Ważne notatki!
1. Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Jak to zrobić w przeglądarce jest napisane tutaj:
2. Zanim zaczniesz czytać artykuł, zwróć uwagę na nasz nawigator, aby uzyskać najbardziej przydatne zasoby

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, wówczas linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako tego poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi y).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazała się niższa od początkowej, będzie ujemna - oznacza to, że nie wznosimy się, ale opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość pokazująca, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. W celu bardziej odpowiedniej i dokładnej oceny stromości konieczne jest uwzględnienie mniejszych obszarów. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu minąć. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwe życie Pomiar odległości z dokładnością do milimetra w zupełności wystarczy. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. A nieskończoność jest jeszcze większa niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie oznacza równy zeru. Jeśli podzielisz przez siebie nieskończenie małe liczby, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony.Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodna funkcji jest stosunkiem do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, ​​korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zero? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest takie ułożenie końców odcinka po przeciwnych stronach wierzchołka, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli odcinek był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do ​​osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego muszą istnieć wartości pomiędzy wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
2. To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach z tym samym przyrostem argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, ​​musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek stopniu: .

Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy wykładnik wynosi:

Znajdźmy jego pochodną w pewnym punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Teraz rozważ funkcja kwadratowa (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić funkcja zasilania z dowolnym wykładnikiem, nawet nie liczbą całkowitą:

(2)

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

1. (na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód nauczysz się na pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać Unified State Exam). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliżej jest funkcja. To jest jej „cel”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniej, tym bliższa wartość związek z

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Otrzymujemy więc następującą regułę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji jest stała - jest ona nieskończona dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcja wykładnicza? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wystawca i naturalny logarytm- funkcje są wyjątkowo proste pod względem pochodnych. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne z dowolną inną podstawą będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później przejdźmy przez zasady różnicowanie.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Ponownie nowy semestr, Ponownie?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli niektóre stała liczba(stała), następnie.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja złożone funkcje: Zmiana kolejności działań powoduje zmianę funkcji.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywał, powiem tylko jedno...

Osoby, które otrzymały Dobra edukacja, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy ich nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że jest przed nimi dużo więcej otwarcia więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy z czasem.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółowa analiza i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

1. Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
2. Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁY okres istnienia witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

Treść artykułu

POCHODNA– pochodna funkcji y = F(X), podawane w określonym przedziale ( A, B) W punkcie X tego przedziału nazywa się granicą, do której zmierza stosunek przyrostu funkcji F w tym momencie do odpowiedniego przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Pochodną zwykle oznacza się w następujący sposób:

Inne oznaczenia są również szeroko stosowane:

Natychmiastowa prędkość.

Niech chodzi M porusza się po linii prostej. Dystans S ruchomy punkt, liczony od pewnej pozycji początkowej M 0 , zależy od czasu T, tj. S istnieje funkcja czasu T: S= F(T). Niech w pewnym momencie T ruchomy punkt M był w oddali S z pozycji wyjściowej M 0 i w następnej chwili T+D T znalazła się w sytuacji M 1 - na odległość S+D S z pozycji początkowej ( zobacz zdjęcie.).

Zatem przez pewien czas D T dystans S zmieniona o kwotę D S. W tym przypadku mówią, że w przedziale czasu D T ogrom S otrzymał dodatek D S.

Średnia prędkość nie we wszystkich przypadkach może dokładnie scharakteryzować prędkość ruchu punktu M w pewnym momencie T. Jeżeli na przykład ciało znajduje się na początku przedziału D T poruszał się bardzo szybko, a na końcu bardzo powoli, wówczas średnia prędkość nie będzie w stanie odzwierciedlić wskazanych cech ruchu punktu i dać wyobrażenia o prawdziwej prędkości jego ruchu w danej chwili T. Aby dokładniej wyrazić prędkość rzeczywistą za pomocą prędkości średniej, należy przyjąć krótszy okres czasu D T. Najpełniej charakteryzuje prędkość ruchu punktu w danej chwili T granica, do której dąży średnia prędkość w D T® 0. Limit ten nazywany jest prędkością ruchu ten moment:

Zatem prędkość ruchu w danym momencie nazywana jest granicą współczynnika przyrostu ścieżki D S do przyrostu czasu D T, gdy przyrost czasu dąży do zera. Ponieważ

Znaczenie geometryczne pochodnej. Styczna do wykresu funkcji.

Konstrukcja stycznych jest jednym z problemów, które doprowadziły do ​​narodzin rachunku różniczkowego. Pierwsza opublikowana praca dotycząca rachunku różniczkowego, napisana przez Leibniza, nosiła tytuł Nowa metoda maksimów i minimów oraz stycznych, dla których ani wielkości ułamkowe, ani niewymierne nie są przeszkodą, oraz specjalny rodzaj rachunku różniczkowego do tego.

Niech krzywa będzie wykresem funkcji y =F(X) w prostokątnym układzie współrzędnych ( cm. Ryż.).

Przy jakiejś wartości X Funkcja ma znaczenie y =F(X). Te wartości X I y odpowiada punkt na krzywej M 0(X, y). Jeśli argumentem X dawać przyrost D X, a następnie nowa wartość argumentu X+D X odpowiada nowej wartości funkcji ty+ D y = F(X + D X). Odpowiedni punkt krzywej będzie punktem M 1(X+D X,y+D y). Jeśli narysujesz sieczną M 0M 1 i oznaczone przez j kąt utworzony przez poprzeczkę z dodatnim kierunkiem osi Wół, z rysunku od razu wynika, że ​​.

Jeśli teraz D X dąży do zera, a następnie do punktu M 1 porusza się po krzywej, zbliżając się do punktu M 0 i kąt J zmiany z D X. Na Dx® 0 kąt j zmierza do pewnej granicy a i prosta przechodząca przez ten punkt M 0, a komponent o dodatnim kierunku osi x, kąt a, będzie pożądaną styczną. Jego nachylenie wynosi:

Stąd, F´( X) = tga

te. wartość pochodna F´( X) Na podana wartość argument X jest równy tangensowi kąta utworzonego przez styczną do wykresu funkcji F(X) w odpowiednim punkcie M 0(X,y) z dodatnim kierunkiem osi Wół.

Różniczkowalność funkcji.

Definicja. Jeśli funkcja y = F(X) ma pochodną w punkcie X = X 0, to funkcja jest w tym punkcie różniczkowalna.

Ciągłość funkcji mającej pochodną. Twierdzenie.

Jeśli funkcja y = F(X) jest różniczkowalna w pewnym momencie X = X 0, to w tym momencie jest ciągły.

Zatem funkcja nie może mieć pochodnej w punktach nieciągłości. Wniosek przeciwny jest błędny, tj. z tego, że w pewnym momencie X = X 0 funkcji y = F(X) jest ciągły, nie oznacza, że ​​jest różniczkowalny w tym punkcie. Na przykład funkcja y = |X| ciągły dla wszystkich X(–When x x = 0 nie ma pochodnej. W tym momencie nie ma stycznej do wykresu. Jest styczna prawa i lewa, ale nie pokrywają się one.

Niektóre twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Twierdzenie o pierwiastkach pochodnej (twierdzenie Rolle'a). Jeśli funkcja F(X) jest ciągła w segmencie [A,B], jest różniczkowalna we wszystkich wewnętrznych punktach tego odcinka i na jego końcach X = A I X = B dochodzi do zera ( F(A) = F(B) = 0), to wewnątrz segmentu [ A,B] jest co najmniej jeden punkt X= Z, A c b, w którym pochodna Fў( X) zmierza do zera, tj. Fў( C) = 0.

Twierdzenie o przyrostze skończonym (twierdzenie Lagrange'a). Jeśli funkcja F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] i jest różniczkowalna we wszystkich punktach wewnętrznych tego odcinka, a następnie wewnątrz odcinka [ A, B] jest co najmniej jeden punkt Z, A c b to

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Twierdzenie o stosunku przyrostów dwóch funkcji (twierdzenie Cauchy'ego). Jeśli F(X) I G(X) – dwie funkcje ciągłe na odcinku [A, B] i różniczkowalna we wszystkich wewnętrznych punktach tego odcinka, i Gў( X) nie znika nigdzie wewnątrz tego segmentu, to wewnątrz segmentu [ A, B] jest taki punkt X = Z, A c b to

Pochodne różnych rzędów.

Niech funkcja y =F(X) jest różniczkowalna na pewnym przedziale [ A, B] Wartości pochodne F ў( X), ogólnie rzecz biorąc, zależą od X, tj. pochodna F ў( X) jest również funkcją X. Różniczkując tę ​​funkcję otrzymujemy tzw. drugą pochodną funkcji F(X), co jest oznaczone F ўў ( X).

Pochodna N- rząd funkcji F(X) nazywa się pochodną (pierwszego rzędu) pochodnej N- 1- i jest oznaczony symbolem y(N) = (y(N– 1))ў.

Różniczki różnych rzędów.

Funkcja różnicowa y = F(X), Gdzie X– zmienna niezależna, tak dy = F ў( X)dx, jakaś funkcja z X, ale od X zależy tylko od pierwszego czynnika F ў( X), drugi czynnik ( dx) jest przyrostem zmiennej niezależnej X i nie zależy od wartości tej zmiennej. Ponieważ dy istnieje funkcja z X, to możemy wyznaczyć różniczkę tej funkcji. Różniczkę różniczki funkcji nazywamy różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu tej funkcji i oznaczamy D 2y:

D(dx) = D 2y = F ўў( X)(dx) 2 .

Mechanizm różnicowy N- pierwszego rzędu nazywa się pierwszą różniczką różniczki N- 1- kolejność:

dn y = D(d n–1y) = F(N)(X)dx(N).

Pochodna częściowa.

Jeśli funkcja nie zależy od jednego, ale od kilku argumentów x ja(I waha się od 1 do N,I= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… x rz), to w rachunku różniczkowym wprowadza się pojęcie pochodnej cząstkowej, które charakteryzuje szybkość zmiany funkcji kilku zmiennych, gdy zmienia się tylko jeden argument, np. x ja. Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu względem x ja definiuje się jako pochodną zwykłą i zakłada się, że wszystkie argumenty z wyjątkiem x ja, zachowaj stałe wartości. Dla pochodnych cząstkowych wprowadza się oznaczenie

Tak zdefiniowane pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (jako funkcje tych samych argumentów) mogą z kolei mieć także pochodne cząstkowe, są to pochodne cząstkowe drugiego rzędu itp. Wzięty przez różne argumenty takie pochodne nazywane są mieszanymi. Ciągłe pochodne mieszane tego samego rzędu nie zależą od rzędu różniczkowania i są sobie równe.

Anna Czugainowa

Data: 20.11.2014

Co to jest pochodna?

Tabela instrumentów pochodnych.

Pochodna jest jednym z głównych pojęć matematyki wyższej. W tej lekcji przedstawimy tę koncepcję. Poznajmy się bez ścisłych formuł matematycznych i dowodów.

Ta znajomość pozwoli Ci:

Rozumieć istotę prostych zadań z pochodnymi;

Pomyślnie rozwiązując te właśnie problemy trudne zadania;

Przygotuj się na poważniejsze lekcje na temat instrumentów pochodnych.

Po pierwsze - miła niespodzianka.)

Ścisła definicja pochodnej opiera się na teorii granic i sprawa jest dość skomplikowana. To jest denerwujące. Ale praktyczne zastosowanie instrumentów pochodnych z reguły nie wymaga tak rozległego i głęboka wiedza!

Aby pomyślnie wykonać większość zadań w szkole i na uniwersytecie, wystarczy wiedzieć tylko kilka terminów- zrozumieć zadanie i tylko kilka zasad- aby to rozwiązać. To wszystko. To sprawia, że ​​jestem szczęśliwy.

Zacznijmy się poznawać?)

Terminy i oznaczenia.

W matematyce elementarnej istnieje wiele różnych operacji matematycznych. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie, logarytm itp. Jeśli dodasz jeszcze jedną operację do tych operacji, elementarna matematyka stanie się wyższa. Ten nowa operacja zwany różnicowanie. Definicja i znaczenie tej operacji zostaną omówione w osobnych lekcjach.

Ważne jest, aby zrozumieć, że różnicowanie jest po prostu działanie matematyczne nad funkcją. Bierzemy dowolną funkcję i zgodnie z pewnymi zasadami ją przekształcamy. Rezultatem będzie nowa funkcja. Ta nowa funkcja nazywa się: pochodna.

Różnicowanie- działanie na funkcję.

Pochodna- wynik tej akcji.

Podobnie jak np. suma- wynik dodania. Lub prywatny- wynik dzielenia.

Znając terminy, możesz przynajmniej zrozumieć zadania.) Formuły są następujące: znaleźć pochodną funkcji; weź pochodną; różnicować funkcję; obliczyć pochodną i tak dalej. To wszystko To samo. Oczywiście zdarzają się też zadania bardziej złożone, gdzie znalezienie pochodnej (różniczkowania) będzie tylko jednym z etapów rozwiązania problemu.

Pochodną oznacza się myślnikiem w prawym górnym rogu funkcji. Lubię to: y” Lub f”(x) Lub S”(t) i tak dalej.

Czytanie igrek skok, ef skok z x, es skok z te, cóż, rozumiesz...)

Liczba pierwsza może również wskazywać pochodną określonej funkcji, na przykład: (2x+3)", (X 3 )" , (sinx)” itp. Często pochodne są oznaczane za pomocą różniczków, ale w tej lekcji nie będziemy rozważać takiego zapisu.

Załóżmy, że nauczyliśmy się rozumieć zadania. Pozostaje tylko nauczyć się je rozwiązywać.) Przypomnę jeszcze raz: znalezienie pochodnej jest transformacja funkcji według pewnych zasad. Co zaskakujące, tych zasad jest bardzo niewiele.

Aby znaleźć pochodną funkcji, musisz wiedzieć tylko trzy rzeczy. Trzy filary, na których opiera się całe zróżnicowanie. Oto te trzy filary:

1. Tabela pochodnych (wzory na różniczkowanie).

3. Pochodna funkcji zespolonej.

Zacznijmy od porządku. W tej lekcji przyjrzymy się tabeli instrumentów pochodnych.

Tabela instrumentów pochodnych.

Na świecie istnieje nieskończona liczba funkcji. Wśród tej różnorodności znajdują się funkcje, dla których są najważniejsze praktyczne zastosowanie. Funkcje te można znaleźć we wszystkich prawach natury. Z tych funkcji, niczym z cegieł, można zbudować wszystkie pozostałe. Ta klasa funkcji nazywa się funkcje elementarne. To właśnie te funkcje są badane w szkole - liniowe, kwadratowe, hiperbola itp.

Różniczkowanie funkcji „od zera”, tj. Biorąc pod uwagę definicję pochodnej i teorię granic, jest to dość pracochłonne zadanie. A matematycy to też ludzie, tak, tak!) Więc uprościli sobie (i nam) życie. Obliczyli przed nami pochodne funkcji elementarnych. Rezultatem jest tabela instrumentów pochodnych, w której wszystko jest gotowe.)

Oto ona, ta płyta do najpopularniejszych funkcji. Lewy - funkcja elementarna, po prawej stronie jest jego pochodna.

	Funkcjonować y	Pochodna funkcji y y”
1	C (wartość stała)	C” = 0
2	X	x" = 1
3	x n (n - dowolna liczba)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)” = 2x
4	grzech x	(sin x)” = cosx
	bo x	(cos x)" = - grzech x
	tg x
	ctg x
5	Arcsin x
	Arcos x
	Arktan x
	arcctg x
4	A X
	mi X
5	dziennik A X
	ln x ( a = mi)

Polecam zwrócić uwagę na trzecią grupę funkcji w tej tabeli pochodnych. Pochodna funkcji potęgowej jest jednym z najpopularniejszych wzorów, jeśli nie najczęstszym! Czy rozumiesz podpowiedź?) Tak, wskazane jest, aby znać tabelę instrumentów pochodnych na pamięć. Nawiasem mówiąc, nie jest to tak trudne, jak mogłoby się wydawać. Spróbuj zdecydować więcej przykładów, sam stół zostanie zapamiętany!)

Znalezienie wartości tabeli pochodnej, jak rozumiesz, nie jest najtrudniejszym zadaniem. Dlatego bardzo często w takich zadaniach pojawiają się dodatkowe żetony. Albo w brzmieniu zadania, albo w oryginalnej funkcji, której chyba nie ma w tabeli...

Spójrzmy na kilka przykładów:

1. Znajdź pochodną funkcji y = x 3

W tabeli nie ma takiej funkcji. Ale istnieje pochodna funkcji potęgowej w ogólna perspektywa(trzecia grupa). W naszym przypadku n=3. Podstawiamy więc trzy zamiast n i dokładnie zapisujemy wynik:

(X 3) " = 3x 3-1 = 3x 2

Otóż ​​to.

Odpowiedź: y” = 3x 2

2. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = sinx w punkcie x = 0.

To zadanie oznacza, że ​​trzeba najpierw znaleźć pochodną sinusa, a następnie podstawić wartość x = 0 w tę samą pochodną. Dokładnie w tej kolejności! W przeciwnym razie zdarza się, że natychmiast podstawiają zero do pierwotnej funkcji... Jesteśmy proszeni o znalezienie nie wartości pierwotnej funkcji, ale wartości jego pochodna. Pochodna, przypominam, jest nową funkcją.

Za pomocą tabliczki znajdujemy sinus i odpowiednią pochodną:

y" = (sin x)" = cosx

Podstawiamy zero do pochodnej:

y"(0) = cos 0 = 1

To będzie odpowiedź.

3. Zróżniczkuj funkcję:

Co, inspiruje?) Nie ma takiej funkcji w tabeli instrumentów pochodnych.

Przypomnę, że różniczkowanie funkcji polega po prostu na znalezieniu pochodnej tej funkcji. Jeśli zapomnimy o elementarnej trygonometrii, szukanie pochodnej naszej funkcji jest dość kłopotliwe. Tabela nie pomaga...

Ale jeśli zobaczymy, że nasza funkcja jest Cosinus podwójnego kąta, wtedy wszystko od razu staje się lepsze!

Tak tak! Pamiętaj o tym, przekształcając oryginalną funkcję przed różnicowaniem całkiem do przyjęcia! A zdarza się, że życie staje się dużo łatwiejsze. Korzystając ze wzoru na cosinus podwójnego kąta:

Te. nasza skomplikowana funkcja to nic innego jak y = cosx. A to jest funkcja tabelaryczna. Natychmiast otrzymujemy:

Odpowiedź: y" = - grzech x.

Przykład dla zaawansowanych absolwentów i studentów:

4. Znajdź pochodną funkcji:

W tabeli pochodnych oczywiście nie ma takiej funkcji. Ale jeśli pamiętasz elementarną matematykę, operacje na potęgach... Wtedy całkiem możliwe jest uproszczenie tej funkcji. Lubię to:

A x do potęgi jednej dziesiątej jest już funkcją tabelaryczną! Trzecia grupa, n=1/10. Piszemy bezpośrednio według wzoru:

To wszystko. To będzie odpowiedź.

Mam nadzieję, że z pierwszym filarem różnicowania wszystko jest jasne - tabelą instrumentów pochodnych. Pozostaje uporać się z dwoma pozostałymi wielorybami. Na następnej lekcji poznamy zasady różniczkowania.

Definicja. Niech funkcja \(y = f(x) \) będzie zdefiniowana w pewnym przedziale zawierającym w sobie punkt \(x_0\). Nadajmy argumentowi przyrost \(\Delta x \) tak, aby nie opuścił tego przedziału. Znajdźmy odpowiedni przyrost funkcji \(\Delta y \) (podczas przechodzenia od punktu \(x_0 \) do punktu \(x_0 + \Delta x \)) i utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Jeżeli istnieje granica tego stosunku w \(\Delta x \rightarrow 0\), to określona granica nazywana jest pochodna funkcji\(y=f(x) \) w punkcie \(x_0 \) i oznacz \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y jest często używany do oznaczenia pochodnej. Należy zauważyć, że y" = f(x) jest funkcją nową, ale w naturalny sposób powiązaną z funkcją y = f(x), określoną we wszystkich punktach x, w których istnieje powyższa granica. Ta funkcja nazywa się następująco: pochodna funkcji y = f(x).

Geometryczne znaczenie pochodnej następująco. Jeżeli można poprowadzić styczną do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie o odciętej x=a, który nie jest równoległy do ​​osi y, to f(a) wyraża nachylenie stycznej :
\(k = f"(a)\)

Ponieważ \(k = tg(a) \), to równość \(f"(a) = tan(a) \) jest prawdziwa.

Zinterpretujmy teraz definicję pochodnej z punktu widzenia przybliżonych równości. Niech funkcja \(y = f(x)\) ma pochodną w określonym punkcie \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Oznacza to, że w pobliżu punktu x przybliżona równość \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \około f"(x)\), tj. \(\Delta y \około f"(x) \cdot\ Delta x\). Znaczenie otrzymanej przybliżonej równości jest następujące: przyrost funkcji jest „prawie proporcjonalny” do przyrostu argumentu, a współczynnikiem proporcjonalności jest wartość pochodnej w danym punkcie x. Na przykład dla funkcji \(y = x^2\) obowiązuje przybliżona równość \(\Delta y \około 2x \cdot \Delta x \). Jeśli dokładnie przeanalizujemy definicję pochodnej, odkryjemy, że zawiera ona algorytm jej znajdowania.

Sformułujmy to.

Jak znaleźć pochodną funkcji y = f(x)?

1. Popraw wartość \(x\), znajdź \(f(x)\)
2. Nadaj argumentowi \(x\) przyrost \(\Delta x\), przejdź do nowego punktu \(x+ \Delta x \), znajdź \(f(x+ \Delta x) \)
3. Znajdź przyrost funkcji: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Utwórz relację \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Oblicz $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Granica ta jest pochodną funkcji w punkcie x.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną w punkcie x, to nazywa się ją różniczkowalną w punkcie x. Wywołuje się procedurę znajdowania pochodnej funkcji y = f(x). różnicowanie funkcje y = f(x).

Omówmy następujące pytanie: w jaki sposób ciągłość i różniczkowalność funkcji w punkcie są ze sobą powiązane?

Niech funkcja y = f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x. Następnie można narysować styczną do wykresu funkcji w punkcie M(x; f(x)) i, przypomnijmy, współczynnik kątowy stycznej jest równy f "(x). Takiego wykresu nie można „złamać” w punkcie M, czyli funkcja musi być ciągła w punkcie x.

To były argumenty „praktyczne”. Podajmy bardziej rygorystyczne uzasadnienie. Jeśli funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w punkcie x, to zachodzi przybliżona równość \(\Delta y \około f"(x) \cdot \Delta x \). Jeśli w tej równości \(\Delta x \) dąży do zera, wówczas \(\Delta y \) będzie dążyć do zera i jest to warunek ciągłości funkcji w punkcie.

Więc, jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x, to jest ciągła w tym punkcie.

Odwrotne stwierdzenie nie jest prawdziwe. Na przykład: funkcja y = |x| jest ciągła wszędzie, w szczególności w punkcie x = 0, ale styczna do wykresu funkcji w „punkcie przecięcia” (0; 0) nie istnieje. Jeśli w pewnym momencie nie można poprowadzić stycznej do wykresu funkcji, to pochodna w tym punkcie nie istnieje.

Jeszcze jeden przykład. Funkcja \(y=\sqrt(x)\) jest ciągła na całej osi liczbowej, także w punkcie x = 0. Natomiast styczna do wykresu funkcji istnieje w dowolnym punkcie, także w punkcie x = 0 Ale w tym momencie styczna pokrywa się z osią y, tj. jest prostopadła do osi odciętych, jej równanie ma postać x = 0. Taka prosta nie ma współczynnika kąta, co oznacza, że ​​\(f „(0)\) nie istnieje.

Zapoznaliśmy się więc z nową właściwością funkcji - różniczkowalnością. Jak z wykresu funkcji można wywnioskować, że jest ona różniczkowalna?

Właściwie odpowiedź została podana powyżej. Jeśli w pewnym momencie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to w tym miejscu funkcja jest różniczkowalna. Jeśli w pewnym momencie styczna do wykresu funkcji nie istnieje lub jest prostopadła do osi odciętych, to w tym momencie funkcja nie jest różniczkowalna.

Zasady różnicowania

Nazywa się operację znajdowania pochodnej różnicowanie. Wykonując tę ​​operację, często musisz pracować z ilorazami, sumami, iloczynami funkcji, a także „funkcjami funkcji”, czyli funkcjami złożonymi. Na podstawie definicji pochodnej możemy wyprowadzić reguły różniczkowania, które ułatwiają tę pracę. Jeśli C jest liczbą stałą, a f=f(x), g=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi, to spełnione są następujące warunki zasady różnicowania:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Pochodna funkcji zespolonej:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela pochodnych niektórych funkcji

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Co to jest pochodna?
Definicja i znaczenie funkcji pochodnej

Wielu będzie zaskoczonych nieoczekiwanym umieszczeniem tego artykułu w moim autorskim kursie na temat pochodnej funkcji jednej zmiennej i jej zastosowań. Przecież, jak to ma miejsce od czasów szkolnych: standardowy podręcznik podaje przede wszystkim definicję pochodnej, jej geometryczne, mechaniczne znaczenie. Następnie studenci znajdują pochodne funkcji z definicji i dopiero wtedy doskonalą technikę różniczkowania za pomocą tablice pochodne.

Jednak z mojego punktu widzenia bardziej pragmatyczne jest następujące podejście: przede wszystkim wskazane jest DOBRE ROZUMIENIE granica funkcji, i w szczególności, nieskończenie małe ilości. Fakt jest taki definicja pochodnej opiera się na pojęciu granicy, co jest słabo uwzględnione w kurs szkolny. Dlatego znaczna część młodych konsumentów granitu wiedzy nie rozumie samej istoty pochodnej. Tak więc, jeśli masz niewielką wiedzę na temat rachunku różniczkowego lub mądry mózg długie lata pomyślnie pozbyłem się tego bagażu, zacznij od granice funkcji. Jednocześnie opanuj/zapamiętaj ich rozwiązanie.

To samo praktyczne znaczenie sugeruje, że jest to najpierw opłacalne naucz się znajdować pochodne, w tym pochodne funkcji złożonych. Teoria to teoria, ale jak to mówią, zawsze warto różnicować. W związku z tym lepiej jest przepracować wymienione podstawowe lekcje i być może mistrz różnicowania nie zdając sobie nawet sprawy z istoty swoich działań.

Po przeczytaniu artykułu polecam zacząć od materiałów znajdujących się na tej stronie. Najprostsze problemy z instrumentami pochodnymi, gdzie w szczególności rozważa się problem stycznej do wykresu funkcji. Ale możesz poczekać. Faktem jest, że wiele zastosowań pochodnej nie wymaga jej zrozumienia i nic dziwnego, że lekcja teoretyczna pojawiła się dość późno – kiedy musiałem wyjaśniać znajdowanie rosnących/malejących przedziałów i ekstremów Funkcje. Co więcej, był on poruszany w tym temacie przez dość długi czas. Funkcje i wykresy”, aż w końcu zdecydowałem się umieścić to wcześniej.

Dlatego, drogie czajniki, nie spieszcie się z wchłanianiem esencji pochodnej jak głodne zwierzęta, bo nasycenie będzie bez smaku i niepełne.

Pojęcie zwiększania, zmniejszania, maksimum, minimum funkcji

Wiele pomoc naukowa prowadzić do koncepcji pochodnej przy użyciu niektórych problemy praktyczne i też wpadłem na ciekawy przykład. Wyobraźmy sobie, że zaraz wybieramy się do miasta, do którego można dotrzeć na różne sposoby. Odrzućmy natychmiast zakrzywione, kręte ścieżki i rozważmy tylko proste autostrady. Inaczej jest jednak także w przypadku kierunków na wprost: do miasta można dojechać gładką autostradą. Lub wzdłuż pagórkowatej autostrady - w górę i w dół, w górę i w dół. Inna droga prowadzi tylko pod górę, a inna cały czas w dół. Miłośnicy ekstremalnych wrażeń wybiorą trasę przez wąwóz ze stromym klifem i stromym podjazdem.

Niezależnie jednak od preferencji, wskazane jest poznanie okolicy lub przynajmniej jej zlokalizowanie Mapa topograficzna. A co jeśli takich informacji brakuje? W końcu możesz wybrać na przykład gładką ścieżkę, ale w rezultacie natkniesz się na stok narciarski z wesołymi Finami. Nie jest faktem, że nawigator czy nawet zdjęcie satelitarne dostarczy wiarygodnych danych. Dlatego miło byłoby sformalizować relief ścieżki za pomocą matematyki.

Spójrzmy na jakąś drogę (widok z boku):

Na wszelki wypadek przypomnę elementarny fakt: podróże się zdarzają od lewej do prawej. Dla uproszczenia zakładamy, że funkcja ciągły na rozpatrywanym obszarze.

Jakie cechy ma ten wykres?

W przerwach funkcjonować wzrasta, czyli każda kolejna jego wartość więcej Poprzedni. Z grubsza rzecz biorąc, harmonogram jest zgodny z harmonogramem w dół w górę(wchodzimy na wzgórze). A na przedziale funkcja maleje– każda kolejna wartość mniej poprzedni, a nasz harmonogram jest włączony z góry na dół(schodzimy w dół zbocza).

Zwróćmy także uwagę na punkty szczególne. W miejscu, do którego dotrzemy maksymalny, to jest istnieje taki odcinek ścieżki, w którym wartość będzie największa (najwyższa). W tym samym momencie zostaje to osiągnięte minimum, I istnieje jego otoczenie, w którym wartość jest najmniejsza (najniższa).

Na zajęciach przyjrzymy się bardziej rygorystycznej terminologii i definicjom. o ekstremach funkcji, ale na razie przestudiujmy jeszcze jedno ważna cecha: w przerwach funkcja rośnie, ale rośnie Z przy różnych prędkościach . Pierwszą rzeczą, która rzuca się w oczy, jest to, że wykres wznosi się w górę w trakcie interwału dużo fajniej, niż w przedziale . Czy można zmierzyć nachylenie drogi za pomocą narzędzi matematycznych?

Szybkość zmiany funkcji

Pomysł jest taki: weźmy jakąś wartość (czytaj „delta x”), który nazwiemy przyrost argumentu i zacznijmy „przymierzać” w różnych punktach naszej ścieżki:

1) Spójrzmy na skrajny lewy punkt: pokonując dystans, wspinamy się po zboczu na wysokość ( Zielona Linia). Ilość nazywa się przyrost funkcji, i w w tym przypadku przyrost ten jest dodatni (różnica wartości wzdłuż osi jest większa od zera). Stwórzmy współczynnik, który będzie miarą nachylenia naszej drogi. Oczywiście jest to bardzo specyficzna liczba, a ponieważ oba przyrosty są dodatnie, to .

Uwaga! Oznaczenia są JEDEN symbol, to znaczy nie można „oddzielić” „delty” od „X” i rozważyć te litery osobno. Oczywiście komentarz dotyczy także symbolu przyrostu funkcji.

Przyjrzyjmy się naturze powstałego ułamka w bardziej znaczący sposób. Bądźmy początkowo na wysokości 20 metrów (w lewym czarnym punkcie). Po pokonaniu dystansu metrów (lewa czerwona linia) znajdziemy się na wysokości 60 metrów. Wtedy przyrost funkcji będzie wynosił metrów (zielona linia) i: . Zatem, na każdym metrze ten odcinek drogi wysokość wzrasta przeciętny o 4 metry...zapomniałeś sprzętu wspinaczkowego? =) Inaczej mówiąc, skonstruowana zależność charakteryzuje ŚREDNIE TEMPO ZMIAN (w tym przypadku wzrostu) funkcji.

Notatka : wartości liczbowe Rozważany przykład odpowiada proporcjom rysunku tylko w przybliżeniu.

2) Teraz przejdźmy w tej samej odległości od czarnego punktu znajdującego się najbardziej na prawo. Tutaj wzrost jest bardziej stopniowy, więc przyrost (karmazynowa linia) jest stosunkowo niewielki, a stosunek w porównaniu do poprzedniego przypadku będzie bardzo skromny. Obiektywnie mówiąc, metrów i tempo wzrostu funkcji Jest . Czyli tu na każdy metr ścieżki przeciętny pół metra wysokości.

3) Mała przygoda na zboczu góry. Spójrzmy na górę czarna kropka, znajdujący się na osi rzędnych. Załóżmy, że jest to znak 50 metrów. Znów pokonujemy dystans, w efekcie czego znajdujemy się niżej – na poziomie 30 metrów. Ponieważ ruch jest wykonywany z góry na dół(w „przeciwnym” kierunku osi), następnie końcowy przyrost funkcji (wysokość) będzie ujemny: metrów (brązowy segment na rysunku). I w tym przypadku już o tym rozmawiamy tempo spadku Cechy: , czyli na każdy metr ścieżki tego odcinka wysokość maleje przeciętny o 2 metry. Zadbaj o swoje ubrania w piątym punkcie.

Zadajmy sobie teraz pytanie: jaką wartość „wzorca pomiarowego” najlepiej zastosować? To całkowicie zrozumiałe, 10 metrów to bardzo nierówny dystans. Z łatwością zmieści się na nich kilkanaście kępek. Niezależnie od nierówności, poniżej może być głęboki wąwóz, a po kilku metrach jest jego druga strona z dalszym stromym wzniesieniem. Zatem przy dziesięciometrowym nie otrzymamy zrozumiałego opisu takich odcinków ścieżki przez stosunek .

Z powyższej dyskusji wynika następujący wniosek: Jak mniejsza wartość , tym dokładniej opisujemy topografię drogi. Ponadto prawdziwe są następujące fakty:

– Dla kazdego punkty podnoszenia możesz wybrać wartość (nawet bardzo małą), która mieści się w granicach konkretnego wzniesienia. Oznacza to, że odpowiedni przyrost wysokości będzie gwarantowany dodatni, a nierówność będzie poprawnie wskazywała wzrost funkcji w każdym punkcie tych przedziałów.

- Podobnie, dla każdego punkt nachylenia istnieje wartość, która będzie całkowicie pasować do tego nachylenia. W konsekwencji odpowiedni wzrost wysokości jest wyraźnie ujemny, a nierówność prawidłowo pokaże spadek funkcji w każdym punkcie danego przedziału.

– Szczególnie interesujący jest przypadek, gdy szybkość zmian funkcji wynosi zero: . Po pierwsze, zerowy przyrost wysokości () jest oznaką gładkiej ścieżki. Po drugie, istnieją inne ciekawe sytuacje, których przykłady widać na rysunku. Wyobraź sobie, że los zaprowadził nas na sam szczyt wzgórza z szybującymi orłami lub na dno wąwozu z rechotami żab. Jeśli zrobisz mały krok w dowolnym kierunku, zmiana wysokości będzie znikoma i możemy powiedzieć, że szybkość zmian funkcji wynosi w rzeczywistości zero. Dokładnie taki obraz można zaobserwować w punktach.

W ten sposób dotarliśmy do niesamowitej okazji, aby idealnie dokładnie scharakteryzować szybkość zmian funkcji. Przecież analiza matematyczna umożliwia skierowanie przyrostu argumentu na zero: czyli wykonanie go nieskończenie mały.

W rezultacie pojawia się kolejne logiczne pytanie: czy można znaleźć drogę i jej rozkład jazdy inna funkcja, Który dałby nam znać o wszystkich płaskich odcinkach, podjazdach, zjazdach, szczytach, dolinach, a także o tempie wzrostu/spadku w każdym punkcie na trasie?

Co to jest pochodna? Definicja pochodnej.
Geometryczne znaczenie pochodnej i różniczki

Przeczytaj uważnie i niezbyt szybko – materiał jest prosty i przystępny dla każdego! Nie ma problemu, jeśli w niektórych miejscach coś nie wydaje się zbyt jasne, zawsze możesz wrócić do artykułu później. Powiem więcej, warto kilkakrotnie przestudiować teorię, aby dokładnie zrozumieć wszystkie punkty (rada jest szczególnie istotna dla studentów „technicznych”, dla których gra wyższa matematyka znacząca rola w procesie edukacyjnym).

Oczywiście w samej definicji pochodnej w pewnym momencie zastępujemy ją przez:

Do czego doszliśmy? I doszliśmy do wniosku, że dla funkcji zgodnej z prawem jest zgodne inna funkcja, który jest nazywany funkcja pochodna(lub po prostu pochodna).

Pochodna charakteryzuje tempo zmian Funkcje Jak? Pomysł biegnie jak czerwona nić od samego początku artykułu. Rozważmy pewien punkt dziedzina definicji Funkcje Niech funkcja będzie różniczkowalna w danym punkcie. Następnie:

1) Jeżeli , to funkcja wzrasta w punkcie . I oczywiście, że istnieje interwał(nawet bardzo mały), zawierający punkt, w którym funkcja rośnie, a jej wykres biegnie „od dołu do góry”.

2) Jeżeli , to funkcja maleje w punkcie . I istnieje przedział zawierający punkt, w którym funkcja maleje (wykres biegnie „od góry do dołu”).

3) Jeśli , to nieskończenie blisko w pobliżu punktu funkcja utrzymuje stałą prędkość. Dzieje się tak, jak zauważono, ze stałą funkcją i w krytycznych punktach funkcji, w szczególności w punktach minimalnych i maksymalnych.

Trochę semantyki. Co oznacza czasownik „różnicować” w szerokim znaczeniu? Rozróżniać oznacza podkreślać cechę. Różniczkując funkcję, „izolujemy” szybkość jej zmian w postaci pochodnej funkcji. Swoją drogą, co oznacza słowo „pochodna”? Funkcjonować stało się z funkcji.

Terminy te są bardzo skutecznie interpretowane poprzez mechaniczne znaczenie pochodnej :
Rozważmy prawo zmiany współrzędnych ciała w zależności od czasu i funkcję prędkości ruchu dane ciało. Funkcja charakteryzuje szybkość zmian współrzędnych ciała, dlatego jest pierwszą pochodną funkcji po czasie: . Gdyby pojęcie „ruchu ciała” nie istniało w przyrodzie, to by go nie było pochodna pojęcie „prędkości ciała”.

Przyspieszenie ciała to szybkość zmiany prędkości, zatem: . Gdyby początkowe pojęcia „ruchu ciała” i „prędkości ciała” nie istniały w przyrodzie, to by nie istniały pochodna pojęcie „przyspieszenia ciała”.