Pöördume funktsiooni y = x 3 – 3x 2 graafiku poole. Vaatleme punkti x = 0 naabrust, s.t. mingi intervall, mis sisaldab seda punkti. On loogiline, et punkti x = 0 naabrus on selline, et kõrgeim väärtus funktsioon y = x 3 – 3x 2 selles ümbruses võtab punkti x = 0. Näiteks intervallil (-1; 1) saab funktsioon suurima väärtuse, mis on võrdne 0-ga punktis x = 0. x = 0 nimetatakse selle funktsiooni maksimumpunktiks.

Samamoodi nimetatakse punkti x = 2 funktsiooni x 3 – 3x 2 miinimumpunktiks, kuna selles punktis ei ole funktsiooni väärtus suurem kui selle väärtus teises punktis x = 2 naabruses, näiteks naabruskond (1,5; 2,5).

Seega nimetatakse funktsiooni f(x) maksimumpunkti punktiks x 0, kui punkti x 0 naabrus on selline, et võrratus f(x) ≤ f(x 0) kehtib kõigi selle naabruse x kohta.

Näiteks punkt x 0 = 0 on funktsiooni f(x) = 1 – x 2 maksimaalne punkt, kuna f(0) = 1 ja võrratus f(x) ≤ 1 kehtib kõigi x väärtuste puhul. .

Funktsiooni f(x) minimaalne punkt on punkt x 0, kui punkti x 0 naabrus on selline, et ebavõrdsus f(x) ≥ f(x 0) on täidetud kõigi selle naabruse x jaoks.

Näiteks punkt x 0 = 2 on funktsiooni f(x) = 3 + (x – 2) 2 miinimumpunkt, kuna f(2) = 3 ja f(x) ≥ 3 kõigi x-ide puhul.

Ekstreempunkte nimetatakse miinimum- ja maksimumpunktideks.

Pöördume funktsiooni f(x) poole, mis on defineeritud punkti x 0 teatud läheduses ja millel on selles punktis tuletis.

Kui x 0 on diferentseeruva funktsiooni f(x) äärmuspunkt, siis f "(x 0) = 0. Seda väidet nimetatakse Fermat' teoreemiks.

Fermat' teoreemil on visuaal geomeetriline tähendus: ekstreempunktis on puutuja paralleelne x-teljega ja seega selle kalle
f "(x 0) on võrdne nulliga.

Näiteks funktsiooni f(x) = 1 – 3x2 maksimum on punktis x0 = 0, selle tuletis f "(x) = -2x, f "(0) = 0.

Funktsiooni f(x) = (x – 2) 2 + 3 miinimum on punktis x 0 = 2, f "(x) = 2(x - 2), f "(2) = 0.

Pange tähele, et kui f "(x 0) = 0, siis sellest ei piisa väitmaks, et x 0 on tingimata funktsiooni f (x) äärmuspunkt.

Näiteks kui f(x) = x 3, siis f "(0) = 0. Punkt x = 0 ei ole aga äärmuspunkt, kuna funktsioon x 3 kasvab piki kogu arvtelge.

Seega tuleb diferentseeruva funktsiooni äärmuspunkte otsida ainult võrrandi juurte hulgast
f "(x) = 0, kuid selle võrrandi juur ei ole alati äärmuspunkt.

Statsionaarsed punktid on punktid, kus funktsiooni tuletis on null.

Seega selleks, et punkt x 0 oleks äärmuspunkt, on vajalik, et see oleks statsionaarne punkt.

Olgem piisavad tingimused selleks, et statsionaarne punkt oleks äärmuspunkt, s.t. tingimused, mille korral statsionaarne punkt on funktsiooni miinimum- või maksimumpunkt.

Kui statsionaarsest punktist vasakul olev tuletis on positiivne ja paremal – negatiivne, s.o. tuletis muudab selle punkti läbimisel märgi “+” märgiks “–”, siis on see statsionaarne punkt maksimumpunkt.

Tõepoolest, sisse sel juhul statsionaarsest punktist vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb, s.t. see punkt on maksimumpunkt.

Kui tuletis muudab statsionaarse punkti läbimisel märgi “–” märgiks “+”, siis on see statsionaarne punkt miinimumpunkt.

Kui tuletis statsionaarse punkti läbimisel märki ei muuda, s.o. statsionaarsest punktist vasakul ja paremal on tuletis positiivne või negatiivne, siis see punkt ei ole äärmuspunkt.

Vaatleme ühte probleemi. Leidke funktsiooni f(x) = x 4 – 4x 3 äärmuspunktid.

Lahendus.

1) Leidke tuletis: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x - 3).

2) Leidke statsionaarsed punktid: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Intervallmeetodi abil tuvastame, et tuletis f "(x) = 4x 2 (x – 3) on positiivne x > 3 korral, negatiivne x korral< 0 и при 0 < х < 3.

4) Kuna punkti x 1 = 0 läbimisel tuletise märk ei muutu, ei ole see punkt ekstreemumipunkt.

5) Tuletis muudab punkti x 2 = 3 läbimisel märgi “–” märgiks “+”. Seetõttu on x 2 = 3 miinimumpunkt.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

>> Ekstreem

Funktsiooni äärmus

Ekstreemumi määratlus

Funktsioon y = f(x) kutsutakse suureneb (väheneb) teatud intervalliga, kui x 1 korral< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

Kui diferentseeruv funktsioon y = f (x) suureneb (väheneb) intervallil, siis selle tuletis sellel intervallil f " (x)> 0

(f"(x)< 0).

Punkt x O helistas kohalik maksimumpunkt (miinimum) funktsioon f (x), kui punkti naabrus on olemas x o, mille kõigi punktide puhul on ebavõrdsus f (x) tõene≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

Nimetatakse maksimum- ja miinimumpunktid äärmuslikud punktid, ja funktsiooni väärtused nendes punktides on selle äärmused.

Äärmuslikud punktid

Vajalikud tingimusedäärmus . Kui punkt x O on funktsiooni f (x) äärmuspunkt, siis kas f " (x o ) = 0 või f(x o ) ei eksisteeri. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline, ja funktsioon ise on määratletud kriitilises punktis. Funktsiooni äärmusi tuleks otsida selle kriitiliste punktide hulgast.

Esimene piisav tingimus. Lase x O - kriitiline punkt. Kui f" (x ) punkti läbimisel x O muudab plussmärgi miinusmärgiks, seejärel punktis x o funktsioonil on maksimum, muidu on miinimum. Kui kriitilist punkti läbides tuletis märki ei muuda, siis punktis x O ekstreemsust pole olemas.

Teine piisav tingimus. Olgu funktsioonil f(x) olemas
f" (x ) punkti läheduses x O ja teine ​​tuletis punktis endas x o. Kui f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x o on funktsiooni f (x) lokaalne miinimum (maksimaalne) punkt. Kui =0, siis tuleb kasutada kas esimest piisavat tingimust või kaasata kõrgemad.

Lõigul võib funktsioon y = f (x) saavutada oma minimaalse või maksimaalse väärtuse kas kriitilistes punktides või lõigu otstes.

Näide 3.22.

Lahendus. Sest f " (

Funktsiooni ekstreemumi leidmise ülesanded

Näide 3.23. a

Lahendus. x Ja y y
0 ≤ x≤
> 0 ja millal x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsioonid kv. ühikut).

Näide 3.24. p ≈

Lahendus. lk lk
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Näide 3.22.Leidke funktsiooni f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 äärmuspunkt.

Lahendus. Sest f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), siis funktsiooni x 1 = 2 ja x 2 = 3 kriitilised punktid. Ekstreem saab olla ainult nendes punktides. Kuna punkti x 1 = 2 läbimisel muudab tuletis märgi plussist miinusesse, siis selles punktis on funktsioonil maksimum. Punkti x 2 = 3 läbimisel muudab tuletis oma märgi miinusest plussiks, seega punktis x 2 = 3 on funktsioonil miinimum. Pärast funktsioonide väärtuste arvutamist punktides
x 1 = 2 ja x 2 = 3, leiame funktsiooni ekstreemumid: maksimum f (2) = 14 ja miinimum f (3) = 13.

Näide 3.23.Kiviseina äärde on vaja rajada ristkülikukujuline ala nii, et see oleks kolmest küljest traatvõrguga aiaga piiratud ja neljas külg külgneb müüriga. Selle jaoks on olemas a lineaarsed meetrid võrgusilma. Millise kuvasuhtega on saidil suurim pindala?

Lahendus.Tähistame platvormi külgi tähega x Ja y. Saidi pindala on S = xy. Lase y- see on seinaga külgneva külje pikkus. Siis peab tingimuse järgi olema täidetud võrdus 2x + y = a. Seetõttu y = a - 2x ja S = x (a - 2x), kus
0 ≤ x≤ a /2 (ala pikkus ja laius ei saa olla negatiivsed). S " = a - 4x, a - 4x = 0 at x = a/4, kust
y = a - 2 × a/4 =a/2. Kuna x = a /4 on ainus kriitiline punkt, kontrollime, kas tuletise märk muutub selle punkti läbimisel. x a /4 S "> 0 ja millal x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение funktsioonid S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (kv. ühikut). Kuna S on pidev sees ja selle väärtused otstes S(0) ja S(a /2) on võrdsed nulliga, siis on leitud väärtuseks funktsiooni suurim väärtus. Seega on antud ülesande tingimustes saidi kõige soodsam kuvasuhe y = 2x.

Näide 3.24.Nõutav on valmistada kinnine silindriline paak mahuga V=16 p ≈ 50 m 3. Millised peaksid olema paagi mõõtmed (raadius R ja kõrgus H), et selle valmistamiseks kuluks kõige vähem materjali?

Lahendus.Silindri kogupindala on S = 2 lk R(R+H). Teame silindri ruumala V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Seega S(R) = 2 lk (R2 +16/R). Leiame selle funktsiooni tuletise:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" (R) = 0, kui R3 = 8, seega
R = 2, H = 16/4 = 4.

Olgu funktsioon $z=f(x,y)$ defineeritud mingis punkti $(x_0,y_0)$ läheduses. Nad ütlevad, et $(x_0,y_0)$ on (lokaalne) maksimumpunkt, kui kõikide punktide $(x,y)$ jaoks punkti $(x_0,y_0)$ naabruses on ebavõrdsus $f(x,y) on rahul< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, siis punkti $(x_0,y_0)$ nimetatakse (kohalikuks) miinimumpunktiks.

Maksimaalset ja miinimumpunkti nimetatakse sageli üldmõisteks – äärmuspunktideks.

Kui $(x_0,y_0)$ on maksimumpunkt, siis funktsiooni $f(x_0,y_0)$ väärtust selles punktis nimetatakse funktsiooni $z=f(x,y)$ maksimumiks. Vastavalt sellele nimetatakse funktsiooni väärtust miinimumpunktis funktsiooni $z=f(x,y)$ miinimumiks. Funktsiooni miinimumi ja maksimume ühendab ühine termin - funktsiooni ekstreem.

Algoritm funktsiooni $z=f(x,y)$ ekstreemumi uurimiseks

1. Leidke osatuletised $\frac(\partial z)(\partial x)$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)$. Koostage ja lahendage võrrandisüsteem $ \left \( \begin(joondatud) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 \ end(joondatud) \right.$ Punkte, mille koordinaadid vastavad määratud süsteemile, nimetatakse statsionaarseteks.
2. Otsige üles $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ja arvuta $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ igas statsionaarses punktis. Pärast seda kasutage järgmist skeemi:
   1. Kui $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (või $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$, siis uuritav punkt on miinimumpunkt.
   2. Kui $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Kui $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Kui $\Delta = 0$, siis ekstreemumi olemasolu kohta midagi kindlat öelda ei saa; on vaja täiendavaid uuringuid.

Märkus (soovitav teksti täielikumaks mõistmiseks): näita\peida

Kui $\Delta > 0$, siis $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ osaline^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Sellest järeldub, et $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Need. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Kui teatud suuruste korrutis on suurem kui null, siis on need suurused sama märgiga. See tähendab, et näiteks kui $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, siis $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Lühidalt, kui $\Delta > 0$, siis $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ ja $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ märgid langevad kokku .

Näide nr 1

Uurige funktsiooni $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ selle ekstreemumi jaoks.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin (joondatud) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end (joondatud) \right. $$

Vähendame selle süsteemi iga võrrandit $2 $ võrra ja liigutame arvud võrrandite paremale küljele:

$$ \left \( \begin (joondatud) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end (joondatud) \right. $$

Oleme saanud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi. Selles olukorras tundub mulle kõige mugavam kasutada tekkinud süsteemi lahendamiseks Crameri meetodit.

$$ \begin(joondatud) & \Delta=\left| \begin(massiivi) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(massiivi)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(massiivi) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(massiivi)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(massiivi) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(massiivi)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(joondatud) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Väärtused $x=2$, $y=-3$ on statsionaarse punkti $(2;-3)$ koordinaadid.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Arvutame $\Delta$ väärtuse:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Kuna $\Delta > 0$ ja $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, siis vastavalt punktile $(2;-3)$ on funktsiooni $ miinimumpunkt z$. Leiame funktsiooni $z$ miinimumi, asendades punkti $(2;-3)$ koordinaadid antud funktsiooniga:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cpunkt 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Vastus: $(2;-3)$ - miinimumpunkt; $z_(min) = -90 $.

Näide nr 2

Uurige funktsiooni $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ selle ekstreemumi jaoks.

Järgime ülaltoodut. Esiteks leiame esimest järku osatuletised:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Loome võrrandisüsteemi $ \left \( \begin(joondatud) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( joondatud) \right.$:

$$ \left \( \begin (joondatud) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end (joondatud) \paremale. $$

Vähendame esimest võrrandit 3 võrra ja teist 6 võrra.

$$ \left \( \begin (joondatud) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(joondatud) \right. $$

Kui $x=0$, siis teine ​​võrrand viib meid vastuoluni: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Siit järeldus: $x\neq 0$. Seejärel saame teisest võrrandist: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Asendades esimeses võrrandis $y=\frac(2)(x)$, saame:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Saime bikvadraatvõrrandi. Teeme asendus $t=x^2$ (see tähendab, et $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(joondatud) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(joondatud) $$

Kui $t=1$, siis $x^2=1$. Seega on meil kaks väärtust $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Kui $t=4$, siis $x^2=4$, st. $x_3=2$, $x_4=-2$. Pidades meeles, et $y=\frac(2)(x)$, saame:

\begin(joondatud) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2) = -1. \end (joondatud)

Niisiis, meil on neli statsionaarset punkti: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. See lõpetab algoritmi esimese sammu.

Nüüd alustame algoritmiga. Leiame teist järku osatuletised:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Leiame $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Nüüd arvutame igas varem leitud statsionaarses punktis $\Delta$ väärtuse. Alustame punktist $M_1(1;2)$. Sel hetkel on meil: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Alates $\Delta(M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Uurime punkti $M_2(-1;-2)$. Sel hetkel on meil: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Alates $\Delta(M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Uurime punkti $M_3(2;1)$. Sel hetkel saame:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Kuna $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, siis vastavalt $M_3(2; 1)$ on funktsiooni $z$ miinimumpunkt. Leiame funktsiooni $z$ miinimumi, asendades antud funktsiooniga punkti $M_3$ koordinaadid:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cpunkt 2\cpunkt 1^2-15\cpunkt 2-12\cpunkt 1+1=-27. $$

Jääb üle uurida punkti $M_4(-2;-1)$. Sel hetkel saame:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Alates $\Delta(M_4) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Ekstreemuuring on lõpetatud. Jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus:

• $(2;1)$ - miinimumpunkt, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ – maksimaalne punkt, $z_(max)=29$.

Märge

Üldjuhul pole vaja $\Delta$ väärtust arvutada, sest meid huvitab ainult märk, mitte konkreetne tähendus see parameeter. Näiteks eespool vaadeldud nr 2 punktis $M_3(2;1)$ on meil $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Siin on ilmne, et $\Delta > 0$ (kuna mõlemad tegurid $36$ ja $(2^2-1^2)$ on positiivsed) ja $\Delta$ konkreetset väärtust on võimalik mitte leida. Tõsi, standardarvutuste jaoks on see märkus kasutu - seal nõuavad nad arvutuste viimist numbrini :)

Näide nr 3

Uurige funktsiooni $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ selle ekstreemumi kohta.

Me järgime. Esiteks leiame esimest järku osatuletised:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Loome võrrandisüsteemi $ \left \( \begin(joondatud) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( joondatud) \right.$:

$$ \left \( \begin (joondatud) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end (joondatud) \right. $$

Vähendame mõlemat võrrandit 4 $ võrra:

$$ \left \( \begin (joondatud) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(joondatud) \right. $$

Lisame esimese võrrandi teisele ja väljendame $y$ väärtusega $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Asendades süsteemi esimeses võrrandis $y=-x$, saame:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Saadud võrrandist saame: $x=0$ või $x^2-2=0$. Võrrandist $x^2-2=0$ järeldub, et $x=-\sqrt(2)$ või $x=\sqrt(2)$. Seega leitakse kolm $x$ väärtust, nimelt: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Kuna $y=-x$, siis $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Lahenduse esimene samm on lõpetatud. Saime kolm statsionaarset punkti: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Nüüd alustame algoritmiga. Leiame teist järku osatuletised:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Leiame $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Nüüd arvutame igas varem leitud statsionaarses punktis $\Delta$ väärtuse. Alustame punktist $M_1(0;0)$. Siin on meil: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Kuna $\Delta(M_1) = 0$, siis on vaja täiendavaid uuringuid, kuna ekstreemumi olemasolu kohta vaadeldavas punktis midagi kindlat öelda ei saa. Jätame selle punkti praegu rahule ja liigume edasi teiste punktide juurde.

Uurime punkti $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Sel hetkel saame:

\begin(joondatud) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end (joondatud)

Kuna $\Delta(M_2) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, siis vastavalt $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ on funktsiooni $z$ miinimumpunkt. Leiame funktsiooni $z$ miinimumi, asendades antud funktsiooniga punkti $M_2$ koordinaadid:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Sarnaselt eelmise punktiga uurime punkti $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Sel hetkel saame:

\begin(joondatud) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end (joondatud)

Kuna $\Delta(M_3) > 0$ ja $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, siis vastavalt $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ on funktsiooni $z$ miinimumpunkt. Leiame funktsiooni $z$ miinimumi, asendades antud funktsiooniga punkti $M_3$ koordinaadid:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

On aeg naasta punkti $M_1(0;0)$, kus $\Delta(M_1) = 0$. Selle kohaselt on vaja täiendavaid uuringuid. See kõrvalepõiklev fraas tähendab "tee, mida tahad" :). Üldist viisi selliste olukordade lahendamiseks ei ole ja see on mõistetav. Kui selline meetod oleks olemas, oleks see juba ammu kõikides õpikutes sees. Vahepeal peame otsima spetsiaalset lähenemist igale punktile, kus $\Delta = 0$. Noh, uurime funktsiooni käitumist punkti $M_1(0;0)$ läheduses. Pangem kohe tähele, et $z(M_1)=z(0;0)=3$. Oletame, et $M_1(0;0)$ on miinimumpunkt. Siis mis tahes punkti $M$ jaoks punkti $M_1(0;0)$ mõnest naabrusest saame $z(M) > z(M_1)$, st. $z(M) > 3$. Mis siis, kui mõni naabruskond sisaldab punkte, kus $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Vaatleme punkte, mille puhul $y=0$, s.t. punktid kujul $(x,0)$. Nendel punktidel võtab funktsioon $z$ järgmised väärtused:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cpunkt 0-2\cpunkt 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Kõigis piisavalt väikestes piirkondades $M_1(0;0)$ on meil $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Aga võib-olla on punkt $M_1(0;0)$ maksimumpunkt? Kui see on nii, siis mis tahes punkti $M$ jaoks punkti $M_1(0;0)$ mõnest naabrusest saame $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 dollarit? Siis punktis $M_1$ maksimumi kindlasti ei tule.

Vaatleme punkte, mille puhul $y=x$, s.t. punktid kujul $(x,x)$. Nendel punktidel võtab funktsioon $z$ järgmised väärtused:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Kuna punkti $M_1(0;0)$ mis tahes naabruses on meil $2x^4 > 0$, siis $2x^4+3 > 3$. Järeldus: punkti $M_1(0;0)$ mis tahes naabruskond sisaldab punkte, kus $z > 3$, mistõttu punkt $M_1(0;0)$ ei saa olla maksimumpunkt.

Punkt $M_1(0;0)$ ei ole ei maksimum- ega miinimumpunkt. Järeldus: $M_1$ ei ole üldse äärmuspunkt.

Vastus: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ on funktsiooni $z$ miinimumpunktid. Mõlemas punktis $z_(min)=-5$.

Funktsiooni olemuse kindlakstegemiseks ja selle käitumisest rääkimiseks on vaja leida suurenemise ja kahanemise intervallid. Seda protsessi nimetatakse funktsioonide uurimiseks ja graafikuks. Ekstreemumipunkti kasutatakse funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmisel, kuna nende juures funktsioon intervallist suureneb või väheneb.

See artikkel paljastab definitsioonid, sõnastab piisava intervalli suurenemise ja vähenemise märgi ning ekstreemumi olemasolu tingimuse. See kehtib näidete ja probleemide lahendamise kohta. Funktsioonide eristamise jaotist tuleks korrata, sest lahendus peab kasutama tuletise leidmist.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1. definitsioon

Funktsioon y = f (x) suureneb intervallil x, kui mis tahes x 1 ∈ X ja x 2 ∈ X, x 2 > x 1 korral on ebavõrdsus f (x 2) > f (x 1) täidetud. Teisisõnu, argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni suuremale väärtusele.

2. definitsioon

Funktsiooni y = f (x) peetakse intervallil x kahanevaks, kui mistahes x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 korral on võrdus f (x 2) > f (x 1) peetakse tõeks. Teisisõnu, suurem funktsiooni väärtus vastab väiksemale argumendi väärtusele. Mõelge allolevale joonisele.

Kommentaar: Kui funktsioon on kasvamise ja kahanemise intervalli otstes kindel ja pidev, st (a; b), kus x = a, x = b, on punktid kaasatud suurenemise ja kahanemise intervalli. See ei ole definitsiooniga vastuolus; see tähendab, et see toimub intervallil x.

Põhiomadused elementaarsed funktsioonid tüüp y = sin x – argumentide tegelike väärtuste täpsus ja järjepidevus. Siit saame, et siinus suureneb üle intervalli - π 2; π 2, siis on segmendi suurenemine kujul - π 2; π 2.

Punkti x 0 nimetatakse maksimaalne punkt funktsiooni y = f (x) puhul, kui kõigi x väärtuste korral kehtib võrratus f (x 0) ≥ f (x). Maksimaalne funktsioon on funktsiooni väärtus punktis ja seda tähistatakse y m a x .

Punkti x 0 nimetatakse funktsiooni y = f (x) miinimumpunktiks, kui kõigi x väärtuste korral kehtib võrratus f (x 0) ≤ f (x). Minimaalsed funktsioonid on funktsiooni väärtus punktis ja selle tähis on kujul y m i n .

Arvesse võetakse punkti x 0 naabruskondi äärmuslikud punktid, ja äärmuspunktidele vastava funktsiooni väärtus. Mõelge allolevale joonisele.

Funktsiooni suurima ja väikseima väärtusega funktsiooni äärmus. Mõelge allolevale joonisele.

Esimene joonis ütleb, et on vaja leida funktsiooni suurim väärtus segmendist [a; b ] . See leitakse maksimaalsete punktide abil ja on võrdne funktsiooni maksimaalse väärtusega ning teine ​​arv sarnaneb rohkem maksimaalse punkti leidmisega x = b.

Piisavad tingimused funktsiooni suurendamiseks ja vähenemiseks

Funktsiooni maksimumide ja miinimumide leidmiseks on vaja rakendada ekstreemumi märke juhul, kui funktsioon neid tingimusi täidab. Esimest märki peetakse kõige sagedamini kasutatavaks.

Ekstreemumi esimene piisav tingimus

Olgu antud funktsioon y = f (x), mis on diferentseeruv punkti x 0 naabruses ε ja millel on pidevus antud punktis x 0. Siit saame selle

• kui f " (x) > 0 x ∈ (x 0 - ε ; x 0) ja f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kui f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) korral, siis x 0 on miinimumpunkt.

Teisisõnu saame nende tingimused märgi seadmiseks:

• kui funktsioon on pidev punktis x 0, siis on tal muutuva märgiga tuletis, st + -st -, mis tähendab, et punkti nimetatakse maksimumiks;
• kui funktsioon on pidev punktis x 0, siis on sellel tuletis muutuva märgiga -st +-ni, mis tähendab, et punkti nimetatakse miinimumiks.

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktide õigeks määramiseks peate järgima nende leidmise algoritmi:

• leida määratluspiirkond;
• leida sellel alal funktsiooni tuletis;
• tuvastada nullid ja punktid, kus funktsiooni ei eksisteeri;
• tuletise märgi määramine intervallidel;
• valige punktid, kus funktsioon muudab märki.

Vaatleme algoritmi, lahendades mitmeid näiteid funktsiooni äärmuste leidmiseks.

Näide 1

Leia antud funktsiooni y = 2 (x + 1) 2 x - 2 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus

Selle funktsiooni määratluspiirkond on kõik reaalarvud, välja arvatud x = 2. Esiteks leiame funktsiooni tuletise ja saame:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Siit näeme, et funktsiooni nullkohad on x = - 1, x = 5, x = 2, see tähendab, et iga sulg tuleb võrdsustada nulliga. Märgime selle numbriteljele ja saame:

Nüüd määrame iga intervalli tuletise märgid. On vaja valida intervalli kuuluv punkt ja asendada see avaldisega. Näiteks punktid x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Me saame sellest aru

y" (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, mis tähendab, et intervallil - ∞ ; - 1 on positiivne tuletis. Samamoodi leiame, et

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Kuna teine ​​intervall osutus nullist väiksemaks, tähendab see, et intervalli tuletis on negatiivne. Kolmas miinusega, neljas plussiga. Järjepidevuse määramiseks peate tähelepanu pöörama tuletise märgile, kui see muutub, on see äärmuspunkt.

Leiame, et punktis x = - 1 on funktsioon pidev, mis tähendab, et tuletis muudab märgi + asemel -. Esimese märgi järgi on meil, et x = - 1 on maksimumpunkt, mis tähendab, et saame

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punkt x = 5 näitab, et funktsioon on pidev ja tuletis muudab märgi – – asemel +. See tähendab, et x = -1 on miinimumpunkt ja selle määramisel on vorm

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Graafiline pilt

Vastus: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Tähelepanu tasub pöörata asjaolule, et ekstreemumi esimese piisava kriteeriumi kasutamine ei eelda funktsiooni diferentseeritavust punktis x 0, see lihtsustab arvutamist.

Näide 2

Leia funktsiooni y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus.

Funktsiooni domeeniks on kõik reaalarvud. Selle saab kirjutada võrrandisüsteemina järgmisel kujul:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Seejärel peate leidma tuletise:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 a" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punktil x = 0 ei ole tuletist, kuna ühepoolsete piiride väärtused on erinevad. Saame selle:

piir y "x → 0 - 0 = piir y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 limiit " x → 0 + 0 = piir y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Sellest järeldub, et funktsioon on pidev punktis x = 0, siis arvutame

piir y x → 0 - 0 = piir x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 limiit x → 0 + 0 = piir x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 a (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Argumendi väärtuse leidmiseks tuleb teha arvutused, millal tuletis saab võrdne nulliga:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Kõik saadud punktid tuleb märkida sirgjoonele, et määrata iga intervalli märk. Seetõttu on vaja tuletis arvutada iga intervalli suvalistes punktides. Näiteks võime võtta punkte väärtustega x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Me saame sellest aru

y" (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 a" (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 a "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Sirgjoonel olev pilt näeb välja selline

See tähendab, et jõuame järeldusele, et on vaja kasutada ekstreemumi esimest märki. Arvutame ja leiame selle

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , siis siit alates on maksimumpunktide väärtused x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Liigume edasi miinimumide arvutamise juurde:

a m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 a m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 a m i n = a 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Arvutame välja funktsiooni maksimumid. Me saame sellest aru

a m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 a m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Graafiline pilt

Vastus:

a m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 a m i n = y (0) = - 8 a m i n = a 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 a m a x = a - 4 + 2 3 3 = 3 8 m 2 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Kui on antud funktsioon f " (x 0) = 0, siis kui f "" (x 0) > 0, saame, et x 0 on miinimumpunkt, kui f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Näide 3

Leidke funktsiooni y = 8 x x + 1 maksimumid ja miinimumid.

Lahendus

Esiteks leiame määratluspiirkonna. Me saame sellest aru

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

On vaja eristada funktsiooni, mille järel saame

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1)" (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kui x = 1, muutub tuletis nulliks, mis tähendab, et punkt on võimalik ekstreemum. Selguse huvides on vaja leida teine ​​tuletis ja arvutada väärtus x = 1 juures. Saame:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

See tähendab, et kasutades ekstreemumi piisavat tingimust 2, saame, et x = 1 on maksimumpunkt. Vastasel juhul näeb kirje välja selline y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Graafiline pilt

Vastus: y m a x = y (1) = 4 ..

Funktsiooni y = f (x) tuletis on kuni n-ndat järku antud punkti x 0 naabruses ε ja selle tuletis kuni n + 1. järku punktis x 0 . Siis f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0.

Sellest järeldub, et kui n on paarisarv, siis x 0 loetakse käändepunktiks, kui n on paaritu arv, siis x 0 on äärmuspunkt ja f (n + 1) (x 0) > 0, siis x 0 on miinimumpunkt, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Näide 4

Leidke funktsiooni y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 maksimum- ja miinimumpunktid.

Lahendus

Algfunktsioon on ratsionaalne tervikfunktsioon, mis tähendab, et definitsioonipiirkonnaks on kõik reaalarvud. On vaja funktsiooni eristada. Me saame sellest aru

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

See tuletis läheb nulli, kui x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. See tähendab, et punktid võivad olla võimalikud äärmuspunktid. Ekstreemumi jaoks on vaja rakendada kolmas piisav tingimus. Teise tuletise leidmine võimaldab täpselt määrata funktsiooni maksimumi ja miinimumi olemasolu. Teine tuletis arvutatakse selle võimaliku ekstreemumi punktides. Me saame sellest aru

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

See tähendab, et x 2 = 5 7 on maksimumpunkt. 3. piisava kriteeriumi rakendamisel saame, et n = 1 ja f (n + 1) korral 5 7< 0 .

On vaja kindlaks määrata punktide olemus x 1 = - 1, x 3 = 3. Selleks peate leidma kolmanda tuletise ja arvutama nende punktide väärtused. Me saame sellest aru

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

See tähendab, et x 1 = - 1 on funktsiooni käändepunkt, kuna n = 2 ja f (n + 1) korral (- 1) ≠ 0. On vaja uurida punkti x 3 = 3. Selleks leiame 4. tuletise ja teostame siinkohal arvutused:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Ülaltoodu põhjal järeldame, et x 3 = 3 on funktsiooni miinimumpunkt.

Graafiline pilt

Vastus: x 2 = 5 7 on antud funktsiooni maksimumpunkt, x 3 = 3 on antud funktsiooni miinimumpunkt.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Leia funktsiooni y=(7x^2-56x+56)e^x suurim väärtus intervallil [-3; 2].

Lahendus

Leiame algfunktsiooni tuletise korrutise tuletise valemi abil y"=(7x^2-56x+56)"e^x\,+ (7x^2-56x+56)\left(e^x\right)"= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Arvutame tuletise nullid: y"=0;

7x(x-6)e^x=0,

x_1=0, x_2=6.

Järjestame tuletise märgid ja määrame algfunktsiooni monotoonsuse intervallid antud lõigul.

Jooniselt on selgelt näha, et lõigul [-3; 0] algfunktsioon suureneb ja segmendil väheneb. Seega on segmendi suurim väärtus [-3; 2] saavutatakse x=0 ja on võrdne y(0)= 7\cdot 0^2-56\cdot 0+56=56.

Vastus

Seisund

Leia funktsiooni y=12x-12tg x-18 suurim väärtus lõigul \vasakule.

Lahendus

y"= (12x)"-12(tg x)"-(18)"= 12-\frac(12)(\cos ^2x)= \frac(12\cos ^2x-12)(\cos ^2x)\leqslant0. See tähendab, et algfunktsioon ei kasva vaadeldaval intervallil ja võtab suurima väärtuse intervalli vasakus otsas, st x=0 juures. Suurim väärtus on y(0)= 12\cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase" Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu. Kulabukhova.

Seisund

Leia funktsiooni y=(x+8)^2e^(x+52) miinimumpunkt.

Lahendus

Funktsiooni miinimumpunkti leiame tuletise abil. Leiame antud funktsiooni tuletise, kasutades korrutise tuletise, x^\alpha ja e^x tuletise valemeid:

y"(x)= \left((x+8)^2\right)"e^(x+52)+(x+8)^2\left(e^(x+52)\right)"= 2(x+8)e^(x+52)+(x+8)^2e^(x+52)= (x+8)e^(x+52)(2+x+8)= (x+8)(x+10)e^(x+52).

Järjestame tuletise märgid ja määrame algfunktsiooni monotoonsuse intervallid. e^(x+52)>0 mis tahes x jaoks. y"=0 at x=-8, x=-10.

Joonisel on näha, et funktsioonil y=(x+8)^2e^(x+52) on üks miinimumpunkt x=-8.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu Kulabukhova.

Seisund

Leia funktsiooni maksimumpunkt y=8x-\frac23x^\tfrac32-106.

Lahendus

ODZ: x \geqslant 0. Leiame algfunktsiooni tuletise:

y"=8-\frac23\cdot\frac32x^\tfrac12=8-\sqrt x.

Arvutame tuletise nullid:

8-\sqrt x=0;

\sqrt x=8;

x=64.

Järjestame tuletise märgid ja määrame algfunktsiooni monotoonsuse intervallid.

Jooniselt on näha, et punkt x=64 on antud funktsiooni ainus maksimumpunkt.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu Kulabukhova.

Seisund

Otsi väikseim väärtus funktsioonid y=5x^2-12x+2\ln x+37 segmendil \left[\frac35; \frac75\right].

Lahendus

ODZ: x>0.

Leiame algse funktsiooni tuletise:

y"(x)= 10x-12+\frac(2)(x)= \frac(10x^2-12x+2)(x).

Defineerime tuletise nullid: y"(x)=0;

\frac(10x^2-12x+2)(x)=0,

5x^2-6x+1=0,

x_(1,2)= \frac(3\pm\sqrt(3^2-5\cdot1))(5)= \frac(3\pm2)(5),

x_1=\frac15\notin\left[\frac35; \frac75\right],

x_2=1\in\left[\frac35; \frac75\right].

Järjestame tuletise märgid ja määrame vaadeldaval intervallil algfunktsiooni monotoonsuse intervallid.

Jooniselt on selge, et segmendil \left[\frac35; 1\parem] algfunktsioon väheneb ja segmendil \vasakule suureneb. Seega segmendi väikseim väärtus \left[\frac35; \frac75\right] saavutatakse x=1 ja on võrdne y(1)= 5\cdot 1^2-12\cdot 1+2 \ln 1+37= 30.

Vastus

Allikas: “Matemaatika. Ettevalmistus 2017. aasta ühtseks riigieksamiks. Profiili tase." Ed. F. F. Lõssenko, S. Yu Kulabukhova.

Seisund

Leia funktsiooni y=(x+4)^2(x+1)+19 suurim väärtus lõigul [-5; -3].

Lahendus

Leiame algfunktsiooni tuletise korrutise tuletise valemi abil.