Logaritm x aluse 2 suhtes on suurem kui 1. Mis on logaritm

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Tere tulemast veebipõhisesse logaritmikalkulaatorisse.

Milleks seda kalkulaatorit kasutatakse? Noh, kõigepealt selleks, et kontrollida oma kirjalikke või mõttelisi arvutusi. Logaritmidega (vene koolides) võib kokku puutuda juba 10. klassis. Ja seda teemat peetakse üsna keeruliseks. Logaritmide lahendamine, eriti suurte või murdarvude puhul, ei ole lihtne. Parem on mängida ohutult ja kasutada kalkulaatorit. Täitmisel olge ettevaatlik, et mitte ajada alust numbriga segamini. Logaritmikalkulaator sarnaneb mõneti faktorikalkulaatoriga, mis toodab automaatselt mitu lahendust.
Selles kalkulaatoris peate täitma ainult kaks välja. Väli numbri jaoks ja väli aluse jaoks. Noh, proovime kalkulaatorit praktikas rakendada. Näiteks peate leidma logaritmi 2 8 (logaritm 8-st aluse 2-ni või logaritm 2-ni 8-st, ärge kartke erinevatest hääldustest). Seega sisestage väljale „sisesta alus” 2 ja väljale „sisesta number” 8. Seejärel vajutage "leia logaritm" või sisestage. Järgmisena arvutab logaritmikalkulaator antud avaldise logaritmi ja kuvab teie ekraanidel järgmise tulemuse.

Logaritmi (reaalne) kalkulaator – see kalkulaator leiab veebist logaritmi kasutades etteantud baasi.
Kümnendlogaritmi kalkulaator on kalkulaator, mis otsib võrgust 10 kümnendkoha logaritmi.
Loodusliku logaritmi kalkulaator – see kalkulaator otsib võrgust logaritmi baasil e.
Binaarlogaritmi kalkulaator on kalkulaator, mis leiab võrgust 2 põhilogaritmi.

Reaalse logaritmi kontseptsioon: logaritmi definitsioone on palju erinevaid. Esiteks oleks tore teada, et logaritm on omamoodi algebraline tähistus, mida tähistatakse kui log a b, kus a on alus ja b on arv. Ja see kirje kõlab järgmiselt: Logaritm baasi a kohta b. Mõnikord kasutatakse tähistuslogi b.
Alus, see tähendab "a" on alati allosas. Kuna see tõstetakse alati võimule.
Ja nüüd, tegelikult logaritmi enda definitsioon:
Positiivse arvu b logaritm baasiks a (kus a>0, a≠1) on aste, milleni tuleb arvu a arvu b saamiseks tõsta. Muide, mitte ainult alus peab olema positiivses vormis. Ka arv (argument) peab olema positiivne. Vastasel juhul käivitab logaritmikalkulaator ebameeldiva häire. Logaritm on etteantud baasil põhineva logaritmi leidmise operatsioon. See tehe on astenduse pöördväärtus vastava baasiga. Võrdlema:

Ja logaritmi pöördtehte on potentseerimine.
Lisaks reaalsele logaritmile, mille aluseks võib olla mis tahes arv (peale negatiivsed arvud, null ja üks), on olemas konstantse baasiga logaritmid. Näiteks kümnendlogaritm.
Arvu kümnendlogaritm on logaritm 10-ni, mis on kirjutatud kui lg6 või lg14. Paistab olevat õigekirjaviga või isegi õigekirjaviga ladina täht"O".
Naturaallogaritm on logaritm, mille alus on võrdne arvuga e, näiteks ln7, ln9, e≈2,7. Samuti on binaarlogaritm, mis ei ole matemaatikas nii oluline kui infoteoorias ja informaatikas. Alus kahendlogaritm on 2. Näiteks: log 2 10.
Kümnend- ja naturaallogaritmidel on samad omadused kui mis tahes positiivse alusega arvude logaritmidel.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne astmega, milleni \(2\) tuleb \(8\) saamiseks tõsta. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Argument ja logaritmi alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse logaritmi märgile lähemal asuvas alaindeksis. Ja see sissekanne kõlab järgmiselt: "logaritm kahekümne viiest põhiviieni."

Kuidas arvutada logaritmi?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: millisele astmele tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Milline jõud teeb ükskõik millisest esikoha? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esiteks on suvaline arv esimese astmeni võrdne iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdosa võimsus, mis tähendab Ruutjuur on \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lahendus :

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi, \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\). Millega x võrdub? See on asja mõte.

Targemad ütlevad: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas seda numbrit täpselt kirjutada? Sellele küsimusele vastamiseks leiutati logaritm. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), meeldib iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui me tahtsime seda vormis kirjutada kümnend, siis näeks see välja selline: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Lahendus :

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega koos olevate logaritmide jaoks leiutati spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "põhilogaritmiliseks identiteediks" ja see näeb välja järgmine:

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame täpselt, kuidas see valem tekkis.

Tuletagem meelde logaritmi määratluse lühikest tähistust:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) kirjutada \(\log_(a)(c)\) asemel \(b\). Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Saate leida muid logaritmide omadusi. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Lahendus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) võrdub ka \(2\), mis tähendab, et saame kirjutada ka \(2=\log_(3)(9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega võime vajaduse korral kirjutada kaks logaritmina suvalise alusega ükskõik kuhu (olgu see siis võrrandisse, avaldisesse või võrratusse) – me kirjutame aluse lihtsalt argumendina ruudus.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada kui \(\log_(2)(8)\), või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \)... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : Leia väljendi tähendus \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lahendus :

Vastus : \(1\)

log a r b r =log a b või logi a b= logi a r b r

Logaritmi väärtus ei muutu, kui logaritmi alus ja logaritmi märgi all olev arv tõstetakse samale astmele.

Logaritmi märgi all võivad olla ainult positiivsed arvud ja logaritmi alus ei ole võrdne ühega.

Näited.

1) Võrrelge log 3 9 ja log 9 81.

log 3 9=2, kuna 3 2 =9;

log 9 81=2, kuna 9 2 =81.

Seega log 3 9 = log 9 81.

Pange tähele, et teise logaritmi alus on võrdne esimese logaritmi aluse ruuduga: 9=3 2 ja teise logaritmi märgi all olev arv on võrdne esimese logaritmi aluse ruuduga logaritm: 81=9 2. Selgub, et nii esimese logaritmi log 3 9 arv kui ka alus tõsteti teise astmeni ja logaritmi väärtus sellest ei muutunud:

Järgmine, alates juure ekstraheerimisest n aste hulgast A on arvu tõstmine A kraadini ( 1/n), siis logist 9 81 saad log 3 9, võttes arvu ruutjuure ja logaritmi aluse:

2) Kontrolli võrdsust: log 4 25=log 0,5 0,2.

Vaatame esimest logaritmi. Aluse ruutjuure võtmine 4 ja hulgast 25 ; saame: log 4 25=log 2 5.

Vaatame teist logaritmi. Logaritmi alus: 0,5 = 1/2. Arv selle logaritmi märgi all: 0,2= 1/5. Tõstame kõik need arvud miinus esimese astmeni:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Seega log 0,5 0,2 = log 2 5. Järeldus: see võrdsus on tõsi.

Lahenda võrrand:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Vähendame logaritme vasakult alusele 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Võtke arvu ruutjuur ja esimese logaritmi alus. Eraldage arvu neljas juur ja teise logaritmi alus.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Teisenda logaritmide summa korrutise logaritmiks.

3x2 =5x+2. Saadud pärast võimendamist.

3x 2 -5x-2 = 0. Otsustame ruutvõrrand kasutades täieliku ruutvõrrandi üldvalemit:

a = 3, b = -5, c = -2.

D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 tõelist juurt.

Läbivaatus.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5,2+2);

log 2 2 2 +log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

logi a n b=(1/ n)∙ logi a b

Arvu logaritm b põhineb a n võrdne murdosa korrutisega 1/ n arvu logaritmile b põhineb a.

Leia:1) 21 log 8 3+40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 , kui see on teada log 2 3=b,log 5 2=c.

Lahendus.

Lahenda võrrandid:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Lahendus.

Vähendame need logaritmid alusele 2. Rakendame valemit: logi a n b=(1/ n)∙ logi a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log 2 x+0.5log 2 x+0.25log 2 x=5.25. Siin on sarnased terminid:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

log 2 x=3. Logaritmi määratluse järgi:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Lahendus. Teisendame aluse 16 logaritmi baasiks 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log 4 (x-2)+log 4 (x-3) = 0,5. Teisendame logaritmide summa korrutise logaritmiks.

log 4 ((x-2)(x-3)) = 0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 -5x+6) = 0,5. Logaritmi määratluse järgi:

x 2 -5x+4=0. Vastavalt Vieta teoreemile:

x 1 = 1; x 2 =4. X esimene väärtus ei tööta, kuna x = 1 korral selle võrdsuse logaritme ei eksisteeri, kuna Logaritmimärgi all võivad olla ainult positiivsed arvud.

Kontrollime seda võrrandit x=4.

Läbivaatus.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Arvu logaritm b põhineb A võrdne arvu logaritmiga b uuel alusel Koos, jagatud vana baasi logaritmiga A uuel alusel Koos.

Näited:

1) log 2 3=lg3/lg2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Arvutama:

1) logi 5 7, kui see on teada lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / logi c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Vastus: logi 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) logi 5 7 , kui see on teada ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Lahendus. Rakendage valem: log a b =log c b / logi c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Vastus: logi 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Otsi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Kasutame valemit: log c b / logi c a = logi a b . Saame:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x = log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Kasutame valemit: log c b / logi c a = logi a b . Saame:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=lg143-lg (11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

Lehekülg 1/1 1

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). See matemaatiline seadus tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on järgmise kujuga avaldis: log a b=c, st mis tahes mittenegatiivse arvu (st iga positiivse) logaritmi “b” aluse “a” suhtes peetakse astmeks “c”. ”, milleni tuleb baasi „a” tõsta, et lõpuks saada väärtus „b”. Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Saamise eest õiged väärtused logaritme, peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea keerulistest matemaatilistest teemadest midagi. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmine avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus “x” on logaritmilise märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel määratakse nii selle funktsiooni lubatud väärtuste vahemik kui ka murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on kohustuslik tingimus: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Otsustades logaritmilised võrrandid, peaksime määrama, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Naturaallogaritmide lahendamiseks peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamid, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtsel riigieksamil (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A osas (kõige lihtsam test osa eksam), aga ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

• Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.