Kuidas lahendada homogeenset algebralise võrrandisüsteemi. Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste kogum

Süsteem m lineaarvõrrandid c n nimetatakse tundmatuteks lineaarne homogeenne süsteem võrrandid, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga. Selline süsteem näeb välja selline:

Kus ja ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - antud numbrid; x i- teadmata.

Lineaarne süsteem homogeensed võrrandid alati ühine, sest r(A) = r(). Sellel on alati vähemalt null ( triviaalne) lahus (0; 0; …; 0).

Mõelgem, millistel tingimustel on homogeensetel süsteemidel nullist erinevad lahendused.

1. teoreem. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle põhimaatriksi järk on r vähem tundmatuid n, st. r < n.

□ 1). Olgu lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil nullist erinev lahend. Kuna auaste ei saa ületada maatriksi suurust, siis ilmselgelt r ≤ n. Lase r = n. Siis üks väiksematest suurustest n n nullist erinev. Seetõttu on vastaval lineaarvõrrandisüsteemil ainulaadne lahendus: ... See tähendab, et peale triviaalsete lahenduste pole muid lahendusi. Seega, kui seda pole triviaalne lahendus, See r < n.

2). Lase r < n. Siis on homogeenne süsteem, olles järjepidev, ebakindel. See tähendab, et sellel on lõpmatult palju lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. ■

Mõelge homogeensele süsteemile n lineaarvõrrandid c n teadmata:

(2)

2. teoreem. Homogeenne süsteem n lineaarvõrrandid c n Tundmatutel (2) on nullist erinevad lahendid siis ja ainult siis, kui selle determinant võrdne nulliga: = 0.

□ Kui süsteemil (2) on nullist erinev lahend, siis = 0. Sest kui süsteemis on ainult üks nulllahendus. Kui = 0, siis auaste r süsteemi põhimaatriks on väiksem kui tundmatute arv, s.t. r < n. Ja seetõttu on süsteemil lõpmatu arv lahendusi, s.t. on nullist erinevad lahendused. ■

Tähistame süsteemi (1) lahendust X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n nöörina .

Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahendustel on järgmised omadused:

1. Kui rida on lahendus süsteemile (1), siis joon on lahendus süsteemile (1).

2. Kui read Ja - süsteemi (1) lahendused, siis mis tahes väärtuste jaoks Koos 1 ja Koos 2 nende lineaarne kombinatsioon on ka lahendus süsteemile (1).

Nende omaduste kehtivust saab kontrollida, asendades need otse süsteemi võrranditesse.

Sõnastatud omadustest järeldub, et iga lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on ka selle süsteemi lahendus.

Lineaarselt sõltumatute lahenduste süsteem e 1 , e 2 , …, e r helistas fundamentaalne, kui süsteemi (1) iga lahendus on nende lahenduste lineaarne kombinatsioon e 1 , e 2 , …, e r.

3. teoreem. Kui auaste r lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) muutujate koefitsientide maatriksid on väiksemad kui muutujate arv n, siis koosneb mis tahes süsteemi (1) lahenduste põhisüsteem n–r otsuseid.

Sellepärast ühine otsus Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil (1) on järgmine kuju:

Kus e 1 , e 2 , …, e r– süsteemi (9) mis tahes põhilahenduste süsteem, Koos 1 , Koos 2 , …, koos p- suvalised arvud, R = n–r.

4. teoreem. Süsteemi üldine lahendus m lineaarvõrrandid c n tundmatu võrdub vastava lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (1) üldlahenduse ja selle süsteemi suvalise konkreetse lahendi (1) summaga.

Näide. Lahendage süsteem

Lahendus. Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant

teoreemi 2 järgi on süsteemil ainult triviaalne lahendus: x = y = z = 0.

Näide. 1) Leidke süsteemi üld- ja erilahendused

2) Leidke põhiline lahenduste süsteem.

Lahendus. 1) Selle süsteemi jaoks m = n= 3. Determinant

teoreemi 2 järgi on süsteemil nullist erinevad lahendid.

Kuna süsteemis on ainult üks sõltumatu võrrand

x + y – 4z = 0,

siis sellest me väljendame x =4z- y. Kust saame lõpmatu arvu lahendusi: (4 z- y, y, z) – see on süsteemi üldine lahendus.

Kell z= 1, y= -1, saame ühe kindla lahenduse: (5, -1, 1). Panek z= 3, y= 2, saame teise konkreetse lahendi: (10, 2, 3) jne.

2) Üldlahenduses (4 z- y, y, z) muutujad y Ja z on vabad ja muutuja X- sõltuvad neist. Lahenduste põhisüsteemi leidmiseks määrame vabadele muutujatele väärtused: esiteks y = 1, z= 0, siis y = 0, z= 1. Saame osalahendused (-1, 1, 0), (4, 0, 1), mis moodustavad põhilahenduste süsteemi.

Illustratsioonid:

Riis. 1 Lineaarvõrrandisüsteemide klassifikatsioon

Riis. 2 Lineaarvõrrandisüsteemide uurimine

Esitlused:

· Lahendus SLAE_maatriksi meetod

· SLAE_Crameri meetodi lahendus

· Lahendus SLAE_Gaussi meetod

· Matemaatiliste ülesannete lahendamise paketid Mathematica, MathCad: analüütiliste ja numbriliste lahenduste otsimine lineaarvõrrandisüsteemidele

Kontrollküsimused:

1. Defineerige lineaarvõrrand

2. Mis tüüpi süsteem see välja näeb? m lineaarvõrrandid n tundmatu?

3. Mida nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks?

4. Milliseid süsteeme nimetatakse ekvivalentseteks?

5. Millist süsteemi nimetatakse ühildumatuks?

6. Millist süsteemi nimetatakse liigendiks?

7. Millist süsteemi nimetatakse kindlaks?

8. Millist süsteemi nimetatakse määramatuks

9. Loetlege lineaarvõrrandisüsteemide elementaarteisendusi

10. Nimeta maatriksite elementaarteisendused

11. Sõnasta teoreem elementaarteisenduste rakendamisest lineaarvõrrandisüsteemis

12. Milliseid süsteeme saab lahendada maatriksmeetodil?

13. Milliseid süsteeme saab lahendada Crameri meetodil?

14. Milliseid süsteeme saab lahendada Gaussi meetodil?

15. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Gaussi meetodil

16. Kirjeldage maatriksmeetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

17. Kirjeldage Crameri meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

18. Kirjeldage Gaussi meetodit lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

19. Milliseid süsteeme kasutades saab lahendada pöördmaatriks?

20. Loetle 3 võimalikku juhtumit, mis tekivad lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel Crameri meetodil

Kirjandus:

1. Kõrgmatemaatika majandusteadlastele: õpik ülikoolidele / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: ÜHTSUS, 2005. – 471 lk.

2. Üldine kursus Kõrgmatemaatika majandusteadlastele: õpik. / Toim. IN JA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 lk.

3. Kõrgema matemaatika ülesannete kogumik majandusteadlastele: Õpetus/ Toimetanud V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 lk.

4. Gmurman V. E. Tõenäosusteooria ja magmaatilise statistika probleemide lahendamise juhend. -M.: lõpetanud kool, 2005. – 400 lk.

5. Gmurman. V.E Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. - M.: Kõrgkool, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževnikova T.Ya. Kõrgem matemaatika harjutustes ja ülesannetes. 1. osa, 2. – M.: Oonüks 21. sajand: rahu ja haridus, 2005. – 304 lk. 1. osa; – 416 lk. 2. osa.

7. Matemaatika majanduses: Õpik: 2 osas / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Rahandus ja statistika, 2006.

8. Shipatšov V.S. Kõrgmatemaatika: Õpik õpilastele. ülikoolid - M.: Kõrgkool, 2007. - 479 lk.

Seotud Informatsioon.

Et mõista, mis see on põhimõtteline otsustussüsteem klõpsates saate vaadata sama näite videoõpetust. Liigume nüüd kõigi vajalike tööde tegeliku kirjelduse juurde. See aitab teil selle probleemi olemust üksikasjalikumalt mõista.

Kuidas leida lineaarvõrrandi põhilahenduste süsteem?

Võtame näiteks järgmise lineaarvõrrandisüsteemi:

Leiame sellele lahenduse lineaarne süsteem võrrandid Alustuseks me peate välja kirjutama süsteemi koefitsientide maatriksi.

Teisendame selle maatriksi kolmnurkseks. Esimese rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(11)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(21)$ asemel peate lahutama teisest reast esimese ja kirjutama erinevuse teisele reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb lahutada esimene kolmandast realt ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(41)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb viiendast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus viiendale reale.

Esimese ja teise rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on alla $a_(22)$, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(32)$ asemele tuleb kolmandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus kolmandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(42)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Elemendi $a_(52)$ asemel nulli tegemiseks peate viiendast realt lahutama teise korrutatud 3-ga ja kirjutama erinevuse viiendale reale.

Me näeme seda kolm viimast rida on samad, nii et kui lahutate neljandast ja viiendast kolmanda, muutuvad need nulliks.

Selle maatriksi järgi Kirjuta üles uus süsteem võrrandid.

Näeme, et meil on ainult kolm lineaarselt sõltumatut võrrandit ja viis tundmatut, seega koosneb põhilahenduste süsteem kahest vektorist. Nii et meie peame nihutama kaks viimast tundmatut paremale.

Nüüd hakkame väljendama neid tundmatuid, mis on vasakul küljel, nende kaudu, mis on paremal pool. Alustame viimasest võrrandist, kõigepealt väljendame $x_3$, seejärel asendame saadud tulemuse teise võrrandiga ja väljendame $x_2$ ning seejärel esimese võrrandiga ja siin väljendame $x_1$. Seega väljendasime kõiki vasakul pool olevaid tundmatuid paremal pool asuvate tundmatute kaudu.

Siis saame $x_4$ ja $x_5$ asemel asendada mis tahes arvud ja leida $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Kõik viis neist numbritest on meie algse võrrandisüsteemi juured. Sellesse kaasatud vektorite leidmiseks FSR peame asendama $x_4$ asemel 1 ja $x_5$ asemel 0, leidma $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ning siis vastupidi $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Gaussi meetodil on mitmeid puudusi: pole võimalik teada, kas süsteem on järjepidev või mitte, enne kui kõik Gaussi meetodis vajalikud teisendused on tehtud; Gaussi meetod ei sobi tähekoefitsientidega süsteemide jaoks.

Vaatleme muid meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Need meetodid kasutavad maatriksi astme kontseptsiooni ja taandavad mis tahes järjepideva süsteemi lahenduse sellise süsteemi lahendusele, millele kehtib Crameri reegel.

Näide 1. Leia järgmise lineaarvõrrandi süsteemi üldlahendus, kasutades antud põhilahenduste süsteemi homogeenne süsteem ja eriline lahendus heterogeensele süsteemile.

1. Maatriksi valmistamine A ja laiendatud süsteemimaatriks (1)

2. Uurige süsteemi (1) ühtekuuluvuse eest. Selleks leiame maatriksite auastmed A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kui selgub, et , siis süsteem (1) Sobimatu. Kui me selle saame , siis on see süsteem järjepidev ja me lahendame selle. (Ühilduvusuuring põhineb Kroneckeri-Capelli teoreemil).

a. Leiame rA.

Leidma rA, vaatleme järjestikku maatriksi esimese, teise jne järgu nullist erinevaid alaealisi A ja neid ümbritsevad alaealised.

M1=1≠0 (maatriksi ülemisest vasakust nurgast võtame 1 A).

Me piirneme M1 selle maatriksi teine ​​rida ja teine ​​veerg. . Jätkame piiri M1 teine ​​rida ja kolmas veerg..gif" width="37" height="20 src=">. Nüüd ääristame nullist erineva minoori M2′ teine ​​järjekord.

Meil on: (kuna esimesed kaks veergu on samad)

(kuna teine ​​ja kolmas rida on proportsionaalsed).

Me näeme seda rA=2, A - põhimoll maatriksid A.

b. Leiame.

Üsna elementaarne moll M2′ maatriksid Aääristage vabade terminite veeru ja kõigi ridadega (meil on ainult viimane rida).

. Sellest järeldub M3′′ jääb maatriksi põhimolliks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sest M2′- maatriksi alusmoll A süsteemid (2) , siis on see süsteem samaväärne süsteemiga (3) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (2) (eest M2′ asub maatriksi A kahes esimeses reas).

(3)

Alates põhimollist https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Selles süsteemis on kaks vaba tundmatut ( x2 Ja x4 ). Sellepärast FSR süsteemid (4) koosneb kahest lahendusest. Nende leidmiseks määrame sisse vabad tundmatud (4) väärtused esiteks x2=1 , x4=0 , ja siis - x2=0 , x4=1 .

Kell x2=1 , x4=0 saame:

.

Sellel süsteemil juba on ainuke asi lahendus (selle võib leida Crameri reegli või mõne muu meetodi abil). Lahutades esimese teisest võrrandist, saame:

Tema lahendus saab olema x1= -1 , x3=0 . Arvestades väärtusi x2 Ja x4 , mille lisasime, saame süsteemi esimese põhimõttelise lahenduse (2) : .

Nüüd me usume (4) x2=0 , x4=1 . Saame:

.

Lahendame selle süsteemi Crameri teoreemi abil:

.

Saame süsteemi teise põhimõttelise lahenduse (2) : .

Lahendused β1 , β2 ja meigi FSR süsteemid (2) . Siis on selle üldine lahendus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Siin C1 , C2 - suvalised konstandid.

4. Leiame ühe privaatne lahendus heterogeenne süsteem(1) . Nagu lõigus 3 , süsteemi asemel (1) Vaatleme samaväärset süsteemi (5) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (1) .

(5)

Liigutame vabad tundmatud paremale poole x2 Ja x4.

(6)

Andkem tasuta tundmatuid x2 Ja x4 suvalised väärtused, näiteks x2=2 , x4=1 ja pane need sisse (6) . Tutvume süsteemiga

Sellel süsteemil on ainulaadne lahendus (alates selle määrajast M2′0). Selle lahendades (kasutades Crameri teoreemi või Gaussi meetodit), saame x1=3 , x3=3 . Arvestades vabade tundmatute väärtusi x2 Ja x4 , saame mittehomogeense süsteemi eriline lahendus(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nüüd jääb üle vaid see kirja panna mittehomogeense süsteemi üldlahend α(1) : see on võrdne summaga privaatne lahendus see süsteem ja selle redutseeritud homogeense süsteemi üldine lahendus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

See tähendab: (7)

6. Läbivaatus. Kontrollimaks, kas lahendasite süsteemi õigesti (1) , vajame üldist lahendust (7) asendus sisse (1) . Kui iga võrrand muutub identiteediks ( C1 Ja C2 tuleb hävitada), siis leitakse lahendus õigesti.

Me asendame (7) näiteks ainult süsteemi viimane võrrand (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kus –1=–1. Meil on identiteet. Teeme seda süsteemi kõigi teiste võrranditega (1) .

Kommenteeri. Kontrollimine on tavaliselt üsna tülikas. Soovitada võib järgmist “osalist kontrolli”: süsteemi üldlahenduses (1) määrake suvalistele konstantidele mõned väärtused ja asendage saadud osaline lahendus ainult kõrvalejäetud võrranditega (st nende võrranditega (1) , mis ei kuulunud hulka (5) ). Kui saate identiteedid, siis pigem, süsteemne lahendus (1) leitud õigesti (aga selline kontroll ei anna täielikku õigsuse garantiid!). Näiteks kui sisse (7) pane C2=- 1 , C1 = 1, siis saame: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Asendades süsteemi (1) viimase võrrandi, saame: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 st –1=–1. Meil on identiteet.

Näide 2. Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus (1) , väljendades põhilisi tundmatuid vabadena.

Lahendus. Nagu näide 1, koostada maatriksid A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> nendest maatriksitest. Nüüd jätame ainult need süsteemi võrrandid (1) , mille koefitsiendid sisalduvad selles põhimollis (st meil on kaks esimest võrrandit) ja vaadelda neist koosnevat süsteemi, mis on samaväärne süsteemiga (1).

Viime vabad tundmatud nende võrrandite parempoolsetele külgedele.

süsteem (9) Lahendame Gaussi meetodil, käsitades paremaid pooli vabadena.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Jätkame oma tehnoloogia lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid see mulje petlikult. Lisaks tehniliste võtete edasiarendamisele tuleb neid palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta selle artikli näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Mitte muidugi akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarsete teisenduste abil viia selleni astmeline vaade. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on lihtsalt triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(V sel juhul 3) võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks konsolideerimiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgmist tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Selle tulemusena saadakse standardne astmemaatriks ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
- vabad muutujad.

Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrand:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendame kolmikväärtusi üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et on väga soovitatav kontrollida iga vastuvõetud vektorit - see ei võta palju aega, kuid see kaitseb teid täielikult vigade eest.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolme jaoks saame kolmanda vektori:

Vastus: , Kus

Need, kes soovivad vältida murdosa väärtusi, võivad kaaluda kolmikuid ja saada vastus samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja küsigem endalt: kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Lõppude lõpuks väljendasime siin kõigepealt põhimuutujat murdude kaudu, seejärel murdude kaudu põhimuutujat ja pean ütlema, et see protsess ei olnud kõige lihtsam ja mitte kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud baasmuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte olla ülaosas null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

Kooliajal õppis igaüks meist võrrandeid ja suure tõenäosusega võrrandisüsteeme. Kuid vähesed inimesed ei tea, et nende lahendamiseks on mitu võimalust. Täna analüüsime üksikasjalikult kõiki meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks, mis koosnevad enam kui kahest võrdsusest.

Lugu

Tänapäeval on teada, et võrrandite ja nende süsteemide lahendamise kunst sai alguse aastal Vana Babülon ja Egiptus. Võrdsused oma tuttaval kujul tekkisid aga pärast võrdusmärgi "=" ilmumist, mille 1556. aastal võttis kasutusele inglise matemaatik Record. Muide, see märk valiti põhjusega: see tähendab kahte paralleelset võrdset segmenti. Ja see on tõsi parim näide võrdsust ei saa välja mõelda.

Moodsa rajaja tähetähistused tundmatud ja kraadimärgid on prantsuse matemaatik.Tema tähistus erines aga oluliselt tänapäevasest. Näiteks tähistas ta tundmatu arvu ruutu tähega Q (lat. “quadratus”) ja kuubikut tähega C (lat. “cubus”). See tähistus tundub praegu ebamugav, kuid tol ajal oli see kõige arusaadavam viis lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide kirjutamiseks.

Toonaste lahendusmeetodite puuduseks oli aga see, et matemaatikud arvestasid ainult positiivsete juurtega. See võib olla tingitud asjaolust, et negatiivsetel väärtustel ei olnud ühtegi praktilise rakendamise. Nii või teisiti, aga olge esimene, kes loeb negatiivsed juured 16. sajandil algatasid selle Itaalia matemaatikud Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli. A moodne välimus, loodi põhilahendusmeetod (diskriminandi kaudu) alles 17. sajandil tänu Descartes'i ja Newtoni tööle.

18. sajandi keskel leidis Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uus viis et muuta lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine lihtsamaks. See meetod sai hiljem tema nime ja kasutame seda siiani. Kuid Crameri meetodist räägime veidi hiljem, kuid praegu käsitleme lineaarseid võrrandeid ja meetodeid nende lahendamiseks süsteemist eraldi.

Lineaarvõrrandid

Lineaarvõrrandid on kõige lihtsamad võrrandid, millel on muutuja (muutujad). Neid klassifitseeritakse algebralisteks. Kirjuta üldine vaade seega: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Peame neid hiljem süsteemide ja maatriksite koostamisel sellel kujul esitama.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid

Selle mõiste määratlus on järgmine: see on võrrandite kogum, millel on ühised tundmatud suurused ja ühine lahendus. Koolis lahendasid kõik reeglina kahe või isegi kolme võrrandiga süsteeme. Kuid on süsteeme, millel on neli või enam komponenti. Mõelgem esmalt välja, kuidas need kirja panna, et neid oleks edaspidi mugav lahendada. Esiteks näevad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid paremad välja, kui kõik muutujad on kirjutatud kui x ja vastava alaindeksiga: 1,2,3 jne. Teiseks tuleks kõik võrrandid viia kanoonilisele kujule: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Pärast kõiki neid samme võime hakata rääkima sellest, kuidas leida lahendusi lineaarvõrrandisüsteemidele. Maatriksid on selleks väga kasulikud.

Maatriksid

Maatriks on tabel, mis koosneb ridadest ja veergudest ning nende ristumiskohas on selle elemendid. See võib olla kumbki konkreetsed väärtused või muutujad. Enamasti paigutatakse elementide tähistamiseks nende alla alaindeksid (näiteks 11 või 23). Esimene indeks tähendab rea numbrit ja teine ​​veeru numbrit. Maatriksitega saab teha erinevaid tehteid, nagu iga teise matemaatilise elemendiga. Seega saate:

2) Korrutage maatriks suvalise arvu või vektoriga.

3) Transponeerimine: muutke maatriksiread veergudeks ja veerud ridadeks.

4) Korrutage maatriksid, kui neist ühe ridade arv on võrdne teise veergude arvuga.

Arutame kõiki neid tehnikaid üksikasjalikumalt, kuna need on meile tulevikus kasulikud. Maatriksite lahutamine ja liitmine on väga lihtne. Kuna me võtame sama suurusega maatriksid, korreleerub ühe tabeli iga element teise tabeli iga elemendiga. Seega liidame (lahutame) need kaks elementi (oluline on, et nad seisaksid oma maatriksites samadel kohtadel). Maatriksi korrutamisel arvu või vektoriga korrutate lihtsalt iga maatriksi elemendi selle arvuga (või vektoriga). Ülevõtmine on väga huvitav protsess. Vahel on teda väga huvitav näha päris elu, näiteks tahvelarvuti või telefoni orientatsiooni muutmisel. Töölaual olevad ikoonid kujutavad maatriksit ja kui asend muutub, siis see transponeerub ja muutub laiemaks, kuid väheneb kõrguselt.

Vaatame teist protsessi, näiteks: kuigi me ei vaja seda, on selle teadmine siiski kasulik. Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui ühe tabeli veergude arv on võrdne teise tabeli ridade arvuga. Nüüd võtame ühe maatriksi rea elemendid ja teise maatriksi vastava veeru elemendid. Korrutame need üksteisega ja liidame siis (st näiteks elementide a 11 ja a 12 korrutis b 12 ja b 22 võrdub: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Nii saadakse üks tabeli element ja see täidetakse sarnasel meetodil edasi.

Nüüd saame hakata kaaluma, kuidas lineaarvõrrandisüsteemi lahendatakse.

Gaussi meetod

Seda teemat hakatakse käsitlema koolis. Teame hästi mõistet "kahe lineaarvõrrandi süsteem" ja teame, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui võrrandite arv on suurem kui kaks? See aitab meid

Loomulikult on seda meetodit mugav kasutada, kui teete süsteemist maatriksi. Kuid te ei pea seda muutma ja puhtal kujul lahendama.

Niisiis, kuidas see meetod lahendab lineaarsete Gaussi võrrandite süsteemi? Muide, kuigi see meetod on nime saanud tema järgi, avastati see iidsetel aegadel. Gauss pakub välja järgmise: teostada võrranditega tehteid, et lõppkokkuvõttes taandada kogu komplekt astmelisele kujule. See tähendab, et on vaja, et ülalt alla (kui see on õigesti paigutatud) esimesest võrrandist viimaseni väheneks tundmatu. Teisisõnu peame veenduma, et saame näiteks kolm võrrandit: esimeses on kolm tundmatut, teises on kaks, kolmandas üks. Seejärel leiame viimasest võrrandist esimese tundmatu, asendame selle väärtuse teise või esimese võrrandiga ja seejärel leiame ülejäänud kaks muutujat.

Crameri meetod

Selle meetodi valdamiseks on ülimalt oluline omada maatriksite liitmise ja lahutamise oskusi ning samuti tuleb osata leida determinante. Seega, kui teete seda kõike halvasti või ei tea, kuidas üldse, peate õppima ja harjutama.

Mis on selle meetodi olemus ja kuidas seda teha nii, et saadakse lineaarsete Crameri võrrandite süsteem? Kõik on väga lihtne. Peame konstrueerima lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi arvuliste (peaaegu alati) koefitsientide maatriksi. Selleks võtame lihtsalt numbrid tundmatute ette ja järjestame need tabelisse süsteemi kirjutamise järjekorras. Kui numbri ees on märk “-”, siis kirjutame üles negatiivse koefitsiendi. Niisiis, oleme koostanud tundmatute koefitsientide esimese maatriksi, mis ei sisalda võrdusmärkide järel olevaid numbreid (loomulikult tuleks võrrand taandada kanooniliseks vormiks, kui paremal on ainult arv ja kõik koefitsientidega tundmatud on sees vasak). Seejärel tuleb luua veel mitu maatriksit – üks iga muutuja jaoks. Selleks asendame iga koefitsientidega veeru esimeses maatriksis omakorda arvude veeruga pärast võrdusmärki. Seega saame mitu maatriksit ja seejärel leiame nende determinandid.

Pärast seda, kui oleme määrajad leidnud, on see väike asi. Meil on esialgne maatriks ja seal on mitu saadud maatriksit, mis vastavad erinevatele muutujatele. Süsteemi lahenduste saamiseks jagame saadud tabeli determinandi algtabeli determinandiga. Saadud arv on ühe muutuja väärtus. Samamoodi leiame kõik tundmatud.

Muud meetodid

Lineaarvõrrandisüsteemide lahenduste leidmiseks on veel mitmeid meetodeid. Näiteks nn Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse süsteemile lahenduste leidmiseks ruutvõrrandid ja on seotud ka maatriksite kasutamisega. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks on olemas ka Jacobi meetod. Seda on kõige lihtsam arvutiga kohandada ja seda kasutatakse arvutis.

Keerulised juhtumid

Keerukus tekib tavaliselt siis, kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Siis võime kindlalt väita, et kas süsteem on ebaühtlane (st tal puuduvad juured) või kipub selle lahenduste arv lõpmatuseni. Kui meil on teine ​​juhtum, siis peame kirja panema lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse. See sisaldab vähemalt ühte muutujat.

Järeldus

Siin jõuamegi lõppu. Teeme kokkuvõtte: saime aru, mis on süsteem ja maatriks, ning õppisime, kuidas leida lineaarvõrrandisüsteemile üldist lahendust. Lisaks kaalusime muid võimalusi. Saime teada, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi: Gaussi meetodit ja rääkisime sellest rasked juhtumid ja muud viisid lahenduste leidmiseks.

Tegelikult on see teema palju ulatuslikum ja kui soovite sellest paremini aru saada, soovitame lugeda rohkem erialakirjandust.