Построение математических доказательств. Как делать математические доказательства

Основным методом в математических исследованиях являются математические доказательства - строгие логические рассуждения. В силу объективной необходимости, указывает член-корреспондент РАН Л.Д.Кудрявцев Кудрявцев Л.Д. - Современная математика и ее преподавание, Москва, Наука, 1985 год., логические рассуждения (которые по своей природе, если они правильные, являются и строгими) представляют метод математики, без них математика немыслима. Следует отметить, что математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способа ее решения необходима еще математическая интуиция, позволяющая предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен, наметить путь исследования с помощью правдоподобных рассуждений. Но справедливость рассматриваемого факта доказывается не проверкой ее на ряде примеров, не проведением ряда экспериментов (что само по себе играет большую роль в математических исследованиях), а чисто логическим путем, по законам формальной логики.

Считается, что математическое доказательство является истиной в последней инстанции. Решение, которое основано на чистой логике просто не может быть неправильным. Но с развитием науки и задачи перед математиками ставятся всё более сложные.

“Мы вошли в эпоху, когда математический аппарат стал настолько сложным и громоздким, что с первого взгляда уже нельзя сказать - правдива или нет встреченная задача”, полагает Кейт Девлин из Стенфордского Университета Калифорнии, США. Он приводит в пример “классификацию простых конечных групп”, которую сформулировали еще в 1980 году, а полного точного доказательства не привили до сих пор. Скорее всего, теорема верна, но совершенно точно об этом говорить нельзя.

Компьютерное решение тоже невозможно назвать точным, ибо такие вычисления всегда имеют погрешность. В 1998 году Хейлс предложил решение теоремы Кеплера при помощи компьютера, сформулированной еще в 1611 году. Эта теорема описывает наиболее плотную упаковку шаров в пространстве. Доказательство было представлено на 300 страницах и содержало в себе 40000 строк машинного кода. 12 рецензентов проверяли решение в течение года, но стопроцентной уверенности в правильности доказательства они так и не достигли, и исследование отправили на доработку. В результате оно было опубликовано только через четыре года и без полной сертификации рецензентов.

Все последние вычисления для прикладных задач производятся на компьютере, но ученые считают, что для большей достоверности математические выкладки должны быть представлены без погрешностей.

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n -ное умозаключение становится одной из посылок n+1 -го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математической и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX веках понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.

Прежде всего, это коснулось самой математики, в связи, с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает саму математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е.Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры, и далее пишет: "Доказательством суждения я называю честный прием, делающий это суждение неоспоримым". Есенин-Вольпин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д.Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть, не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания, и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д.Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Повторимся. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты.

Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологии и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространены два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов a данного множества каким-либо другим элементом F (a ) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержит букву, скажем A , то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D , мы получим формулу, также истинную, как и исходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)... Учитываются только значения "истина" или "ложь". Например, в формуле M : A--> (B UA ) на место A подставляем выражение (A UB ), в результате получаем новую формулу (A UB ) -->[(B U(A UB ) ].

Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

a--> b

a .

Дано высказывание (a-> b ) и еще дано a . Из этого следует b .

К примеру: Если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a ), следовательно, мостовая мокрая (b ). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом (a-> b ) a-> b .

Умозаключение определяется, как правило, отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b ) и ее антецедент (a ), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b ). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть, абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации: A-> B , когда налицо логический вывод формулы B из формулы A . В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A , из которых, согласно правилам, выводимо B Г, A B (- знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение A--> B.

Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе с тем в логике используются и так называемые косвенные, есть не прямые доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (a v ) - вывод об истинности тезиса.

В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства - доказательство от противного. Оно особенно ценно и, по сути, незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A ). Если из этого следует B и его отрицание (G , A B, не-B ), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A . Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.

Говоря «математическое доказательство», мы имеем в виду доказательство математического предложения. Доказательства, по способу ведения, подразделяются на прямые и косвенные.

Прямым доказательством теоремы Т называется конечная последовательность предложений j 1 , j 2 , ..., j n данной теории, удовлетворяющая следующим требованиям:

1) предложение j 1 – какое-либо несомненное начало;

2) каждое предложение j i последовательности или аксиома, или получается из предшествующих предложений по какому-либо из правил вывода математической логики;

3) последнее предложение последовательности j n есть Т .

Ввиду того, что в соответствии с этим определением формальные доказательства являются очень длинными (состоят из большого числа предложений), их сокращают, допуская в качестве посылок наряду с аксиомами ранее доказанные теоремы и определения.

Доказательство называется косвенным (непрямым), если истинность теоремы обосновывается посредством опровержения истинности противоречащей теоремы. Например, в математике часто используют различные варианты косвенного доказательства (известного из школьного курса под названием доказательства способом «от противного»).

Косвенное доказательство некоторой теоремы Т состоит в том, что исходят из отрицания Т и выводят из него ложное заключение. Это выведение называют «приведением к нелепости», или «приведением к абсурду». Основная форма косвенного доказательства начинается с и оканчивается предложением типа . В завершение такого доказательства обычно говорят: «полученное противоречие доказывает теорему».

Среди косвенных доказательств встречаются разделительные, в которых есть разделительное суждение вида «S есть Р 1 , Р 2 », где число всевозможных случаев n ³ 2 и конечно.

По форме умозаключения, в которой совершаются доказательства, различают индуктивные и дедуктивные. Индуктивные доказательства получаются в результате применения методов полной индукции и математической индукции.

Метод математической индукции – специальный метод доказательства, применяющийся к предложениям типа ("n Î N ) P (n ), т.е. к предложениям, выражающим некоторое свойство Р , присущее любому натуральному числу n . Многие утверждения содержат целочисленную переменную n , и если надо доказать, что утверждение верно для любого числа n ³ n 0 , то это можно осуществить в два этапа:

1) Утверждение проверяют для n = n 0 .

2) Предположив, что утверждение справедливо для некоторого n = k ³ n 0 , доказывают его справедливость для n = k + 1.

Если это осуществлено, то утверждение оказывается (этап 1) верным для n = n 0 и следовательно (этап 2), для n = n 0 + 1. Тогда (этап 2) оно верно для n = n 0 + 2 и т.д.

Эти этапы составляют основу метода математической индукции.

П р и м е р. Докажем методом математической индукции, что для всех n ³ 1 верное равенство

.

Для упрощения выкладок введем обозначение S (n ) = 1 + 2 + … + n ; требуется доказать, что для всех n ³ 1 верно равенство .

1) Для n = 1 оно очевидно.

2) Допустим, что для n = k оно выполнено, т.е. . Докажем, что тогда исходное равенство верно и для n = k + 1, т.е. . Действительно, S (k + 1) = 1 + 2 + … + k + (k + 1) =
= .

Ввиду того, что непосредственная проверка наличия этого свойства у любого натурального числа невозможна из-за бесконечности множества N , поступают так: устанавливают наличие этого свойства для n = 1 и доказывают, что из допущения о наличии его для n = k , где k – произвольное натуральное число, следует наличие этого свойства и для n = k + 1, т.е. для числа, «непосредственно следующего за k ».

После этого заключают об истинности предложения ("n Î N ) P (n ), т.е. о том, что свойством Р обладает любое натуральное число.

Нестрогое гипотетическое обоснование суждений, основанное на применении одних только умозаключений правдоподобия (вероятности), например, неполной индукции или аналогии, не является доказательством. Подавляющее большинство математических предложений доказывается на основе дедуктивных умозаключений – умозаключений достоверности. Математические доказательства – это в основном чисто дедуктивные доказательства. Они представляют собой цепочки дедуктивных силлогизмов.

Правильные умозаключения

Умозаключение – это форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных нам определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое значение.

Форма записи умозаключения такова: . Над чертой записаны Р 1 , Р 2 , ..., Р n – исходные высказывания, они называются посылками. Под чертой записано высказывание Р , которое логически следует из исходных и называется заключением или выводом.

Заключение следует из посылок либо по правилам формальной логики (является простым логическим следствием посылок), либо выводится по правилам математики и формальной логики.

Умозаключения, позволяющие строить из общих суждений частные, называются дедуктивными или дедукцией.

Схема такого рассуждения записывается так:

и называется правилом заключения .

П р и м е р. Если четырехугольник – параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам. АВСD – параллелограмм. Следовательно, его диагонали пересекаясь, делятся пополам.

Существуют еще два вида дедуктивных умозаключений. Приведем их схемы.

1) – правило отрицания .

П р и м е р. В любом прямоугольнике противоположные стороны попарно равны. В четырехугольнике АВСD противоположные стороны попарно не равны, значит, АВСD – не прямоугольник.

2) – правило силлогизма .

П р и м е р. Если числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Умозаключение, в результате которого на основании знания об отдельных предметах данного множества получается общий вывод, называется индуктивным или полной индукцией .

Его схема выглядит следующим образом:

П р и м е р. При умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Если натуральное число оканчивается на 0, то произведение оканчивается нулем. Если натуральное число оканчивается на 1, то произведение оканчивается на 5 и т.д. до 9. Переберем все возможные случаи. Значит, при умножении любого натурального числа на 5 последняя цифра в записи произведения 0 или 5.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Установите способы определения следующих понятий из начального курса математики: математическое выражение, однозначное число, двузначное число, нечетное число, деление, произведение, сантиметр.

2. Докажите с помощью таблицы истинности равносильности:

(A Ú B ) Ù C Û (A Ù C ) Ú (B Ù C );

Формальными доказательствами занимается специальная ветвь математики - теория доказательств . Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, поскольку для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают очень много места. Обычно доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства: все утверждения доказываются исключительно логическими способами. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между разными объектами и теоремами; тем не менее, все эти средства используются учёными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут основываться на таких средствах. Доказательства, написанные на естественных языках, могут быть не очень подробными в расчёте на то, что подготовленный читатель сам сможет восстановить детали. Строгость доказательства гарантируется тем, что его можно представить в виде записи на формальном языке (это и происходит при компьютерной проверке доказательств).

Ошибочным доказательством называется текст, содержащий логические ошибки, то есть такой, по которому нельзя восстановить формальное доказательство. В истории математики были случаи, когда выдающиеся учёные публиковали неверные «доказательства», однако обычно их коллеги или они сами довольно быстро находили ошибки (одна из наиболее часто неправильно доказывавшихся теорем - Великая теорема Ферма . До сих пор встречаются люди, не знающие о том, что она доказана, и предлагающие новые неверные «доказательства» ). Ошибочным может быть только признание доказательством «доказательства» на естественном или формальном языке; формальное доказательство ошибочным не может быть по определению.

В математике существуют нерешённые проблемы, решение которых учёным очень хотелось бы найти. Некоторые из них можно найти в статье «Гипотеза ». За доказательства особенно интересных и важных утверждений математические общества назначают премии.

Теория называется полной , если для любого утверждения доказуемо оно или его отрицание, и непротиворечивой , если в ней не существует утверждений, которые можно доказать вместе с их отрицаниями (или, эквивалентно, если в ней существует хотя бы одно недоказуемое утверждение). Большинство «достаточно богатых» математических теорий, как показывает первая теорема Гёделя о неполноте , являются неполными либо противоречивыми. Самым распространённым набором аксиом в наше время является аксиоматика Цермело - Френкеля с аксиомой выбора (хотя некоторые математики выступают против использования последней). Теория на основе этой системы аксиом не полна (например, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в ней - в предположении, что эта теория непротиворечива). Несмотря на повсеместное использование этой теории в математике, её непротиворечивость не может быть доказана методами её самой. Тем не менее, подавляющее большинство математиков верит в её непротиворечивость, считая, что в противном случае противоречия уже давно были бы обнаружены.

Исторический очерк

Первые доказательства использовали простейшие логические построения. В частности Фалес Милетский , доказавший что диаметр делит круг пополам, углы при основании равнобедренного треугольника равны, две пересекающиеся прямые образуют равные углы, видимо, использовал в своих доказательствах методы перегибания и наложения фигур. По словам греческого философа Прокла (V век н. э.) «Иногда он рассматривал вопрос несколько общо, иногда опираясь на наглядность». Уже при Пифагоре доказательство переходит от конкретных представлений к чисто логическим заключениям . Известно, что доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которое является основой понятия иррациональности , скорее всего принадлежит пифагорейцам , хотя впервые приведено в Началах Евклида (X), происходит от противного и основано на теории делимости чисел на два . Возможно, что расхождение во взглядах на роль математического доказательство явилось одной из причин конфликта между Евдоксом и Платоном .

Что и требовалось доказать

Традиционно окончание доказательства обозначалось сокращением «Q.E.D. », от латинского выражения лат. Quod Erat Demonstrandum («Что и требовалось доказать»).

Сейчас для обозначения окончания доказательства чаще используется знак □ или ■ , ‣ , //, а также русская аббревиатура «ч. т. д. ».

Литература

• С древнейших времён до начала Нового времени // История математики / Под редакцией Юшкевича А. П. , в трёх томах. - М .: Наука, 1970. - Т. I.

Примечания

См. также

• Конструктивное доказательство (англ. )

Лекция 10. Способы математического доказательства

1. Способы математического доказательства

2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.

3. Основные выводы

В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.

Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.

Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.

Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений .

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.

Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:

1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.

2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.

Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.

Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 < 8.

Итак, говоря о структуре математического доказательства, мы должны понимать, что она, прежде всего, включает в себя утверждение, которое доказывается, и систему истинных утверждений, с помощью которых ведут доказательство.

Следует еще заметить, что математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.

По способу ведения (по форме) различают прямые и косвенные доказательства. Рассмотренное ранее доказательство было прямым – в нем, основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводила к истинному заключению.

Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного . Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему

А ⇒ В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение «не В» к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы

Задача 1. Доказать, что если а + 3 > 10, то а ≠ 7. Метод от противного.

Задача 2. Доказать, что если х² - четное число, то х – четно. Метод от противного.

Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.

Метод перебора – один из простейших методов доказательства. Например, чтобы установить, что заданное число, скажем 103, простое, достаточно проверить, что оно не делится ни на одно простое число, не превосходящее корня из данного числа, в нашем случае, что оно не делится на 2, 3, 5, 7.

Однако когда количество объектов бесконечно, то уже невозможно перебрать все варианты. Здесь может помочь метод математической индукции, с помощью которою можно доказывать утверждения уже для бесконечного количества объектов.

Один из методов доказательства – принцип Дирихле (см. Дирихле принцип).

Доказательство – единственный способ установления истины в классической математике. Оно далеко не сразу заняло в математике такую исключительную роль. Например, в египетской и вавилонской математике вычислительные формулы, т.е. «рецепты» решения задач, так или иначе угадывались, они подвергались экспериментальной проверке, а затем сообщались в виде немотивированных утверждений.

Доказательства не сразу появились и в греческой геометрии. Архимед (III в. до н.э.) говорил о результатах, ранее «найденных, но не доказанных». С V в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его ученика Зенона, во многом учась у ораторов, вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон «исключенного третьего» (из двух противоположных утверждений одно, и только одно, истинно), а Зенон использует метод приведения к абсурду (противоречию).

Но в математику эти приемы проникают не сразу: по-видимому, еще Демокрит, живший в V-IV вв. до н. э., обходился без доказательств. В IV в. до н.э. логика завоевывает математику. Несомненно, на первых порах доказательство – это логическое сведение неочевидных утверждений к очевидным или уже известным.

Наши современники не могут точно воссоздать картину, как появилась идея максимально ограничить число очевидных утверждений (аксиом), об истинности которых заключается соглашение и из которых остальные утверждения выводятся чисто логически (см. Аксиоматика и аксиоматический метод). В «Началах» Евклида (III в. до н.э.) грандиозная программа аксиоматизации геометрии уже полностью решена. По правилам Евклида доказательства должны быть чисто логическими выводами из аксиом. Окончательные геометрические тексты тщательно оберегались от дополнительных апелляций к очевидности. Прокл Диадох (V в.), первый комментатор Евклида, писал: «...мы научились от самих пионеров этой науки совсем не принимать в расчет правдоподобные заключения, когда дело касается рассуждений, которые должны войти в науку геометрии». Тем временем Аристотель проводит формализацию и каталогизацию правил умозаключений. Его утверждение об их конечности и обозримости не менее поразительно, чем утверждение о конечности множества аксиом. Полнота этих двух каталогов не оспаривалась до XIX в.

Правила, которыми мы пользуемся при логических рассуждениях (доказательствах), не выходят за пределы простых логических операций. Утверждение, справедливое для некоторого множества (скажем, всех параллелограммов), справедливо и для его подмножества (например, прямоугольников). Если справедливы утверждения и из следует , то справедливо . При доказательстве теоремы, имеющей вид «из следует » ( - то, что дано, - то, что требуется доказать), при помощи уже известных нам теорем выводятся разные следствия, которые затем комбинируются, и из их комбинаций делаются новые выводы, пока в результате не получится .

При доказательстве методом от противного теоремы «из следует » из справедливости утверждения и отрицания утверждения выводится справедливость пары противоположных утверждений, например, достаточно доказать отрицание утверждения или утверждения . Вспомним одно из классических доказательств от противного – доказательство Евклида бесконечности множества простых чисел. Если предположить, что множество простых чисел конечно и - их полный набор, то число не может быть составным, так как оно не делится ни на одно из простых чисел , но оно не может быть и простым, так как оно больше каждого .

Существуют и другие способы установления справедливости математических утверждений. Так, у Архимеда большинство его замечательных утверждений о площадях криволинейных фигур и объемах тел было получено первоначально при помощи чисто механических рассуждений с центрами тяжести, равновесием рычагов и т.д. В дальнейшем появилось большое число «механических» доказательств геометрических утверждений. Вот одно из самых изящных. Из внутренней точки многогранника на его грани опускаются перпендикуляры. Надо доказать, что хотя бы для одной грани перпендикуляр придется на саму грань, а не на ее продолжение. «Механическое» рассуждение состоит в следующем. Изготовляется массивный многогранник с неравномерной плотностью, у которого центр тяжести находится в заданной точке. Если все перпендикуляры попадут на продолжения граней, то многогранник не сможет стоять ни на одной грани, и мы получим вечный двигатель. Можно ли считать это рассуждение доказательством? С точки зрения, принятой в геометрии, разумеется, нет. Более того, нет никаких формальных способов преобразовывать «механические» доказательства в геометрические. Архимед справился с этой задачей, он дал геометрические доказательства к найденным им фактам.

Доказательство теоремы, как правило, не несет никакой информации о том, как к этой теореме можно на самом деле прийти. Одним из немногих великих математиков, допускавших посторонних в свою творческую лабораторию, был Л. Эйлер. Тексты Эйлера дают нам возможность проследить за ходом его мысли. Например, он рассматривает бесконечный ряд

.

.

Раскрывая скобки и вычисляя коэффициент при , получаем . Разумеется, Эйлер понимал, что его смелое рассуждение доказательством не является. Он ищет косвенные подтверждения: вычисляет с большим числом знаков левую и правую части полученного соотношения, получает другие аналогичные соотношения и в их числе уже доказанное Лейбницем: . У него появляется уверенность в правильности своего рассуждения, хотя он еще не в состоянии проводить эквивалентные строгие доказательства. Эйлер энергично использует свой прием для открытия новых фактов. Умение открывать новые факты в виде гипотез, умение исследовать гипотезы на правдоподобность, как и умение проводить строгие доказательства, важнейшие компоненты математического творчества.

С XVII в. математики начинают осознавать, что, в отличие от представителей других наук, они имеют надежный способ установления истины – доказательство. С этим связаны многочисленные попытки перенести доказательства за пределы математики. И. Ньютон строит механику на аксиомах по образцу «Начал» Евклида. Нидерландский философ-материалист XVII в. Б. Спиноза аксиоматизирует этику. Начиная с французского математика и физика П. С. Лапласа (1749-1827) многие пытались внедрить математические рассуждения в юридическую практику. Делались бесконечные попытки решить проблемы человеческих отношений при помощи математики. Но, конечно же, в самой математике доказательства стали играть важнейшую роль.

К началу нашего века аксиоматический метод выходит за пределы геометрии. Большинство фактов о числах, известных со времен Пифагора, носило характер частных наблюдений над конкретными числами, а не обобщающих теорем. В XVI в. теоремы появились в алгебре (у Дж. Кардано), в XVII в. – в теории чисел (у П. Ферма). Однако здесь математики не имели дело с аксиоматическими теориями и понимание доказательства находилось на доевклидовом уровне, когда набор исходных утверждений не фиксируется. В XIX в. начинается аксиоматизация всей математики. На новом уровне формализуются и перечисляются правила вывода – перехода от одних утверждений к другим. Это позволило доказать, что некоторые утверждения невыводимы из аксиом. Всеобщее удивление вызвало рассуждение немецкого математика К. Геделя о том, что в арифметике и вообще во всякой содержащей ее аксиоматической теории существует такая теорема, что ни она сама, ни ее отрицание невыводимы из аксиом.