаємося в гору». У разі математики вживають термін зростання і кажуть так: якщо k>0, то лінійна функція у = kx + m зростає.

Розглянемо графік лінійної функції, зображений малюнку 49, б. Якщо рухатися за цим графіком зліва направо, то ординати точок графіка постійно зменшуються, ми ніби «спускаємося з гірки». У таких випадках математики вживають термін спадання і говорять так: якщо k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Лінійна функція у житті

А тепер давайте підіб'ємо підсумок цієї теми. Ми з вами вже познайомилися з таким поняттям, як лінійна функція, знаємо її властивості та навчилися будувати графіки. Так само, ви розглядали окремі випадки лінійної функції і дізналися від чого залежить взаємне розташування графіків лінійних функцій. Але, виявляється, у нашій повсякденному життіми також постійно перетинаємося з цією математичною моделлю.

Давайте з вами подумаємо, які реальні життєві ситуації пов'язані з таким поняттям, як лінійні функції? А також, між якими величинами чи життєвими ситуаціямиможливо, встановлювати лінійну залежність?

Багато хто з вас, напевно, не зовсім уявляє, навіщо їм потрібно вивчати лінійні функції, адже це навряд чи стане в нагоді подальшого життя. Але тут ви глибоко помиляєтеся, тому що з функціями ми стикаємося постійно та всюди. Оскільки навіть звичайна щомісячна квартплата також є функцією, яка залежить від багатьох змінних. А до цих змінних належать метраж площі, кількість мешканців, тарифів, використання електроенергії тощо.

Звичайно ж, найпоширенішими прикладами функцій лінійної залежності, З якими ми з вами стикалися - це уроки математики.

Ми з вами вирішували завдання, де знаходили відстані, які проїжджали машини, поїзди або проходили пішоходи за певної швидкості руху. Це і є лінійні функції часу руху. Але ці приклади можна застосувати не тільки в математиці, вони присутні в нашому повсякденному житті.

Калорійність молочних продуктів залежить від жирності, а така залежність, як правило, є лінійною функцією. Так, наприклад, зі збільшенням сметані відсотка жирності, збільшується і калорійність продукту.

Тепер давайте зробимо підрахунки та знайдемо значення k і b, розв'язавши систему рівнянь:

Тепер давайте виведемо формулу залежності:

У результаті ми отримали лінійну залежність.

Щоб знати швидкість розповсюдження звуку в залежності від температури, можливо, дізнатися, застосувавши формулу: v = 331 +0,6t де v - швидкість (в м / с), t - температура. Якщо ми накреслимо графік цієї залежності, побачимо, що він буде лінійним, тобто представляти пряму лінію.

І таких практичних використань знань у застосуванні лінійної функціональної залежності можна перераховувати довго. Починаючи від плати за телефон, довжини та зростання волосся і навіть прислів'їв у літературі. І цей список можна продовжувати до нескінченності.

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ