Kuidas jagada harilikke murde. Harilike murdude jagamine: reeglid, näited, lahendused

Murdude korrutamine ja jagamine.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

See tehe on palju toredam kui liitmine-lahutamine! Sest see on lihtsam. Tuletame meelde, et murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugejad (see on tulemuse lugeja) ja nimetajad (see on nimetaja). See on:

Näiteks:

Kõik on äärmiselt lihtne. Ja palun ärge otsige ühist nimetajat! Siin pole teda vaja...

Murru jagamiseks murdosaga peate tagurdama teiseks(see on oluline!) murdosa ja korrutage need, st:

Näiteks:

Kui puutute kokku täisarvude ja murdudega korrutamise või jagamisega, on kõik korras. Nagu liitmisegi puhul, teeme täisarvust murdosa, mille nimetaja on üks – ja jätka! Näiteks:

Keskkoolis tuleb sageli tegeleda kolmekorruseliste (või isegi neljakorruseliste!) murdudega. Näiteks:

Kuidas ma saan selle murdosa korralikuks muuta? Jah, väga lihtne! Kasutage kahepunktilist jaotust:

Kuid ärge unustage jagamise järjekorda! Erinevalt korrutamisest on see siin väga oluline! Muidugi ei aja me 4:2 ega 2:4 segi. Kuid kolmekorruselises murdosas on lihtne eksida. Pange tähele näiteks:

Esimesel juhul (avaldis vasakul):

Teises (avaldis paremal):

Kas tunnete erinevust? 4 ja 1/9!

Mis määrab jagamise järjekorra? Kas sulgudega või (nagu siin) horisontaalsete joonte pikkusega. Arendage oma silma. Ja kui sulgusid või sidekriipse pole, näiteks:

siis jaga ja korruta järjekorras, vasakult paremale!

Ja ka väga lihtne ja oluline tehnika. Kraadidega tegudes on see teile nii kasulik! Jagame ühe suvalise murdosaga, näiteks 13/15-ga:

Lask on ümber läinud! Ja seda juhtub alati. Jagades 1 suvalise murruga, on tulemuseks sama murd, ainult tagurpidi.

See on kõik murdarvudega tehte jaoks. Asi on üsna lihtne, kuid annab rohkem kui piisavalt vigu. Märge praktilisi nõuandeid, ja neid (vigu) jääb vähemaks!

Praktilised näpunäited:

1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus! Need ei ole üldised sõnad, mitte head soovid! See on hädasti vajalik! Tehke kõik ühtse riigieksami arvutused täisväärtusliku ülesandena, keskendunult ja selgelt. Parem on kirjutada mustandisse kaks lisarida, kui peast arvutades segadusse ajada.

2. Näidetes koos erinevad tüübid murrud - minge tavaliste murdude juurde.

3. Vähendame kõiki murde, kuni need peatuvad.

4. Redendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi kahe punkti (jälgime jagamise järjekorda!).

5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.

Siin on ülesanded, mida peate kindlasti täitma. Vastused antakse pärast kõiki ülesandeid. Kasutage selle teema materjale ja praktilisi näpunäiteid. Hinnake, kui palju näiteid suutsite õigesti lahendada. Esimene kord! Ilma kalkulaatorita! Ja tehke õiged järeldused...

Pea meeles – õige vastus on teisest (eriti kolmandast) korrast saadud ei lähe arvesse! Selline on karm elu.

Niisiis, lahendada eksamirežiimis ! See on muide juba ettevalmistus ühtseks riigieksamiks. Lahendame näite, kontrollime seda, lahendame järgmise. Otsustasime kõik – kontrollisime uuesti esimesest viimaseni. Aga ainult Siis vaata vastuseid.

Arvutama:

Kas olete otsustanud?

Otsime vastuseid, mis vastavad teie omadele. Kirjutasin need meelega segamini, eemale nii-öelda kiusatusest... Siin need on, vastused, mis on kirjutatud semikooloniga.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nüüd teeme järeldused. Kui kõik õnnestus, olen teie üle õnnelik! Põhilised arvutused murdarvudega pole teie probleem! Saate teha tõsisemaid asju. Kui ei...

Nii et teil on üks kahest probleemist. Või mõlemad korraga.) Teadmiste puudumine ja (või) tähelepanematus. Aga see lahendatav Probleemid.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Varem või hiljem hakkavad kõik lapsed koolis õppima murde: nende liitmist, jagamist, korrutamist ja kõiki võimalikke tehteid, mida murdudega teha saab. Lapsele korraliku abi osutamiseks ei tohiks vanemad ise unustada täisarvude murdudeks jagamist, vastasel juhul ei saa te teda kuidagi aidata, vaid ajate ta ainult segadusse. Kui peate seda toimingut meeles pidama, kuid te lihtsalt ei saa kogu oma peas olevat teavet ühte reeglisse koondada, aitab see artikkel teid: õpite jagama arvu murdosaga ja näete selgeid näiteid.

Kuidas jagada arv murdarvuks

Kirjutage oma näide umbkaudse mustandina üles, et saaksite teha märkmeid ja kustutada. Pidage meeles, et täisarv kirjutatakse lahtrite vahele, otse nende ristumiskohta, ja murdarvud kirjutatakse igaüks oma lahtrisse.

• Selle meetodi puhul peate murru tagurpidi pöörama, st kirjutama nimetaja lugejaks ja lugeja nimetajaks.
• Jagamismärk tuleb muuta korrutamiseks.
• Nüüd pole vaja teha muud, kui sooritada korrutamine juba õpitud reeglite järgi: lugeja korrutatakse täisarvuga, kuid nimetajat ei puuduta.

Loomulikult saate selle toimingu tulemusel lugejas väga suure arvu. Sellesse olekusse ei saa jätta murdosa – õpetaja lihtsalt ei aktsepteeri seda vastust. Vähendage murdosa, jagades lugeja nimetajaga. Kirjutage saadud täisarv lahtrite keskel olevast murrust vasakule ja ülejäänud osa on uus lugeja. Nimetaja jääb muutumatuks.

See algoritm on isegi lapse jaoks üsna lihtne. Pärast viie-kuuekordset läbimist mäletab laps protseduuri ja saab seda rakendada mis tahes fraktsioonidele.

Kuidas jagada arvu kümnendkohaga

On ka teist tüüpi murde – kümnendkohad. Nendeks jagamine toimub täiesti erineva algoritmi järgi. Kui leiate sellise näite, järgige juhiseid:

• Alustuseks muutke mõlemad numbrid numbriks kümnendkohad. Seda on lihtne teha: teie jagaja on juba esitatud murdosa ja dividendina naturaalarv kümnendkoha saamiseks eraldate komaga. See tähendab, et kui dividend oli 5, saate murdosa 5,0. Arv tuleb eraldada nii paljude numbritega, kui palju on pärast koma ja jagajat.
• Pärast seda peate tegema mõlemad kümnendmurrud naturaalarvud. See võib alguses tunduda pisut segane, kuid see on kõige rohkem kiire tee jaotus, mis võtab mõne harjutuse järel sekundeid. Murd 5.0 saab numbriks 50, murd 6.23 saab 623.
• Tehke jaotus. Kui arvud on suured või jagamine toimub jäägiga, tehke seda veerus. Nii näete selgelt kõiki selle näite toiminguid. Te ei pea koma tahtlikult panema, kuna see ilmub pika jagamisprotsessi ajal iseenesest.

Seda tüüpi jagamine tundub esialgu liiga segane, kuna peate dividendi ja jagaja muutma murdarvuks ja seejärel tagasi naturaalarvudeks. Kuid pärast lühikest harjutamist hakkate kohe nägema neid numbreid, mille peate lihtsalt üksteisega jagama.

Pidage meeles, et oskus murdude ja täisarvudega nende järgi õigesti jagada võib elus mitu korda kasuks tulla, seetõttu teadke neid reegleid ja lihtsad põhimõtted laps vajab ideaalis, et kõrgemates klassides ei saaks nad komistuskiviks, mille tõttu ei saa laps keerulisemaid probleeme lahendada.

TEEMA: Murrude jagamine.

• Murdude jagamise reeglite õppimine; Murdude jagamise põhioskuste kujundamine;
• murdude jagamise põhioskuste arendamine põhialgoritmi abil; Tähelepanu arendamine loogiline mõtlemine;
• aine õppimise vastu huvi ja rühmades töötamise oskuse kasvatamine.

TUNNIPLAAN:

1. Organisatsioonimoment.

2. Suuline töö, mis viib uue reeglini.

3. Määratluse tutvustus.

4. Töötage assimilatsiooni kaartidega.

5. Füüsilised harjutused.

6. Suuline töö „leida viga”.

7. Kinnitamine: ketiarvutused.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

TUNNIDE AJAL

1) Täna klassis, poisid, peame tegema tõsist tööd. Ülesannete täitmisel vajate visadust, soovi, tähelepanu, järjekindlust ja korrektsust.

Suuline töö: kirjuta selle arvu pöördväärtus:

2) Kuidas kontrollida, kas korrutustehte on õigesti sooritatud? (Jagamise toimel).

Me ei tea, kuidas murrud jagunevad. On aeg selle uue toiminguga tutvuda.

Jagamine ja jagamine võib mõnikord olla keeruline, seetõttu nõuab murdude jagamine ise erilist tähelepanu.

Meenutagem, mis jagamine on matemaatiline tehe? (tegevus pöördkorrutisele; tegevus, kui ühte teguritest ja korrutist kasutatakse teise teguri leidmiseks).

Nüüd püüame koos järgmise probleemi kaalumisel näha murdude jagamise reeglit, mis on meie jaoks uus.

Nüüd lähevad meie lahendused lahku.

Milliseid soovitusi on teil selle võrrandi lahendamiseks?

Esiteks teame, kuidas selliseid võrrandeid lahendada pöördarvude kontseptsiooni abil (piisab, kui korrutada võrrandi mõlemad pooled muutuja X koefitsiendi pöördväärtusega).

Teiseks teame leidmise standardreeglit tundmatu kordaja(toode tuleb jagada teadaoleva teguriga).

Vaatleme mõlemat juhtumit:

Vaadake hoolikalt kahte saadud avaldist X väärtuse leidmiseks. Need on vastused samale probleemile, mis tähendab, et vastused peavad olema samad. Ühel juhul korrutame 7/6-ga ja teisel juhul jagame 6/7-ga.

Leiame, et 6/7-ga jagamisel peaks saama sama vastuse, kui korrutada 7/6-ga. See tähendab, et murdude jagamise tähendus taandub jagaja pöördarvuga korrutamisele. See ei ole juhuslik funktsioon, mida märkasime.

Tutvustage uut reeglit õpiku lk 100, korrake mitu korda, küsige mitmelt õpilaselt mälu järgi.

3) Kasutades õpitud reeglit, kaaluge selle rakendamist erinevates näidetes .

Lapsed saavad spetsiaalsed kaardid, mille nad koos õpetajaga täidavad koos kommentaaridega kohapealt. Peaksite kaaluma murdosa jagamist murruga, naturaalarvu jagamist murdosa ja murdude naturaalarvuga ning segaarvude jagamist. Täites ütlevad lapsed uuesti reegli. Jagamisel pöörake erilist tähelepanu kolmele etapile: dividend jääb muutumatuks; jagamine asendatakse korrutamisega; korrutada jagaja pöördarvuga.

	Jaoskond fraktsioonid	Rakendus reeglid divisjonid	Reegel korrutamine	Teisendamine
	5/7: 3/4 =	5/7 * 4/3=	(5*4) / (7*3) =	20/21	20/21
	5: 2/5 =	5 *
7/8: 2 =	7/8: 2/1=	7/8 *
4 1/2: 1 1/2=	9/2: 3/2 =	9/2 *

Kaardi tagaküljel on kolm ülesannet, mida lapsed pärast kaardi täitmist kohapeal lahendavad, seejärel kontrollivad lahendusi ja saadud tulemusi.

OTSUSTAGE ISE

1. 4/6: 3 =

2. 8: 4/5 =

3 . 1 2/3: 1 1/10 =

4) Füüsiliste harjutuste läbiviimine.

5) Definitsiooni valdamise etapp.

Vaatame, kuidas olete tänase reegli selgeks õppinud ja uurime, kui tähelepanelik olete: “LEIA VIGA”

6) Ülesannete lahendamine õpikust: nr 619 (a, b, d).

7) Töötage rühmades. Lapsed lähevad kordamööda tahvli juurde ja kirjutavad näite lahenduse kirja.

8) Hästi tehtud. Hästi tehtud. Teeme kokkuvõtte:

Mida uut sa täna tunnis õppisid?

Kuidas murrud jagunevad?

Mis on vastastikused arvud?

Kodus: Reegel nr 617.

Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja käsitleda või kasutada objekti mitte tervikuna, vaid eraldi tükkidena. Alusta selle teema uurimist – jagab. Aktsiad on võrdsed osad, milleks see või teine ​​objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvestada tuleks mõne mõõdu osade või murdosadega. Tegusõnast "lõhestama" moodustatud - osadeks jagama ja araabia juurtega sõna "fraktsioon" tekkis vene keeles 8. sajandil.

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks haruks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, nimetati neid "katkenenud numbriteks", millest oli inimestel väga raske aru saada.

Moodne välimus lihtsad murdjäägid, mille osad on eraldatud horisontaalse joonega, propageeris esmakordselt Fibonacci - Leonardo Pisa. Tema teosed on dateeritud aastasse 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt lugejale selgitada, kuidas korrutatakse erinevate nimetajatega segamurrud.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu tasub kindlaks teha murdude tüübid:

• õige;
• vale;
• segatud.

Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas samade nimetajatega murdarvud korrutatakse. Selle protsessi reeglit pole keeruline iseseisvalt sõnastada: identsete nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uueks nimetajaks ühe algselt olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus seisneb selles, et murdjoone all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse murdavaldiste vähendamise meetodeid. Lugejate numbreid saab vähendada ainult nimetajanumbritega; murdujoonest kõrgemal või allpool asuvaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtmurdude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saab selle toimingu reegli kirjutada järgmiselt:

a* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. Erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu korrutamiseks murdosa jäägiga on veel üks lahendus. Peate lihtsalt nimetaja selle arvuga jagama:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täisarvuga.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi segamurru esitamiseks sobimatu murruna ja seda saab esitada ka üldvalemina:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murru nimetaja moodustatakse, korrutades kogu osa nimetajaga ja liites selle algse murdosa lugejaga ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka vastupidises suunas. Terve osa ja murdosa eraldamiseks peate jagama vale murru lugeja selle nimetajaga, kasutades "nurka".

Vale murdude korrutamine toota üldtunnustatud viisil. Ühe murdrea alla kirjutades peate murde vastavalt vajadusele vähendama, et seda meetodit kasutades numbreid vähendada ja tulemuse arvutamist hõlbustada.

Internetis on palju abilisi isegi keeruliste matemaatiliste ülesannete lahendamiseks erinevaid variatsioone programmid. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub oma abi murdarvude korrutamise loendamisel erinevad numbrid nimetajates - nn online-kalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid tegema ka kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavaliste murdude ja seganumbrid. Sellega töötamine pole keeruline, täidate veebisaidi lehel vastavad väljad, valite matemaatilise tehte märgi ja klõpsake nuppu "arvuta". Programm arvutab automaatselt.

Murdudega aritmeetiliste tehete teema on aktuaalne kogu kesk- ja gümnaasiumiõpilaste haridustee vältel. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. Hästi omandatud baasteadmised annavad enamikule täieliku kindlustunde edukas lahenduses keerulised ülesanded.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Nikolajevitš Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - tema teeneid -, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust enda kohta ja selle vähenemisega läheneda oma täiuslikkusele.

Tunni sisu

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine

Murdude liitmist on kahte tüüpi:

1. Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .

Vastus ei olnud õige murdosa. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul terve osa paistab kergesti silma - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Sama nimetajaga murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna need murrud erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsitakse mõlema murru nimetajate LCM-i. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Liidame kokku murrud ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine ​​lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:

Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:

See lõpetab näite. Selgub, et lisada.

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine ​​joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).

Pange tähele, et oleme seda näidet liiga üksikasjalikult kirjeldanud. IN õppeasutused Nii üksikasjalikult pole kombeks kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid on ka tagakülg medalid. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

1. Leia murdude nimetajate LCM;
2. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
4. Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
5. Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;

Näide 2. Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murded

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

5. samm. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, siis valige kogu selle osa

Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:

Saime vastuse

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine

Murdude lahutamist on kahte tüüpi:

1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

1. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
2. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine ​​lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1. Leidke väljendi tähendus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd pöördume tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:

Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:

Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:

Saime vastuse

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).

Leiame nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (GCD) arvudest 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 gcd:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murru lugeja ja nimetaja leitud gcd-ga, see tähendab 10-ga

Saime vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja muutmata.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murruga korrutatav arv ja murdosa nimetaja lahendatakse, kui nende ühistegur on suurem kui üks.

Näiteks saab avaldist hinnata kahel viisil.

Esimene viis. Korrutage arv 4 murru lugejaga ja jätke murdosa nimetaja muutmata:

Teine viis. Korrutatavat nelja ja murdosa nimetajas olevat nelja saab vähendada. Neid neljasid saab vähendada 4 võrra, kuna kahe nelja suurim ühine jagaja on neli ise:

Saime sama tulemuse 3. Peale neljade vähendamist moodustuvad nende asemele uued numbrid: kaks ühte. Kuid ühe kolmega korrutamine ja seejärel ühega jagamine ei muuda midagi. Seetõttu võib lahenduse kirjutada lühidalt:

Vähendamist saab teha isegi siis, kui otsustasime kasutada esimest meetodit, kuid arvu 4 ja lugeja 3 korrutamise etapis otsustasime kasutada taandust:

Kuid näiteks avaldist saab arvutada ainult esimesel viisil - korrutage 7 murdosa nimetajaga ja jätke nimetaja muutmata:

See on tingitud asjaolust, et arvul 7 ja murdosa nimetajal ei ole ühest suuremat ühist jagajat ja need ei tühista.

Mõned õpilased lühendavad ekslikult korrutatavat arvu ja murru lugejat. Sa ei saa seda teha. Näiteks järgmine kirje pole õige:

Murru vähendamine tähendab seda nii lugeja kui ka nimetaja jagatakse sama arvuga. Avaldise olukorras toimub jagamine ainult lugejas, kuna selle kirjutamine on sama, mis kirjutamine . Näeme, et jagamine toimub ainult lugejas ja nimetajas jagamist ei toimu.

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus.

Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:

Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime umbes sama suur pitsa. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:

Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja nüüd leitud gcd-ga, see tähendab 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:

Vastastikused numbrid

Nüüd saame tuttavaks väga huvitav teema matemaatikas. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühe.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:

Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.

Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.

Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Kui palju pitsat iga inimene saab?

Näha on, et peale poole pitsa jagamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.