Jak obliczyć objętość ciała obrotowego za pomocą całki oznaczonej? Opracowanie scenariusza lekcji matematyki na temat „Figury płaskie i ciała trójwymiarowe” (klasa 3)

Geometryczne figury wolumetryczne są ciała stałe, które zajmują niezerową objętość w przestrzeni euklidesowej (trójwymiarowej). Liczby te bada dział matematyki zwany „geometrią przestrzenną”. Wiedza o właściwościach figur trójwymiarowych jest wykorzystywana w inżynierii i naukach przyrodniczych. W artykule rozważymy kwestię geometrycznych figur trójwymiarowych i ich nazw.

Bryły geometryczne

Ponieważ ciała te mają skończony wymiar w trzech kierunkach przestrzennych, do opisu ich geometrii stosuje się układ trzech osi współrzędnych. Osie te mają następujące właściwości:

1. Są do siebie ortogonalne, czyli prostopadłe.
2. Osie te są znormalizowane, co oznacza, że ​​wektory bazowe każdej osi mają tę samą długość.
3. Wynikiem jest dowolna z osi współrzędnych produkt wektorowy dwa inne.

Mówiąc o geometrycznych figurach wolumetrycznych i ich nazwach, należy zauważyć, że wszystkie należą do jednej z 2 dużych klas:

1. Klasa wielościanów. Figury te, bazując na nazwie klasy, mają proste krawędzie i płaskie powierzchnie. Twarz to płaszczyzna ograniczająca kształt. Punkt, w którym łączą się dwie ściany, nazywany jest krawędzią, a punkt, w którym łączą się trzy ściany, nazywany jest wierzchołkiem. Wielościany obejmują figurę geometryczną sześcianu, czworościanów, pryzmatów i piramid. Dla tych figur obowiązuje twierdzenie Eulera, które ustala związek między liczbą boków (C), krawędzi (P) i wierzchołków (B) dla każdego wielościanu. Matematycznie twierdzenie to można zapisać w następujący sposób: C + B = P + 2.
2. Klasa ciał okrągłych lub ciał obrotowych. Figury te mają co najmniej jedną tworzącą je powierzchnię, która jest zakrzywiona. Na przykład kula, stożek, walec, torus.

Jeśli chodzi o właściwości figur wolumetrycznych, należy podkreślić dwa najważniejsze z nich:

1. Obecność określonej objętości, którą postać zajmuje w przestrzeni.
2. Obecność każdej trójwymiarowej figury

Obie właściwości każdej figury są opisane konkretnymi wzorami matematycznymi.

Rozważmy poniżej najprostsze geometryczne figury wolumetryczne i ich nazwy: sześcian, piramida, pryzmat, czworościan i kula.

Figura kostki: opis

Kostka figury geometrycznej to trójwymiarowa bryła utworzona z 6 kwadratowych płaszczyzn lub powierzchni. Figura ta nazywana jest również sześcianem foremnym, ponieważ ma 6 boków, czyli prostopadłościan, ponieważ składa się z 3 par równoległych boków, które są do siebie prostopadłe. Nazywa się to sześcianem, którego podstawa jest kwadratem i której wysokość jest równa boku podstawy.

Ponieważ sześcian jest wielościanem lub wielościanem, można do niego zastosować twierdzenie Eulera w celu określenia liczby jego krawędzi. Wiedząc, że boków jest 6, a sześcian ma 8 wierzchołków, liczba krawędzi wynosi: P = C + B - 2 = 6 + 8 - 2 = 12.

Jeśli długość boku sześcianu oznaczymy literą „a”, wówczas wzory na jego objętość i pole powierzchni będą wyglądać odpowiednio: V = a 3 i S = 6*a 2.

Postać piramidy

Piramida to wielościan składający się z prostego wielościanu (podstawy piramidy) i trójkątów połączonych z podstawą i mających jeden wspólny wierzchołek (szczyt piramidy). Trójkąty nazywane są bocznymi ścianami piramidy.

Charakterystyka geometryczna piramidy zależy od tego, który wielokąt leży u jej podstawy, a także od tego, czy piramida jest prosta czy ukośna. Przez piramidę prostą rozumiemy piramidę, dla której prostopadle do podstawy linia prosta poprowadzona przez szczyt piramidy przecina podstawę w jej geometrycznym środku.

Jedną z prostych piramid jest czworokątna prosta piramida, u podstawy której leży kwadrat o boku „a”, wysokość tej piramidy wynosi „h”. W przypadku tej piramidy objętość i powierzchnia będą równe: odpowiednio V = a 2 *h/3 i S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2. Stosując to, biorąc pod uwagę fakt, że liczba ścian wynosi 5, a liczba wierzchołków wynosi 5, otrzymujemy liczbę krawędzi: P = 5 + 5 - 2 = 8.

Figura czworościanu: opis

Przez figurę geometryczną czworościan rozumie się trójwymiarową bryłę utworzoną z 4 ścian. Opierając się na właściwościach przestrzeni, takie ściany mogą reprezentować tylko trójkąty. Zatem czworościan jest szczególnym przypadkiem piramidy, której podstawa ma trójkąt.

Jeśli wszystkie 4 trójkąty tworzące ściany czworościanu są równoboczne i sobie równe, wówczas taki czworościan nazywa się foremnym. Czworościan ten ma 4 ściany i 4 wierzchołki, liczba krawędzi wynosi 4 + 4 - 2 = 6. Stosując standardowe wzory z geometrii płaskiej dla rozpatrywanej figury otrzymujemy: V = a 3 * √2/12 i S = √ 3*a 2, gdzie a jest długością boku trójkąta równobocznego.

Warto zauważyć, że w naturze niektóre cząsteczki mają kształt foremnego czworościanu. Na przykład cząsteczka metanu CH4, w której atomy wodoru znajdują się na wierzchołkach czworościanu i są połączone z atomem węgla kowalencyjnymi wiązaniami chemicznymi. Atom węgla znajduje się w geometrycznym środku czworościanu.

Kształt czworościanu, który jest łatwy w produkcji, jest również stosowany w inżynierii. Na przykład kształt czworościenny jest stosowany w produkcji kotwic do statków. Należy zauważyć, że należąca do NASA sonda kosmiczna Mars Pathfinder, która wylądowała na powierzchni Marsa 4 lipca 1997 r., również miała kształt czworościanu.

Figura pryzmatyczna

Tę figurę geometryczną można uzyskać, biorąc dwa wielościany, umieszczając je równolegle do siebie w różnych płaszczyznach przestrzeni i odpowiednio łącząc ich wierzchołki. Rezultatem będzie pryzmat, dwa wielościany nazywane są jego podstawami, a powierzchnie łączące te wielościany będą miały kształt równoległoboków. Pryzmat nazywa się prostym, jeśli jego boki (równoległoboki) są prostokątami.

Pryzmat jest wielościanem, więc twierdzenie Eulera jest dla niego prawdziwe. Na przykład, jeśli podstawą pryzmatu jest sześciokąt, to liczba boków pryzmatu wynosi 8, a liczba wierzchołków wynosi 12. Liczba krawędzi będzie równa: P = 8 + 12 - 2 = 18 Dla prostopadłościanu o wysokości h, u podstawy którego leży sześciokąt foremny o boku a, objętość wynosi: V = a 2 *h*√3/4, pole powierzchni wynosi: S = 3*a*(a* √3 + 2*h).

Mówiąc o prostych geometrycznych figurach wolumetrycznych i ich nazwach, nie sposób nie wspomnieć o kuli. Przez ciało wolumetryczne zwane kulą rozumie się ciało ograniczone do kuli. Z kolei kula to zbiór punktów w przestrzeni w równej odległości od jednego punktu, który nazywa się środkiem kuli.

Ponieważ piłka należy do klasy ciał okrągłych, nie ma dla niej pojęcia boków, krawędzi i wierzchołków. Pole powierzchni kuli otaczającej kulę obliczamy ze wzoru: S = 4*pi*r 2, a objętość kuli można obliczyć ze wzoru: V = 4*pi*r 3 /3, gdzie pi jest liczbą pi (3,14), r jest promieniem kuli (kuli).

Ciała wolumetryczne. Rozejrzyj się wokół, a wszędzie znajdziesz trójwymiarowe ciała. To są takie figury geometryczne, które mają trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość. Na przykład, aby wyobrazić sobie budynek wielopiętrowy, wystarczy powiedzieć: „Ten dom ma trzy wejścia długości, dwa okna szerokości i sześć pięter”. Znany Państwu z Szkoła Podstawowa prostokątny równoległościan i sześcian są całkowicie opisane w trzech wymiarach. Wszystkie otaczające nas obiekty mają trzy wymiary, ale nie wszystkie można nazwać długością, szerokością i wysokością. Przykładowo dla drzewa możemy określić tylko wysokość, dla liny długość, dla dziury głębokość. A na piłkę? Czy to też ma trzy wymiary? Mówimy, że ciało ma trzy wymiary (jest objętościowe), jeśli można w nim umieścić sześcian lub kulę.

Slajd 2 z prezentacji „Wzór na objętość wielościanu”. Rozmiar archiwum z prezentacją wynosi 1207 KB.

Geometria 11 klasa

streszczenie inne prezentacje

„Geometryczne ciała obrotowe” – Wizualizacja. Część praktyczna. Stanowisko grupa kreatywna. Powtórzenie teorii. Ludzie zawody kreatywne. Wymiana doświadczeń. Inspiracja. Organizowanie czasu. Jedynym sposobem na naukę jest zabawa. Muzeum Brył Geometrycznych. Ludzie, którzy poświęcili się nauce. Ciała. Ludzie nauki pracują. Szedł mędrzec. Zreasumowanie. Powierzchnia cylindryczna. Osoby pracujące w zawodach. Wiedza studentów. Ciała obrotowe. Podstawowa wiedza.

„Twierdzenie o trzech prostopadłych” – Punkt. Prostopadłość linii. Myślący. Twierdzenie o trzech prostopadłych. Prostopadle do płaszczyzny równoległoboku. Prosty. Nogi. Prostopadły. Twierdzenie. Przecięcia przekątnych. Odcinek. Prostopadle do płaszczyzny trójkąta. Strona rombu. Boki trójkąta. Dystans. Prostopadłe do prostych. Pomyśl o tym. Segment MA. Zadania budowlane. Dowód. Twierdzenie odwrotne. Zadania dotyczące korzystania z TTP.

„Powierzchnia kuli” – średnica kuli (d=2R). Promień wielkiego koła jest promieniem kuli. Warstwa=vsh.Seg.1-vsh.Seg.2. Wysokość segmentu (h). Pole powierzchni kuli o promieniu. Baza segmentu. Vsz. sektory = 2/3PR2h. Środek kuli (C). Objętość kuli, segment kuli i warstwa kuli. Obszar pierwszego wyraża się promieniem. razy powierzchnia koła wielkiego. , a powierzchnia kuli wynosi 4РR2. piłka jest opisana. Objętość kuli wynosi 288.

„W świecie wielościanów” - Wielościany. Góra sześcianu. Świat wielościanów. Ciała Keplera-Poinsota. Matematyka. Grób królewski. Charakterystyka Eulera. Czworościan. Geometria. Latarnia morska w Faros. Wielościany wypukłe. Ciała Archimedesa. Wielościany w sztuce. Ogień. Dwunastościan gwiaździsty. Magnusa Wenningera. Twierdzenie Eulera. Latarnia aleksandryjska. Regularne wielościany. Pięć wypukłych regularne wielościany. Rozwój niektórych wielościanów.

„Filozof Pitagoras” - Znajomość podstaw muzyki. Słowo „filozof”. Życie i odkrycia naukowe Pitagorasa. Pitagoras spotkał się z perskimi magami. Matematyka. Kierunek lotu. Motto. Świątynie egipskie. Myśl. Twórca współczesnej matematyki. PRAWDA. Nieśmiertelny pomysł. Mnesarchos. Pitagoras.

„Zadania ze współrzędnymi” - Znajdź długość wektora a, jeśli ma on współrzędne: (-5; -1; 7). Najprostsze problemy we współrzędnych. Iloczyn skalarny wektorów. Wektor AB. Rozwiązywanie problemów: (za pomocą kart). Jak obliczyć długość wektora na podstawie jego współrzędnych. Cele Lekcji. Jak się nazywa produkt skalarny wektory. Odległość pomiędzy punktami A i B. Wektor A ma współrzędne (-3; 3; 1). M – środek odcinka AB. Plan lekcji. Jak znaleźć współrzędne środka odcinka.

Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, potrzebujesz pewnych umiejętności rysowania - to prawie najważniejsza rzecz (ponieważ same całki często będą łatwe). Możesz opanować kompetentne i szybkie techniki tworzenia wykresów za pomocą materiały dydaktyczne i transformacje geometryczne grafów. Ale tak naprawdę o znaczeniu rysunków mówiłem już kilka razy na zajęciach.

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań rachunku całkowego; za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni obrotu i wiele więcej więcej. Będzie więc zabawnie, bądź optymistą!

Wyobraź sobie płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. Wprowadzony? ...ciekawe kto co przedstawił... =))) Już znaleźliśmy jego teren. Ale dodatkowo figurę tę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

– wokół osi odciętej;
– wokół osi rzędnych.

W tym artykule omówimy oba przypadki. Szczególnie interesująca jest druga metoda rotacji, która sprawia najwięcej trudności, ale w zasadzie rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w przypadku bardziej powszechnego rotacji wokół osi x. Jako bonus wrócę do problem znalezienia obszaru figury, a powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. To nie tyle bonus, ile materiał dobrze wpasowany w temat.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

płaska figura wokół osi

Przykład 1

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie konieczne jest skonstruowanie figury ograniczonej liniami i nie zapominaj, że równanie określa oś. Jak sprawniej i szybciej wykonać rysunek dowiesz się na stronach Wykresy i własności funkcji elementarnych I Określona całka. Jak obliczyć pole figury. To chińskie przypomnienie i tak dalej w tym momencie Już nie przestaję.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest zacieniowana na niebiesko, to ta, która obraca się wokół osi.W wyniku obrotu powstaje lekko owalny latający spodek, symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jestem zbyt leniwy, aby wyjaśnić cokolwiek w podręczniku, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona u góry wykresem paraboli. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – całkę we wzorze podnosi się do kwadratu: , zatem całka jest zawsze nieujemna, co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała wirującego, korzystając ze wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

W swojej odpowiedzi musisz podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym znajduje się około 3,35 „kostek”. Dlaczego sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalny preparat. Mogą to być centymetry sześcienne, mogą to być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itd. – tyle zielonych ludzików może pomieścić twoja wyobraźnia w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład dla niezależna decyzja. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy jeszcze dwa złożone zadania, które również często spotyka się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi odciętej figury ograniczonej liniami , i

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku figurę płaską ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez .

Rozważmy figurę zakreśloną w kółku zielony. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Używamy standardowa formuła aby znaleźć objętość ciała obrotowego:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego ciała obrotowego:

Odpowiedź:

Ciekawe, że w w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (inny). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe swoje życie wypija równowartość pokoju o powierzchni 18. metry kwadratowe, co wręcz przeciwnie wydaje się być za małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, wydana w 1950 roku, bardzo dobrze rozwija, jak stwierdził humorysta, myślenie i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Niedawno z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, są przystępne nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaoferowałem wolny czas, erudycja i szerokie horyzonty w komunikacji to świetna rzecz.

Po dygresja liryczna warto podjąć decyzję twórcze zadanie:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że wszystkie przypadki występują w paśmie, czyli tak naprawdę dane są gotowe granice całkowania. Rysuj poprawnie wykresy funkcje trygonometryczne, przypominam o materiale lekcyjnym dot przekształcenia geometryczne grafów: jeśli argument zostanie podzielony przez dwa: , wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Wskazane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów zgodnie z tabelami trygonometrycznymi aby dokładniej zakończyć rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze bardziej interesujący niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych jest również dość częstym gościem testy. Po drodze zostanie to rozważone problem znalezienia obszaru figury druga metoda to integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię znajdować najbardziej opłacalną ścieżkę rozwiązania. Jest w tym także aspekt praktyczny. sens życia! Jak z uśmiechem wspominała moja nauczycielka od metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menadżerami i optymalnie zarządzamy kadrą”. Korzystając z okazji, również jej wyrażam ogromną wdzięczność, zwłaszcza, że ​​zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem=).

Polecam każdemu, nawet kompletnym manekinom. Co więcej, materiał zdobyty w drugim akapicie będzie nieocenioną pomocą w obliczaniu całek podwójnych.

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi punkt, najpierw Koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Zróbmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja określa górną gałąź paraboli, a funkcja określa dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar należy znaleźć, jest zacieniona na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który był omawiany na zajęciach Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest sumą obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Dlaczego w tym przypadku zwykłe rozwiązanie jest złe? Po pierwsze, otrzymaliśmy dwie całki. Po drugie, całki są pierwiastkami, a pierwiastki w całkach nie są darem, a poza tym można się pomylić podstawiając granice całkowania. Tak naprawdę całki oczywiście nie są zabójcze, ale w praktyce wszystko może być znacznie smutniejsze, po prostu wybrałem „lepsze” funkcje do problemu.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu na funkcje odwrotne i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak dostać się do funkcji odwrotnych? Z grubsza rzecz biorąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw spójrzmy na parabolę:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Łatwiej jest z linią prostą:

Teraz spójrz na oś: podczas wyjaśniania okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni (to nie jest żart!). Potrzebna nam liczba leży na segmencie oznaczonym czerwoną przerywaną linią. W tym przypadku na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że ​​​​pole figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Notatka: Należy wyznaczyć granice całkowania wzdłuż osi ściśle od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Zatem w segmencie:

Proszę zwrócić uwagę jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, a w kolejnym akapicie zadania będzie jasne dlaczego.

Dla czytelników wątpiących w poprawność całkowania znajdę pochodne:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że ​​całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź:

2) Obliczmy objętość ciała utworzonego przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Zatem postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, całkujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i przyglądamy się naszej sylwetce. Oczywiście objętość ciała wirującego należy obliczyć jako różnicę objętości.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, tworząc ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją objętością powstałego ciała obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Korzystamy ze wzoru na obliczenie objętości ciała obrotowego:

Jaka jest różnica w stosunku do wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w piśmie.

Ale zaletę integracji, o której ostatnio mówiłem, jest dużo łatwiej znaleźć , zamiast najpierw podnosić całkę do potęgi czwartej.

Odpowiedź:

Jednak nie chorowity motyl.

Należy pamiętać, że jeśli tę samą płaską figurę obrócisz wokół osi, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy, oczywiście o innej objętości.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią.

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar figury płaskiej ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej.
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną poprzez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zainteresowani mogą również znaleźć pole figury w „zwykły” sposób, sprawdzając w ten sposób punkt 1). Ale jeśli, powtarzam, obrócisz płaską figurę wokół osi, nawiasem mówiąc, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy o innej objętości, poprawną odpowiedź (także dla tych, którzy lubią rozwiązywać problemy).

Pełne rozwiązanie dwóch proponowanych punktów zadania znajduje się na końcu lekcji.

Tak i nie zapomnij przechylić głowy w prawo, aby zrozumieć ciała obrotowe i granice integracji!

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca, pobierz pełną wersję.

Cel:

• pogłębianie i poszerzanie wiedzy dzieci na temat obiektów płaskich i trójwymiarowych; porównywanie ich i identyfikowanie różnic między nimi;
• identyfikacja i uogólnienie wiedzy uczniów na temat figur geometrycznych i ich właściwości;
• projektowanie różnych figur płaskich;
• rozwijanie umiejętności pracy w grupie, przestrzegania zasad, wyznaczania celu, osiągania go, analizowania swojej pracy i pracy grupy.

Formularz: podróże lekcyjne lub praca grupowa na zajęciach pozalekcyjnych.

Sprzęt: prezentacja na zajęcia; dla każdej grupy: zestaw konstrukcyjny, koperty z zadaniami i figurkami, ciała geometryczne, karty zasad.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny.

Przyjechaliśmy tu się uczyć, a nie lenić, ale pracować.
Pracujemy sumiennie i uważnie słuchamy.
Wspólnie, wesoło i polubownie robimy wszystko, czego potrzebujemy.

Nasza dzisiejsza praca odbywa się w grupach. Powtórzmy zasady naszej pracy: (na biurkach każdej grupy znajduje się kartka przypominająca, przypomnij każdą zasadę – kolejno grupom seniorskim). Regulamin znajduje się w załączniku.

Czy wiedziałeś, że w ogromny świat Jest wielu matematyków ciekawy kraj o pięknej nazwie - Geometria. Ten kraj nie jest zamieszkany przez liczby, ale przez różne linie, postacie i ciała. (slajd 2)

Dziś wybierzemy się w podróż po Krainie Geometrii i odwiedzimy miasta, w których panuje płaskość i figury wolumetryczne. Naszym zadaniem jest odgadnąć, które kształty geometryczne są płaskie, a które trójwymiarowe i czym się od siebie różnią.

Będziemy podróżować balonem na ogrzane powietrze. (slajd 3)

Czemu myślisz? - Złożone z geometrycznych kształtów.

Podczas podróży dowiemy się, do której grupy należą części naszego balonu.

II. Głównym elementem.

Więc chodźmy!

Widzimy przed sobą miasto. Jakie miasto? Patrzeć!

1. przystanek – przystanek dystrybucyjny.

Tak, nie jedno miasto, ale dwa. (slajd 4)

Przed tobą są dwa miasta. Przeczytaj ich nazwiska.

Na biurkach widać także różne postacie - są to mieszkańcy miasta. Przyjrzyj się postaciom w kopercie, nazwij je, opowiedz nam o jednej.

Praca w grupach.

Teraz powiedz nam, jakie liczby wpisałeś Miasto płaskich postaci.

Odpowiedzi dzieci. (Slajd 4 w lewo)

Co mają wspólnego wszystkie płaskie figury?

(Ułożone są w całości na prześcieradle lub stole, nie wznoszą się ponad płaszczyznę, można je wyciąć z papieru.)

Matematycy tak mówią samolot - jest to przestrzeń dwuwymiarowa, tj. ma dwa wymiary: długość i szerokość.

Jakie inne płaskie figury znasz?

Segmenty, linie proste, trójkąty, okręgi...

Teraz nazwij postacie, które się osiedliły Miasto figur wolumetrycznych.

Odpowiedzi dzieci. (Slajd 4 w prawo)

Co łączy te liczby?

Bez względu na to, jak je umieścisz, wzniosą się ponad stół lub deskę.

Jakie inne figury trójwymiarowe znasz? Każda grupa nazywa swoje trójwymiarowe figury. Odpowiedzi dzieci.

W geometrii istnieje specjalna nazwa figur wolumetrycznych - geometryczne ciało.

Wszystkie ciała wokół nas tak mają trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość. To prawda, że ​​​​nie wszystkie ciała geometryczne mogą mieć długość, szerokość i wysokość. Ale w prostokątny równoległościan Móc.

Pokaz nauczyciela, dzieci oglądają swoje równoległościany na stołach. Wszystkie jego ściany są prostokątne. Wiele obiektów ma ten kształt. Nazwij je. (Slajd 6) Odpowiedzi dzieci.

Wróćmy do naszych balon. Z jakich kształtów się składa, płaskich czy trójwymiarowych? - Cylinder i kula są figurami trójwymiarowymi, a linie wstążki są płaskie. (slajd 7)

Słońce wzeszło już wysoko i odlatujemy daleko.

Przystanek 2 – naukowy. Grupa nr 1.

Teraz zgadnij o jakiej liczbie mówimy.

Student 1: Trzy kąty, trzy boki

Może mieć różne długości. ( trójkąt). (slajd 8)

Uczeń 2: To jest płaska figura. Ma 3 wierzchołki, 3 rogi i 3 boki. Może być taki sam lub różne długości boki

Uczeń 3: Trójkąt tworzą trzy odcinki linii przerywanej.

Co to za figura, płaska czy trójwymiarowa? Odpowiedzi dzieci.

(Slajd 9) KOPERTA o geometrycznych kształtach. Następna figura...

Grupa nr 2.

Student 1: Odrysuj kredą całą cegłę na asfalcie,

I dostaniesz figurę - oczywiście ją znasz.

Ten prostokąt. („kliknij” na slajd )

Uczeń 2: Prostokąt ma 4 narożniki, 4 wierzchołki i 4 boki. Parami równe.

Uczeń 3: Model jest zamkniętą linią przerywaną złożoną z 4 ogniw. Linki są równe w parach.

Grupa nr 3.

Student 1: Wszystkie cztery boki mają tę samą długość.

Chętnie się Państwu przedstawi, ale ma na imię...( kwadrat).

Uczeń 2: Kwadrat ma 4 wierzchołki, 4 rogi i 4 równe boki.

Uczeń 3: model – zamknięta linia 4 ogniw tej samej długości.

Grupa nr 4.

Uczeń 1: Triangle wsadził nos w odkurzacz.

I nie ma nosa – o mój Boże! – stała się jak spódnica.

Najciekawsze jest to, jak ma teraz na imię. ( trapez)

Uczeń 2: 4 rogi, 4 wierzchołki, 4 boki. Wszystkie boki są różne lub boki są równe, ale podstawy są różne.

Uczeń 3: model – 4 linie zamknięte, kąty – 2 rozwarte i 2 ostre.

Grupa nr 5.

Uczeń 1: gdyby wszystkie kwadraty stały na wierzchołkach pod kątem,

To, co zobaczyliśmy, chłopaki, nie było kwadratami, ale... ( diamenty.)

Uczeń 2: 4 rogi, 4 wierzchołki, 4 boki. Boki są równe, kąty przeciwne też są równe.

Uczeń 3: model – 4 zamknięte linie, określone kąty.

Słońce wzeszło już wysoko i odlatujemy daleko.
Zatrzymaj się. Co to jest? Patrzeć!

Trzeci przystanek – zatrzymanie. Lekcja wychowania fizycznego: „Kropka, kropka, przecinek…” Ruchy taneczne do muzyki. (nagranie wideo dla zajęć)

Przystanek 4 – projektowanie. (Slajd 10) Przed tobą pojemniki z designerskimi częściami. Każda grupa musi ułożyć figurki zgodnie z zadaniem. (Patrz załącznik).

Znajdź zadanie, ustal szczegóły, omów plan działania i do dzieła: ułóż figury geometryczne. Nazwij je.

Pracujcie w parach. Starsi grupy pomagają i organizują. Analiza prac.

III. Podsumowanie lekcji. Odbicie. Tak zakończyła się nasza pierwsza podróż po Krainie Geometrii. Ale ten niesamowity i wspaniały kraj trzeba odwiedzić jeszcze nie raz i nauczyć się wielu nowych rzeczy.Dziś wszyscy spisaliście się znakomicie i dlatego...brawo.

Analiza pracy grup: czy zadanie zostało wykonane, jakość pracy, przestrzeganie zasad (karty oceny pracy w grupach).

Nasza lekcja dobiegła końca. Dziękuję za uwagę. (slajd 11)

APLIKACJA:

Zadania do wykonania w grupie nr 1:

1. Przyjrzyj się kształtom geometrycznym, nazwij je i wybierz TRÓJKĄTY.

4. Wykonaj modele figur.

Zadania do wykonania w grupie nr 2:

1. Rozważ kształty geometryczne, nazwij je i wybierz PROSTOKĄTY.

2. Powiedz mi, co wiesz o tej figurze geometrycznej.

3. Zastanów się, jak zbudować MODEL tej figury. Wyjaśnić.

4. Wykonaj modele figur.

Zadania do wykonania w grupie nr 3:

1. Przyjrzyj się kształtom geometrycznym, nazwij je i wybierz KWADRAT.

2. Powiedz mi, co wiesz o tej figurze geometrycznej.

3. Zastanów się, jak zbudować MODEL tej figury. Wyjaśnić.

4. Wykonaj modele figur.

Zadania do wykonania w grupie nr 4:

1. Rozważ kształty geometryczne, nazwij je i wybierz TRAPEZY.

2. Powiedz mi, co wiesz o tej figurze geometrycznej.

3. Zastanów się, jak zbudować MODEL tej figury. Wyjaśnić.

4. Wykonaj modele figur.

Zadania do wykonania w grupie nr 5:

1. Przyjrzyj się kształtom geometrycznym, nazwij je i wybierz Romby.

2. Powiedz mi, co wiesz o tej figurze geometrycznej.

3. Zastanów się, jak zbudować MODEL tej figury. Wyjaśnić.

4. Wykonaj modele figur.

Zasady pracy w grupie.

• Szanuj swojego towarzysza.
• Wiedz, jak słuchać wszystkich.
• Bądź odpowiedzialny za swoją pracę i za wspólną sprawę.
• Bądź tolerancyjny na krytykę.
• Jeśli się nie zgadzasz, zasugeruj to!

Bryły wolumetryczne można generować w komputerze na różne sposoby. Najczęściej stosowaną metodą jest łączenie korpusów podstawowych.

Przesunięcie obszaru separacji układu trójskładnikowego ze składnikiem polimerowym (obszar zacieniony w porównaniu do układu składającego się ze składników o niskiej masie cząsteczkowej (obszar ograniczony krzywą przerywaną. P - polimer, P, P3 - o niskiej masie cząsteczkowej) ciecze|Przekształcenie warunkowe.

Opisany powyżej korpus wolumetryczny wiązki jest oczywiście schematem wyidealizowanym.

Ta bryła wolumetryczna składa się z części zwanych sekcjami. Każdy przekrój jest zamknięty pomiędzy dwiema sąsiednimi płaszczyznami przechodzącymi przez sąsiednie izotynki i ma kształt ściętego eliptycznego stożka. Bryła wolumetryczna złożona z takich sekcji służy jako model geometryczny zbiornika. To ciało wolumetryczne nazwiemy stożkowo-elipsowym modelem wypełnienia gazem (model CG), które należy skonstruować w taki sposób, aby okazało się objętościowo izomorficzne z obiektem, tj. tak, aby objętości sekcji modelowej i odpowiadającej jej części zbiornika były takie same.

Jeżeli bryła wolumetryczna powstanie w wyniku obrotu płaskiej powierzchni A wokół osi leżącej w jej płaszczyźnie, ale jej nie przecinającej, to będzie ona miała kształt pierścienia. Niech taki pierścień zostanie owinięty drutem, którego zwoje znajdują się w płaszczyźnie przechodzącej przez oś pierścienia; wówczas aktualna funkcja warstwy drutu będzie równa φ (1/2π) π &, gdzie n jest całkowitą liczbą zwojów, ad jest kątem azymutalnym mierzonym wokół osi pierścienia.

Modele ciał wolumetrycznych, rozdzielone tonalnie według tego schematu, pokazano na ryc. 1.5.4. Choć algorytm nie uwzględnia padających cieni, ogólna wyrazistość obrazu pozostaje dość wysoka ze względu na pewność pokazania, że ​​twarz należy do tego czy innego układu płaszczyzn zorientowanych ortogonalnie. Jeśli trzy obszary wskazane powyżej są przedstawione na rysunku różne kolory, wtedy efekt będzie jeszcze większy. Model fizyczny takiego rozwiązania graficznego przedstawiono na rys. 1.5.5. Opiera się na zasadzie oświetlania obiektu trzema źródłami o różnych barwach, rozmieszczonych zgodnie z przyjętym układem płaszczyzn ortogonalnych.

Dla istniejącej bryły ustaw atrybuty, określając typ elementu skończonego i materiał.

Rodzaje równowagi.

W przypadku ciał wolumetrycznych procedurę tę należy wykonać trzykrotnie. Środek ciężkości może znajdować się zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz korpusu, na przykład półpierścień wykonany z grubego jednorodnego drutu ma środek ciężkości na zewnątrz korpusu.

Ćwiczenia mające na celu identyfikację przestrzennych poziomów głębi.| Kolejność etapów tworzenia kompozycji o kilku poziomach głębi.| Rozwój tonalny kompozycji o złożonej strukturze przestrzennej.

Podczas przedstawiania ciał trójwymiarowych uczniowie najczęściej stosują metodę ukazania głębi, tworząc jasną sylwetkę na ciemnym tle. Czasami ta metoda prowadzi do błędnego przekonania o naturze formy wolumetryczno-przestrzennej. Obraz w tym przypadku odpowiada naturze percepcji formy rzeczywistej.

Wyznaczanie środka ciężkości ciał objętościowych wiąże się z pojęciami płaszczyzny i osi symetrii. Płaszczyzna symetrii to płaszczyzna, która dzieli dane ciało na dwie połówki całkowicie identyczne pod względem wielkości i kształtu. Z tego powodu środek ciężkości ciała symetrycznego leży w płaszczyźnie symetrii.