Mis on parabooli tipu abstsiss. Ruutfunktsioon

Juhised

Ruutfunktsioon V üldine vaade kirjutatud võrrandiga: y = ax² + bx + c. Selle võrrandi graafik on , mille harud on suunatud üles (kui a > 0) või alla (a< 0). Школьникам предлагается просто запомнить формулу вычисления координат вершины . Вершина параболы в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное , получите y0: y0 = a(-b/2a)² - b²/2a + c = - b²/4a + c.

Inimestel, kes tunnevad tuletise mõistet, on lihtne leida parabooli tippu. Olenemata parabooli harude asukohast on selle tipp punkt (minimaalselt, kui oksad on suunatud üles või kui oksad on suunatud alla). Mis tahes i oletatavate ekstreemumipunktide leidmiseks peate arvutama selle esimese tuletise ja võrdsustama selle nulliga. Üldiselt on tuletis võrdne f"(x) = (ax² + bx + c)" = 2ax + b. Võrdledes nulliga, saad 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

Parabool on sümmeetriline joon. Telg läbib parabooli tippu. Teades X-koordinaatide teljega parabooli punkte, saate hõlpsalt leida tipu x0 abstsissi. Olgu x1 ja x2 parabooli juured (nn parabooli ja x-telje lõikepunktid, kuna need väärtused on vastupidised ruutvõrrand ax² + bx + c nullini). Lisaks olgu |x2| > |x1|, siis asub parabooli tipp nende vahel poolel teel ja on leitav järgmisest avaldisest: x0 = ½(|x2| - |x1|).

Video teemal

Allikad:

• Ruutfunktsioon
• valem parabooli tipu leidmiseks

Parabool on ruutfunktsiooni graafik üldiselt, parabooli võrrand on kirjutatud y=ax^2+bx+c, kus a≠0. See on universaalne teist järku kõver, mis kirjeldab paljusid nähtusi elus, näiteks paiskuva ja seejärel langeva keha liikumist, vikerkaare kuju, seega oskust leida parabool võib elus väga kasulik olla.

Sa vajad

• - ruutvõrrandi valem;
• - paberileht koordinaatide ruudustikuga;
• - pliiats, kustutuskumm;
• - arvuti ja Exceli programm.

Juhised

Kõigepealt leidke parabooli tipp. Selle punkti abstsissi leidmiseks võtke koefitsient x, jagage see kahekordse koefitsiendiga x^2 ja korrutage -1-ga (x=-b/2a). Leidke ordinaat, asendades saadud väärtuse võrrandis või kasutades valemit y=(b^2-4ac)/4a. Olete saanud parabooli tipupunkti koordinaadid.

Parabooli tipu võib leida ka muul viisil. Kuna see on funktsiooni ekstreemum, arvutage selle arvutamiseks esimene tuletis ja võrdsustage see nulliga. Üldiselt saate valemi f(x)" = (ax? + bx + c)" = 2ax + b. Ja võrdsustades selle nulliga, jõuate samale valemile - x=-b/2a.

Uurige, kas parabooli oksad on suunatud üles või alla. Selleks vaadake koefitsienti x^2 ees, see tähendab a. Kui a>0, siis on oksad suunatud ülespoole, kui a

Koordinaadid tipud paraboolid on leitud. Kirjutage need üles ühe punkti koordinaatidena (x0,y0).

Video teemal

Funktsioonide (täpsemalt nende graafikute) puhul kasutatakse mõistet kõrgeim väärtus, sealhulgas kohalik maksimum. Mõistet "tipp" seostatakse tõenäolisemalt geomeetrilised kujundid. Siledate funktsioonide maksimumpunkte (millel on tuletis) on lihtne määrata esimese tuletise nullide abil.

Juhised

Punktides, kus funktsioon ei ole diferentseeruv, vaid pidev, võib intervalli suurim väärtus olla tipu kujul (kohal y=-|x|). Sellistel punktidel funktsioonid Saate joonistada nii palju puutujaid, kui soovite, puutujaid selle jaoks lihtsalt ei eksisteeri. saami funktsioonid See tüüp on tavaliselt määratletud segmentides. Punktid, kus tuletis funktsioonid võrdne nulliga või seda ei eksisteeri, nimetatakse kriitilisteks.

Rheaning. y=x+3 x≤-1 ja y=((x^2)^(1/3)) –x x>-1 korral. Funktsioon on segmentidele määratud tahtlikult, kuna in sel juhul Eesmärk on näidata kõike ühes näites. On lihtne, et x=-1 korral jääb funktsioon pidevaks.y'=1 x≤-1 ja y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2-3( x^ (1/3)/(x^(1/3)) x=8/27 korral y'=0 ei eksisteeri x=-1 ja x=0 korral. Sel juhul y '>0, kui x

Video teemal

Parabool on üks teist järku kõveratest, mille punktid on koostatud ruutvõrrandi järgi. Peamine asi selle kõvera koostamisel on leida üleval paraboolid. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

Tipu koordinaatide leidmiseks paraboolid, kasutage järgmist valemit: x=-b/2a, kus a on koefitsient enne x in ja b on koefitsient enne x. Sisestage oma väärtused ja arvutage see. Seejärel asendage saadud väärtus võrrandiga x ja arvutage tipu ordinaat. Näiteks kui teile antakse võrrand y=2x^2-4x+5, siis leidke abstsiss järgmiselt: x=-(-4)/2*2=1. Asendades võrrandis x=1, arvutage tipu y-väärtus paraboolid: y=2*1^2-4*1+5=3. Nii et tipp paraboolid on koordinaadid (1;3).

Ordinaadi väärtus paraboolid võib leida ilma abstsissteljet eelnevalt arvutamata. Selleks kasutage valemit y=-b^2/4ac+c.

Kui olete tuletise mõistega tuttav, leidke üleval paraboolid kasutades tuletisi, kasutades mis tahes järgmist omadust: funktsiooni esimene tuletis, mis on võrdne nulliga, osutab. Alates tipust paraboolid, olenemata sellest, kas selle harud on suunatud üles või alla, punkt , arvutage oma funktsiooni tuletis. Üldiselt näeb see välja f(x)=2ax+b. Võrdsusta see nulliga ja saad tipu koordinaadid paraboolid, mis vastab teie funktsioonile.

Proovige leida üleval paraboolid, kasutades ära selle omadusi, näiteks sümmeetriat. Selleks leidke ristumispunktid paraboolid x-teljega, võrdsustades funktsiooni nulliga (asendades y = 0). Ruutvõrrandi lahendamisel leiad x1 ja x2. Kuna parabool on läbiva otsejoone suhtes sümmeetriline üleval, on need punktid tipu abstsissist võrdsel kaugusel. Selle leidmiseks jagame

Funktsioon vormist kus kutsutakse ruutfunktsioon.

Ruutfunktsiooni graafik – parabool.

Vaatleme juhtumeid:

I CASE, KLASSIKALINE PARABOOL

See on , ,

Ehitamiseks täitke tabel, asendades x väärtused valemiga:

Märgi punktid (0;0); (1; 1); (-1;1) jne. koordinaattasandil (mida väiksema sammu võtame x väärtused (antud juhul samm 1) ja mida rohkem x väärtusi võtame, seda sujuvam on kõver), saame parabooli:

On lihtne näha, et kui võtta juhtum , , , ehk siis saame parabooli, mis on sümmeetriline telje (oh) suhtes. Seda on lihtne kontrollida, täites sarnase tabeli:

II JUHTUM, „a” ERINEB ÜHIKUST

Mis juhtub, kui võtame , , ? Kuidas muutub parabooli käitumine? Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Esimesel pildil (vt ülal) on selgelt näha, et parabooli (1;1), (-1;1) punktid tabelist muudeti punktideks (1;4), (1;-4), see tähendab, et samade väärtuste korral korrutatakse iga punkti ordinaat 4-ga. See juhtub kõigi algse tabeli võtmepunktidega. Sarnaselt arutleme ka piltide 2 ja 3 puhul.

Ja kui parabool "muutub laiemaks" kui parabool:

Teeme kokkuvõtte:

1)Koefitsiendi märk määrab okste suuna. Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absoluutne väärtus koefitsient (moodul) vastutab parabooli "paisumise" ja "kokkusurumise" eest. Mida suurem , seda kitsam on parabool, mida väiksem |a|, seda laiem on parabool.

III JUHTUM, ILMUB “C”.

Tutvustame nüüd mängu (st kaalume juhtumit, millal), vaatleme vormi paraboole. Pole raske arvata (alati võib viidata tabelile), et parabool nihkub mööda telge olenevalt märgist üles või alla:

IV KOHTUUR, ILJUB “b”.

Millal parabool "eraldub" teljest ja lõpuks "kõnnib" mööda kogu koordinaattasandit? Millal see lakkab olemast võrdne?

Siin vajame parabooli konstrueerimiseks tipu arvutamise valem: , .

Nii et praegusel hetkel (nagu punktis (0;0) uus süsteem koordinaadid) ehitame parabooli, mida saame juba teha. Kui käsitleme juhtumit, siis tipust paneme ühe ühikulise lõigu paremale, ühe üles, - saadud punkt on meie (samamoodi samm vasakule, samm üles on meie punkt); kui tegemist on näiteks, siis tipust paneme ühe ühikulise segmendi paremale, kaks - ülespoole jne.

Näiteks parabooli tipp:

Nüüd on peamine mõista, et selles tipus ehitame parabooli parabooli mustri järgi, sest meie puhul.

Parabooli konstrueerimisel pärast tipu koordinaatide leidmist vägaMugav on arvestada järgmiste punktidega:

1) parabool läheb kindlasti punktist läbi . Tõepoolest, asendades valemis x=0, saame, et . See tähendab, et parabooli ja telje (oy) lõikepunkti ordinaat on . Meie näites (ülal) lõikub parabool ordinaat punktis , kuna .

2) sümmeetriatelg paraboolid on sirgjoon, nii et kõik parabooli punktid on selle suhtes sümmeetrilised. Meie näites võtame kohe punkti (0; -2) ja ehitame selle sümmeetriliseks parabooli sümmeetriatelje suhtes, saame punkti (4; -2), mida parabool läbib.

3) Võrdsustades , saame teada parabooli ja telje (oh) lõikepunktid. Selleks lahendame võrrandi. Olenevalt diskriminandist saame ühe (, ), kaks ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Eelmises näites ei ole meie diskriminandi juur konstrueerimisel täisarv, meil pole juuri mõtet leida, kuid me näeme selgelt, et meil on teljega (oh) kaks lõikepunkti; (alates title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Nii et teeme asja selgeks

Algoritm parabooli koostamiseks, kui see on antud kujul

1) määrake okste suund (a>0 – üles, a<0 – вниз)

2) leiame valemi , abil parabooli tipu koordinaadid.

3) leiame parabooli lõikepunkti teljega (oy) kasutades vaba liiget, konstrueerime selle punktiga sümmeetrilise punkti parabooli sümmeetriatelje suhtes (tuleb märkida, et juhtub, et märgistamine on kahjumlik näiteks see punkt, kuna väärtus on suur... jätame selle punkti vahele...)

4) Leitud punktis - parabooli tipus (nagu uue koordinaatsüsteemi punktis (0;0)) konstrueerime parabooli. If title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Leiame parabooli lõikepunktid teljega (oy) (kui need pole veel “pinnale tulnud”) võrrandi lahendamisega

Näide 1

Näide 2

Märkus 1. Kui parabool on meile algselt antud kujul , kus on mõned arvud (näiteks ), siis on seda veelgi lihtsam konstrueerida, sest meile on juba antud tipu koordinaadid . Miks?

Võtame ruuttrinoomi ja isoleerime selles terve ruudu: Vaata, saime selle , . Sina ja mina nimetasime varem parabooli tipuks, see tähendab nüüd,.

Näiteks, . Märgime tasapinnale parabooli tipu, saame aru, et oksad on suunatud allapoole, parabool on laienenud (suhtes ). See tähendab, et viime läbi punktid 1; 3; 4; 5 parabooli konstrueerimise algoritmist (vt eespool).

Märkus 2. Kui parabool on antud sellele sarnasel kujul (st esitatakse kahe lineaarse teguri korrutisena), siis näeme kohe parabooli ja telje (härg) lõikepunkte. Sel juhul – (0;0) ja (4;0). Ülejäänud osas tegutseme vastavalt algoritmile, avades sulgud.

Sisu:

Parabooli tipp on selle kõrgeim või madalaim punkt. Parabooli tipu leidmiseks võite kasutada spetsiaalset valemit või ruudu liitmise meetodit. Allpool kirjeldatakse, kuidas seda teha.

Sammud

1 Valem tipu leidmiseks

1. 1 Leidke a, b ja c väärtused. Ruutvõrrandis on koefitsient juures x 2 = a, juures x= b, konstant (koefitsient ilma muutujata) = c. Näiteks võtke võrrand: y = x 2 + 9x + 18. Siin a = 1, b= 9 ja c = 18.
2. 2 Valemi abil arvutage tipu x-koordinaadi väärtus. Tipp on ka parabooli sümmeetriapunkt. Valem parabooli x-koordinaadi leidmiseks: x = -b/2a. Arvutamiseks asendage sellesse sobivad väärtused x.
   • x=-b/2a
   • x=-(9)/(2)(1)
   • x=-9/2
3. 3 Asendage leitud x väärtus algsesse võrrandisse, et arvutada y väärtus. Nüüd, kui teate x väärtust, ühendage see lihtsalt algsesse võrrandisse, et leida y. Seega saab parabooli tipu leidmise valemi kirjutada funktsioonina: (x, y) = [(-b/2a), f(-b/2a)]. See tähendab, et y leidmiseks peate esmalt leidma valemi abil x ja seejärel asendama x väärtuse algse võrrandiga. Seda tehakse järgmiselt.
   • y = x 2 + 9x + 18
   • y = (-9/2) 2 + 9 (-9/2) +18
   • y = 81/4 -81/2 + 18
   • y = 81/4 -162/4 + 72/4
   • y = (81–162 + 72)/4
   • y = -9/4
4. 4 Kirjutage x ja y väärtused koordinaatide paarina. Nüüd, kui teate, et x = -9/2 ja y = -9/4, kirjutage need koordinaatidena üles kujul: (-9/2, -9/4). Parabooli tipp asub koordinaatidel (-9/2, -9/4). Kui peate selle parabooli joonistama, siis asub selle tipp alumises punktis, kuna x 2 koefitsient on positiivne.

2 Täiendage täiuslikku ruutu

1. 1 Kirjutage võrrand üles. Täiusliku ruudu lõpetamine on veel üks viis parabooli tipu leidmiseks. Seda meetodit kasutades leiate x- ja y-koordinaadid kohe, ilma et peaksite x-i algsesse võrrandisse asendama. Näiteks võttes arvesse võrrandit: x 2 + 4x + 1 = 0.
2. 2 Jagage iga koefitsient koefitsiendiga x 2 . Meie puhul on x 2 koefitsient 1, seega võime selle sammu vahele jätta. 1-ga jagamine ei muuda midagi.
3. 3 Liigutage konstant võrrandi paremale poole. Konstant on koefitsient ilma muutujata. Siin on see "1". Liigutage 1 paremale, lahutades võrrandi mõlemalt küljelt 1. Seda saab teha järgmiselt.
   • x 2 + 4x + 1 = 0
   • x 2 + 4x + 1 -1 = 0 - 1
   • x 2 + 4x = - 1
4. 4 Täielik kuni täielik ruut vasak pool võrrandid Selleks leidke lihtsalt (b/2) 2 ja lisage tulemus võrrandi mõlemale poolele. Asendage "4". b, kuna "4x" on meie võrrandi koefitsient b.
   • (4/2) 2 = 2 2 = 4. Nüüd lisage võrrandi mõlemale poolele 4 ja saate:
     • x 2 + 4x + 4 = -1 + 4
     • x 2 + 4x + 4 = 3
5. 5 Lihtsustame võrrandi vasakut poolt. Näeme, et x 2 + 4x + 4 on täiuslik ruut. Selle saab kirjutada järgmiselt: (x + 2) 2 = 3
6. 6 Kasutage seda x- ja y-koordinaatide leidmiseks. Saate leida x, võrdsustades (x + 2) 2 lihtsalt 0-ga. Nüüd, kui (x + 2) 2 = 0, arvutame x: x = -2. Y-koordinaat on täiusliku ruudu paremal küljel olev konstant. Seega y = 3. Võrrandi parabooli tipp on x 2 + 4x + 1 = (-2, 3)

• Tuvastage õigesti a, b ja c.
• Salvestage esialgsed arvutused. See ei aita mitte ainult tööprotsessi ajal, vaid võimaldab teil ka näha, kus tehti vigu.
• Ärge häirige arvutuste järjekorda.

Hoiatused

• Kontrolli oma vastust!
• Veenduge, et teate, kuidas määrata koefitsiente a, b ja c. Kui te ei tea, on vastus vale.
• Ei – selliste probleemide lahendamine nõuab harjutamist.

Parabool on üks teist järku kõveratest, mille punktid on koostatud ruutvõrrandi järgi. Peamine asi selle kõvera koostamisel on leida üleval paraboolid. Seda saab teha mitmel viisil.

Juhised

Tipu koordinaatide leidmiseks paraboolid, kasutage järgmist valemit: x=-b/2a, kus a on x-i koefitsient ja b on x-i koefitsient. Ühendage oma väärtused ja arvutage selle väärtus. Seejärel asendage saadud väärtus võrrandiga x ja arvutage tipu ordinaat. Näiteks kui teile antakse võrrand y=2x^2-4x+5, siis leidke abstsiss järgmiselt: x=-(-4)/2*2=1. Asendades võrrandis x=1, arvutage tipu y-väärtus paraboolid: y=2*1^2-4*1+5=3. Nii et tipp paraboolid on koordinaadid (1-3).

Ordinaadi väärtus paraboolid võib leida ilma abstsissteljet eelnevalt arvutamata. Selleks kasutage valemit y=-b^2/4ac+c.

Kui olete tuletise mõistega tuttav, leidke üleval paraboolid kasutades tuletisi, kasutades ära mis tahes funktsiooni järgmist omadust: funktsiooni esimene tuletis, mis on võrdne nulliga, näitab äärmuspunkte. Alates tipust paraboolid, olenemata sellest, kas selle harud on suunatud üles või alla, on äärmuspunkt, arvutage oma funktsiooni tuletis. Üldiselt näeb see välja f(x)=2ax+b. Võrdsusta see nulliga ja saad tipu koordinaadid paraboolid, mis vastab teie funktsioonile.

Proovige leida üleval paraboolid, kasutades ära selle omadusi, näiteks sümmeetriat. Selleks leidke ristumispunktid paraboolid x-teljega, võrdsustades funktsiooni nulliga (asendades y = 0). Ruutvõrrandi lahendamisel leiad x1 ja x2. Kuna parabool on läbiva otsejoone suhtes sümmeetriline üleval, on need punktid tipu abstsissist võrdsel kaugusel. Selle leidmiseks jagage punktide vaheline kaugus pooleks: x=(Ix1-x2I)/2.

Kui mõni koefitsientidest võrdne nulliga(välja arvatud a), arvuta tipu koordinaadid paraboolid kasutades lihtsustatud valemeid. Näiteks kui b=0, st võrrandi kuju on y=ax^2+c, siis asub tipp oy-teljel ja selle koordinaadid on võrdsed (0-c). Kui mitte ainult koefitsient b=0, vaid ka c=0, siis tipp paraboolid asub lähtepunktis (0-0).

Parabool on ruutfunktsiooni graafik. Sellel liinil on märkimisväärne füüsiline tähtsus. Parabooli tipu leidmise hõlbustamiseks peate selle joonistama. Siis näete hõlpsalt selle tippu diagrammil. Kuid parabooli konstrueerimiseks peate teadma, kuidas leida parabooli punkte ja kuidas leida parabooli koordinaate.

Parabooli punktide ja tipu leidmine

IN üldine idee ruutfunktsioonil on järgmine kuju: y = ax 2 + bx + c. Selle võrrandi graafik on parabool. Kui väärtus on › 0, on selle harud suunatud ülespoole ja kui väärtus on ‹ 0, siis allapoole. Graafikul parabooli koostamiseks peate teadma kolme punkti, kui see kulgeb piki ordinaattelge. Muidu tuleb teada nelja ehituspunkti.

Abstsissi (x) leidmisel peate antud polünoomivalemist võtma koefitsiendi (x) ja seejärel jagama (x 2) topeltkoefitsiendiga ja seejärel korrutama arvuga - 1.

Ordinaadi leidmiseks peate leidma diskriminandi, seejärel korrutama selle -1-ga ja jagama selle koefitsiendiga (x 2), korrutades selle 4-ga.

Järgmisena arvutatakse arvväärtusi asendades parabooli tipp. Kõigi arvutuste jaoks on soovitatav kasutada insenerikalkulaatorit ning graafikute ja paraboolide joonistamisel joonlauda ja lumograafi, see suurendab oluliselt teie arvutuste täpsust.

Vaatame järgmist näidet, mis aitab meil mõista, kuidas leida parabooli tipp.

x 2 -9 = 0. Sel juhul arvutatakse tipu koordinaadid järgmiselt: punkt 1 (-0/(2*1); punkt 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)) . Seega on tipu koordinaadid väärtused (0; 9).

Tipu abstsissi leidmine

Kui teate, kuidas leida parabooli ja saate arvutada selle lõikepunktid koordinaatide (x) teljega, saate hõlpsalt arvutada tipu abstsissi.

Olgu (x 1) ja (x 2) parabooli juured. Parabooli juured on selle lõikepunktid x-teljega. Need väärtused kaovad ruutvõrrandist järgmisel kujul: ax 2 + bx + c.

Lisaks |x 2 | > |x 1 |, mis tähendab, et parabooli tipp asub nende vahel keskel. Seega saab selle leida järgmise avaldise abil: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Figuuri pindala leidmine

Figuuri pindala leidmiseks koordinaattasandil peate teadma integraali. Ja selle rakendamiseks piisab teatud algoritmide tundmisest. Paraboolidega piiratud ala leidmiseks tuleb see sisse kujutada Descartes'i süsteem koordinaadid

Esmalt määratakse ülalkirjeldatud meetodi järgi (x) telje tipu koordinaat, seejärel telg (y), mille järel leitakse parabooli tipp. Nüüd peame kindlaks määrama integratsiooni piirid. Reeglina näidatakse need probleemipüstituses muutujate (a) ja (b) abil. Need väärtused tuleks paigutada vastavalt integraali ülemisse ja alumisse ossa. Järgmisena peaksite sisestama funktsiooni väärtuse üldkujul ja korrutama selle väärtusega (dx). Parabooli korral: (x 2)dx.

Seejärel peate arvutama funktsiooni antiderivatiivväärtuse üldkujul. Selleks peaksite kasutama spetsiaalset väärtuste tabelit. Asendades sealsed integratsiooni piirid, leitakse erinevus. See erinevus on ala.

Vaatleme näiteks võrrandisüsteemi: y = x 2 +1 ja x + y = 3.

Leitakse lõikumispunktide abstsissid: x 1 = -2 ja x 2 = 1.

Eeldame, et y 2 = 3 ja y 1 = x 2 + 1, asendame ülaltoodud valemis olevad väärtused ja saame väärtusega 4,5.

Nüüd oleme õppinud, kuidas leida parabooli ja arvutada nende andmete põhjal ka selle figuuri pindala, mida see piirab.