§ 1. Pojęcie uproszczenia wyrażenia dosłownego

Na tej lekcji zapoznamy się z pojęciem „terminów podobnych” i na przykładach nauczymy się, jak przeprowadzić redukcję terminów podobnych, upraszczając w ten sposób wyrażenia dosłowne.

Poznajmy znaczenie pojęcia „uproszczenie”. Słowo „uproszczenie” pochodzi od słowa „uproszczenie”. Uprościć oznacza uczynić prostym, prostszym. Dlatego uproszczenie wyrażenia literowego oznacza jego skrócenie przy minimalnej liczbie działań.

Rozważmy wyrażenie 9x + 4x. Jest to dosłowne wyrażenie będące sumą. Terminy są tutaj prezentowane jako iloczyny liczby i litery. Czynnik liczbowy takich terminów nazywany jest współczynnikiem. W tym wyrażeniu współczynnikami będą liczby 9 i 4. Należy pamiętać, że współczynnik reprezentowany przez literę jest taki sam w obu wyrazach tej sumy.

Przypomnijmy rozdzielne prawo mnożenia:

Aby pomnożyć sumę przez liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać otrzymane iloczyny.

W ogólna perspektywa zapisać w następujący sposób: (a + b) ∙ c = ac + bc.

To prawo jest prawdziwe w obu kierunkach ac + bc = (a + b) ∙ c

Zastosujmy to do naszego dosłownego wyrażenia: suma iloczynów 9x i 4x jest równa iloczynowi, którego pierwszy czynnik jest równy sumie 9 i 4, drugi czynnik to x.

9 + 4 = 13, czyli 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Zamiast trzech akcji w wyrażeniu pozostała tylko jedna akcja - mnożenie. Oznacza to, że uprościliśmy nasze wyrażenie dosłowne, tj. uprościł to.

§ 2 Obniżenie warunków podobnych

Terminy 9x i 4x różnią się jedynie współczynnikami - takie terminy nazywane są podobnymi. Część literowa podobnych terminów jest taka sama. Podobne terminy obejmują również liczby i terminy równe.

Na przykład w wyrażeniu 9a + 12 - 15 podobnymi wyrazami będą liczby 12 i -15, a w sumie iloczynu 12 i 6a liczba 14 oraz iloczyn 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) równe wyrazy reprezentowane przez iloczyn 12 i 6a.

Należy zauważyć, że wyrazy, których współczynniki są równe, ale których współczynniki literowe są różne, nie są podobne, chociaż czasami warto zastosować do nich rozdzielne prawo mnożenia, na przykład suma iloczynów 5x i 5y wynosi równy iloczynowi liczby 5 i sumy x i y

5x + 5y = 5(x + y).

Uprośćmy wyrażenie -9a + 15a - 4 + 10.

Podobne terminy w w tym przypadku są wyrazami -9a i 15a, ponieważ różnią się one jedynie współczynnikami. Ich mnożnik liter jest taki sam, a wyrazy -4 i 10 są również podobne, ponieważ są liczbami. Dodaj podobne terminy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Otrzymujemy: 6a + 6.

Upraszczając wyrażenie, znaleźliśmy sumy podobnych wyrazów; w matematyce nazywa się to redukcją podobnych wyrazów.

Jeśli dodanie takich terminów jest trudne, możesz wymyślić dla nich słowa i dodać obiekty.

Rozważmy na przykład wyrażenie:

Za każdą literę bierzemy własny przedmiot: b-jabłko, c-gruszka, następnie otrzymujemy: 2 jabłka minus 5 gruszek plus 8 gruszek.

Czy możemy odjąć gruszki od jabłek? Oczywiście nie. Ale do minus 5 gruszek możemy dodać 8 gruszek.

Przedstawmy podobne terminy -5 gruszek + 8 gruszek. Terminy podobne mają tę samą część literową, więc przy wprowadzaniu podobnych terminów wystarczy dodać współczynniki i dodać część literową do wyniku:

(-5 + 8) gruszki - dostajesz 3 gruszki.

Wracając do naszego dosłownego wyrażenia, mamy -5 s + 8 s = 3 s. Zatem po wprowadzeniu podobnych terminów otrzymujemy wyrażenie 2b + 3c.

Zatem podczas tej lekcji zapoznałeś się z koncepcją „podobnych terminów” i nauczyłeś się, jak upraszczać wyrażenia literowe, redukując podobne terminy.

Lista wykorzystanej literatury:

1. Matematyka. Klasa 6: scenariusze lekcji do podręcznika I.I. Zubarewa, A.G. Mordkovich // autor-kompilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematyka. klasa 6: podręcznik dla szkół ogólnokształcących/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suworow i inni/pod redakcją G.V. Dorofeeva, I.F. Szarygina; Rosyjska Akademia Nauk, Rosyjska Akademia Edukacji. M.: „Oświecenie”, 2010.
4. Matematyka. Klasa 6: nauka dla ogólnokształcących placówek oświatowych/N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematyka. klasa 6: podręcznik/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Drop, 2014.

Wykorzystane obrazy:

Pierwszy poziom

Konwersja wyrażeń. Szczegółowa teoria (2019)

Konwersja wyrażeń

Często słyszymy to nieprzyjemne zdanie: „uprość wyrażenie”. Zwykle widzimy takiego potwora:

„To znacznie prostsze” – mówimy, ale taka odpowiedź zwykle nie działa.

Teraz nauczę Cię, jak nie bać się takich zadań. Co więcej, pod koniec lekcji sam uprościsz ten przykład do (tylko!) zwykłej liczby (tak, do diabła z tymi literami).

Ale zanim zaczniesz tę lekcję, musisz umieć posługiwać się ułamkami zwykłymi i wielomianami na czynniki. Dlatego najpierw, jeśli nie robiłeś tego wcześniej, pamiętaj o opanowaniu tematów „” i „”.

Czytałeś to? Jeśli tak, to jesteś teraz gotowy.

Podstawowe operacje upraszczające

Przyjrzyjmy się teraz podstawowym technikom używanym do upraszczania wyrażeń.

Najprostszy jest

1. Przynoszenie podobnych

Jakie są podobne? Robiłeś to w siódmej klasie, kiedy w matematyce po raz pierwszy pojawiły się litery zamiast cyfr. Podobne są terminy (jednomiany) z tą samą częścią literową. Na przykład w sumie podobnymi terminami są i.

Pamiętasz?

Przynieść podobne oznacza dodać do siebie kilka podobnych terminów i otrzymać jeden termin.

Jak możemy połączyć litery? - ty pytasz.

Bardzo łatwo to zrozumieć, jeśli wyobrazisz sobie, że litery są pewnego rodzaju przedmiotami. Na przykład litera to krzesło. Zatem czemu równa się to wyrażenie? Dwa krzesła plus trzy krzesła, ile to będzie? Zgadza się, krzesła: .

Teraz wypróbuj to wyrażenie: .

Aby uniknąć zamieszania, niech różne litery reprezentują różne obiekty. Na przykład - to (jak zwykle) krzesło, a - to stół. Następnie:

krzesła stoły krzesła stoły krzesła krzesła stoły

Nazywa się liczby, przez które mnożone są litery w takich terminach współczynniki. Na przykład w jednomianie współczynnik jest równy. I w tym jest równa.

Zatem zasada sprowadzania podobnych jest następująca:

Przykłady:

Podaj podobne:

Odpowiedzi:

2. (i podobne, ponieważ zatem terminy te mają tę samą część literową).

2. Faktoryzacja

Jest to zazwyczaj najważniejsza część upraszczania wyrażeń. Po podaniu podobnych najczęściej wynikowe wyrażenie należy rozłożyć na czynniki, czyli przedstawić jako iloczyn. Jest to szczególnie ważne w przypadku ułamków: aby móc skrócić ułamek, licznik i mianownik muszą być przedstawione jako iloczyn.

Szczegółowo omówiłeś metody rozkładu wyrażeń na czynniki w temacie „”, więc tutaj musisz tylko zapamiętać, czego się nauczyłeś. Aby to zrobić, zdecyduj się na kilka przykłady(trzeba rozłożyć na czynniki):

Rozwiązania:

3. Redukcja ułamka.

Cóż może być przyjemniejszego niż przekreślenie części licznika i mianownika i wyrzucenie ich ze swojego życia?

Na tym polega piękno downsizingu.

To proste:

Jeśli licznik i mianownik zawierają te same czynniki, można je zmniejszyć, to znaczy usunąć z ułamka.

Zasada ta wynika z podstawowej właściwości ułamka:

Oznacza to, że istota operacji redukcji polega na tym Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez tę samą liczbę (lub przez to samo wyrażenie).

Aby skrócić ułamek, potrzebujesz:

1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki

2) jeżeli licznik i mianownik zawierają Wspólne czynniki, można je przekreślić.

Myślę, że zasada jest jasna?

Chciałbym zwrócić Państwa uwagę na jedną rzecz typowy błąd podczas kontraktowania. Chociaż temat jest prosty, wiele osób robi wszystko źle, nie rozumiejąc tego zmniejszyć- to znaczy dzielić licznik i mianownik są tą samą liczbą.

Brak skrótów, jeśli licznik lub mianownik jest sumą.

Na przykład: musimy uprościć.

Niektórzy ludzie tak robią: co jest całkowicie błędne.

Inny przykład: redukcja.

„Najmądrzejsi” zrobią to: .

Powiedz mi, co tu jest nie tak? Wydawałoby się: - jest to mnożnik, czyli można go zmniejszyć.

Ale nie: - jest to współczynnik tylko jednego wyrazu w liczniku, ale sam licznik jako całość nie jest rozkładany na czynniki.

Oto kolejny przykład: .

To wyrażenie jest rozkładane na czynniki, co oznacza, że ​​można je zredukować, czyli podzielić licznik i mianownik przez, a następnie przez:

Można od razu podzielić to na:

Aby uniknąć takich błędów, pamiętaj łatwy sposób jak ustalić, czy wyrażenie jest rozłożone na czynniki:

Operacja arytmetyczna wykonywana jako ostatnia przy obliczaniu wartości wyrażenia jest operacją „główną”. Oznacza to, że jeśli zastąpisz jakieś (dowolne) cyfry zamiast liter i spróbujesz obliczyć wartość wyrażenia, to jeśli ostatnia akcja nastąpi mnożenie, co oznacza, że ​​​​mamy iloczyn (wyrażenie jest rozłożone na czynniki). Jeśli ostatnią czynnością jest dodawanie lub odejmowanie, oznacza to, że wyrażenie nie jest rozkładane na czynniki (i dlatego nie można go zmniejszyć).

Aby skonsolidować, rozwiąż kilka samodzielnie przykłady:

Odpowiedzi:

1. Mam nadzieję, że nie od razu spieszyłeś się z cięciem i? Nadal nie wystarczyło „zmniejszenie” jednostek w ten sposób:

Pierwszym krokiem powinna być faktoryzacja:

4. Dodawanie i odejmowanie ułamków. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Dodawanie i odejmowanie zwykłe ułamki- operacja jest dobrze znana: szukamy wspólnego mianownika, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki. Zapamiętajmy:

Odpowiedzi:

1. Mianowniki i są względnie pierwsze, to znaczy nie mają wspólnych czynników. Dlatego LCM tych liczb jest równy ich iloczynowi. To będzie wspólny mianownik:

2. Tutaj wspólnym mianownikiem jest:

3. Pierwsza rzecz tutaj frakcje mieszane zamieniamy je na nieprawidłowe, a następnie postępujemy zgodnie ze zwykłym schematem:

Zupełnie inna sprawa, jeśli ułamki zawierają litery, np.:

Zacznijmy od czegoś prostego:

a) Mianowniki nie zawierają liter

Tutaj wszystko jest tak samo, jak w przypadku zwykłych ułamków liczbowych: znajdujemy wspólny mianownik, mnożymy każdy ułamek przez brakujący czynnik i dodajemy/odejmujemy liczniki:

Teraz w liczniku możesz podać podobne, jeśli takie istnieją, i rozłożyć je na czynniki:

Spróbuj sam:

b) Mianowniki zawierają litery

Pamiętajmy o zasadzie znajdowania wspólnego mianownika bez liter:

· przede wszystkim określamy czynniki wspólne;

· następnie zapisujemy po kolei wszystkie wspólne czynniki;

· i pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.

Aby określić wspólne czynniki mianowników, najpierw rozkładamy je na czynniki pierwsze:

Podkreślmy wspólne czynniki:

Teraz wypiszmy po kolei wspólne czynniki i dodajmy do nich wszystkie czynniki nietypowe (niepodkreślone):

To jest wspólny mianownik.

Wróćmy do liter. Mianowniki podaje się dokładnie w ten sam sposób:

· uwzględnij mianowniki;

· określić wspólne (identyczne) czynniki;

· wypisz raz wszystkie wspólne czynniki;

· pomnóż je przez wszystkie inne, nietypowe czynniki.

Zatem w kolejności:

1) rozłóż mianowniki na czynniki:

2) określić wspólne (identyczne) czynniki:

3) wypisz raz wszystkie wspólne czynniki i pomnóż je przez wszystkie inne (niepodkreślone) czynniki:

Zatem jest tu wspólny mianownik. Pierwszy ułamek należy pomnożyć przez, drugi - przez:

Nawiasem mówiąc, jest jeden trik:

Na przykład: .

W mianownikach widzimy te same czynniki, tylko wszystkie z różnymi wskaźnikami. Wspólnym mianownikiem będzie:

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia

do pewnego stopnia.

Skomplikujmy zadanie:

Jak sprawić, aby ułamki miały ten sam mianownik?

Przypomnijmy sobie podstawową własność ułamka:

Nigdzie nie jest napisane, że tę samą liczbę można odjąć (lub dodać) od licznika i mianownika ułamka. Bo to nieprawda!

Przekonaj się: weź na przykład dowolny ułamek i dodaj do licznika i mianownika jakąś liczbę, na przykład . Czego się nauczyłeś?

Zatem kolejna niezachwiana zasada:

Sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika, używaj tylko operacji mnożenia!

Ale przez co trzeba pomnożyć, żeby otrzymać?

Więc pomnóż przez. I pomnóż przez:

Wyrażenia, których nie można rozłożyć na czynniki, będziemy nazywać „czynnikami elementarnymi”. Na przykład - jest to czynnik elementarny. - To samo. Ale nie: można to rozłożyć na czynniki.

A co z wyrażeniem? Czy to elementarne?

Nie, ponieważ można to rozłożyć na czynniki:

(o faktoryzacji czytałeś już w temacie „”).

Zatem elementarne czynniki, na które rozkłada się wyrażenie zawierające litery, są analogią prostych czynników, na które rozkłada się liczby. I poradzimy sobie z nimi w ten sam sposób.

Widzimy, że oba mianowniki mają mnożnik. W stopniu będzie to sprzęgać wspólny mianownik (pamiętasz dlaczego?).

Czynnik jest elementarny i nie mają wspólnego czynnika, co oznacza, że ​​​​pierwszy ułamek będzie musiał po prostu zostać przez niego pomnożony:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Zanim w panice pomnożysz te mianowniki, musisz pomyśleć o tym, jak je rozłożyć na czynniki? Obaj reprezentują:

Świetnie! Następnie:

Inny przykład:

Rozwiązanie:

Jak zwykle, rozłóżmy mianowniki na czynniki. W pierwszym mianowniku po prostu usuwamy go z nawiasów; w drugim - różnica kwadratów:

Wydawać by się mogło, że nie ma wspólnych czynników. Ale jeśli przyjrzysz się uważnie, są podobne... I to prawda:

Napiszmy więc:

Oznacza to, że wyglądało to tak: w nawiasie zamieniliśmy terminy, a jednocześnie znak przed ułamkiem zmienił się na przeciwny. Pamiętaj, że będziesz musiał to robić często.

A teraz sprowadźmy to do wspólnego mianownika:

Rozumiem? Sprawdźmy to teraz.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Odpowiedzi:

Tutaj musimy pamiętać o jeszcze jednej rzeczy - różnicy kostek:

Należy pamiętać, że w mianowniku drugiego ułamka nie znajduje się wzór „kwadrat sumy”! Kwadrat sumy będzie wyglądał następująco: .

A jest tak zwanym niepełnym kwadratem sumy: drugi człon jest iloczynem pierwszego i ostatniego, a nie ich podwójnym iloczynem. Częściowy kwadrat sumy jest jednym z czynników zwiększających różnicę kostek:

Co zrobić, jeśli są już trzy ułamki?

Tak, to samo! Przede wszystkim upewnijmy się, że maksymalna liczba czynników w mianownikach jest taka sama:

Uwaga: jeśli zmienisz znaki w jednym nawiasie, znak przed ułamkiem zmieni się na przeciwny. Kiedy zmienimy znaki w drugim nawiasie, znak przed ułamkiem ponownie zmieni się na przeciwny. W rezultacie on (znak przed ułamkiem) się nie zmienił.

Cały pierwszy mianownik zapisujemy do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy do niego wszystkie jeszcze nie zapisane czynniki, od drugiego, a potem od trzeciego (i tak dalej, jeśli ułamków jest więcej). Oznacza to, że wygląda to tak:

Hmm... Jasne jest, co zrobić z ułamkami zwykłymi. Ale co z tą dwójką?

To proste: wiesz, jak dodawać ułamki zwykłe, prawda? Musimy więc sprawić, że dwa staną się ułamkiem! Pamiętajmy: ułamek zwykły to operacja dzielenia (licznik dzieli się przez mianownik, jeśli zapomniałeś). A nie ma nic prostszego niż dzielenie liczby przez. W takim przypadku sama liczba nie ulegnie zmianie, ale zamieni się w ułamek:

Dokładnie to, czego potrzeba!

5. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.

Cóż, najtrudniejsza część już za nami. A przed nami najprostsze, ale jednocześnie najważniejsze:

Procedura

Jaka jest procedura obliczania wyrażenia liczbowego? Pamiętaj, obliczając znaczenie tego wyrażenia:

Czy policzyłeś?

Powinno działać.

Więc pozwól, że ci przypomnę.

Pierwszym krokiem jest obliczenie stopnia.

Po drugie, mnożenie i dzielenie. Jeżeli jednocześnie wykonywanych jest kilka mnożeń i dzieleń, można je wykonać w dowolnej kolejności.

Na koniec wykonujemy dodawanie i odejmowanie. Jeszcze raz, w dowolnej kolejności.

Ale: wyrażenie w nawiasach jest oceniane poza kolejnością!

Jeśli kilka nawiasów jest mnożonych lub dzielonych przez siebie, najpierw obliczamy wyrażenie w każdym z nawiasów, a następnie je mnożymy lub dzielimy.

A co jeśli w nawiasach jest więcej nawiasów? Cóż, pomyślmy: w nawiasach zapisane jest jakieś wyrażenie. Co należy zrobić najpierw, obliczając wyrażenie? Zgadza się, oblicz nawiasy. Cóż, rozpracowaliśmy to: najpierw obliczamy nawiasy wewnętrzne, potem wszystko inne.

Zatem procedura dla powyższego wyrażenia jest następująca (bieżąca akcja jest podświetlona na czerwono, to znaczy akcja, którą właśnie wykonuję):

OK, wszystko jest proste.

Ale to nie jest to samo, co wyrażenie z literami?

Nie, to jest to samo! Tylko zamiast operacji arytmetycznych musisz wykonywać operacje algebraiczne, czyli czynności opisane w poprzedniej sekcji: przynosząc podobne, dodawanie ułamków, zmniejszanie ułamków i tak dalej. Jedyną różnicą będzie działanie rozkładu wielomianów na czynniki (często używamy tego podczas pracy z ułamkami). Najczęściej, aby dokonać rozkładu na czynniki, należy użyć I lub po prostu wyjąć wspólny czynnik z nawiasów.

Zwykle naszym celem jest przedstawienie wyrażenia jako iloczynu lub ilorazu.

Na przykład:

Uprośćmy wyrażenie.

1) Najpierw upraszczamy wyrażenie w nawiasach. Tam mamy różnicę ułamków i naszym celem jest przedstawienie jej jako iloczynu lub ilorazu. Sprowadzamy więc ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy:

Nie da się już tego wyrażenia uprościć, wszystkie czynniki są tutaj elementarne (pamiętasz jeszcze, co to oznacza?).

2) Otrzymujemy:

Mnożenie ułamków zwykłych: co może być prostszego.

3) Teraz możesz skrócić:

OK, wszystko już skończone. Nic skomplikowanego, prawda?

Inny przykład:

Uprość wyrażenie.

Najpierw spróbuj rozwiązać problem samodzielnie, a dopiero potem spójrz na rozwiązanie.

Przede wszystkim ustalmy kolejność działań. Najpierw dodajmy ułamki w nawiasach, aby zamiast dwóch ułamków otrzymać jeden. Następnie zajmiemy się dzieleniem ułamków. Cóż, dodajmy wynik z ostatniego ułamka. Ponumeruję kroki schematycznie:

Teraz pokażę ci proces, zabarwiając bieżącą akcję na czerwono:

Na koniec dam Ci dwie przydatne wskazówki:

1. Jeżeli są podobne, należy je natychmiast sprowadzić. Kiedykolwiek w naszym kraju pojawią się podobne, warto je natychmiast poruszyć.

2. To samo dotyczy redukcji ułamków: gdy tylko pojawi się możliwość redukcji, należy z niej skorzystać. Wyjątkiem są ułamki, które dodajesz lub odejmujesz: jeśli mają teraz te same mianowniki, to redukcję należy odłożyć na później.

Oto kilka zadań, które możesz rozwiązać samodzielnie:

I to co obiecano na samym początku:

Rozwiązania (krótkie):

Jeśli poradziłeś sobie przynajmniej z trzema pierwszymi przykładami, to temat opanowałeś.

Teraz do nauki!

KONWERSJA WYRAŻEŃ. PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Podstawowe operacje upraszczające:

• Przynosząc podobne: aby dodać (skrócić) podobne terminy, należy dodać ich współczynniki i przypisać część literową.
• Faktoryzacja: wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów, zastosowanie go itp.
• Zmniejszanie ułamka: Licznik i mianownik ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę niezerową, co nie zmienia wartości ułamka.
  1) licznik i mianownik rozkładać na czynniki
  2) jeżeli licznik i mianownik mają wspólne dzielniki, można je przekreślić.

  WAŻNE: zmniejszać można tylko mnożniki!

• Dodawanie i odejmowanie ułamków:
  ;
• Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych:
  ;

Kalkulator matematyczny-online v.1.0

Kalkulator wykonuje następujące operacje: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, praca z ułamkami dziesiętnymi, wyodrębnianie pierwiastka, potęgowanie, obliczanie procentów i inne operacje.

Rozwiązanie:

Jak korzystać z kalkulatora matematycznego

Algorytm kalkulatora online na przykładach

Dodatek.

Dodawanie liczb całkowitych liczby naturalne { 5 + 7 = 12 }

Dodawanie liczb całkowitych naturalnych i ujemnych ( 5 + (-2) = 3 )

Dodawanie ułamków dziesiętnych (0,3 + 5,2 = 5,5)

Odejmowanie.

Odejmowanie liczb całkowitych naturalnych ( 7 - 5 = 2 )

Odejmowanie liczb całkowitych naturalnych i ujemnych ( 5 - (-2) = 7 )

Odejmowanie ułamków dziesiętnych (6,5 - 1,2 = 4,3)

Mnożenie.

Iloczyn liczb całkowitych naturalnych (3 * 7 = 21)

Iloczyn liczb całkowitych naturalnych i ujemnych ( 5 * (-3) = -15 )

Iloczyn ułamków dziesiętnych ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Dział.

Dzielenie liczb całkowitych naturalnych (27 / 3 = 9)

Dzielenie liczb całkowitych naturalnych i ujemnych (15 / (-3) = -5)

Dzielenie ułamków dziesiętnych (6,2 / 2 = 3,1)

Wyodrębnianie pierwiastka liczby.

Wyodrębnianie pierwiastka z liczby całkowitej ( root(9) = 3)

Wyciąganie korzenia z miejsca dziesiętne( pierwiastek(2,5) = 1,58)

Wyodrębnianie pierwiastka z sumy liczb ( root(56 + 25) = 9)

Wyodrębnianie pierwiastka różnicy między liczbami (pierwiastek (32 – 7) = 5)

Kwadratowanie liczby.

Podnoszenie liczby całkowitej do kwadratu ( (3) 2 = 9 )

Kwadrat ułamków dziesiętnych ((2,2)2 = 4,84)

Konwersja na ułamki dziesiętne.

Obliczanie procentów liczby

Zwiększ liczbę 230 o 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Zmniejsz liczbę 510 o 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18% liczby 140 to (140 * 0,18 = 25,2)

Kalkulator inżynieryjny online

Z przyjemnością oddajemy każdemu darmowy kalkulator inżynierski. Za jego pomocą każdy uczeń może szybko i co najważniejsze łatwo wykonać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.

Prosty i łatwy w obsłudze kalkulator inżynieryjny z dyskretnym i intuicyjnym interfejsem naprawdę się przyda do najszerszego kręgu Użytkownicy Internetu. Teraz, kiedy tylko potrzebujesz kalkulatora, wejdź na naszą stronę i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.

Kalkulator inżynierski może wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.

Web20calc to kalkulator inżynieryjny, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład obliczanie wszystkiego funkcje elementarne. Kalkulator również obsługuje funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet kreślenie.

Bez wątpienia Web20calc zainteresuje tę grupę osób, które poszukują proste rozwiązania dzwoni Wyszukiwarkiżądanie: matematyczne kalkulator internetowy. Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci błyskawicznie obliczyć wynik jakiegoś wyrażenia matematycznego, na przykład odjąć, dodać, podzielić, wyodrębnić pierwiastek, podnieść do potęgi itp.

W wyrażeniu można zastosować operacje potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, wartości procentowych i stałej PI. Dla złożone obliczenia należy uwzględnić nawiasy.

Funkcje kalkulatora inżynierskiego:

1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. praca z liczbami w standardowej formie;
3. obliczenia pierwiastki trygonometryczne, funkcje, logarytmy, potęgowanie;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. wykorzystanie komórek pamięci i funkcji własnych 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.

Kalkulator inżynieryjny umożliwia wykorzystanie różnorodnych funkcji matematycznych:

Wyodrębnianie pierwiastków (pierwiastek kwadratowy, sześcienny i n-ty);
ex (e do potęgi x), wykładniczy;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tangens;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcsinus - sin-1, arcus cosinus - cos-1, arcustangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm binarny podstawa druga - log2x, logarytm o podstawie dziesiątej - log, logarytm naturalny - ln.

Ten kalkulator inżynieryjny zawiera również kalkulator wartości z możliwością konwersji wielkości fizyczne dla różnych systemów miar - jednostki komputerowe, odległość, waga, czas itp. Korzystając z tej funkcji, możesz błyskawicznie przeliczyć mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.

Aby dokonać obliczeń matematycznych, najpierw wpisz ciąg wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Wartości możesz wprowadzać bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego przydatne byłoby umieszczenie kursora w polu wprowadzania). Dane można wprowadzać między innymi za pomocą przycisków samego kalkulatora.

Aby zbudować wykresy należy w polu wejściowym wpisać funkcję zgodnie ze wskazaniami w polu z przykładami lub skorzystać ze specjalnie do tego przeznaczonego paska narzędzi (aby przejść do niej należy kliknąć przycisk z ikoną wykresu). Aby przeliczyć wartości, kliknij Jednostka; aby pracować z macierzami, kliknij Matryca.

Często zadania wymagają uproszczonej odpowiedzi. Chociaż zarówno uproszczone, jak i nieuproszczone odpowiedzi są poprawne, instruktor może obniżyć Twoją ocenę, jeśli nie uprościsz odpowiedzi. Co więcej, uproszczone wyrażenie matematyczne jest znacznie łatwiejsze w użyciu. Dlatego bardzo ważne jest, aby nauczyć się upraszczać wyrażenia.

Kroki

Prawidłowa kolejność działań matematycznych

1. Pamiętaj o właściwej kolejności wykonywania operacji matematycznych. Upraszczając wyrażenie matematyczne, należy przestrzegać określonej procedury, ponieważ niektóre operacje matematyczne mają pierwszeństwo przed innymi i należy je wykonać w pierwszej kolejności (w rzeczywistości nieprzestrzeganie właściwej kolejności operacji doprowadzi do błędnego wyniku). Pamiętaj o następującej kolejności działań matematycznych: wyrażenie w nawiasie, potęgowanie, mnożenie, dzielenie, dodawanie, odejmowanie.

   • Pamiętaj, że znajomość prawidłowej kolejności działań pozwoli Ci uprościć większość prostych wyrażeń, natomiast aby uprościć wielomian (wyrażenie ze zmienną) musisz znać specjalne triki (patrz następny rozdział).

2. Zacznij od rozwiązania wyrażenia w nawiasach. W matematyce nawiasy wskazują, że najpierw należy ocenić zawarte w nich wyrażenie. Dlatego upraszczając dowolne wyrażenie matematyczne, zacznij od rozwiązania wyrażenia zawartego w nawiasach (nie ma znaczenia, jakie operacje musisz wykonać w nawiasach). Pamiętaj jednak, że pracując z wyrażeniami zawartymi w nawiasach, musisz przestrzegać kolejności działań, to znaczy, że wyrazy w nawiasach są najpierw mnożone, dzielone, dodawane, odejmowane i tak dalej.

   • Na przykład uprośćmy wyrażenie 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Tutaj zaczynamy od wyrażeń w nawiasach: 5 + 2 = 7 i 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • Wyrażenie w drugiej parze nawiasów upraszcza się do 5, ponieważ najpierw należy podzielić 4/2 (zgodnie z odpowiednią kolejnością działań). Jeśli nie zastosujesz się do tej kolejności, otrzymasz błędną odpowiedź: 3 + 4 = 7 i 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Jeśli w nawiasach znajduje się inna para nawiasów, rozpocznij upraszczanie od rozwiązania wyrażenia w nawiasach wewnętrznych, a następnie przejdź do rozwiązywania wyrażeń w nawiasach zewnętrznych.

3. Potęgować. Po rozwiązaniu wyrażeń w nawiasach przejdź do potęgowania (pamiętaj, że potęga ma wykładnik i podstawę). Podnieś odpowiednie wyrażenie (lub liczbę) do potęgi i zastąp wynik otrzymanym wyrażeniem.

   • W naszym przykładzie jedynym wyrażeniem (liczbą) do potęgi jest 3 2: 3 2 = 9. W podanym wyrażeniu zamień 3 2 na 9, a otrzymasz: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Zwielokrotniać. Pamiętaj, że operację mnożenia można przedstawić za pomocą następujących symboli: „x”, „∙” lub „*”. Jeśli jednak pomiędzy liczbą a zmienną (na przykład 2x) lub między liczbą a liczbą w nawiasie (na przykład 4(7)) nie ma żadnych symboli, wówczas jest to również operacja mnożenia.

   • W naszym przykładzie występują dwie operacje mnożenia: 2x (dwa pomnożone przez zmienną „x”) i 4(7) (cztery pomnożone przez siedem). Nie znamy wartości x, więc pozostawimy wyrażenie 2x bez zmian. 4(7) = 4 x 7 = 28. Teraz możesz przepisać podane wyrażenie w następujący sposób: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Dzielić. Pamiętaj, że operację dzielenia można przedstawić za pomocą następujących symboli: „/”, „÷” lub „–” (ten ostatni znak możesz zobaczyć w ułamkach). Na przykład 3/4 to trzy podzielone przez cztery.

   • W naszym przykładzie nie ma już operacji dzielenia, ponieważ przy rozwiązywaniu wyrażenia w nawiasach podzieliliśmy już 4 przez 2 (4/2). Możesz więc przejść do następnego kroku. Pamiętaj, że większość wyrażeń nie zawiera wszystkich operacji matematycznych (tylko niektóre z nich).

6. Zginać. Dodając terminy do wyrażenia, możesz zacząć od terminu znajdującego się najdalej (po lewej stronie) lub możesz najpierw dodać terminy, które można łatwo dodać. Np. w wyrażeniu 49 + 29 + 51 +71 najpierw łatwiej jest dodać 49 + 51 = 100, potem 29 + 71 = 100, a na koniec 100 + 100 = 200. Znacznie trudniej jest dodać w ten sposób: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • W naszym przykładzie 2x + 28 + 9 + 5 występują dwie operacje dodawania. Zacznijmy od skrajnego (lewego) składnika: 2x + 28; nie możesz dodać 2x i 28, ponieważ nie znasz wartości zmiennej „x”. Dlatego dodaj 28 + 9 = 37. Teraz wyrażenie można przepisać w następujący sposób: 2x + 37 - 5.

7. Odejmować. To ostatnia operacja w we właściwej kolejności wykonywania operacji matematycznych. Na tym etapie możesz także dodać liczby ujemne lub zrób to na etapie dodawania członków - nie będzie to miało żadnego wpływu na efekt końcowy.

   • W naszym przykładzie 2x + 37 - 5 istnieje tylko jedna operacja odejmowania: 37 - 5 = 32.

8. Na tym etapie, po wykonaniu wszystkich operacji matematycznych, powinieneś otrzymać uproszczone wyrażenie. Jeśli jednak podane przez Ciebie wyrażenie zawiera jedną lub więcej zmiennych, pamiętaj, że termin ze zmienną pozostanie bez zmian. Rozwiązanie (a nie uproszczenie) wyrażenia ze zmienną polega na znalezieniu wartości tej zmiennej. Czasami wyrażenia zmienne można uprościć za pomocą specjalne metody(patrz następna sekcja).

   • W naszym przykładzie ostateczna odpowiedź to 2x + 32. Nie możesz dodać tych dwóch terminów, dopóki nie znasz wartości zmiennej „x”. Gdy znasz wartość zmiennej, możesz łatwo uprościć ten dwumian.

   Upraszczanie złożonych wyrażeń

   1. Dodanie podobnych terminów. Pamiętaj, że możesz odejmować i dodawać tylko wyrazy podobne, czyli takie, które mają tę samą zmienną i ten sam wykładnik. Na przykład możesz dodać 7x i 5x, ale nie możesz dodać 7x i 5x 2 (ponieważ wykładniki są różne).

      • Ta zasada dotyczy również elementów z wieloma zmiennymi. Na przykład możesz dodać 2xy 2 i -3xy 2 , ale nie możesz dodać 2xy 2 i -3x 2 y ani 2xy 2 i -3y 2 .
      • Spójrzmy na przykład: x 2 + 3x + 6 - 8x. Tutaj podobnymi terminami są 3x i 8x, więc można je dodać. Uproszczone wyrażenie wygląda następująco: x 2 - 5x + 6.

   2. Uprość ułamek liczbowy. W takim ułamku zarówno licznik, jak i mianownik zawierają liczby (bez zmiennej). Ułamek liczbowy można uprościć na kilka sposobów. Najpierw po prostu podziel mianownik przez licznik. Po drugie, rozłóż licznik i mianownik na czynniki i anuluj podobne czynniki (ponieważ dzielenie liczby przez nią samą daje 1). Innymi słowy, jeśli zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam dzielnik, możesz go pominąć i otrzymać ułamek uproszczony.

      • Rozważmy na przykład ułamek 36/60. Używając kalkulatora, podziel 36 przez 60, aby otrzymać 0,6. Ale możesz uprościć ten ułamek w inny sposób, rozkładając licznik i mianownik na czynniki: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Ponieważ 6/6 = 1, ułamek uproszczony wynosi: 1 x 6/10 = 6/10. Ale ten ułamek można również uprościć: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Jeśli ułamek zawiera zmienną, możesz anulować podobne czynniki za pomocą tej zmiennej. Uwzględnij licznik i mianownik i anuluj podobne czynniki, nawet jeśli zawierają zmienną (pamiętaj, że podobne czynniki mogą zawierać zmienną lub nie).

      • Spójrzmy na przykład: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Wyrażenie to można przepisać (rozłożyć na czynniki) w postaci: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Ponieważ wyraz 3x występuje zarówno w liczniku, jak i mianowniku, można go anulować, uzyskując uproszczone wyrażenie: (x + 1)/(5 - x). Spójrzmy na inny przykład: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Należy pamiętać, że nie można anulować żadnych warunków - anulowane są jedynie identyczne czynniki, które występują zarówno w liczniku, jak i mianowniku. Na przykład w wyrażeniu (x(x + 2))/x zmienna (czynnik) „x” występuje zarówno w liczniku, jak i w mianowniku, więc „x” można zredukować, aby uzyskać uproszczone wyrażenie: (x + 2)/1 = x + 2. Jednakże w wyrażeniu (x + 2)/x zmienna „x” nie może zostać zredukowana (ponieważ „x” nie jest czynnikiem w liczniku).

   4. Otwórz nawias. Aby to zrobić, pomnóż wyraz poza nawiasami przez każdy wyraz w nawiasach. Czasami pomaga to uprościć złożone wyrażenie. Dotyczy to obu członków, którzy są liczby pierwsze i do elementów zawierających zmienną.

      • Na przykład 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 i 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Należy pamiętać, że w wyrażeniach ułamkowych nie ma potrzeby otwierania nawiasów, jeśli zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik. Na przykład w wyrażeniu (3(x 2 + 8))/3x nie ma potrzeby rozszerzania nawiasów, ponieważ tutaj możesz anulować współczynnik 3 i otrzymać uproszczone wyrażenie (x 2 + 8)/x. Z tym wyrażeniem łatwiej jest pracować; jeśli rozszerzysz nawiasy, otrzymasz następujące wyrażenie złożone: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Wielomiany czynnikowe. Za pomocą tej metody można uprościć niektóre wyrażenia i wielomiany. Rozkład na czynniki to operacja odwrotna do nawiasów otwierających, co oznacza, że ​​wyrażenie jest zapisywane jako iloczyn dwóch wyrażeń, każde ujęte w nawiasy. W niektórych przypadkach faktoring pozwala zredukować to samo wyrażenie. W specjalne przypadki(zwykle z równania kwadratowe) faktoring pozwoli Ci rozwiązać równanie.

      • Rozważmy wyrażenie x 2 - 5x + 6. Jest ono rozkładane na czynniki: (x - 3)(x - 2). Zatem jeśli np. podane jest wyrażenie (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), to można je przepisać jako (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), zredukuj wyrażenie (x - 2) i uzyskaj uproszczone wyrażenie (x - 3)/2.
      • Rozkładanie wielomianów na czynniki służy do rozwiązywania (znajdowania pierwiastków) równań (równanie to wielomian równy 0). Rozważmy na przykład równanie x 2 - 5x + 6 = 0. Rozkładając je na czynniki, otrzymasz (x - 3)(x - 2) = 0. Ponieważ każde wyrażenie pomnożone przez 0 równa się 0, możemy to zapisać w ten sposób to: x - 3 = 0 i x - 2 = 0. Zatem x = 3 i x = 2, czyli znalazłeś dwa pierwiastki podanego ci równania.