Harilike murdude jagamise reeglid. Liht- ja segamurdude korrutamine erinevate nimetajatega

Murd on üks või mitu terviku osa, mida tavaliselt peetakse üheks (1). Sarnaselt naturaalarvudega saab murdarvudega teha kõiki põhilisi aritmeetilisi toiminguid (liitmine, lahutamine, jagamine, korrutamine), selleks peate teadma murdarvudega töötamise tunnuseid ja eristama nende tüüpe. Murrud on mitut tüüpi: kümnend- ja tavalised või lihtmurrud. Igal murdutüübil on oma eripärad, kuid kui olete põhjalikult aru saanud, kuidas neid käsitleda, saate kõik näited murdudega lahendada, kuna teate murdarvudega aritmeetiliste arvutuste tegemise põhiprintsiipe. Vaatame näiteid, kuidas jagada murdosa täisarvuga kasutades erinevad tüübid murrud.

Kuidas jagada lihtmurdu arvuga naturaalarv?
Tavalised või lihtmurrud on murrud, mis on kirjutatud arvude suhte kujul, milles murdosa ülaosas on näidatud dividend (lugeja) ja allosas on näidatud murru jagaja (nimetaja). Kuidas jagada sellist murdosa täisarvuga? Vaatame näidet! Oletame, et peame 8/12 jagama 2-ga.

Selleks peame tegema mitmeid toiminguid:
Seega, kui seisame silmitsi ülesandega jagada murdosa täisarvuga, näeb lahendusskeem välja umbes selline:

Sarnaselt saate jagada mis tahes tavalise (liht)murru täisarvuga.

Kuidas jagada koma täisarvuga?
Kümnend on murd, mis saadakse ühiku jagamisel kümneks, tuhandeks ja nii edasi. Aritmeetilised toimingud kümnendkohtadega on üsna lihtsad.

Vaatame näidet, kuidas jagada murdosa täisarvuga. Oletame, et peame jagama kümnendmurru 0,925 naturaalarvuga 5.

Kokkuvõtteks peatume kahel põhipunktil, mis on olulised kümnendmurdude täisarvuga jagamisel:

• kümnendmurru jagamiseks naturaalarvuga kasutatakse pikka jagamist;
  
• Jagatisesse pannakse koma, kui dividendi kogu osa jagamine on lõppenud.
  

Nende rakendamine lihtsad reeglid, saate alati hõlpsasti jagada mis tahes kümnend- või lihtmurru täisarvuga.

TEEMA: Murrude jagamine.

• Murdude jagamise reeglite õppimine; Murdude jagamise põhioskuste kujundamine;
• murdude jagamise põhioskuste arendamine põhialgoritmi abil; Tähelepanu arendamine loogiline mõtlemine;
• aine õppimise vastu huvi ja rühmades töötamise oskuse kasvatamine.

TUNNIPLAAN:

1. Organisatsioonimoment.

2. Suuline töö, mis viib uue reeglini.

3. Määratluse tutvustus.

4. Töötage assimilatsiooni kaartidega.

5. Füüsilised harjutused.

6. Suuline töö „leida viga”.

7. Kinnitamine: ketiarvutused.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

TUNNIDE AJAL

1) Täna klassis, poisid, peame tegema tõsist tööd. Ülesannete täitmisel vajate visadust, soovi, tähelepanu, järjekindlust ja korrektsust.

Suuline töö: kirjuta selle arvu pöördväärtus:

2) Kuidas kontrollida, kas korrutustehte on õigesti sooritatud? (Jagamise toimel).

Me ei tea, kuidas murrud jagunevad. On aeg selle uue toiminguga tutvuda.

Jagamine ja jagamine võib mõnikord olla keeruline, seetõttu nõuab murdude jagamine ise erilist tähelepanu.

Meenutagem, mis jagamine on matemaatiline tehe? (tegevus pöördkorrutisele; tegevus, kui ühte teguritest ja korrutist kasutatakse teise teguri leidmiseks).

Nüüd püüame koos järgmise probleemi kaalumisel näha murdude jagamise reeglit, mis on meie jaoks uus.

Nüüd lähevad meie lahendused lahku.

Milliseid soovitusi on teil selle võrrandi lahendamiseks?

Esiteks teame, kuidas selliseid võrrandeid lahendada pöördarvude kontseptsiooni abil (piisab, kui korrutada võrrandi mõlemad pooled muutuja X koefitsiendi pöördväärtusega).

Teiseks teame tundmatu teguri leidmise standardreeglit (korrutis tuleb jagada teadaoleva teguriga).

Vaatleme mõlemat juhtumit:

Vaadake hoolikalt kahte saadud avaldist X väärtuse leidmiseks. Need on vastused samale probleemile, mis tähendab, et vastused peavad olema samad. Ühel juhul korrutame 7/6-ga ja teisel juhul jagame 6/7-ga.

Leiame, et 6/7-ga jagamisel peaks saama sama vastuse, kui korrutada 7/6-ga. See tähendab, et murdude jagamise tähendus taandub jagaja pöördarvuga korrutamisele. See ei ole juhuslik funktsioon, mida märkasime.

Tutvustage uut reeglit õpiku lk 100, korrake mitu korda, küsige mitmelt õpilaselt mälu järgi.

3) Kasutades õpitud reeglit, kaaluge selle rakendamist erinevates näidetes .

Lapsed saavad spetsiaalsed kaardid, mille nad koos õpetajaga täidavad koos kommentaaridega kohapealt. Peaksite kaaluma murdosa jagamist murdosaga, naturaalarvu jagamist murdosa ja murdude naturaalarvuga ning segaarvude jagamist. Täites ütlevad lapsed uuesti reegli. Jagamisel pöörake erilist tähelepanu kolmele etapile: dividend jääb muutumatuks; jagamine asendatakse korrutamisega; korrutada jagaja pöördarvuga.

	Jaoskond fraktsioonid	Rakendus reeglid divisjonid	Reegel korrutamine	Teisendamine
	5/7: 3/4 =	5/7 * 4/3=	(5*4) / (7*3) =	20/21	20/21
	5: 2/5 =	5 *
7/8: 2 =	7/8: 2/1=	7/8 *
4 1/2: 1 1/2=	9/2: 3/2 =	9/2 *

Kaardi tagaküljel on kolm ülesannet, mida lapsed pärast kaardi täitmist kohapeal lahendavad, seejärel kontrollivad saadud lahendusi ja tulemusi.

OTSUSTAGE ISE

1. 4/6: 3 =

2. 8: 4/5 =

3 . 1 2/3: 1 1/10 =

4) Füüsiliste harjutuste läbiviimine.

5) Definitsiooni valdamise etapp.

Vaatame, kuidas olete tänase reegli selgeks õppinud ja uurime, kui tähelepanelik olete: “LEIA VIGA”

6) Ülesannete lahendamine õpikust: nr 619 (a, b, d).

7) Töötage rühmades. Lapsed lähevad kordamööda tahvli juurde ja kirjutavad näite lahenduse kirja.

8) Hästi tehtud. Hästi tehtud. Teeme kokkuvõtte:

Mida uut sa täna tunnis õppisid?

Kuidas murrud jagunevad?

Mis on vastastikused arvud?

Kodus: Reegel nr 617.

Eelmisel korral õppisime murdude liitmist ja lahutamist (vt õppetundi “Murdude liitmine ja lahutamine”). Nende toimingute kõige keerulisem osa oli murdude ühise nimetajani viimine.

Nüüd on aeg tegeleda korrutamise ja jagamisega. Head uudised on see, et need toimingud on isegi lihtsamad kui liitmine ja lahutamine. Esmalt vaatleme lihtsaimat juhtumit, kui on kaks positiivset murdu ilma eraldatud täisarvuta.

Kahe murru korrutamiseks peate nende lugejad ja nimetajad eraldi korrutama. Esimene number on uue murru lugeja ja teine ​​on nimetaja.

Kahe murru jagamiseks peate korrutama esimese murdosa "ümberpööratud" teise murruga.

Määramine:

Definitsioonist järeldub, et murdude jagamine taandub korrutamiseks. Murru ümberpööramiseks vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Seetõttu käsitleme kogu õppetunni jooksul peamiselt korrutamist.

Korrutamise tulemusena võib tekkida (ja sageli tekib) taandatav murd – seda tuleb loomulikult vähendada. Kui pärast kõiki vähendamisi osutub murdosa valeks, tuleks kogu osa esile tõsta. Mida aga korrutamisega kindlasti ei juhtu, on taandamine ühisele nimetajale: ei mingeid ristimeetodeid, suurimaid tegureid ja väikseimaid ühiseid kordusi.

Definitsiooni järgi on meil:

Murdude korrutamine täisosadega ja negatiivsete murdudega

Kui esineb murdosades terve osa, tuleb need teisendada valedeks – ja alles siis korrutada vastavalt ülaltoodud skeemidele.

Kui murdosa lugejas, nimetajas või selle ees on miinus, saab selle korrutisest välja võtta või üldse eemaldada vastavalt järgmistele reeglitele:

1. Pluss miinusega annab miinuse;
2. Kaks negatiivset teevad jaatava.

Seni on neid reegleid kohanud vaid negatiivsete murdude liitmisel ja lahutamisel, kui oli vaja tervest osast lahti saada. Teose puhul saab neid üldistada, et "põletada" mitu puudust korraga:

1. Negatiivid kriipsutame paarikaupa maha, kuni need täielikult kaovad. Äärmuslikel juhtudel võib ellu jääda üks miinus - see, mille jaoks polnud kaaslast;
2. Kui miinuseid ei jää, on toiming lõpetatud - võite hakata korrutama. Kui viimast miinust ei kriipsutata maha, sest selle jaoks polnud paari, võtame selle korrutamise piiridest välja. Tulemuseks on negatiivne murd.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Teisendame kõik murrud valedeks ja seejärel võtame korrutamisest välja miinused. Korrutame järelejäänud tavapäraste reeglite järgi. Saame:

Tuletan teile veel kord meelde, et esiletõstetud täisosaga murru ette ilmuv miinus viitab konkreetselt kogu murrule, mitte ainult selle tervele osale (see kehtib kahe viimase näite kohta).

Pange tähele ka negatiivsed arvud: Korrutamisel on need sulgudes. Seda tehakse selleks, et eraldada miinused korrutusmärkidest ja muuta kogu tähistus täpsemaks.

Murdude vähendamine lennult

Korrutamine on väga töömahukas toiming. Siin olevad numbrid osutuvad üsna suurteks ja probleemi lihtsustamiseks võite proovida murdosa veelgi vähendada enne korrutamist. Tõepoolest, sisuliselt on murdude lugejad ja nimetajad tavalised tegurid ja seetõttu saab neid taandada, kasutades murdosa põhiomadust. Heitke pilk näidetele:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Definitsiooni järgi on meil:

Kõikides näidetes on punasega märgitud numbrid, mida on vähendatud ja mis neist järele jääb.

Pange tähele: esimesel juhul vähendati kordajaid täielikult. Nende asemele jäävad üksused, mida üldiselt ei pea kirjutama. Teise näite puhul ei olnud võimalik saavutada täielikku vähendamist, kuid arvutuste kogusumma siiski vähenes.

Kuid ärge kunagi kasutage seda tehnikat murdude liitmisel ja lahutamisel! Jah, mõnikord on sarnaseid numbreid, mida soovite lihtsalt vähendada. Vaata siit:

Sa ei saa seda teha!

Viga tekib seetõttu, et liitmisel annab murdosa lugeja summa, mitte arvude korrutise. Seetõttu on murdosa peamist omadust võimatu rakendada, kuna selles omaduses me räägime konkreetselt arvude korrutamise kohta.

Muid põhjusi murdude vähendamiseks lihtsalt pole, nii et õige lahendus eelmine ülesanne näeb välja selline:

Õige lahendus:

Nagu näha, osutus õige vastus mitte nii ilus. Üldiselt olge ettevaatlik.

Murdudega saab teha kõike, ka jagamist. See artikkel näitab harilike murdude jagamist. Antakse definitsioonid ja arutletakse näidete üle. Vaatleme üksikasjalikumalt murdude jagamist naturaalarvudega ja vastupidi. Arutatakse hariliku murru jagamist segaarvuga.

Murrude jagamine

Jagamine on korrutamise pöördväärtus. Jagamisel tundmatu kordaja asub aadressil kuulus teos ja veel üks tegur, kus sellele antud tähendus säilib tavalised murrud.

Kui on vaja jagada harilik murd a b arvuga c d, siis sellise arvu määramiseks peate korrutama jagajaga c d, see annab lõpuks dividendi a b. Leiame arvu ja kirjutame selle a b · d c , kus d c on c d arvu pöördväärtus. Võrdused saab kirjutada korrutamise omaduste abil, nimelt: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kus avaldis a b · d c on a b jagamise jagatis c d-ga.

Siit saame ja sõnastame harilike murdude jagamise reegli:

Definitsioon 1

Hariliku murru a b jagamiseks c d-ga peate dividendi korrutama jagaja pöördarvuga.

Kirjutame reegli avaldise kujul: a b: c d = a b · d c

Jagamise reeglid taanduvad korrutamisele. Sellest kinnipidamiseks peate murdude korrutamisest hästi aru saama.

Liigume edasi harilike murdude jagamise kaalumisele.

Näide 1

Jagage 9 7 5 3-ga. Kirjutage tulemus murdarvuna.

Lahendus

Arv 5 3 on pöördmurd 3 5. On vaja kasutada harilike murdude jagamise reeglit. Kirjutame selle avaldise järgmiselt: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Vastus: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Murdude vähendamisel eraldage kogu osa, kui lugeja on nimetajast suurem.

Näide 2

Jagage 8 15: 24 65. Kirjuta vastus murruna.

Lahendus

Lahendamiseks tuleb liikuda jagamiselt korrutamisele. Kirjutame selle järgmisel kujul: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

On vaja teha vähendamine ja seda tehakse järgmiselt: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Valige kogu osa ja saate 13 9 = 1 4 9.

Vastus: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Erakorralise murru jagamine naturaalarvuga

Murru naturaalarvuga jagamiseks kasutame reeglit: a b jagamiseks naturaalarvuga n on vaja ainult nimetaja korrutada n-ga. Siit saame avaldise: a b: n = a b · n.

Jagamisreegel on korrutamisreegli tagajärg. Seetõttu annab naturaalarvu esitamine murruna seda tüüpi võrdsuse: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Mõelge sellele murdosa jagamisele arvuga.

Näide 3

Jagage murd 16 45 arvuga 12.

Lahendus

Rakendame murdosa arvuga jagamise reeglit. Saame avaldise kujul 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Vähendame murdosa. Saame 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Vastus: 16 45: 12 = 4 135 .

Naturaalarvu jagamine murdosaga

Jagamise reegel on sarnane O naturaalarvu hariliku murruga jagamise reegel: naturaalarvu n jagamiseks hariliku murruga a b on vaja arv n korrutada murru a b pöördarvuga.

Reegli alusel on meil n: a b = n · b a ja tänu naturaalarvu hariliku murruga korrutamise reeglile saame oma avaldise kujul n: a b = n · b a. Seda jaotust on vaja vaadelda näitega.

Näide 4

Jagage 25 15-ga 28.

Lahendus

Peame liikuma jagamiselt korrutamisele. Kirjutame selle avaldise 25 kujul: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Vähendame murdu ja saame tulemuseks murdosa 46 2 3 kujul.

Vastus: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Murru jagamine segaarvuga

Hariliku murru jagamisel segaarvuga saate hõlpsalt hakata harilikke murde jagama. Segaarvu peate teisendama valeks murdarvuks.

Näide 5

Jagage murd 35 16 3 1 8-ga.

Lahendus

Kuna 3 1 8 on segaarv, esitame selle valemurruna. Siis saame 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Nüüd jagame murde. Saame 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Vastus: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Segaarvu jagamine toimub samamoodi nagu tavaarvud.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Tavalised murdarvud kohtuvad koolilastega esmakordselt 5. klassis ja saadavad neid kogu elu, kuna igapäevaelus on sageli vaja käsitleda või kasutada objekti mitte tervikuna, vaid eraldi tükkidena. Alusta selle teema uurimist – jagab. Aktsiad on võrdsed osad, milleks see või teine ​​objekt on jagatud. Alati ei ole ju võimalik näiteks toote pikkust või hinda täisarvuna väljendada, arvestada tuleks mõne mõõdu osade või murdosadega. Tegusõnast "lõhestama" moodustatud - osadeks jagama ja araabia juurtega sõna "fraktsioon" tekkis vene keeles 8. sajandil.

Murdlauseid on pikka aega peetud matemaatika kõige raskemaks haruks. 17. sajandil, kui ilmusid esimesed matemaatikaõpikud, nimetati neid "katkenenud numbriteks", millest oli inimestel väga raske aru saada.

Moodne välimus lihtsad murdjäägid, mille osad on eraldatud horisontaalse joonega, propageeris esmakordselt Fibonacci - Leonardo Pisa. Tema teosed on dateeritud aastasse 1202. Kuid selle artikli eesmärk on lihtsalt ja selgelt selgitada lugejale, kuidas segamurrudega korrutatakse erinevad nimetajad.

Erinevate nimetajatega murdude korrutamine

Esialgu tasub kindlaks teha murdude tüübid:

• õige;
• vale;
• segatud.

Järgmiseks peate meeles pidama, kuidas samade nimetajatega murdarvud korrutatakse. Selle protsessi reeglit pole keeruline iseseisvalt sõnastada: identsete nimetajatega lihtmurdude korrutamise tulemus on murdosa avaldis, mille lugeja on lugejate korrutis ja nimetaja on nende murdude nimetajate korrutis. . See tähendab, et tegelikult on uueks nimetajaks ühe algselt olemasoleva nimetaja ruut.

Korrutamisel lihtmurrud erinevate nimetajatega kahe või enama teguri puhul reegel ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainus erinevus seisneb selles, et murdjoone all moodustatud arv on erinevate arvude korrutis ja loomulikult ei saa seda nimetada ühe arvavaldise ruuduks.

Tasub kaaluda erinevate nimetajatega murdude korrutamist näidete abil:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Näidetes kasutatakse murdavaldiste vähendamise meetodeid. Lugejate numbreid saab vähendada ainult nimetajanumbritega; murdujoonest kõrgemal või allpool asuvaid külgnevaid tegureid ei saa vähendada.

Lihtmurdude kõrval on ka segamurdude mõiste. Segaarv koosneb täisarvust ja murdosast, see tähendab, et see on nende arvude summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuidas korrutamine toimib?

Kaalumiseks on toodud mitu näidet.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Näites kasutatakse arvu korrutamist tavaline murdosa, saab selle toimingu reegli kirjutada järgmiselt:

a* b/c = a*b /c.

Tegelikult on selline korrutis identsete murdjääkide summa ja terminite arv näitab seda naturaalarvu. Erijuhtum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Arvu korrutamiseks murdosa jäägiga on veel üks lahendus. Peate lihtsalt nimetaja selle arvuga jagama:

d* e/f = e/f: d.

Seda tehnikat on kasulik kasutada, kui nimetaja jagatakse naturaalarvuga ilma jäägita või, nagu öeldakse, täisarvuga.

Teisendage segaarvud valedeks murdudeks ja hankige korrutis eelnevalt kirjeldatud viisil:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

See näide hõlmab viisi segamurru esitamiseks sobimatu murruna ja seda saab esitada ka üldvalemina:

a bc = a*b+ c / c, kus uue murru nimetaja moodustatakse, korrutades kogu osa nimetajaga ja liites selle algse murdosa lugejaga ning nimetaja jääb samaks.

See protsess toimib ka tagakülg. Terve osa ja murdosa eraldamiseks peate jagama vale murru lugeja selle nimetajaga, kasutades "nurka".

Korrutamine ebaõiged murded toota üldtunnustatud viisil. Ühe murdrea alla kirjutades peate murde vastavalt vajadusele vähendama, et seda meetodit kasutades numbreid vähendada ja tulemuse arvutamist hõlbustada.

Internetis on palju abilisi isegi keeruliste matemaatiliste ülesannete lahendamiseks erinevaid variatsioone programmid. Piisav hulk selliseid teenuseid pakub oma abi murdarvude korrutamise loendamisel erinevad numbrid nimetajates - nn online-kalkulaatorid murdude arvutamiseks. Nad on võimelised mitte ainult korrutama, vaid tegema ka kõiki muid lihtsaid aritmeetilisi tehteid tavaliste murdude ja seganumbrid. Sellega töötamine pole keeruline, täidate veebisaidi lehel vastavad väljad, valite matemaatilise tehte märgi ja klõpsake nuppu "Arvuta". Programm arvutab automaatselt.

Murdudega aritmeetiliste tehete teema on aktuaalne kogu kesk- ja gümnaasiumiõpilaste haridustee vältel. Keskkoolis ei arvestata enam kõige lihtsamate liikidega, vaid täisarvu murdosa avaldised, kuid varem saadud teadmisi teisendus- ja arvutusreeglitest rakendatakse algsel kujul. Hästi omandatud baasteadmised annavad enamikule täieliku kindlustunde edukas lahenduses keerulised ülesanded.

Kokkuvõtteks on mõttekas tsiteerida Lev Nikolajevitš Tolstoi sõnu, kes kirjutas: “Inimene on murdosa. Inimese võimuses ei ole suurendada oma lugejat - tema teeneid -, kuid igaüks võib vähendada oma nimetajat - oma arvamust enda kohta ja selle vähenemisega läheneda oma täiuslikkusele.