Sigma formülünün ortalama standart sapmasının hesaplanması. Standart sapma

Ders No.4

Konu: “Açıklayıcı istatistikler. Toplamda özellik çeşitliliğinin göstergeleri"

İstatistiksel bir popülasyondaki bir özelliğin çeşitliliğine ilişkin ana kriterler şunlardır: sınır, genlik, ortalama standart sapma, salınım katsayısı ve değişim katsayısı. Önceki derste, ortalama değerlerin toplamda incelenen özelliğin yalnızca genelleştirilmiş bir özelliğini sağladığı ve bireysel değişkenlerinin değerlerini dikkate almadığı tartışılmıştı: minimum ve maksimum değerler, ortalamanın üstünde, altında ortalama vb.

Örnek. İki farklı sayı dizisinin ortalama değerleri: -100; -20; 100; 20 ve 0,1; -0,2; 0,1 kesinlikle aynı ve eşittirHAKKINDA.Ancak bu göreceli ortalama dizi verilerinin dağılım aralıkları çok farklıdır.

Bir özelliğin çeşitliliği için listelenen kriterlerin belirlenmesi, öncelikle bireysel unsurlardaki değeri dikkate alınarak gerçekleştirilir. istatistiksel nüfus.

Bir özelliğin varyasyonunu ölçmek için göstergeler mutlak Ve akraba. Mutlak varyasyon göstergeleri şunları içerir: varyasyon aralığı, limit, standart sapma, dağılım. Değişim katsayısı ve salınım katsayısı göreceli değişim ölçümlerini ifade eder.

Limit (lim)– Bu, bir varyasyon serisindeki bir varyantın uç değerleri tarafından belirlenen bir kriterdir. Başka bir deyişle bu kriter, özelliğin minimum ve maksimum değerleriyle sınırlıdır:

Genlik (Am) veya çeşitlilik aralığı – Aşırı seçenekler arasındaki fark budur. Bu kriterin hesaplanması, minimum değerinin özelliğin maksimum değerinden çıkarılmasıyla gerçekleştirilir; bu, seçeneğin dağılım derecesini tahmin etmemizi sağlar:

Değişkenlik kriteri olarak limit ve genliğin dezavantajı, bunların tamamen varyasyon serisindeki özelliğin uç değerlerine bağlı olmasıdır. Bu durumda bir seri içindeki nitelik değerlerindeki dalgalanmalar dikkate alınmaz.

İstatistiksel bir popülasyondaki bir özelliğin çeşitliliğinin en eksiksiz tanımı şu şekilde sağlanır: standart sapma(sigma), bir seçeneğin ortalama değerinden sapmasının genel bir ölçüsüdür. Standart sapmaya sıklıkla denir standart sapma.

Standart sapma, her seçeneğin belirli bir popülasyonun aritmetik ortalaması ile karşılaştırılmasına dayanır. Toplamda her zaman ondan daha az ve daha fazla seçenek olacağından, "" işaretli sapmaların toplamı, "" işaretli sapmaların toplamı ile iptal edilecektir, yani. tüm sapmaların toplamı sıfırdır. Farklılıkların işaretlerinin etkisinden kaçınmak için aritmetik ortalamanın karesinden sapmalar alınır; . Sapmaların karelerinin toplamı sıfıra eşit değildir. Değişkenliği ölçebilen bir katsayı elde etmek için kareler toplamının ortalamasını alın - bu değere denir farklılıklar:

Aslında dağılım, bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalama değerinden sapmalarının ortalama karesidir. Dağılım – standart sapmanın karesi.

Varyans boyutlu bir miktardır (adlandırılır). Yani bir sayı serisinin varyantları metre cinsinden ifade edilirse varyans metrekareyi verir; seçenekler kilogram cinsinden ifade edilirse, varyans bu ölçünün karesini (kg 2) vb. verir.

Standart sapma – karekök dağılımdan:

, daha sonra kesirin paydasındaki dağılım ve standart sapmayı hesaplarken, yerinekonulmalı.

Standart sapmanın hesaplanması, belirli bir sırayla yapılması gereken altı aşamaya ayrılabilir:

Standart sapmanın uygulanması:

a) varyasyon serilerinin değişkenliğini değerlendirmek ve aritmetik ortalamaların tipikliğinin (temsil edilebilirliğinin) karşılaştırmalı değerlendirilmesi için. Semptomların stabilitesini belirlerken ayırıcı tanıda bu gereklidir.

b) varyasyon serisini yeniden oluşturmak, yani. frekans tepkisinin restorasyonu üç sigma kuralı. Aralıkta (М±3σ) Serinin tüm varyantlarının %99,7'si (М±2σ) - %95,5 ve aralığında (М±1σ) - %68,3 satır değişkeni(Şekil 1).

c) “açılır” seçenekleri tanımlamak

d) sigma tahminlerini kullanarak norm ve patoloji parametrelerini belirlemek

e) Değişim katsayısını hesaplamak

f) Aritmetik ortalamanın ortalama hatasını hesaplamak.

Herhangi bir popülasyonu karakterize etmek içinnormal dağılım türü için iki parametreyi bilmek yeterlidir: aritmetik ortalama ve standart sapma.

Şekil 1. Üç Sigma kuralı

Örnek.

Pediatride standart sapma, belirli bir çocuğun verilerini karşılık gelen standart göstergelerle karşılaştırarak çocukların fiziksel gelişimini değerlendirmek için kullanılır. Sağlıklı çocukların fiziksel gelişiminin aritmetik ortalaması standart olarak alınır. Göstergelerin standartlarla karşılaştırılması, standartların ilgili sigma ölçekleriyle birlikte verildiği özel tablolar kullanılarak gerçekleştirilir. Çocuğun fiziksel gelişim göstergesinin standart dahilinde olması durumunda ( aritmetik ortalama) ±σ, o zaman fiziksel gelişimçocuk (bu göstergeye göre) normlara karşılık gelir. Gösterge ±2σ standardı dahilindeyse, normdan hafif bir sapma vardır. Gösterge bu sınırların ötesine geçerse, çocuğun fiziksel gelişimi normdan keskin bir şekilde farklılık gösterir (patoloji mümkündür).

Mutlak değerlerle ifade edilen varyasyon göstergelerine ek olarak istatistiksel araştırmalar, göreceli değerlerle ifade edilen varyasyon göstergelerini kullanır. Salınım katsayısı - bu, varyasyon aralığının özelliğin ortalama değerine oranıdır. Değişim katsayısı - bu, standart sapmanın özelliğin ortalama değerine oranıdır. Tipik olarak bu değerler yüzde olarak ifade edilir.

Göreli varyasyon göstergelerini hesaplamak için formüller:

Yukarıdaki formüllerden katsayının ne kadar büyük olduğu açıktır. V sıfıra ne kadar yakınsa, karakteristik değerlerindeki değişim o kadar küçük olur. Daha fazla V işareti ne kadar değişken olursa.

İstatistiksel uygulamada en sık varyasyon katsayısı kullanılır. Yalnızca varyasyonun karşılaştırmalı bir değerlendirmesi için değil, aynı zamanda popülasyonun homojenliğini karakterize etmek için de kullanılır. Varyasyon katsayısı %33'ü geçmiyorsa (normale yakın dağılımlar için) popülasyon homojen kabul edilir. Aritmetik olarak, σ ve aritmetik ortalamanın oranı, bu özelliklerin mutlak değerinin etkisini nötralize eder ve yüzde oranı, varyasyon katsayısını boyutsuz (isimsiz) bir değer haline getirir.

Varyasyon katsayısının ortaya çıkan değeri, özelliğin çeşitlilik derecesinin yaklaşık derecelerine göre tahmin edilir:

Zayıf - %10'a kadar

Ortalama - %10 - 20

Güçlü - %20'den fazla

Boyut ve boyut bakımından farklı özellikleri karşılaştırmanın gerekli olduğu durumlarda varyasyon katsayısının kullanılması tavsiye edilir.

Değişim katsayısı ile diğer dağılım kriterleri arasındaki fark açıkça gösterilmiştir. örnek.

Tablo 1

Endüstriyel işletme çalışanlarının bileşimi

Örnekte verilen istatistiksel özelliklere dayanarak, ankete katılan grubun düşük mesleki istikrarı göz önüne alındığında, işletme çalışanlarının yaş kompozisyonunun ve eğitim düzeyinin göreceli homojenliği hakkında bir sonuca varabiliriz. Bu sosyal eğilimleri standart sapmaya göre yargılama girişiminin hatalı bir sonuca yol açacağını ve "iş deneyimi" ve "yaş" muhasebe özelliklerini muhasebe göstergesi "eğitim" ile karşılaştırma girişiminin genellikle yanlış olacağını görmek kolaydır. Bu özelliklerin heterojenliği nedeniyle yanlış.

Medyan ve yüzdelikler

Serinin ortası için kriterin medyan olduğu sıralı (sıralı) dağılımlar için standart sapma ve dağılım, varyantın dağılımının özellikleri olarak hizmet edemez.

Aynı şey açık varyasyon serileri için de geçerlidir. Bu durum, varyans ve σ'nun hesaplandığı sapmaların, açık varyasyon serilerinde ve niteliksel özelliklerin dağılım serilerinde hesaplanmayan aritmetik ortalamadan ölçülmesinden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, dağılımların sıkıştırılmış bir açıklaması için başka bir dağılım parametresi kullanılır - yüzdelik dilim(eşanlamlı - “yüzdelik”), herhangi bir dağılım biçiminde niteliksel ve niceliksel özellikleri tanımlamak için uygundur. Bu parametre aynı zamanda niceliksel özellikleri niteliksel özelliklere dönüştürmek için de kullanılabilir. Bu durumda, bu tür derecelendirmeler, belirli bir seçeneğin hangi nicelik sırasına karşılık geldiğine bağlı olarak atanır.

Biyomedikal araştırma pratiğinde en sık aşağıdaki miktarlar kullanılır:

– medyan;

, – çeyrekler (çeyrekler), burada – alt çeyrekler, – üst çeyrek.

Nicelikler, bir varyasyon serisindeki olası değişikliklerin alanını belirli aralıklara böler. Medyan (kantil), bir varyasyon serisinin ortasında yer alan ve bu seriyi ikiye iki eşit parçaya bölen bir seçenektir ( 0,5 Ve 0,5 ). Bir çeyrek, bir seriyi dört bölüme ayırır: ilk bölüm (alt çeyrek), sayısal değerleri belirli bir seride mümkün olan maksimumun %25'ini aşmayan seçenekleri ayıran bir seçenektir; dörtte bir, sayısal değeri olan seçenekleri ayırır; mümkün olan maksimumun %50'sine kadar. Üst çeyrek (), mümkün olan maksimum değerlerin %75'ine kadar olan seçenekleri ayırır.

Asimetrik dağılım durumunda Aritmetik ortalamaya göre değişken, onu karakterize etmek için medyan ve çeyrekler kullanılır. Bu durumda, ortalama değerin görüntülenmesi için aşağıdaki biçim kullanılır: Meh (;). Örneğin Buna göre incelenen özellik olan “çocuğun bağımsız yürümeye başladığı dönem” çalışma grubunda asimetrik bir dağılıma sahiptir. Aynı zamanda, alt çeyrek () yürümenin başlangıcına karşılık gelir - 9,5 ay, ortanca - 11 ay, üst çeyrek () - 12 ay. Buna göre belirtilen niteliğin ortalama trend özelliği 11 (9,5; 12) ay olarak sunulacaktır.

Araştırma sonuçlarının istatistiksel anlamlılığının değerlendirilmesi

Verilerin istatistiksel önemi, gösterilen gerçekliğe karşılık gelme derecesi olarak anlaşılır; istatistiksel olarak anlamlı veriler, nesnel gerçekliği çarpıtmayan ve doğru şekilde yansıtan verilerdir.

Araştırma sonuçlarının istatistiksel anlamlılığının değerlendirilmesi, örneklem evreninden elde edilen sonuçların evrenin tamamına aktarılmasının hangi olasılıkla mümkün olduğunu belirlemek anlamına gelir. İstatistiksel anlamlılığın değerlendirilmesi, bir olgunun ne kadarının, bir bütün olarak olguyu ve onun kalıplarını yargılamak için kullanılabileceğini anlamak için gereklidir.

Araştırma sonuçlarının istatistiksel anlamlılığının değerlendirilmesi aşağıdakilerden oluşur:

1. temsil hataları (ortalama ve göreceli değerlerdeki hatalar) - M;

2. Ortalama veya göreceli değerlerin güven sınırları;

3. Kriterlere göre ortalama veya göreceli değerlerdeki farkın güvenilirliği T.

Aritmetik ortalamanın standart hatası veya temsil hatası ortalamanın dalgalanmalarını karakterize eder. Örneklem büyüklüğü ne kadar büyük olursa, ortalama değerlerin yayılımının da o kadar küçük olduğuna dikkat edilmelidir. Ortalamanın standart hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Modern bilimsel literatürde aritmetik ortalama temsil hatasıyla birlikte yazılır:

veya standart sapmayla birlikte:

Örnek olarak ülkedeki (genel nüfus) 1.500 şehir kliniğine ilişkin verileri düşünün. Klinikte hizmet verilen ortalama hasta sayısı 18.150 kişidir. Sitelerin %10'unun (150 klinik) rastgele seçilmesi, ortalama 20.051 kişiye eşit hasta sayısını verir. Açıkça 1500 kliniğin tamamının örnekleme dahil edilmemesinden kaynaklanan örnekleme hatası, bu ortalamalar arasındaki farka, yani genel ortalamaya eşittir ( M gen) ve örnek ortalaması ( M seçildi). Popülasyonumuzdan aynı büyüklükte başka bir örneklem oluşturursak farklı bir hata değeri verecektir. Yeterince büyük örneklere sahip tüm bu örnek araçlar, aynı sayıda nesnenin örneğinin yeterince büyük sayıda tekrarı ile genel ortalama etrafında normal olarak dağıtılır. nüfus. Ortalamanın standart hatası M- bu, örnek ortalamaların genel ortalama etrafında kaçınılmaz yayılmasıdır.

Araştırma sonuçlarının göreceli miktarlarda (örneğin yüzdeler) sunulması durumunda - hesaplanır kesrin standart hatası:

burada P % cinsinden göstergedir, n ise gözlem sayısıdır.

Sonuç şu şekilde görüntülenir: (P±m)%. Örneğin, hastalarda iyileşme yüzdesi (95,2±2,5)% idi.

Popülasyonun eleman sayısının artması durumunda, daha sonra kesirin paydasındaki ortalamanın ve kesrin standart hatalarını hesaplarken, yerinekonulmalı.

Normal bir dağılım için (örnek ortalamalarının dağılımı normaldir), popülasyonun hangi kısmının ortalamanın etrafındaki herhangi bir aralığa düştüğünü biliyoruz. Özellikle:

Pratikte sorun, genel popülasyonun özelliklerinin bizim tarafımızdan bilinmemesi ve numunenin tam olarak bunları tahmin etmek amacıyla yapılmasıdır. Bu şu anlama gelir; eğer aynı boyutta numuneler yaparsak N genel popülasyondan, vakaların %68,3'ünde aralık değeri içerecektir M(vakaların %95,5'inde aralıkta ve vakaların %99,7'sinde aralıkta olacaktır).

Aslında yalnızca bir örnek alındığı için bu ifade olasılık açısından formüle edilmiştir: %68,3 olasılıkla, popülasyondaki özelliğin ortalama değeri %95,5 olasılıkla aralıkta yer almaktadır. - aralıkta vb.

Uygulamada, örnek değer etrafında belirli (yeterince yüksek) bir olasılıkla bir aralık oluşturulur. güven olasılığı – bu parametrenin genel popülasyondaki gerçek değerini “kapsar”. Bu aralığa denir güven aralığı.

Güven olasılığıP – bu, güven aralığının aslında popülasyondaki parametrenin gerçek (bilinmeyen) değerini içereceğine dair güven derecesidir.

Örneğin güven olasılığı R%90'dır; bu, 100 örnekten 90'ının popülasyondaki parametrenin doğru tahminini vereceği anlamına gelir. Buna göre hata olasılığı, yani. Örneklem için genel ortalamanın yanlış tahmini yüzde olarak eşittir: . Bu örnek için bu, 100 örnekten 10'unun yanlış tahmin vereceği anlamına gelir.

Açıkçası, güven derecesi (güven olasılığı) aralığın büyüklüğüne bağlıdır: aralık ne kadar geniş olursa, popülasyon için bilinmeyen bir değerin bu aralıkta yer alacağına dair güven o kadar yüksek olur. Uygulamada, en az %95,5 güven sağlayacak bir güven aralığı oluşturmak için örnekleme hatasının en az iki katı kullanılır.

Ortalamaların ve göreceli değerlerin güven sınırlarını belirlemek, iki uç değerini bulmamızı sağlar - çalışılan göstergenin tüm popülasyonda oluşabileceği mümkün olan minimum ve mümkün olan maksimum. Buna dayanarak, güven sınırları (veya güven aralığı)- bunlar, rastgele dalgalanmalar nedeniyle önemsiz bir olasılığın bulunduğu ortalama veya göreceli değerlerin sınırlarıdır.

Güven aralığı şu şekilde yeniden yazılabilir: burada T– güven kriteri.

Popülasyondaki aritmetik ortalamanın güven sınırları aşağıdaki formülle belirlenir:

M gen = M seçme + t m M

göreceli değer için:

R gen = P seçme + t m R

Nerede M gen Ve R gen- genel nüfus için ortalama ve göreceli değerlerin değerleri; M seçme Ve R seçme- örnek popülasyondan elde edilen ortalama ve göreceli değerlerin değerleri; M M Ve M P- ortalama ve göreceli değerlerdeki hatalar; T- güven kriteri (çalışmayı planlarken oluşturulan ve 2 veya 3'e eşit olabilen doğruluk kriteri); t m- bu bir güven aralığıdır veya Δ - örnek bir çalışmada elde edilen göstergenin maksimum hatasıdır.

Kriterin değerinin dikkate alınması gerekir. T% olarak ifade edilen, hatasız bir tahminin olasılığı (p) ile belirli bir dereceye kadar ilgilidir. Sonucu gerekli doğruluk derecesiyle elde etme ihtiyacının rehberliğinde araştırmacının kendisi tarafından seçilir. Böylece %95,5'lik hatasız tahmin olasılığı için kriterin değeri T 2, %99,7 - 3'tür.

Verilen güven aralığı tahminleri yalnızca 30'dan fazla gözlem içeren istatistiksel popülasyonlar için kabul edilebilir. Daha küçük popülasyon boyutunda (küçük örnekler), t kriterini belirlemek için özel tablolar kullanılır. Bu tablolarda istenilen değer popülasyon büyüklüğüne karşılık gelen çizginin kesişim noktasında yer almaktadır. (n-1) ve araştırmacı tarafından seçilen hatasız bir tahminin (%95,5; %99,7) olasılık düzeyine karşılık gelen bir sütun. Tıbbi araştırmalarda herhangi bir gösterge için güven sınırları belirlenirken hatasız tahmin olasılığı %95,5 veya daha fazladır. Bu, örnek popülasyondan elde edilen göstergenin değerinin vakaların en az %95,5'inde genel popülasyonda bulunması gerektiği anlamına gelir.

Dersin konusuyla ilgili sorular:

İstatistiksel bir popülasyondaki özellik çeşitliliği göstergelerinin önemi.

Mutlak değişim göstergelerinin genel özellikleri.

Standart sapma, hesaplama, uygulama.

Göreli varyasyon ölçüleri.

Medyan, çeyrek puanı.

Çalışma sonuçlarının istatistiksel anlamlılığının değerlendirilmesi.

Aritmetik ortalamanın standart hatası, hesaplama formülü, kullanım örneği.

Oranın hesaplanması ve standart hatası.

Güven olasılığı kavramı, bir kullanım örneği.

10. Güven aralığı kavramı ve uygulaması.

Konuyla ilgili görevleri standart yanıtlarla test edin:

1. MUTLAK DEĞİŞİKLİK GÖSTERGELERİ BAKINIZ

1) varyasyon katsayısı

2) salınım katsayısı

4) medyan

2. GÖRE DEĞİŞİKLİK GÖSTERGELERİ

1) dağılım

4) varyasyon katsayısı

3. BİR VARYASYON SERİSİNDEKİ BİR OPSİYONUN AŞIRI DEĞERLERİNE GÖRE BELİRLENEN KRİTER

2) genlik

3) dağılım

4) varyasyon katsayısı

4. EXTREME SEÇENEKLERİN FARKI

2) genlik

3) standart sapma

4) varyasyon katsayısı

5. BİR KARAKTERİSTİĞİN BİREYSEL DEĞERLERİNİN ORTALAMA DEĞERLERİNDEN SAPMALARININ ORTALAMA KAREİ

1) salınım katsayısı

2) medyan

3) dağılım

6. DEĞİŞİKLİK ÖLÇEĞİNİN BİR KARAKTERİN ORTALAMA DEĞERİNE ORANI

1) varyasyon katsayısı

2) standart sapma

4) salınım katsayısı

7. ORTALAMA KARE SAPMANIN BİR KARAKTERİSTİĞİN ORTALAMA DEĞERİNE ORANI

1) dağılım

2) varyasyon katsayısı

3) salınım katsayısı

4) genlik

8. VARYASYON SERİSİNİN ORTASINDA YER ALAN VE İKİ EŞİT PARCAYA BÖLEN SEÇENEK

1) medyan

3) genlik

9. TIBBİ ARAŞTIRMALARDA HERHANGİ BİR GÖSTERGE İÇİN GÜVEN LİMİTLERİ OLUŞTURULURKEN HATASIZ TAHMİN OLASILIĞI KABUL EDİLİR

10. 100 ÖRNEKTEN 90'I Popülasyondaki Bir Parametrenin Doğru Tahminini Veriyorsa Bu, GÜVEN OLASILIĞININ DEĞERLENDİRİLDİĞİ ANLAMINA GELİR P EŞİT

11. 100 ÖRNEKTEN 10'U YANLIŞ TAHMİN VERİRSE HATA OLASILIĞI EŞİTTİR

12. ORTALAMA VEYA BAĞIL DEĞERLERİN SINIRLARI, RASTGELE SALINIMLAR NEDENİYLE DIŞINA ÇIKMA OLASILIĞI KÜÇÜK - BU

1) güven aralığı

2) genlik

4) varyasyon katsayısı

13. İÇİNDEKİ NÜFUSUN KÜÇÜK BİR ÖRNEKLEMİ DEĞERLENDİRİLİYOR

1) n, 100'den küçük veya ona eşittir

2) n 30'dan küçük veya eşittir

3) n 40'tan küçük veya ona eşittir

4) n 0'a yakındır

14. HATASIZ BİR TAHMİN OLASILIĞI İÇİN %95 KRİTER DEĞERİ T IS

15. HATASIZ BİR TAHMİN OLASILIĞI İÇİN %99 KRİTER DEĞERİ T IS

16. NORMAL DAĞILIMLARDA, DEĞİŞİM KATSAYISININ AŞILMAMASI DURUMUNDA NÜFUS HOMOJEN KABUL EDİLİR

17. SAYISAL DEĞERLERİ VERİLEN BİR SERİDE MÜMKÜN OLAN MAKSİMUMUN %25'İNİ AŞMAYAN SEÇENEK, AYIRMA SEÇENEKLERİ – BU

2) alt çeyrek

3) üst çeyrek

4) çeyrek

18. BOZULMAYAN VE OBJEKTİF GERÇEKLİĞİ DOĞRU YANSITAN VERİLERE ADI VERİLİR

1) imkansız

2) eşit derecede mümkün

3) güvenilir

4) rastgele

19. "ÜÇ Sigma" KURALINA GÖRE, İÇERİSİNDE BİR KARAKTERİSTİĞİN NORMAL DAĞILIMI İLE
YER ALACAK

1) %68,3 opsiyonu

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Standart sapma(eş anlamlılar: standart sapma, standart sapma, kare sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılımının en yaygın göstergesi. Sınırlı değer örnekleri dizileri için matematiksel beklentiörnek popülasyonun aritmetik ortalaması kullanılır.

Temel bilgiler

Standart sapma bizzat ölçü birimleriyle ölçülür rastgele değişken ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, hipotezleri istatistiksel olarak test ederken, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ölçerken kullanılır. Bir rastgele değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.

Standart sapma:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Standart Sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini X varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre) $S$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash sağ)^2);$

Üç sigma kuralı

Üç sigma kuralı ($3\backslash sigma$) - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin neredeyse tüm değerleri aralıkta yer alır $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Daha kesin olarak - yaklaşık 0,9973 olasılıkla, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta yer alır (değerin $\backslash bar(x)$ doğrudur ve numune işleme sonucunda elde edilmemiştir).

Gerçek değer ise $\backslash bar(x)$ bilinmiyorsa kullanmamalısınız $\backslash sigma$, A S. Böylece, üç kuralı sigma üç kuralına dönüştürülür S .

Standart sapma değerinin yorumlanması

Standart sapmanın daha büyük bir değeri, sunulan sette değerlerin daha büyük bir yayılımını gösterir. ortalama boyutçokluklar; buna göre daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

Örneğin üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç set için de ortalama değerler 7'ye, standart sapmalar ise sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. son set setteki değerler ortalama değer etrafında gruplandırıldığı için standart sapma küçüktür; ilk set en fazlasına sahip büyük değer standart sapma - küme içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

Genel anlamda standart sapma bir belirsizlik ölçüsü olarak düşünülebilir. Örneğin fizikte standart sapma, bir niceliğin ardışık ölçümlerinin hatasını belirlemek için kullanılır. Bu değer, teori tarafından tahmin edilen değerle karşılaştırıldığında incelenen olgunun makullüğünü belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teorinin tahmin ettiği değerlerden büyük ölçüde farklıysa (büyük standart sapma), daha sonra elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi yeniden kontrol edilmelidir.

Pratik Uygulama

Uygulamada standart sapma, bir kümedeki değerlerin ortalama değerden ne kadar farklı olabileceğini tahmin etmenize olanak tanır.

Ekonomi ve finans

Portföy getirisinin standart sapması $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ Portföy riski ile tanımlanır.

İklim

Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise ovada bulunuyor. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, bu değerin ortalama değeri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci şehre göre daha az olacaktır; bu, pratikte maksimum hava sıcaklığının aynı bölgede olma ihtimali anlamına gelir. yılın herhangi bir gününde ortalama değerden farklı olarak iç kesimlerde bulunan bir şehir için daha yüksek olacaktır.

Spor

Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre değerlendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın, büyük olasılıkla, en iyi değerlerİle Daha parametreler. Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, bu tür takımların sonucu o kadar öngörülebilir olur; Öte yandan, standart sapması büyük olan bir takım için sonucu tahmin etmek zordur ve bu da dengesizlikle açıklanır; güçlü savunma, ancak zayıf bir saldırıyla.

Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, güçlü yönleri değerlendirmeyi ve zayıflıklar emirler ve dolayısıyla seçilen mücadele yöntemleri.

Ayrıca bakınız

"Kök Ortalama Kare Sapması" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

• Borovikov V.İSTATİSTİK. Bilgisayarda veri analizi sanatı: Profesyoneller için / V. Borovikov. - St.Petersburg. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

İstatistiksel göstergeler Tanımlayıcı istatistikler İstatistiksel çıktı ve muayene hipotezler Genel derecelendirme Korelasyon ve gerileme Grafik yöntemler

Standart Sapmayı karakterize eden bir alıntı

Ve kapıyı hızla açarak kararlı adımlarla balkona çıktı. Konuşma aniden kesildi, şapkalar ve kepler çıkarıldı ve tüm gözler dışarı çıkan konta çevrildi.
- Merhaba arkadaşlar! - sayı hızlı ve yüksek sesle söyledi. - Geldiğiniz için teşekkür ederim. Şimdi size geleceğim ama öncelikle kötü adamla uğraşmamız gerekiyor. Moskova'yı öldüren haini cezalandırmamız gerekiyor. Beni bekle! “Ve kont kapıyı sertçe çarparak aynı hızla odasına döndü.
Kalabalıktan bir zevk mırıltısı yayıldı. “Bu onun tüm kötüleri kontrol edeceği anlamına geliyor! Ve sen Fransızca dersin... o sana tüm mesafeyi verir!” - insanlar sanki inanç eksikliğinden dolayı birbirlerini suçluyormuş gibi dediler.
Birkaç dakika sonra bir subay aceleyle ön kapıdan çıktı, bir şeyler emretti ve ejderhalar ayağa kalktı. Balkondaki kalabalık heyecanla verandaya doğru ilerledi. Öfkeli, hızlı adımlarla verandaya çıkan Rastopchin, sanki birini arıyormuş gibi aceleyle etrafına baktı.
-Nerede o? - dedi kont ve bunu söylediği anda evin köşesinden iki ejderhanın arasından çıktığını gördü. genç adam uzun ince boyunlu, yarı tıraşlı ve aşırı büyümüş kafalı. Bu genç adam, bir zamanlar şık, mavi kumaş kaplı, eski püskü tilki koyun derisi bir ceket ve kirli mahkum harem pantolonu giymiş, temizlenmemiş, yıpranmış ince çizmelerin içine tıkılmıştı. İnce, zayıf bacaklarına ağır bir şekilde bağlanan prangalar, genç adamın kararsızca yürümesini zorlaştırıyordu.
- A! - dedi Rastopchin, bakışlarını aceleyle tilki koyun derisi paltolu genç adamdan çevirerek ve verandanın alt basamağını işaret ederek. - Buraya koy! “Prangalarını şakırdatan genç adam, koyun derisi ceketinin yakasını parmağıyla bastırarak, ağır bir şekilde belirtilen basamağa adım attı, uzun boynunu iki kez çevirdi ve içini çekerek ince, çalışmayan ellerini önünde kavuşturdu. itaatkar bir hareketle midesini.
Genç adam basamakta yerini alırken sessizlik birkaç saniye devam etti. Sadece arka sıralarda tek bir yere sıkışan insanlardan inlemeler, inlemeler, titremeler ve hareket eden ayakların takırtıları duyuldu.
Belirtilen yerde durmasını bekleyen Rastopchin kaşlarını çattı ve eliyle yüzünü ovuşturdu.
- Çocuklar! - dedi Rastopchin metalik çınlayan bir sesle, - bu adam, Vereshchagin, Moskova'nın yok olduğu aynı alçaktır.
Tilki koyun derisi paltolu genç bir adam itaatkâr bir pozda duruyordu; ellerini karnının önünde birleştirip hafifçe eğilmişti. Tıraşlı kafası yüzünden şekli bozulan bir deri bir kemik, umutsuz ifadesi üzgündü. Sayımın ilk kelimelerini söylerken yavaşça başını kaldırdı ve sanki ona bir şey söylemek istiyormuş ya da en azından onunla göz göze gelmek istiyormuş gibi sayıma baktı. Ama Rastopchin ona bakmadı. Genç adamın ip gibi uzun ince boynunda kulağın arkasındaki damar gerginleşerek maviye döndü ve bir anda yüzü kırmızıya döndü.
Bütün gözler ona odaklanmıştı. Kalabalığa baktı ve sanki insanların yüzlerinde okuduğu ifadeden cesaret almış gibi üzgün ve çekingen bir şekilde gülümsedi ve tekrar başını eğerek ayaklarını basamakta düzeltti.
Rastopchin eşit ve keskin bir sesle, "Çarına ve anavatanına ihanet etti, kendisini Bonaparte'a teslim etti, tüm Ruslar arasında Rusların adını lekeleyen tek kişi o ve Moskova onun yüzünden yok oluyor" dedi; ama aniden aynı itaatkâr pozda durmaya devam eden Vereshchagin'e hızla baktı. Sanki bu bakış onu patlatmış gibi, elini kaldırarak neredeyse bağırarak halka dönerek: "Onunla yargını hallet!" Onu sana veriyorum!
İnsanlar sessizdi ve yalnızca birbirlerine daha da yakınlaştılar. Birbirimize sarılmak, bu enfeksiyonlu havasızlığı solumak, hareket edecek gücü bulamamak ve bilinmeyen, anlaşılmaz ve korkunç bir şeyi beklemek dayanılmaz hale geldi. Ön sıralarda duran, önlerinde olup biteni gören ve duyanlar, gözleri korkuyla açılmış, ağızları açık, tüm güçlerini kullanarak arkalarındakilerin sırtlarındaki baskıyı bastırdılar.
-Dövün onu!.. Hain ölsün, Rus'un adını lekelemesin! - Rastopchin bağırdı. - Yakut! Ben emrediyorum! - Kelimeleri değil, Rastopchin'in sesinin öfkeli seslerini duyan kalabalık inledi ve ileri doğru ilerledi, ancak tekrar durdu.
Tekrar oluşan anlık sessizliğin ortasında Vereshchagin'in ürkek ve aynı zamanda teatral sesi, "Say!.." dedi. "Kont, üstümüzde bir tanrı var..." dedi Vereshchagin başını kaldırarak ve ince boynundaki kalın damar yine kanla doldu ve renk hızla belirip yüzünden kaçtı. Söylemek istediğini bitirmedi.
- Doğrayın onu! Emrediyorum!.. - diye bağırdı Rastopchin, aniden Vereshchagin gibi solgunlaştı.
- Kılıçlar dışarı! - memur, kılıcını kendisi çekerek ejderhalara bağırdı.
Daha da güçlü bir başka dalga insanların arasından geçti ve ön sıralara ulaşan bu dalga, ön sıraları sarsarak hareket ettirdi ve onları verandanın merdivenlerine kadar getirdi. Vereshchagin'in yanında, yüzünde taşlaşmış bir ifade olan ve elini kaldırmış uzun boylu bir adam duruyordu.
- Yakut! - Neredeyse bir subay ejderhalara fısıldadı ve askerlerden biri aniden öfkeyle çarpık bir yüzle Vereshchagin'in kafasına kör bir kılıçla vurdu.
"A!" - Vereshchagin kısaca ve şaşkınlıkla bağırdı, korkuyla etrafına baktı ve sanki bunun ona neden yapıldığını anlamıyormuş gibi. Kalabalıkta aynı şaşkınlık ve dehşet iniltisi dolaştı.
"Aman Tanrım!" – birinin üzücü ünlemi duyuldu.
Ancak Vereshchagin'in kaçtığı şaşkınlık çığlığının ardından acı içinde acınası bir çığlık attı ve bu çığlık onu mahvetti. Bu bariyer en yüksek dereceye kadar uzanıyordu insani duygu Hala kalabalığı tutan kişi anında içeri girdi. Suç başlamıştı, tamamlanması gerekiyordu. Acınası sitem iniltisi, kalabalığın tehditkar ve öfkeli kükremesi tarafından bastırıldı. Gemileri parçalayan son yedinci dalga gibi, bu durdurulamayan son dalga da arka saflardan yükseldi, ön saflara ulaştı, onları devirdi ve her şeyi yuttu. Saldıran ejderha, darbesini tekrarlamak istedi. Vereshchagin bir korku çığlığı atarak elleriyle kendini koruyarak insanlara doğru koştu. Çarptığı uzun boylu adam, elleriyle Vereshchagin'in ince boynunu yakaladı ve çılgın bir çığlık atarak kükreyen insan kalabalığının ayaklarının altına düştü.
Bazıları Vereshchagin'i dövüp parçaladı, diğerleri uzun ve küçüktü. Ezilen insanların ve uzun boylu adamı kurtarmaya çalışanların çığlıkları kalabalığın öfkesini daha da artırdı. Uzun süre ejderhalar, kanlar içinde, yarı ölünceye kadar dövülmüş fabrika işçisini serbest bırakamadı. Ve Vereshchagin'i döven, boğan ve parçalayan insanlar, kalabalığın bir kez başladıktan sonra işi tamamlamaya çalıştığı tüm hummalı aceleye rağmen uzun bir süre onu öldüremedi; ama kalabalık, ortada tek bir kütle gibi, bir yandan diğer yana sallanarak onları her taraftan bastırdı ve onlara ne işini bitirmelerine ne de fırlatma fırsatı vermedi.

Tecrübeyle elde edilen değerler kaçınılmaz olarak çok çeşitli nedenlerden dolayı hatalar içerir. Bunlar arasında sistematik ve rastgele hatalar arasında ayrım yapılmalıdır. Sistematik hatalar, çok spesifik bir şekilde hareket eden nedenlerden kaynaklanır ve her zaman oldukça doğru bir şekilde ortadan kaldırılabilir veya dikkate alınabilir. Rastgele hatalar, doğru bir şekilde açıklanamayan ve her bir ölçümde farklı şekillerde etki eden çok sayıda bireysel nedenden kaynaklanır. Bu hatalar tamamen göz ardı edilemez; bunlar yalnızca ortalama olarak dikkate alınabilir; bunun için rastgele hataları yöneten yasaların bilinmesi gerekir.

Ölçülen miktarı A ile ve ölçümdeki rastgele hatayı x ile göstereceğiz. X hatası herhangi bir değeri alabileceğinden, tamamen dağıtım yasasıyla karakterize edilen sürekli bir rastgele değişkendir.

Gerçeği en basit ve en doğru şekilde yansıtan (çoğu durumda) sözde normal hata dağılımı kanunu:

Bu dağıtım yasası, çeşitli teorik öncüllerden, özellikle, aynı doğruluk derecesine sahip bir dizi değerin doğrudan ölçümle elde edildiği bilinmeyen bir miktarın en olası değerinin, aşağıdakilerin aritmetik ortalaması olması gerekliliğinden elde edilebilir: bu değerler. 2. miktar denir dağılım bu normal yasanın.

Aritmetik ortalama

Deneysel verilerden dağılımın belirlenmesi. Herhangi bir A değeri için, n değerleri ai aynı doğruluk derecesiyle doğrudan ölçümle elde edilirse ve A değerinin hataları normal dağılım yasasına tabiyse, o zaman A'nın en olası değeri şöyle olacaktır: aritmetik ortalama:

a - aritmetik ortalama,

a i - i'inci adımda ölçülen değer.

A değerinin gözlemlenen değerinin (her gözlem için) sapması aritmetik ortalama: a ben - a.

Bu durumda normal hata dağılım yasasının varyansını belirlemek için aşağıdaki formülü kullanın:

2 - dağılım,
a - aritmetik ortalama,
n - parametre ölçümlerinin sayısı,

Standart sapma

Standart sapmaölçülen değerlerin mutlak sapmasını gösterir aritmetik ortalama. Doğrusal bir kombinasyonun doğruluk ölçümü formülüne uygun olarak ortalama kare hatası Aritmetik ortalama aşağıdaki formülle belirlenir:

, Nerede

a - aritmetik ortalama,
n - parametre ölçümlerinin sayısı,
a i - i'inci adımda ölçülen değer.

Değişim katsayısı

Değişim katsayısıölçülen değerlerin göreceli sapma ölçüsünü karakterize eder aritmetik ortalama:

, Nerede

V - varyasyon katsayısı,
- standart sapma,
a - aritmetik ortalama.

Değer ne kadar yüksek olursa varyasyon katsayısıçalışılan değerlerin dağılımı nispeten daha büyük ve tekdüzeliği daha az olur. Eğer varyasyon katsayısı%10'un altında olması durumunda varyasyon serisinin değişkenliği önemsiz olarak kabul edilir, %10 ila %20 arası ortalama olarak kabul edilir, %20'den fazlası ve %33'ten azı anlamlı kabul edilir ve eğer varyasyon katsayısı%33'ü aşıyorsa bu, bilginin heterojenliğini ve en büyük ve en küçük değerlerin hariç tutulması gerektiğini gösterir.

Ortalama doğrusal sapma

Değişimin kapsamı ve yoğunluğunun göstergelerinden biri ortalama doğrusal sapma (ortalama sapma modülü) aritmetik ortalamadan. Ortalama doğrusal sapma formülle hesaplanır:

, Nerede

_
a - ortalama doğrusal sapma,
a - aritmetik ortalama,
n - parametre ölçümlerinin sayısı,
a i - i'inci adımda ölçülen değer.

Çalışılan değerlerin hukuka uygunluğunu kontrol etmek normal dağılım tutumu uygulamak asimetri göstergesi hatasına ve tutumuna basıklık göstergesi onun hatasına.

Asimetri göstergesi

Asimetri göstergesi(A) ve hatası (m a) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

, Nerede

A - asimetri göstergesi,
- standart sapma,
a - aritmetik ortalama,
n - parametre ölçümlerinin sayısı,
a i - i'inci adımda ölçülen değer.

Basıklık göstergesi

Basıklık göstergesi(E) ve hatası (m e) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

, Nerede

$X$. Başlangıç ​​olarak aşağıdaki tanımı hatırlayalım:

Tanım 1

Nüfus- belirli bir türden rastgele seçilmiş nesneler kümesi; bunlar üzerinde gözlemler gerçekleştirilerek, belirli değerler Belirli bir türden bir rastgele değişken incelenirken sabit koşullar altında gerçekleştirilen rastgele değişken.

Tanım 2

Genel varyans-- popülasyon değişkeninin değerlerinin ortalama değerlerinden sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ seçeneğinin değerleri sırasıyla $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ frekanslarına sahip olsun. Daha sonra genel varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

düşünelim özel durum. Tüm seçenekler $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ farklı olsun. Bu durumda $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Bu durumda genel varyansın aşağıdaki formül kullanılarak hesaplandığını görüyoruz:

Bu kavram aynı zamanda genel standart sapma kavramıyla da ilişkilidir.

Tanım 3

Genel standart sapma

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Örnek varyans

Bize $X$ rastgele değişkenine göre örnek bir popülasyon verilsin. Başlangıç ​​olarak aşağıdaki tanımı hatırlayalım:

Tanım 4

Örnek popülasyon-- genel popülasyondan seçilen nesnelerin bir kısmı.

Tanım 5

Örnek varyans-- örnek popülasyonun değerlerinin aritmetik ortalaması.

$x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ seçeneğinin değerleri sırasıyla $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ frekanslarına sahip olsun. Daha sonra örnek varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Özel bir durumu ele alalım. Tüm seçenekler $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ farklı olsun. Bu durumda $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Bu durumda örneklem varyansının aşağıdaki formül kullanılarak hesaplandığını görüyoruz:

Bu kavramla ilgili olarak örnek standart sapma kavramı da vardır.

Tanım 6

Örnek standart sapma-- genel varyansın karekökü:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Düzeltilmiş varyans

Düzeltilmiş $S^2$ varyansını bulmak için örnek varyansı $\frac(n)(n-1)$ kesiriyle çarpmak gerekir, yani

Bu kavram aynı zamanda aşağıdaki formülle bulunan düzeltilmiş standart sapma kavramıyla da ilişkilidir:

Varyantların değerlerinin ayrı olmaması, ancak aralıkları temsil etmesi durumunda, genel veya örnek varyansların hesaplanmasına yönelik formüllerde, $x_i$ değeri, aralığın ortasının değeri olarak alınır. $x_i.$ aittir.

Varyansı ve standart sapmayı bulmaya yönelik bir problem örneği

Örnek 1

Örnek popülasyon aşağıdaki dağıtım tablosuyla tanımlanır:

Şekil 1.

Bunun için örnek varyansını, örnek standart sapmasını, düzeltilmiş varyansını ve düzeltilmiş standart sapmasını bulalım.

Bu sorunu çözmek için önce bir hesaplama tablosu hazırlıyoruz:

Şekil 2.

Tablodaki $\overline(x_в)$ (örnek ortalama) değeri şu formülle bulunur:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15.25\]

Aşağıdaki formülü kullanarak örnek varyansını bulalım:

Örnek standart sapma:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\yaklaşık 5,12\]

Düzeltilmiş varyans:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\approx 27.57\]

Düzeltilmiş standart sapma.

Talimatlar

Homojen miktarları karakterize eden birkaç sayı olsun. Örneğin ölçüm sonuçları, tartım, istatistiksel gözlemler vesaire. Sunulan tüm miktarlar aynı ölçüm kullanılarak ölçülmelidir. Standart sapmayı bulmak için aşağıdakileri yapın:

Tüm sayıların aritmetik ortalamasını belirleyin: tüm sayıları toplayın ve toplamı toplam sayı sayısına bölün.

Sayıların dağılımını (yayılmasını) belirleyin: önceden bulunan sapmaların karelerini ekleyin ve elde edilen toplamı sayı sayısına bölün.

Serviste ateşi 34, 35, 36, 37, 38, 39 ve 40 derece olan 7 hasta bulunuyor.

Ortalamadan ortalama sapmayı belirlemek gerekir.
Çözüm:
“koğuşta”: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Ortalamadan sıcaklık sapmaları (içinde bu durumda normal değer): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, ortaya çıkıyor: -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3 (°С);

Daha önce elde edilen sayıların toplamını sayılarına bölün. Doğru hesaplamalar için hesap makinesi kullanmak daha iyidir. Bölme sonucu eklenen sayıların aritmetik ortalamasıdır.

Hesaplamaların herhangi birindeki bir hata bile yanlış bir nihai göstergeye yol açacağından hesaplamanın tüm aşamalarına dikkat edin. Hesaplamalarınızı her aşamada kontrol edin. Aritmetik ortalama, toplanan sayılarla aynı ölçüme sahiptir, yani ortalama katılımı belirlerseniz tüm göstergeleriniz “kişi” olacaktır.

Bu hesaplama yöntemi yalnızca matematiksel ve istatistiksel hesaplamalarda kullanılır. Yani örneğin ortalama aritmetik değer Bilgisayar bilimlerinde farklı bir hesaplama algoritması vardır. Aritmetik ortalama oldukça göreceli bir göstergedir. Yalnızca bir faktör veya göstergeye sahip olması koşuluyla bir olayın olasılığını gösterir. En derinlemesine analiz için birçok faktörün dikkate alınması gerekir. Bu amaçla daha genel büyüklüklerin hesaplanması kullanılır.

Aritmetik ortalama, matematikte ve istatistiksel hesaplamalarda yaygın olarak kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Birkaç değer için aritmetik ortalamayı bulmak çok basittir, ancak her görevin kendi nüansları vardır ve bunları doğru hesaplamaları yapmak için bilmeniz yeterlidir.

Benzer deneylerin nicel sonuçları.

Aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Ortalamayı arayın aritmetik sayı bir sayı dizisi için bu değerlerin cebirsel toplamını belirleyerek başlamalısınız. Örneğin, dizi 23, 43, 10, 74 ve 34 sayılarını içeriyorsa, bunların cebirsel toplamı 184'e eşit olacaktır. Yazarken aritmetik ortalama, μ (mu) veya x (x) harfiyle gösterilir. çubuk). Daha sonra cebirsel toplamın dizideki sayıların sayısına bölünmesi gerekir. Söz konusu örnekte beş sayı vardı, dolayısıyla aritmetik ortalama 184/5 olacak ve 36,8 olacaktır.

Negatif sayılarla çalışmanın özellikleri

Dizi içeriyorsa negatif sayılar daha sonra benzer bir algoritma kullanılarak aritmetik ortalama bulunur. Fark yalnızca programlama ortamında hesaplama yapılırken veya sorunun ek koşulları varsa ortaya çıkar. Bu durumlarda sayıların aritmetik ortalamasını bulmak farklı işaretlerüç adıma iner:

1. Standart yöntemi kullanarak genel aritmetik ortalamanın bulunması;
2. Negatif sayıların aritmetik ortalamasını bulma.
3. Pozitif sayıların aritmetik ortalamasının hesaplanması.

Her eyleme ilişkin yanıtlar virgülle ayrılarak yazılır.

Doğal ve ondalık kesirler

Bir sayı dizisi sunuluyorsa ondalık sayılarçözüm, tam sayıların aritmetik ortalamasını hesaplama yöntemi kullanılarak gerçekleştirilir, ancak cevabın doğruluğu için sonuç, problemin gereksinimlerine göre azaltılır.

İle çalışırken doğal kesirler dizideki sayıların sayısıyla çarpılan ortak bir paydaya indirgenmeleri gerekir. Cevabın payı, orijinal kesirli elemanların verilen paylarının toplamı olacaktır.