Дослідження функції на парність. Парні та непарні функції
Залежність змінної y від перемінно x, коли кожен значенню x відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y=f(x). Кожна функція має ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.
Розглянь докладніше властивість парності.
Функція y=f(x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції, має дорівнювати значення функції в точці -х. Тобто для будь-якої точки х з області визначення функції має виконуватися наступна рівність f(x) = f(-x).
Графік парної функції
Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.
Наприклад, функція y=x^2 є парною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.
Візьмемо довільне х=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Отже f(x) = f(-x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік функції y=x^2.
На малюнку видно, що графік симетричний щодо осі Оу.
Графік непарної функції
Функція y=f(x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:
1. Область визначення даної функції має бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.
2. Для будь-якої точки х з області визначення функції повинна виконуватися така рівність f(x) = -f(x).
Графік непарної функції симетричний щодо точки Про - початку координат. Наприклад, функція y=x^3 є непарною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.
Візьмемо довільне х=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Отже f(x) = -f(x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік функції y=x^3.
На малюнку наочно представлено, що непарна функція y=x^3 симетрична щодо початку координат.
Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якої виконується рівність
.
Графік парної функції симетричний щодо осі
.
Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.
Приклад 6.2.Дослідити на парність чи непарність функції
1)
;
2)
;
3)
.
Рішення.
1) Функція визначена при
. Знайдемо
.
Тобто.
. Значить, дана функціяє парною.
2) Функція визначена при
Тобто.
. Таким чином, ця функція непарна.
3) функція визначена для , тобто. для
,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.
3. Вивчення функції на монотонність.
Функція
називається зростаючою (зменшує) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.
Функції, що зростають (зменшуються) на деякому інтервалі називаються монотонними.
Якщо функція
диференційована на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, то функція
зростає (зменшується) у цьому інтервалі.
Приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій
1)
;
3)
.
Рішення.
1) Ця функція визначена по всій числової осі. Знайдемо похідну.
Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення – числова вісь, що розбивається крапками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної у кожному інтервалі.
В інтервалі
похідна негативна, функція цьому інтервалі зменшується.
В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція цьому інтервалі зростає.
2) Ця функція визначена, якщо
або
.
Визначаємо знак квадратного тричлена у кожному інтервалі.
Таким чином, область визначення функції
Знайдемо похідну
,
, якщо
, тобто.
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.
В інтервалі
похідна негативна, отже, функція зменшується на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.
4. Дослідження функції на екстремум.
Крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, якщо існує така околиця точки , що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність
.
Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму.
Якщо функція
у точці має екстремум, то похідна функції у цій точці дорівнює нулю чи немає (необхідна умова існування екстремуму).
Крапки, в яких похідна дорівнює нулю або немає називаються критичними.
5. Достатні умови існування екстремуму.
Правило 1. Якщо під час переходу (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак із «+» на «–», то в точці функція
має максимум; якщо з "-" на "+", то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.
Правило 2. Нехай у точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
а друга похідна існує і відмінна від нуля. Якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то – точка мінімуму функції.
приклад 6.4 . Дослідити на максимум та мінімум функції:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Рішення.
1) Функція визначена та безперервна на інтервалі
.
Знайдемо похідну
і вирішимо рівняння
, тобто.
.Звідси
- Критичні точки.
Визначимо знак похідної в інтервалах
.
При переході через точки
і
похідна змінює знак із «–» на «+», тому за правилом 1
- Точки мінімуму.
При переході через точку
похідна змінює знак із «+» на «–», тому
- Точка максимуму.
,
.
2) Функція визначена та безперервна в інтервалі
. Знайдемо похідну
.
Розв'язавши рівняння
, знайдемо
і
- Критичні точки. Якщо знаменник
, тобто.
, то похідна немає. Отже,
- Третя критична точка. Визначимо похідний знак в інтервалах.
Отже, функція має мінімум у точці
, максимум у точках
і
.
3) Функція визначена і безперервна, якщо
, тобто. при
.
Знайдемо похідну
.
Знайдемо критичні точки:
Околиці точок
не належать області визначення, тому вони є т. екстремуму. Отже, досліджуємо критичні точки
і
.
4) Функція визначена та безперервна на інтервалі
. Використовуємо правило 2. Знайдемо похідну
.
Знайдемо критичні точки:
Знайдемо другу похідну
і визначимо її знак у точках
У точках
функція має мінімум.
У точках
функція має максимум.
Приховати Показати
Способи завдання функції
Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.
Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x у формулі y=2x^(2)-3 можна обчислити тільки одне значення функції, яке йому відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.
Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.
Парна та непарна функція
Функція є парною функцієюколи f(-x)=f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.
Функція є непарною функцієюколи f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .
Функція є ні парної, ні непарноїі називається функцією загального вигляду , коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.
Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot(-x)^(3)-7 \cdot(-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.
Періодична функція
Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцієюз періодом T \neq 0 .
Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .
Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.
f(x) > 0 на (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)
Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))
Обмеженість функції
Обмеженою знизуприйнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .
Обмеженої зверхуназивається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .
Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .
Приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.
Зростаюча та спадна функція
Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .
Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .
Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).
а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0
б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0
в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0
г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0
Екстремуми функції
Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.
Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необхідна умова
Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.
Достатня умова
- Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
- x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу на плюс при переході через стаціонарну точку x_(0).
Найбільше та найменше значення функції на проміжку
Кроки обчислень:
- Шукається похідна f"(x);
- Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
- Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точкахта кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значеннямфункції, а більше - найбільшим.
Назад Вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі:
- сформувати поняття парності та непарності функції, вивчати вмінню визначати та використовувати ці властивості при дослідженні функцій, побудові графіків;
- розвивати творчу активність учнів, логічне мислення, вміння порівнювати, узагальнювати;
- виховувати працьовитість, математичну культуру; розвивати комунікативні якості .
Обладнання:мультимедійне встановлення, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал.
Форми роботи:фронтальна та групова з елементами пошуково-дослідницької діяльності.
Інформаційні джерела:
1. Алгебра9клас А.Г Мордкович. Підручник
2. Алгебра 9клас А.Г Мордкович. Задачник.
3. Алгебра 9 клас. Завдання для навчання та розвитку учнів. Бєлєнкова Є.Ю. Лебединцева Є.А
ХІД УРОКУ
1. Організаційний момент
Постановка цілей та завдань уроку.
2. Перевірка домашнього завдання
№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).
а) у = f(х), f(х) =
б) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;
в) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. Е( f) = [– 3; + ∞)
3. f(х) = 0 при х ~ 0,4
4. f(х) >0 при х > 0,4 ; f(х)
< 0 при – 2 <
х <
0,4.
5. Функція зростає при х € [– 2; + ∞)
6. Функція обмежена знизу.
7. унай = – 3, унаиб не існує
8. Функція безперервна.
(Ви використали алгоритм дослідження функції?) Слайд.
2. Таблицю, яку вам задавалася, перевіримо на слайд.
Заповніть таблицю | |||||
Область визначення |
Нулі функції |
Проміжки знакостійності |
Координати точок перетину графіка з Оу | ||
х = -5, |
x € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
|||
х ∞ -5, |
x € (–5;3) U |
х € (–∞;–5) U |
|||
х ≠ -5, |
х € (–∞; –5) U |
x € (–5; 2) |
3. Актуалізація знань
– Дано функції.
– Вказати область визначення кожної функції.
– Порівняти значення кожної функції для кожної пари значення аргументу: 1 та – 1; 2 та – 2.
– Для яких із даних функцій у галузі визначення виконуються рівність f(– х)
= f(х), f(– х) = – f(х)? (отримані дані занести до таблиці) Слайд
f(1) та f(– 1) | f(2) та f(– 2) | графіки | f(– х) = –f(х) | f(– х) = f(х) | ||
1. f(х) = | ||||||
2. f(х) = х 3 | ||||||
3. f(х) = | х | | ||||||
4.f(х) = 2х – 3 | ||||||
5. f(х) = | х ≠ 0 |
|||||
6. f(х)= | х > –1 | і не визна. |
- Виконуючи цю роботу, хлопці ми виявили ще одне властивість функції, незнайоме вам, але з менш важливе, ніж інші – це парність і непарність функції. Запишіть тему уроку: «Парні та непарні функції», наше завдання – навчитися визначати парність та непарність функції, з'ясувати значущість цієї властивості у дослідженні функцій та побудові графіків.
Отже, знайдемо визначення у підручнику та прочитаємо (стор. 110) . Слайд
Опр. 1Функція у = f (х), задана на множині Х називається парноїякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = f(х). Наведіть приклади.
Опр. 2Функція у = f(х), задана на множині Х називається непарнийякщо для будь-якого значення хЄ Х виконується рівність f(-х) = -f(х). Наведіть приклади.
Де ми зустрічалися з термінами «парні» та «непарні»?
Які з цих функцій будуть парними, на вашу думку? Чому? Які непарні? Чому?
Для будь-якої функції виду у= х n, де n- ціле число можна стверджувати, що функція непарна при n– непарному та функція парна при n- парному.
– Функції виду у= і у = 2х– 3 є ні парним, ні непарними, т.к. не виконуються рівності f(– х) = – f(х), f(–
х) = f(х)
Вивчення питання у тому, чи є функція парної чи непарної називають дослідженням функції на парність.Слайд
У визначеннях 1 і 2 йшлося про значення функції при х і - х, тим самим передбачається, що функція визначена і при значенні х, і при – х.
Опр 3.Якщо числова множина разом з кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, то множина Хназивають симетричним безліччю.
Приклади:
(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симетричні множини, а , [–5;4] – несиметричні.
– У парних функцій область визначення – симетрична множина? У непарних?
– Якщо ж D( f) – несиметрична множина, то функція яка?
– Таким чином, якщо функція у = f(х) – парна чи непарна, її область визначення D( f) – симетрична множина. А чи правильно зворотне твердження, якщо область визначення функції симетричне безліч, вона парна, чи непарна?
– Значить наявність симетричної множини області визначення – це необхідна умова, але недостатня.
– То як же дослідити функцію на парність? Спробуємо скласти алгоритм.
Слайд
Алгоритм дослідження функції на парність
1. Встановити, чи симетрична область визначення функції. Якщо ні, то функція не є ні парною, ні непарною. Якщо так, то перейти до кроку 2 алгоритму.
2. Скласти вираз для f(–х).
3. Порівняти f(–х).і f(х):
- якщо f(–х).= f(х), то функція парна;
- якщо f(–х).= – f(х), то функція непарна;
- якщо f(–х) ≠ f(х) та f(–х) ≠ –f(х), то функція не є ні парною, ні непарною.
Приклади:
Дослідити на парність функцію а) у= х 5 +; б) у=; в) у= .
Рішення.
а) h(х) = х 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрична множина.
2) h (-х) = (-х) 5 + - х5 - = - (х 5 +),
3) h(-х) = - h(х) => функція h(х)= х 5 + непарна.
б) у =,
у = f(х), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), несиметрична множина, отже функція ні парна, ні непарна.
в) f(х) = , у = f (х),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?
Варіант 2
1. Чи є симетричною задана множина: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7)?
а); б) у = х · (5 - х 2).
а) у = х 2 · (2х - х 3), б) у =
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) - парна функція.
Побудуйте графік функції у = f(х), якщо у = f(х) – непарна функція.
Взаємоперевірка з слайд.
6. Завдання додому: №11.11, 11.21,11.22;
Доказ геометричного змісту якості парності.
***(Завдання варіанта ЄДІ).
1. Непарна функція у = f(х) визначена на всій числовій прямій. Для будь-якого невід'ємного значення змінної x значення цієї функції збігається зі значенням функції g( х) = х(х + 1)(х + 3)(х- 7). Знайдіть значення функції h ( х) = при х = 3.
7. Підбиття підсумків
Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі.
Визначення 1.
Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х).
Визначення 2.
Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х).
Довести, що у = х 4 – парна функція.
Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною.
Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними.
Довести, що у = х 3 ~ непарна функція.
Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною.
Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними.
Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна.
Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х).
Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною.
Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність.
У визначеннях 1 та 2 йдетьсяпро значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, в той час як )
- Начос - мексиканські чіпси з тортильї
- Чи можна рикотту замінити сиром
- Як приготувати каву У чому заварювати каву?
- Як заморозити огірки в морозилці
- Цікаві рецепти хануму, приготовленого в мультиварці Рецепт хануму з м'ясом у мультиварці
- Смажені кабачки з часником та майонезом.
- Як робити тісто з молока
- Малиновий оцет - застосування
- Абрикосовий торт – простий рецепт шикарного десерту Прикраса для торта із консервованих абрикосів
- Масала: склад, рецепти масали
- Спагетті з ковбасою: смачна та ситна вечеря
- Від Леніна до Горбачова: Енциклопедія біографій
- Повстання чернігівського полку 1825
- Бухгалтерський облік та оподаткування інвестора
- Податок з прибутку пбу 18. Пбу розрахунків з прибутку. I. Загальні положення
- Податкова декларація з акцизів Заповнення декларації з акцизів на підакцизні товари
- Огляд книги «Я тебе схудну» від Олени Міро
- Вірш повністю няні, пушкін
- Лазурний берег кращий за Донбас
- Все про японські суші: історія, види, інгредієнти