p align="justify"> Графік функцій розподілу випадкових величин x. Функції розподілу випадкової величини. Як знайти функцію розподілу випадкової величини

Функцією розподілу випадкової величини X називається функція F(x), що виражає для кожного х ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше х

приклад 2.5. Дано ряд розподілу випадкової величини

Знайти та зобразити графічно її функцію розподілу. Рішення. Відповідно до визначення

F(jc) = 0 при хх

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.

Отже (див. рис. 2.1):

Властивості функції розподілу:

1. Функція розподілу випадкової величини є невід'ємною функцією, укладеною між нулем і одиницею:

2. Функція розподілу випадкової величини є незменшуюча функція по всій числової осі, тобто. при х 2 >х

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, плюс нескінченності - дорівнює одиниці, тобто.

4. Імовірність влучення випадкової величини Xв інтервалдорівнює певному інтегралувід її щільності ймовірності в межах від адо b(Див. рис. 2.2), тобто.

Мал. 2.2

3. Функція розподілу безперервної випадкової величини (див. рис. 2.3) може бути виражена через густину ймовірності за формулою:

F(x)= Jp (*)*. (2.10)

4. Невласний інтеграл у нескінченних межах від щільності ймовірності безперервної випадкової величини дорівнює одиниці:

Геометричні властивості / і 4 густини ймовірності означають, що її графік - крива розподілу - лежить не нижче осі абсцис, та повна площа фігури, обмеженою кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці.

Для безперервної випадкової величини X математичне очікування М(Х)та дисперсія D(X)визначаються за формулами:

(якщо інтеграл абсолютно сходиться); або

(якщо наведені інтеграли сходяться).

Поруч із зазначеними вище числовими характеристиками опису випадкової величини використовується поняття квантилей і відсоткових точок.

Квантилем рівня q(або q-квантилем) називається таке значенняx qвипадкової величини, при якому функція її розподілу набуває значення, рівне q,тобто.

• 100q%-ou точкою називається квантиль X~q.
• ? приклад 2.8.

За даними прикладу 2.6 знайти квантиль xqj і 30%-ну точку випадкової величини X.

Рішення. За визначенням (2.16) F(xo t3) = 0,3, тобто.

~Y~ = 0,3, звідки квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-ва точка випадкової величини X, або квантиль Х)_о,з = xoj»знаходиться аналогічно з рівняння ^ = 0,7. звідки * = 1,4. ?

Серед числових характеристик випадкової величини виділяють початкові v* та центральнір* моменти до-го порядку, що визначаються для дискретних та безперервних випадкових величинза формулами:

Математичне очікування

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькуляторпризначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x) Задано функцію розподілу F(x)

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.
2. Умова нормування:

Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність потрапляння випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою

Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:

Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює ймовірності прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йтися лише про ймовірність попадання в заданий інтервал. Нехай (4)

де aі bнеобов'язково кінцеві. Наприклад, для модуля вектора швидкості молекули газу VПро , що лежить усередині всього інтервалу можливих значень, тобто. xПро [ x,x+ D x] Про [ a, b] (5)

Тоді ймовірність D W(x, D x) влучення xв інтервал (5) дорівнює

Тут N- Повна кількість вимірювань x, а D n(x, D x) - Число результатів, що потрапили в інтервал (5).

Можливість D Wприродно залежить від двох аргументів: x– положення інтервалу всередині [ a, b] та D x– його довжини (передбачається, хоча це зовсім необов'язково, що D x> 0). Наприклад, ймовірність отримання точного значення x, іншими словами, ймовірність влучення xв інтервал нульової довжини є можливість неможливої ​​події і тому дорівнює нулю: D W(x, 0) = 0

З іншого боку, можливість отримати значення xдесь (все одно де) всередині всього інтервалу [ a, b] є вірогідність достовірної події(вже щось завжди виходить) і тому дорівнює одиниці (приймається, що b > a): D W(a, b – a) = 1.

Нехай D xмало. Критерій достатньої дрібниці залежить від конкретних властивостей системи, яку описує розподіл ймовірностей D W(x, D x). Якщо D xмало, то функцію D W(x, D x) можна розкласти в ряд за ступенями D x:

Якщо намалювати графік залежності D W(x, D x) від другого аргументу D xто заміна точної залежності наближеним виразом (7) означає заміну (на невеликій ділянці) точною кривою шматком параболи (7).

У (7) перший доданок дорівнює нулю точно, третє і наступні доданки при достатній малості D xможна опустити. Введення позначення

дає важливий результат D W(x, D x) » r ( x)·D x (8)

Співвідношення (8), яке виконується тим точніше, чим менше D xозначає, що при малій довжині інтервалу, ймовірність попадання в цей інтервал пропорційна його довжині.

Можна ще перейти від малого, але кінцевого D xдо формально нескінченно малого dx, з одночасною заміною D W(x, D x) на dW(x). Тоді наближена рівність (8) перетворюється на точну dW(x) = r( x)· dx(9)

Коефіцієнт пропорційності r( x) має простий зміст. Як видно з (8) та (9), r( x) чисельно дорівнює ймовірності влучення xв інтервал одиничної довжини. Тому одна з назв функції r( x) – щільність розподілу ймовірностей для змінної x.

Функція r( x) містить у собі всю інформацію про те, як ймовірність dW(x) влучення xв інтервал заданої довжини dxзалежить від місця розташування цього інтервалу, тобто. вона показує, як ймовірність розподілена по x. Тому функцію r( x) прийнято називати функцією розподілу для змінної xі, тим самим, функцією розподілу для тієї фізичної системи, заради опису спектра станів якої була введена змінна x. Терміни «щільність розподілу ймовірностей» та «функція розподілу» у статистичній фізиці використовуються як еквівалентні.

Можна розглянути узагальнення визначення ймовірності (6) та функції розподілу (9) у разі, наприклад, трьох змінних. Узагальнення у разі довільно великої кількості змінних виконується так само.

Нехай стан фізичної системи, що випадково змінюється в часі, визначається значеннями трьох змінних x, yі zз безперервним спектром:

xПро [ a, b]

yПро [ c, d]

zПро [ e, f] (10)

де a, b,…, f, Як і раніше, не обов'язково кінцеві. Змінні x, yі zможуть бути, наприклад, координатами центру мас молекули газу, компонентами вектора її швидкості xЮ V x, yЮ V yі zЮ V zчи імпульсу тощо. Під подією розуміється одночасне попадання всіх трьох змінних в інтервали довжини D x, D yта D zвідповідно, тобто:

xПро [ x, x+ D x]

yПро [ y, y+ D y]

zПро [ z, z+ D z] (11)

Вірогідність події (11) можна визначити аналогічно (6)

з тією відмінністю, що тепер D n- Число вимірів x, yі zрезультати яких одночасно задовольняють співвідношенням (11). Використання розкладання в ряд, аналогічного (7), дає

dW(x, y, z) = r( x, y, z)· dx dy dz(13)

де r( x, y, z) – функція розподілу відразу для трьох змінних x, yі z.

У математичної теоріїймовірностей термін «функція розподілу» використовується для позначення величини, що відрізняється від r( x), а саме: нехай x - деяке значення випадкової змінної x. Функція Ф(x), що дає ймовірність того, що xнабуде значення не більше, ніж x і називається функцією розподілу. Функції r та Ф мають різний сенсале вони пов'язані між собою. Використання теореми складання ймовірностей дає (тут а- лівий кінець інтервалу можливих значень x (див.ІМОВІРНОСТЕЙ ТЕОРІЯ): , (14) звідки

Використання наближеного співвідношення (8) дає D W(x, D x) » r ( x)·D x.

Порівняння з точним виразом (15) показує, що використання (8) еквівалентно заміні інтеграла, що входить (16), добутком підінтегральної функції r( x) на довжину проміжку інтегрування D x:

Співвідношення (17) буде точним, якщо r = const, отже, помилка при заміні (16) на (17) буде невеликою, коли підінтегральна функція слабо змінюється на довжині проміжку інтегрування D x.

Можна ввести D x ефф– довжину інтервалу, у якому функція розподілу r( x) змінюється значно, тобто. на величину порядку самої функції, чи величина Dr еффза модулем порядку r. Використовуючи формулу Лагранжа, можна написати:

звідки випливає, що D x еффдля будь-якої функції r

Функцію розподілу вважатимуться «майже постійної» певному проміжку зміни аргументу, якщо її збільшення |Dr| на цьому проміжку по модулю набагато менше самої функції в точках цього проміжку. Вимога | Dr | еф | ~ r (функція розподілу r і 0) дає

D x x ефф (20)

довжина проміжку інтегрування має бути мала порівняно з тією, на якій підінтегральна функція змінюється суттєво. Ілюстрацією є рис. 1.

Інтеграл у лівій частині (17) дорівнює площі під кривою. Добуток у правій частині (17) – площа заштрихованого на рис. 1 стовпчик. Критерієм трошки відмінності відповідних площ є виконання нерівності (20). У цьому вся можна переконатися, підставляючи в інтеграл (17) перші члени розкладання функції r( x) у ряд за ступенями

Вимога дещиці поправки (другого доданку у правій частині (21) порівняно з першим і дає нерівність (20) з D x еффз (19).

Приклади низки функцій розподілу, які відіграють у статистичної фізики.

Розподіл Максвелла для проекції вектора швидкості молекули на заданий напрямок (наприклад, це напрям осі OX).

Тут m- Маса молекули газу, T- Його температура, k- Постійна Больцмана.

Розподіл Максвелла для модуля вектора швидкості:

Розподіл Максвелла для енергії поступального руху молекул e = mV 2/2

Розподіл Больцмана, точніше, так звана барометрична формула, яка визначає розподіл концентрації молекул або тиску повітря за висотою hвід деякого « нульового рівня» у припущенні, що температура повітря від висоти не залежить (модель ізотермічної атмосфери). Насправді температура нижніх шарах атмосфери помітно падає зі зростанням висоти.

Визначення функції випадкових величин. Функція дискретного випадкового аргументу та її числові характеристики. Функція безперервного випадкового аргументу та її числові характеристики. Функції двох довільних аргументів. Визначення функції розподілу ймовірностей та густини для функції двох випадкових аргументів.

Закон розподілу ймовірностей функції однієї випадкової величини

При вирішенні завдань, пов'язаних з оцінкою точності роботи різних автоматичних систем, точності виробництва окремих елементів систем та ін, часто доводиться розглядати функції однієї або кількох випадкових величин. Такі функції є випадковими величинами. Тому при вирішенні завдань необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують у задачі. При цьому зазвичай відомі закон розподілу системи випадкових аргументів та функціональна залежність.

Таким чином, виникає завдання, яке можна сформулювати так.

Дано систему випадкових величин (X_1,X_2,\ldots,X_n), Закон розподілу якої відомий. Розглядається деяка випадкова величина Y як функція даних випадкових величин:

Y = varphi (X_1, X_2, ldots, X_n).

Потрібно визначити закон розподілу випадкової величини Y, знаючи вид функцій (6.1) та закон спільного розподілу її аргументів.

Розглянемо завдання про закон розподілу функції одного випадкового аргументу

Y = Varphi (X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&cdots&x_n\hline(P)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Тоді Y=\varphi(X) також дискретна випадкова величина з можливими значеннями. Якщо всі значення y_1,y_2,\ldots,y_nрізні, то кожного k=1,2,\ldots,n події \(X=x_k\) і \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)тотожні. Отже,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

та шуканий ряд розподілу має вигляд

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\hline (P)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Якщо ж серед чисел y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n)є однакові, то кожній групі однакових значень y_k=\varphi(x_k) потрібно відвести в таблиці один стовпець і відповідні можливості скласти.

Для безперервних випадкових величин завдання ставиться так: знаючи щільність розподілу f(x) випадкової величини X знайти щільність розподілу g(y) випадкової величини Y=\varphi(X) . При вирішенні поставленого завдання розглянемо два випадки.

Припустимо спочатку, що функція y = Varphi (x) є монотонно зростаючою, безперервною і диференційованою на інтервалі (a; b) , на якому лежать всі можливі значення величини X . Тоді зворотна функція x=\psi(y) існує, при цьому будучи монотонно зростаючою, безперервною і диференційованою. У цьому випадку отримуємо

G(y)=fbigl(psi(y)bigr)cdot |psi"(y)|.

Приклад 1. Випадкова величина X розподілена щільністю

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

Знайти закон розподілу випадкової величини Y пов'язаної з величиною X залежністю Y = X ^ 3 .

Рішення.Оскільки функція y=x^3 монотонна на проміжку (-\infty;+\infty) , можна застосувати формулу (6.2). Зворотна функція по відношенню до функції \varphi(x)=x^3 є \psi(y)=\sqrt(y) , її похідна \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Отже,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Розглянемо випадок немонотонної функції. Нехай функція y=\varphi(x) така, що обернена функція x=\psi(y) неоднозначна, тобто одному значенню величини y відповідає кілька значень аргументу x, які позначимо x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), де n - число ділянок, у яких функція y=\varphi(x) змінюється монотонно. Тоді

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Приклад 2. У разі прикладу 1 знайти розподіл випадкової величини Y=X^2 .

Рішення.Зворотна функція x=psi(y) неоднозначна. Одному значенню аргументу y відповідають два значення функції x

Застосовуючи формулу (6.3), отримуємо:

\begin(gathered)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(gathered)

Закон розподілу функції двох випадкових величин

Нехай випадкова величина Y є функцією двох випадкових величин, що утворюють систему (X_1; X_2), тобто. Y=\varphi(X_1;X_2). Завдання полягає в тому, щоб за відомим розподілом системи (X_1; X_2) знайти розподіл випадкової величини Y .

Нехай f(x_1; x_2) - щільність розподілу системи випадкових величин (X_1; X_2). Введемо на розгляд нову величину Y_1 , рівну X_1 , і розглянемо систему рівнянь

Вважатимемо, що ця система однозначно можна розв'язати щодо x_1,x_2

та задовольняє умовам диференційності.

Щільність розподілу випадкової величини Y

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Зауважимо, що міркування не змінюються, якщо введену нову величину Y_1 покласти рівною X_2.

Математичне очікування функції випадкових величин

Насправді нерідко трапляються випадки, коли немає особливої ​​потреби повністю визначати закон розподілу функції випадкових величин, а лише вказати його числові показники. Таким чином, виникає завдання визначення числових характеристик функцій випадкових величин, крім законів розподілу цих функцій.

Нехай випадкова величина Y є функцією випадкового аргументу X із заданим законом розподілу

Y = Varphi (X).

Потрібно, не знаходячи закону розподілу величини Y, визначити її математичне очікування

M(Y)=M[varphi(X)].

Нехай X - дискретна випадкова величина, що має низку розподілу

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\hline(p_i)&p_1&p_2&cdots&p_n\\hline\end(array)

Складемо таблицю значень величини Y та ймовірностей цих значень:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\hline(p_i)&p_1&p_2&cdots&p_n\hline\end(array)

Ця таблиця перестав бути поруч розподілу випадкової величини Y , оскільки у випадку деякі з значень можуть збігатися між собою і значення у верхній рядку необов'язково йдуть у порядку. Однак математичне очікування випадкової величини Y можна визначити за формулою

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

оскільки величина, що визначається формулою (6.4), неспроможна змінитися від цього, що під знаком суми деякі члени будуть заздалегідь об'єднані, а порядок членів змінено.

Формула (6.4) містить у явному вигляді закон розподілу самої функції \varphi(X) , а містить лише закон розподілу аргументу X . Таким чином, для визначення математичного очікування функції Y = Varphi (X) зовсім не потрібно знати закон розподілу функції Varphi (X), а достатньо знати закон розподілу аргументу X.

Для безперервної випадкової величини математичне очікування обчислюється за формулою

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

де f(x) - густина розподілу ймовірностей випадкової величини X .

Розглянемо випадки, коли знаходження математичного очікування функції випадкових аргументів не потрібно знання навіть законів розподілу аргументів, а досить знати лише деякі з числові характеристики. Сформулюємо ці випадки як теорем.

Теорема 6.1. Математичне очікування суми як залежних, і незалежних двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань цих величин:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема 6.2. Математичне очікування твору двох випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань плюс кореляційний момент:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Наслідок 6.1. Математичне очікування твору двох некорельованих випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Наслідок 6.2. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їхніх математичних очікувань.

Дисперсія функції випадкових величин

За визначенням дисперсії маємо D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Отже,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2]де .

Наведемо розрахункові формули лише випадку безперервних випадкових аргументів. Для функції одного випадкового аргументу Y=varphi(X) дисперсія виражається формулою

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

де M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- Математичне очікування функції \ varphi (X);

f(x) - густина розподілу величини X .

Формулу (6.5) можна замінити на таку:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X) Розглянемотеореми про дисперсії

, які відіграють важливу роль у теорії ймовірностей та її додатках.

Теорема 6.3.

Дисперсія суми випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин плюс подвоєна сума кореляційних моментів кожної з доданків з усіма наступними:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(iНаслідок 6.3.

Дисперсія суми некорельованих випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D

\mu_(y_1y_2) = M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2). \mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X))..

т. е. кореляційний момент двох функцій випадкових величин дорівнює математичному очікуванню добутку цих функцій мінус твір з математичних очікувань.

Розглянемо основні

властивості кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції