Täisnurkse kolmnurkse prisma omadused. Kõik, mida pead prisma kohta teadma (2019)

Definitsioon. Prisma on hulktahukas, mille kõik tipud paiknevad kahel paralleelsel tasapinnal ja neil samadel kahel tasapinnal asuvad prisma kaks tahku, mis on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Kõik prisma külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Neid servi, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal on segment, mille otsad on prisma kaks tippu, mis ei asu samal pinnal (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse läbimise järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise aluse tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, tähistatakse ainult ühes aluses asuvad tipud tähtede järgi ilma indeksita ja teises - indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on aluses viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga sest sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku - prisma alused, 5 tahku - rööpkülikukujulised, - selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab see silma privaatne vaade: õiged prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Parallelepiped

Ristkülikukujuline rööptahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

,

kus d on ruudu diagonaal;
a on ruudu külg.

Prismast annab ettekujutuse:

• mitmesugused arhitektuursed struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkekarbid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpinna pindala

S täis = S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S alus- baaspindala

Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool= P põhi * h,

Kus S pool- sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Erinevad prismad on üksteisest erinevad. Samas on neil palju ühist. Prisma aluse pindala leidmiseks peate mõistma, mis tüüpi see on.

Üldine teooria

Prisma on iga hulktahukas, mille külgedel on rööpküliku kuju. Veelgi enam, selle alus võib olla mis tahes hulktahukas - kolmnurgast n-nurgani. Pealegi on prisma alused alati üksteisega võrdsed. Külgpindade kohta ei kehti see, et nende suurus võib oluliselt erineda.

Probleemide lahendamisel ei puututa kokku mitte ainult prisma aluse pindalaga. See võib nõuda teadmisi külgpinnast, st kõigist tahkudest, mis ei ole alused. Kogu pind on kõigi prisma moodustavate tahkude liit.

Mõnikord on probleemid seotud kõrgusega. See on alustega risti. Hulktahuka diagonaal on segment, mis ühendab paarikaupa mis tahes kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku.

Tuleb märkida, et sirge või kaldprisma aluspind ei sõltu nende ja külgpindade vahelisest nurgast. Kui nende ülemisel ja alumisel küljel on samad arvud, on nende alad võrdsed.

Kolmnurkne prisma

Selle põhjas on kolme tipuga kujund, see tähendab kolmnurk. Nagu teate, võib see olla erinev. Kui jah, siis piisab, kui meeles pidada, et selle pindala määrab pool jalgade tootest.

Matemaatiline tähistus näeb välja selline: S = ½ keskm.

Baasi pindala väljaselgitamiseks üldine vaade, on kasulikud valemid: Heron ja see, milles pool külge on võetud selle külge tõmmatud kõrgusele.

Esimene valem tuleks kirjutada järgmiselt: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). See märge sisaldab poolperimeetrit (p), see tähendab kolme külje summa jagatud kahega.

Teiseks: S = ½ n a * a.

Kui soovite välja selgitada kolmnurkse prisma aluse pindala, mis on korrapärane, osutub kolmnurk võrdkülgseks. Selle jaoks on valem: S = ¼ a 2 * √3.

Nelinurkne prisma

Selle alus on mis tahes tuntud nelinurk. See võib olla ristkülik või ruut, rööptahukas või romb. Igal juhul vajate prisma aluse pindala arvutamiseks oma valemit.

Kui alus on ristkülik, siis määratakse selle pindala järgmiselt: S = ab, kus a, b on ristküliku küljed.

Millal me räägime nelinurkse prisma kohta, siis arvutatakse tavalise prisma aluse pindala ruudu valemi abil. Sest see on tema, kes asub vundamendil. S = a 2.

Juhul, kui alus on rööptahukas, on vaja järgmist võrdsust: S = a * n a. Juhtub, et on antud rööptahuka külg ja üks nurkadest. Seejärel peate kõrguse arvutamiseks kasutama täiendavat valemit: n a = b * sin A. Veelgi enam, nurk A külgneb küljega "b" ja kõrgus n on selle nurga vastas.

Kui prisma põhjas on romb, siis selle pindala määramiseks vajate sama valemit nagu rööpküliku puhul (kuna see on selle erijuhtum). Kuid võite kasutada ka seda: S = ½ d 1 d 2. Siin on d 1 ja d 2 rombi kaks diagonaali.

Regulaarne viisnurkne prisma

See juhtum hõlmab hulknurga jagamist kolmnurkadeks, mille pindalasid on lihtsam välja selgitada. Kuigi juhtub, et kujunditel võib olla erinev arv tippe.

Kuna prisma põhi on korrapärane viisnurk, saab selle jagada viieks võrdkülgseks kolmnurgaks. Siis võrdub prisma aluse pindala ühe sellise kolmnurga pindalaga (valemit näete ülal), korrutatuna viiega.

Regulaarne kuusnurkne prisma

Kasutades viisnurkse prisma puhul kirjeldatud põhimõtet, on võimalik aluse kuusnurk jagada 6 võrdkülgseks kolmnurgaks. Sellise prisma aluspinna valem on sarnane eelmisele. Ainult see tuleks korrutada kuuega.

Valem näeb välja selline: S = 3/2 a 2 * √3.

Ülesanded

Nr 1. Arvutage prisma aluse ja kogu pinna pindala, kui on antud korrapärane sirgjoon, selle diagonaal on 22 cm, hulktahuka kõrgus on 14 cm.

Lahendus. Prisma põhi on ruut, kuid selle külg on teadmata. Selle väärtuse leiate ruudu diagonaalist (x), mis on seotud prisma diagonaaliga (d) ja selle kõrgusega (h). x 2 = d 2 - n 2. Teisest küljest on see segment “x” hüpotenuus kolmnurgas, mille jalad on võrdsed ruudu küljega. See tähendab, et x 2 = a 2 + a 2. Seega selgub, et a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Asendage d asemel arv 22 ja asendage "n" selle väärtusega - 14, selgub, et ruudu külg on 12 cm. Nüüd saate lihtsalt teada aluse pindala: 12 * 12 = 144 cm 2.

Kogu pinna pindala väljaselgitamiseks peate lisama kahekordse aluspinna ja neljakordistama külgpinna. Viimast saab hõlpsasti leida, kasutades ristküliku valemit: korrutage hulktahuka kõrgus ja aluse külg. See tähendab, et 14 ja 12 on see arv 168 cm 2. Prisma kogupindalaks osutub 960 cm2.

Vastus. Prisma aluse pindala on 144 cm2. Kogu pind on 960 cm2.

Nr 2. Antud Alusel on kolmnurk, mille külg on 6 cm. Sel juhul on külgpinna diagonaal 10 cm. Arvutage alad: alus ja külgpind.

Lahendus. Kuna prisma on korrapärane, on selle alus võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu osutub selle pindalaks 6 ruutu, korrutatuna ¼-ga ja ruutjuurega 3. Lihtne arvutus annab tulemuse: 9√3 cm 2. See on prisma ühe aluse pindala.

Kõik külgpinnad on ühesugused ja ristkülikud, mille küljed on 6 ja 10 cm. Nende pindala arvutamiseks korrutage need arvud. Seejärel korrutage need kolmega, sest prismal on täpselt nii palju külgi. Siis osutub haava külgpinna pindalaks 180 cm 2.

Vastus. Pindalad: alus - 9√3 cm 2, prisma külgpind - 180 cm 2.

Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus
Definitsioon 5. Paremprisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala

Parallelelepped:
Definitsioon 6. Parallelepped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmised
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Diagonaalidel ristkülikukujuline rööptahukas
Teoreem 5. Prisma ruumala
Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala

Prisma on hulktahukas, mille kaks tahku (alust) asetsevad paralleelsetes tasapindades ja servad, mis nendel tahkudel ei asu, on üksteisega paralleelsed.
Muid nägusid peale aluste nimetatakse külgmine.
Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma ribid, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servi, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. Otsene prisma nimetatakse prismaks, mille külgmised ribid on risti aluste tasanditega. Õige nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.

Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P^ - risti lõigu ümbermõõt;
S b - külgpindala;
V - maht;
S p on prisma kogupinna pindala.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelneva teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. määratlus . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised ribid. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alus võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgmised pinnad - rööpkülikuid; kõik külgmised ribid on üksteisega võrdsed.
Ilmselgelt kui on antud prisma ABCDE alus ja üks servadest AA" suuruselt ja suunast, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", ... võrdsed ja paralleelsed servaga AA" .

4. määratlus . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismapinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad saavad olema ristkülikud.
Prismasid saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, mis on võrdne selle aluseks oleva hulknurga külgede arvuga. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpinna pindala on võrdne külgserva ja ristlõike perimeetri korrutisega.
Olgu ABCDEA"B"C"D"E" antud prisma ja abcde selle ristilõige, nii et lõigud ab, bc, .. on risti selle külgmiste servadega. Tahk ABA"B" on rööpkülik, selle pindala on võrdne aluse AA korrutisega kõrgusele, mis langeb kokku ab-ga; näo pindala ВСВ "С" on võrdne aluse ВВ korrutisega kõrgusega bc jne. Järelikult on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne korrutisega külgserva, teisisõnu lõikude AA", ВВ", .. kogupikkus summa ab+bc+cd+de+ea korral.