Valem n aritmeetiline progressioon. Kuidas leida aritmeetilist progressiooni? Aritmeetilise progressiooni näited koos lahendusega

Paljud inimesed on kuulnud aritmeetilisest progressioonist, kuid kõigil pole head ettekujutust, mis see on. Selles artiklis anname vastava määratluse ja käsitleme ka küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni erinevust, ja toome mitmeid näiteid.

Matemaatiline määratlus

Nii et kui me räägime aritmeetilise või algebralise progressiooni kohta (need mõisted defineerivad sama asja), tähendab see, et on olemas teatud arvurida, mis vastab järgmisele seadusele: jada iga kaks kõrvutiasetsevat arvu erinevad sama väärtuse võrra. Matemaatiliselt on see kirjutatud nii:

Siin tähistab n elemendi a n arvu jadas ja arv d on progressiooni erinevus (selle nimi tuleneb esitatud valemist).

Mida tähendab erinevuse d teadmine? Selle kohta, kui kaugel on naabernumbrid üksteisest. d teadmine on aga vajalik, kuid mitte piisav tingimus kogu progresseerumise määramiseks (taandamiseks). Peate teadma veel ühte numbrit, mis võib olla absoluutselt mis tahes vaadeldava seeria element, näiteks 4, a10, kuid reeglina kasutavad nad esimest numbrit, see tähendab 1.

Progressielementide määramise valemid

Üldiselt on ülaltoodud teave juba piisav, et liikuda konkreetsete probleemide lahendamiseni. Sellegipoolest esitame enne aritmeetilise progressiooni andmist ja selle erinevuse leidmist paar kasulikku valemit, mis hõlbustavad järgnevat ülesannete lahendamise protsessi.

Lihtne on näidata, et jada mis tahes elemendi numbriga n võib leida järgmiselt:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Tõepoolest, igaüks saab seda valemit kontrollida lihtsa otsinguga: kui asendate n = 1, saate esimese elemendi, kui asendate n = 2, siis avaldis annab esimese arvu ja erinevuse summa jne.

Paljude probleemide tingimused on koostatud nii, et kuulus paar numbrid, mille numbrid jadas on samuti antud, on vaja taastada kogu arvuseeria (leia vahe ja esimene element). Nüüd lahendame selle probleemi üldises vormis.

Seega olgu antud kaks elementi numbritega n ja m. Kasutades ülaltoodud valemit, saate luua kahe võrrandi süsteemi:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Tundmatute suuruste leidmiseks kasutame sellise süsteemi lahendamiseks tuntud lihtsat tehnikat: lahutada paarikaupa vasak ja parem pool, võrdus jääb kehtima. Meil on:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Seega oleme välja jätnud ühe tundmatu (a 1). Nüüd saame kirjutada lõpliku avaldise d määramiseks:

d = (a n - a m) / (n - m), kus n > m

Saime väga lihtne valem: erinevuse d arvutamiseks vastavalt ülesande tingimustele peate võtma ainult elementide endi ja nende seerianumbrite erinevuste suhte. Peaks tähelepanu pöörama ühele oluline punkt Tähelepanu: erinevused võetakse “kõrgeima” ja “madalaima” liikme vahel, st n > m (“kõrgeim” tähendab seda, mis asub jada algusest kaugemal, selle absoluutväärtus võib olla suurem või väiksem kui "noorem" element).

Diferentsi d progressiooni avaldis tuleks asendada ülesande lahendamise alguses mis tahes võrrandiga, et saada esimese liikme väärtus.

Meie arvutitehnoloogia arengu ajastul püüavad paljud koolilapsed oma ülesannetele lahendusi leida Internetist, mistõttu tekivad sageli seda tüüpi küsimused: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus Internetist. Sellise päringu puhul tagastab otsingumootor hulga veebilehti, millele minnes tuleb sisestada tingimusest teada olevad andmed (see võib olla kas kaks edenemise liiget või nende teatud arvu summa ) ja saate kohe vastuse. Selline lähenemine probleemi lahendamisele on aga õpilase arengu ja talle pandud ülesande olemuse mõistmise seisukohalt ebaproduktiivne.

Lahendus ilma valemeid kasutamata

Lahendame esimese ülesande ilma ühtegi antud valemit kasutamata. Olgu antud jada elemendid: a6 = 3, a9 = 18. Leia aritmeetilise progressiooni erinevus.

Tuntud elemendid seisavad reas üksteise lähedal. Mitu korda tuleb erinevus d lisada väikseimale, et saada suurim? Kolm korda (esimest korda d lisamisel saame 7. elemendi, teist korda - kaheksanda, lõpuks, kolmandal korral - üheksanda). Millise arvu tuleb kolmele kolm korda lisada, et saada 18? See on number viis. Tõesti:

Seega on tundmatu erinevus d = 5.

Loomulikult oleks võinud lahenduse läbi viia vastava valemi abil, kuid seda ei tehtud tahtlikult. Üksikasjalik selgitus probleemi lahendus peaks saama selgeks ja särav näide Mis on aritmeetiline progressioon?

Eelmisega sarnane ülesanne

Nüüd lahendame sarnase probleemi, kuid muutke sisendandmeid. Seega peaksite leidma, kas a3 = 2, a9 = 19.

Muidugi võite jälle kasutada "peapeale" lahendusmeetodit. Kuid kuna antud seeria elemendid on üksteisest suhteliselt kaugel, pole see meetod päris mugav. Kuid saadud valemi kasutamine viib meid kiiresti vastuseni:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17/6 ≈ 2,83

Siin oleme lõpliku arvu ümardanud. Kui suurel määral see ümardamine viga põhjustas, saab hinnata tulemust kontrollides:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

See tulemus erineb tingimuses antud väärtusest vaid 0,1%. Seetõttu võib sajandikuteni kasutatud ümardamist pidada edukaks valikuks.

Probleemid, mis on seotud termini valemi rakendamisega

Mõelgem klassikaline näideülesanded tundmatu d määramiseks: leidke aritmeetilise progressiooni erinevus, kui a1 = 12, a5 = 40.

Kui on antud kaks tundmatu algebralise jada numbrit ja üks neist on element a 1, siis ei pea kaua mõtlema, vaid kohe rakendama a n liikme valemit. IN sel juhul meil on:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Jagamisel saime täpse arvu, seega pole mõtet arvutatud tulemuse õigsust kontrollida, nagu tehti eelmises lõigus.

Lahendame veel ühe sarnase ülesande: peame leidma aritmeetilise progressiooni erinevuse, kui a1 = 16, a8 = 37.

Kasutame eelmisega sarnast lähenemist ja saame:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Mida peaks veel aritmeetilise progressiooni kohta teadma?

Lisaks tundmatu erinevuse või üksikute elementide leidmise probleemidele on sageli vaja lahendada jada esimeste liikmete summa ülesandeid. Nende probleemide käsitlemine jääb artikli ulatusest välja, kuid teabe täielikkuse huvides esitame üldvalemi n arvude summa kohta seerias:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Algebra õppimisel aastal Põhikool(9. klass) üks olulised teemad on arvujadade uurimine, mis hõlmab progressioone – geomeetrilisi ja aritmeetilisi. Selles artiklis vaatleme aritmeetilist progressiooni ja näiteid lahendustega.

Mis on aritmeetiline progressioon?

Selle mõistmiseks on vaja määratleda kõnealune progress, samuti esitada põhivalemid, mida hiljem probleemide lahendamisel kasutada.

On teada, et mõnes algebralises progressioonis võrdub 1. liige 6-ga ja 7. liige 18-ga. On vaja leida erinevus ja taastada see jada 7. liikmeks.

Kasutame tundmatu liikme määramiseks valemit: a n = (n - 1) * d + a 1 . Asendame sellesse tingimusest teadaolevad andmed ehk arvud a 1 ja a 7, saame: 18 = 6 + 6 * d. Selle avaldise põhjal saate hõlpsalt arvutada erinevuse: d = (18 - 6) /6 = 2. Seega oleme vastanud ülesande esimesele osale.

Jada taastamiseks 7. liikmele peaksite kasutama algebralise progressiooni definitsiooni, st a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d jne. Selle tulemusena taastame kogu jada: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Näide nr 3: progressiooni koostamine

Teeme asja veelgi keerulisemaks tugevam seisundülesandeid. Nüüd peame vastama küsimusele, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Võib tuua järgmise näite: on antud kaks arvu, näiteks - 4 ja 5. Vaja on luua algebraline progressioon, et nende vahele jääks veel kolm liiget.

Enne selle probleemi lahendamise alustamist peate mõistma, millise koha antud numbrid edaspidises progresseerumises hõivavad. Kuna nende vahel on veel kolm liiget, siis a 1 = -4 ja a 5 = 5. Olles selle kindlaks teinud, liigume edasi ülesande juurde, mis on sarnane eelmisele. Jällegi, n-nda liikme jaoks kasutame valemit, saame: a 5 = a 1 + 4 * d. Alates: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. See, mida me siin saame, ei ole erinevuse täisarv, kuid see on ratsionaalarv, seega jäävad algebralise progressiooni valemid samaks.

Nüüd lisame leitud erinevuse 1-le ja taastame progressiooni puuduvad liikmed. Saame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, mis langesid kokku probleemi tingimustega.

Näide nr 4: progresseerumise esimene tähtaeg

Jätkame näidete toomist aritmeetilise progressiooni kohta lahendustega. Kõigis varasemates ülesannetes oli algebralise progressiooni esimene number teada. Vaatleme nüüd teist tüüpi ülesannet: olgu antud kaks arvu, kus a 15 = 50 ja a 43 = 37. Tuleb leida, millise arvuga see jada algab.

Seni kasutatud valemid eeldavad a 1 ja d tundmist. Probleemi avalduses pole nende numbrite kohta midagi teada. Sellegipoolest kirjutame iga termini kohta üles avaldised, mille kohta on saadaval teave: a 15 = a 1 + 14 * d ja a 43 = a 1 + 42 * d. Saime kaks võrrandit, milles on 2 tundmatut suurust (a 1 ja d). See tähendab, et ülesanne taandub lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisele.

Lihtsaim viis selle süsteemi lahendamiseks on väljendada igas võrrandis 1 ja seejärel võrrelda saadud avaldisi. Esimene võrrand: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; teine ​​võrrand: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Neid avaldisi võrdsutades saame: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kust erinevus d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (antud on ainult 3 kohta pärast koma).

Teades d-d, saate 1 jaoks kasutada mis tahes ülaltoodud kahest avaldisest. Näiteks kõigepealt: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Kui kahtlete saadud tulemuses, saate seda kontrollida, näiteks määrata progresseerumise 43. tähtaeg, mis on tingimuses määratud. Saame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Väike viga on tingitud sellest, et arvutustes kasutati ümardamist tuhandikuteni.

Näide nr 5: summa

Vaatame nüüd mitut näidet aritmeetilise progressiooni summa lahendustega.

Las see antakse numbriline progressioon järgmisel kujul: 1, 2, 3, 4, ...,. Kuidas arvutada nende arvude 100 summat?

Tänu arvutitehnoloogia arengule on võimalik see probleem lahendada ehk kõik numbrid järjestikku liita, mida arvuti teeb kohe, kui inimene vajutab Enter klahvi. Probleemi saab aga vaimselt lahendada, kui pöörata tähelepanu sellele, et esitatud arvude jada on algebraline progressioon ja selle erinevus võrdub 1-ga. Rakendades summa valemit, saame: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Huvitav on märkida, et seda probleemi nimetatakse "Gaussiks", kuna in XVIII alguses sajandil suutis kuulus sakslane, olles veel vaid 10-aastane, selle mõne sekundiga oma peas lahendada. Poiss ei teadnud algebralise progressiooni summa valemit, kuid ta märkas, et kui liita jada otstes olevad arvud paarikaupa, saad alati sama tulemuse ehk 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ja kuna need summad on täpselt 50 (100 / 2), siis piisab õige vastuse saamiseks 50 korrutamisest 101-ga.

Näide nr 6: terminite summa n-st m-ni

Teine tüüpiline näide aritmeetilise progressiooni summa kohta on järgmine: kui on antud arvude jada: 3, 7, 11, 15, ..., peate leidma, milline on selle liikmete summa vahemikus 8 kuni 14 .

Probleem lahendatakse kahel viisil. Esimene neist hõlmab tundmatute terminite leidmist vahemikus 8 kuni 14 ja seejärel nende järjestikust summeerimist. Kuna termineid on vähe, pole see meetod päris töömahukas. Sellest hoolimata tehakse ettepanek selle probleemi lahendamiseks kasutada teist meetodit, mis on universaalsem.

Idee on saada valem terminite m ja n vahelise algebralise progressiooni summa kohta, kus n > m on täisarvud. Mõlemal juhul kirjutame summa jaoks kaks avaldist:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kuna n > m, on ilmne, et 2. summa sisaldab esimest. Viimane järeldus tähendab, et kui võtta nende summade vahe ja lisada sellele liige a m (vahe võtmise korral lahutatakse see summast S n), saame ülesandele vajaliku vastuse. Meil on: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Selles avaldises on vaja asendada n ja m valemid. Siis saame: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Saadud valem on mõnevõrra tülikas, kuid summa S mn sõltub ainult n-st, m-st, a 1-st ja d-st. Meie puhul a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Nende arvude asendamisel saame: S mn = 301.

Nagu ülaltoodud lahendustest näha, põhinevad kõik ülesanded n-nda liikme avaldise ja esimeste liikmete hulga summa valemi tundmisel. Enne nende probleemide lahendamise alustamist on soovitatav tingimus hoolikalt läbi lugeda, selgelt mõista, mida peate leidma, ja alles seejärel jätkata lahendusega.

Teine näpunäide on püüelda lihtsuse poole, see tähendab, et kui saate küsimusele vastata ilma keerulisi matemaatilisi arvutusi kasutamata, peate seda tegema, kuna sel juhul on eksimise tõenäosus väiksem. Näiteks aritmeetilise progressiooni näites lahendusega nr 6 võiks peatuda valemiga S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m ja jaga üldülesanne eraldi alamülesanneteks (sel juhul leia esmalt terminid a n ja a m).

Kui kahtlete saadud tulemuse suhtes, on soovitatav seda kontrollida, nagu tehti mõnes toodud näites. Saime teada, kuidas leida aritmeetilist progressiooni. Kui sa sellest aru saad, pole see nii keeruline.

Mõned inimesed suhtuvad sõnasse "edenemine" ettevaatusega kui väga keerukasse terminisse kõrgema matemaatika harudest. Vahepeal on lihtsaim aritmeetiline progressioon taksomeetri töö (kus need veel olemas on). Ja aritmeetilise jada olemuse mõistmine (ja matemaatikas pole midagi tähtsamat kui "olemuse mõistmine") polegi nii keeruline, kui analüüsinud mõnda elementaarset mõistet.

Matemaatiline numbrijada

Numbrijada nimetatakse tavaliselt numbrite jadaks, millest igaühel on oma number.

a 1 on jada esimene liige;

ja 2 on jada teine ​​liige;

ja 7 on jada seitsmes liige;

ja n on jada n-s liige;

Kuid mitte ükski suvaline arvude ja arvude kogum ei huvita meid. Keskendume oma tähelepanu arvulisele jadale, milles n-nda liikme väärtus on seotud tema järjekorranumbriga matemaatiliselt selgelt formuleeritava seosega. Teisisõnu: n-nda arvu arvväärtus on mingi n-i funktsioon.

a on arvjada liikme väärtus;

n on selle seerianumber;

f(n) on funktsioon, kus järjekorraarv arvjadas n on argument.

Definitsioon

Aritmeetiliseks progressiooniks nimetatakse tavaliselt arvjada, milles iga järgnev liige on sama arvu võrra suurem (väiksem) kui eelmine liige. Aritmeetilise jada n-nda liikme valem on järgmine:

a n - aritmeetilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

a n+1 - järgmise arvu valem;

d - erinevus (teatud arv).

Lihtne on kindlaks teha, et kui erinevus on positiivne (d>0), siis iga järgmine vaadeldava jada liige on suurem kui eelmine ja selline aritmeetiline progressioon on kasvav.

Alloleval graafikul on lihtne mõista, miks numbrijada nimetatakse "kasvavaks".

Juhtudel, kui erinevus on negatiivne (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Määratud liikme väärtus

Mõnikord on vaja määrata aritmeetilise progressiooni suvalise liikme a n väärtus. Seda saab teha, arvutades järjestikku aritmeetilise progressiooni kõigi liikmete väärtused, alustades esimesest kuni soovitud. See tee ei ole aga alati vastuvõetav, kui on vaja leida näiteks viietuhandik või kaheksamiljondikliikme väärtus. Traditsioonilised arvutused võtavad palju aega. Konkreetset aritmeetilist progressiooni saab aga uurida teatud valemite abil. Samuti on olemas valem n-nda liikme jaoks: aritmeetilise progressiooni mis tahes liikme väärtuse saab määrata progressiooni esimese liikme summana progressiooni erinevusega, korrutatuna soovitud liikme arvuga, mis on vähendatud üks.

Valem on universaalne progresseerumise suurendamiseks ja vähendamiseks.

Näide antud termini väärtuse arvutamisest

Lahendame järgmise aritmeetilise progressiooni n-nda liikme väärtuse leidmise ülesande.

Tingimus: on aritmeetiline progressioon parameetritega:

Jada esimene liige on 3;

Arvuridade erinevus on 1,2.

Ülesanne: peate leidma 214 termini väärtuse

Lahendus: antud termini väärtuse määramiseks kasutame valemit:

a(n) = a1 + d(n-1)

Asendades probleemiavalduse andmed avaldisesse, saame:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Vastus: jada 214. liige on võrdne 258,6-ga.

Selle arvutusmeetodi eelised on ilmsed - kogu lahendus ei võta rohkem kui 2 rida.

Teatud arvu terminite summa

Väga sageli on antud aritmeetilises seerias vaja kindlaks määrata mõne selle segmendi väärtuste summa. Selleks pole vaja ka iga termini väärtusi arvutada ja neid seejärel kokku liita. See meetod on rakendatav, kui terminite arv, mille summat on vaja leida, on väike. Muudel juhtudel on mugavam kasutada järgmist valemit.

Aritmeetilise progressiooni liikmete summa 1-st n-ni võrdub esimese ja n-nda liikme summaga, mis on korrutatud liikme arvuga n ja jagatud kahega. Kui valemis asendatakse n-nda liikme väärtus artikli eelmise lõigu avaldisega, saame:

Arvutamise näide

Näiteks lahendame probleemi järgmiste tingimustega:

Jada esimene liige on null;

Vahe on 0,5.

Probleem nõuab seeria tingimuste summa määramist vahemikus 56 kuni 101.

Lahendus. Kasutame progresseerumise suuruse määramiseks valemit:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Esiteks määrame progressiooni 101 liikme väärtuste summa, asendades meie probleemi antud tingimused valemiga:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Ilmselt tuleb 56.-st 101.-ni progresseerumise liikmete summa väljaselgitamiseks lahutada S 101-st S 55.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Seega on selle näite aritmeetilise progressiooni summa:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Näide aritmeetilise progressiooni praktilisest rakendamisest

Artikli lõpus pöördume tagasi esimeses lõigus toodud aritmeetilise jada näite juurde - taksomeeter (taksoauto arvesti). Vaatleme seda näidet.

Takso (sisaldab 3 km sõitu) istumine maksab 50 rubla. Iga järgnev kilomeeter makstakse 22 rubla/km. Sõidukaugus on 30 km. Arvutage reisi maksumus.

1. Loobume esimesed 3 km, mille hind sisaldub maandumise hinnas.

30 - 3 = 27 km.

2. Edasine arvutamine ei ole midagi muud kui aritmeetilise numbrirea sõelumine.

Liikmenumber – läbitud kilomeetrite arv (miinus kolm esimest).

Liikme väärtus on summa.

Selle ülesande esimene liige on 1 = 50 rubla.

Progressi erinevus d = 22 r.

meid huvitav number on aritmeetilise progressiooni (27+1) liikme väärtus - meetri näit 27. kilomeetri lõpus on 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Suvaliselt pika perioodi kalendriandmete arvutused põhinevad teatud arvjadasid kirjeldavatel valemitel. Astronoomias on orbiidi pikkus geomeetriliselt sõltuv taevakeha kaugusest tähest. Lisaks kasutatakse erinevaid arvuridu edukalt statistikas ja muudes matemaatika rakendusvaldkondades.

Teine numbrijada tüüp on geomeetriline

Geomeetrilist progressiooni iseloomustavad suuremad muutused võrreldes aritmeetilise progressiooniga. Pole juhus, et poliitikas, sotsioloogias ja meditsiinis öeldakse, et protsess areneb geomeetrilises progressioonis, et näidata konkreetse nähtuse, näiteks haiguse epideemia ajal suurt leviku kiirust.

Geomeetrilise arvu jada N liige erineb eelmisest selle poolest, et see on korrutatud mingi konstantse arvuga - nimetaja, näiteks esimene liige on 1, nimetaja on vastavalt võrdne 2-ga, siis:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n = 5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geomeetrilise progressiooni praeguse liikme väärtus;

b n+1 - geomeetrilise progressiooni järgmise liikme valem;

q on geomeetrilise progressiooni nimetaja (konstantne arv).

Kui aritmeetilise progressiooni graafik on sirgjoon, siis geomeetriline progressioon annab veidi teistsuguse pildi:

Nagu aritmeetika puhul, on geomeetrilisel progressioonil suvalise liikme väärtuse valem. Geomeetrilise progressiooni mis tahes n-s liige on võrdne esimese liikme ja progressi nimetaja korrutisega n astmeni, mida on vähendatud ühega:

Näide. Meil on geomeetriline progressioon, mille esimene liige on 3 ja progressiooni nimetaja on 1,5. Leiame progressiooni 5. liikme

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Spetsiaalse valemi abil arvutatakse ka teatud arvu terminite summa. Geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa on võrdne progressiooni n-nda liikme ja selle nimetaja korrutise ning progressiooni esimese liikme korrutise vahega, mis on jagatud nimetajaga, mis on vähendatud ühega:

Kui b n asendatakse ülalkirjeldatud valemiga, on vaadeldava arvurea esimese n liikme summa väärtus järgmine:

Näide. Geomeetriline progressioon algab esimese liikmega, mis on võrdne 1-ga. Nimetajaks on seatud 3. Leiame esimese kaheksa liikme summa.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Näiteks jada \(2\); \(5\); \(8\); \(üksteist\); \(14\)... on aritmeetiline progressioon, kuna iga järgnev element erineb eelmisest kolme võrra (saab eelmisest kolme liites):

Selles progressioonis on erinevus \(d\) positiivne (võrdne \(3\)) ja seetõttu on iga järgmine liige suurem kui eelmine. Selliseid progressioone nimetatakse suureneb.

Siiski võib \(d\) olla ka negatiivne arv. Näiteks, aritmeetilises progressioonis \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresseerumise erinevus \(d\) võrdub miinus kuuega.

Ja sel juhul on iga järgmine element väiksem kui eelmine. Neid progressioone nimetatakse väheneb.

Aritmeetiline progressiooni tähistus

Edenemist tähistab väike ladina täht.

Arve, mis moodustavad progressiooni, nimetatakse liikmed(või elemendid).

Neid tähistatakse aritmeetilise progressioonina sama tähega, kuid numbrilise indeksiga, mis on võrdne elemendi numbriga järjekorras.

Näiteks aritmeetiline progressioon \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) koosneb elementidest \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) ja nii edasi.

Teisisõnu, progressi jaoks \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine

Põhimõtteliselt on ülaltoodud teave juba piisav peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniprobleemide lahendamiseks (kaasa arvatud OGE-s pakutavad).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon on antud tingimustega \(b_1=7; d=4\). Otsige üles \(b_5\).
Lahendus:

Vastus: \(b_5=23\)

Näide (OGE). Aritmeetilise progressiooni kolm esimest liiget on antud: \(62; 49; 36…\) Leidke selle progressiooni esimese negatiivse liikme väärtus.
Lahendus:

Vastus: \(-3\)

Näide (OGE). Antud aritmeetilise progressiooni mitu järjestikust elementi: \(…5; x; 10; 12,5...\) Leia tähega \(x\) tähistatud elemendi väärtus.
Lahendus:

Vastus: \(7,5\).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse järgmiste tingimustega: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Leidke selle progressiooni esimese kuue liikme summa.
Lahendus:

Vastus: \(S_6=9\).

Näide (OGE). Aritmeetilises progressioonis \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Leidke selle edenemise erinevus.
Lahendus:

Vastus: \(d=7\).

Aritmeetilise progressiooni olulised valemid

Nagu näete, saab paljusid aritmeetilise progressiooni ülesandeid lahendada lihtsalt peamise mõistmisega - et aritmeetiline progressioon on arvude ahel ja iga järgnev element selles ahelas saadakse, lisades sama arvu eelmisele ( progresseerumise erinevus).

Kuid mõnikord tuleb ette olukordi, kus on väga ebamugav otsustada "peaga". Näiteks kujutage ette, et kõige esimeses näites peame leidma mitte viienda elemendi \(b_5\), vaid kolmesaja kaheksakümne kuuenda \(b_(386)\). Kas peame lisama neli \(385\) korda? Või kujutage ette, et eelviimases näites peate leidma esimese seitsmekümne kolme elemendi summa. Sa oled väsinud loendamisest...

Seetõttu ei lahenda nad sellistel puhkudel asju "peapealt", vaid kasutavad aritmeetilise progressiooni jaoks tuletatud spetsiaalseid valemeid. Ja peamised neist on progressiooni n-nda liikme valem ja \(n\) esimeste liikmete summa valem.

\(n\)-nda liikme valem: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kus \(a_1\) on progressiooni esimene liige;
\(n\) – nõutava elemendi number;
\(a_n\) – progressi liige numbriga \(n\).

See valem võimaldab meil kiiresti leida isegi kolmesajanda või miljonilise elemendi, teades ainult esimest ja progressiooni erinevust.

Näide. Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Otsige üles \(b_(246)\).
Lahendus:

Vastus: \(b_(246)=1850\).

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kus

\(a_n\) – viimane summeeritud liige;

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega \(a_n=3,4n-0,6\). Leidke selle progressiooni esimeste \(25\) liikmete summa.
Lahendus:

Vastus: \(S_(25)=1090\).

Esimeste terminite summa \(n\) jaoks saate teise valemi: peate lihtsalt \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) asemel asenda selle valem \(a_n=a_1+(n-1)d\). Saame:

Esimese n liikme summa valem: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kus

\(S_n\) – \(n\) esimese elemendi nõutav summa;
\(a_1\) – esimene summeeritud liige;
\(d\) – progresseerumise vahe;
\(n\) – elementide arv summas.

Näide. Leidke aritmeetilise progressiooni esimeste \(33\)-ex liikmete summa: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Lahendus:

Vastus: \(S_(33)=-231\).

Keerulisemad aritmeetilised progressiooniülesanded

Nüüd on teil kogu teave, mida vajate peaaegu kõigi aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamiseks. Lõpetagem teema, kaaludes probleeme, mille puhul peate mitte ainult valemeid rakendama, vaid ka veidi mõtlema (matemaatikas võib see olla kasulik ☺)

Näide (OGE). Leidke progressiooni kõigi negatiivsete liikmete summa: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Lahendus:

Vastus: \(S_(65)=-630,5\).

Näide (OGE). Aritmeetiline progressioon määratakse tingimustega: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Leidke summa elemendist \(26\) kuni \(42\) (kaasa arvatud).
Lahendus:

Vastus: \(S=1683\).

Aritmeetilise progressiooni jaoks on veel mitu valemit, mida me selles artiklis ei käsitlenud nende vähese praktilise kasulikkuse tõttu. Siiski saate neid hõlpsalt leida.

Või aritmeetika on järjestatud arvjada tüüp, mille omadusi uuritakse koolikursus algebra. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa.

Mis edasiminek see on?

Enne küsimuse juurde asumist (kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat) tasub aru saada, millest jutt.

Igasugust reaalarvude jada, mis saadakse igast eelnevast arvust mingi väärtuse liitmisel (lahutamisel), nimetatakse algebraliseks (aritmeetiliseks) progressiooniks. See määratlus on matemaatilise keelde tõlgituna järgmine:

Siin on i rea a i elemendi seerianumber. Seega, teades ainult ühte stardinumbrit, saate hõlpsalt taastada kogu seeria. Valemis olevat parameetrit d nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

On lihtne näidata, et vaadeldava arvude jada puhul kehtib järgmine võrdsus:

a n = a 1 + d* (n - 1).

See tähendab, et järjekorras n-nda elemendi väärtuse leidmiseks tuleks esimesele elemendile a lisada vahe d 1 n-1 korda.

Mis on aritmeetilise progressiooni summa: valem

Enne näidatud summa valemi andmist tasub kaaluda lihtsat erijuhtum. Edasiminek on antud naturaalarvud 1 kuni 10, peate leidma nende summa. Kuna progressioonis (10) on vähe liikmeid, on võimalik ülesanne lahendada otse, st kõik elemendid järjestikku summeerida.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Üks asi, mida tasub kaaluda huvitav asi: kuna iga liige erineb järgmisest sama väärtusega d = 1, siis esimese paariline liitmine kümnendaga, teine ​​üheksandaga ja nii edasi annab sama tulemuse. Tõesti:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Nagu näete, on neid summasid ainult 5, see tähendab täpselt kaks korda vähem kui seeria elementide arv. Seejärel korrutades summade arvu (5) iga summa tulemusega (11), jõuate esimeses näites saadud tulemuseni.

Kui me need argumendid üldistame, saame kirjutada järgmise avaldise:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

See avaldis näitab, et kõiki reas olevaid elemente pole vaja summeerida, piisab, kui teada esimese a 1 ja viimase a n väärtust ning ka terminite koguarvu n.

Arvatakse, et Gauss oli esimene, kes mõtles sellele võrdsusele, kui ta otsis lahendust antud probleemile. kooli õpetajaülesanne: liita esimesed 100 täisarvu.

Elementide summa m-st n-ni: valem

Eelmises lõigus toodud valem vastab küsimusele, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa (esimesed elemendid), kuid sageli on ülesannetes vaja summeerida arvjada progressiooni keskel. Kuidas seda teha?

Lihtsaim viis sellele küsimusele vastata on vaadeldes järgmist näidet: olgu vaja leida liikmete summa m-ndast n-ndani. Ülesande lahendamiseks peaksite esitama progressiooni antud lõigu m-st n-ni uue arvurea kujul. Selles vaates m. tähtaeg a m on esimene ja a n nummerdatakse n-(m-1). Sel juhul saadakse summa standardvalemit kasutades järgmine avaldis:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Näide valemite kasutamisest

Teades, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat, tasub kaaluda lihtsat näidet ülaltoodud valemite kasutamisest.

Allpool on numbriline jada, peaksite leidma selle liikmete summa, alustades 5-ndast ja lõpetades 12-ndaga:

Antud numbrid näitavad, et erinevus d on võrdne 3-ga. Kasutades n-nda elemendi avaldist, leiate progressiooni 5. ja 12. liikme väärtused. Selgub:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Teades vaadeldava algebralise progressiooni otstes olevate arvude väärtusi, samuti teades, milliseid numbreid seerias need hõivavad, saate kasutada eelmises lõigus saadud summa valemit. Selgub:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Väärib märkimist, et selle väärtuse võib saada erinevalt: kõigepealt leidke esimese 12 elemendi summa võrra standardvalem, seejärel arvutage sama valemi abil esimese 4 elemendi summa, seejärel lahutage esimene summast teine.