Kuidas leida g geomeetrilise progressiooni valemis. Geomeetriline progressioon

Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks, st iga liige erineb eelmisest q korda. (Eeldame, et q ≠ 1, muidu on kõik liiga triviaalne). On lihtne näha, et geomeetrilise progressiooni n-nda liikme üldvalem on b n = b 1 q n – 1 ; terminid arvudega b n ja b m erinevad q n – m korda.

Juba sees Iidne Egiptus teadis mitte ainult aritmeetikat, vaid ka geomeetrilist progressiooni. Siin on näiteks probleem Rhindi papüürusest: „Seitsmes näos on seitse kassi; Iga kass sööb seitset hiirt, iga hiir sööb seitset maisikõrvast ja iga odrakõrv võib kasvatada seitse mõõtu otra. Kui suured on selle seeria numbrid ja nende summa?

Riis. 1. Vana-Egiptuse geomeetrilise progressiooni probleem

Seda ülesannet mitu korda erinevad variatsioonid kordus teiste rahvaste seas ka muul ajal. Näiteks 13. sajandil kirjutatud. Leonardo of Pisa (Fibonacci) "Abakuse raamatus" on probleem, mille korral ilmuvad Rooma teel 7 vana naist (ilmselgelt palverändurid), kellest igaühel on 7 muula, millest igaühel on 7 kotti, millest igaühel sisaldab 7 pätsi, millest igaühel on 7 nuga, millest igaühel on 7 tuppi. Probleem küsib, kui palju objekte on.

Geomeetrilise progressiooni S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) esimese n liikme summa. Seda valemit saab tõestada näiteks järgmiselt: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Lisage arv b 1 q n arvule S n ja saate:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Siit S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) ja saame vajaliku valemi.

Juba ühel neist savitahvlid Vana Babülon dateeritud 6. sajandisse. eKr e., sisaldab summat 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Tõsi, nagu paljudel muudel juhtudel, me ei tea, kuidas see asjaolu babüloonlastele teada oli .

Geomeetrilise progressiooni kiiret kasvu paljudes kultuurides, eriti Indias, kasutatakse korduvalt universumi avaruse visuaalse sümbolina. Kuulsas male välimuse legendis annab valitseja selle leiutajale võimaluse tasu ise valida ja ta küsib nisuterade arvu, mis saadakse, kui need asetada esimesele ruudule. malelaud, kaks teist, neli kolmandat, kaheksa neljandat jne, iga kord number kahekordistub. Vladyka arvas seda me räägime, kõige rohkem umbes paar kotti, aga ta tegi valearvestuse. On hästi näha, et kõigi 64 malelaua ruudu kohta peaks leiutaja saama (2 64 - 1) tera, mis on väljendatud 20-kohalise arvuna; isegi kui kogu Maa pind oleks külvatud, kuluks vajaliku terakoguse kogumiseks vähemalt 8 aastat. Seda legendi tõlgendatakse mõnikord nii, et see viitab malemängus peituvatele praktiliselt piiramatutele võimalustele.

On lihtne näha, et see arv on tõesti 20-kohaline:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (täpsem arvutus annab 1,84∙10 19). Aga huvitav, kas saate teada, mis numbriga see number lõpeb?

Geomeetriline progressioon võib suureneda, kui nimetaja on suurem kui 1, või vähenev, kui see on väiksem kui üks. Viimasel juhul võib arv q n piisavalt suure n korral muutuda meelevaldselt väikeseks. Kui kasvav geomeetriline progressioon suureneb ootamatult kiiresti, siis kahanev geomeetriline progressioon väheneb sama kiiresti.

Mida suurem n, seda nõrgemalt erineb arv q n nullist ja seda lähemal on geomeetrilise progressiooni S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) n liikmete summa arvule S = b 1 / ( 1 – q). (Näiteks F. Viet põhjendas nii). Arvu S nimetatakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summaks. Siiski ei olnud matemaatikutele sajandeid piisavalt selge küsimus, mida tähendab KOGU geomeetrilise progressiooni liitmine selle lõpmatu arvu terminitega.

Vähenevat geomeetrilist progressiooni võib näha näiteks Zenoni apooriates “Pooljaotus” ja “Achilleus ja kilpkonn”. Esimesel juhul on selgelt näidatud, et kogu tee (eeldades pikkust 1) on lõpmatu arvu lõikude 1/2, 1/4, 1/8 jne summa. See kehtib loomulikult alates Lõpliku summa lõpmatu geomeetrilise progressiooni ideede vaatenurk. Ja veel – kuidas see saab olla?

Riis. 2. Progressioon koefitsiendiga 1/2

Achilleuse apoorias on olukord veidi keerulisem, sest siin ei ole progressi nimetajaks 1/2, vaid mingi muu arv. Olgu näiteks Achilleus jooksmas kiirusega v, kilpkonn liigub kiirusega u ja nende vaheline algkaugus on l. Achilleus läbib selle vahemaa ajas l/v ja selle aja jooksul liigub kilpkonn vahemaa lu/v. Kui Achilleus seda lõiku läbib, muutub tema ja kilpkonna vaheline kaugus võrdseks l (u /v) 2 jne. Selgub, et kilpkonnale järele jõudmine tähendab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa leidmist esimese liikmega l ja nimetaja u /v. See summa – lõik, mille Achilleus lõpuks kilpkonnaga kohtumispaika jookseb – võrdub l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Aga jällegi, kuidas seda tulemust tõlgendada ja miks sellel üldse mõtet on? pikka aega see ei olnud väga selge.

Riis. 3. Geomeetriline progressioon koefitsiendiga 2/3

Archimedes kasutas parabooli segmendi pindala määramiseks geomeetrilise progressiooni summat. Olgu see parabooli lõik piiritletud kõõluga AB ja puutuja punktis D on paralleelne AB-ga. Olgu C punkti AB keskpunkt, E AC keskpunkt, F CB keskpunkt. Tõmbame läbi punktide A, E, F, B alalisvooluga paralleelsed sirged; Olgu punktis D tõmmatud puutuja lõikunud neid sirgeid punktides K, L, M, N. Joonistame ka lõigud AD ja DB. Olgu sirge EL lõikunud sirgega AD punktis G ja parabooliga punktis H; sirge FM lõikub sirgega DB punktis Q ja parabooliga punktis R. Vastavalt üldine teooria koonilised lõigud, DC – parabooli (st selle teljega paralleelse segmendi) läbimõõt; see ja puutuja punktis D võivad toimida koordinaattelgedena x ja y, milles parabooli võrrand on kirjutatud kujul y 2 = 2px (x on kaugus punktist D mis tahes antud läbimõõduga punktini, y on parabooli pikkus). antud puutujaga paralleelne segment sellest läbimõõdupunktist parabooli enda punktini).

Paraboolvõrrandi alusel on DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA ja kuna DK = 2DL, siis KA = 4LH. Sest KA = 2LG, LH = HG. Parabooli segmendi ADB pindala on võrdne kolmnurga ΔADB pindalaga ja segmentide AHD ja DRB pindaladega kokku. Segmendi AHD pindala on omakorda võrdne kolmnurga AHD ja ülejäänud segmentide AH ja HD pindalaga, millest igaühega saate teha sama toimingu - jagada kolmnurgaks (Δ) ja kaks ülejäänud segmenti () jne:

Kolmnurga ΔAHD pindala on võrdne poolega kolmnurga ΔALD pindalast (neil on ühine alus AD ja kõrgused erinevad 2 korda), mis omakorda on võrdne poolega kolmnurga ΔALD pindalast. kolmnurga ΔAKD ja seega pool kolmnurga ΔACD pindalast. Seega on kolmnurga ΔAHD pindala võrdne veerandiga kolmnurga ΔACD pindalast. Samuti on kolmnurga ΔDRB pindala võrdne veerandiga kolmnurga ΔDFB pindalast. Seega on kolmnurkade ΔAHD ja ΔDRB pindalad kokkuvõetuna võrdsed veerandiga kolmnurga ΔADB pindalast. Selle toimingu kordamine, kui seda rakendatakse segmentidele AH, HD, DR ja RB, valib nendest kolmnurgad, mille pindala kokku on 4 korda väiksem kui kolmnurkade ΔAHD ja ΔDRB pindala koos ja seega 16 korda väiksem kui kolmnurga ΔADB pindala. Ja nii edasi:

Seega tõestas Archimedes, et "iga sirge ja parabooli vahel olev lõik moodustab neli kolmandikku kolmnurgast, millel on sama alus ja võrdne kõrgus."

Vaatleme nüüd lõpmatu geomeetrilise progressiooni liitmise küsimust. Nimetagem antud lõpmatu progressiooni osasummat selle esimeste liikmete summaks. Tähistame osasummat sümboliga

Iga lõpmatu edenemise jaoks

selle osasummadest saab koostada (ka lõpmatu) jada

Olgu piiramatu kasvuga jadal piirang

Sel juhul nimetatakse arvu S, st progressiooni osasummade piiri, lõpmatu progressiooni summaks. Tõestame, et lõpmatul kahaneval geomeetrilisel progressioonil on alati summa ja tuletame selle summa valemi (saame ka näidata, et kui lõpmatul progressioonil pole summat, siis seda pole olemas).

Kirjutame osasumma avaldise progressiooni liikmete summaks valemi (91.1) abil ja arvestame osasumma piiriks

Teoreemist 89 on teada, et kahaneva progressiooni korral; seetõttu leiame erinevuse piirteoreemi rakendades

(siin kasutatakse ka reeglit: konstantne tegur võetakse piirmärgist kaugemale). Eksisteerimine on tõestatud ja samal ajal saadakse lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa valem:

Võrdsuse (92,1) saab kirjutada ka vormis

Siin võib tunduda paradoksaalne, et lõpmatu arvu terminite summale omistatakse väga kindel lõplik väärtus.

Selle olukorra selgitamiseks võib anda selge illustratsiooni. Vaatleme ruutu, mille külg on võrdne ühega (joonis 72). Jagage see ruut horisontaalse joonega kaheks võrdseks osaks ja kinnitage ülemine osa alumise külge, nii et moodustub ristkülik külgedega 2 ja . Pärast seda jagame selle ristküliku parema poole uuesti horisontaaljoonega pooleks ja kinnitame ülemise osa alumise külge (nagu on näidatud joonisel 72). Seda protsessi jätkates muudame pidevalt algse ruudu, mille pindala on 1, võrdseteks kujunditeks (võttes harvendavate astmetega trepi kuju).

Selle protsessi lõpmatu jätkumisega jaotatakse kogu ruudu pindala lõpmatuks arvuks liikmeteks - ristkülikute pindaladeks, mille alused on 1 ja kõrgused. Ristkülikute pindalad moodustavad täpselt lõpmatu kahaneva progressiooni, selle summa

st nagu arvata võib, võrdne väljaku pindalaga.

Näide. Leidke järgmiste lõpmatute progressioonide summad:

Lahendus a) Märkame, et see progressioon Seetõttu leiame valemi (92.2) abil

b) Siin tähendab see seda, et sama valemi (92.2) abil saame

c) Leiame, et sellel progressioonil pole seega summat.

Lõikes 5 näitasime lõpmatult kahaneva progressiooni liikmete summa valemi rakendamist perioodilisuse inversiooniks. kümnend harilikuks murdeks.

Harjutused

1. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa on 3/5 ja selle nelja esimese liikme summa on 13/27. Leidke progressiooni esimene liige ja nimetaja.

2. Leidke neli arvu, mis moodustavad vahelduva geomeetrilise progressiooni, mille teine ​​liige on esimesest 35 võrra väiksem ja kolmas 560 võrra suurem kui neljas.

3. Näidake, et kui jada

moodustab lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, siis jada

mis tahes jaoks moodustab see lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni. Kas see väide peab paika, millal

Tuletage geomeetrilise progressiooni liikmete korrutise valem.

Matemaatika on misinimesed kontrollivad loodust ja iseennast.

Nõukogude matemaatik, akadeemik A.N. Kolmogorov

Geomeetriline progressioon.

Lisaks aritmeetilise progressiooni probleemidele on matemaatika sisseastumiseksamitel levinud ka geomeetrilise progressiooni mõistega seotud probleemid. Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks peate teadma geomeetriliste progressioonide omadusi ja omama häid oskusi nende kasutamisel.

See artikkel on pühendatud geomeetrilise progressiooni põhiomaduste tutvustamisele. Siin on toodud ka näited tüüpiliste probleemide lahendamisest., laenatud matemaatika sisseastumiseksamite ülesannetest.

Märgime esmalt geomeetrilise progressiooni põhiomadused ning tuletame meelde olulisemad valemid ja väited, selle kontseptsiooniga seotud.

Definitsioon. Numbrite jada nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks, kui iga arv, alates teisest, on võrdne eelmisega, korrutatuna sama arvuga. Arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks.

Geomeetrilise progressiooni jaoksvalemid kehtivad

, (1)

Kus. Valemit (1) nimetatakse geomeetrilise progressiooni üldliikme valemiks ja valem (2) tähistab geomeetrilise progressiooni peamist omadust: progressiooni iga liige langeb kokku tema naaberliikmete geomeetrilise keskmisega ja .

Märge, et just selle omaduse tõttu nimetatakse kõnealust progressiooni “geomeetriliseks”.

Ülaltoodud valemid (1) ja (2) on üldistatud järgmiselt:

, (3)

Summa arvutamiseks esiteks geomeetrilise progressiooni liikmedkehtib valem

Kui tähistame , siis

Kus. Kuna , valem (6) on valemi (5) üldistus.

Juhul, kui ja geomeetriline progressioonväheneb lõpmatult. Summa arvutamisekslõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni kõikidest liikmetest kasutatakse valemit

. (7)

Näiteks , valemi (7) abil saame näidata, Mida

Kus. Need võrdsused saadakse valemist (7) tingimusel, et , (esimene võrdsus) ja , (teine ​​võrdsus).

Teoreem. Kui siis

Tõestus. Kui siis

Teoreem on tõestatud.

Vaatleme näiteid probleemide lahendamisest teemal “Geomeetriline progressioon”.

Näide 1. Arvestades: , ja . Leia .

Lahendus. Kui rakendame valemit (5), siis

Vastus:.

Näide 2. Las olla. Leia .

Lahendus. Kuna ja , kasutame valemeid (5), (6) ja saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi (9) teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või . Sellest järeldub, et . Vaatleme kahte juhtumit.

1. Kui siis süsteemi (9) esimesest võrrandist saame.

2. Kui , siis .

Näide 3. Laske , ja . Leia .

Lahendus. Valemist (2) järeldub, et või . Alates , siis või .

Tingimuse järgi. Siiski, seetõttu. Alates ja siis siin on võrrandisüsteem

Kui süsteemi teine ​​võrrand on jagatud esimesega, siis või .

Kuna võrrandil on ainulaadne sobiv juur. Sel juhul tuleneb see süsteemi esimesest võrrandist.

Võttes arvesse valemit (7), saame.

Vastus:.

Näide 4. Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Sellest ajast.

Alates , siis või

Vastavalt valemile (2) on meil . Sellega seoses saame võrdsusest (10) või .

Siiski tingimusel, seega.

Näide 5. On teada, et. Leia .

Lahendus. Teoreemi järgi on meil kaks võrdsust

Alates , siis või . Sest siis.

Vastus:.

Näide 6. Arvestades: ja . Leia .

Lahendus. Võttes arvesse valemit (5), saame

Sellest ajast. Alates , ja , siis .

Näide 7. Las olla. Leia .

Lahendus. Valemi (1) järgi saame kirjutada

Seetõttu on meil või . On teada, et ja , seega ja .

Vastus:.

Näide 8. Leia lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni nimetaja, kui

Ja .

Lahendus. Valemist (7) järeldub Ja . Siit ja ülesande tingimustest saame võrrandisüsteemi

Kui süsteemi esimene võrrand on ruudus, ja seejärel jagage saadud võrrand teise võrrandiga, siis saame

Või .

Vastus:.

Näide 9. Leidke kõik väärtused, mille jada , , on geomeetriline progressioon.

Lahendus. Laske , ja . Vastavalt valemile (2), mis määratleb geomeetrilise progressiooni põhiomaduse, võime kirjutada või .

Siit saame ruutvõrrandi, mille juured on Ja .

Kontrollime: kui, seejärel , ja ; kui , siis ja .

Esimesel juhul on meil ja , ja teises – ja .

Vastus: ,.

Näide 10.Lahenda võrrand

, (11)

kus ja.

Lahendus. Vasak pool võrrand (11) on lõpmatu kahaneva geomeetrilise progressiooni summa, milles ja , tingimusel: ja .

Valemist (7) järeldub, Mida . Sellega seoses võtab võrrand (11) kuju või . Sobiv juur ruutvõrrand on

Vastus:.

Näide 11. P järjepidevus positiivsed numbrid moodustab aritmeetilise progressiooni, A - geomeetriline progressioon, mis sellel pistmist on. Leia .

Lahendus. Sest aritmeetiline jada, See (peamine vara aritmeetiline progressioon). Kuna, siis või . See tähendab, et geomeetrilisel progressioonil on vorm. Vastavalt valemile (2), siis paneme selle kirja.

Alates ja , siis . Sel juhul väljend võtab kuju või . Tingimuse järgi, seega võrrandist.saame vaadeldavale probleemile ainulaadse lahenduse, st. .

Vastus:.

Näide 12. Arvuta summa

. (12)

Lahendus. Korrutage mõlemad võrdsuse pooled (12) 5-ga ja saate

Kui lahutame saadud avaldisest (12)., See

või .

Arvutamiseks asendame väärtused valemiga (7) ja saame . Sellest ajast.

Vastus:.

Siin toodud näited probleemide lahendamisest on taotlejatele abiks valmistumisel sisseastumiseksamid. Probleemide lahendamise meetodite sügavamaks uurimiseks, seotud geomeetrilise progressiooniga, saab kasutada õppevahendid soovitatava kirjanduse nimekirjast.

1. Matemaatika ülesannete kogu kolledžisse astujatele / Toim. M.I. Scanavi. – M.: Mir ja haridus, 2013. – 608 lk.

2. Suprun V.P. Matemaatika gümnasistidele: lisalõigud kooli õppekava. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 lk.

3. Medynsky M.M. Täielik kursus elementaarne matemaatika ülesannetes ja harjutustes. 2. raamat: Numbrite järjestused ja progressid. – M.: Editus, 2015. – 208 lk.

Kas teil on endiselt küsimusi?

Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Juhised

10, 30, 90, 270...

Peate leidma geomeetrilise progressiooni nimetaja.
Lahendus:

Valik 1. Võtame progressiooni suvalise liikme (näiteks 90) ja jagame selle eelmisega (30): 90/30=3.

Kui geomeetrilise progressiooni mitme liikme summa või kahaneva geomeetrilise progressiooni kõigi liikmete summa on teada, siis progressiooni nimetaja leidmiseks kasutage vastavaid valemeid:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kus Sn on geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa ja
S = b1/(1-q), kus S on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa (kõikide progressiooniliikmete summa, mille nimetaja on väiksem kui üks).
Näide.

Kahaneva geomeetrilise progressiooni esimene liige on võrdne ühega ja kõigi selle liikmete summa on võrdne kahega.

On vaja kindlaks määrata selle progresseerumise nimetaja.
Lahendus:

Asendage ülesande andmed valemisse. Selgub:
2=1/(1-q), kust – q=1/2.

Progress on arvude jada. Geomeetrilises progressioonis saadakse iga järgmine liige, korrutades eelmise teatud arvuga q, mida nimetatakse progressiooni nimetajaks.

Juhised

Kui on teada kaks kõrvuti asetsevat geomeetrilist liiget b(n+1) ja b(n), tuleb nimetaja saamiseks jagada arv suuremaga sellele eelnevaga: q=b(n+1)/b (n). See tuleneb progressiooni määratlusest ja selle nimetajast. Oluline tingimus on esimese liikme ebavõrdsus ja progressiooni nimetaja nulliks, vastasel juhul peetakse seda määramatuks.

Seega luuakse progressiooniliikmete vahel järgmised seosed: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Kasutades valemit b(n)=b1 q^(n-1), saab arvutada geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme, milles nimetaja q ja liige b1 on teada. Samuti on iga progressioon mooduli poolest võrdne oma naaberliikmete keskmisega: |b(n)|=√, kust progressioon sai oma .

Geomeetrilise progressiooni analoog on kõige lihtsam eksponentsiaalne funktsioon y=a^x, kus x on astendaja, a on teatud arv. Sel juhul langeb progressiooni nimetaja kokku esimese liikmega ja võrdub arvuga a. Funktsiooni y väärtust võib mõista kui n-s tähtaeg progressioon, kui argumenti x võtta naturaalarv n (loendur).

Teine oluline geomeetrilise progressiooni omadus, mis andis geomeetrilise progressiooni

Tund ja ettekanne teemal: "Arvujadad. Geomeetriline progressioon"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Pädevused ja juured Funktsioonid ja graafikud

Poisid, täna tutvume teist tüüpi progresseerumisega.
Tänase tunni teemaks on geomeetriline progressioon.

Geomeetriline progressioon

Definitsioon. Arvjada, milles iga liige, alates teisest, võrdub eelmise ja mingi fikseeritud arvu korrutisega, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks.
Määratleme oma jada rekursiivselt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kus b ja q on teatud arvud. Arvu q nimetatakse progressiooni nimetajaks.

Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega ja $q=2$.

Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga,
ja $q=1$.

Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega,
ja $q=-1$.

Geomeetrilisel progressioonil on monotoonsuse omadused.
Kui $b_(1)>0$, $q>1$,
siis järjestus suureneb.
Kui $b_(1)>0$, siis $0 Jada tähistatakse tavaliselt kujul: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Nii nagu aritmeetilises progressioonis, kui geomeetrilises progressioonis on elementide arv lõplik, nimetatakse progressiooni lõplikuks geomeetriliseks progressiooniks.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Pange tähele, et kui jada on geomeetriline progressioon, siis on ka liikmete ruutude jada geomeetriline progressioon. Teises jadas on esimene liige võrdne $b_(1)^2$ ja nimetaja on võrdne $q^2$.

Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem

Geomeetrilist progressiooni saab täpsustada ka analüütilisel kujul. Vaatame, kuidas seda teha:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Märkame kergesti mustrit: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Meie valemit nimetatakse "geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valemiks".

Tuleme tagasi oma näidete juurde.

Näide. 1,2,4,8,16... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne ühega,
ja $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Näide. 16,8,4,2,1,1/2… Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kuueteistkümnega ja $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Näide. 8,8,8,8... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kaheksaga ja $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Näide. 3,-3,3,-3,3... Geomeetriline progressioon, mille esimene liige on võrdne kolmega ja $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Näide. Antud geomeetriline progressioon $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) On teada, et $b_(1)=6, q=3$. Leidke $b_(5)$.
b) On teada, et $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Leia n.
c) On teada, et $q=-2, b_(6)=96$. Leidke $b_(1)$.
d) On teada, et $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Leia q.

Lahendus.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, kuna $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Näide. Geomeetrilise progressiooni seitsmenda ja viienda liikme vahe on 192, progressiooni viienda ja kuuenda liikme summa on 192. Leidke selle progressiooni kümnes liige.

Lahendus.
Teame, et $b_(7)-b_(5)=192$ ja $b_(5)+b_(6)=192$.
Teame ka: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Seejärel:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Saime võrrandisüsteemi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(juhtumid)$.
Võrdstades võrrandid, saame:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Saime kaks lahendit q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Asendage järjestikku teise võrrandiga:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ lahendusi pole.
Saime selle: $b_(1)=4, q=2$.
Leiame kümnenda liikme: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Lõpliku geomeetrilise progressiooni summa

Olgu meil lõplik geomeetriline progressioon. Arvutame, nagu aritmeetilise progressiooni puhul, selle liikmete summa.

Olgu antud lõplik geomeetriline progressioon: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Tutvustame selle liikmete summa tähistust: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Juhul, kui $q=1$. Kõik geomeetrilise progressiooni liikmed on võrdsed esimese liikmega, siis on ilmne, et $S_(n)=n*b_(1)$.
Vaatleme nüüd juhtumit $q≠1$.
Korrutame ülaltoodud summa q-ga.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Märge:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Oleme saanud lõpliku geomeetrilise progressiooni summa valemi.

Näide.
Leidke geomeetrilise progressiooni seitsme esimese liikme summa, mille esimene liige on 4 ja nimetaja 3.

Lahendus.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Näide.
Leia geomeetrilise progressiooni viies liige, mis on teada: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Lahendus.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 $(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 $(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q = $1364.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus

Poisid, on antud geomeetriline progressioon. Vaatame selle kolme järjestikust liiget: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Me teame seda:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Seejärel:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Kui progresseerumine on piiratud, kehtib see võrdsus kõigi liikmete kohta, välja arvatud esimene ja viimane.
Kui ei ole ette teada, mis kujul jada on, kuid on teada, et: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Siis võime julgelt öelda, et see on geomeetriline progressioon.

Arvjada on geomeetriline progressioon ainult siis, kui iga liikme ruut on võrdne progressiooni kahe külgneva liikme korrutisega. Ärge unustage, et piiratud progressiooni korral ei ole see tingimus esimese ja viimase liikme puhul täidetud.

Vaatame seda identiteeti: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ nimetatakse arvude a ja b geomeetriliseks keskmiseks.

Geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme moodul on võrdne selle kahe naaberliikme geomeetrilise keskmisega.

Näide.
Leia x selline, et $x+2; 2x+2; 3x+3$ olid geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget.

Lahendus.
Kasutame iseloomulikku omadust:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ja $x_(2)=-1$.
Asendame oma lahendused järjestikku algse avaldisega:
Kui $x=2$, saime jada: 4;6;9 – geomeetriline progressioon $q=1.5$.
$x=-1$ korral saame jada: 1;0;0.
Vastus: $x=2.$

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

1. Leidke geomeetrilise progressiooni 16;-8;4;-2… kaheksas esimene liige.
2. Leidke geomeetrilise progressiooni 11,22,44… kümnes liige.
3. On teada, et $b_(1)=5, q=3$. Leidke $b_(7)$.
4. On teada, et $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Leia n.
5. Leidke geomeetrilise progressiooni 3;12;48… esimese 11 liikme summa.
6. Leia x selline, et $3x+4; 2x+4; x+5$ on geomeetrilise progressiooni kolm järjestikust liiget.