Saate määrata erinevaid viise(üks punkt ja vektor, kaks punkti ja vektor, kolm punkti jne). Seda silmas pidades võib tasandi võrrandil olla erinevat tüüpi. Samuti võivad tasapinnad teatud tingimustel olla paralleelsed, risti, ristuvad jne. Me räägime sellest selles artiklis. Õpime, kuidas luua tasandi üldvõrrandit ja palju muud.

Võrrandi normaalvorm

Oletame, et on ruum R 3, millel on ristkülikukujuline XYZ koordinaatsüsteem. Defineerime vektori α, mis vabaneb algpunktist O. Läbi vektori α otsa tõmbame tasapinna P, mis on sellega risti.

Tähistame suvalist punkti P-l Q = (x, y, z). Märgistame punkti Q raadiuse vektori tähega p. Sel juhul on vektori α pikkus võrdne р=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

See on ühikvektor, mis on suunatud küljele, nagu vektor α. α, β ja γ on nurgad, mis moodustuvad vastavalt vektori Ʋ ja ruumitelgede x, y, z positiivsete suundade vahel. Mis tahes punkti QϵП projektsioon vektorile Ʋ on konstantne väärtus, mis võrdub p-ga: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ülaltoodud võrrand on mõttekas, kui p=0. Ainus asi on see, et tasapind P lõikub sel juhul punktiga O (α=0), mis on koordinaatide alguspunkt ja punktist O vabastatud ühikvektor Ʋ on P-ga risti vaatamata oma suunale, mis tähendab, et vektor Ʋ on määratud märgi täpsusega. Eelmine võrrand on meie tasandi P võrrand, mis on väljendatud vektorkujul. Kuid koordinaatides näeb see välja järgmine:

P siin on suurem või võrdne 0-ga. Leidsime ruumilise tasandi võrrandi normaalkujul.

Üldvõrrand

Kui korrutame võrrandi koordinaatides mis tahes arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saame selle võrrandi, mis on samaväärne selle tasandiga. See näeb välja selline:

Siin on A, B, C arvud, mis on samaaegselt erinevad nullist. Seda võrrandit nimetatakse üldtasandi võrrandiks.

Tasapindade võrrandid. Erijuhtumid

Võrrand sisse üldine vaade võib lisatingimustel muuta. Vaatame mõnda neist.

Oletame, et koefitsient A on 0. See tähendab, et see tasapind on paralleelne antud Ox-teljega. Sel juhul muutub võrrandi vorm: Ву+Cz+D=0.

Samamoodi muutub võrrandi vorm järgmistel tingimustel:

• Esiteks, kui B = 0, muutub võrrand väärtuseks Ax + Cz + D = 0, mis näitab paralleelsust Oy teljega.
• Teiseks, kui C=0, siis teisendatakse võrrand väärtuseks Ax+By+D=0, mis näitab paralleelsust antud Oz-teljega.
• Kolmandaks, kui D=0, näeb võrrand välja nagu Ax+By+Cz=0, mis tähendab, et tasapind lõikub punktiga O (algopunkt).
• Neljandaks, kui A=B=0, muutub võrrand väärtuseks Cz+D=0, mis osutub paralleelseks Oxyga.
• Viiendaks, kui B=C=0, siis saab võrrandist Ax+D=0, mis tähendab, et tasapind Oyziga on paralleelne.
• Kuuendaks, kui A=C=0, siis on võrrand kujul Ву+D=0, see tähendab, et ta teatab paralleelsusest Oxzile.

Võrrandi tüüp segmentides

Kui arvud A, B, C, D erinevad nullist, võib võrrandi (0) vorm olla järgmine:

x/a + y/b + z/c = 1,

milles a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Saame tulemuseks Väärib märkimist, et see tasapind lõikub Ox-teljega punktis, mille koordinaadid (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c) ).

Võttes arvesse võrrandit x/a + y/b + z/c = 1, ei ole raske visuaalselt ette kujutada tasapinna asetust antud koordinaatsüsteemi suhtes.

Normaalvektori koordinaadid

Tasapinna P normaalvektoril n on koordinaadid, mis on koefitsiendid üldvõrrand antud tasapinnast, st n (A, B, C).

Tavalise n koordinaatide määramiseks piisab antud tasandi üldvõrrandi teadmisest.

Segmentides võrrandi kasutamisel, mille kuju on x/a + y/b + z/c = 1, samuti üldvõrrandi kasutamisel saab kirjutada antud tasapinna mis tahes normaalvektori koordinaadid: (1 /a + 1/b + 1/ Koos).

Väärib märkimist, et normaalvektor aitab lahendada mitmesuguseid probleeme. Kõige levinumad on ülesanded, mis hõlmavad tasandite risti või paralleelsuse tõestamist, tasandite vaheliste nurkade või tasandite ja sirgete vaheliste nurkade leidmise ülesandeid.

Tasapinna võrrandi tüüp punkti ja normaalvektori koordinaatide järgi

Antud tasapinnaga risti olevat nullist erinevat vektorit n nimetatakse antud tasandi normaalseks.

Oletame, et koordinaatruumis (ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis) on Oxyz antud:

• punkt Mₒ koordinaatidega (xₒ,yₒ,zₒ);
• nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Vaja on luua võrrand tasapinna jaoks, mis läbib punkti Mₒ, mis on risti normaalse n-ga.

Valime suvalise suvalise ruumipunkti ja tähistame seda M (x y, z). Olgu suvalise punkti M (x,y,z) raadiuse vektor r=x*i+y*j+z*k ja punkti Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) raadiuse vektor - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M kuulub antud tasapinnale, kui vektor MₒM on risti vektoriga n. Kirjutame ortogonaalsuse tingimuse skalaarkorrutise abil:

[MₒM, n] = 0.

Kuna MₒM = r-rₒ, näeb tasapinna vektorvõrrand välja järgmine:

Sellel võrrandil võib olla ka teine ​​vorm. Selleks kasutatakse skalaarkorrutise omadusi ja teisendatakse võrrandi vasak pool. = -. Kui tähistada seda c-ga, saame järgmise võrrandi: - c = 0 või = c, mis väljendab projektsioonide püsivust tasapinnale kuuluvate antud punktide raadiusvektorite normaalvektorile.

Nüüd saame oma tasapinna vektorvõrrandi kirjutamise koordinaatkuju = 0. Kuna r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k ja n = A*i+B *j+С*k, meil on:

Selgub, et meil on võrrand tasapinna jaoks, mis läbib normaalse n-ga risti olevat punkti:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tasapinna võrrandi tüüp kahe punkti koordinaatide ja tasapinnaga kollineaarse vektori järgi

Määratleme kaks suvalist punkti M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) ning vektor a (a′,a″,a‴).

Nüüd saame luua võrrandi antud tasapinna jaoks, mis läbib paralleelselt olemasolevaid punkte M′ ja M″, samuti mis tahes punkti M koordinaatidega (x,y,z) paralleelselt antud vektor A.

Sel juhul peavad vektorid M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') olema vektoriga samatasandilised a=(a′,a″,a‴), mis tähendab, et (M′M, M″M, a)=0.

Niisiis, meie tasapinna võrrand ruumis näeb välja selline:

Kolme punktiga lõikuva tasandi võrrandi tüüp

Oletame, et meil on kolm punkti: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), mis ei kuulu samale reale. On vaja kirjutada etteantud kolme punkti läbiva tasandi võrrand. Geomeetria teooria väidab, et selline tasapind on tõesti olemas, kuid see on ainus ja ainulaadne. Kuna see tasapind lõikub punktiga (x',y',z'), on selle võrrandi vorm järgmine:

Siin erinevad A, B, C samal ajal nullist. Samuti lõikub antud tasand veel kahte punkti: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Sellega seoses peavad olema täidetud järgmised tingimused:

Nüüd saame koostada homogeenne süsteem tundmatu u, v, w:

Meie juhtum x,y või z toimib suvalise punktina, mis rahuldab võrrandit (1). Arvestades võrrandit (1) ja võrrandisüsteemi (2) ja (3), on ülaltoodud joonisel näidatud võrrandisüsteem täidetud vektoriga N (A,B,C), mis on mittetriviaalne. Sellepärast on selle süsteemi determinant võrdne nulliga.

Saadud võrrand (1) on tasandi võrrand. See läbib täpselt 3 punkti ja seda on lihtne kontrollida. Selleks peame laiendama oma determinandi esimese rea elementideks. Determinandi olemasolevatest omadustest järeldub, et meie tasapind lõikub korraga kolme algselt etteantud punktiga (x',y',z'), (x',y',z'), (x',y',z') . See tähendab, et oleme lahendanud meile pandud ülesande.

Tasapindadevaheline kahetahuline nurk

Kahepoolne nurk tähistab ruumilist nurka geomeetriline kujund, mille moodustavad kaks pooltasapinda, mis väljuvad ühest sirgest. Teisisõnu, see on osa ruumist, mida need pooltasandid piiravad.

Oletame, et meil on kaks tasandit järgmiste võrranditega:

Teame, et vektorid N=(A,B,C) ja N¹=(A¹,B1,C¹) on antud tasanditega risti. Sellega seoses on vektorite N ja N¹ vaheline nurk φ võrdne nurgaga (kahekujuline), mis asub nende tasandite vahel. Skalaarkorrutis on kujul:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

just sellepärast

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Piisab, kui arvestada, et 0≤φ≤π.

Tegelikult moodustavad kaks ristuvat tasapinda kaks nurka (kahekujuline): φ 1 ja φ 2. Nende summa võrdub π-ga (φ 1 + φ 2 = π). Mis puutub nende koosinustesse, siis nende absoluutväärtused on võrdsed, kuid need erinevad märgi poolest, st cos φ 1 = -cos φ 2. Kui võrrandis (0) asendame A, B ja C vastavalt numbritega -A, -B ja -C, siis saadud võrrand määrab sama tasandi, ainsa, nurga φ in cos võrrandφ=NN 1 /|N||N 1 | asendatakse π-φ-ga.

Perpendikulaarse tasandi võrrand

Tasapindu, mille vaheline nurk on 90 kraadi, nimetatakse risti. Kasutades ülaltoodud materjali, leiame teisega risti oleva tasandi võrrandi. Oletame, et meil on kaks tasapinda: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Võime öelda, et need on risti, kui cosφ=0. See tähendab, et NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Paralleeltasandi võrrand

Kaht tasapinda, mis ei sisalda ühiseid punkte, nimetatakse paralleelseks.

Tingimus (nende võrrandid on samad, mis eelmises lõigus) on see, et vektorid N ja N¹, mis on nendega risti, on kollineaarsed. See tähendab, et järgmised proportsionaalsuse tingimused on täidetud:

A/A1=B/B1=C/C1.

Kui proportsionaalsuse tingimusi laiendatakse - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

see näitab, et need tasapinnad langevad kokku. See tähendab, et võrrandid Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kirjeldavad ühte tasapinda.

Kaugus lennukist punktist

Oletame, et meil on tasapind P, mis on antud võrrandiga (0). Vaja on leida kaugus selleni punktist, mille koordinaadid (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Selleks peate viima tasandi P võrrandi normaalkujule:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN sel juhulρ (x,y,z) on meie punktil P paikneva punkti Q raadiuse vektor, p on nullpunktist vabastatud risti P pikkus, v on ühikvektor, mis asub suunas a.

Mõne P-le kuuluva punkti Q = (x, y, z) erinevuse ρ-ρº raadiuse vektor, samuti antud punkti raadiuse vektor Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) on selline vektor, mille projektsiooni absoluutväärtus punktile v võrdub kaugusega d, mis tuleb leida Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) kuni P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, kuid

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Nii selgub

d=|(ρ 0,v)-р|.

Seega leiame saadud avaldise absoluutväärtuse ehk soovitud d.

Kasutades parameetrite keelt, saame ilmse:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Kui antud punkt Q 0 asub teisel pool tasandit P, nagu koordinaatide alguspunkt, siis vektori ρ-ρ 0 ja v vahel on seega:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-р>0.

Juhul, kui punkt Q 0 koos koordinaatide alguspunktiga asub P samal küljel, on loodud nurk terav, see tähendab:

d=(ρ-ρ 0,v)=р - (ρ 0, v)>0.

Selle tulemusena selgub, et esimesel juhul (ρ 0 ,v)>р, teisel juhul (ρ 0 ,v)<р.

Puutujatasand ja selle võrrand

Pinna puutujatasand kokkupuutepunktis Mº on tasapind, mis sisaldab kõiki võimalikke puutujaid läbi selle pinnapunkti tõmmatud kõverate.

Seda tüüpi pinnavõrrandi F(x,y,z)=0 korral näeb puutujatasandi võrrand puutujapunktis Mº(xº,yº,zº) välja järgmine:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Kui määrate pinna selgesõnalisel kujul z=f (x,y), kirjeldatakse puutujatasandit võrrandiga:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Kahe tasapinna ristumiskoht

Koordinaatsüsteemis (ristkülikukujuline) paikneb Oxyz, antud on kaks tasandit П′ ja П″, mis lõikuvad ja ei lange kokku. Kuna iga ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis paiknev tasapind määratakse üldvõrrandiga, eeldame, et P' ja P' on antud võrranditega A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Sel juhul on tasandi P′ normaal n′ (A′,B′,C′) ja tasapinna P″ normaalne n″ (A″,B″,C″). Kuna meie tasandid ei ole paralleelsed ega lange kokku, pole need vektorid kollineaarsed. Matemaatika keelt kasutades saame selle tingimuse kirjutada järgmiselt: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Olgu sirgjoon, mis asub P′ ja P″ ristumiskohas, tähistatud tähega a, antud juhul a = P′ ∩ P″.

a on sirgjoon, mis koosneb (ühiste) tasandite P′ ja P″ kõigi punktide hulgast. See tähendab, et mis tahes joonele a kuuluva punkti koordinaadid peavad üheaegselt vastama võrranditele A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x+B'y+C'z+D'=0 . See tähendab, et punkti koordinaadid on järgmise võrrandisüsteemi osaline lahendus:

Selle tulemusel selgub, et selle võrrandisüsteemi (üldine) lahendus määrab iga joone punkti koordinaadid, mis toimivad P' ja P' lõikepunktina, ja määrab sirge. a Oxyz (ristkülikukujulises) koordinaatsüsteemis ruumis.

Selleks, et üks tasapind oleks tõmmatud läbi mis tahes kolme ruumipunkti, on vajalik, et need punktid ei asuks samal sirgel.

Vaatleme punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) üldises Descartes'i koordinaatsüsteemis.

Selleks, et suvaline punkt M(x, y, z) asuks punktidega M 1, M 2, M 3 samal tasapinnal, on vajalik, et vektorid oleksid tasapinnalised.

(
) = 0

Seega

Kolme punkti läbiva tasapinna võrrand:

Tasapinna võrrand, mis on antud kahe punkti ja tasandiga kollineaarse vektori kohta.

Olgu punktid M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) ja vektor antud
.

Koostame võrrandi antud punkte M 1 ja M 2 läbivale tasapinnale ning vektoriga paralleelsele suvalisele punktile M (x, y, z) .

Vektorid
ja vektor
peab olema koplanaarne, st.

(
) = 0

Tasapinnaline võrrand:

Tasapinna võrrand, kasutades ühte punkti ja kahte vektorit,

lennukiga kollineaarne.

Olgu antud kaks vektorit
Ja
, kollineaarsed lennukid. Siis tasapinnale kuuluva suvalise punkti M(x, y, z) jaoks vektorid
peab olema tasapinnaline.

Tasapinnaline võrrand:

Tasapinna võrrand punkti ja normaalvektori järgi .

Teoreem. Kui ruumis on antud punkt M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), siis punkti M läbiva tasandi võrrand 0 normaalvektoriga risti (A, B, C) on kujul:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Tõestus. Tasapinnale kuuluva suvalise punkti M(x, y, z) jaoks koostame vektori. Sest vektor on normaalvektor, siis on see tasapinnaga risti ja seega risti vektoriga
. Siis skalaarkorrutis

= 0

Seega saame tasandi võrrandi

Teoreem on tõestatud.

Tasapinna võrrand segmentides.

Kui üldvõrrandis Ax + Bi + Cz + D = 0, jagame mõlemad pooled (-D)

,

asendamine
, saame tasandi võrrandi segmentides:

Arvud a, b, c on tasapinna lõikepunktid vastavalt telgedega x, y, z.

Tasapinna võrrand vektorkujul.

Kus

- praeguse punkti raadiuse vektor M(x, y, z),

Ühikvektor, mille suund on algpunktist tasapinnale langetatud risti.

,  ja  on nurgad, mille see vektor moodustab telgedega x, y, z.

p on selle risti pikkus.

Koordinaatides näeb see võrrand välja järgmine:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Kaugus punktist tasapinnani.

Kaugus suvalisest punktist M 0 (x 0, y 0, z 0) tasapinnani Ax+By+Cz+D=0 on:

Näide. Leidke tasandi võrrand, teades, et punkt P(4; -3; 12) on selle tasandi lähtepunktist langenud ristsi alus.

Seega A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, kasutame valemit:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Näide. Leidke kahte punkti P(2; 0; -1) läbiva tasandi võrrand ja

Q(1; -1; 3) risti tasapinnaga 3x + 2y – z + 5 = 0.

Tasapinna 3x + 2y – z + 5 = 0 normaalvektor
paralleelselt soovitud tasapinnaga.

Saame:

Näide. Leidke punkte A(2, -1, 4) läbiva tasandi võrrand ja

B(3, 2, -1) tasandiga risti X + juures + 2z – 3 = 0.

Tasapinna nõutav võrrand on kujul: A x+B y+C z+ D = 0, selle tasapinna normaalvektor (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) kuulub tasapinnale. Meile antud tasapinnal, mis on risti soovitud tasapinnaga, on normaalvektor (1, 1, 2). Sest punktid A ja B kuuluvad mõlemale tasapinnale ning tasandid on siis üksteisega risti

Nii et normaalvektor (11, -7, -2). Sest punkt A kuulub soovitud tasapinnale, siis peavad selle koordinaadid rahuldama selle tasandi võrrandit, s.t. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Kokku saame tasapinna võrrandi: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Näide. Leidke tasapinna võrrand, teades, et punkt P(4, -3, 12) on selle tasandi algpunktist langenud ristsi alus.

Normaalvektori koordinaatide leidmine
= (4, -3, 12). Tasapinna nõutav võrrand on kujul: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Koefitsiendi D leidmiseks asendame võrrandis punkti P koordinaadid:

16 + 9 + 144 + D = 0

Kokku saame vajaliku võrrandi: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Näide. Antud on püramiidi tippude koordinaadid A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Leidke serva A 1 A 2 pikkus.

Leidke servade A 1 A 2 ja A 1 A 4 vaheline nurk.

Leidke nurk serva A 1 A 4 ja näo A 1 A 2 A 3 vahel.

Kõigepealt leiame näo A 1 A 2 A 3 normaalvektori vektorite ristkorrutisena
Ja
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Leiame normaalvektori ja vektori vahelise nurga
.

-4 – 4 = -8.

Soovitud nurk  vektori ja tasandi vahel on  = 90 0 - .

Leidke näo pindala A 1 A 2 A 3.

Leidke püramiidi ruumala.

Leidke tasandi võrrand A 1 A 2 A 3.

Kasutame kolme punkti läbiva tasandi võrrandi valemit.

2x + 2a + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kui kasutate arvutiversiooni " Kõrgem matemaatika kursus” saate käivitada programmi, mis lahendab ülaltoodud näite püramiidi tippude mis tahes koordinaatide jaoks.

Programmi käivitamiseks topeltklõpsake ikoonil:

Avanevas programmiaknas sisesta püramiidi tippude koordinaadid ja vajuta Enter. Nii saab kõik otsustuspunktid ükshaaval hankida.

Märkus. Programmi käivitamiseks peab teie arvutisse olema installitud Maple'i programm ( Waterloo Maple Inc.) mis tahes versioonist alates MapleV Release 4-st.

Tasapinna võrrand. Kuidas kirjutada tasapinna võrrandit?
Lennukite vastastikune paigutus. Ülesanded

Ruumigeomeetria pole palju keerulisem kui “tasane” geomeetria ja meie lennud kosmoses algavad sellest artiklist. Teema valdamiseks peate sellest hästi aru saama vektorid, lisaks on soovitatav olla kursis tasapinna geomeetriaga - seal on palju sarnasusi, palju analooge, nii et teave seeditakse palju paremini. Minu õppetundide seerias avaneb 2D-maailm artikliga Tasapinna sirgjoone võrrand. Kuid nüüd on Batman lameekraanilt lahkunud ja stardib Baikonuri kosmodroomilt.

Alustame jooniste ja sümbolitega. Skemaatiliselt saab tasapinna joonistada rööpküliku kujul, mis loob ruumi mulje:

Tasapind on lõpmatu, kuid meil on võimalus kujutada sellest vaid tükki. Praktikas joonistatakse lisaks rööpkülikule ka ovaal või isegi pilv. Tehnilistel põhjustel on minu jaoks mugavam kujutada lennukit täpselt nii ja täpselt sellises asendis. Päris tasapinnad, mida me praktilistes näidetes käsitleme, võivad asuda mis tahes viisil - võtke joonistus vaimselt käes ja pöörake seda ruumis, andes tasapinnale igasuguse kalde, mis tahes nurga.

Nimetused: lennukid on tavaliselt tähistatud väikeste kreeka tähtedega, ilmselt selleks, et neid mitte segamini ajada sirgjoon tasapinnal või koos sirgjoon ruumis. Olen harjunud kirja kasutama . Joonisel on see täht “sigma”, mitte auk. Kuigi auklik lennuk on kindlasti üsna naljakas.

Mõnel juhul on tasandite tähistamiseks mugav kasutada samu kreeka tähti madalamate alaindeksitega, näiteks .

On ilmne, et tasapind on üheselt määratletud kolme erineva punktiga, mis ei asu samal sirgel. Seetõttu on lennukite kolmetähelised tähistused üsna populaarsed - näiteks nende juurde kuuluvate punktide järgi jne. Sageli on tähed sulgudes: , et mitte ajada tasapinda segamini mõne teise geomeetrilise kujundiga.

Kogenud lugejatele annan kiire juurdepääsu menüü:

• Kuidas luua punkti ja kahe vektori abil tasapinna võrrandit?
• Kuidas luua punkti ja normaalvektori abil tasapinna võrrandit?

ja me ei jää pikale ootamisele:

Üldtasandi võrrand

Tasapinna üldvõrrand on kujul , kus koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.

Mitmed teoreetilised arvutused ja praktilised ülesanded kehtivad nii tavalise ortonormaalse kui ka ruumi afiinse aluse kohta (kui õli on õli, naaske õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektorite alused). Lihtsuse huvides eeldame, et kõik sündmused toimuvad ortonormaalses aluses ja Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Nüüd harjutame veidi oma ruumilist kujutlusvõimet. Pole hullu, kui teie oma on halb, nüüd arendame seda veidi. Isegi närvidel mängimine nõuab treenimist.

Kõige üldisemal juhul, kui arvud ei ole nulliga võrdsed, lõikub tasapind kõik kolm koordinaattelge. Näiteks nii:

Kordan veel kord, et lennuk jätkub lõputult igas suunas ja meil on võimalus kujutada ainult osa sellest.

Vaatleme tasandite lihtsamaid võrrandeid:

Kuidas seda võrrandit mõista? Mõelge sellele: "X" ja "Y" väärtuste korral on "Z" ALATI võrdne nulliga. See on "natiivse" koordinaattasandi võrrand. Tõepoolest, formaalselt saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: , kust on selgelt näha, et meid ei huvita, millised väärtused “x” ja “y” võtavad, on oluline, et “z” oleks võrdne nulliga.

Samamoodi:
– koordinaattasandi võrrand;
– koordinaattasandi võrrand.

Teeme probleemi veidi keerulisemaks, vaatleme tasapinda (siin ja edasises lõigus eeldame, et arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga). Kirjutame võrrandi ümber kujul: . Kuidas sellest aru saada? “X” on ALATI “Y” ja “Z” väärtuste puhul võrdne teatud arvuga. See tasand on paralleelne koordinaattasandiga. Näiteks tasapind on tasapinnaga paralleelne ja läbib punkti.

Samamoodi:
– koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand;
– koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand.

Lisame liikmeid: . Võrrandi saab ümber kirjutada järgmiselt: st “zet” võib olla ükskõik milline. Mida see tähendab? “X” ja “Y” on ühendatud seosega, mis tõmbab tasapinnale teatud sirge (saate teada tasapinna sirge võrrand?). Kuna “z” võib olla ükskõik milline, korratakse seda sirgjoont igal kõrgusel. Seega defineerib võrrand koordinaatteljega paralleelse tasandi

Samamoodi:
– koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand;
– koordinaatteljega paralleelse tasapinna võrrand.

Kui vabad liikmed on nullid, siis tasandid läbivad otse vastavaid telgi. Näiteks klassikaline "otsene proportsionaalsus": . Joonistage tasapinnal sirgjoon ja korrutage see vaimselt üles ja alla (kuna "Z" on suvaline). Järeldus: võrrandiga määratletud tasapind läbib koordinaattelge.

Lõpetame ülevaate: tasapinna võrrand läbib päritolu. Noh, siin on üsna ilmne, et punkt rahuldab seda võrrandit.

Ja lõpetuseks joonisel näidatud juhtum: – tasapind on sõbralik kõigi koordinaattelgedega, samas “lõikab” alati ära kolmnurga, mis võib asuda ükskõik millises kaheksast oktandist.

Lineaarsed ebavõrdsused ruumis

Teabe mõistmiseks peate hästi õppima tasapinna lineaarsed ebavõrdsused, sest paljud asjad on sarnased. Lõik on lühiülevaateline ja sisaldab mitmeid näiteid, kuna materjal on praktikas üsna haruldane.

Kui võrrand määratleb tasandi, siis võrratused
küsi pooltühikud. Kui ebavõrdsus ei ole range (nimekirjas kaks viimast), siis sisaldab võrratuse lahend lisaks poolruumile ka tasapinda ennast.

Näide 5

Leidke tasapinna ühiknormaalvektor .

Lahendus: Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks. Tähistame seda vektorit . On täiesti selge, et vektorid on kollineaarsed:

Esiteks eemaldame tasapinna võrrandist normaalvektori: .

Kuidas leida ühikvektorit? Ühikvektori leidmiseks on vaja iga jaga vektori koordinaat vektori pikkusega.

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Kontrollimine: mida oli vaja kontrollida.

Lugejad, kes õppetunni viimast lõiku hoolikalt uurisid, märkasid seda ilmselt ühikvektori koordinaadid on täpselt vektori suunakoosinused:

Teeme käsil olevast probleemist pausi: kui teile antakse suvaline nullist erinev vektor, ja vastavalt tingimusele on vaja leida selle suunakoosinused (vt tunni viimaseid ülesandeid Vektorite punktkorrutis), siis leiad tegelikult sellele ühikuvektorile kollineaarse vektori. Tegelikult kaks ülesannet ühes pudelis.

Ühikulise normaalvektori leidmise vajadus kerkib esile mõne matemaatilise analüüsi probleemi puhul.

Oleme välja mõelnud, kuidas tavalist vektorit välja püüda, vastame nüüd vastupidisele küsimusele:

Kuidas luua punkti ja normaalvektori abil tasapinna võrrandit?

See normaalvektori ja punkti jäik konstruktsioon on noolelauale hästi teada. Sirutage käsi ette ja valige mõtteliselt ruumis suvaline punkt, näiteks väike kass puhvetkapis. Ilmselgelt saate selle punkti kaudu joonistada ühe tasapinna, mis on teie käega risti.

Vektoriga risti läbiva tasandi võrrandit väljendatakse järgmise valemiga:

Oletame, et peame leidma võrrandi tasapinnast, mis läbib kolme antud punkti, mis ei asu samal sirgel. Tähistades nende raadiuse vektoreid tähega ja praegust raadiuse vektorit tähega , saame hõlpsasti vajaliku võrrandi vektori kujul. Tegelikult peavad vektorid olema koplanaarsed (need kõik asuvad soovitud tasapinnal). Seetõttu peab nende vektorite vektor-skalaarkorrutis olema võrdne nulliga:

See on kolme antud punkti läbiva tasapinna võrrand vektorkujul.

Liikudes edasi koordinaatide juurde, saame võrrandi koordinaatides:

Kui kolm antud punkti asetseksid samal sirgel, oleksid vektorid kollineaarsed. Seetõttu oleksid võrrandi (18) determinandi kahe viimase rea vastavad elemendid võrdelised ja determinant oleks identselt võrdne nulliga. Järelikult muutuks võrrand (18) identseks kõigi x, y ja z väärtuste korral. Geomeetriliselt tähendab see, et iga ruumipunkti läbib tasapind, millel asuvad kolm antud punkti.

Märkus 1. Sama ülesande saab lahendada vektoreid kasutamata.

Tähistades vastavalt kolme antud punkti koordinaate, kirjutame iga esimest punkti läbiva tasapinna võrrandi:

Soovitud tasandi võrrandi saamiseks on vaja nõuda, et võrrand (17) oleks täidetud kahe teise punkti koordinaatidega:

Võrranditest (19) on vaja määrata kahe koefitsiendi suhe kolmandasse ja sisestada leitud väärtused võrrandisse (17).

Näide 1. Kirjutage punkte läbiva tasandi võrrand.

Nendest esimestest punktidest läbiva tasapinna võrrand on järgmine:

Tasapinna (17) kahe teise punkti ja esimese punkti läbimise tingimused on järgmised:

Lisades teise võrrandi esimesele, leiame:

Asendades teise võrrandi, saame:

Asendades võrrandiks (17) vastavalt A, B, C asemel 1, 5, -4 (nendega võrdelised arvud), saame:

Näide 2. Kirjutage võrrand tasapinnale, mis läbib punkte (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Iga punkti (0, 0, 0) läbiva tasapinna võrrand on]

Selle tasapinna punktide (1, 1, 1) ja (2, 2, 2) läbimise tingimused on järgmised:

Vähendades teist võrrandit 2 võrra, näeme, et kahe tundmatu määramiseks on olemas üks võrrand

Siit saame . Asendades nüüd võrrandis tasapinna väärtuse, leiame:

See on soovitud tasandi võrrand; see oleneb meelevaldsest

suurused B, C (nimelt seosest, st kolme antud punkti läbivaid tasapindu on lõpmatu arv (kolm antud punkti asuvad samal sirgel).

Märkus 2. Tasapinna joonistamise ülesannet läbi kolme etteantud punkti, mis ei asu samal sirgel, on lihtne lahendada üldkujul, kui kasutada determinante. Tõepoolest, kuna võrrandites (17) ja (19) ei saa koefitsiendid A, B, C olla samaaegselt võrdsed nulliga, siis, pidades neid võrrandeid homogeenseks süsteemiks kolme tundmatuga A, B, C, kirjutame vajaliku ja piisava. tingimus selle süsteemi nullist erineva lahenduse olemasoluks (1. osa VI peatükk, § 6):

Laiendades selle determinandi esimese rea elementideks, saame hetkekoordinaatide suhtes esimese astme võrrandi, mida rahuldavad eelkõige antud kolme punkti koordinaadid.

Viimast saate kontrollida ka otse, asendades mistahes punkti koordinaadid. Vasakul pool saame determinandi, milles kas esimese rea elemendid on nullid või on kaks identset rida. Seega kujutab konstrueeritud võrrand tasapinda, mis läbib kolme antud punkti.

Selles õppetükis vaatleme, kuidas determinanti kasutada loomisel tasapinnaline võrrand. Kui te ei tea, mis on determinant, minge tunni esimese osa juurde - "Maatriksid ja determinandid". Vastasel juhul on oht, et te ei saa tänasest materjalist millestki aru.

Tasapinna võrrand kolme punkti abil

Miks meil on üldse vaja tasapindvõrrandit? See on lihtne: seda teades saame probleemis C2 hõlpsasti välja arvutada nurgad, kaugused ja muu jama. Üldiselt ei saa te ilma selle võrrandita hakkama. Seetõttu sõnastame probleemi:

Ülesanne. Ruumis on antud kolm punkti, mis ei asu samal sirgel. Nende koordinaadid:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Peate looma võrrandi neid kolme punkti läbiva tasapinna jaoks. Lisaks peaks võrrand välja nägema järgmine:

Ax + By + Cz + D = 0

kus arvud A, B, C ja D on koefitsiendid, mis tegelikult tuleb leida.

No kuidas saada tasapinna võrrandit, kui on teada ainult punktide koordinaadid? Lihtsaim viis on asendada koordinaadid võrrandiga Ax + By + Cz + D = 0. Saad kolme võrrandi süsteemi, mida saab lihtsalt lahendada.

Paljud õpilased peavad seda lahendust äärmiselt tüütuks ja ebausaldusväärseks. Eelmise aasta matemaatika ühtne riigieksam näitas, et arvutusvea tegemise tõenäosus on tõesti suur.

Seetõttu hakkasid kõige arenenumad õpetajad otsima lihtsamaid ja elegantsemaid lahendusi. Ja nad leidsid selle! Tõsi, saadud tehnika on pigem seotud kõrgema matemaatikaga. Mina isiklikult pidin läbi uurima kogu föderaalse õpikute nimekirja, et veenduda, et meil on õigus seda tehnikat kasutada ilma igasuguse põhjenduseta ja tõenditeta.

Tasapinna võrrand läbi determinandi

Aitab laulusõnadest, asume asja kallale. Alustuseks teoreem selle kohta, kuidas maatriksi determinant ja tasandi võrrand on omavahel seotud.

Teoreem. Olgu antud kolme punkti koordinaadid, mille kaudu tasapind tuleb tõmmata: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Seejärel saab selle tasandi võrrandi kirjutada determinandi kaudu:

Näitena proovime leida tasandite paari, mis tegelikult esinevad ülesannetes C2. Vaadake, kui kiiresti kõik arvutatakse:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Koostame determinandi ja võrdsustame selle nulliga:

Laiendame determinanti:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

Nagu näha, siis arvu d arvutamisel “kammisin” võrrandit veidi, et muutujad x, y ja z oleksid õiges järjekorras. See on kõik! Tasapinna võrrand on valmis!

Ülesanne. Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Asendame punktide koordinaadid kohe determinandiks:

Laiendame determinanti uuesti:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Niisiis, tasandi võrrand on jällegi saadud! Jällegi, viimases etapis pidime selles olevaid märke muutma, et saada “ilusam” valem. Selle lahenduse puhul pole seda üldse vaja teha, kuid siiski on soovitatav - ülesande edasise lahendamise lihtsustamiseks.

Nagu näete, on tasapinna võrrandi koostamine nüüd palju lihtsam. Asendame punktid maatriksisse, arvutame determinandi - ja ongi kõik, võrrand on valmis.

Sellega võib õppetund lõppeda. Paljud õpilased aga unustavad pidevalt, mis determinandi sees on. Näiteks milline rida sisaldab x 2 või x 3 ja milline rida ainult x. Selle tõeliseks kõrvaldamiseks vaatame, kust iga number pärineb.

Kust pärineb determinandiga valem?

Niisiis, mõelgem välja, kust selline determinandiga karm võrrand pärineb. See aitab teil seda meeles pidada ja edukalt rakendada.

Kõik ülesandes C2 esinevad tasapinnad on määratletud kolme punktiga. Need punktid on alati joonisele märgitud või isegi otse ülesande tekstis märgitud. Igal juhul peame võrrandi loomiseks üles kirjutama nende koordinaadid:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Vaatleme veel ühte punkti meie tasapinnal suvaliste koordinaatidega:

T = (x, y, z)

Võtke suvaline punkt kolmest esimesest (näiteks punkt M) ja tõmmake sellest vektorid igasse kolme ülejäänud punkti. Saame kolm vektorit:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Nüüd koostame nendest vektoritest ruutmaatriksi ja võrdsustame selle determinandi nulliga. Vektorite koordinaadid muutuvad maatriksi ridadeks - ja me saame just selle determinandi, mis on teoreemis näidatud:

See valem tähendab, et vektoritele MN, MK ja MT ehitatud rööptahuka ruumala on võrdne nulliga. Seetõttu asuvad kõik kolm vektorit samal tasapinnal. Eelkõige on suvaline punkt T = (x, y, z) täpselt see, mida me otsisime.

Determinandi punktide ja sirgete asendamine

Determinantidel on mitmeid suurepäraseid omadusi, mis muudavad selle veelgi lihtsamaks probleemi C2 lahendus. Näiteks pole meie jaoks oluline, millisest punktist me vektoreid joonistame. Seetõttu annavad järgmised determinandid ülaltoodud tasandi võrrandi:

Saate ka determinandi ridu vahetada. Võrrand jääb muutumatuks. Näiteks meeldib paljudele kirjutada joont punkti T = (x; y; z) koordinaatidega üleval. Palun, kui see teile sobib:

Mõnele tekitab segadust asjaolu, et ühel real on muutujad x, y ja z, mis punktide asendamisel ei kao. Kuid nad ei tohiks kaduda! Asendades numbrid determinandiks, peaksite saama järgmise konstruktsiooni:

Seejärel laiendatakse determinanti vastavalt tunni alguses antud diagrammile ja saadakse tasapinna standardvõrrand:

Ax + By + Cz + D = 0

Vaadake näidet. See on tänase õppetunni viimane. Vahetan meelega ridu, et olla kindel, et vastus annab tasapinna sama võrrandi.

Ülesanne. Kirjutage punkte läbiva tasapinna võrrand:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Niisiis, kaalume 4 punkti:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Esiteks loome standardse determinandi ja võrdsustame selle nulliga:

Laiendame determinanti:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

See on kõik, saime vastuse: x + y + z − 2 = 0.

Korraldame nüüd determinandis paar rida ümber ja vaatame, mis juhtub. Näiteks kirjutame rea muutujatega x, y, z mitte alla, vaid ülaossa:

Laiendame saadud determinanti uuesti:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Saime täpselt sama tasapinnalise võrrandi: x + y + z − 2 = 0. See tähendab, et see tõesti ei sõltu ridade järjekorrast. Jääb üle vaid vastus kirja panna.

Seega oleme veendunud, et tasandi võrrand ei sõltu joonte jadast. Saame teha sarnaseid arvutusi ja tõestada, et tasandi võrrand ei sõltu punktist, mille koordinaadid me teistest punktidest lahutame.

Eespool vaadeldud ülesandes kasutasime punkti B 1 = (1, 0, 1), kuid täiesti võimalik oli võtta C = (1, 1, 0) või D 1 = (0, 1, 1). Üldjuhul suvaline teadaolevate koordinaatidega punkt, mis asub soovitud tasapinnal.