Оптичні ілюзії трикутник пенроуз зробити своїми руками. Трикутник Пенроуз. Створюємо неможливий трикутник. Неможливий трикутник у Перті

Неможливий трикутник – один із дивовижних математичних парадоксів. При першому погляді на нього ні на мить не можеш засумніватись у його реальному існуванні. Однак це лише ілюзія, обман. А можливість такої ілюзії пояснить нам математика!

Відкриття Пенроузів

У 1958 році Британський психологічний журнал опублікував статтю Л. Пенроуза та Р. Пенроуза, в якій вони ввели на розгляд новий типоптичної ілюзії, названої ними « неможливий трикутник».

Зрительно неможливий трикутник сприймається як реально існуюча в тривимірному просторі конструкція, що складається з прямокутних брусків. Але це лише оптична ілюзія. Побудувати реальну модель неможливого трикутника не можна.

Стаття Пенроуз містить кілька варіантів зображення неможливого трикутника. - Його «класичне» уявлення.

З яких елементів будується неможливий трикутник?

Точніше, із яких елементів він здається нам побудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

Якщо вважати брусок відрізком одиничної довжини, то кінці брусків першого куточка мають координати, другого куточка - , і, третього - , і. Ми отримали реально існуючу в тривимірному просторі закручену конструкцію.

А тепер спробуємо подумки подивитися на неї з різних точок простору. Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, третьої. При зміні точки спостереження здаватиметься, що два «кінцеві» ребра наших куточків переміщуються відносно один одного. Не важко підібрати таке становище, коли вони з'єднаються.

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра - насправді продовження один одного. Така ситуація зображена 4.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція з трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника. Можливо, когось зацікавить і суто математичний доказ.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 270 градусів замість «положених» 180 градусів.

Більше того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших за 90 градусів, то в цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Ми бачимо три плоскі грані. Вони попарно перетинаються вздовж прямих. Площини, що містять ці грані, попарно ортогональні, тому вони перетинаються в одній точці.

Крім того, через цю точку повинні проходити лінії взаємного перетину площин. Отже, прямі лінії 1, 2, 3 повинні перетинатися в одній точці.

Але це не так. Отже, представлена ​​конструкція неможлива.

«Неможливе» мистецтво

Доля тієї чи іншої ідеї - наукової, технічної, політичної - залежить від багатьох обставин. І далеко не в останню чергу від того, в якій формі ця ідея буде представлена, в якому образі вона з'явиться широкому загалу. Чи буде втілення сухим і складним для сприйняття, чи, навпаки - явище ідеї буде яскравим, яке захоплює нашу увагу навіть всупереч нашій волі.

У неможливого трикутника доля щаслива. У 1961 р. голландський художник Моріц Ешер завершив літографію, названу ним «Водоспад». Художник пройшов чималий, але швидкий шлях від ідеї неможливого трикутника до її приголомшливого художнього втілення. Нагадаємо, стаття Пенроузов з'явилася 1958 року.

В основі «Водопаду» - два неможливі трикутники, показані. Один трикутник – великий, усередині нього розташований інший трикутник. Може здатися, що зображено три однакові неможливі трикутники. Але не в цьому суть представлена ​​конструкція досить складна.

При побіжному погляді її абсурдність не всякому і відразу буде видно, оскільки кожне з'єднання, представлене, - можливо. як то кажуть, локально, тобто на невеликій ділянці креслення, така конструкція здійсненна… Але загалом вона неможлива! Її окремі шматки не стикуються, не узгоджуються.

А щоб зрозуміти це, ми повинні витратити певні інтелектуальні та зорові зусилля.

Давайте здійснимо подорож по краях конструкції. Цей шлях чудовий тим, що вздовж нього, як здається, рівень щодо горизонтальної площині залишається незмінним. Рухаючись вздовж цього шляху, ми ні вгору не піднімаємось, ні вниз не опускаємося.

І все було б добре, звично, якби наприкінці шляху - а саме в точці - ми не виявили б, що щодо вихідної, початкової точки ми якимось таємничим немислимим чином піднялися вгору по вертикалі!

Щоб дійти цього парадоксального результату, ми маємо вибрати саме цей шлях, та ще й стежити за рівнем щодо горизонтальної площини… Непросте завдання. У її рішенні Ешеру на допомогу прийшла вода. Згадаймо пісню про рух із чудового вокального циклуФранца Шуберта «Прекрасна Мельника»:

І спочатку в уяві, а потім під рукою чудового майстра голі та сухі конструкції перетворюються на акведуки, якими біжать чисті та швидкі потоки води. Їх рух захоплює наш погляд, і ось мимо нашої волі ми прямуємо за течією, слідуючи всім поворотам і вигинам шляху, разом з потоком зриваємося вниз, падаємо на лопаті водяного млина, потім знову прямуємо вниз за течією ...

Обходимо цей шлях раз, інший, третій ... і тільки тут усвідомлюємо: рухаючись вниз, ми якимось фантастичним чином піднімаємося вгору! Початковий подив переростає в інтелектуальний дискомфорт. Здається, що ми стали жертвою якогось розіграшу, об'єктом якогось жарту, якого поки що не зрозуміли.

І знову ми повторюємо цей шлях дивним водоводом, тепер уже не поспішаючи, з обережністю, ніби побоюючись каверзи з боку парадоксальної картинки, критично сприймаючи все те, що відбувається на цьому таємничому шляху.

Ми намагаємося розгадати ту таємницю, яка вразила нас, і не можемо вирватися з її полону доти, доки не знайдемо приховану пружину, що лежить в її основі і приводить немислиму круговерть у безперервний рух.

Художник спеціально наголошує, нав'язує нам сприйняття його картини як зображення реальних тривимірних об'єктів. Об'ємність підкреслюється зображенням цілком реальних багатогранників на вежах, цегляною кладкою з найакуратнішим уявленням кожної цеглини в стінах акведука, що піднімаються догори терасами з садами на задньому плані. Все покликане переконати глядача у реальності того, що відбувається. І завдяки мистецтву та чудовій техніціцю мету досягнуто.

Коли ж ми вириваємося з полону, в який потрапляє наша свідомість, починаємо порівнювати, зіставляти, аналізувати, то знаходимо, що основа, джерело цієї картини, приховані в особливостях проектування.

І ми отримали ще один - "фізичний" доказ неможливості "неможливого трикутника": якби такий трикутник існував, то існував би і "Водоспад" Ешера, який є по суті вічний двигун. Але вічний двигун неможливий, отже неможливий і «неможливий трикутник». І, напевно, цей «доказ» – найпереконливіший.

Що зробило Моріца Ешера феноменом, унікумом, який не мав у мистецтві явних попередників і якого неможливо наслідувати? Це комбінація площин і обсягів, пильна увага до химерних форм мікросвіту - живого та неживого, до незвичайних точок зору на звичайні речі. Основний ефект його композицій – ефект появи неможливих стосунків між знайомими предметами. Ці ситуації з першого погляду можуть налякати, і викликати посмішку. Можна радісно дивитися на забаву, яку пропонують художник, а можна серйозно поринути у глибини діалектики.

Моріц Ешер показав, що світ може бути зовсім не таким, яким ми його бачимо і звикли сприймати – треба лише подивитися на нього під іншим новим кутом зору!

Моріц Ешер

Моріцю Ешеру більше пощастило як вченому, ніж художнику. У його гравюрах та літографіях бачили ключі до доказу теорем або оригінальні контрприклади, що кидають виклик здоровому глузду. На крайній край їх сприймали як чудові ілюстраціїдо наукових трактатів із кристалографії, теорії груп, когнітивної психології або комп'ютерної графіки. Моріц Ешер працював у галузі співвідношень простору, часу та їх тотожності, використовував базові зразки мозаїк, застосовуючи до них трансформації. Це великий майстер оптичних обманів. Гравюри Ешера зображують не світ формул, а красу світу. Їхній інтелектуальний склад докорінно протилежний алогічним витворам сюрреалістів.

Голландський художник Моріц Корнеліус Ешер народився 17 червня 1898 року у провінції Голландії. У будинку, в якому народився Ешер, зараз знаходиться музей.

З 1907 року Моріц навчається теслярській справі та грі на піаніно, навчається у середній школі. Оцінки з усіх предметів Моріца були поганими за винятком малювання. Вчитель малювання помітив талант у хлопчика та навчив його робити гравюри по дереву.

У 1916 році Ешер виконує свою першу графічну роботугравюру на фіолетовому лінолеумі - портрет свого батька Г. А. Ешера Він відвідує майстерню художника Герта Стігемана, який мав друкарський верстат. На цьому верстаті були надруковані перші гравюри Ешера.

У 1918-1919 роках Ешер відвідує Технічний коледж у голландському містечку Дельфт. Він отримує відстрочку від служби в армії для продовження навчання, але через погане здоров'я Моріц не впорався з навчальним планом і був відрахований. В результаті він так і не отримав вищої освіти. Він навчається в Школі архітектури та орнаменту в місті Гаарлемі, Там він бере уроки малювання у Самюеля Джесерена де Месквіта, який вплинув на життя і творчість Ешера.

У 1921 році сім'я Ешера відвідала Рів'єру та Італію. Зачарований рослинністю та квітами середземноморського клімату, Моріц зробив детальні малюнки кактусів та оливкових дерев. Він замалював багато ескізів гірських пейзажів, які згодом стали основою його робіт. Пізніше він постійно повертатиметься до Італії, яка буде для нього джерелом натхнення.

Ешер починає експериментувати в новому собі напрямі, вже тоді в його роботах зустрічаються дзеркальні відображення, кристалічні фігури і сфери.

Кінець двадцятих років виявилася дуже плідним періодом для Моріца. Його роботи демонструвалися на багатьох виставках Голландії, а до 1929 його популярність досягла такого рівня, що за один рік пройшли п'ять персональних виставок в Голландії та Швейцарії. Саме в цей період картини Ешера вперше були названі механічними та "логічними".

Ешер багато мандрує. Живе в Італії та Швейцарії, Бельгії. Вивчає мавританські мозаїки, робить літографії, гравюри. На основі ескізів подорожей він створює свою першу картину неможливої ​​реальності "Still Life with Street".

Наприкінці тридцятих років Ешер продовжує експерименти з мозаїками та трансформаціями. Він створює мозаїку у вигляді двох птахів, що летять назустріч один одному, що лягло в основу картини "День і ніч".

У травні 1940 року нацисти окупують Голландію та Бельгію, а 17 травня до зони окупації потрапляє і Брюссель, де на той момент проживав Ешер із сім'єю. Вони знаходять будинок у Варні та переїжджають туди у лютому 1941 року. До кінця своїх днів Ешер житиме у цьому місті.

В 1946 Ешер починає цікавитися технологією глибокого друку. І хоча ця технологія була набагато складнішою за ту, якою користувався Ешер до цього і вимагала більше часу для створення картини, але результати були вражаючими - тонкі лінії та точна передача тіней. Одна з самих відомий робіту техніці глибокого друку "Крапля роси" була закінчена в 1948 році.

У 1950 році Моріц Ешер набуває популярності як лектор. Тоді ж 1950 року проходить його перша персональна виставка у Сполучених Штатах і починають купуватись його роботи. 27 квітня 1955 року Моріца Ешера посвячують у лицарі і він стає дворянином.

У середині 50-х років Ешер поєднує мозаїку з фігурами, що йдуть у нескінченність.

На початку 60-х років побачила світ перша книга з роботами Ешера «Grafiek en Tekeningen», в якій 76 робіт прокоментував сам автор. Книга допомогла знайти розуміння серед математиків і кристалографів, включаючи деяких з Росії та Канади.

Торішнього серпня 1960 Ешер прочитав лекцію з кристалографії у Кембриджі. Математичні та кристалографічні аспекти творчості Ешера стають дуже популярними.

У 1970 році після нової серіїоперацій Ешер переїхав до новий будиноку Ларені, в якому була студія, але погане здоров'я не давало можливості багато працювати.

1971 року Моріц Ешер помер у віці 73 років. Ешер прожив досить довго, щоб побачити книгу "Світ М. К. Ешера", перекладену на англійська моваі залишився нею дуже задоволений.

Різні неможливі картини зустрічаються на сайтах математиків та програмістів. Самої повною версієюіз переглянутих нами, на наш погляд, є сайт Влада Алексєєва

На цьому сайті представлені не лише широко відомі картини, зокрема і М. Ешера, проте, і анімовані зображення, кумедні малюнки неможливих тварин, монет, марок тощо. Цей сайт живе, він періодично оновлюється та поповнюється дивовижними малюнками.

керівник

вчитель математики

1.Введение ………………………………………………….……3

2. Історична довідка………………………………………..…4

3. Основна частина………………………………………………….7

4. Доказ неможливості трикутника Пенроузов……9

5. Висновки………………………………………………..…………11

6. Літерарура……………………………………………….…… 12

Актуальність:Математика - предмет, що вивчається з першого по випускний клас. Багато учнів вважають його складним, нецікавим та непотрібним. Але якщо заглянути за сторінки підручника, почитати додаткову літературу, математичні софізми та парадокси, то зміниться уявлення про математику, з'явиться бажання вивчати більше, ніж вивчається в шкільному курсіматематики.

Мета роботи:

показати, що існування неможливих постатей розширять кругозір, розвиває просторову уяву, застосовується як математиками, а й художниками.

Завдання :

1. Вивчити літературу на цю тему.

2. Розглянути неможливі фігури, зробити модель неможливого трикутника, довести, що неможливий трикутник немає площині.

3. Зробити розгорнення неможливого трикутника.

4. Розглянути приклади використання неможливого трикутника у образотворчому мистецтві.

Вступ

Історично математика відігравала важливу роль в образотворчому мистецтві, зокрема при зображенні перспективи, що передбачає реалістичне зображення тривимірної сцени на плоскому полотні чи аркуші паперу. Відповідно до сучасних поглядів, математика та Образотворче мистецтводуже віддалені один від одного дисципліни, перша – аналітична, друга – емоційна. Математика не відіграє очевидної ролі у більшості робіт сучасного мистецтва, і, фактично, багато художників рідко чи взагалі ніколи не використовують навіть використання перспективи. Однак, є багато художників, які математика знаходиться в центрі уваги. Декілька значних постатей в образотворчому мистецтві проклали дорогу цим індивідуумам.

Взагалі-то немає будь-яких правил чи обмежень використання різних тем у математичному мистецтві, як-от, неможливі постаті, стрічка Мебіуса, спотворення чи незвичайні системи перспективи, і навіть фрактали.

Історія неможливих фігур

Неможливі постаті - певний вид математичних парадоксів, які з регулярних деталей, поєднаних у нерегулярному комплексі. Якби спробувати сформулювати визначення терміна "неможливі об'єкти" він би, напевно, звучав приблизно так - фізично можливі фігури, зібрані у неможливому вигляді. Але дивитися на них набагато приємніше, складання визначень.

Помилки просторової побудовизустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд, який намалював у 1934р. перший неможливий трикутник, що складався із дев'яти кубиків.

Трикутник Рейтерсверда

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз знову відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі з психології в 1958р. В ілюзії використано «хибну перспективу». Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка «двозначна» часто зустрічався в роботах китайських художників.

Водоспад Ешера

У 1961р. голландець М. Ешер, натхненний неможливим трикутником Пенроуза, створює відому літографію «Водоспад». Вода на картині тече нескінченно, після водяного колеса вона проходить далі і потрапляє у вихідну точку. По суті це зображення вічного двигуна, але будь-яка спроба в реальності побудувати цю конструкцію приречена на невдачу.

Ще один приклад неможливих постатей представлений малюнку «Москва», у якому зображено не зовсім нормальна схема московського метрополітену. Спочатку ми сприймаємо зображення цілком, але простежуючи поглядом окремі лінії, переконуємось у неможливості їхнього існування.

« Москва», графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003

Малюнок «Три равлики» продовжує традиції другої знаменитої неможливої ​​фігури – неможливого куба (скриньки).

«Три равлики» Неможливий куб

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду. творчого потенціалу, Які мають кращі математики, вчені і художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до «інтелектуальних математичним іграм». Сучасна наукаговорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формуллюдина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті.

Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатися (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картиниМ. Ешера «Вгору і вниз» Неймовірні сходи Пенроуза

Неможливий тризуб

«Чортова вилка»

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або «чортова вилка». При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта. Якщо закрити рукою верхню частину тризубця, то ми побачимо цілком реальну картину – три круглі зуби. Якщо закрити нижню частину тризубця, то ми теж побачимо реальну картину - два прямокутні зубці. Але, якщо розглядати всю фігуру цілком, то виходить що три круглі зубці поступово перетворюються на два прямокутні.

Таким чином, можна побачити, що передній і задній планицього малюнка конфліктують. Тобто те, що було спочатку на передньому планійде назад, а задній план (середній зуб) вилазить уперед. Крім зміни переднього і заднього планів у цьому малюнку є ще один ефект – плоскі грані верхньої частини тризубця стають круглими в нижній частині.

Основна частина.

Трикутник– фігура, що з трьох прилеглих елементів, яка з допомогою неприйнятних сполук цих елементів створює ілюзію з математичної погляду неможливої ​​структури. Інакше ще цей трибалочник називають косинцем Пенроузов

Графічний принцип, що ховається за цією ілюзією, завдячує своїм формулюванням психологу та його сину Роджеру, фізику. Кутник Пенрузов складається з 3-х брусків. квадратного перерізу, розташованих у 3-х взаємно-перпендикулярних напрямках; кожен з'єднується з наступним під прямим кутом, все це міститься в тривимірному просторі. Ось простий рецепт, як намалювати цю ізометричну проекцію косинця Пенрузов:

· Обріжте кути у рівностороннього трикутника по лініях, паралельним сторонам;

· Проведіть усередині обрізаного трикутника паралелі до сторін;

· Ще раз обріжте кути;

· Ще раз проведіть усередині паралелі;

· Уявіть собі в одному з кутів якийсь із двох можливих кубів;

· Продовжіть його L – образною “штукою”;

· Проженіть цю конструкцію по колу.

· Якби ми вибрали інший куб, то косинець був би "закручений" в інший бік .

Розгортання неможливого трикутника.

Лінія перегину

Лінія розрізу

З яких елементів будується неможливий трикутник? Точніше, з яких елементів він здається нам (саме здається!) збудованим? В основі конструкції лежить прямокутний куточок, що виходить з'єднанням під прямим кутом двох однакових прямокутних брусків. Таких куточків потрібно три штуки, а брусків шість штук. Ці куточки треба певним чином візуально «з'єднати» один з одним так, щоб вони утворили замкнутий ланцюг. Те, що вийде, є неможливий трикутник.

Перший куточок помістимо у горизонтальній площині. До нього приєднаємо другий куточок, направивши одне з його ребер нагору. Нарешті, до цього другого куточка додамо третій куточок так, щоб його ребро було паралельно вихідній горизонтальній площині. При цьому два ребра першого та третього куточків будуть паралельні та направлені в різні боки.

А тепер спробуємо мильно подивитися на фігуру з різних точок простору (або зробіть реальний макет із дроту). Уявіть, як вона виглядає з однієї точки, з іншої, з третьої ... При зміні точки спостереження (або - що те саме - при повороті конструкції в просторі) здаватиметься, що два «кінцевих» ребра наших куточків переміщаються відносно один одного. Неважко підібрати таке становище, при якому вони з'єднаються (звичайно, при цьому ближній куточок здаватиметься нам товстішим, ніж довший).

Але якщо відстань між ребрами набагато менша за відстань від куточків до точки, з якої ми розглядаємо нашу конструкцію, то обидва ребра матимуть для нас однакову товщину, і виникне уявлення про те, що ці два ребра – насправді продовження один одного.

До речі, якщо ми одночасно подивимося на відображення конструкції в дзеркалі, то замкнутого ланцюга не побачимо.

А з обраної точки спостереження ми на власні очі бачимо чудо, що відбулося: є замкнутий ланцюг з трьох куточків. Тільки не змінюйте точку спостереження, щоб ця ілюзія (насправді саме ілюзія!) не зруйнувалася. Тепер можна намалювати видимий об'єкт або помістити в знайдену точку об'єктив фотоапарата і отримати фотографію неможливого об'єкта.

Першим цим явищем зацікавилися Пенроузи. Вони використовували можливості, які виникають при відображенні тривимірного простору та тривимірних об'єктів на двовимірну площину (тобто при проектуванні) та звернули увагу на деяку невизначеність проектування – незамкнута конструкція із трьох куточків може сприйматися як замкнутий ланцюг.

Як уже говорилося, з дроту можна легко виготовити найпростішу модель, що в принципі пояснює ефект, що спостерігається. Візьміть прямолінійний шматок дроту і розділіть його на три рівні частини. Потім зігніть крайні частини так, щоб вони утворили прямий кут із середньою частиною, і поверніть один щодо одного на 900 . Тепер повертайте цю фігурку та спостерігайте за нею одним оком. При деякому її становищі здаватиметься, що вона утворена із замкнутого шматка дроту. Увімкнувши настільну лампу, можна спостерігати за тінню, що падає на стіл, яка також при певному розташуванні фігури у просторі перетворюється на трикутник.

Втім, цю особливість проектування можна спостерігати й іншій ситуації. Якщо зробити кільце з дроту, а потім розвести його в різні боки, то вийде один виток циліндричної спіралі. Цей виток, зрозуміло, розімкнуто. Але при проектуванні його на площину можна одержати замкнуту лінію.

Ми ще раз переконалися, що за проекцією на площину, на малюнку тривимірна фігура відновлюється неоднозначно. Тобто в проекції міститься деяка двозначність, недомовленість, які й породжують «неможливий трикутник».

І можна сказати, що «неможливий трикутник» Пенроузов, як багато інших оптичних ілюзій, стоїть в одному ряду з логічними парадоксамита каламбурами.

Доказ неможливості трикутника Пенроуз

Аналізуючи особливості двовимірного зображення тривимірних об'єктів на площині, ми зрозуміли, як особливості цього відображення призводять до неможливого трикутника.

Довести, що неможливий трикутник не існує, вкрай легко, адже кожен його кут прямий, а їхня сума дорівнює 2700 замість «положених» 1800.

Більш того, навіть якщо ми розглядатимемо неможливий трикутник, склеєний з куточків, менших 900, то й у цьому випадку можна довести, що неможливий трикутник не існує.

Розглянемо ще один трикутник, що складається з кількох частин. Якщо частини, з якого він складається, розташувати інакше, то вийде такий самий трикутник, але з одним маленьким недоліком. Не вистачатиме одного квадрата. Як таке можливо? Або таки це ілюзія.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Неможливий трикутник" width="298" height="161">!}

Використання феномена сприйняття

Чи можна якось посилити ефект неможливості? "Неможливі" чи одні об'єкти, ніж інші? І тут на допомогу приходять особливості людського сприйняття. Психологами встановлено, що око починає огляд об'єкта (картини) з лівого нижнього кута, потім погляд ковзає праворуч до центру і опускається у нижній правий кут картини. Така траєкторія, можливо, пов'язана з тим, що наші пращури при зустрічі з супротивником спочатку дивилися на найнебезпечнішу. праву руку, а потім погляд переміщався вліво, на обличчя та фігуру. Таким чином, художнє сприйняттяістотно залежатиме від того, як будується композиція картини. Ця особливість у Середньовіччі яскраво проявилася при виготовленні гобеленів: їхній малюнок був дзеркальним відображенняморигіналу, і враження, яке справляють гобелени та оригінали, різниться.

Ця властивість можна з успіхом використовувати при створенні творів з неможливими об'єктами, збільшуючи або зменшуючи "ступінь неможливості". Відкривається також перспектива отримувати цікаві композиції з використанням комп'ютерних технологій або з кількох картин, повернутих (можливо, з використанням різного видусиметрій) одна щодо іншої, що створюють у глядачів різне враження від об'єкта і глибше розуміння сутності задуму, або з однієї, що повертається (постійно або ривками) за допомогою нехитрого механізму на деякі кути.

Такий напрямок можна назвати полігональним (багатокутним). На ілюстраціях представлені зображення, повернуті одне щодо іншого. Композиція створювалася наступним чином: малюнок на папері, виконаний тушшю та олівцем, сканувався, переводився в цифрову форму та оброблявся в графічному редакторі. Можна відзначити закономірність - повернена картинка має більшу "ступінь неможливості", ніж вихідна. Це легко можна пояснити: художник у процесі роботи підсвідомо прагне створити "правильне" зображення.

Висновок

Використання різних математичних постатей і законів не обмежується лише наведеними вище прикладами. Уважно вивчаючи всі наведені постаті, можна знайти й інші, не згадані у цій статті, геометричні тілачи візуальну інтерпретацію математичних законів.

Математичні образотворче мистецтво процвітає сьогодні, і багато художників створюють картини в стилі Ешера та у своєму власному стилі. Ці художники працюють у різних напрямках, включаючи скульптуру, малювання на плоских та тривимірних поверхнях, літографію та комп'ютерну графіку. А найпопулярнішими темами математичного мистецтва залишаються багатогранники, неможливі постаті, стрічки Мебіуса, спотворені системи перспективи та фрактали.

Висновки:

1. Отже, розгляд неможливих постатей розвиває нашу просторову уяву, допомагає «вийти» з площини в тривимірний простір, що допоможе при вивченні стереометрії.

2. Моделі неможливих фігур допомагають розглядати проекції на площині.

3. Розгляд математичних софізмів та парадоксів прищеплюють інтерес до математики.

За виконання даної роботи

1. Я дізнався - як, коли, де і ким було вперше розглянуто неможливі постаті, що таких постатей багато, ці постаті постійно намагаються зображати художники.

2. Я, разом із татом зробив модель неможливого трикутника, розглянув її проекції на площину, побачив парадокс цієї постаті.

3. Розглянув репродукції художників, у яких зображені дані постаті

4. Мої дослідження зацікавили однокласників.

Надалі отримані знання я використовуватиму на уроках математики і мене зацікавили, а чи існують інші парадокси?

ЛІТЕРАТУРА

1. Кандидат технічних наук Д. РАКОВ Історія неможливих фігур

2. Рутесвард О. Неможливі постаті.- М.: Будвидав, 1990.

3. Сайт В. Алексєєва Ілюзії · 7 Comments

4. Дж. Тімоті Анрах. – Дивовижні постаті.
(ТОВ "Видавництво АСТ", ТОВ "Видавництво Астрель", 2002, 168 с.)

5. . - Графіка.
(Арт-Джерело, 2001)

6. Даглас Хофштадтер. - Гедель, Ешер, Бах: ця нескінченна гірлянда. ( Видавничий будинок"Бахрах-М", 2001)

7. А. Коненко – Таємниці неможливих фігур
(Омськ:Лівша, 199)

Сьогодні я відкриваю нову рубрику під назвою “Розкрою”, де викладатиму креслення, шаблони, а також форму оптичних ілюзій. Сьогодні ми з вами робитимемо неможливий трикутник із паперу. Оскільки ми не можемо створити неможливий трикутник, то створюватимемо модель, яку розглядатимемо під певним кутом.

1. Завантажте та роздрукуйте
2. Дотримуйтесь інструкції на картинці

Як правильно розглядати неможливий трикутник?

Так, як ілюзія заснована на неоднозначному малюнку куба ізометричної проекції. То в цій орієнтації збігатимуться кути, ближній до глядача і далекий кут від глядача. Це означає, що при проходженні вниз по найближчому ребру куба, і двох нижніх ребер, ми повертаємось до відправна точка, де насправді шлях закінчується в дальньому кутку.

Цей неможливий трикутник Пенроуза

У такій сфері живописного мистецтва, як розпис шкіри людини, найновішим трендом сьогодні є фігури оптичних ілюзій, зокрема трикутник Пенроуза, або трибар, який ще називають неможливим. Вперше ця форма була відкрита, або вигадана, шведським живописцем Оскаром Реутерсвардом, який представив її світу у вигляді набору з кубиків на рубежі 1935 р. Пізніше, вже в 80-х роках ХХ століття, малюнок трибара був надрукований у Швеції на поштовій марці.

Однак найширшу популярність образ неможливого трикутника Пенроуза, що належить до категорії оптичних ілюзій, набув у 1958 році, після виходу у світ публікації англійського математика Роджера Пенроуза про неможливих фігурах, надрукованій у Британському журналі психології. Натхненний цією публікацією, відомий живописецьз Голландії Мауріц Ешер створив 1961 р. одну з найпопулярніших своїх робіт «Водоспад».

Обман зору

Оптичні ілюзії в живописі – це зоровий обмансприйняття реальної картини, створюваний художникомпевним розташуванням ліній на площині. У цьому глядачем невірно оцінюється величина кутів постаті чи довжина її сторін, що є предметом вивчення таких підрозділів психології, як, наприклад, гештальтотерапія. Створенням оптичних ілюзій захоплювався, крім Ешера, ще один великий художник- Всесвітньо відомий Сальвадор Далі. Яскравою ілюстрацією його захоплення є, наприклад, картина «Лебеді, що відбиваються у слонах».

Вищезгаданий трикутник теж відноситься до оптичним ілюзіям, Точніше до тієї їх частини, яка називається неможливі фігури. Їх називають так через відчуття, яке виникає при погляді на подібну форму, що її існування в реальному світіпросто неможливо.

Застосування ілюзій

Завдяки своїй унікальній формі ілюзорні об'єкти є предметом пильної уваги не лише художників та майстрів тату — трикутник, зроблений своїми руками або за допомогою професіоналів, може виступати також як логотип компанії. Чудовими прикладами такого застосування ілюзорних форм вважаються: логотип музичної психоделічної групи, що грає фолк-музику, Conundum in Deed, що є неможливим кубом, або марка компанії-виробника мікросхем Digilent Inc, що є класичним трикутним чином Пенроуза.

Зробити свій логотип можна і самому, не звертаючись до професіоналів. Для цього достатньо слідувати інструкції, дотримуючись якої можна виконати як простий малюнок на папері або планшеті, так і змайструвати об'ємну фігуру. Її можна буде помістити як вивіску або зовнішню рекламу свого магазину.

Як зробити самому

Покрокова інструкція, як намалювати трибар, використовуючи Adobe Illustrator:

1. Спочатку потрібно зробити 3 квадратики за допомогою Rectangle tool. Для цього потрібно зайти в меню View і включити Smart Guides.
2. Тепер потрібно виділити все і перейти в меню Object, потім - Transform і відкрити Transform each, де у вікні Scale потрібно проставити значення Vertical Scale = 86,6% і натиснути OK.
3. Тепер потрібно задати кожній грані свій кут повороту, а для цього увійти у Window відкрити Transform. Там спочатку проставити значення для скосу (Shear), а потім для повороту (Rotate): верхня поверхня куба - Shear +30 °, Rotate -30 °; права поверхня - Shear +30 °, Rotate +30 °; ліва поверхня - Shear -30 °, Rotate -30 °.
4. Тепер за допомогою ліній Smart Guides потрібно з'єднати всі частини куба між собою: для цього слід зачепити мишкою кут однієї зі сторін і підтягнути його до іншої, поєднавши їх.
5. На цьому етапі потрібно повернути куб на 30 °: для цього зайти в Object, вибрати Transform та Rotate, там проставити значення кута 30 ° і натиснути OK.
6. Оскільки для отримання трибара знадобиться 6 кубиків, слід виділити куб, натиснути Alt і Shift і потягнути мишкою виділений об'єкт убік, розтягуючи його горизонтально. Не знімаючи виділення 6 разів натиснути CMD+D. Отримали 6 кубів.
7. Залишивши виділення на останньому кубі, натиснути Enter та у вікні Move змінити значення кута на 240°, після чого натиснути Copy. Далі знову натискати CMD+D до отримання 6 копій.
8. Тепер все повторити: знову натиснути Enter, виділити останній кубик, тільки кут призначити 120 ° і копій зробити 5.
9. За допомогою Selection Tool потрібно виділити верхню поверхню фігури (можна перефарбувати її, щоб було наочніше), відкрити меню Object — Arrange — Send to back. Тепер вибрати забарвлену поверхню верхнього куба, зайти в Object – Arrange – Bring to Front.

Ілюзія Пенроуз готова. Її можна розмістити на своїй сторінці в соцмережах чи блозі або використовувати для бізнесу.

Відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі постаті в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроузом в 1958 році. У цій статті неможливий трикутник був зображений в найбільш загальної форми- у вигляді трьохбалок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті у голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

Скульптури

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія).

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

Інші фігури

Хоча цілком можливо побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них менш вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.

Див. також

• Три зайці (англ. Three hares )

Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"

Уривок, що характеризує трикутник Пенроуза

Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як із тією умовою, щоб… Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав у листі, але які неодмінно наказав вставити в рескрипт Салтикову і наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки що жоден озброєний ворог не залишиться землі російської», але якесь то складне почуттяутримало його. Він не міг сказати цих слів, хоч і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: за умови, щоб французькі війська відступили за Ньоман.
Наполеон помітив збентеження Балашева під час висловлювання останніх слів; обличчя його здригнулося, ліва ікра ноги почала мірно тремтіти. Не сходячи з місця, він голосом, вищим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час наступної промови Балашев, неодноразово опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, чим більше він підносив голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. – Чи не я вісімнадцять місяців роблю все, щоби отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб розпочати переговори, чого вимагають від мене? – сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєю маленькою білою та пухкою рукою.
– Відступи військ за Нєман, пане, – сказав Балашев.
– За Нєман? – повторив Наполеон. – То тепер ви хочете, щоб відступили за Ньоман – тільки за Ньоман? - повторив Наполеон, глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з номера, тепер вимагали відступити тільки за Нєман. Наполеон швидко обернувся і почав ходити по кімнаті.
– Ви кажете, що від мене вимагають відступу за Німан для започаткування переговорів; але від мене вимагали так само два місяці тому відступи за Одер та Віслу, і, незважаючи на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Обличчя його ніби скам'яніло у своєму суворому виразі, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La тремтіння моєї лівої ікри є великою ознакою, – говорив він згодом.