Prisma, mille külgservad on aluse suhtes risti. Sirge prisma – Knowledge Hypermarket

Definitsioon. Prisma on hulktahukas, mille kõik tipud paiknevad kahel paralleelsel tasapinnal ja neil samadel kahel tasapinnal asuvad prisma kaks tahku, mis on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Kõik prisma külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Neid servi, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal on segment, mille otsad on prisma kaks tippu, mis ei asu samal pinnal (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse läbimise järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise aluse tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, tähistatakse ainult ühes aluses asuvad tipud tähtede järgi ilma indeksita ja teises - indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on aluses viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga sest sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku - prisma alused, 5 tahku - rööpkülikukujulised tahud, - selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab see silma privaatne vaade: õiged prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Parallelepiped

Ristkülikukujuline rööptahukas - parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

,

kus d on ruudu diagonaal;
a on ruudu külg.

Prismast annab ettekujutuse:

• mitmesugused arhitektuursed struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkekarbid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpinna pindala

S täis = S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S alus- baaspindala

Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool= P põhi * h,

Kus S pool- sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Üldinfo sirge prisma kohta

Prisma külgpinda (täpsemalt külgpinda) nimetatakse summa külgpindade alad. Prisma kogupind on võrdne külgpinna ja aluste pindalade summaga.

Teoreem 19.1. Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega, st külgserva pikkusega.

Tõestus. Sirge prisma külgmised pinnad on ristkülikud. Nende ristkülikute alused on prisma põhjas asuva hulknurga küljed ja kõrgused on võrdsed külgmiste servade pikkusega. Sellest järeldub, et prisma külgpind on võrdne

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

kus a 1 ja n on aluse servade pikkused, p on prisma aluse ümbermõõt ja I on külgservade pikkus. Teoreem on tõestatud.

Praktiline ülesanne

Probleem (22) . Kaldprismas viiakse see läbi osa, risti külgribidega ja lõikuvad kõik külgribid. Leidke prisma külgpind, kui lõigu ümbermõõt on võrdne p ja külgservad on võrdsed l-ga.

Lahendus. Joonistatud lõigu tasapind jagab prisma kaheks osaks (joonis 411). Alistame ühe neist paralleeltõlkele, ühendades prisma alused. Sel juhul saame sirge prisma, mille alus on algse prisma ristlõige ja külgservad on võrdsed l-ga. Sellel prismal on sama külgpind, mis algsel prismal. Seega on algprisma külgpind võrdne pl.

Kokkuvõte käsitletud teemast

Proovime nüüd teha kokkuvõtte prismade teemast ja meenutada, millised omadused prismal on.

Prisma omadused

Esiteks on prisma kõik alused võrdsete hulknurkadena;
Teiseks on prismas kõik selle külgpinnad rööpkülikukujulised;
Kolmandaks, sellisel mitmetahulisel joonisel nagu prisma on kõik külgmised servad võrdsed;

Samuti tuleb meeles pidada, et hulktahukad, näiteks prismad, võivad olla sirged või kaldu.

Millist prismat nimetatakse sirgeks prismaks?

Kui prisma külgserv asetseb risti selle aluse tasapinnaga, siis nimetatakse sellist prismat sirgeks.

Ei oleks üleliigne meenutada, et sirge prisma külgmised pinnad on ristkülikud.

Millist tüüpi prismat nimetatakse kaldus?

Aga kui prisma külgserv ei asu risti selle aluse tasapinnaga, siis võib julgelt väita, et tegemist on kaldprismaga.

Millist prismat nimetatakse õigeks?

Kui sirge prisma põhjas asub korrapärane hulknurk, siis on selline prisma korrapärane.

Nüüd meenutagem tavaprisma omadusi.

Tavaprisma omadused

Esiteks on korrapärased hulknurgad alati tavalise prisma alused;
Teiseks, kui arvestada tavalise prisma külgpindu, on need alati võrdsed ristkülikud;
Kolmandaks, kui võrrelda külgribide suurusi, siis tavalises prismas on need alati võrdsed.
Neljandaks on õige prisma alati sirge;
Viiendaks, kui korrapärases prismas on külgpinnad ruudukujulised, siis sellist kujundit nimetatakse tavaliselt poolkorrapäraseks hulknurgaks.

Prisma ristlõige

Vaatame nüüd prisma ristlõiget:

Kodutöö

Nüüd proovime õpitud teemat ülesannete lahendamisega kinnistada.

Joonistame kaldse kolmnurkse prisma, selle servade vaheline kaugus on 3 cm, 4 cm ja 5 cm ning selle prisma külgpind on 60 cm2. Nende parameetritega leidke selle prisma külgserv.

Kas sa tead seda geomeetrilised kujundidümbritsevad meid pidevalt mitte ainult geomeetriatundides, vaid ka nendes Igapäevane elu On objekte, mis meenutavad üht või teist geomeetrilist kujundit.

Kõigil kodus, koolis või tööl on arvuti, mille süsteemiüksus on sirge prisma kujuline.

Kui võtate kätte lihtsa pliiatsi, näete, et pliiatsi põhiosa on prisma.

Mööda linna kesktänavat jalutades näeme, et meie jalge all lebab kuusnurkse prisma kujuga plaat.

A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik haridusasutustele

1. Tetraeedril on kõige vähem servi – 6.

2. Prismal on n tahku. Milline hulknurk asub selle aluses?

(n - 2) - ruut.

3. Kas prisma on sirge, kui selle kaks külgnevat külgpinda on aluse tasapinnaga risti?

Jah see on.

4. Millise prisma külgservad on paralleelsed selle kõrgusega?

Sirges prismas.

5. Kas prisma on korrapärane, kui selle kõik servad on üksteisega võrdsed?

Ei, see ei pruugi olla otsene.

6. Kas kaldprisma ühe külgpinna kõrgus võib olla ka prisma kõrgus?

Jah, kui see nägu on alusega risti.

7. Kas on olemas prisma, milles: a) külgserv on risti ainult aluse ühe servaga; b) ainult üks külgpind on alusega risti?

a) jah. b) ei.

8. Korrapärane kolmnurkne prisma jaotatakse aluste keskjooni läbiva tasapinnaga kaheks prismaks. Milline on nende prismade külgpindade suhe?

Teoreemi 27 abil saame selle külgpinnad suhe on umbes 5:3

9. Kas püramiid on korrapärane, kui selle külgpinnad on korrapärased kolmnurgad?

10. Mitu tahku, mis on aluse tasapinnaga risti, võib püramiidil olla?

11. Kas on olemas nelinurkne püramiid, mille vastasküljed on aluse suhtes risti?

Ei, vastasel juhul läbiks püramiidi tippu vähemalt kaks sirgjoont, mis on risti alustega.

12. Kas kolmnurkse püramiidi kõik tahud võivad olla täisnurksed kolmnurgad?

Jah (joonis 183).

Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täiesti kõik probleemid 1-13 Profiili ühtne riigieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.

Kogu vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.

Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate mõistma, mis tüüpi see on.

Üldine teooria

Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Pealegi võib selle alus olla mis tahes hulktahukas - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Külgpindade kohta ei kehti see, et nende suurus võib oluliselt erineda.

Probleemide lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. See võib nõuda teadmisi külgpinnast, st kõigist tahkudest, mis ei ole alused. Kogu pind on kõigi prisma moodustavate tahkude liit.

Mõnikord on probleemid seotud kõrgusega. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluspind ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemisel ja alumisel küljel on samad arvud, on nende alad võrdsed.

Kolmnurkne prisma

Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Nagu teate, võib see olla erinev. Kui jah, siis piisab, kui meeles pidada, et selle pindala määrab pool jalgade tootest.

Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.

Aluse pindala väljaselgitamiseks üldine vaade, on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud selle külge tõmmatud kõrgusele.

Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). See märge sisaldab poolperimeetrit (p), see tähendab kolme külje summa jagatud kahega.

Teiseks: S = ½ n a * a.

Kui teil on vaja teada aluse pindala kolmnurkne prisma, mis on korrapärane, siis osutub kolmnurk võrdkülgseks. Selle jaoks on valem: S = ¼ a 2 * √3.

Nelinurkne prisma

Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.

Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = ab, kus a, b on ristküliku küljed.

Millal me räägime nelinurkse prisma kohta, siis arvutatakse tavalise prisma aluse pindala ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub vundamendil. S = a 2.

Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S = a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: n a = b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n on selle nurga vastas.

Kui prisma põhjas on romb, siis selle pindala määramiseks vajate sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.

Regulaarne viisnurkne prisma

See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille pindalasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujunditel võib olla erinev arv tippe.

Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.

Regulaarne kuusnurkne prisma

Kasutades viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtet, on võimalik aluse kuusnurk jagada 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluspinna valem on sarnane eelmisele. Ainult see tuleks korrutada kuuega.

Valem näeb välja selline: S = 3/2 a 2 * √3.

Ülesanded

Nr 1. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala, kui on antud korrapärane sirgjoon, selle diagonaal 22 cm, hulktahuka kõrgus 14 cm.

Lahendus. Prisma põhi on ruut, kuid selle külg on teadmata. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 = d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment “x” hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, et x 2 = a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd saate lihtsalt teada aluse pindala: 12 * 12 = 144 cm 2.

Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna ja neljakordistama külgpinna. Viimast saab hõlpsasti leida, kasutades ristküliku valemit: korrutage hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindalaks osutub 960 cm2.

Vastus. Prisma aluse pindala on 144 cm2. Kogu pind on 960 cm2.

Nr 2. Antud Alusel on kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage alad: alus ja külgpind.

Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindala võrdseks 6 ruuduga, korrutatuna ¼-ga ja ruutjuurega 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.

Kõik külgpinnad on ühesugused ja ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks korrutage need arvud. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Siis osutub haava külgpinna pindalaks 180 cm 2.

Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.