Московский Государственный Университет

экономики, статистики и информатики

Экономико-правовой факультет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина: АХД

Выполнила

Студентка гр.ВФ-3

Тимонина Т.С.

Математическое моделирование

Одним из видов формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель, т.е. приближенное описание этого класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Сам процесс математического моделирования можно подразделить на четыре основных этапа:

I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются не определенными. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели.

IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели. С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации.

Сущность экономического анализа

Анализ (разложение, расчленение, разбор) - логический прием, метод исследования, суть которого состоит в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности как часть расчлененного целого, для того чтобы выделенные в ходе анализа элементы соединить с помощью другого логического приема - синтеза - в целое, обогащенное новыми знаниями.

Под экономическим анализом понимают прикладную научную дисциплину, представляющую собой систему специальных знаний, позволяющих оценить эффективность деятельности того или иного субъекта рыночной экономики.

Теория экономического анализа позволяет рационально обосновать, спрогнозировать на ближайшую перспективу развитее объекта управления и оценить целесообразность принятия управленческого решения.

Основные направления экономического анализа:

Формулирование системы показателей, характеризующих работу анализируемого объекта;

Качественный анализ изучаемого явления (результата);

Количественный анализ этого явления (результата):

Для разработки и принятия управленческого решения важно, что оно является средством решения основной задачи выявления резервов повышения эффективности хозяйственной деятельности в улучшении использования производственных ресурсов, снижении себестоимости, повышении рентабельности и увеличении прибыли, т.е. направлен на конечную цель реализации управленческого решения.

Разработчики теории экономического анализа подчеркивают его характерные особенности:

1. Диалектичность подхода к изучению экономических процессов, которым свойственны: переход количества в качество, появление нового качества, отрицание отрицания, борьба противоположностей, отмирание старого и появление нового.

2. Обусловленность экономических явлений причинными связями и взаимозависимостью.

3. Выявление и измерение взаимосвязей и взаимозависимостей показателей базируются на знаниях объективных закономерностей развития производства и обращения товаров.

Экономический анализ, прежде всего, является факторным, т. е. определяющим влияние комплекса экономических факторов на результативный показатель деятельности предприятия.

Влияние различных факторов на экономический показатель функционирования предприятия, фирмы осуществляется с помощью стохастического анализа.

В свою очередь, детерминированный и стохастический анализы обеспечивают:

Установление причинно-следственных или вероятностных связей факторов и результативных показателей;

Выявление экономических закономерностей влияния факторов на функционирование предприятия и выражение их с помощью математических зависимостей;

Возможность построения моделей (в первую очередь, математических) воздействий факторных систем на результативные показатели и исследования с их помощью влияния на конечный результат принимаемого управленческого решения.

На практике используются различные виды экономического анализа. Для принимаемых управленческих решений особенно важны анализы: оперативные, текущие, перспективные (по временным отрезкам); частичные и комплексные (по объему); по выявлению резервов, повышению качества и т. п. (по назначению); прогнозный анализ. Прогнозы позволяют экономически обосновывать стратегические, оперативные (функциональные) или тактические управленческие решения.

Исторически сложились две группы способов и приемов: традиционные и математические. Рассмотрим подробнее применение математических методов в экономическом анализе.

Математические методы в экономическом анализе

Использование математических методов в сфере управления - важнейшее направление совершенствования систем управления. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния факторов на результаты деятельности, повышению точности вычислений. Применение математических методов требует:

* системного подхода к исследованию заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами (предприятиями, фирмами);

* разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в сложных системах, какими являются предприятия;

* совершенствования системы информационного обеспечения управления предприятием с использованием электронно-вычислительной техники.

Решение задач экономического анализа математическими методами возможно, если они сформулированы математически, т.е. реальные экономические взаимосвязи и зависимости выражены с применением математического анализа. Это вызывает необходимость разработки математических моделей.

В управленческой практике для решения экономических задач прибегают к различным методам. На рисунке 1 приведены основные математические методы, применяемые в экономическом анализе.

Выбранные признаки классификации достаточно условны. Например, в сетевом планировании и управлении используются различные математические методы, а в значение термина "исследование операций" многие авторы вкладывают различное содержание.

Методы элементарной математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке плана, проектов и т. п.

Классические методы математического анализа используются самостоятельно (дифференцирование и интегрирование) и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования).

Статистические методы - основное средство исследования массовых повторяющихся явлений. Они применяются при возможности представления изменения анализируемых показателей как случайного процесса. Если связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы становятся практически единственным инструментом исследования. В экономическом анализе наиболее известны методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одновременных статистических совокупностей служат закон распределения, вариационный ряд, выборочный метод. Для многомерных статистических совокупностей применяются корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа.

Экономические методы базируются на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии - экономическая модель, т.е. схематическое представление экономического явления или процессов, отражение их характерных черт с помощью научной абстракции . Наиболее распространен метод анализа экономики "затраты - выпуск". Метод представляет матричные (балансовые) модели, построенные по шахматной схеме и наглядно иллюстрирующие взаимосвязь затрат и результатов производства.

Методы математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно -хозяйственной деятельности. По сути, методы - средства плановых расчетов, и они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, дефицитность результатов, определять лимитирующие виды сырья, группы оборудования.

Под исследованием операций понимаются разработки методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка решений и выбор наилучшего из них. Цель исследования операций сочетание структурных взаимосвязанных элементов системы, в наибольшей степени обеспечивающее лучший экономический показатель.

Теория игр как раздел исследования операций представляет собой теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Методы математической статистики

Рис. 1. Классификация основных математических методов, применяемых в экономическом анализе.

Теория массового обслуживания на основе теории вероятности исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Особенность всех задач, связанных с массовым обслуживанием, - случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями имеют случайный характер, однако в совокупности подчиняются статистическим закономерностям, количественное изучение которых и есть предмет теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы как сложные системы с точки зрения законов управления и движения в них информации. Методы моделирования и системного анализа наиболее разработаны именно в этой области.

Применение математических методов в экономическом анализе базируется на методологии экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованной классификации методов и задач анализа. Все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные решения по заданному критерию и неоптимизационные (решения без критерия оптимальности).

По признаку получения точного решения все математические методы делятся на точные (по критерию или без него получают единственное решение) и приближенные (на основе стохастической информации).

К оптимальным точным можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций, к оптимизационным приближенным - часть методов математического программирования, исследования операций, экономической кибернетики, эвристические.

К неоптимизационным точным принадлежат методы элементарной математики и классические методы математического анализа, экономические методы, к неоптимизационным приближенным - метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами. Например, теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Теория массового обслуживания

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Задача планирования работы предприятия

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

· Задача надежности изделий.

· Задача замены оборудования.

· Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).

· Задача распределения ресурсов.

· Задача ценообразования.

· Теория сетевого планирования.

Задача надежности изделий

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий, которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели: среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа), наработка на отказ, интенсивность отказов, параметр потока отказов, среднее время восстановления работоспособного состояния, вероятность безотказной работы за время t, коэффициент готовности.

Задача распределения ресурсов

Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе управления производством. Для решения этого вопроса в операционных исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.

Задача ценообразования

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Теория сетевого планирования

Сетевое планирование и управление, является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность сетевого планирования и управления состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти компьютера, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.

Этапы экономико-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез, объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели . Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Использованная литература

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями . При построении экономических моделей выбудут существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — ϶ᴛᴏ логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные ϲʙᴏйства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — ϶ᴛᴏ математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Отметим, что теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

В настоящие время в анализе хозяйственной деятельности организаций все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, кᴏᴛᴏᴩые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.

Различают четыре основных вида экономико-математических моделей, используемых при анализе влияния отдельных факторов:

• аддитивные модели;
• мультипликативные модели;
• кратные модели;
• смешанные модели.

Аддитивные модели могут быть определены как алгебраическая сумма отдельных показателей. Нужно помнить, такие модели могут быть охарактеризованы с помощью следующей формулы:

Примером аддитивной модели будет баланс товарной продукции.

Мультипликативные модели могут быть определены как произведение отдельных факторов.

Важно заметить, что одним из примеров подобной модели может быть двухфакторная модель, выражающая зависимость между объемом выпуска продукции, количеством единиц используемого оборудования и выработкой продукции в расчете на одну единицу оборудования:

П = К В ,

• П — объем выпуска продукции;
• К — количество единиц оборудования;
• В — выработка продукции на единицу оборудования.

Кратные модели — ϶ᴛᴏ соотношение отдельных факторов. Стоит заметить, что они характеризуются такой формулой:

ОП = x/y

Здесь ОП представляет собой обобщающий экономический показатель, кᴏᴛᴏᴩый находится под влиянием отдельных факторов x и y . Примером кратной модели может служить формула, выражающая зависимость между продолжительностью оборота оборотных активов в днях, средней величиной данных активов за данный период и однодневным объемом продаж:

П = ОА/ОП ,

• П — продолжительность оборота;
• ОА — средняя величина оборотных активов;
• ОП — однодневный объем продаж.

Наконец, смешанные модели — ϶ᴛᴏ сочетание уже рассмотренных нами видов моделей. Вот к примеру, такой моделью может быть описан показатель рентабельности активов, на уровень кᴏᴛᴏᴩого влияют три фактора: чистая прибыль (ЧП), величина внеоборотных активов (ВА), величина оборотных активов (ОА):

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Таким образом, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Важно знать, что большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После ϶ᴛᴏго нужно выбрать способ решения ϶ᴛᴏй модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с данными способами и методами в экономическом анализе могут быть использованы и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Важно заметить, что одним из таких способов (методов) будет интегральный. Стоит заметить, что он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода ϶ᴛᴏт прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, кᴏᴛᴏᴩые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между данными элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в ϲʙᴏей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода крайне важно соблюдение нескольких условий. В первую очередь, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

В случае если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К ϶ᴛᴏму типу задач ᴏᴛʜᴏϲᴙтся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме ϶ᴛᴏго метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Стоит заметить, что он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода состоит по сути в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. По϶ᴛᴏму метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как ϶ᴛᴏ имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения данных показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из данных факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, ɥᴛᴏбы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из кᴏᴛᴏᴩых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по кᴏᴛᴏᴩой определена эта производная. Уместно отметить, что определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . В случае если эта функция будет дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы ϶ᴛᴏй формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих данных факторов — ϶ᴛᴏ главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит по сути в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Будем исходить из предположения того, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее: Метод линейного программирования

Отметим, что теория массового обслуживания

См.далее: Отметим, что теория массового обслуживания

Отметим, что теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Отметим, что теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда ᴏᴛʜᴏϲᴙтся такие ситуации, кᴏᴛᴏᴩые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр могут быть использованы алгебраические методы, кᴏᴛᴏᴩые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Важно заметить, что одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, будет так называемый анализ чувствительности. Материал опубликован на http://сайт
Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

Для оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации крайне важно заранее предусматривать те изменения, кᴏᴛᴏᴩые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

К примеру, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, кᴏᴛᴏᴩые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель, изменится.

Вот к примеру, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж.
Стоит отметить, что остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, будут при ϶ᴛᴏм неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее: Метод сетевого планирования

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Стоит заметить, что он содержит в себе рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик ϶ᴛᴏй системы на будущие периоды. В процессе осуществления ϶ᴛᴏго вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров данных функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Стоит заметить, что они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, кᴏᴛᴏᴩые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

Пользовательское соглашение:
Интеллектуальные права на материал - Математические методы в экономике принадлежат её автору. Данное пособие/книга размещена исключительно для ознакомительных целей без вовлечения в коммерческий оборот. Вся информация (в том числе и "Экономико-математические методы и модели анализа") собрана из открытых источников, либо добавлена пользователями на безвозмездной основе.
Для полноценного использования размещённой информации Администрация проекта сайт настоятельно рекомендует приобрести книгу / пособие Математические методы в экономике в любом онлайн-магазине.

Тег-блок: Математические методы в экономике, 2015. Экономико-математические методы и модели анализа.

(С) Юридический репозиторий сайт 2011-2016

МПС Российской федерации

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Челябинский Институт Путей Сообщения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: “Экономико-математическое моделирование"

Тема: “Математические модели в экономике"

Выполнил:

Шифр:

Адрес:

Проверил:

Челябинск 200_ г.

Введение

Создание и сохранение отчетов

Решение задачи на компьютере

Литература

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи, стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор программного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Сложность процессов в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные исследования, невозможные или требующие больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.

Математические методы, применяемые для анализа математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.

Часть № 1 "Исследование математической модели"

Постановка задачи.

На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).

На основе математического моделирования средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.

Таблица 1.

Составление математической модели

Целевая функция (ЦФ).

Целевая функция показывает, в каком смысле решение задачи должно быть наилучшим (оптимальным). В нашей задаче ЦФ:

Прибыль → max.

Значение прибыли можно определить по формуле:

Прибыль = кол 1 ∙ пр 1 + кол 2 ∙ пр 2 + кол 3 ∙ пр 3 + кол 4 ∙ пр 4, где кол 1 ,…, кол 4 –

количества выпущенной продукции каждого вида;

пр 1 ,…, пр 4 - прибыли, получаемые от реализации единицы каждого вида продукции. Подставив значения пр 1 ,…, пр 4 ( из табл.1) получим:

ЦФ: 1,7 ∙ кол 1 + 2,3 ∙ кол 2 + 2 ∙ кол 3 + 5 ∙ кол 4 → max (1)

Ограничения (ОГР).

Ограничения устанавливают зависимости между переменными. В нашей задаче ограничения накладываются на использование ресурсов, количества которых ограничены. Количество сырья, которое необходимо для производства всей продукции, можно подсчитать по формуле:

Сырьё = с 1 ∙ кол 1 + с 2 ∙ кол 2 + с 3 ∙ кол 3 + с 4 ∙ кол 4, где с 1 ,…, с 4 –

количества сырья, необходимые для выпуска единицы каждого вида продукции. Общее количество использованного сырья не может превышать имеющего в наличии ресурса. Подставив значения из табл.1, получим первое ограничение - по сырью:

1,8 ∙ кол 1 + 1,4 ∙ кол 2 + 1 ∙ кол 3 + 0,15 ∙ кол 4 ≤ 800 (2)

Аналогично запишем ограничения по финансам и трудозатратам:

0,63 ∙ кол 1 + 0,1 ∙ кол 2 + 1 ∙ кол 3 + 1,7 ∙ кол 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ кол 1 + 2,3 ∙ кол 2 + 1,6 ∙ кол 3 + 1,8 ∙ кол 4 ≤ 1000 (4)

Граничные условия (ГРУ).

Граничные условия показывают, в каких пределах могут изменяться искомые переменные. В нашей задаче это финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 согласно условию:

0,1 ∙ кол 2 ≤ 50 р.; 1,7 ∙ кол 4 ≤ 50 р. ( 5)

С другой стороны мы должны ввести, что количество продукции должно быть больше или равно нулю. Это очевидное для нас, но необходимое компьютеру условие:

кол 1 ≥ 0; кол 2 ≥ 0; кол 3 ≥ 0; кол 4 ≥ 0. ( 6)

Поскольку все искомые переменные (кол 1 ,…, кол 4 ) входят в соотношение 1-7 в первой степени и над ними производятся только действия суммирования и умножения на постоянные коэффициенты, то модель является линейной.

Решение задачи на компьютере.

Включаем компьютер. Перед входом в сеть задаем имя пользователя ZA, с паролем А. Загружаем программу Excel . Сохраняем файл под именем Лидовицкий Кулик. х ls . в папке Эк/к 31 (2). Создаем верхний колонтитул: слева - дата, в центре имя файла, справа имя листа.

Создаем и форматируем заголовок и таблицу исходных данных (таблица 1). Заносим в таблицу данные согласно варианту задачи.

Создаем и форматируем таблицу для расчета. В ячейки "Количество" заносим начальные значения. Их выбираем близкими к ожидаемому результату. Мы не имеем предварительной информации и поэтому выберем их равными 1. Это позволит легко проконтролировать вводимые формулы.

В строку "Трудозатраты" вносим слагаемые формулы (4) - произведения количества продукции на количество трудозатрат, необходимые для производства единицы продукции:

для продукции №1 (=С15*С8);

продукции №2 (=D15*D8);

продукции №3 (=E15*E8);

продукции №4 (=F15*F8).

В графе “ИТОГО” находим сумму содержимого этих ячеек при помощи кнопки автосуммирования Σ. В графе “Остаток” находим разницу между содержимым ячеек “Ресурс-Трудозатраты” таблицы 1 и “ИТОГО-Трудозатраты" (=G8-G17). Аналогично заполняем графы "Финансы" (=G9-G18) и "Сырье" (=G10-G19).

В ячейке “Прибыль” вычисляем прибыль по левой части формулы (1). При этом воспользуемся функцией =СУММПРОИЗВЕД (С15: F15; C11: F11).

Присваиваем ячейкам, содержащим итоговые прибыль, финансовые, трудовые и сырьевые затраты, а также количества продукции, имена, соответственно: "Прибыль", "Финансы", "Трудозатраты", "Сырье", "Пр1", "Пр2", "Пр3", "Пр4". Excel включит эти имена в отчеты.

Вызываем диалоговое окно Поиск решения командами Сервис-Поиск решения…

Назначение целевой функции.

Устанавливаем курсор в окно Установить целевую ячейку и щелчком мыши по ячейке "Прибыль" заносим в него ее адрес. Вводим направление целевой функции: Максимальному значению.

Вводим адреса искомых переменных, содержащих количества продукций 1-4, в окно Изменяя ячейки .

Ввод ограничений.

Щелкаем по кнопке Добавить . Появляется диалоговое окно Добавление ограничений . Ставим курсор в окошко Ссылка на ячейку и заносим туда адрес ячейки "Трудозатраты". Открываем список условий и выбираем <=, в поле Ограничение вводим адрес ячейки "Ресурс-Трудозатраты". Щелкаем по кнопке Добавить . В новое окно Добавление ограничений аналогично вводим ограничение по финансам. Щелкаем по кнопке Добавить , вводим ограничение по сырью. Щелкаем по ОК . ввод ограничений закончен. На экране снова появляется окно Поиск решения , в поле Ограничения виден список введенных ограничений.

Ввод граничных условий.

Ввод ГРУ не отличается от ввода ограничений. В окне Добавление ограничений в поле Ссылка на ячейку при помощи мыши вводим адрес ячейки "Фин2". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по Добавить . Вводим при помощи мыши адрес ячейки "Фин4". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по ОК . возвращаемся в окно Поиск решения . В поле Ограничения виден полный список введенных ОГР и ГРУ (рис.1).

Рисунок 1.

Ввод параметров.

Щелкаем по кнопке Параметры. Появляется окно Параметры поиска решения . В поле Линейная модель ставим флажок. Остальные параметры оставляем без изменения. Щелкаем по ОК (рис.2).

Рисунок 2.

Решение.

В окне Поиск решения щелкаем по кнопке Выполнить . На экране появляется окно Результаты поиска решения . В нем сообщается "Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены".

Создание и сохранение отчетов

Для ответа на вопросы задачи нам понадобятся отчеты. В поле Тип отчета мышью выделяем все типы: "Результаты", "Устойчивость" и "Пределы".

Ставим точку в поле Сохранить найденное решение и щелкаем по ОК . (рис. 3). Excel формирует затребованные отчеты и размещает их на отдельных листах. Открывается исходный лист с расчетом. В графе "Количество" - найденные значения для каждого вида продукции.

Рисунок 3.

Формируем сводный отчет. Копируем и располагаем на одном листе полученные отчеты. Редактируем их, так чтобы все разместить на одной странице.

Оформляем результаты решения графически. Строим диаграммы "Количество продукции" и "Распределение ресурсов".

Для построения диаграммы "Количество продукции" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем объемный вариант обычной гистограммы. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон данных =Лидовицкий! $C$14: $F$15. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Количество продукции". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы.

Для построения диаграммы "Распределение ресурсов" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем трехмерную гистограмму. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон: Лидовицкий! $A$17: $F$19; Лидовицкий! $C$14: $F$14. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Распределение ресурсов". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы (рис 4).

Рисунок 4.

Данные диаграммы иллюстрируют наилучший, с точки зрения получения наибольшей прибыли, ассортимент продукции и соответствующее распределение ресурсов.

Печатаем лист с таблицами исходных данных, с диаграммами и результатами расчета и лист со сводным отчетом на бумаге.

Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

Согласно отчету по результатам.

Максимальная прибыль, которую можно получить при соблюдении всех условий задачи, составляет 1292,95 р.

Для этого необходимо выпускать максимально возможное количество продукции № 2 - 172,75 и № 4 - 29,41 единиц с финансовыми затратами не превышающими 50 р. на каждый вид, и продукции № 1 - 188,9 и № 3 - 213,72. При этом ресурсы по трудозатратам, финансам и сырью израсходуются полностью.

Согласно отчету по устойчивости.

Изменение одного из исходных данных не приведет к другой структуре найденного решения, т.е. к другому ассортименту продукции, необходимому для получения максимальной прибыли, если: прибыль от реализации единицы продукции №1 не увеличится более чем на 1,45 и уменьшится не более чем на 0,35. Таким образом:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

прибыль от реализации единицы продукции №2 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 1,61. Таким образом:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции №3 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 0,39. Таким образом:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции №4 может уменьшиться не более чем на 2,81, т.е. на 56,2% и увеличиваться неограниченно. Таким образом: прибыль 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ресурс по сырью может быть увеличен на 380,54, т.е. на 47,57% и уменьшен на 210,46, т.е. на 26,31%. Таким образом: 589,54 < С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Согласно отчету по пределам:

Количество выпускаемой продукции одного из видов может изменяться в пределах от 0 до найденного оптимального значения, это не приведет к изменению ассортимента продукции, необходимого для получения максимальной прибыли. При этом, если на выпускать продукцию №1, то прибыль составит 971,81 р., продукцию №2 - 895,63 р., продукцию №3 - 865,51 р., продукцию №4 - 1145,89 р.

Выводы

Проведенное исследование математической модели и ее последующий анализ позволяет сделать следующие выводы:

Максимально возможную прибыль, составляющую 1292,95 р., при выполнении всех заданных условий и ограничений можно получить, если выпустить продукции №1 - 188,9 единиц, продукции №2 - 172,75 единиц, продукции №3 - 213,72 единиц, продукции №4 - 29,41 единицы.

После выпуска продукции все ресурсы будут истрачены полностью.

Структура найденного решения наиболее сильно зависит от реализации единицы продукции №1 и №3, а также от уменьшения или увеличения всех имеющихся ресурсов.

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса

Теоретические положения.

Балансовый метод - метод взаимного сопоставления финансовых, материальных и трудовых ресурсов и потребностям в них. Балансовая модель экономической системы - это система уравнений, удовлетворяющих требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение продукта в отраслевом разрезе, в межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Схема межотраслевого баланса.

Каждая отрасль в балансе является и потребляющей и производящей. Выделяют 4 области баланса (квадранты) имеющих экономическое содержание:

таблица межотраслевых материальных связей, здесь X ij - величины межотраслевых потоков продукции, т.е. стоимость средств производства произведенных в i отрасли и потребных в качестве материальных затрат в j отрасли.

Конечная продукция - это продукция выходящая из сферы производства в область потребления, накопления, на экспорт и т.д.

Условно чистая продукция Zj - это сумма амортизации Cj и чистой продукции (Uj + mj).

Отражает конечное распределение и использование национального дохода. Столбец и строка валовой продукции используется для проверки баланса и составления экономико-математической модели.

Итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

(1)

Валовая продукция каждой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.

(2)

Просуммируем по всем отраслям уравнения 1:

Аналогично для уравнения 2:

Левая часть это валовый продукт, тогда и правые части приравниваем:

(3)

Постановка задачи.

Имеется четырехотраслевая экономическая система. Определить коэффициенты полных материальных затрат на основе данных: матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор валовой продукции (табл.2).

Таблица 2.

Составление балансовой модели.

Основой экономико-математической модели межотраслевого баланса являются матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:

Коэффициент прямых материальных затрат показывает какое количество продукции i отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j отрасли.

Учитывая выражение 4, выражение 2 можно переписать:

(5)

Вектор валовой продукции.

Вектор конечной продукции.

Матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначим:

Тогда система уравнений 5 в матричной форме:

(6)

Последнее выражение это модель межотраслевого баланса или модель Леонтьева. При помощи модели можно:

Задав величины валовой продукции Х определить объемы конечной продукции Y:

(7)

где Е - единичная матрица.

Задав величины конечной продукции Y определить значение валовой продукции Х:

(8)

обозначим через В величину (Е-А) - 1 , т.е.

,

то элементы матрицы В будут .

Для каждой i отрасли:

Это коэффициенты полных материальных затрат, показывают какое количество продукции i отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j отрасли.

Для расчета экономико-математической модели межотраслевого баланса с учетом заданных величин:

Матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:

Вектора валовой продукции:

Единичную матрицу, соответствующую матрице А примем:

Для расчета коэффициентов полных материальных затрат воспользуемся формулой:

Для определения валовой продукции по всем отраслям, формулой:

Для определения величины межотраслевых потоков продукции (матрица х) определим элементы матрицы х по формуле:

,

где i = 1…n; j = 1…n;

n - количество строк и столбцов квадратной матрицы А.

Для определения вектора условно чистой продукции Z элементы вектора вычисляются по формуле:

Решение задачи на компьютере

Загружаем программу Mathcad .

Создаем файл под именем Lidovitskiy- Kulik . mcd. в папке Эк/к 31 (2).

На основании предварительных установок (шаблона) создаем и форматируем заголовок.

Вводим с соответствующими комментариями (ORIGIN=1 ) заданные матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А и вектор валовой Х продукции (все надписи и обозначения вводим латинским шрифтом, заданные формулы и комментарии должны располагаться либо на уровне, либо выше рассчитываемых значений).

Рассчитываем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В. Для этого вычисляем единичную матрицу, соответствующую матрице А. Для этого используем функцию identiti ( cols ( A)).

Рассчитываем матрицу В по формуле:

Определяем объемы валовой продукции по всем отраслям Y по формуле:

Определяем матрицу х величин межотраслевых потоков продукции. Для этого определяем элементы матрицы, задавая комментарии:

i=1. rows (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

После этого находим матрицу х .

Рассчитываем вектор условно чистой продукции Z, задав для этого формулу:

Поскольку в балансе Z - это вектор-строка, найдем транспонированный вектор Z T .

Найдем итоговые суммы:

9.11.1 Условно чистой продукции:

9.11.2 Конечной продукции:

9.11.3 Валовой продукции:

Печатаем результаты решения на бумаге.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

На основании полученных данных составим межотраслевой баланс производства и распределения ресурсов.

Выводы

На основе матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектора валовой продукции определили коэффициенты полных материальных затрат и составили межотраслевой баланс производства и распределения ресурсов.

Определили материальные связи или величины межотраслевых потоков продукции (матрица х ), т.е. стоимость средств производства произведенных в производящей отрасли и потребных в качестве материальных затрат в потребляющей отрасли.

Определили конечную продукцию (Y), т.е. продукцию выходящую из производящей отрасли в потребляющую отрасль.

Определили величину условно чистой продукции по отраслям (Zj; Z T).

Определили конечное распределение валовой продукции (Х). По столбцу и строке валовой продукции проверили баланс (138+697+282+218) =1335.

На основании составленного баланса можно сделать выводы:

итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли.

валовая продукция каждой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.

Литература

1. " Математические модели в экономике". Методические указания по выполнению лабораторных и контрольных работ для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. Жуковский А.А. ЧИПС УрГУПС. Челябинск. 2001.

2. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т. M. и др. Математическое моделирование экономических процессов. - М., Агропромиздат, 1990.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ Под ред.В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001.

4. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. Курицкий Б.Я. СПб: " ВНV - Санкт-Петербург", 1997.

5. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. Москва. Финансы и статистика. 2000.

Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.

Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.

Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:

Метод математического моделирования;

Векторно-матричный метод;

Метод последовательного приближения;

Метод оптимальных общественных оценок.

Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:

Модели взаимодействия экономических подразделений;

Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;

Модели оптимизации;

Линейное моделирование.

Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.

Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:

1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.

2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.

3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.

Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.

Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.

Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.

Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

ВВЕДЕНИЕ

Удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтверждается всей практической деятельностью человека. Наиболее грандиозные технические проекты XX и начала XXI века без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в современном виде и качестве при минимальном количестве катастрофических ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее. Однако, даже самый общий взгляд на проблему приводит к осознанию того, что тезис о возможной высокой эффективности математики в экономике является вполне естественными и логичным, так как вся математика изначально и многие её разделы в последствий, своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества.

В то же время, справедливость общих положений ещё не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой метод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. Поэтому, не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль математических методов и математики вообще, что и вызывает у обучающихся негативное отношение к предмету: существует широкий класс экономических структур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и даёт вполне приемлемые результаты. Таким структурам относятся отдельные предприятия мелкого масштаба. Применение математики в организациях такого типа сводится к элементарным арифметическим расчётам в рамках задач бухгалтерского учёта, что создаёт и укрепляет иллюзию возможности успешного управления любыми экономическими системами без использования какой-либо серьёзной математики вообще.

Однако такая точка зрения является излишне упрощённой.

Математическая модель объекта – это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков, условный образ объекта, созданный для упрощения его исследования, получения о нём новых знаний, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Экономико-математическое моделирование , являясь одним из эффективных методов описания сложных социально-экономических объектов и процессов в виде математических моделей, превращается тем самым в часть самой экономики, вернее сплав экономики, математики и кибернетики.

В составе экономико-математических методов можно выделить следующие научные дисциплины и их раздели:

Экономическая кибернети ка (системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем);

Математическая статистика (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, кластерный анализ, частотный анализ, теория индексов и др.);

Математическая экономика и эконометрика (теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.);

Методы принятия оптимальных решений (математическое программирование, сетевые и программно-целевые методы планировании и управления, теория массового обслуживания, теория и методы управления запасами, теория игр, теория и методы принятия решений, теория расписаний и др.);

Специфические методы и дисциплины (модели свободной конкуренции, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и др.);

Экспериментальные методы изучения экономики (математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, имитационное моделирование, деловые игры, методы экспертных оценок и др.).

Экономико-математические модели можно классифицировать по следующим основным признакам

По общему целевому назначению – теоретико-аналитические и прикладные модели ;

По степени агрегирования объектов – микроэкономические и макроэкономические модели ;

По конкретному предназначению – балансовые (требование соответствия наличия ресурсов и их использования), трендовые (развитие моделируемой системы через длительную тенденцию её основных параметров), оптимизационные, имитационные (в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов) модели ;

По типу информации, используемой в модели, - аналитические и идентифицируемые (на базе апостериорной, экспериментальной информации) модели ;

По учёту фактора неопределённости – детерминированные и стохастические модели ;

По характеристике математических объектов или аппарата – матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т. п. ;

По типу подхода к изучаемым системам – дескриптивные (описательные) модели (например, балансовые и трендовые) и нормативные модели (например, оптимизационные модели и модели уровня жизни).

Также по используемому инструментарию можно выделить равновесные, статические, динамические, непрерывные и другие модели.

Теоретические модели на базе априорной информации отображают общие свойства экономики и её компонентов с дедукцией выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели обеспечивают возможность оценки параметров функционирования конкретных технико-экономических объектов и обоснования выводов для принятия управленческих решений.

Макроэкономические модели обычно описывают экономику страны ка единое целое, связывая между собой укрупнённые материальные и финансовые показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость, бюджет, инфляцию, ценообразование и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики либо их автономное поведение в переходной неустойчивой или стабильной рыночной среде, стратегии поведения фирм в условиях олигополии с использованием методов оптимизации и теории игр и т. п.

Оптимизационные модели связаны в основном с микроуровнем, на макроуровне результатом рационального выбора поведения становится некоторое состояние равновесия.

Детерминированные модели предполагают жёсткие функциональные связи между переменными модели, а стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели и используют инструментарии теории вероятностей и математической статистики для их описания.

Равновесные модели, присущие рыночной экономике, описывающие поведение субъектов хозяйствования как в стабильных устойчивых состояниях, так и в условиях нерыночной экономики, где неравновесие по одним параметрам компенсируется другими факторами.

Статические модели описывают состояние экономического объекта в конкретный текущий момент или период времени; динамические модели, напротив, включают взаимосвязи переменных во времени, описывая силы и взаимодействия процессов в экономике.

К числу сложной комбинированной экономико-математической модели, например, можно отнести экономико-математическую модель межотраслевого баланса , являющуюся прикладной, макроэкономической, аналитической, дескриптивной, детерминированной, балансовой, матричной моделью, причём выделяют как статические, так и динамические модели межотраслевого баланса.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

§ 1. Основные понятия и определения

Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся теорией и методами решения многомерных экстремальных задач на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

В общем виде задача математического программирования формулируется следующим образом: найти наименьшее (или наибольшее) значение функции при ограничениях

где и – заданные функции, а– некоторые постоянные числа.

В зависимости от свойств функции и математическое программирование делится на ряд самостоятельных дисциплин. Прежде всего это линейное программирование. К задачамлинейного программирования (ЛП) относятся задачи математического программирования, в которых функции и

Для решения задач линейного программирования существуют универсальные методы, с помощью которых можно решить любую задачу линейного программирования.

Рассмотрим основную задачу линейного программирования.

(1.2)

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.2) найти такое решение, при котором функция (1.1) принимает минимальное значение .

канонической или основной задачей линейного программирования (ЗЛП).

Условия неотрицательности решения системы (1.2), если они не оговорены в формулировке задачи, записываются в виде

Функцию (1.1) называют целевой функцией (ЦФ), а условия (1.2) – ограничениями-равенствами .

Всякое неотрицательное решение системы (1.2) называется допустимым решением или планом задачи.

Совокупность допустимых решений системы (1.2) называется областью допустимых решений (ОДР).

Допустимое решение системы (1.2), минимизирующее функцию (1.1), называется оптимальным решением или оптимальным планом ЗЛП.

Значение целевой функции (1.1), отвечающее оптимальному решению, называется оптимумом .

Если в задаче линейного программирования необходимо найти максимум функции , то максимизацию этой функции можно заменить минимизацией противоположной функции .

Рассмотрим другую задачу линейного программирования.

Пусть заданы линейная функция

и система линейных уравнений снеизвестными

(1.5)

где ,и– заданные постоянные числа.

Необходимо среды неотрицательных решений системы (1.5) найти такое решение, которое минимизирует функцию (1.4) .

Сформулированная задача называется стандартной или симметричной задачей линейного программирования .

Условия (1.5) называются ограничениями-неравенствами .

Стандартную задачу линейного программирования нетрудно привести к каноническому виду, заменив неравенства в системе (1.5) равенствами с помощью введения новых неотрицательных неизвестных .

§ 2. Простейшие задачи линейного программирования

Задача о наилучшем использования ресурсов .

Для трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Предприятие может израсходовать 32 т сырья, не менее 40 т сырьяи не более 50 т сырья. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида, а также трудовые и энергетические затраты на производство единицы продукции, и приведены в таблице.

	Запасы (т)	Нормы расхода на единицу продукции (т)
Расходы (руб.)

Определить количества продукции видов ,и, которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.

Для построения математической модели задачи обозначим через количества продукции видов , и соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде

Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях. Записанных в виде равенств и неравенств.

Задача о максимальном доходе производственного предприятия .

При производстве трёх видов продукции ,ииспользуется три вида сырья и . Запасы каждого вида сырья составляют 32 т, 40 т и 50 т соответственно. Количество единиц сырья, необходимого для изготовления единицы продукции, а также прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида приведены в таблице.

	Запасы (т)	Виды продукции
Прибыль (руб.)

Требуется составить план выпуска продукции , и, при котором прибыль от реализации всей продукций была бы максимальной.

Обозначим через количества единиц продукции видов , и, которую необходимо производить.

Математическая модель данной задачи имеет вид

Таким образом, надлежит найти такой набор неотрицательных чисел , удовлетворяющий полученной системе ограничений-неравенств, который доставляет максимальное значение целевой функции .

Задача о рационе питания .

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток определённое количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.

Пусть имеется три вида продуктов ,и и перечень из необходимых питательных веществ и. Количество питательных веществ, содержащегося в единице продукта, а также стоимости единиц продуктов приведены в таблице.

Питательные вещества	Суточная Потребность 1 человека	Виды продукции
Стоимость 1 единицы продукта (руб.)

Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.

Обозначим через количества единиц продуктов видов , и.

Математическая модель данной задачи будет иметь вид