Tehted maatriksitega ja nende omadused.

Teise ja kolmanda järgu determinandi mõiste.Determinantide omadused ja nende arvutamine.

3. üldkirjeldusülesandeid.

4. Ülesannete täitmine.

5. Laboratoorsete tööde akti koostamine.

Sõnastik

Tutvuge järgmiste mõistetega tingimustele:

Mõõtmed Maatriks on kahe arvu kogum, mis koosneb selle ridade arvust m ja veergude arvust n.

Kui m = n, kutsutakse maatriks ruut maatriks järku n.

Tehted maatriksitega: maatriksi transponeerimine, maatriksi korrutamine (jagamine) arvuga, liitmine ja lahutamine, maatriksi korrutamine maatriksiga.

Üleminekut maatriksilt A maatriksile A m, mille read on veerud ja veerud maatriksi A read, nimetatakse ülevõtmine maatriksid A.

Näide: A = , A t = .

To korrutage maatriks arvuga, peate maatriksi iga elemendi selle arvuga korrutama.

Näide: 2A= 2· = .

Summa (erinevus)ühemõõtmelisi maatrikseid A ja B nimetatakse maatriksiks C=A B, mille elemendid on võrdsed kus ij = a ij b ij kõigi jaoks i Ja j.

Näide: A = ; B = . A+B= = .

Töö maatriksit A ​​m n maatriksiga B n k nimetatakse maatriksiks C m k , mille iga element c ij on võrdne maatriksi A i-nda rea ​​elementide korrutistega j-nda veeru vastava elemendiga. maatriksist B:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Maatriksi maatriksiga korrutamiseks peavad need olema kokku lepitud korrutamiseks, nimelt veergude arv esimeses maatriksis peaks olema võrdne ridade arv teises maatriksis.

Näide: A= ja B=.

А·В — võimatu, sest need ei ole järjekindlad.

VA= . = = .

Maatriksi korrutustehte omadused.

1. Kui maatriksil A on mõõde m n, ja maatriks B on mõõde n k, siis on korrutis A·B olemas.

Toode BA saab eksisteerida ainult siis, kui m=k.

2. Maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne, s.t. A·B ei ole alati võrdne BA·A-ga, isegi kui mõlemad korrutised on määratletud. Kui aga seos А·В=В·А on täidetud, siis maatriksid A ja B nn. muutlik.

Näide. Arvutama.

Alaealine element on järjestusmaatriksi determinant, mis saadakse kolmanda veeru rea kustutamisel.

Algebraline komplement elementi nimetatakse .

Laplace'i laiendusteoreem:

Ruutmaatriksi determinant on võrdne mis tahes rea (veeru) elementide korrutistega nende algebraliste täiendite järgi.

Näide. Arvutama.

Lahendus. .

N-ndat järku determinantide omadused:

1) Determinandi väärtus ei muutu, kui ridu ja veerge vahetatakse.

2) Kui determinant sisaldab ainult nullidest koosnevat rida (veerg), siis on see võrdne nulliga.

3) Kahe rea (veeru) ümberpaigutamisel muudab determinant märki.

4) Determinant, millel on kaks identset rida (veergu), on võrdne nulliga.

5) Determinandi märgist võib välja võtta mis tahes rea (veeru) elementide ühisteguri.

6) Kui teatud rea (veeru) iga element on kahe liikme summa, siis on determinant võrdne kahe determinandi summaga, millest kummaski kõik read (veerud, välja arvatud üks mainitud) on samad selles determinandis ja mainitud reas ( Veerg) sisaldab esimene determinand esimesi termineid, teine ​​- teist.

7) Kui determinandi kaks rida (veergu) on võrdelised, siis võrdub see nulliga.

8) Determinant ei muutu, kui teatud rea (veeru) elementidele lisatakse teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.

9) Kolmnurk- ja diagonaalmaatriksi determinandid on võrdsed põhidiagonaali elementide korrutisega.

Nullide kogumise meetod determinantide arvutamiseks põhineb determinantide omadustel.

Näide. Arvutama.

Lahendus. Lahutage esimesest reast kahekordne kolmandik, seejärel kasutage esimeses veerus olevat laiendusteoreemi.

~ .

Kontrollküsimused(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. Mida nimetatakse teist järku determinandiks?

2. Millised on determinantide peamised omadused?

3. Mis on elemendi moll?

4. Mida nimetatakse determinandi elemendi algebraliseks täiendiks?

5. Kuidas laiendada kolmandat järku determinanti rea (veeru) elementideks?

6. Kui suur on rea (või veeru) elementide korrutiste summa, teise rea (või veeru) vastavate elementide algebraliste täiendite determinant?

7. Mis on kolmnurkade reegel?

8. Kuidas arvutatakse kõrgemate tellimuste determinante tellimuste vähendamise meetodil?

10. Millist maatriksit nimetatakse ruuduks? Null? Mis on reamaatriks, veerumaatriks?

11. Milliseid maatrikseid nimetatakse võrdseteks?

12. Andke definitsioonid liitmise, maatriksite korrutamise, maatriksi arvuga korrutamise operatsioonidele

13. Milliseid tingimusi peavad maatriksite suurused liitmisel ja korrutamisel vastama?

14. Millised on algebratehete omadused: kommutatiivsus, assotsiatiivsus, distributiivsus? Millised neist on maatriksite jaoks liitmise ja korrutamise ajal täidetud ja millised mitte?

15. Mis on pöördmaatriks? Milliste maatriksite jaoks see on määratletud?

16. Sõnasta teoreem olemasolu ja kordumatuse kohta pöördmaatriks.

17. Sõnastage maatriksite korrutise transponeerimise lemma.

Üldised praktilised ülesanded(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

nr 1. Leidke maatriksite A ja B summa ja erinevus :

A)

b)

V)

nr 2. Järgige neid samme :

c) Z = -11A+7B-4C+D

Kui

nr 3. Järgige neid samme :

V)

nr 4. Kasutades nelja ruutmaatriksi determinandi arvutamise meetodit, leidke järgmiste maatriksite determinandid :

nr 5. Leidke veeru (rea) elementide põhjal n-ndat järku determinandid :

A) b)

nr 6. Leidke maatriksi determinant, kasutades determinantide omadusi:

A) b)

Antud Tööriistakomplekt aitab teil esinemist õppida tehted maatriksitega: maatriksite liitmine (lahutamine), maatriksi transpositsioon, maatriksite korrutamine, pöördmaatriksi leidmine. Kogu materjal on esitatud lihtsas ja juurdepääsetavas vormis, tuuakse asjakohaseid näiteid, nii et isegi ettevalmistamata inimene saab õppida maatriksitega toiminguid tegema. Enesekontrolliks ja enesetestimiseks saate tasuta alla laadida maatrikskalkulaatori >>>.

Püüan minimeerida teoreetilisi arvutusi, kohati on võimalikud selgitused “näppude peal” ja mitteteaduslike terminite kasutamine. Soliidse teooria armastajad, palun ärge kritiseerige, meie ülesanne on õppida sooritama tehteid maatriksitega.

SUPERKIIREKS teemal ettevalmistuseks (kes on “tules”) on pdf-i intensiivkursus Maatriks, determinant ja test!

Maatriks on mõne ristkülikukujuline tabel elemendid. Nagu elemendid käsitleme numbreid, see tähendab arvmaatriksiid. Element on termin. Mõiste on soovitatav meeles pidada, see ilmub sageli, pole juhus, et kasutasin selle esiletõstmiseks paksu kirja.

Määramine: maatriksid on tavaliselt tähistatud suurtähtedega ladina tähtedega

Näide: Kaaluge kaks-kolm maatriksit:

See maatriks koosneb kuuest elemendid:

Kõik maatriksi sees olevad arvud (elemendid) eksisteerivad iseseisvalt, see tähendab, et lahutamisest pole juttugi:

See on lihtsalt numbrite tabel (komplekt)!

Lepime ka kokku ära korralda ümber numbrid, kui selgitustes ei ole märgitud teisiti. Igal numbril on oma asukoht ja seda ei saa segada!

Kõnealusel maatriksil on kaks rida:

ja kolm veergu:

STANDARD: kui rääkida maatriksi suurustest, siis Esiteks märkige ridade arv ja alles seejärel veergude arv. Oleme just jaotanud kaks-kolm maatriksi.

Kui maatriksi ridade ja veergude arv on sama, kutsutakse maatriksit ruut, Näiteks: – kolm korda kolm maatriksit.

Kui maatriksil on üks veerg või üks rida, siis nimetatakse ka selliseid maatrikseid vektorid.

Tegelikult oleme maatriksi mõistet tundnud juba koolist saati, vaatleme näiteks punkti koordinaatidega “x” ja “y”: . Põhimõtteliselt kirjutatakse punkti koordinaadid ükshaaval maatriksisse. Muide, siin on näide, miks arvude järjekord on oluline: ja need on kaks täiesti erinevat punkti tasapinnal.

Liigume nüüd edasi õppimise juurde tehted maatriksitega:

1) Esimene tegu. Maatriksist miinuse eemaldamine (miinuse sisestamine maatriksisse).

Tuleme tagasi oma maatriksi juurde . Nagu ilmselt märkasite, on selles maatriksis liiga palju negatiivseid numbreid. See on maatriksiga erinevate toimingute tegemise seisukohalt väga ebamugav, nii palju miinuseid on ebamugav kirjutada ja see näeb disainilt lihtsalt kole välja.

Liigutame miinuse maatriksist väljapoole, muutes maatriksi IGA elemendi märki:

Nulli juures, nagu te aru saate, märk ei muutu, null on ka Aafrikas null.

Vastupidine näide: . See näeb kole välja.

Sisestame maatriksisse miinuse, muutes maatriksi IGA elemendi märki:

No see tuli palju ilusam. Ja mis kõige tähtsam, maatriksiga on LIHTSAM teha mis tahes toiminguid. Sest on olemas selline matemaatika rahvamärk: mida rohkem miinuseid, seda rohkem segadust ja vigu.

2) Teine tegu. Maatriksi korrutamine arvuga.

Näide:

See on lihtne, maatriksi arvuga korrutamiseks on vaja iga maatriksi element korrutatud antud number. IN sel juhul- kolmele.

Teine kasulik näide:

– maatriksi korrutamine murdosaga

Kõigepealt vaatame, mida teha POLE TARVIS:

Maatriksisse EI OLE VAJA murda sisestada, esiteks muudab see maatriksiga edasised toimingud ainult keeruliseks ja teiseks muudab see õpetaja jaoks keeruliseks lahenduse kontrollimise (eriti kui – ülesande lõplik vastus).

Ja eriti, POLE TARVIS jagage maatriksi iga element miinus seitsmega:

Artiklist Mannekeenide matemaatika või kust alustada, me mäletame seda kümnendkohad kõrgemas matemaatikas püütakse neid igal võimalikul viisil vältida.

Ainuke asi on eelistatavalt Mida selles näites teha, on maatriksile miinuse lisamine:

Aga kui ainult KÕIK maatriksi elemendid jagati 7-ga jäljetult, siis oleks võimalik (ja vajalik!) jagada.

Näide:

Sel juhul saate VAJA korrutage kõik maatriksi elemendid arvuga, kuna kõik maatriksi numbrid jaguvad 2-ga jäljetult.

Märkus: kõrgema matemaatika teoorias kooli kontseptsioon"divisjon" nr. Selle asemel, et öelda "see jagatud sellega", võite alati öelda "see on korrutatud murdosaga". See tähendab, et jagunemine on erijuhtum korrutamine.

3) Kolmas tegu. Maatriksi transponeerimine.

Maatriksi transponeerimiseks peate kirjutama selle read transponeeritud maatriksi veergudesse.

Näide:

Transponeeri maatriks

Siin on ainult üks rida ja reegli kohaselt tuleb see kirjutada veergu:

– transponeeritud maatriks.

Transponeeritud maatriksit tähistatakse tavaliselt ülaindeksi või algarvuga paremas ülanurgas.

Samm-sammult näide:

Transponeeri maatriks

Kõigepealt kirjutame esimese rea ümber esimesse veergu:

Seejärel kirjutame teise rea ümber teise veergu:

Ja lõpuks kirjutame kolmanda rea ​​ümber kolmandasse veergu:

Valmis. Jämedalt öeldes tähendab transponeerimine maatriksi külili pööramist.

4) Neljas vaatus. Maatriksite summa (vahe)..

Maatriksite summa on lihtne tehe.
KÕIKI MAATRIKSID EI SAA VOLTIDA. Maatriksite liitmise (lahutamise) tegemiseks on vajalik, et need oleksid SAMASUURUSED.

Näiteks kui on antud kaks korda kahe maatriks, siis saab selle lisada ainult kaks korda kahe maatriksiga ja mitte muuga!

Näide:

Lisage maatriksid Ja

Maatriksite lisamiseks tuleb lisada neile vastavad elemendid:

Maatriksite erinevuse jaoks on reegel sarnane, on vaja leida vastavate elementide erinevus.

Näide:

Leidke maatriksi erinevus ,

Kuidas seda näidet lihtsamini lahendada, et mitte segadusse sattuda? Soovitav on vabaneda tarbetutest miinustest, selleks lisage maatriksile miinus:

Märkus: kõrgkooli matemaatika teoorias pole "lahutamise" mõistet. Selle asemel, et öelda "lahuta see sellest maha", võite alati öelda "lisa see sellele". negatiivne arv" See tähendab, et lahutamine on liitmise erijuht.

5) Viies tegu. Maatrikskorrutis.

Milliseid maatrikseid saab korrutada?

Maatriksi korrutamiseks maatriksiga on see vajalik nii et maatriksi veergude arv võrdub maatriksi ridade arvuga.

Näide:
Kas maatriksit on võimalik maatriksiga korrutada?

See tähendab, et maatriksandmeid saab korrutada.

Kuid kui maatriksid ümber paigutada, pole sel juhul korrutamine enam võimalik!

Seetõttu pole korrutamine võimalik:

Ei ole nii harvad kohad ülesandeid nipiga, kui õpilasel palutakse korrutada maatrikseid, mille korrutamine on ilmselgelt võimatu.

Tuleb märkida, et mõnel juhul on maatriksite korrutamine võimalik mõlemal viisil.
Näiteks maatriksite puhul on võimalikud nii korrutamine kui ka korrutamine

Pange tähele, et maatriksi elemendid ei saa olla ainult numbrid. Kujutagem ette, et kirjeldate raamatuid, mis on teie raamaturiiulil. Olgu teie riiul korras ja kõik raamatud rangelt määratletud kohtades. Tabel, mis sisaldab teie raamatukogu kirjeldust (riiulite ja raamatute järjekorra järgi riiulil), on samuti maatriks. Kuid selline maatriks ei ole numbriline. Veel üks näide. Numbrite asemel on erinevaid funktsioone, mida ühendab teatav sõltuvus. Saadud tabelit nimetatakse ka maatriksiks. Teisisõnu, maatriks on mis tahes ristkülikukujuline laud, millest koosneb homogeenne elemendid. Siin ja edaspidi räägime arvudest koosnevatest maatriksitest.

Maatriksite kirjutamiseks kasutatakse sulgude asemel nurksulge või sirgeid topelt vertikaalseid jooni

(2.1*)

2. definitsioon. Kui väljendis(1) m = n, siis nad räägivad ruutmaatriks, ja kui , siis oh ristkülikukujuline.

Sõltuvalt m ja n väärtustest eristatakse mõnda eritüüpi maatriksit:

Kõige olulisem omadus ruut maatriks on tema determinant või determinant, mis koosneb maatriksielementidest ja on tähistatud

Ilmselgelt D E =1; .

3. määratlus. Kui , siis maatriks A helistas mitte-mandunud või pole eriline.

4. definitsioon. Kui detA = 0, siis maatriks A helistas degenereerunud või eriline.

Definitsioon 5. Kaks maatriksit A Ja B kutsutakse võrdne ja kirjutada A = B kui neil on samad mõõtmed ja neile vastavad elemendid on võrdsed, s.t..

Näiteks maatriksid ja on võrdsed, sest need on võrdse suurusega ja ühe maatriksi iga element on võrdne teise maatriksi vastava elemendiga. Kuid maatrikseid ei saa nimetada võrdseteks, kuigi mõlema maatriksi determinandid on võrdsed ja maatriksite suurused on samad, kuid kõik samades kohtades asuvad elemendid pole võrdsed. Maatriksid on erinevad, kuna neil on erineva suurusega. Esimene maatriks on 2x3 ja teine ​​3x2. Kuigi elementide arv on sama - 6 ja elemendid ise on samad 1, 2, 3, 4, 5, 6, kuid need on igas maatriksis erinevates kohtades. Kuid maatriksid on 5. definitsiooni kohaselt võrdsed.

Definitsioon 6. Kui fikseerite teatud arvu maatriksi veerge A ja sama arv ridu, siis moodustavad näidatud veergude ja ridade ristumiskohas olevad elemendid ruutmaatriksi n- järjekorras, mille määraja helistas alaealine k – järjekorra maatriks A.

Näide. Kirjutage üles kolm maatriksi teist järku minoori

>> Maatriksid

4.1.Maatriksid. Tehted maatriksitega

Ristkülikukujuline maatriks suurusega mxn on mxn arvude kogum, mis on paigutatud ristkülikukujulise tabeli kujul, mis sisaldab m rida ja n veergu. Kirjutame selle vormi

või lühendatult A = (a i j) (i = ; j = ), nimetatakse numbreid a i j selle elementideks; Esimene indeks tähistab rea numbrit, teine ​​- veeru numbrit. Ühesuurused A = (a i j) ja B = (b i j) nimetatakse võrdseteks, kui nende samades kohtades olevad elemendid on paarikaupa võrdsed, st A = B, kui a i j = b i j.

Ühest reast või ühest veerust koosnevat maatriksit nimetatakse vastavalt reavektoriks või veeruvektoriks. Veeruvektoreid ja ridavektoreid nimetatakse lihtsalt vektoriteks.

Ühest numbrist koosnev maatriks identifitseeritakse selle numbriga. A suurust mxn, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse nulliks ja tähistatakse 0-ga. Sama indeksiga elemente nimetatakse põhidiagonaali elementideks. Kui ridade arv on võrdne veergude arvuga, st m = n, nimetatakse maatriksit ruutmaatriksiks järjestusega n. Ruutmaatrikse, milles ainult põhidiagonaali elemendid on nullist erinevad, nimetatakse diagonaalideks ja need kirjutatakse järgmiselt:

.

Kui kõik diagonaali elemendid a i i on võrdsed 1-ga, nimetatakse seda ühikuks ja tähistatakse tähega E:

.

Ruutmaatriksit nimetatakse kolmnurkseks, kui kõik põhidiagonaalist kõrgemal (või allpool) olevad elemendid on võrdsed nulliga. Transpositsioon on teisendus, mille käigus ridu ja veerge vahetatakse, säilitades nende numbrid. Ülekandmist tähistab ülaosas T.

Kui paigutame (4.1) read ja veerud ümber, saame

,

mis transponeeritakse A suhtes. Eelkõige veeruvektori transponeerimisel saadakse reavektor ja vastupidi.

A ja arvu b korrutis on maatriks, mille elemendid saadakse A vastavatest elementidest, korrutades arvuga b: b A = (b a i j).

Ühesuurust summat A = (a i j) ja B = (b i j) nimetatakse ühesuuruseks C = (c i j), mille elemendid määratakse valemiga c i j = a i j + b i j.

Korrutis AB määratakse eeldusel, et A veergude arv on võrdne B ridade arvuga.

Korrutist AB, kus A = (a i j) ja B = (b j k), kus i = , j= , k= , antud kindlas järjekorras AB nimetatakse C = (c i k), mille elemendid on määratud järgmine reegel:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

Teisisõnu on toote AB element defineeritud järgmiselt: element i-s rida ja k-s veerg C on võrdne korrutiste summaga i-nda elemendid read A k-nda veeru B vastavatele elementidele.

Näide 2.1. Leia korrutis AB ja .

Lahendus. Meil on: A suurusega 2x3, B suurusega 3x3, siis on korrutis AB = C olemas ja C elemendid on võrdsed

Alates 11 = 1 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3 = 8, alates 21 = 3 × 1 + 1 × 2 + 0 × 3 = 5, alates 12 = 1 × 2 + 2 × 0 + 1 × 5 = 7 ,

s 22 = 3 × 2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, ja toodet BA pole olemas.

Näide 2.2. Tabelis on näidatud meiereidest 1 ja 2 kauplustesse M 1, M 2 ja M 3 tarnitud toodete ühikute arv iga päev ning igast meiereist tooteühiku kohaletoimetamine kauplusesse M 1 maksab 50 den. ühikut, kauplusesse M 2 - 70 ja M 3 - 130 den. ühikut Arvutage iga taime igapäevased transpordikulud.

Piimakombinaat

Lahendus. Tähistame A-ga maatriksit, mis on antud meile tingimuses ja poolt
B - maatriks, mis iseloomustab tooteühiku kauplustesse tarnimise kulusid, st

,

Seejärel näeb transpordikulude maatriks välja järgmine:

.

Seega kulutab esimene tehas transpordile iga päev 4750 denjerit. ühikut, teine ​​- 3680 rahaühikut.

Näide 2.3. Õmblusfirma toodab talvemantleid, poolhooaja mantleid ja vihmamantleid. Dekaadi planeeritud toodangut iseloomustab vektor X = (10, 15, 23). Kasutatakse nelja tüüpi kangaid: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabelis on kanga kulunormid (meetrites) iga toote kohta. Vektor C = (40, 35, 24, 16) määrab igat tüüpi kanga meetri maksumuse ja vektor P = (5, 3, 2, 2) määrab igat tüüpi kanga meetri transpordikulu.

	Kanga tarbimine
Talvemantel
Poolhooaja mantel

1. Mitu meetrit igat tüüpi kangast kulub plaani täitmiseks?

2. Leidke iga tooteliigi õmblemisele kulunud kanga maksumus.

3. Määrake kogu plaani täitmiseks vajaliku kanga maksumus.

Lahendus. Tähistame A-ga meile tingimuses antud maatriksit, st.

,

siis plaani täitmiseks vajaliku kangameetrite arvu leidmiseks peate vektori X korrutama maatriksiga A:

Leiame igat tüüpi õmblustoodetele kulunud kanga maksumuse, korrutades maatriksi A ja vektori C T:

.

Kogu plaani täitmiseks vajaliku kanga maksumus määratakse järgmise valemiga:

Lõpuks, võttes arvesse transpordikulusid, võrdub kogu summa kanga maksumusega, st 9472 den. ühikut, pluss väärtus

X A P T =
.

Niisiis, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (rahaühikud).

Selles teemas käsitleme nii maatriksi mõistet kui ka maatriksitüüpe. Kuna siin teemas on palju termineid, siis lisan kokkuvõte materjalis navigeerimise hõlbustamiseks.

Maatriksi ja selle elemendi definitsioon. Märge.

Maatriks on $m$ ridade ja $n$ veergudega tabel. Maatriksi elemendid võivad olla täiesti erineva iseloomuga objektid: arvud, muutujad või näiteks muud maatriksid. Näiteks maatriks $\left(\begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right)$ sisaldab 3 rida ja 2 veergu; selle elemendid on täisarvud. Maatriks $\left(\begin(massiivi) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(massiivi) \right)$ sisaldab 2 rida ja 4 veergu.

Maatriksite kirjutamise erinevad viisid: näita\peida

Maatriksi saab kirjutada mitte ainult ümmarguste, vaid ka ruudu- või topeltsirgete sulgudes. See tähendab, et alltoodud kirjed tähendavad sama maatriksit:

$$ \left(\begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right);\;\; \left[ \begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right]; \;\; \left \Vert \begin(massiivi) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right \Vert $$

Toodet $m\times n$ kutsutakse maatriksi suurus. Näiteks kui maatriks sisaldab 5 rida ja 3 veergu, siis räägime maatriksist, mille suurus on $5\ korda 3 $. Maatriksi $\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ suurus on $3 \times 2$.

Tavaliselt tähistatakse maatrikseid ladina tähestiku suurtähtedega: $A$, $B$, $C$ ja nii edasi. Näiteks $B=\left(\begin(massiivi) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(massiivi) \right)$. Rea nummerdamine läheb ülevalt alla; veerud - vasakult paremale. Näiteks maatriksi $B$ esimene rida sisaldab elemente 5 ja 3 ning teine ​​veerg elemente 3, -87, 0.

Maatriksite elemente tähistatakse tavaliselt väikeste tähtedega. Näiteks maatriksi $A$ elemente tähistatakse $a_(ij)$-ga. Topeltindeks $ij$ sisaldab infot elemendi asukoha kohta maatriksis. Arv $i$ on rea number ja number $j$ veeru number, mille ristumiskohas on element $a_(ij)$. Näiteks maatriksi teise rea ja viienda veeru ristumiskohas $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(massiivi) \right)$ element $a_(25) = 59 $:

Samamoodi on esimese rea ja esimese veeru ristumiskohas element $a_(11)=51$; kolmanda rea ​​ja teise veeru ristumiskohas - element $a_(32)=-15$ ja nii edasi. Pange tähele, et kirje $a_(32)$ on "kolm kaks", kuid mitte "kolmkümmend kaks".

Maatriksi $A$, mille suurus on $m\times n$, lühendamiseks kasutatakse tähist $A_(m\times n)$. Võid sellest veidi täpsemalt kirjutada:

$$ A_(m\times n)=(a_(ij)) $$

kus märge $(a_(ij))$ tähistab maatriksi $A$ elemente. Täielikult laiendatud kujul saab maatriksi $A_(m\times n)=(a_(ij))$ kirjutada järgmiselt:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(massiivi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(massiivi) \right) $$

Tutvustame teist terminit - võrdsed maatriksid.

Nimetatakse kaks ühesuurust maatriksit $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ja $B_(m\times n)=(b_(ij))$ võrdne, kui nende vastavad elemendid on võrdsed, s.t. $a_(ij)=b_(ij)$ kõigi $i=\overline(1,m)$ ja $j=\overline(1,n)$ jaoks.

Kirje $i=\overline(1,m)$ selgitus: näita\peida

Märkus "$i=\overline(1,m)$" tähendab, et parameeter $i$ varieerub vahemikus 1 kuni m. Näiteks märge $i=\overline(1,5)$ näitab, et parameetri $i$ väärtused on 1, 2, 3, 4, 5.

Seega, et maatriksid oleksid võrdsed, peavad olema täidetud kaks tingimust: suuruste kokkulangevus ja vastavate elementide võrdsus. Näiteks maatriks $A=\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ ei võrdu maatriksiga $B=\left(\ begin(massiivi)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(massiivi)\right)$ kuna maatriksi $A$ suurus on $3\ korda 2$ ja maatriksil $B$ on suurus $2\ korda $2. Samuti ei võrdu maatriks $A$ maatriksiga $C=\left(\begin(massiiv)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ , kuna $a_( 21)\neq c_(21)$ (st $0\neq 98$). Kuid maatriksi $F=\left(\begin(massiivi)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(massiivi)\right)$ jaoks võime julgelt kirjutada $A= F$, sest nii maatriksite $A$ ja $F$ suurused kui ka vastavad elemendid langevad kokku.

Näide nr 1

Määrake maatriksi suurus $A=\left(\begin(massiivi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \end(massiivi) \right)$. Näidake, millega on võrdsed elemendid $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

See maatriks sisaldab 5 rida ja 3 veergu, seega on selle suurus $5\ korda 3 $. Selle maatriksi jaoks võite kasutada ka tähistust $A_(5\x 3)$.

Element $a_(12)$ asub esimese rea ja teise veeru ristumiskohas, seega $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ on kolmanda rea ​​ja kolmanda veeru ristumiskohas, seega $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ on neljanda rea ​​ja kolmanda veeru ristumiskohas, seega $a_(43)=-5$.

Vastus: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Maatriksite tüübid sõltuvalt nende suurusest. Põhi- ja sekundaardiagonaalid. Maatriksi jälg.

Olgu antud teatud maatriks $A_(m\times n)$. Kui $m=1$ (maatriks koosneb ühest reast), siis kutsutakse antud maatriks maatriks-rida. Kui $n=1$ (maatriks koosneb ühest veerust), siis kutsutakse selline maatriks maatriks-veerg. Näiteks $\left(\begin(massiiv) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(massiiv) \right)$ on reamaatriks ja $\left(\begin(massiiv ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(massiivi) \right)$ on veerumaatriks.

Kui maatriks $A_(m\times n)$ täidab tingimust $m\neq n$ (st ridade arv ei võrdu veergude arvuga), siis sageli öeldakse, et $A$ on ristkülikukujuline maatriks. Näiteks maatriksi $\left(\begin(massiivi) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(massiivi) \right)$ suurus on $2\ korda 4 $, need. sisaldab 2 rida ja 4 veergu. Kuna ridade arv ei võrdu veergude arvuga, on see maatriks ristkülikukujuline.

Kui maatriks $A_(m\times n)$ vastab tingimusele $m=n$ (st ridade arv on võrdne veergude arvuga), siis $A$ nimetatakse ruutmaatriksiks järku $ n$. Näiteks $\left(\begin(massiiv) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(massiivi) \right)$ on teist järku ruutmaatriks; $\left(\begin(massiivi) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(massiivi) \right)$ on kolmandat järku ruutmaatriks. IN üldine vaade ruutmaatriksi $A_(n\times n)$ saab kirjutada järgmiselt:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(massiivi)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(massiivi) \right) $$

Väidetavalt on elemendid $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ põhidiagonaal maatriksid $A_(n\times n)$. Neid elemente nimetatakse peamised diagonaalsed elemendid(või lihtsalt diagonaalsed elemendid). Elemendid $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ on sisse lülitatud külgmine (minoorne) diagonaal; neid nimetatakse külgmised diagonaalsed elemendid. Näiteks maatriksi $C=\left(\begin(massiivi)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( massiiv) \right)$ meil on:

Elemendid $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ on peamised diagonaalelemendid; elemendid $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ on külgdiagonaalsed elemendid.

Peamiste diagonaalsete elementide summat nimetatakse järgneb maatriks ja seda tähistab $\Tr A$ (või $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Näiteks maatriksi jaoks $C=\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(massiiv)\right)$ meil on:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Diagonaalelementide mõistet kasutatakse ka mitteruuduliste maatriksite puhul. Näiteks maatriksi jaoks $B=\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(massiivi) \right)$ peamised diagonaalelemendid on $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Maatriksite tüübid sõltuvalt nende elementide väärtustest.

Kui kõik maatriksi $A_(m\x n)$ elemendid on võrdsed nulliga, siis nimetatakse sellist maatriksit null ja seda tähistatakse tavaliselt tähega $O$. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(massiivi) \right)$, $\left(\begin(massiivi) (cc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ - nullmaatriksid.

Olgu maatriksil $A_(m\times n)$ järgmine vorm:

Siis nimetatakse seda maatriksit trapetsikujuline. See ei pruugi sisaldada nulli rida, kuid kui need on olemas, asuvad need maatriksi allosas. Üldisemal kujul saab trapetsikujulise maatriksi kirjutada järgmiselt:

Jällegi pole nullridade lõppu vaja. Need. Formaalselt saame trapetsikujulise maatriksi jaoks eristada järgmisi tingimusi:

1. Kõik põhidiagonaali all olevad elemendid on nullid.
2. Kõik elemendid $a_(11)$ kuni $a_(rr)$, mis asuvad põhidiagonaalil, ei ole võrdsed nulliga: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Viimaste $m-r$ ridade kõik elemendid on nullid või $m=r$ (st nullridu pole üldse).

Trapetsikujuliste maatriksite näited:

Liigume edasi järgmise määratluse juurde. Kutsutakse maatriksit $A_(m\times n)$ astus, kui see vastab järgmistele tingimustele:

Näiteks astmemaatriksid oleksid järgmised:

Võrdluseks maatriks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(massiivi)\right)$ ei ole ešelon, kuna kolmandal real on sama nulliosa kui teisel real. See tähendab, et rikutakse põhimõtet "mida madalam joon, seda suurem on nullosa". Lisan, et trapetsikujuline maatriks on astmelise maatriksi erijuhtum.

Liigume edasi järgmise määratluse juurde. Kui kõik ruutmaatriksi elemendid, mis asuvad põhidiagonaali all, on võrdsed nulliga, nimetatakse sellist maatriksit nn. ülemine kolmnurkne maatriks. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(massiivi) \right)$ on ülemine kolmnurkmaatriks. Pange tähele, et ülemise kolmnurkmaatriksi määratlus ei ütle midagi põhidiagonaali kohal või põhidiagonaalil asuvate elementide väärtuste kohta. Need võivad olla nullid või mitte – vahet pole. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ on samuti ülemine kolmnurkmaatriks.

Kui kõik ruutmaatriksi elemendid, mis asuvad põhidiagonaali kohal, on võrdsed nulliga, nimetatakse sellist maatriksit nn. alumine kolmnurkne maatriks. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(massiivi) \right)$ - alumine kolmnurkmaatriks. Pange tähele, et madalama kolmnurkse maatriksi määratlus ei ütle midagi põhidiagonaali all või sellel asuvate elementide väärtuste kohta. Need võivad olla nullid või mitte – see pole oluline. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(massiivi) \right)$ ja $\left(\ algus (massiiv) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(massiivi) \right)$ on samuti madalamad kolmnurkmaatriksid.

Ruutmaatriksit nimetatakse diagonaal, kui kõik selle maatriksi elemendid, mis ei asu põhidiagonaalil, on võrdsed nulliga. Näide: $\left(\begin(massiivi) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(massiivi)\right)$. Põhidiagonaali elemendid võivad olla mis tahes ( võrdne nulliga või mitte) on ebaoluline.

Diagonaalmaatriksit nimetatakse vallaline, kui kõik selle maatriksi põhidiagonaalil asuvad elemendid on võrdsed 1-ga. Näiteks $\left(\begin(massiivi) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiivi)\right)$ - neljandat järku identiteedimaatriks; $\left(\begin(massiiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiivi)\right)$ on teist järku identiteedimaatriks.