Leidke võrgusüsteemi üldine ja põhimõtteline lahendus. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemid

Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemid- on kujul ∑a k i x i = 0. kus m > n või m Homogeenne süsteem lineaarvõrrandid on alati järjepidev, kuna rangA = rangB. Ilmselgelt on sellel nullidest koosnev lahendus, mida nimetatakse triviaalne.

Teenuse eesmärk. Veebikalkulaator on loodud SLAE-le mittetriviaalse ja põhjapaneva lahenduse leidmiseks. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili (vt lahenduse näidet).

Juhised. Valige maatriksi mõõde:

muutujate arv: 2 3 4 5 6 7 8 ja ridade arv 2 3 4 5 6

Lineaarsete homogeensete võrrandisüsteemide omadused

Selleks, et süsteemil oleks mittetriviaalsed lahendused, on vajalik ja piisav, et selle maatriksi aste oleks väiksem kui tundmatute arv.

Teoreem. Süsteemil juhul m=n puudub triviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui selle süsteemi determinant võrdne nulliga.

Teoreem. Iga süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on ka selle süsteemi lahendus.
Definitsioon. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi lahendite kogumit nimetatakse põhiline lahenduste süsteem, kui see hulk koosneb lineaarselt sõltumatutest lahendustest ja süsteemi mis tahes lahendus on nende lahenduste lineaarne kombinatsioon.

Teoreem. Kui süsteemimaatriksi aste r on väiksem kui tundmatute arv n, siis on olemas põhisüsteem lahused, mis koosnevad (n-r) lahustest.

Algoritm lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemide lahendamiseks

1. Maatriksi auastme leidmine.
2. Valime põhimolli. Eristame sõltuvaid (põhilisi) ja vabu tundmatuid.
3. Kriipsutame läbi need süsteemi võrrandid, mille koefitsiente pole kaasatud põhimoll, kuna need on teiste tagajärjed (teoreemi järgi minoorse põhjal).
4. Liigume vabu tundmatuid sisaldavate võrrandite liikmed paremale poole. Selle tulemusena saame antud võrrandiga ekvivalentse r võrrandisüsteemi r tundmatuga, mille determinant on nullist erinev.
5. Lahendame tekkinud süsteemi tundmatute elimineerimisega. Sõltuvaid muutujaid väljendavad seosed leiame vabade kaudu.
6. Kui maatriksi auaste ei ole võrdne muutujate arvuga, siis leiame süsteemi põhimõttelise lahenduse.
7. Juhul ring = n on meil triviaalne lahendus.

Näide. Leia vektorite süsteemi alus (a 1, a 2,...,a m), järjesta ja väljenda vektorid aluse alusel. Kui a 1 =(0,0,1,-1) ja 2 =(1,1,2,0) ja 3 =(1,1,1,1) ja 4 =(3,2,1 ,4) ja 5 =(2,1,0,3).
Kirjutame üles süsteemi põhimaatriksi:

Korrutage 3. rida arvuga (-3). Liidame neljanda rea ​​kolmandale:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Korrutage 4. rida arvuga (-2). Korrutame 5. rea (3-ga). Lisame 5. rea neljandale:
Lisame 2. rea esimesele:
Leiame maatriksi auaste.
Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame mittetriviaalse lahenduse:
Sõltuvaid muutujaid x 1 , x 2 , x 3 väljendavad seosed saime vabade x 4 kaudu ehk leidsime üldlahenduse:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Antud maatriksid

Leidke: 1) aA - bB,

Lahendus: 1) Leiame selle järjestikku, kasutades maatriksi arvuga korrutamise ja maatriksite liitmise reegleid.

2. Leidke A*B, kui

Lahendus: Kasutame maatrikskorrutamise reeglit

Vastus:

3. Antud maatriksi jaoks leidke moll M 31 ja arvutage determinant.

Lahendus: Minor M 31 on maatriksi determinant, mis saadakse A-st

pärast rea 3 ja veeru 1 läbikriipsutamist. Leiame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Teisendame maatriksi A ilma determinanti muutmata (teeme reas 1 nullid)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Nüüd arvutame maatriksi A determinandi laiendamise teel piki rida 1

Vastus: M 31 = 0, detA = 0

Lahendage Gaussi meetodil ja Crameri meetodil.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Lahendus: Kontrollime

Võite kasutada Crameri meetodit

Süsteemi lahendus: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Rakendame Gaussi meetodit.

Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Arvutamise hõlbustamiseks vahetame read:

Korrutage 2. rida arvuga (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisage 3. kohale:

	1 / 2		7 / 2

Korrutage esimene rida arvuga (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisage teisele:

Nüüd saab algse süsteemi kirjutada järgmiselt:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Alates 2. reast väljendame

Alates 1. reast väljendame

Lahendus on sama.

Vastus: (2; -5; 3)

Leidke süsteemi ja FSRi üldine lahendus

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11 x 1 – 2 x 2 + x 3 – 2 x 4 – 3 x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Lahendus: Rakendame Gaussi meetodit. Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Korrutage 1. rida arvuga (-11). Korrutage 2. rida arvuga (13). Lisame 2. rea esimesele:

	-2		-2	-3

Korrutage 2. rida arvuga (-5). Korrutame 3. rea (11-ga). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage 3. rida arvuga (-7). Korrutame 4. rea (5-ga). Liidame neljanda rea ​​kolmandale:

Teine võrrand on teiste lineaarne kombinatsioon

Leiame maatriksi auaste.

	-18	-24	-18	-27
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Esiletõstetud alaealisel on kõrgeim järjekord(võimalikest alaealistest) ja on nullist erinev (see võrdub tagurpidi diagonaali elementide korrutisega), seega rang(A) = 2.

See alaealine on elementaarne. See sisaldab tundmatute x 1 , x 2 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 1 , x 2 on sõltuvad (põhilised) ja x 3 , x 4 , x 5 on vabad.

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame ühine otsus:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi (FSD), mis koosneb (n-r) lahendustest. Meie puhul n=5, r=2, seega koosneb põhilahenduste süsteem 3 lahendist ja need lahendid peavad olema lineaarselt sõltumatud.

Et read oleksid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et reaelementidest koosneva maatriksi aste oleks võrdne ridade arvuga ehk 3-ga.

Piisab, kui anda vabadele tundmatutele x 3 , x 4 , x 5 väärtused 3. järku determinandi ridadelt, mis ei ole null, ja arvutada x 1 , x 2 .

Lihtsaim nullist erinev determinant on identiteedimaatriks.

Aga siit on mugavam kaasa võtta

Leiame üldist lahendust kasutades:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSRi I otsus: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR lahus: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR-i III otsus: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Antud: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Leidke: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Lahendus: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Kooliajal õppis igaüks meist võrrandeid ja suure tõenäosusega võrrandisüsteeme. Kuid vähesed inimesed ei tea, et nende lahendamiseks on mitu võimalust. Täna analüüsime üksikasjalikult kõiki meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks, mis koosnevad enam kui kahest võrdsusest.

Lugu

Tänapäeval on teada, et võrrandite ja nende süsteemide lahendamise kunst sai alguse aastal Vana Babülon ja Egiptus. Võrdsused oma tuttaval kujul tekkisid aga pärast võrdusmärgi "=" ilmumist, mille 1556. aastal võttis kasutusele inglise matemaatik Record. Muide, see märk valiti põhjusega: see tähendab kahte paralleelset võrdset segmenti. Ja see on tõsi parim näide võrdsust ei saa välja mõelda.

Moodsa rajaja tähetähistused tundmatud ja kraadimärgid on prantsuse matemaatik.Tema tähistus erines aga oluliselt tänapäevasest. Näiteks tähistas ta tundmatu arvu ruutu tähega Q (lat. “quadratus”) ja kuubikut tähega C (lat. “cubus”). See tähistus tundub praegu ebamugav, kuid tol ajal oli see kõige arusaadavam viis lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide kirjutamiseks.

Toonaste lahendusmeetodite puuduseks oli aga see, et matemaatikud arvestasid ainult positiivsete juurtega. See võib olla tingitud asjaolust, et negatiivsetel väärtustel ei olnud ühtegi praktilise rakendamise. Nii või teisiti, aga olge esimene, kes loeb negatiivsed juured 16. sajandil algatasid selle Itaalia matemaatikud Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli. A moodne välimus, loodi põhilahendusmeetod (diskriminandi kaudu) alles 17. sajandil tänu Descartes'i ja Newtoni tööle.

18. sajandi keskel leidis Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer uus viis et muuta lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine lihtsamaks. See meetod sai hiljem tema nime ja kasutame seda siiani. Kuid Crameri meetodist räägime veidi hiljem, kuid praegu käsitleme lineaarseid võrrandeid ja meetodeid nende lahendamiseks süsteemist eraldi.

Lineaarvõrrandid

Lineaarvõrrandid on kõige lihtsamad võrrandid, millel on muutuja (muutujad). Neid klassifitseeritakse algebralisteks. kirjutatakse üldkujul järgmiselt: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b. Peame neid hiljem süsteemide ja maatriksite koostamisel sellel kujul esitama.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid

Selle mõiste määratlus on järgmine: see on võrrandite kogum, millel on ühised tundmatud suurused ja ühine lahendus. Koolis lahendasid kõik reeglina kahe või isegi kolme võrrandiga süsteeme. Kuid on süsteeme, millel on neli või enam komponenti. Mõelgem esmalt välja, kuidas need kirja panna, et neid oleks edaspidi mugav lahendada. Esiteks näevad lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid paremad välja, kui kõik muutujad on kirjutatud kui x ja vastava alaindeksiga: 1,2,3 jne. Teiseks tuleks kõik võrrandid viia kanoonilisele kujule: a 1 *x 1 +a 2* x 2 +...a n *x n =b.

Pärast kõiki neid samme võime hakata rääkima sellest, kuidas leida lahendusi lineaarvõrrandisüsteemidele. Maatriksid on selleks väga kasulikud.

Maatriksid

Maatriks on tabel, mis koosneb ridadest ja veergudest ning nende ristumiskohas on selle elemendid. See võib olla kumbki konkreetsed väärtused või muutujad. Enamasti paigutatakse elementide tähistamiseks nende alla alaindeksid (näiteks 11 või 23). Esimene indeks tähendab rea numbrit ja teine ​​veeru numbrit. Maatriksitega saab teha erinevaid tehteid, nagu iga teise matemaatilise elemendiga. Seega saate:

2) Korrutage maatriks suvalise arvu või vektoriga.

3) Transponeerimine: muutke maatriksiread veergudeks ja veerud ridadeks.

4) Korrutage maatriksid, kui neist ühe ridade arv on võrdne teise veergude arvuga.

Arutame kõiki neid tehnikaid üksikasjalikumalt, kuna need on meile tulevikus kasulikud. Maatriksite lahutamine ja liitmine on väga lihtne. Kuna me võtame sama suurusega maatriksid, korreleerub ühe tabeli iga element teise tabeli iga elemendiga. Seega liidame (lahutame) need kaks elementi (oluline on, et nad seisaksid oma maatriksites samadel kohtadel). Maatriksi korrutamisel arvu või vektoriga korrutate lihtsalt iga maatriksi elemendi selle arvuga (või vektoriga). Ülevõtmine on väga huvitav protsess. Vahel on teda väga huvitav näha päris elu, näiteks tahvelarvuti või telefoni orientatsiooni muutmisel. Töölaual olevad ikoonid kujutavad maatriksit ja kui asend muutub, siis see transponeerub ja muutub laiemaks, kuid väheneb kõrguselt.

Vaatame teist protsessi, näiteks: kuigi me ei vaja seda, on selle teadmine siiski kasulik. Kahte maatriksi saab korrutada ainult siis, kui ühe tabeli veergude arv on võrdne teise tabeli ridade arvuga. Nüüd võtame ühe maatriksi rea elemendid ja teise maatriksi vastava veeru elemendid. Korrutame need üksteisega ja liidame siis (st näiteks elementide a 11 ja a 12 korrutis b 12 ja b 22 võrdub: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Nii saadakse üks tabeli element ja see täidetakse sarnasel meetodil edasi.

Nüüd saame hakata kaaluma, kuidas lineaarvõrrandisüsteemi lahendatakse.

Gaussi meetod

Seda teemat hakatakse käsitlema koolis. Teame hästi mõistet "kahe lineaarvõrrandi süsteem" ja teame, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui võrrandite arv on suurem kui kaks? See aitab meid

Loomulikult on seda meetodit mugav kasutada, kui teete süsteemist maatriksi. Kuid te ei pea seda muutma ja puhtal kujul lahendama.

Niisiis, kuidas see meetod lahendab lineaarsete Gaussi võrrandite süsteemi? Muide, kuigi see meetod on nime saanud tema järgi, avastati see iidsetel aegadel. Gauss pakub välja järgmise: teostada võrranditega tehteid, et lõppkokkuvõttes taandada kogu komplekt astmelisele kujule. See tähendab, et on vaja, et ülalt alla (kui see on õigesti paigutatud) esimesest võrrandist viimaseni väheneks tundmatu. Teisisõnu peame veenduma, et saame näiteks kolm võrrandit: esimeses on kolm tundmatut, teises on kaks, kolmandas üks. Seejärel leiame viimasest võrrandist esimese tundmatu, asendame selle väärtuse teise või esimese võrrandiga ja seejärel leiame ülejäänud kaks muutujat.

Crameri meetod

Selle meetodi valdamiseks on ülimalt oluline omada maatriksite liitmise ja lahutamise oskusi ning samuti tuleb osata leida determinante. Seega, kui teete seda kõike halvasti või ei tea, kuidas üldse, peate õppima ja harjutama.

Mis on selle meetodi olemus ja kuidas seda teha nii, et saadakse lineaarsete Crameri võrrandite süsteem? Kõik on väga lihtne. Peame konstrueerima lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi arvuliste (peaaegu alati) koefitsientide maatriksi. Selleks võtame lihtsalt numbrid tundmatute ette ja järjestame need tabelisse süsteemi kirjutamise järjekorras. Kui numbri ees on märk “-”, siis kirjutame üles negatiivse koefitsiendi. Niisiis, oleme koostanud tundmatute koefitsientide esimese maatriksi, mis ei sisalda võrdusmärkide järel olevaid numbreid (loomulikult tuleks võrrand taandada kanooniliseks vormiks, kui paremal on ainult arv ja kõik koefitsientidega tundmatud on sees vasak). Seejärel tuleb luua veel mitu maatriksit – üks iga muutuja jaoks. Selleks asendame iga koefitsientidega veeru esimeses maatriksis omakorda arvude veeruga pärast võrdusmärki. Seega saame mitu maatriksit ja seejärel leiame nende determinandid.

Pärast seda, kui oleme määrajad leidnud, on see väike asi. Meil on esialgne maatriks ja seal on mitu saadud maatriksit, mis vastavad erinevatele muutujatele. Süsteemi lahenduste saamiseks jagame saadud tabeli determinandi algtabeli determinandiga. Saadud arv on ühe muutuja väärtus. Samamoodi leiame kõik tundmatud.

Muud meetodid

Lineaarvõrrandisüsteemide lahenduste leidmiseks on veel mitmeid meetodeid. Näiteks nn Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse süsteemile lahenduste leidmiseks ruutvõrrandid ja on seotud ka maatriksite kasutamisega. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks on olemas ka Jacobi meetod. Seda on kõige lihtsam arvutiga kohandada ja seda kasutatakse arvutis.

Keerulised juhtumid

Keerukus tekib tavaliselt siis, kui võrrandite arv on väiksem kui muutujate arv. Siis võime kindlalt väita, et kas süsteem on ebaühtlane (st tal puuduvad juured) või kipub selle lahenduste arv lõpmatuseni. Kui meil on teine ​​juhtum, siis peame kirja panema lineaarvõrrandisüsteemi üldlahenduse. See sisaldab vähemalt ühte muutujat.

Järeldus

Siin jõuamegi lõppu. Teeme kokkuvõtte: saime aru, mis on süsteem ja maatriks, ning õppisime, kuidas leida lineaarvõrrandisüsteemile üldist lahendust. Lisaks kaalusime muid võimalusi. Saime teada, kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi: Gaussi meetodit ja rääkisime sellest rasked juhtumid ja muud viisid lahenduste leidmiseks.

Tegelikult on see teema palju ulatuslikum ja kui soovite sellest paremini aru saada, soovitame lugeda rohkem erialakirjandust.

Jätkame oma tehnoloogia lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude põhjal võib materjal tunduda igav ja keskpärane, kuid see mulje petlikult. Lisaks tehniliste võtete edasiarendamisele tuleb neid palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta selle artikli näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati järjepidev st sellel on alati lahendus. Ja esiteks jääb silma nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendusest üldse aru ei saa, tähendab ilma eputamist. Mitte muidugi akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ...Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja viia see elementaarteisenduste abil astmelisele kujule. Pange tähele, et siin pole vaja vertikaalset riba ja vabade terminite nulli veergu üles kirjutada - lõppude lõpuks jäävad need nullideks, ükskõik mida te nullidega teete:

(1) Esimene rida liideti teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja kasutades Gaussi meetodi pöördväärtust, on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on lihtsalt triviaalne lahendus, Kui süsteemimaatriksi auaste(V sel juhul 3) võrdne muutujate arvuga (antud juhul – 3 tükki).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete teisenduste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks konsolideerimiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarsete teisenduste abil astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgmist tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Tulemuseks on standard sammumaatriks, ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
- vabad muutujad.

Väljendame põhimuutujaid vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrand:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendame kolmikväärtusi üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et on väga soovitatav kontrollida iga vastuvõetud vektorit - see ei võta palju aega, kuid see kaitseb teid täielikult vigade eest.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolme jaoks saame kolmanda vektori:

Vastus: , Kus

Need, kes soovivad vältida murdosa väärtusi, võivad kaaluda kolmikuid ja saada vastus samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja küsigem endalt: kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Lõppude lõpuks väljendasime siin kõigepealt põhimuutujat murdude kaudu, seejärel murdude kaudu põhimuutujat ja pean ütlema, et see protsess ei olnud kõige lihtsam ja mitte kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud baasmuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte olla ülaosas null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

Lineaarvõrrandit nimetatakse homogeenne, kui selle vaba liige on võrdne nulliga ja muul juhul ebahomogeenne. Homogeensetest võrranditest koosnevat süsteemi nimetatakse homogeenseks ja sellel on üldine vorm:

On ilmne, et iga homogeenne süsteem on järjekindel ja sellel on null (triviaalne) lahendus. Seetõttu tuleb homogeensetele lineaarvõrrandisüsteemidele rakendades sageli otsida vastust nullist erineva lahendite olemasolu kohta. Vastuse sellele küsimusele saab sõnastada järgmise teoreemina.

Teoreem . Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahendus siis ja ainult siis, kui selle järk on väiksem kui tundmatute arv .

Tõestus: Oletame, et süsteemil, mille auaste on võrdne, on nullist erinev lahend. Ilmselgelt see ei ületa. Juhul, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Kuna homogeensete lineaarvõrrandite süsteemil on alati nulllahendus, siis nulllahendus on see ainulaadne lahendus. Seega on nullist erinevad lahendused võimalikud ainult .

Järeldus 1 : Homogeensel võrrandisüsteemil, milles võrrandite arv on väiksem kui tundmatute arv, on alati nullist erinev lahend.

Tõestus: Kui võrrandisüsteemil on , siis süsteemi aste ei ületa võrrandite arvu, s.t. . Seega on tingimus täidetud ja seetõttu on süsteemil nullist erinev lahendus.

Järeldus 2 : Tundmatutega homogeensel võrrandisüsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle determinant on null.

Tõestus: Oletame, et lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil, mille maatriks determinandiga , on nullist erinev lahend. Siis vastavalt tõestatud teoreemile ja see tähendab, et maatriks on ainsus, st. .

Kroneckeri-Capelli teoreem: SLU on järjekindel siis ja ainult siis, kui süsteemimaatriksi auaste on võrdne selle süsteemi laiendatud maatriksi auastmega. Süsteemi ur nimetatakse järjepidevaks, kui sellel on vähemalt üks lahendus.

Homogeenne lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem.

M lineaarvõrrandist koosnevat n muutujaga süsteemi nimetatakse lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemiks, kui kõik vabaliikmed on võrdsed 0-ga. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati järjekindel, sest sellel on alati vähemalt nulllahendus. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle muutujate koefitsientide maatriksi aste on väiksem muutujate arvust, s.o. auastme jaoks A (n. Mis tahes lineaarne kombinatsioon

Lin süsteemilahendused. homogeenne. ur-ii on ka selle süsteemi lahendus.

Lineaarsete sõltumatute lahendite e1, e2,...,еk süsteemi nimetatakse fundamentaalseks, kui süsteemi iga lahendus on lahenduste lineaarne kombinatsioon. Teoreem: kui lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi muutujate koefitsientide maatriksi aste r on väiksem kui muutujate arv n, siis koosneb iga süsteemi põhilahenduste süsteem n-r lahendusi. Seetõttu lineaarsüsteemi üldlahendus. üks päev ur-th on kujul: c1e1+c2e2+...+skek, kus e1, e2,..., ek on mis tahes põhilahenduste süsteem, c1, c2,...,ck on suvalised arvud ja k=n-r. M lineaarvõrrandisüsteemi n muutujaga üldlahend on võrdne summaga

üldine lahendus vastav süsteem on homogeenne. lineaarvõrrandid ja selle süsteemi suvaline konkreetne lahendus.

7. Lineaarsed ruumid. Alamruumid. Alus, mõõde. Lineaarne kest. Lineaarset ruumi nimetatakse n-mõõtmeline, kui see sisaldab lineaarset süsteemi sõltumatud vektorid ja mis tahes süsteem alates rohkem vektorid on lineaarselt sõltuvad. Numbrile helistatakse mõõde (mõõtmete arv) lineaarruum ja seda tähistatakse . Teisisõnu, ruumi mõõde on selle ruumi lineaarselt sõltumatute vektorite maksimaalne arv. Kui selline arv on olemas, siis nimetatakse ruumi lõplikuks mõõtmeliseks. Kui kellegi jaoks naturaalarv n ruumis on lineaarselt sõltumatutest vektoritest koosnev süsteem, siis nimetatakse sellist ruumi lõpmatumõõtmeliseks (kirjutatud: ). Kui pole öeldud teisiti, käsitletakse järgnevas lõplikke ruume.

N-mõõtmelise lineaarruumi aluseks on lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum ( baasvektorid).

Teoreem 8.1 vektori laienemisest baasi järgi. Kui on n-mõõtmelise lineaarruumi alus, siis saab iga vektori esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+et
ja pealegi ainsal viisil, s.o. koefitsiendid määratakse üheselt. Teisisõnu, mis tahes ruumivektorit saab laiendada baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõepoolest, ruumi mõõde on . Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu (see on alus). Pärast mis tahes vektori alusele lisamist saame lineaarselt sõltuv süsteem(kuna see süsteem koosneb n-mõõtmelise ruumi vektoritest). Kasutades 7 lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektori omadust, saame teoreemi järelduse.