Основы теории вероятностей для актуариев. Теория вероятности формулы и примеры решения задач

вероятность (probability) - число от 0 до 1, которое отражает шансы того, что случайное событие произойдет, где 0 - это полное отсутствие вероятности происхождения события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет.

Вероятность события E является числом от до 1.
Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.

эмпирическая вероятность - вероятность, которая посчитана как относительная частота события в прошлом, извлеченная из анализа исторических данных.

Вероятность очень редких событий нельзя посчитать эмпирически.

субъективная вероятность - вероятность, основанная на личной субъективной оценке события безотносительно исторических данных. Инвесторы, которые принимают решения о покупке и продаже акций зачастую действуют именно исходя из соображений субъективной вероятности.

априорная вероятность -

Шанс 1 из… (odds) того что событие произойдет через понятие вероятности. Шанс появления события выражается через вероятность так: P/(1-P).

Например, если вероятность события 0,5, то шанс события 1 из 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, что событие не произойдет вычисляется по формуле (1-P)/P

Несогласованная вероятноть - например в цене акций компании А на 85% учтено возможное событие E, а в цене акций компании Б всего на 50%. Это называется несогласованная вероятность. Согласно теореме голландских ставок, несогласованная вероятность создает возможности для извлечения прибыли.

Безусловная вероятность - это ответ на вопрос «Какова вероятность того, что событие произойдет?»

Условная вероятность - это ответ на вопрос: «Какова вероятность события A если событие Б произошло». Условная вероятность обозначается как P(A|B).

Совместная вероятность - вероятность того, что события А и Б произойдут одновременно. Обозначается как P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило суммирования вероятностей:

Вероятность того, что случится либо событие A либо событие B -

P (A or B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Если события A и B взаимоисключающие, то

P (A or B) = P(A) + P(B)

Независимые события - события A и B независимы если

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

То есть это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного собятия к другому.
Бросок монеты - пример такого события, - результат каждого следующего броска не зависит от результата предыдущего.

Зависимые события - это такие события, когда вероятность появления одного зависит от вероятности появления другого.

Правило умножения вероятностей независимых событий:
Если события A и B независимы, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило полной вероятности:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S и S" - взаимоисключающие события

математическое ожидание (expected value) случайной переменной есть среднее возможных исходов случайной величины. Для события X матожидание обоначается как E(X).

Допустим у нас есть 5 значений взаимоисключающих событий c определенной вероятностью (например доход компании составил такую-то сумму с такой вероятностью). Матожиданием будет сумма всех исходов помноженных на их вероятность:

Дисперсия случайной величины - матожидание квадратных отклонений случайной величины от ее матожидания:

s 2 = E{ 2 } (6)

Условное матожидание (conditional expected value) - матожидание случайной величины X при условии того, что событие S уже произошло.

Фактически формулы (1) и (2) это краткая запись условной вероятности на основе таблицы сопряженности признаков. Вернемся к примеру, рассмотренному (рис. 1). Предположим, что нам стало известно, будто некая семья собирается купить широкоэкранный телевизор. Какова вероятность того, что эта семья действительно купит такой телевизор?

Рис. 1. Поведение покупателей широкоэкранных телевизоров

В данном случае нам необходимо вычислить условную вероятность Р (покупка совершена | покупка планировалась). Поскольку нам известно, что семья планирует покупку, выборочное пространство состоит не из всех 1000 семей, а только из тех, которые планируют покупку широкоэкранного телевизора. Из 250 таких семей 200 действительно купили этот телевизор. Следовательно, вероятность того, что семья действительно купит широкоэкранный телевизор, если она это запланировала, можно вычислить по следующей формуле:

Р (покупка совершена | покупка планировалась) = количество семей, планировавших и купивших широкоэкранный телевизор / количество семей, планировавших купить широкоэкранный телевизор = 200 / 250 = 0,8

Этот же результат дает формула (2):

где событие А заключается в том, что семья планирует покупку широкоформатного телевизора, а событие В - в том, что она его действительно купит. Подставляя в формулу реальные данные, получаем:

Дерево решений

На рис. 1 семьи разделены на четыре категории: планировавшие покупку широкоэкранного телевизора и не планировавшие, а также купившие такой телевизор и не купившие. Аналогичную классификацию можно выполнить с помощью дерева решений (рис. 2). Дерево, изображенное на рис. 2, имеет две ветви, соответствующие семьям, которые планировали приобрести широкоэкранный телевизор, и семьям, которые не делали этого. Каждая из этих ветвей разделяется на две дополнительные ветви, соответствующие семьям, купившим и не купившим широкоэкранный телевизор. Вероятности, записанные на концах двух основных ветвей, являются безусловными вероятностями событий А и А’ . Вероятности, записанные на концах четырех дополнительных ветвей, являются условными вероятностями каждой комбинации событий А и В . Условные вероятности вычисляются путем деления совместной вероятности событий на соответствующую безусловную вероятность каждого из них.

Рис. 2. Дерево решений

Например, чтобы вычислить вероятность того, что семья купит широкоэкранный телевизор, если она запланировала сделать это, следует определить вероятность события покупка запланирована и совершена , а затем поделить его на вероятность события покупка запланирована . Перемещаясь по дереву решения, изображенному на рис. 2, получаем следующий (аналогичный предыдущему) ответ:

Статистическая независимость

В примере с покупкой широкоэкранного телевизора вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор при условии, что она планировала это сделать, равна 200/250 = 0,8. Напомним, что безусловная вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор, равна 300/1000 = 0,3. Отсюда следует очень важный вывод. Априорная информация о том, что семья планировала покупку, влияет на вероятность самой покупки. Иначе говоря, эти два события зависят друг от друга. В противоположность этому примеру, существуют статистически независимые события, вероятности которых не зависят друг от друга. Статистическая независимость выражается тождеством: Р(А|В) = Р(А) , где Р(А|В) - вероятность события А при условии, что произошло событие В , Р(А) - безусловная вероятность события А.

Обратите внимание на то, что события А и В Р(А|В) = Р(А) . Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, это условие выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и В , оно будет справедливым и для любой другой комбинации. В нашем примере события покупка запланирована и покупка совершена не являются статистически независимыми, поскольку информация об одном событии влияет на вероятность другого.

Рассмотрим пример, в котором показано, как проверить статистическую независимость двух событий. Спросим у 300 семей, купивших широкоформатный телевизор, довольны ли они своей покупкой (рис. 3). Определите, связаны ли между собой степень удовлетворенности покупкой и тип телевизора.

Рис. 3. Данные, характеризующие степень удовлетворенности покупателей широкоэкранных телевизоров

Судя по этим данным,

В то же время,

Р (покупатель удовлетворен) = 240 / 300 = 0,80

Следовательно, вероятность того, что покупатель удовлетворен покупкой, и того, что семья купила HDTV-телевизор, равны между собой, и эти события являются статистически независимыми, поскольку никак не связаны между собой.

Правило умножения вероятностей

Формула для вычисления условной вероятности позволяет определить вероятность совместного события А и В . Разрешив формулу (1)

относительно совместной вероятности Р(А и В) , получаем общее, правило умножения вероятностей. Вероятность события А и В равна вероятности события А при условии, что наступило событие В В :

(3) Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

Рассмотрим в качестве примера 80 семей, купивших широкоэкранный HDTV-телевизор (рис. 3). В таблице указано, что 64 семьи удовлетворены покупкой и 16 - нет. Предположим, что среди них случайным образом выбираются две семьи. Определите вероятность, что оба покупателя окажутся довольными. Используя формулу (3), получаем:

Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

где событие А заключается в том, что вторая семья удовлетворена своей покупкой, а событие В - в том, что первая семья удовлетворена своей покупкой. Вероятность того, что первая семья удовлетворена своей покупкой, равна 64/80. Однако вероятность того, что вторая семья также удовлетворена своей покупкой, зависит от ответа первой семьи. Если первая семья после опроса не возвращается в выборку (выбор без возвращения), количество респондентов снижается до 79. Если первая семья оказалась удовлетворенной своей покупкой, вероятность того, что вторая семья также будет довольна, равна 63/79, поскольку в выборке осталось только 63 семьи, удовлетворенные своим приобретением. Таким образом, подставляя в формулу (3) конкретные данные, получим следующий ответ:

Р(А и В) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Следовательно, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 63,8%.

Предположим, что после опроса первая семья возвращается в выборку. Определите вероятность того, что обе семьи окажутся довольными своей покупкой. В этом случае вероятности того, что обе семьи удовлетворены своей покупкой одинаковы, и равны 64/80. Следовательно, Р(А и В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким образом, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 64,0%. Этот пример показывает, что выбор второй семьи не зависит от выбора первой. Таким образом, заменяя в формуле (3) условную вероятность Р(А|В) вероятностью Р(А) , мы получаем формулу умножения вероятностей независимых событий.

Правило умножения вероятностей независимых событий. Если события А и В являются статистически независимыми, вероятность события А и В равна вероятности события А , умноженной на вероятность события В .

(4) Р(А и В) = Р(А)Р(В)

Если это правило выполняется для событий А и В , значит, они являются статистически независимыми. Таким образом, существуют два способа определить статистическую независимость двух событий:

1. События А и В являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А|В) = Р(А) .
2. События А и B являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А и В) = Р(А)Р(В) .

Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, одно из этих условий выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и B , оно будет справедливым и для любой другой комбинации.

Безусловная вероятность элементарного события

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

где события B 1 , B 2 , … B k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.

Проиллюстрируем применение этой формулы на примере рис.1. Используя формулу (5), получаем:

Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)

где Р(А) - вероятность того, что покупка планировалась, Р(В 1) - вероятность того, что покупка совершена, Р(В 2) - вероятность того, что покупка не совершена.

ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Условная вероятность события учитывает информацию о том, что произошло некое другое событие. Этот подход можно использовать как для уточнения вероятности с учетом вновь поступившей информации, так и для вычисления вероятности, что наблюдаемый эффект является следствием некоей конкретной причины. Процедура уточнения этих вероятностей называется теоремой Байеса. Впервые она была разработана Томасом Байесом в 18 веке.

Предположим, что компания, упомянутая выше, исследует рынок сбыта новой модели телевизора. В прошлом 40% телевизоров, созданных компанией, пользовались успехом, а 60% моделей признания не получили. Прежде чем объявить о выпуске новой модели, специалисты по маркетингу тщательно исследуют рынок и фиксируют спрос. В прошлом успех 80% моделей, получивших признание, прогнозировался заранее, в то же время 30% благоприятных прогнозов оказались неверными. Для новой модели отдел маркетинга дал благоприятный прогноз. Какова вероятность того, что новая модель телевизора будет пользоваться спросом?

Теорему Байеса можно вывести из определений условной вероятности (1) и (2). Чтобы вычислить вероятность Р(В|А), возьмем формулу (2):

и подставим вместо Р(А и В) значение из формулы (3):

Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

Подставляя вместо Р(А) формулу (5), получаем теорему Байеса:

где события B 1 , В 2 , … В k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.

Введем следующие обозначения: событие S - телевизор пользуется спросом , событие S’ - телевизор не пользуется спросом , событие F - благоприятный прогноз , событие F’ - неблагоприятный прогноз . Допустим, что P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Применяя теорему Байеса получаем:

Вероятность спроса на новую модель телевизора при условии благоприятного прогноза равна 0,64. Таким образом, вероятность отсутствия спроса при условии благоприятного прогноза равна 1–0,64=0,36. Процесс вычислений представлен на рис. 4.

Рис. 4. (а) Вычисления по формуле Байеса для оценки вероятности спроса телевизоров; (б) Дерево решения при исследовании спроса на новую модель телевизора

Рассмотрим пример применения теоремы Байеса для медицинской диагностики. Вероятность того, что человек страдает от определенного заболевания, равна 0,03. Медицинский тест позволяет проверить, так ли это. Если человек действительно болен, вероятность точного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он действительно болен) равна 0,9. Если человек здоров, вероятность ложноположительного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он здоров) равна 0,02. Допустим, что медицинский тест дал положительный результат. Какова вероятность того, что человек действительно болен? Какова вероятность точного диагноза?

Введем следующие обозначения: событие D - человек болен , событие D’ - человек здоров , событие Т - диагноз положительный , событие Т’ - диагноз отрицательный . Из условия задачи следует, что Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Применяя формулу (6), получаем:

Вероятность того, что при положительном диагнозе человек действительно болен, равна 0,582 (см. также рис. 5). Обратите внимание на то, что знаменатель формулы Байеса равен вероятности положительного диагноза, т.е. 0,0464.

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.

Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:

Общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;

Количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

Задача 1

В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .

Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:

Извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30-ти шаров) .

Таким образом, общее число исходов:

Рассмотрим событие: - из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность. Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!

С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:

Из урны будет извлечён красный шар;
- из урны будет извлечён чёрный шар.

Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию - 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:

Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .

Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.

Ответ :

На практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :

Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
- вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
- вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.

Ответ :

Задача 2

В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них - ноль, а другая - нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.

Примечание : ноль - это чётное число (делится на 2 без остатка)

Решение : сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр - ноль, а другая цифра - нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов . То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

И подсчитываем их - всего: 10 исходов.

Благоприятствующий исход один: верный номер.

По классическому определению:
- вероятность того, что абонент наберёт правильный номер

Ответ : 0,1

Продвинутая задача для самостоятельного решения:

Задача 4

Абонент забыл пин - код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр - то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?

Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока

Решение и ответ внизу.

Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже - большее количество) :

Задача 5

Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:

а) пять очков;

б) не более четырёх очков;

в) от 3-х до 9 очков включительно.

Решение : найдём общее количество исходов:

Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где - цифра, выпавшая на 1-м кубике, - цифра, выпавшая на 2-м кубике.

Например:

На первом кубике выпало 3 очка, на втором - 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
- на первом кубике выпало 6 очков, на втором - 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
- на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.

Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую - две «шестёрки».

а) Рассмотрим событие: - при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:

Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
- искомая вероятность.

б) Рассмотрим событие: - выпадет не более 4-х очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия - подходящие пары:

Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
- вероятность того, что выпадет не более 4-х очков.

в) Рассмотрим событие: - выпадет от 3-х до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.

Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : - выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.

В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:

Итого: 7 благоприятствующих исходов.

По классическому определению:
- вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9-ти очков.

Особо щепетильные люди могут перечислить все 29 пар, выполнив тем самым проверку.

Ответ :

В следующей задаче повторим таблицу умножения:

Задача 6

Найти вероятность того, что при броске двух игральных костей произведение очков:

а) будет равно семи;

б) окажется не менее 20-ти;

в) будет чётным.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Задача 7

В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:

а) они выйдут на разных этажах;

б) двое выйдут на одном этаже;

в) все выйдут на одном этаже.

Решение : вычислим общее количество исходов: способами может выйти из лифта 1-й пассажир и способами - 2-й пассажир и способами - третий пассажир. По правилу умножения комбинаций: возможных исходов. То есть, каждый этаж выхода 1-го человека может комбинироваться с каждым этажом выхода 2-го человека и с каждым этажом выхода 3-го человека.

Второй способ основан на размещениях с повторениями :
- кому как понятнее.

а) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на разных этажах. Вычислим количество благоприятствующих исходов:
способами могут выйти 3 пассажира на разных этажах. Рассуждения по формуле проведите самостоятельно.

По классическому определению:

в) Рассмотрим событие: - пассажиры выйдут на одном этаже. Данному событию благоприятствуют исходов и по классическому определению, соответствующая вероятность: .

Заходим с чёрного хода:

б) Рассмотрим событие: - два человека выйдут на одном этаже (и, соответственно, третий - на другом) .

События образуют полную группу (считаем, что в лифте никто не уснёт и лифт не застрянет , а значит, .

В результате, искомая вероятность:

Таким образом, теорема о сложении вероятностей событий, образующих полную группу , может быть не только удобной, но и стать самой настоящей палочкой-выручалочкой!

Ответ :

Когда получаются большие дроби, то хорошим тоном будет указать их приближенные десятичные значения. Обычно округляют до 2-3-4-х знаков после запятой.

Поскольку события пунктов «а», «бэ», «вэ» образуют полную группу, то есть смысл выполнить контрольную проверку, причём, лучше с приближенными значениями:

Что и требовалось проверить.

Иногда по причине погрешности округлений может получиться 0,9999 либо 1,0001, в этом случае одно из приближенных значений следуют «подогнать» так, чтобы в сумме нарисовалась «чистая» единица.

Самостоятельно:

Задача 8

Подбрасывается 10 монет. Найти вероятность того, что:

а) на всех монетах выпадет орёл;

б) на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка;

в) орёл выпадет на половине монет.

Задача 9

На семиместную скамейку случайным образом рассаживается 7 человек. Какова вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом?

Решение : с общим количеством исходов проблем не возникает:
способами могут рассесться 7 человек на скамейке.

Но вот как подсчитать количество благоприятствующих исходов? Тривиальные формулы не подходят и единственный путь - это логические рассуждения. Сначала рассмотрим ситуацию, когда Саша и Маша оказались рядом на левом краю скамейки:

Очевидно, что порядок имеет значение: слева может сидеть Саша, справа Маша и наоборот. Но это ещё не всё - для каждого из этих двух случаев остальные люди могут рассесться на свободных местах способами. Выражаясь комбинаторно, Сашу и Машу можно переставить на соседних местах способами и для каждой такой перестановки других людей можно переставить способами.

Таким образом, по правилу умножения комбинаций, выходит благоприятствующих исходов.

Но и это ещё не всё! Перечисленные факты справедливы для каждой пары соседних мест:

Интересно отметить, что если скамейку «скруглить» (соединяя левое и правое место) , то образуется дополнительная, седьмая пара соседних мест. Но не будем отвлекаться. Согласно тому же принципу умножения комбинаций, получаем окончательное количество благоприятствующих исходов:

По классическому определению:
- вероятность того, что два определённых человека окажутся рядом.

Ответ :

Задача 10

На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и чёрного цвета. С какой вероятностью они не будут «бить» друг друга?

Справка : шахматная доска имеет размер клеток; черная и белая ладьи «бьют» друг друга, когда располагаются на одной горизонтали или на одной вертикали

Обязательно выполните схематический чертёж доски, а ещё лучше, если неподалёку есть шахматы. Одно дело рассуждения на бумаге, и совсем другое - когда расставляешь фигуры собственными руками.

Задача 11

Какова вероятность того, что в четырех сданных картах будет один туз и один король?

Вычислим общее количество исходов. Сколькими способами можно извлечь 4 карты из колоды? Наверное, все поняли, что речь идёт о количестве сочетаний :
способами можно выбрать 4 карты из колоды.

Теперь считаем благоприятствующие исходы. По условию, в выборке из 4-х карт должен быть один туз, один король и, о чём не сказано открытым текстом, - две другие карты :

Способами можно извлечь одного туза;
способами можно выбрать одного короля.

Исключаем из рассмотрения тузов и королей: 36 - 4 - 4 = 28

способами можно извлечь две другие карты.

По правилу умножения комбинаций:
способами можно извлечь искомую комбинацию карт (1-го туза и 1-го короля и две другие карты).

Прокомментирую комбинационный смысл записи другим способом:
каждый туз комбинируется с каждым королем и с каждой возможной парой других карт.

По классическому определению:
- вероятность того, что среди четырех сданных карт будет один туз и один король.

Если хватает времени и терпения, максимально сокращайте большие дроби.

Ответ :

Более простая задача для самостоятельного решения:

Задача 12

В ящике находится 15 качественных и 5 бракованных деталей. Наудачу извлекаются 2 детали.

Найти вероятность того, что:

а) обе детали будут качественными;

б) одна деталь будет качественной, а одна - бракованной;

в) обе детали бракованны.

События перечисленных пунктов образуют полную группу, поэтому проверка здесь напрашивается сама собой. Краткое решение и ответ в конце урока. А вообще, всё самое интересное только начинается!

Задача 13

Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?

Решение : итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 - 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов) .

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

Способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса.

По правилу сложения комбинаций :
способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами) .

По классическому определению:

Ответ :

Задача 14

Игроку в покер сдаётся 5 карт. Найти вероятность того, что:

а) среди этих карт будет пара десяток и пара валетов;
б) игроку будет сдан флеш (5 карт одной масти);
в) игроку будет сдано каре (4 карты одного номинала).

Какую из перечисленных комбинаций вероятнее всего получить?

! Внимание! Если в условии задан подобный вопрос, то на него необходимо дать ответ.
Справка : в покер традиционно играют 52-х карточной колодой, которая содержит карты 4-х мастей номиналом от «двоек» до тузов.

Покер - игра самая что ни на есть математическая (кто играет, тот знает), в которой можно обладать заметным преимуществом перед менее квалифицированными соперниками.

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : 30 - 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.

- вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ :

Задача 4: Решение : найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом из этих 4-х мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).

Таким образом, по классическому определению:
- вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ :

Задача 6: Решение

Задача 6: Решение : найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2-х кубиках.

а) Рассмотрим событие: - при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов,
, т.е. это событие является невозможным.

б) Рассмотрим событие: - при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20-ти. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:

Итого: 8

По классическому определению:

- искомая вероятность.

в) Рассмотрим противоположные события:

- произведение очков будет чётным;

- произведение очков будет нечётным.

Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :

Итого: 9 благоприятствующих исходов.

По классическому определению вероятности:

Противоположные события образуют полную группу, поэтому:

- искомая вероятность.

Ответ :

Задача 8: Решение способами могут упасть 2 монеты.
Другой путь: способами может упасть 1-ая монета и способами может упасть 2-ая монета и … и способами может упасть 10-ая монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: - на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: - на 9 монетах выпадет орёл, а на одной - решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: - орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ :

Задача 10: Решение : вычислим общее количество исходов:
способами можно расставить двух ладей на доске.
Другой вариант оформления: способами можно выбрать две клетки шахматной доски и способами поставить белую и чёрную ладью в каждом из 2016 случаев. Таким образом, общее число исходов: .

Теперь подсчитаем исходы, в которых ладьи «бьют» друг друга. Рассмотрим 1-ую горизонталь. Очевидно, что фигуры можно расставить на ней произвольным образом, например, так:

Кроме того, ладей можно переставить. Придаём рассуждениям числовую форму: способами можно выбрать две клетки и способами переставить ладей в каждом из 28 случаев. Всего: возможных расположений фигур на горизонтали.
Короткая версия оформления: способами можно разместить белую и чёрную ладью на 1-й горизонтали.

Проведённые рассуждения справедливы для каждой горизонтали, поэтому количество комбинаций следует умножить на восемь: . Кроме того, аналогичная история справедлива для любой из восьми вертикалей. Вычислим итоговое количество расстановок, в которых фигуры «бьют» друг друга:

Тогда в оставшихся вариантах расстановки ладьи не будут «бить» друг друга:
4032 - 896 = 3136

По классическому определению вероятности:
- вероятность того, что наугад поставленные на доску белая и чёрная ладья не будут «бить» друг друга.

Ответ :

Задача 12: Решение : всего: 15 + 5 = 20 деталей в ящике. Вычислим общее число исходов:
способами можно извлечь 2 детали из ящика.
а) Рассмотрим событие: - обе извлечённые детали будут качественными.
способами можно извлечь 2 качественные детали.
По классическому определению вероятности:
б) Рассмотрим событие: - одна деталь будет качественной, а одна - бракованной.
способами можно извлечь 1 качественную деталь и 1 бракованную.
По классическому определению:
в) Рассмотрим событие: - обе извлечённые детали бракованны.
способами можно извлечь 2 бракованные детали.
По классическому определению:
Проверка : вычислим сумму вероятностей событий, образующих полную группу: , что и требовалось проверить.
Ответ :

А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие учёбы - игральный кубик с полной группой событий , которые состоят в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие - в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (выпадет 5 или 6 очков)
- вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выпадет не более 4-х очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3-х и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события и - несовместны.

Теперь, пользуясь классическим определением , найдём их вероятности:

Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой (ответ на 2 вопроса из 3-х или на все вопросы) . По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
- вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Этот способ решения совершенно равноценен, выбирайте, какой больше нравится.

Задача 1

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение : всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

По теореме сложения несовместных событий:
- вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ : 0,55

Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

Задача 2

В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Аналогично - здесь можно использовать комбинаторное правило суммы , но мало ли … вдруг кто-то его запамятовал. Тогда на помощь придёт теорема сложения вероятностей несовместных событий!

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.