Вывод формулы всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения

В 1665-1666 годах в Лондоне свирепствовала чума, и Ньютон много времени проводил на ферме в Вулсторпе. Ему было всего 24 года, но историки считают, что именно в это время Ньютон задумался о причинах тяжести, а следовательно, и о движениях планет и их спутников. Мысли эти привели его к созданию великого закона всемирного тяготения...

Закон всемирного тяготения сегодня известен каждому школьнику. Знают все и анекдот об упавшем яблоке, которое якобы явилось причиной открытия великого закона.

Но как связать падение яблока со всемирным тяготением?..

Рассказ о яблоке имеет некоторую степень достоверности. Современник Ньютона Стекелей писал в конце жизни: «После обеда погода была жаркая; мы перешли в сад и пили чай под тенью нескольких яблонь; были только мы вдвоем. Между прочим, сэр Исаак сказал мне, что точно в такой же обстановке он находился, когда впервые ему пришла в голову мысль о тяготении. Она была вызвана падением яблока, когда он сидел, погрузившись в думы. Почему яблоко всегда падает отвесно, подумал он про себя, почему не в сторону, а всегда к центру Земли? Должна существовать притягательная сила в материи, сосредоточенная в центре Земли. Если материя та тянет другую материю, то должна существовать пропорциональность ее количеству. Должна, следовательно, существовать сила, подобная той, которую мы называем тяжестью, простирающаяся по всей Вселенной...»

«Этот рассказ мало кому был известен, - пишет академик Вавилов, - но зато весь мир узнал похожий на анекдот пересказ Вольтера, слыхавшего об этом случае от племянницы Ньютона». Вольтеровский анекдот имел успех. А вскоре после смерти Ньютона предприимчивые наследники стали показывать и яблоню, явившуюся, так сказать, первопричиной открытия великого закона.

А теперь, прежде чем мы попытаемся одним глазком заглянуть в творческую лабораторию великого ученого, давайте вспомним современную формулировку закона всемирного тяготения: «Всякие два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». На языке математики то же самое можно записать значительно короче F ~ M 1 M 2 /r ², где F - сила притяжения, M 1 и M 2 - массы притягивающихся тел, r ² - квадрат расстояния между тяготеющими массами. Если ввести коэффициент пропорциональности k , то формула получит совсем привычный вид: F = k (M 1 M 2 /r ²). Такой мы ее много раз видели в учебниках. Кажется все так просто, правда? Но это только тогда, когда закон уже открыт, когда к нему все привыкли, если и в голове ни у кого не умещается мысль, что было время, когда люди не знали такого простого и замечательного правила. Впрочем, ни одна теория не строится на пустом месте. После этой фразы мы и оказываемся прямо на пороге творческой лаборатории. О чем же знал Ньютон, размышляя над взаимной связью небесных тел? И что в этом направлении было сделано до него?

Помните «законодателя небес» Иоганна Кеплера? Три его закона произвели переворот во взглядах на Вселенную, заставили отказаться от привычного представления о планетных орбитах как правильных окружностях, разрушили представление о планетных сферах. Законы Кеплера просто и точно описывали движения небесных тел, но... в этих законах автор ни словом не обмолвился о причинах такого движения. Между тем мысли ученых людей XVII века все чаще и чаще обращались к такому вопросу: какая же это сила действует на планеты, заставляет их сворачивать со свободного прямолинейного пути и двигаться по эллипсам вокруг Солнца? В чем кроется причина этой силы? Какова природа ее?..

Сам Кеплер искал первопричину в Солнце. Силы, исходящие из могучего светила, должны были, по его мнению, подталкивать планеты. О природе этой «солнечной силы» астроном не задумывался. Со времен древних философов небо считалось чуждым Земле миром, и его законы не имели ничего общего с земными. А потому нечего было и думать об их природе. В небе властвовал бог! Лишь после того, как Галилей открыл закон инерции, объединивший движение тел в мировом пространстве и на земной поверхности, древняя точка зрения оказалась несостоятельной. Люди увидели, что земные и небесные явления подчиняются единым правилам. А не означало ли это, что и природа их была одной и той же? Из этого предположения напрашивается вывод еще более смелый: так ли уж отличается мир неба от мира Земли? А это уже очень походило на косвенное посягательство на авторитет бога.

Чтобы поддержать идею о единстве мира, надо было придумать механизм действия небесных сил, схожий с каким-то явлением на Земле. И вот французский естествоиспытатель и философ Рене Декарт (1596-1650) выдвигает гипотезу о существовании вихрей в мировом эфире. Подобно тому как знакомые всем вихри на Земле увлекают в своем движении пыль и сухие листья, могучие вихри эфира вовлекают в свое движение небесные тела. Гипотеза Декарта давала очень наглядную картину и пользовалась в свое время большой популярностью. Но и в ней ни слова не говорилось о том, какая это сила, - вихри, и все. Правда, многие догадывались о том, что главную роль здесь должны играть силы притяжения. Существовала очень любопытная гипотеза итальянского натуралиста Джованни Борелли (1608-1679). Одно время он изучал движение спутников Юпитера и пришел к выводу, что движение небесных тел объясняется взаимодействием двух сил: одной - направленной к центру вращения, и другой - от центра. Предположим, рассуждал Борелли, что планета находится на таком расстоянии от Солнца и движется с такой скоростью, что стремление от центра (сегодня мы называем его «центробежной силой») меньше силы притяжения. Тогда планета начнет приближаться к светилу по спирали, пока обе силы не уравновесятся. Но вот по инерции, открытой Галилеем, планета проскочила нейтральную орбиту и подошла к Солнцу ближе положенного. Тогда сохранившаяся скорость движения заставит центробежную силу преодолеть притяжение. И планета снова начнет удаляться от светила по спирали...

В гипотезе Борелли нет ни строчки математических доказательств. Он просто предполагает существование силы притяжения и из нее логически выводит криволинейное движение планеты.

Ньютон знал об этой гипотезе. Но отсутствие математики, отсутствие количественного анализа его не удовлетворяло. «Гипотез не изобретаю», - любил повторять английский ученый. Он только кратко формулировал результаты наблюдаемого действия. И эти формулировки, выведенные с помощью логики и математических расчетов, становились законами.

Работая над вопросами тяготения, Ньютон много внимания уделял теории движения Луны. Это очень сложная математическая задача, решить которую сначала нужно было принципиально. «Что удерживает Луну от падения на Землю и какая сила движет ею по орбите?» Ученый думал упорно и в конце концов понял, что никакой силы для движения тела в пустоте прилагать не нужно. Ведь именно это следует из первого закона движения Галилея. Если на тело не действует никакая сила, то оно продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Правда, в законе речь идет о прямолинейном движении. А Луна и планеты движутся криволинейно. Значит, сила нужна не для того, чтобы планеты двигались вообще, а лишь для того, чтобы искривить траекторию их движения! Что же это за сила? Откуда она взялась и чему равна? Не попробовать ли применить к полету по орбите второй закон движения: сила пропорциональна произведению массы на ускорение? Орбита Луны и других планет - почти окружность. Ускорение же равномерного движения по окружности всегда направлено к центру по радиусу и равно квадрату скорости, разделенному на этот радиус (v ²/R ). Тогда и сила должна иметь направление по радиусу к центру орбиты. То есть Луна в своем движении вокруг Земли должна постоянно испытывать ускорение в сторону нашей планеты. Иначе говоря, двигаясь свободно, прямолинейно в пространстве, Луна все время под действием какой-то силы падает на Землю. Падает, но никак не может упасть. Потому что в каждый последующий момент она, падая с прямолинейного пути, пролетает такое расстояние, что снова и снова оказывается на орбите. Так, как это показано на рисунке. А откуда берется эта сила? Вот тут-то и пришла очередь яблока.

Если Земля притягивает яблоко, заставляя его падать на поверхность планеты, то чем Луна хуже яблока? И Ньютон предположил, что именно тяжесть или - более привычно - вес Луны удерживает ее на орбите, не дает улететь в пространство. Дальше ход его рассуждений шел примерно в таком направлении: если бы Луна находилась, как яблоко, совсем близко к поверхности Земли, ускорение свободного падения у нее было бы такое же, как у яблока. То есть примерно 9,81 м/сек ². Но Луна - дальше. Какое же ускорение должна она иметь на своей орбите?.. Тут нужно было посчитать! Но для точных расчетов требовались и точные сведения об орбите Луны, о периоде ее обращения... Ньютон же наблюдениями не занимался. Приходилось обращаться с просьбами к королевскому астроному Флемстиду, который как раз в это время скрупулезно наблюдал движение нашего спутника. Однако упрямый и желчный королевский астроном вовсе не был намерен потакать «причудам мистера Ньютона», как он неоднократно выражался. Это приводило к осложнениям и неприятным спорам. Ньютон споров не любил. И тем не менее буквально ни один его самостоятельный научный шаг не обходился без дискуссии.

Вопросы связи силы тяжести с законами Кеплера стояли в центре внимания всего ученого общества того времени и вызывали к себе весьма ревнивое отношение со стороны многих джентльменов.

Однажды астроном Галлей встретился в лондонской кофейне с архитектором Реном - строителем знаменитого собора святого Павла в Лондоне - и Робертом Гуком, физиком, математиком, экспериментатором и теоретиком, которого вечно обуревали тысячи идей и ни одну из них он не доводил до конца. Разговор зашел о науке, о научных проблемах. Оказалось, что все трое отдали немало времени и сил одной и той же задаче - доказательству, что под действием силы тяжести, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояний, движение небесных тел должно совершаться по эллиптическим орбитам. Но никто успехом похвастаться не мог. Тогда Рен, самый богатый из всех троих, чисто в английском вкусе, предложил на пари выплатить премию тому, кто решит проблему.

Как-то, зайдя к Ньютону, Галлей рассказал тому о споре и о пари, заключенном в кофейне. А когда через некоторое время случай снова привел молодого астронома в Кембридж, Ньютон сообщил ему, что решение задачи у него в руках. И ровно через месяц Галлей получил от Ньютона рукопись краткого мемуара с объяснением решения. По просьбе Ньютона мемуар этот не был напечатан в журнале Королевского общества, но его зарегистрировали на случай споров о приоритете.

Естественно, мы не можем восстановить все детали сложного логического пути, которым Ньютон пришел к закону всемирного тяготения. Но если вы любите математику, то можете попробовать самостоятельно разобраться в ходе конечных рассуждений великого физика. Для этого подведем краткий итог того, что было известно.

1. Ньютон знал примерное расстояние от Земли до Луны - шестьдесят земных радиусов.

2. Известно ему было и ускорение свободного падения тела у поверхности Земли - 9,81 м/сек ².

3. Знал он и замечательные законы Кеплера и Галилея.

4. Наконец, идея того, что тяготение между двумя небесными телами должно быть обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, витала в воздухе.

Вряд ли можно проследить точно тот путь, по которому мысль гения стремится к поставленной перед собой цели. Но попробуем вывести закон всемирного тяготения, используя только те данные, которые были известны Ньютону.

Итак, прежде всего некоторое допущение, для упрощения расчетов. Вы помните, что Кеплер доказал: орбиты планет - эллипсы. Но эллипсы с очень незначительными эксцентриситетами. Поэтому, ради простоты, примем их за окружности с Солнцем, расположенным точно в центре. И рассмотрим движение какой-то планеты, делающей один оборот по круговой орбите.

Прежде всего вспомним несколько формул из курса физики: скорость движения V прямо пропорциональна пути и обратно пропорциональна времени движения: V = S /T . Здесь путь планеты S (ее орбита) равен длине окружности S = 2πR . А время движения T есть время одного оборота (или период обращения). R - радиус-расстояние от планеты до Солнца. Подставив введенные обозначения, мы получим скорость движения планеты по орбите в виде формулы: V = 2πR /T .

Теперь найдем ускорение, которое испытывает наша планета, двигаясь по круговой орбите: a = 2πV /T .

Объединив два последних уравнения, получим формулу для ускорения в виде: a = 4π²R /T ².

Вот когда можно переходить к главной задаче - искать выражение для силы F , создающей найденное нами ускорение a .

Согласно закону, выведенному самим Ньютоном, сила равна произведению ускорения тела на его массу m 1 ; F = a ·m 1 . Подставив в эту формулу выражение для полученного нами ускорения, мы получим: F = (4π²R /T ²) ·m 1 . Чтобы исключить из уравнения период и выразить силу только через массу и расстояние, Ньютон использовал третий закон Кеплера, гласящий, что квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца. Что на языке математики имеет вид: R 1 3 /R 2 3 = T 1 2 /T 2 2 . Из этого закона легко понять, что отношение куба расстояния к квадрату периода обращения - величина постоянная. Обозначим ее k , тогда: R 1 3 /T 1 2 = k , или T ² = R 1 3 /k . Выражение T ² подставим в уравнение для силы притяжения: F = 4π²k (m 1 /R 1 2)). Мы получили математическое выражение закона обратных квадратов. Но это еще не закон всемирного тяготения. Еще нужно решить, что представляет собой множитель k .

Из третьего закона Кеплера видно, что величина этого множителя одна и та же для любой планеты, обращающейся вокруг Солнца. Значит, и зависеть этот коэффициент может только от Солнца как центрального тела системы. Тогда силу притяжения между Солнцем и нашей планетой с массой m 1 можно выразить тем же уравнением, но с солнечным коэффициентом k⊙:F = (4π²k ⊙/R 1 2)·m 1 .

Ньютон первым предположил, что величина 4π²k ⊙ пропорциональна массе Солнца, скажем, так: 4π²k ⊙ = Gm ⊙, где m ⊙ - масса Солнца, а G - коэффициент пропорциональности.

Таким образом, уравнение взаимного притяжения между Солнцем и выбранной нами планетой будет иметь вид: F 1 = G ((m ⊙·m 1)/R 1 2). Точно так же для Солнца и Земли: F 2 = G ((m ⊙·m ⊕)/R ⊕ 2).

Но чем отличается, например, система Солнце - Земля от системы Земля - Луна? В принципе ничем. То же центральное тело, вокруг которого обращается другое небесное тело. Значит, для системы Земля - Луна тоже должно быть справедливо уравнение, выведенное раньше.

Только массы и расстояния нужно подставить в него другие...

Наконец наступила пора перейти к закону всемирного тяготения и написать его в общем виде для любых двух тел во Вселенной: F = G ((m 1 ·m 2)/R 2).

Вот какой примерно путь нужно было проделать только формально, чтобы, имея под рукой готовые формулы и точно зная направление, сформулировать величайший фундаментальный закон природы.

Зная расстояние от Земли до Луны и ускорение силы тяжести на поверхности нашей планеты, Ньютон нашел ускорение Луны. Сравнив его с точными наблюдениями Флемстида, он убедился, что его результат весьма близок к истине.

Год спустя после появления мемуара «О движении», в большой степени благодаря убеждениям и уговорам Галлея, появилась сначала рукопись, а затем и первая книга манускрипта, названного Ньютоном «Математические начала натуральной философии».

Сэр Исаак разработал руду, которую я откопал, - ядовито, хотя и не без горечи заметил Флемстид.

Если он откопал руду, то я смастерил из нее золотое кольцо, - отпарировал Ньютон, который, несмотря на нелюбовь к спорам, еще меньше любил, когда о его работе отзывались без должного уважения и последнее слово в дискуссии оставалось за противником.

Ньютоновские «Начала» были удивительной книгой. «По убедительности аргументации, подкрепленной физическими доказательствами, книга эта не имеет себе равных во всей истории науки, - пишет Джон Бернал. - В математическом отношении ее можно сравнить только с «Элементами» Евклида, а по глубине физического анализа и влиянию на идеи того времени - только с «Происхождением видов» Дарвина».

Решающий вывод о том, что сила, заставляющая тела падать на Землю, и сила, заставляющая Луну обращаться вокруг нашей планеты, одна и та же, имел большое философское значение.

Три основных закона механики и закон всемирного тяготения оказались универсальными для Земли и для неба. Это еще раз подчеркивало единство мира, который некогда делился философами на две несовместимые части - земную и небесную.

Принципы Ньютона без дополнительных условий, гипотез и допущений объясняли движения тел в космосе и на Земле. И все-таки теория всемирного тяготения не сразу завоевала всеобщее признание. Во Франции, да и в самой Англии, еще долгое время пользовались учебниками, построенными на взглядах Декарта.

В заключение можно сказать, что скорее Луна, а не знаменитое яблоко, подтолкнула мысль Ньютона к созданию теории тяготения. Но только «подтолкнула», потому что одна лишь теория движения Луны дать закон ВСЕМИРНОГО тяготения не могла. Она была бы недостаточно убедительной. Следовало распространить выведенный закон и на остальные небесные тела. Но для этого надо было доказать, что планеты удерживает на орбитах та же сила. Исходя из гипотезы о всемирном притяжении Ньютон математически строго вывел законы Кеплера и подтвердил стройную кеплеровскую картину мироздания. Отныне одним и тем же законам подчинялись и планеты, и их спутники, даже редкие гости - «вестники ужаса» - кометы. Отныне все небесные тела двигались по единой рациональной схеме.

Согласитесь, дорогой читатель, что большего требовать от человека, даже такого, как Ньютон, невозможно.

Исследуя движение Луны, он пришел к выводу, что на нее действует не только земное притяжение. Многие силы отклоняли ее с пути равномерного кругового движения. Так, при новолунии наш спутник на расстояние диаметра орбиты ближе к Солнцу, чем при полнолунии. Значит, сила солнечного притяжения меняется, и это ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Кроме того, зимой Земля ближе к Солнцу, чем летом. Это тоже влияет на скорость движения Луны, но уже с годичным периодом.

Изменение солнечного притяжения меняет эллиптичность лунной орбиты, отклоняет ее плоскость, заставляя ее медленно вращаться.

Разработать теорию движения Луны полностью, во всех деталях, то есть рассчитать траекторию нашего спутника с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца, чрезвычайно трудно. Это знаменитая в истории астрономии «проблема трех тел»... Задача, сыгравшая огромную роль в развитии и становлении теоретической «астрономии тяготения», превратившейся в широкую отрасль науки, называемую «небесной механикой».

Открыть свои замечательные законы движения планет удалось Кеплеру лишь потому, что масса Солнца во много раз больше массы всех планет (примерно в 750 раз). Поэтому влияние планет друг на друга несравнимо меньше, чем влияние центрального светила. Фактически, в первом приближении, рассматривать движение каждой планеты можно вообще не обращая внимания на существование остальных членов солнечного семейства. Только планета и Солнце, и тогда это - «задача двух тел», решение которой относительно несложно.

Слово «относительно» здесь не случайно, потому что вы, наверное, помните, что Кеплер, решив задачу практически, так и не смог объяснить, почему небесные тела движутся по эллиптическим орбитам. Ньютон заново четко сформулировал условия «задачи двух тел» и очень изящно решил ее. Он доказал, что «под действием силы взаимного тяготения, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, одно тело будет описывать вокруг другого конические сечения - эллипс, параболу или гиперболу, в зависимости от начальной скорости».

Решение Ньютона приближенное. Стоит добавить в условия влияние третьего тела, как задача неимоверно усложнится. Ньютон первым понял это, и именно ему принадлежит честь формулировки «задачи трех тел». Однако решить ее не смог даже он.

Немало людей бралось за нее в дальнейшем, но лишь в 1912 году финскому математику Сундману удалось получить впервые решение «задачи трех тел» в виде так называемых бесконечных рядов. К сожалению, это сложное теоретическое решение почти ничего не дает практике. Между тем сегодня, в век развития космонавтики, «задача трех тел» приобретает особое значение. И, судя по успехам полетов советских автоматических межпланетных станций, вы понимаете, что она решается, и решается неплохо. Но достигается это большим трудом и только с помощью таких замечательных помощников человека, как электронные счетные машины.

Решил Ньютон и другую, чрезвычайно интересную задачу. Он сравнил силу притяжения одних тел другими с силой притяжения Луны Землей и узнал, например, во сколько раз Солнце или Юпитер тяжелее Земли. Он оценил массы Солнца и всех известных ему планет и их спутников в единицах массы нашей планеты! Это было замечательным достижением гениального ученого.

Не все идеи Ньютона получали безоговорочное признание. Интересен спор, который возник между английскими и французскими астрономами по поводу формы Земли. Начался он с того, что в 1671 году французская астрономическая экспедиция отправилась к экватору, чтобы в условиях темного безоблачного неба наблюдать звезды. Но славу экспедиции принесло другое, совершенно случайное открытие. Для измерений времени при наблюдениях астроном Рише - один из членов экспедиции - захватил с собой из Франции маятниковые часы. Прибыв в Кайенну, Рише заметил, что часы стали отставать в сутки на две минуты. Пришлось укоротить маятник. Однако по возвращении в Париж часы «побежали», опережая истинное время опять на две минуты. Рише задумался и пришел к выводу, что на экваторе центробежная сила уменьшает тяготение.

Ньютон не мог согласиться с таким утверждением. Зная радиус Земли и скорость ее вращения, центробежную силу трудно вычислить. Она получалась значительно меньшей, чем нужно для объяснения опыта с маятником.

Обдумывая этот вопрос, Ньютон произвел мысленный эксперимент. «Предположим, - говорил он себе, - что у нас есть две шахты. Одна - от полюса к центру Земли, другая - от экватора к центру. Заполним обе шахты водой. Однако, поскольку Земля вращается, на экваторе действует еще и центростремительная сила. Значит, вес воды в экваториальной шахте должен быть больше, чем в полярной. А это значит, что и воды там должно быть больше. Но если обе шахты - от поверхности до центра, следовательно, радиус Земли по экватору должен быть больше радиуса полярного». Ньютон подсчитал разницу и получил примерно 24 километра . Это навело его на мысль, что некогда, на заре возникновения, Земля была пластичной. В результате вращения ее тело сплюснулось...

Примерно в то же время французские астрономы предприняли измерение дуги меридиана. Экспедиции вели работы на разных широтах и в результате пришли к выводу, что Земля не сплюснута у полюсов, а, наоборот, вытянута. Французы вообще довольно долго не признавали взглядов Ньютона, отдавая предпочтение философии своего соотечественника Декарта. В конце концов, разногласия точек зрения зашли так далеко, что вызвали насмешку остроумного Вольтера. Вот что писал он в 1730 году в своих «Письмах из Лондона об английском»:

«Француз, который попадет в Лондон, обнаруживает, что все совершенно изменилось в философии - точно так же, как и во всем другом. Там он оставил заполненный мир, здесь - нашел его пустым. В Париже вы видели Вселенную, наполненную круговыми вихрями из тончайшей материи, в Лондоне вы ничего этого не видите. У французов давление Луны вызывает приливы на море, у англичан море притягивается к Луне...

Кроме того, вы можете заметить, что Солнце, которое во Франции в это дело не вмешивается, здесь вносит в него свою четвертую часть. У картезианцев все происходит благодаря давлению, которое, правда, само непонятно. У месье Ньютона все происходит благодаря притяжению, причина которого известна ничуть не лучше. В Париже Земле придают форму дыни, в Лондоне она сплюснута у полюсов».

Впрочем, этот сарказм не помешал Вольтеру в специальном сочинении «Элементы философии Ньютона» блестяще рассказать о сути ньютоновской теории и стать горячим пропагандистом идей Ньютона у себя на родине.

Для разрешения споров о форме нашей планеты понадобились новые тщательные исследования и измерения Земли. Французская академия снарядила две новые экспедиции. Одну - в Перу, другую - в Лапландию. Результаты их работ подтвердили правоту Ньютона.

С помощью таких же рассуждений доказал Ньютон и сплюснутость Юпитера. Более того, поскольку гигантская планета вращается быстрее Земли, то и сжата она у полюсов должна быть сильнее.

Прошло всего четыре года после выхода «Начал» - и это утверждение Ньютона было подтверждено путем наблюдений...

Ньютон занимался и вопросом о «маленьких лунах».

Проделаем еще один мысленный эксперимент. На вершине горы установим пушку и начнем из нее стрелять, посылая снаряды параллельно земной поверхности. Если заряд мал, снаряд летит медленно и падает, как нам кажется, на поверхность по параболе, фокус которой находится близко к вершине горы. На самом же деле траектория падения снаряда - эллипс, второй фокус которого в центре Земли. Различить параболу и эллипс на малом участке траектории очень трудно.

Если увеличить заряд и придать снаряду большую скорость, он полетит вокруг Земли по круговой орбите, наподобие Луны, став спутником нашей планеты. Если начальную скорость полета еще и еще увеличивать, траектория снаряда будет представлять собой последовательно сначала эллипс, с ближайшим фокусом в центре Земли, потом гигантскую параболу и наконец гиперболу. В последнем случае снаряд навсегда покинет Землю и уйдет в космическое пространство. Скорость «убегания» нетрудно рассчитать. И вы, конечно, сами понимаете, насколько такие расчеты важны в наше время.

Примечания

По современным данным разница между экваториальным и полярным радиусами Земли составляет чуть больше 21 километра.

Свои труды Декарт подписывал на латинский манер именем Картезий, потому и называли сторонников его учения - картезианцами.

Ньютон первый установил, что падение камня на Землю, движение планет вокруг Солнца, движение Луны вокруг Земли вызвано силой или гравитационным взаимодействием.

Между телами на расстоянии осуществляется взаимодействие посредством создаваемого ими гравитационного поля. Благодаря целому ряду опытных фактов, Ньютону удалось установить зависимость силы притяжения двух тел от расстояния между ними. Ньютоновский закон, названный законом всемирного притяжения, гласит, что два любых тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Закон называется всемирным или универсальным, так как описывает гравитационное взаимодействие между парой любых тел во Вселенной, которые обладают массой. Силы эти очень слабые, но для них не существует никаких преград.

Закон в буквенном выражении имеет вид:

Сила тяжести

Земной шар всем телам, падающим на Землю, сообщает одинаковое ускорение g = 9,8м/с2, называемое ускорением свободного падения. А это значит, что Земля действует, притягивает, все тела с силой, называемой силой тяжести. Это частный вид сил всемирного тяготения. Сила тяжести равна , зависит от массы тела m, измеряемой в килограммах (кг). Значение g = 9,8м/с2 берется приблизительным, на разных широтах и на разной долготе его значение немного меняется вследствие того, что:

• радиус Земли меняется от полюса к экватору (что приводит к уменьшению значения g на экваторе на 0,18%);
• вызываемый вращением центробежный эффект зависит от географической широты (уменьшает значение на 0,34%).

Невесомость

Предположим, что тело падает под действием силы тяжести. Другие силы на него не действуют. Это движение называется свободным падением. В тот промежуток времени, когда на тело будет действовать только Fтяж, тело будет находиться в невесомости. При свободном падении вес человека исчезает.

Вес это сила, с которой тело растягивает подвес или действует на горизонтальную опору.

Состояние невесомости испытывает парашютист во время прыжка, человек во время прыжка с трамплина, пассажир самолета падающий в воздушную яму. Невесомость мы ощущаем лишь в течение очень малого времени, всего несколько секунд. А вот космонавты, находящиеся в космическом корабле, который летит по орбите с выключенными двигателями, испытывают невесомость длительное время. Космический корабль находиться в состоянии свободного падения, и тела перестают действовать на опору или подвес – находятся в невесомости.

Искусственные спутники земли

Преодолеть притяжение Земли возможно, если тело будет обладать определенной скоростью. Используя закон тяготения можно определить скорость, при которой тело массой m, обращаясь по круговой орбите вокруг планеты, не упадет на нее и будет ее спутником. Рассмотрим движение тела по окружности вокруг Земли. На тело, действует сила тяготения со стороны Земли. Из второго закона Ньютона имеем:

Так как тело движется по окружности с центростремительным ускорением:

Где r — радиус круговой орбиты, R = 6400 км — это радиус Земли, а h высота над поверхностью Земли, на которой движется спутник. Силу F, действующая на тело массой m равна , где Мз= 5,98*1024кг — масса Земли.
Имеем: . Выражаем скорость, она и будет называться первой космической — это наименьшая скорость, при сообщении которой телу, оно становится искусственным спутником Земли (ИСЗ).

Ее также называют круговой. Принимаем высоту равной 0 и находим эту скорость, она примерно равна:
Она равна скорости ИСЗ, обращающегося вокруг Земли по круговой орбите при отсутствии сопротивления атмосферы.
Из формулы можно увидеть, что скорость спутника не зависит от его массы, а это значит, искусственным спутником может стать любое тело.
Если придать телу большую скорость, то оно преодолеет Земное притяжение.

Второй космической скоростью называется наименьшая скорость, дающая возможность телу без воздействия каких-либо дополнительных сил преодолеть земное притяжение и стать ИСЗ Солнца.

Эту скорость назвали параболической, она соответствует параболической траектории теле в поле тяготения Земли (если отсутствует сопротивление атмосферы). Ее можно вычислить из формулы:

Здесь r – расстояние от центра Земли до места запуска.
У поверхности Земли . Есть и еще одна скорость, имея которую тело может покинуть солнечную систему и бороздить просторы космоса.

Третья космическая скорость, наименьшая скорость, позволяющая космическому кораблю, преодолеть Солнечное притяжение и покинуть Солнечную систему.

Эта скорость

Согласно законам Ньютона, движение тела с ускорением возможно только под действием силы. Т.к. падающие тела движутся с ускорением, направленным вниз, то на них действует сила притяжения к Земле. Но не только Земля обладает свойством действовать на все тела силой притяжения. Исаак Ньютон предположил, что между всеми телами действуют силы притяжения. Эти силы называются силами всемирного тяготения илигравитационными силами.

Распространив установленные закономерности – зависимость силы притяжения тел к Земле от расстояний между телами и от масс взаимодействующих тел, полученные в результате наблюдений,– Ньютон открыл в 1682 г. закон всемирного тяготения :Все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Векторы сил всемирного тяготения направлены вдоль прямой, соединяющей тела. Коэффициент пропорциональности Gназываетсягравитационной постоянной (постоянной всемирного тяготения) и равна

.

Силой тяжести называется сила притяжения, действующая со стороны Земли на все тела:

.

Пусть
– масса Земли, а
– радиус Земли. Рассмотрим зависимость ускорения свободного падения от высоты подъема над поверхностью Земли:

Вес тела. Невесомость

Вес тела – сила, с которой тело давит на опору или подвес вследствие притяжения этого тела к земле. Вес тела приложен к опоре (подвесу). Величина веса тела зависит от того, как движется тело с опорой (подвесом).

Вес тела, т.е. сила, с которой тело действует на опору, и сила упругости, с которой опора действует на тело, в соответствие с третьим законом Ньютона равны по абсолютному значению и противоположны по направлению.

Если тело находится в покое на горизонтальной опоре или равномерно движется, на него действуют только сила тяжести и сила упругости со стороны опоры, следовательно вес тела равен силе тяжести (но эти силы приложены к разным телам):

.

При ускоренном движении вес тела не будет равен силе тяжести. Рассмотрим движение тела массой mпод действием сил тяжести и упругости с ускорением. По 2-му закону Ньютона:

Если ускорение тела направлено вниз, то вес тела меньше силы тяжести; если ускорение тела направлено вверх, то все тела больше силы тяжести.

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой .

Если тело свободно падает, то из формулы * следует, что вес тела равен нулю. Исчезновение веса при движении опоры с ускорением свободного падения называется невесомостью .

Состояние невесомости наблюдается в самолете или космическом корабле при движении их с ускорением свободного падения независимо от скорости их движения. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением; поэтому в корабле наблюдается явление невесомости.

Движение тела под действием сил тяжести. Движение искусственных спутников. Первая космическая скорость

Если модуль перемещения тела много меньше расстояния до центра Земли, то можно считать силу всемирного тяготения во время движения постоянной, а движение тела равноускоренным. Самый простой случай движения тела под действием силы тяжести – свободное падение с нулевой начальной скоростью. В этом случае тело движется с ускорением свободного падения к центру Земли. Если есть начальная скорость, направленная не по вертикали, то тело движется по криволинейной траектории (параболе, если не учитывать сопротивление воздуха).

При некоторой начальной скорости тело, брошенное по касательной к поверхности Земли, под действием силы тяжести при отсутствии атмосферы может двигаться по окружности вокруг Земли, не падая на нее и не удаляясь от нее. Такая скорость называется первой космической скоростью , а тело, движущееся таким образом –искусственным спутником Земли (ИСЗ) .

Определим первую космическую скорость для Земли. Если тело под действием силы тяжести движется вокруг Земли равномерно по окружности, то ускорение свободного падения является его центростремительным ускорением:

.

Отсюда первая космическая скорость равна

.

Первая космическая скорость для любого небесного тела определяется таким же образом. Ускорение свободного падения на расстоянии R от центра небесного тела можно найти, воспользовавшись вторым законом Ньютона и законом всемирного тяготения:

.

Следовательно, первая космическая скорость на расстоянии R от центра небесного тела массойM равна

.

Для запуска на околоземную орбиту ИСЗ необходимо сначала вывести за пределы атмосферы. Поэтому космические корабли стартуют вертикально. На высоте 200 – 300 км от поверхности Земли, где атмосфера разрежена и почти не влияет на движение ИСЗ, ракета делает поворот и сообщает ИСЗ первую космическую скорость в направлении, перпендикулярном вертикали.

Оби-Ван Кеноби сказал, что сила скрепляет галактику. То же самое можно сказать и о гравитации. Факт – гравитация позволяет нам ходить по Земле, Земле вращаться вокруг Солнца, а Солнцу двигаться вокруг сверхмассивной черной дыры в центре нашей галактики. Как понять гравитацию? Об этом - в нашей статье.

Сразу скажем, что вы не найдете здесь однозначно верного ответа на вопрос «Что такое гравитация». Потому что его просто нет! Гравитация – одно из самых таинственных явлений, над которым ученые ломают голову и до сих пор полностью не могут объяснить его природу.

Есть множество гипотез и мнений. Насчитывается более десятка теорий гравитации, альтернативных и классических. Мы рассмотрим самые интересные, актуальные и современные.

Хотите больше полезной информации и свежих новостей каждый день? Присоединяйтесь к нам в телеграм .

Гравитация – физическое фундаментальное взаимодействие

Всего в физике 4 фундаментальных взаимодействия. Благодаря им мир является именно таким, какой он есть. Гравитация – одно из этих взаимодействий.

Фундаментальные взаимодействия:

• гравитация;
• электромагнетизм;
• сильное взаимодействие;
• слабое взаимодействие.

На текущий момент действующей теорией, описывающей гравитацию, является ОТО (общая теория относительности). Она была предложена Альбертом Эйнштейном в 1915-1916 годах.

Однако мы знаем, что об истине в последней инстанции говорить рано. Ведь несколько веков до появления ОТО в физике для описания гравитации главенствовала Ньютоновская теория, которая была существенно расширена.

В рамках ОТО на данный момент нельзя объяснить и описать все вопросы, связанные с гравитацией.

До Ньютона было широко распространено мнение, что гравитация на земле и небесная гравитация – разные вещи. Считалось, что планеты движутся по своим, отличным от земных, идеальным законам.

Ньютон открыл закон всемирного тяготения в 1667 году. Конечно, этот закон существовал еще при динозаврах и намного раньше.

Античные философы задумывались над существованием силы тяготения. Галилей экспериментально рассчитал ускорение свободного падения на Земле, открыв, что оно одинаково для тел любой массы. Кеплер изучал законы движения небесных тел.

Ньютону удалось сформулировать и обобщить результаты наблюдений. Вот что у него получилось:

Два тела притягиваются друг к другу с силой, называемой гравитационной силой или силой тяготения.

Формула силы притяжения между телами:

G – гравитационная постоянная, m – массы тел, r – расстояние между центрами масс тел.

Каков физический смысл гравитационной постоянной? Она равна силе, с которой действуют друг на друга тела с массами в 1 килограмм каждое, находясь на расстоянии в 1 метр друг от друга.

По теории Ньютона, каждый объект создает гравитационное поле. Точность закона Ньютона была проверена на расстояниях менее одного сантиметра. Конечно, для малых масс эти силы незначительны, и ими можно пренебречь.

Формула Ньютона применима как для расчету силы притяжения планет к солнцу, так и для маленьких объектов. Мы просто не замечаем, с какой силой притягиваются, скажем, шары на бильярдном столе. Тем не менее эта сила есть и ее можно рассчитать.

Сила притяжения действует между любыми телами во Вселенной. Ее действие распространяется на любые расстояния.

Закон всемирного тяготения Ньютона не объясняет природы силы притяжения, но устанавливает количественные закономерности. Теория Ньютона не противоречит ОТО. Ее вполне достаточно для решения практических задач в масштабах Земли и для расчета движения небесных тел.

Гравитация в ОТО

Несмотря на то, что теория Ньютона вполне применима на практике, она имеет ряд недостатков. Закон всемирного тяготения является математическим описанием, но не дает представления о фундаментальной физической природе вещей.

Согласно Ньютону, сила притяжения действует на любых расстояниях. Причем действует мгновенно. Учитывая, что самая большая скорость в мире – скорость света, выходит несоответствие. Как гравитация может мгновенно действовать на любые расстояниях, когда для их преодоления свету нужно не мгновение, а несколько секунд или даже лет?

В рамках ОТО гравитация рассматривается не как сила, которая действует на тела, но как искривление пространства и времени под действием массы. Таким образом гравитация – не силовое взаимодействие.

Каково действие гравитации? Попробуем описать его с использованием аналогии.

Представим пространство в виде упругого листа. Если положить на него легкий теннисный мячик, поверхность останется ровной. Но если рядом с мячиком положить тяжелую гирю, она продавит на поверхности ямку, и мячик начнет скатываться к большой и тяжелой гире. Это и есть «гравитация».

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Открытие гравитационных волн

Гравитационные волны были предсказаны Альбертом Эйнштейном еще в 1916 году, но открыли их только через сто лет, в 2015.

Что такое гравитационные волны? Снова проведем аналогию. Если бросить камень в спокойную воду, от места его падения по поверхности воды пойдут круги. Гравитационные волны – такая же рябь, возмущение. Только не на воде, а в мировом пространстве-времени.

Вместо воды – пространство-время, а вместо камня, скажем, черная дыра. Любое ускоренное передвижение массы порождает гравитационную волну. Если тела находятся в состоянии свободного падения, при прохождении гравитационной волны расстояние между ними изменится.

Так как гравитация – очень слабое взаимодействие, обнаружение гравитационных волн было связано с большими техническими трудностями. Современные технологии позволили обнаружить всплеск гравитационных волн только от сверхмассивных источников.

Подходящее событие для регистрации гравитационной волны - слияние черных дыр. К сожалению или к счастью, это происходит достаточно редко. Тем не менее ученым удалось зарегистрировать волну, которая буквально раскатилась по пространству Вселенной.

Для регистрации гравитационных волн был построен детектор диаметром 4 километра. При прохождении волны регистрировались колебания зеркал на подвесах в вакууме и интерференция света, отраженного от них.

Гравитационные волны подтвердили справедливость ОТО.

Гравитация и элементарные частицы

В стандартной модели за каждое взаимодействие отвечают определенные элементарные частицы. Можно сказать, что частицы являются переносчиками взаимодействий.

За гравитацию отвечает гравитон – гипотетическая безмассовая частица, обладающая энергией. Кстати, в нашем отдельном материале читайте подробнее о наделавшем много шума бозоне Хиггса и других элементарных частицах.

Напоследок приведем несколько любопытных фактов о гравитации.

10 фактов о гравитации

1. Чтобы преодолеть силу гравитации Земли, тело должно иметь скорость, равную 7,91 км/с. Это первая космическая скорость. Ее достаточно, чтобы тело (например, космический зонд) двигалось по орбите вокруг планеты.
2. Чтобы вырваться из гравитационного поля Земли, космический корабль должен иметь скорость не менее 11,2 км/с. Это вторая космическая скорость.
3. Объекты с наиболее сильной гравитацией – черные дыры. Их гравитация настолько велика, что они притягивают даже свет (фотоны).
4. Ни в одном уравнении квантовой механики вы не найдете силы гравитации. Дело в том, что при попытке включения гравитации в уравнения, они теряют свою актуальность. Это одна из самых важных проблем современной физики.
5. Слово гравитация происходит от латинского “gravis”, что означает “тяжелый”.
6. Чем массивнее объект, тем сильнее гравитация. Если человек, который на Земле весит 60 килограмм, взвесится на Юпитере, весы покажут 142 килограмма.
7. Ученые NASA пытаются разработать гравитационный луч, который позволит перемещать предметы бесконтактно, преодолевая силу притяжения.
8. Астронавты на орбите также испытывают гравитацию. Точнее, микрогравитацию. Они как бы бесконечно падают вместе с кораблем, в котором находятся.
9. Гравитация всегда притягивает и никогда не отталкивает.
10. Черная дыра, размером с теннисный мяч, притягивает объекты с той же силой, что и наша планета.

Теперь вы знаете определение гравитации и можете сказать, по какой формуле рассчитывается сила притяжения. Если гранит науки придавливает вас к земле сильнее, чем гравитация, обращайтесь в наш студенческий сервис . Мы поможем учиться легко при самых больших нагрузках!

В природе существуют различные силы, которые характеризуют взаимодействие тел. Рассмотрим те силы, которые встречаются в механике.

Гравитационные силы. Вероятно, самой первой силой, существование которой осознал человек, являлась сила притяжения, действующая на тела со стороны Земли.

И потребовались многие века для того, чтобы люди поняли, что сила тяготения действует между любыми телами. И потребовались многие века для того, чтобы люди поняли, что сила тяготения действует между любыми телами. Первым этот факт понял английский физик Ньютон. Анализируя законы, которым подчиняется движение планет (законы Кеплера), он пришёл к выводу, что наблюдаемые законы движения планет могут выполняться только в том случае, если между ними действует сила притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения . Любые два тела притягиваются друг к другу. Сила притяжения между точечными телами направлена по прямой, их соединяющей, прямо пропорциональна массам обоих и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Под точечными телами в данном случае понимают тела, размеры которых во много раз меньше расстояния между ними.

Силы всемирного тяготения называют гравитационными силами. Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. Его значение было определено экспериментально: G = 6,7 10¯¹¹ Н м² / кг².

Сила тяготения действующая вблизи поверхности Земли, направлена к её центру и вычисляется по формуле:

где g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с²).

Роль силы тяготения в живой природе очень значительна, так как от её величины во многом зависят размеры, формы и пропорции живых существ.

Вес тела. Рассмотрим, что происходит, когда некоторый груз кладут на горизонтальную плоскость (опору). В первый момент после того, как груз опустили, он начинает двигаться вниз под действием силы тяжести (рис. 8).

Плоскость прогибается и возникает сила упругости (реакция опоры), направленная вверх. После того как сила упругости (Fу) уравновесит силу тяжести, опускание тела и прогиб опоры прекратятся.

Прогиб опоры возник под действием тела, следовательно, со стороны тела на опору действует некоторая сила (Р), которую называют весом тела (рис. 8, б). По третьему закону Ньютона вес тела равен по величине силе реакции опоры и направлен в противоположную сторону.

Р = - Fу = Fтяж.

Весом тела называют силу Р, с которой тело действует на неподвижную относительно него горизонтальную опору .

Поскольку сила тяжести (вес) приложены к опоре, она деформируется и за счёт упругости оказывает противодействие силе тяжести. Силы, развиваемые при этом со стороны опоры называются силами реакции опоры, а само явление развития противодействия - реакцией опоры. По третьему закону Ньютона сила реакции опоры равна по величине силе тяжести тела и противоположна ему по направлению.

Если человек на опоре движется с ускорением звеньев его тела, направленных от опоры, то сила реакции опоры возрастает на величину ma, где m – масса человека, а – ускорения с которыми движутся звенья его тела. Эти динамические воздействия можно фиксировать с помощью тензометрических устройств (динамограммы).

Вес не следует путать с массой тела. Масса тела характеризует его инертные свойства и не зависит ни от силы тяготения, ни от ускорения, с которым оно движется.

Вес тела характеризует силу, с которой оно действует на опору и зависит как от силы тяготения, так и от ускорения движения.

Например, на Луне вес тела примерно в 6 раз меньше, чем вес тела на Земле, Масса же в обоих случаях одинакова и определяется количеством вещества в теле.

В быту, технике, спорте вес часто указывают не в ньютонах (Н), а в килограммах силы (кгс). Переход от одной единицы к другой осуществляется по формуле: 1 кгс = 9,8 Н.

Когда опора и тело неподвижны, то масса тела равна силе тяжести этого тела. Когда же опора и тело движутся с некоторым ускорением, то в зависимости от его направления тело может испытывать или невесомость или перегрузку. Когда ускорение совпадает по направлению и равно ускорению свободного падения, вес тела будет равен нулю, поэтому возникает состояние невесомости (МКС, скоростной лифт при опускании вниз). Когда же ускорение движения опоры противоположно ускорению свободного падения, человек испытывает перегрузку (старт с поверхности Земли пилотируемого космического корабля, Скоростной лифт, поднимающийся вверх).