Esitlus algklassidele "võrrandite lahendamine, tundmatute tegurite leidmine". Videotund “Võrrandite lahendamine terminite ja summa vahelise seose alusel

Õppeeesmärgid- lahendada võrrandeid valikumeetodil ning liitmise ja lahutamise seostest lähtuvalt.

Tunni eesmärgid

Kõik õpilased saavad:
leidke valikumeetodi abil võrrandi juur

Enamik õpilasi suudab:
oskama kirjutada ja lahendada lihtsaid võrrandeid tundmatu termini leidmiseks

Mõned õpilased saavad:
Joonise põhjal koostage ja lahendage võrrandid iseseisvalt.

Varasemad teadmised: 100 piires olevate arvude süsteemi mõistmine; oskus teha võrdlusi ja kasutada võrdlevat keelt.

Tundide ajal

Koostöökeskkonna loomine
(psühholoogilised minutid)

Rõõmsameelne kell helises.
Kas olete valmis õppetundi alustama?
Kuulame, räägime,
Ja aidake üksteist!

Rühmitamine

Sihtmärk:õpilaste ühendamine rühmadesse suurendab tunnetuslikku huvi tunni vastu ja ühtekuuluvust rühmatöös.
Rühmatöö reeglite ülevaatamine

Elukogemuse värskendamine

strateegia" Ajurünnak„Kasutades paksu ja peen teema.
- Mis on võrrand? (Võrdsust tundmatuga nimetatakse võrrandiks)
- Kuidas näidatakse võrrandis tundmatut?
- Mida tähendab võrrandi lahendamine? (Tähendab tundmatu leidmiseks)
- Millised on lisamise komponendid?

Hinnang: Kolm plaksu
Starter "Vaata videot" (õpetlik koomiks)
"Freeze Frame" meetod

Tunni eesmärkide seadmine
- Kas olete arvanud, mida me täna tunnis teeme?
- Mis aitab meil tunni eesmärke saavutada (õppida uusi asju, õppida probleeme lahendama) matemaatilised tähistused) (teie kogemus, õpetaja, õpik)
Lapsed sõnastavad tunni eesmärgi, mina üldistan.
- Tänases õppetükis saate teada, kuidas lahendada tundmatute terminitega võrrandeid

Uuring. Töö õpiku järgi.
Sihtmärk: Uurige õpiku materjali lk. 46

Ülesanne 1. Mäng õpiku "Autod tunnelis" ainetel
Rühmatöö. "Mõtle, arutage, jaga" strateegia. Interdistsiplinaarne seos kirjaoskuse õpetamine (kuulamine ja rääkimine)

Mäng "Autod tunnelis"

Mitu autot on tunnelis?
6 + x = 18 ja 2 + x = 14.
Vastus: 12 vankrit.

Kirjeldus:
- koostab joonise põhjal võrrandi
- leiab valikumeetodil tähe tähenduse.
- teeb järelduse (sõnastab reegli)

Tagasiside "Valgusfoor"
Siin kasutan selleks otstarbeks võrrandite modelleerimist
tundmatu liikmega võrrandite lahendamise oskuse kujunemine.

Ülesanne 2. Töötage paaris. "Aita kangelast"

Mäng "Aita kangelast"

Paaristöö puhul kasutan õpilaste vahel teadmisi ja oskusi edasiandvat koostööõpet.
Enesehindamine deskriptori järgi: "Pöial"

Dünaamiline paus. Muusikaline füüsiline harjutus.

Ülesanne 3. Rühmatöö. "Mõtle, leia paar, jaga!"

Kirjeldused:
- töötab kogu rühm;
- koostab ja lahendab joonise põhjal iseseisvalt võrrandeid;
- teeb järelduse (sõnastab reegli).

Tagasiside "Ratas"
Rakendus (õpetaja - jälgib, aitab, kontrollib, õpilane - lahendab küsimusi, demonstreerib teadmisi)

Eksperthinnang slaididel
Siin kasutan õppeprotsessi parandamiseks rühmatööd.

Ülesanne 4. Mäng paaris "Kuupik" (proovi)

Rühmatöö: “Mõtle, leia paar, jaga!”

Kirjeldus:
- asendab loositud numbrit
- lahendab võrrandi iseseisvalt.

Siin kasutan aktiivset meetodit mängu vorm mis viib tundmatu liikmega võrrandi lahendi sügavama mõistmiseni.
Hindamine valgusfoori kirjelduste alusel

5. ülesanne. Individuaalne ülesanne
Diferentseeritud ülesanded.
Ülesanded valitakse õpilastele erinevatel tasanditel teadmisi.

Kirjeldus:

1. leiab arvurea abil võrrandi juure;
2. leiab matemaatilisi arve ja märke kasutades võrrandi juure;
3. moodustab pildilt võrrandi.

Enesehindamine "Valgusfoor" (standardile vastav test).
- Hästi tehtud, täitsite selle ülesande!
Siin kasutan diferentseeritud lähenemist iga õpilase individuaalsetele õpivajadustele.

Tunni kokkuvõte. Mõtisklus "Intervjuu meetod"
- Mille kallal me täna tunnis töötasime?
- Kuidas leida tundmatu termin?
- Mis on tundmatu termin? (osa)
- Kas olete oma eesmärgi saavutanud?
- Mida teevad need poisid, kellel oli võrranditega töötamisega raskusi? (Õpilaste avaldused)

Sihtmärk:Õpetaja selgitab välja, kas õpilased said tunni teemast ja oma vigadest aru, et need saaks järgmises tunnis parandada. (õpilaste avaldus) (siinkohal kasutan õpilaste vajadusi rahuldavamalt)
Vastastikune hinnang "2 tärni, 1 soov"

Peegeldus "Edu redel" (lapsed postitavad emotikone)
- Ma saan lahendada võrrandi tundmatu liikmega.
- Ma võin kedagi teist õpetada...
- Mul on raske...
- Ma ei saanud midagi…

Sihtmärk: enesehinnang oma saavutustele tunni jooksul.

Materjali allalaadimiseks või!

Õppetund 80-81. Teema: "Võrrandite lahendamine"

Eesmärgid:õppida lahendama tundmatute terminitega võrrandeid; korrake pikkusühikute suhet; kinnistada arvutusoskusi veerus; arendada arutlusvõimet ja loogilist mõtlemist.

Planeeritud tulemused: õpilased õpivad lahendama võrrandeid tundmatu termini leidmiseks; sooritada õpitud võtteid kasutades kirjalikke arvutusi; mõista edu/ebaõnnestumise põhjuseid haridustegevus.

Tundide ajal

I . Aja organiseerimine

II . Teadmiste värskendamine

Matemaatiline diktaat

1. Kui palju on 67 vähem kui 89? (Kell 22.)

2. Lahutage 7 kümnendikust 4 kümnendit. (30.)

3. Suurendage 23 32 võrra. (55.)

4. Millise arvu ma vähendasin 27 võrra ja sain 23? (50.)

5. Kui palju peaksite suurendama 43, et saada 70? (27.)

6. Lahutage arvude 9 ja 6 summast 10. (5.)

7. Millise arvu tuleb 64-st lahutada, et saada 37? (27.)

8. Millisele arvule lisasid 0 ja said 44? (44.)

9. 21-le lisage numbrite 14 ja 6 vahe. (29.) 10. Arvude 33, 16,4 ja 27 summa. (80.)

(Kontrollige. Enesehinnang.)

III . Enesemääramine tegevuseks

Tehke selle näite abil veel kolm näidet. 6 + 4 = 10

(Õpetaja kirjutab näited tahvlile.) 4 + 6=10 10-4 = 6 10-6 = 4

Millist reeglit kasutasite ülekatte näite loomisel? (Tingimuste ümberkorraldamisel summa ei muutu.)

Millist reeglit kasutasite lahutamise näite loomisel? (Kui lahutate summast ühe liikme, saate teise liikme.)

- Tunni teema väljaselgitamiseks lahenda ristsõna.

1. Need on numbrilised ja tähestikulised. (Väljendid.)

2. Lisatud numbreid kutsutakse. (Täiendused.)

3. Arv, millest lahutada. (Minuend.)

4. Matemaatika märk lahutamine. (Miinus.)

5. Võrdsus, mis sisaldab tundmatut arvu. (Võrrand.)

6. Joonise külgede pikkuste summa. (Ümbermõõt.)

7. Avaldis plussmärgiga. (Summa.)

8. Kirje, mis sisaldab võrdusmärki. (Võrdsus.)

9. Vähemalt kahekohaline number. (Kümme.) 10. Ladina täht. (X.)

Mis juhtus esiletõstetud real? (Võrrandite lahendamine.)

Tunni teema: "Tundmatu terminiga võrrandite lahendamine." Milliseid ülesandeid me endale seame?

IV . Töötage tunni teemaga

1. Töö õpiku järgi

Vaata doominoklotse lk. Kõrvuti salvestatud 7 õpikut ja näiteid. Kuidas saadakse lahutamise näiteid? Millist reeglit kasutasite nende koostamisel? Lõpetage järeldus. ( Tundmatu termini leidmiseks peate tuntud termini summast lahutama.)

№ 1 (lk 7).(Suuline esinemine.)

№2 (lk 7).(Kollektiivne hukkamine koos üksikasjalik selgitus.)

2. Sõltumatu lahendus võrrandid

1. võimalus 2. valik

x + 45 = 92 75 + x = 81

26 + x = 50 x + 22 = 70

(Kaks õpilast kirjutavad lahenduse klapptahvlile. Kontrollige. Enesehinnang.)

Lahendus:

x + 45 = 92 75 + x = 81

x = 92-45 x = 81-75

x = 47 X= 6

26 + x = 50 x + 22 = 70

x = 50 – 26 x = 70 - 22

3. Töö õpiku järgi

№3 (lk 7).(Suuline esinemine.)

№4 (lk. 7). (Enesetäitmine Kellel on raskusi, annab õpetaja abikaardi koos lahendusprogrammiga.) 1) Mitu klaasi vaarikaid õde kogus?

2) Mitu klaasi vaarikaid koos kogusite? (Kontrollige. Enesehinnang.)

V . Kehalise kasvatuse minut

Mina kõnnin ja sina kõnnid – üks, kaks, kolm. (Astub paigale.)

Mina laulan ja sina laulad – üks, kaks, kolm. (Käsi plaksutama.)

Käime ja laulame – üks, kaks, kolm. (Hüppab paigale.)

Elame väga sõbralikult – üks, kaks, kolm. (Astub paigale.)

VI . Õpitud materjali tugevdamine

Töötamine õpikustnr 1 (lk 14).

Milliseid pikkuseühikuid sa tead?

Mitu millimeetrit on 1 cm-s? (Sõltumatu täitmine. Kontrollige.) Lahendus:

5 cm 3 mm = 53 mm

3 cm 8 mm = 38 mmnr 2 (lk 14).

(Sõltumatu täitmine. Kontrollige.)

1) Lahendus:

AB = 3 cm 5 mm, CD= 5 cm 5 mm;

5 cm 5 mm - 3 cm 5 mm = 2 cm.

Vastus: segmendi pikkus CD 2 cm rohkem kui segmendi pikkus AB.

2) Lahendus: ECMO= 2 cm + 4 cm + 1 cm 5 mm = 7 cm 5 mm. nr 3 (lk 14).

(Iseseisev rakendamine. Kontrollimine. Enesehindamine.)

Lahendus:

2 cm = 20 mm

4 cm 2 mm > 40 mm 30 mm = 3 cm

4 cm 5 mm < 5 cm

VII . Peegeldus

(“Pane ennast proovile” (õpik, lk 7). Iseseisev teostus. Test.)

Lahendus: 15+x = 35 x = 35-15 x = 20

VIII . Õppetunni kokkuvõte

Mis tüüpi võrrandid teile täna meelde jäid?

Kuidas leida tundmatut terminit?

Kes vajab abi?

Kodutöö: Töövihik: nr 10, 11 (lk 6).

Võrrandid on üks rasked teemad lihtne õppida, kuid samas on need piisavalt võimas tööriist enamiku probleemide lahendamiseks.

Võrrandite abil kirjeldatakse erinevaid looduses toimuvaid protsesse. Võrrandeid kasutatakse laialdaselt teistes teadustes: majanduses, füüsikas, bioloogias ja keemias.

IN see õppetund Püüame mõista kõige lihtsamate võrrandite olemust, õpime väljendama tundmatuid ja lahendame mitmeid võrrandeid. Uute materjalide õppimisel muutuvad võrrandid keerukamaks, seega on põhitõdede mõistmine väga oluline.

Eeloskused Tunni sisu

Mis on võrrand?

Võrrand on võrdsus, mis sisaldab muutujat, mille väärtust soovite leida. See väärtus peab olema selline, et algsesse võrrandisse asendamisel saadakse õige arvuline võrdus.

Näiteks avaldis 2 + 2 = 4 on võrdsus. Vasaku külje arvutamisel saadakse õige arvuline võrdus 4 = 4.

Aga võrdsus on 2+ x= 4 on võrrand, kuna see sisaldab muutujat x, mille väärtust saab leida. Väärtus peab olema selline, et selle väärtuse asendamisel algsesse võrrandisse saadakse õige arvuline võrdus.

Ehk siis tuleb leida väärtus, mille juures võrdusmärk õigustaks oma asukohta – vasak pool peab võrduma paremaga.

Võrrand 2 + x= 4 on elementaarne. Muutuv väärtus x on võrdne arvuga 2. Ühegi teise väärtuse puhul võrdsust ei järgita

Nad ütlevad, et number 2 on juur või võrrandi lahendamine 2 + x = 4

Juur või võrrandi lahendus- see on muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Juure võib olla mitu või üldse mitte. Lahenda võrrand tähendab leida selle juured või tõestada, et juuri pole.

Võrrandis sisalduvat muutujat nimetatakse teisiti teadmata. Teil on õigus nimetada seda nii, nagu eelistate. Need on sünonüümid.

Märge. Fraas "lahendage võrrand" räägib enda eest. Võrrandi lahendamine tähendab võrrandi "võrdsustamist" - selle tasakaalustamist nii, et vasak pool võrdub paremaga.

Väljendage üht asja läbi teise

Võrrandite uurimine algab traditsiooniliselt sellega, et õpitakse väljendama ühte võrdusse kuuluvat arvu paljude teiste kaudu. Ärme riku seda traditsiooni ja teeme sama.

Mõelge järgmisele väljendile:

8 + 2

See avaldis on arvude 8 ja 2 summa. Selle avaldise väärtus on 10

8 + 2 = 10

Saime võrdsuse. Nüüd saate väljendada mis tahes arvu sellest võrdsusest teiste samasse võrdsusse kuuluvate arvude kaudu. Näiteks väljendame arvu 2.

Numbri 2 väljendamiseks peate esitama küsimuse: "Mida tuleb teha numbritega 10 ja 8, et saada number 2." On selge, et numbri 2 saamiseks peate arvust 10 lahutama arvu 8.

Seda me teemegi. Kirjutame üles arvu 2 ja võrdusmärgi kaudu ütleme, et selle arvu 2 saamiseks lahutasime arvust 10 arvu 8:

2 = 10 − 8

Me väljendasime arvu 2 võrrandist 8 + 2 = 10. Nagu näitest näha, pole selles midagi keerulist.

Võrrandite lahendamisel, eriti ühe arvu väljendamisel teistega, on mugav võrdusmärk asendada sõnaga " Seal on" . Seda tuleb teha vaimselt, mitte väljendis endas.

Seega, väljendades arvu 2 võrrandist 8 + 2 = 10, saime võrdsuse 2 = 10 − 8. Seda võrdsust võib lugeda järgmiselt:

2 Seal on 10 − 8

See tähendab, et märk = asendatakse sõnaga "on". Veelgi enam, võrdsust 2 = 10 − 8 saab tõlkida matemaatilisest keelest täisväärtuslikku inimkeelde. Siis saab seda lugeda järgmiselt:

Number 2 Seal on erinevus numbri 10 ja 8 vahel

Number 2 Seal on erinevus numbri 10 ja 8 vahel.

Kuid me piirdume ainult võrdusmärgi asendamisega sõnaga "on" ja me ei tee seda alati. Elementaarsetest väljenditest saab aru ilma matemaatilist keelt inimkeelde tõlkimata.

Taastame saadud võrrandi 2 = 10 − 8 algsesse olekusse:

8 + 2 = 10

Avaldame seekord arvu 8. Mida on vaja teha ülejäänud arvudega, et saada number 8? See on õige, arvust 10 tuleb lahutada 2

8 = 10 − 2

Taastame saadud võrrandi 8 = 10 − 2 algsesse olekusse:

8 + 2 = 10

Seekord väljendame arvu 10. Kuid selgub, et kümmet pole vaja väljendada, kuna see on juba väljendatud. Piisab vasaku ja parema osa vahetamisest, siis saame selle, mida vajame:

10 = 8 + 2

Näide 2. Vaatleme võrdsust 8 − 2 = 6

Avaldame sellest võrrandist arvu 8. Arvu 8 väljendamiseks tuleb liita ülejäänud kaks arvu:

8 = 6 + 2

Taastame saadud võrrandi 8 = 6 + 2 algsesse olekusse:

8 − 2 = 6

Avaldame sellest võrdsusest arvu 2. Arvu 2 väljendamiseks tuleb 8-st lahutada 6

2 = 8 − 6

Näide 3. Vaatleme võrdsust 3 × 2 = 6

Avaldame arvu 3. Arvu 3 väljendamiseks on vaja 6 jagatud 2-ga

Taastame saadud võrdsuse algsesse olekusse:

3 × 2 = 6

Avaldame sellest võrdsusest arvu 2. Arvu 2 väljendamiseks on vaja 6 jagatud 3-ga

Näide 4. Mõelge võrdsusele

Avaldame sellest võrrandist arvu 15. Arvu 15 väljendamiseks tuleb arvud 3 ja 5 korrutada

15 = 3 × 5

Taastame saadud võrrandi 15 = 3 × 5 algsesse olekusse:

Avaldame sellest võrrandist arvu 5. Arvu 5 väljendamiseks on vaja 15 jagatud 3-ga

Tundmatute leidmise reeglid

Vaatleme mitut reeglit tundmatute leidmiseks. Need võivad teile tuttavad olla, kuid pole valus neid uuesti korrata. Tulevikus võivad need ununeda, kuna õpime võrrandeid lahendama neid reegleid rakendamata.

Läheme tagasi esimese näite juurde, mida vaatlesime eelmine teema, kus võrdsuses 8 + 2 = 10 oli vaja väljendada arvu 2.

Võrdsuses 8 + 2 = 10 on numbrid 8 ja 2 liikmed ning arv 10 on summa.

Numbri 2 väljendamiseks tegime järgmist:

2 = 10 − 8

See tähendab, et 10 summast lahutasime liikme 8.

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 + 2 = 10 on arvu 2 asemel muutuja x

8 + x = 10

Sel juhul saab võrdsusest 8 + 2 = 10 võrrand 8 + x= 10 ja muutuja x tundmatu termin

Meie ülesandeks on leida see tundmatu termin, st lahendada võrrand 8 + x= 10. Tundmatu termini leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama tuntud termini.

Mida me põhimõtteliselt tegime, kui väljendasime kahte võrrandis 8 + 2 = 10. Termini 2 väljendamiseks lahutasime summast 10 veel ühe liikme 8

2 = 10 − 8

Nüüd, et leida tundmatu termin x, peame summast 10 lahutama teadaoleva liikme 8:

x = 10 − 8

Kui arvutate saadud võrrandi parema külje, saate teada, millega muutuja on võrdne x

x = 2

Oleme võrrandi lahendanud. Muutuv väärtus x võrdub 2. Muutuja väärtuse kontrollimiseks x saadetakse algsele võrrandile 8 + x= 10 ja asenda x. Soovitatav on seda teha mis tahes lahendatud võrrandiga, kuna te ei saa olla täiesti kindel, et võrrand on õigesti lahendatud:

Tulemusena

Sama reegel kehtiks ka siis, kui tundmatu termin oleks esimene number 8.

x + 2 = 10

Selles võrrandis x on tundmatu termin, 2 on tuntud termin, 10 on summa. Tundmatu termini leidmiseks x, peate summast 10 lahutama teadaoleva liikme 2

x = 10 − 2

x = 8

Tuleme tagasi eelmisest teemast teise näite juurde, kus võrdsuses 8 − 2 = 6 oli vaja väljendada arvu 8.

Võrdsuses 8 − 2 = 6 on arv 8 minuend, arv 2 on alajaotus ja arv 6 on erinevus

Numbri 8 väljendamiseks tegime järgmist:

8 = 6 + 2

See tähendab, et lisasime erinevuse 6 ja lahutasime 2.

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 − 2 = 6 on arvu 8 asemel muutuja x

x − 2 = 6

Sel juhul muutuja x võtab endale rolli nn tundmatu minuend

Tundmatu minuendi leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa.

Seda me tegime, kui väljendasime arvu 8 võrrandis 8 − 2 = 6. 8 minutilõpu väljendamiseks lisasime 2 alamosa 6 erinevusele.

Nüüd, et leida tundmatu minuend x, peame erinevusele 6 lisama alamlahendi 2

x = 6 + 2

Kui arvutate parema külje, saate teada, millega muutuja võrdub x

x = 8

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 8 − 2 = 6 on arvu 2 asemel muutuja x

8 − x = 6

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu alamlahend

Tundmatu alamjaotuse leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist.

Seda me tegime, kui väljendasime arvu 2 võrrandis 8 − 2 = 6. Arvu 2 väljendamiseks lahutasime minuendist 8 erinevuse 6.

Nüüd, et leida tundmatu alamosa x, peate jällegi lahutama vahe 6 minuendist 8

x = 8 − 6

Arvutame parema külje ja leiame väärtuse x

x = 2

Tuleme tagasi eelmisest teemast kolmanda näite juurde, kus võrdsuses 3 × 2 = 6 proovisime väljendada arvu 3.

Võrdsuses 3 × 2 = 6 on arv 3 korrutis, arv 2 on kordaja, arv 6 on korrutis

Numbri 3 väljendamiseks tegime järgmist:

See tähendab, et jagasime korrutise 6 teguriga 2.

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses 3 × 2 = 6 on arvu 3 asemel muutuja x

x× 2 = 6

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu korrutis.

Tundmatu kordaja leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu kordaja leidmiseks peate korrutise teguriga jagama.

Seda me tegime, kui väljendasime arvu 3 võrrandist 3 × 2 = 6. Jagasime korrutise 6 koefitsiendiga 2.

Nüüd leidke tundmatu kordaja x, jagage korrutis 6 teguriga 2.

Parema poole arvutamine võimaldab meil leida muutuja väärtuse x

x = 3

Sama reegel kehtib ka muutuja puhul x asub kordaja, mitte kordaja asemel. Kujutame ette, et võrdsuses 3 × 2 = 6 on arvu 2 asemel muutuja x.

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu kordaja. Tundmatu teguri leidmiseks on ette nähtud sama protseduur nagu tundmatu kordaja leidmisel, nimelt korrutise jagamine teadaoleva teguriga:

Tundmatu teguri leidmiseks peate korrutise korrutisega jagama.

Seda me tegime, kui väljendasime arvu 2 võrrandist 3 × 2 = 6. Seejärel jagasime arvu 2 saamiseks korrutise 6 korrutisega 3.

Nüüd leidke tundmatu tegur x Jagasime 6 korrutise 3 kordajaga.

Võrdsuse parema külje arvutamine võimaldab teil teada saada, millega x on võrdne

x = 2

Korrutajat ja kordajat koos nimetatakse teguriteks. Kuna kordaja ja kordaja leidmise reeglid on samad, saame sõnastada üldreegel tundmatu teguri leidmine:

Tundmatu teguri leidmiseks peate jagama toote teadaoleva teguriga.

Näiteks lahendame võrrandi 9 × x= 18. Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis 18 teadaoleva teguriga 9

Lahendame võrrandi x× 3 = 27. Muutuv x on tundmatu tegur. Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis 27 teadaoleva teguriga 3

Tuleme tagasi eelmise teema neljanda näite juurde, kus võrdsuses oli vaja väljendada arvu 15. Selles võrdsuses on arv 15 dividend, arv 5 jagaja ja arv 3 jagatis.

Numbri 15 väljendamiseks tegime järgmist:

15 = 3 × 5

See tähendab, et me korrutasime 3 jagatise 5 jagajaga.

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on arvu 15 asemel muutuja x

Sel juhul muutuja x võtab rolli teadmata dividend.

Tundmatu dividendi leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Tundmatu dividendi leidmiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga.

Seda me tegime, kui väljendasime võrdsusest arvu 15. Arvu 15 väljendamiseks korrutame jagatise 3 jagajaga 5.

Nüüd, et leida tundmatu dividend x, peate jagatise 3 korrutama jagajaga 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Kujutage nüüd ette, et võrdsuses on arvu 5 asemel muutuja x .

Sel juhul muutuja x võtab rolli tundmatu jagaja.

Tundmatu jagaja leidmiseks on ette nähtud järgmine reegel:

Seda me tegime, kui väljendasime võrdsusest arvu 5. Arvu 5 väljendamiseks jagame dividendi 15 jagatisega 3.

Nüüd leidke tundmatu jagaja x, peate jagama dividendi 15 jagatisega 3

Arvutame saadud võrdsuse parema poole. Nii saame teada, millega muutuja on võrdne x .

x = 5

Nii et tundmatute leidmiseks uurisime järgmisi reegleid:

• Tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva liikme;
• Tundmatu minuendi leidmiseks tuleb erinevusele lisada alamosa;
• Tundmatu alamosa leidmiseks peate lahutama erinevuse minuendist;
• Tundmatu kordaja leidmiseks peate korrutise teguriga jagama;
• Tundmatu teguri leidmiseks peate korrutise korrutisega jagama;
• Tundmatu dividendi leidmiseks tuleb jagatis korrutada jagajaga;
• Tundmatu jagaja leidmiseks tuleb dividend jagada jagatisega.

Komponendid

Komponentideks nimetame võrdsuses sisalduvaid numbreid ja muutujaid

Niisiis, lisamise komponendid on tingimustele Ja summa

Lahutamise komponendid on minuend, subtrahend Ja erinevus

Korrutamise komponendid on korrutis, faktor Ja tööd

Jagamise komponendid on dividend, jagaja ja jagatis.

Olenevalt sellest, milliste komponentidega tegu, kehtivad tundmatute leidmiseks vastavad reeglid. Uurisime neid reegleid eelmises teemas. Võrrandite lahendamisel on soovitav neid reegleid peast teada.

Näide 1. Leidke võrrandi 45 + juur x = 60

45 – tähtaeg, x- tundmatu termin, 60 - summa. Tegeleme liitmise komponentidega. Tuletame meelde, et tundmatu termini leidmiseks peate summast lahutama teadaoleva termini:

x = 60 − 45

Arvutame parema külje ja saame väärtuse x võrdne 15-ga

x = 15

Seega on võrrandi juur 45 + x= 60 on võrdne 15-ga.

Kõige sagedamini tuleb tundmatu termin taandada vormile, milles seda saab väljendada.

Näide 2. Lahenda võrrand

Erinevalt eelmisest näitest ei saa siin tundmatut liiget kohe väljendada, kuna see sisaldab koefitsienti 2. Meie ülesanne on viia see võrrand vormile, milles seda saaks väljendada x

Selles näites käsitleme liitmise komponente – termineid ja summat. 2 x on esimene liige, 4 on teine ​​liige, 8 on summa.

Sel juhul termin 2 x sisaldab muutujat x. Pärast muutuja väärtuse leidmist x termin 2 x võtab teistsuguse ilme. Seega 2. termin x võib võtta täiesti tundmatu terminina:

Nüüd rakendame tundmatu termini leidmise reeglit. Lahutage summast teadaolev termin:

Arvutame saadud võrrandi parema külje:

Meil on uus võrrand. Nüüd käsitleme korrutamise komponente: kordajat, kordajat ja korrutist. 2 - korrutis, x- kordaja, 4 - korrutis

Sel juhul muutuja x ei ole lihtsalt kordaja, vaid tundmatu kordaja

Selle tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis korrutisega:

Arvutame parema külje ja saame muutuja väärtuse x

Kontrollimiseks saada leitud juur algvõrrandisse ja asendada x

Näide 3. Lahenda võrrand 3x+ 9x+ 16x= 56

Väljendage kohe tundmatut x see on keelatud. Kõigepealt peate selle võrrandi viima kujule, milles seda saaks väljendada.

Selle võrrandi vasakul küljel esitame:

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. 28 - korrutis, x- kordaja, 56 - korrutis. Kus x on tundmatu tegur. Tundmatu teguri leidmiseks jagage korrutis korrutisega:

Siit x võrdub 2

Ekvivalentvõrrandid

Eelmises näites võrrandi lahendamisel 3x + 9x + 16x = 56 , oleme võrrandi vasakul küljel andnud sarnased terminid. Selle tulemusena saime uue võrrandi 28 x= 56 . Vana võrrand 3x + 9x + 16x = 56 ja saadud uus võrrand 28 x= 56 kutsutakse samaväärsed võrrandid, kuna nende juured langevad kokku.

Võrrandeid nimetatakse ekvivalentseteks, kui nende juured langevad kokku.

Vaatame üle. Võrrandi jaoks 3x+ 9x+ 16x= 56 leidsime juure, mis on võrdne 2-ga. Esmalt asendame selle juure võrrandiga 3x+ 9x+ 16x= 56 ja seejärel võrrandisse 28 x= 56, mis saadi sarnaste terminite toomisel eelmise võrrandi vasakule küljele. Peame saama õiged arvulised võrdsused

Vastavalt toimingute järjekorrale tehakse kõigepealt korrutamine:

Asendame juur 2 teise võrrandiga 28 x= 56

Näeme, et mõlemal võrrandil on samad juured. Seega võrrandid 3x+ 9x+ 16x= 6 ja 28 x= 56 on tõepoolest samaväärsed.

Võrrandi lahendamiseks 3x+ 9x+ 16x= 56 Kasutasime ühte neist – sarnaste terminite vähendamist. Võrrandi õige identiteedi teisendus võimaldas meil saada ekvivalentvõrrandi 28 x= 56, mida on lihtsam lahendada.

Alates identsetest teisendustest kuni Sel hetkel Teame vaid, kuidas murde vähendada, sarnaseid termineid lisada, ühistegurit sulgudest välja võtta ja ka sulgusid avada. On ka teisi konversioone, millest peaksite teadma. Aga selleks üldine idee võrrandite identsete teisenduste kohta on meie uuritud teemad täiesti piisavad.

Vaatleme mõningaid teisendusi, mis võimaldavad saada samaväärse võrrandi

Kui lisate võrrandi mõlemale poolele sama arvu, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

ja sarnaselt:

Kui lahutate võrrandi mõlemalt küljelt sama arvu, saate võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

Teisisõnu, võrrandi juur ei muutu, kui samale arvule liidetakse (või lahutatakse mõlemalt poolt) sama arv.

Näide 1. Lahenda võrrand

Lahutage võrrandi mõlemast küljest 10

Saime võrrandi 5 x= 10. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x, jagage korrutis 10 teadaoleva teguriga 5.

ja asendada x leitud väärtus 2

Saime õige arvulise võrdsuse. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Võrrandi lahendamine me lahutasime võrrandi mõlemast küljest arvu 10. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu võrrand on samuti võrdne 2-ga

Näide 2. Lahenda võrrand 4( x+ 3) = 16

Lahutage võrrandi mõlemalt küljelt arv 12

Vasakusse serva jääb 4 x ja paremal pool number 4

Saime võrrandi 4 x= 4. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Tundmatu teguri leidmiseks x, jagage korrutis 4 teadaoleva teguriga 4

Pöördume tagasi algse võrrandi 4 ( x+ 3) = 16 ja asenda x leitud väärtus 1

Saime õige arvulise võrdsuse. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Võrrandi 4 lahendamine ( x+ 3) = 16 lahutasime võrrandi mõlemalt poolelt arvu 12. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi 4 x= 4. Selle võrrandi juur, nagu võrrand 4( x+ 3) = 16 on samuti võrdne 1-ga

Näide 3. Lahenda võrrand

Laiendame võrdsuse vasakpoolses servas olevaid sulgusid:

Lisage võrrandi mõlemale poolele arv 8

Esitame sarnased terminid võrrandi mõlemal poolel:

Vasakusse serva jääb 2 x ja paremal pool number 9

Saadud võrrandis 2 x= 9 väljendame tundmatut terminit x

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendada x leitud väärtus 4,5

Saime õige arvulise võrdsuse. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Võrrandi lahendamine lisasime võrrandi mõlemale poolele arvu 8. Selle tulemusena saime samaväärse võrrandi. Selle võrrandi juur, nagu võrrand samuti võrdne 4,5-ga

Järgmine reegel, mis võimaldab meil saada samaväärse võrrandi, on järgmine

Kui liigutate võrrandis oleva liikme ühest osast teise, muutes selle märki, saate antud võrrandiga samaväärse võrrandi.

See tähendab, et võrrandi juur ei muutu, kui liigutame liikme võrrandi ühest osast teise, muutes selle märki. See omadus on võrrandite lahendamisel üks tähtsamaid ja sageli kasutatavaid.

Mõelge järgmisele võrrandile:

Selle võrrandi juur on võrdne 2-ga. Asendame x see juur ja kontrollige, kas arvuline võrdus on õige

Tulemuseks on õige võrdsus. See tähendab, et arv 2 on tõepoolest võrrandi juur.

Nüüd proovime katsetada selle võrrandi tingimusi, liigutades neid ühest osast teise, muutes märke.

Näiteks termin 3 x asub võrrandi vasakul küljel. Liigutame selle paremale küljele, muutes märgi vastupidiseks:

Tulemuseks on võrrand 12 = 9x − 3x . selle võrrandi paremal küljel:

x on tundmatu tegur. Leiame selle tuntud teguri:

Siit x= 2. Nagu näete, pole võrrandi juur muutunud. Seega on võrrandid 12 + 3 x = 9x Ja 12 = 9x − 3x on samaväärsed.

Tegelikult on see teisendus eelmise teisenduse lihtsustatud meetod, kus võrrandi mõlemale poolele liideti (või lahutati) sama arv.

Me ütlesime, et võrrandis 12 + 3 x = 9x termin 3 x nihutati paremale poole, muutes märki. Tegelikkuses juhtus järgmine: liige 3 lahutati võrrandi mõlemast poolest x

Seejärel anti sarnased terminid vasakule poole ja saadi võrrand 12 = 9x − 3x. Seejärel anti jälle sarnased terminid, kuid paremal pool, ja saadi võrrand 12 = 6 x.

Kuid nn "tõlge" on selliste võrrandite jaoks mugavam, mistõttu on see nii laialt levinud. Võrrandite lahendamisel kasutame sageli seda konkreetset teisendust.

Võrrandid 12 + 3 on samuti samaväärsed x= 9x Ja 3x− 9x= −12 . Seekord on võrrand 12 + 3 x= 9x 12. termin viidi paremale poole ja 9. termin x vasakule. Ei tasu unustada, et ülekande käigus muudeti nende tingimuste märke

Järgmine reegel, mis võimaldab meil saada samaväärse võrrandi, on järgmine:

Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama arvuga, mis ei ole võrdne nulliga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.

Teisisõnu, võrrandi juured ei muutu, kui mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama arvuga. Seda toimingut kasutatakse sageli siis, kui peate lahendama murdosavaldisi sisaldava võrrandi.

Esiteks vaatame näiteid, kus võrrandi mõlemad pooled korrutatakse sama arvuga.

Näide 1. Lahenda võrrand

Murruavaldisi sisaldavate võrrandite lahendamisel on tavaks kõigepealt võrrandit lihtsustada.

IN sel juhul meil on tegemist just sellise võrrandiga. Selle võrrandi lihtsustamiseks saab mõlemad pooled korrutada 8-ga:

Peame meeles, et , peame korrutama antud murdosa lugeja selle arvuga. Meil on kaks murdu ja igaüks neist korrutatakse arvuga 8. Meie ülesanne on korrutada murdude lugejad selle arvuga 8

Nüüd juhtub huvitav osa. Mõlema murru lugejad ja nimetajad sisaldavad koefitsienti 8, mida saab vähendada 8 võrra. See võimaldab meil vabaneda murdosavaldisest:

Selle tulemusena jääb alles kõige lihtsam võrrand

Noh, pole raske arvata, et selle võrrandi juur on 4

x leitud väärtus 4

Tulemuseks on õige arvuline võrdsus. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Selle võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled 8-ga. Selle tulemusena saime võrrandi. Selle võrrandi, nagu ka võrrandi, juur on 4. See tähendab, et need võrrandid on samaväärsed.

Tegur, millega võrrandi mõlemad pooled korrutatakse, kirjutatakse tavaliselt võrrandi osa ette, mitte selle järele. Niisiis, võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled koefitsiendiga 8 ja saime järgmise kirje:

See ei muutnud võrrandi juurt, kuid kui oleksime seda koolis teinud, oleksime saanud noomituse, kuna algebras on tavaks kirjutada tegur enne avaldist, millega see korrutatakse. Seetõttu on soovitatav võrrandi mõlema poole korrutis koefitsiendiga 8 ümber kirjutada järgmiselt:

Näide 2. Lahenda võrrand

Vasakul pool saab koefitsiente 15 vähendada 15 võrra ning paremal koefitsiente 15 ja 5 saab vähendada 5 võrra.

Avame võrrandi paremal küljel olevad sulud:

Liigutame terminit x võrrandi vasakult küljelt paremale poole, muutes märki. Ja me liigume võrrandi paremalt poolelt liikme 15 vasakule, muutes jällegi märki:

Esitame mõlemal poolel sarnased terminid, saame

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Muutuv x

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendada x leitud väärtus 5

Tulemuseks on õige arvuline võrdsus. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud. Selle võrrandi lahendamisel korrutasime mõlemad pooled 15-ga. Edaspidi identsete teisenduste sooritamisel saime võrrandi 10 = 2 x. Selle võrrandi juur, nagu võrrand võrdub 5-ga. See tähendab, et need võrrandid on samaväärsed.

Näide 3. Lahenda võrrand

Vasakul küljel saate vähendada kahte kolme ja parem pool on 18

Lihtsaim võrrand jääb alles. Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Muutuv x on tundmatu tegur. Leiame selle tuntud teguri:

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendame x leitud väärtus 9

Tulemuseks on õige arvuline võrdsus. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Näide 4. Lahenda võrrand

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga

Avame võrrandi vasakul küljel olevad sulud. Paremal küljel saab teguri 6 tõsta lugejani:

Vähendame seda, mida saab võrrandi mõlemal poolel taandada:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Kasutame terminite ülekandmist. Tundmatut sisaldavad terminid x, rühmitame võrrandi vasakule küljele ja tundmatutest vabad terminid paremale:

Esitame mõlemas osas sarnased terminid:

Nüüd leiame muutuja väärtuse x. Selleks jagage korrutis 28 teadaoleva teguriga 7

Siit x= 4.

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendada x leitud väärtus 4

Tulemuseks on õige numbriline võrrand. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Näide 5. Lahenda võrrand

Võimaluse korral avame võrrandi mõlemal küljel olevad sulud:

Korrutage võrrandi mõlemad pooled 15-ga

Avame võrrandi mõlemal küljel olevad sulud:

Vähendame seda, mida saab võrrandi mõlemal poolel taandada:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Võimaluse korral laiendame sulgusid:

Kasutame terminite ülekandmist. Rühmitame võrrandi vasakule küljele tundmatut sisaldavad terminid ja paremale poole tundmatutest vabad terminid. Ärge unustage, et ülekande ajal muudavad terminid oma märgid vastupidiseks:

Esitame sarnased terminid võrrandi mõlemal poolel:

Leiame väärtuse x

Saadud vastuse saab jagada terveks osaks:

Pöördume tagasi algse võrrandi juurde ja asendame x leitud väärtus

See osutub üsna tülikaks väljendiks. Kasutame muutujaid. Paneme võrdsuse vasaku poole muutujaks A, ja võrdsuse parem pool muutujaks B

Meie ülesanne on veenduda, kas vasak pool on võrdne paremaga. Teisisõnu tõestage võrdsust A = B

Leiame avaldise väärtuse muutujas A.

Muutuv väärtus A võrdub . Nüüd leiame muutuja väärtuse B. See tähendab meie võrdsuse parema poole väärtust. Kui see on samuti võrdne, lahendatakse võrrand õigesti

Näeme, et muutuja väärtus B, samuti muutuja A väärtus on . See tähendab, et vasak pool on võrdne parema küljega. Sellest järeldame, et võrrand on õigesti lahendatud.

Nüüd proovime võrrandi mõlemat poolt mitte korrutada sama arvuga, vaid jagada.

Mõelge võrrandile 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Lahendame selle tavalisel meetodil: rühmitame võrrandi vasakule poolele tundmatuid sisaldavad terminid ja paremale poole tundmatutest vabad terminid. Järgmisena, tehes teadaolevaid identiteedi teisendusi, leiame väärtuse x

Asendame selle asemel leitud väärtuse 2 x algsesse võrrandisse:

Nüüd proovime eraldada kõik võrrandi liikmed 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 Märgime, et selle võrrandi kõigil liikmetel on ühine tegur 2. Jagame iga liikme sellega:

Vähendame iga terminit:

Kirjutame üle selle, mis meil üle jäi:

Lahendame selle võrrandi tuntud identiteedi teisenduste abil:

Meil on root 2. Seega võrrandid 15x+ 7x+ 7 = 35x− 20x+ 21 Ja 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 on samaväärsed.

Võrrandi mõlema poole jagamine sama arvuga võimaldab koefitsiendist tundmatu eemaldada. Eelmises näites, kui saime võrrandi 7 x= 14, oli meil vaja korrutis 14 jagada teadaoleva koefitsiendiga 7. Aga kui oleksime vabastanud tundmatu tegurist 7 vasakul küljel, oleks juur leitud kohe. Selleks piisas mõlema poole jagamisest 7-ga

Kasutame seda meetodit ka sageli.

Korrutamine miinus ühega

Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse miinus ühega, saate selle võrrandi.

See reegel tuleneb asjaolust, et võrrandi mõlema poole korrutamine (või jagamine) sama arvuga ei muuda antud võrrandi juurt. See tähendab, et juur ei muutu, kui selle mõlemad osad korrutada -1-ga.

See reegel võimaldab muuta kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Milleks see mõeldud on? Jällegi samaväärse võrrandi saamiseks, mida on lihtsam lahendada.

Mõelge võrrandile. Mis on selle võrrandi juur?

Lisage võrrandi mõlemale poolele arv 5

Vaatame sarnaseid termineid:

Nüüd meenutame umbes. Mis on võrrandi vasak pool? See on miinus ühe ja muutuja korrutis x

See tähendab, et muutuja ees olev miinusmärk x ei viita muutujale endale x, vaid ühele, mida me ei näe, kuna koefitsienti 1 tavaliselt üles ei kirjutata. See tähendab, et võrrand näeb tegelikult välja selline:

Meil on tegemist korrutamise komponentidega. Leidma X, tuleb korrutis −5 jagada teadaoleva teguriga −1.

või jagage võrrandi mõlemad pooled -1-ga, mis on veelgi lihtsam

Seega on võrrandi juur 5. Kontrollimiseks asendame selle algse võrrandiga. Ärge unustage, et algses võrrandis on miinus muutuja ees x viitab nähtamatule üksusele

Tulemuseks on õige numbriline võrrand. See tähendab, et võrrand on õigesti lahendatud.

Nüüd proovime võrrandi mõlemad pooled korrutada miinus ühega:

Pärast sulgude avamist moodustatakse avaldis vasakule küljele ja parem külg on 10

Selle võrrandi, nagu ka võrrandi, juur on 5

See tähendab, et võrrandid on samaväärsed.

Näide 2. Lahenda võrrand

Selles võrrandis on kõik komponendid negatiivsed. Positiivsete komponentidega on mugavam töötada kui negatiivsetega, seega muudame kõigi võrrandis sisalduvate komponentide märke. Selleks korrutage selle võrrandi mõlemad pooled -1-ga.

On selge, et kui korrutada -1-ga, muudab iga arv oma märgi vastupidiseks. Seetõttu ei kirjeldata täpsemalt −1-ga korrutamise ja sulgude avamise protseduuri, vaid kohe kirjutatakse üles vastandmärkidega võrrandi komponendid.

Seega saab võrrandi korrutamise -1-ga üksikasjalikult kirjutada järgmiselt:

või võite lihtsalt muuta kõigi komponentide märke:

Tulemus on sama, kuid erinevus seisneb selles, et hoiame kokku aega.

Seega, korrutades võrrandi mõlemad pooled -1-ga, saame võrrandi. Lahendame selle võrrandi. Lahutage mõlemalt küljelt 4 ja jagage mõlemad pooled 3-ga

Kui juur on leitud, kirjutatakse muutuja tavaliselt vasakule ja selle väärtus paremale, mida me ka tegime.

Näide 3. Lahenda võrrand

Korrutame võrrandi mõlemad pooled -1-ga. Seejärel muudavad kõik komponendid oma märgid vastupidisteks:

Lahutage saadud võrrandi mõlemast küljest 2 x ja andke sarnased terminid:

Lisame võrrandi mõlemale poolele ühe ja anname sarnased terminid:

Võrdsus nulliga

Hiljuti saime teada, et kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saame võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga.

Mis juhtub, kui liigute ühelt osalt teisele mitte ainult ühe termini, vaid kõigi terminite vahel? Eks selles osas, kus kõik terminid ära võeti, jääb null alles. Teisisõnu, ei jää midagi järele.

Vaatleme näiteks võrrandit. Lahendame selle võrrandi tavapäraselt – ühte gruppi grupeerime tundmatuid sisaldavad terminid, teises jätame arvulised terminid tundmatutest vabaks. Järgmisena, tehes teadaolevaid identiteedi teisendusi, leiame muutuja väärtuse x

Nüüd proovime sama võrrandit lahendada, võrdsustades kõik selle komponendid nulliga. Selleks liigutame kõik terminid paremalt vasakule, muutes märke:

Esitame sarnased terminid vasakul küljel:

Lisage mõlemale poolele 77 ja jagage mõlemad pooled 7-ga

Alternatiiv tundmatute leidmise reeglitele

Ilmselgelt, teades võrrandite identsetest teisendustest, ei pea te tundmatute leidmise reegleid pähe õppima.

Näiteks võrrandist tundmatu leidmiseks jagasime korrutise 10 teadaoleva teguriga 2

Aga kui jagad võrrandi mõlemad pooled 2-ga, leitakse juur kohe. Võrrandi vasakul poolel lugejas vähendatakse tegurit 2 ja nimetajas tegurit 2 2 võrra. Ja parem pool on 5

Lahendasime vormi võrrandid, väljendades tundmatut terminit:

Kuid võite kasutada identseid teisendusi, mida me täna uurisime. Võrrandis saab liiget 4 nihutada paremale, muutes märki:

Võrrandi vasakul poolel tühistatakse kaks kahte. Parem pool on võrdne 2-ga. Seega .

Või võite võrrandi mõlemast küljest lahutada 4. Siis saate järgmise:

Kujuvõrrandite puhul on mugavam jagada korrutis teadaoleva teguriga. Võrdleme mõlemat lahendust:

Esimene lahendus on palju lühem ja korralikum. Teist lahendust saab oluliselt lühendada, kui teete jaotuse oma peas.

Siiski on vaja teada mõlemat meetodit ja alles seejärel kasutada seda, mida eelistate.

Kui juuri on mitu

Võrrandil võib olla mitu juurt. Näiteks võrrand x(x+ 9) = 0-l on kaks juurt: 0 ja −9.

In Eq. x(x+ 9) = 0 oli vaja leida selline väärtus x mille juures vasak pool oleks võrdne nulliga. Selle võrrandi vasak pool sisaldab avaldisi x Ja (x+9), mis on tegurid. Korrutiseseadustest teame, et korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga (kas esimene või teine ​​tegur).

See tähendab, et Eq. x(x+ 9) = 0 võrdsus saavutatakse, kui x on võrdne nulliga või (x+9) on võrdne nulliga.

x= 0 või x + 9 = 0

Seades mõlemad avaldised nulliks, saame leida võrrandi juured x(x+ 9) = 0 . Esimene juur, nagu näitest näha, leiti kohe. Teise juure leidmiseks tuleb lahendada elementaarvõrrand x+ 9 = 0 . Lihtne on arvata, et selle võrrandi juur on −9. Kontrollimine näitab, et juur on õige:

−9 + 9 = 0

Näide 2. Lahenda võrrand

Sellel võrrandil on kaks juurt: 1 ja 2. Vasak pool võrrand on avaldiste korrutis ( x− 1) ja ( x– 2) . Ja korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga (või tegur ( x− 1) või tegur ( x − 2) ).

Leiame midagi sellist x mille all on väljendid ( x− 1) või ( x− 2) muutub nulliks:

Asendame leitud väärtused ükshaaval algsesse võrrandisse ja veendume, et nende väärtuste vasak pool on võrdne nulliga:

Kui juuri on lõpmatult palju

Võrrandil võib olla lõpmatult palju juuri. See tähendab, et asendades sellisesse võrrandisse suvalise arvu, saame õige arvulise võrdsuse.

Näide 1. Lahenda võrrand

Selle võrrandi juur on mis tahes arv. Kui avate võrrandi vasakpoolses servas olevad sulud ja lisate sarnased terminid, saate võrrandi 14 = 14. See võrdsus saavutatakse mis tahes x

Näide 2. Lahenda võrrand

Selle võrrandi juur on mis tahes arv. Kui avate võrrandi vasakul küljel olevad sulud, saate võrdsuse 10x + 12 = 10x + 12. See võrdsus saavutatakse mis tahes x

Kui juuri pole

Juhtub ka seda, et võrrandil pole üldse lahendeid, see tähendab, et sellel pole juuri. Näiteks ei ole võrrandil juuri, kuna mis tahes väärtuse korral x, ei võrdu võrrandi vasak pool parema poolega. Näiteks lase . Siis saab võrrand järgmise kuju

Näide 2. Lahenda võrrand

Laiendame võrdsuse vasakpoolses servas olevaid sulgusid:

Vaatame sarnaseid termineid:

Näeme, et vasak pool ei võrdu paremaga. Ja see kehtib iga väärtuse puhul. y. Näiteks lase y = 3 .

Tähtvõrrandid

Võrrand võib sisaldada mitte ainult muutujatega numbreid, vaid ka tähti.

Näiteks kiiruse leidmise valem on sõnasõnaline võrrand:

See võrrand kirjeldab keha kiirust ühtlaselt kiirendatud liikumisel.

Kasulik oskus on oskus väljendada mis tahes tähtvõrrandis sisalduvat komponenti. Näiteks võrrandist kauguse määramiseks peate väljendama muutujat s .

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Muutujad paremal t jätame vahele t

Saadud võrrandis vahetame vasaku ja parema külje:

Meil on kauguse leidmiseks valem, mida me varem uurisime.

Proovime võrrandist määrata aega. Selleks peate väljendama muutujat t .

Korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Muutujad paremal t jätame vahele t ja kirjutame üle, mis meil üle jääb:

Saadud võrrandis v×t = s jagage mõlemad osad v

Muutujad vasakul v jätame vahele v ja kirjutame üle, mis meil üle jääb:

Meil on aja määramise valem, mida me varem uurisime.

Oletame, et rongi kiirus on 50 km/h

v= 50 km/h

Ja vahemaa on 100 km

s= 100 km

Siis on kiri järgmises vormis

Aja võib leida sellest võrrandist. Selleks peate suutma muutujat väljendada t. Tundmatu jagaja leidmiseks saab kasutada reeglit, jagades dividendi jagatisega ja määrates seeläbi muutuja väärtuse t

või võite kasutada identseid teisendusi. Kõigepealt korrutage võrrandi mõlemad pooled arvuga t

Seejärel jagage mõlemad pooled 50-ga

Näide 2 x

Lahutage võrrandi mõlemast küljest a

Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga b

a + bx = c, siis on meil valmis lahendus. Piisab, kui asendada sellesse vajalikud väärtused. Need väärtused, mis asendatakse tähtedega a, b, c tavaliselt kutsutakse parameetrid. Ja vormi võrrandid a + bx = c helistas võrrand parameetritega. Sõltuvalt parameetritest muutub juur.

Lahendame võrrandi 2 + 4 x= 10. See näeb välja nagu tähtvõrrand a + bx = c. Identsete teisenduste tegemise asemel võime kasutada valmislahendust. Võrdleme mõlemat lahendust:

Näeme, et teine ​​lahendus on palju lihtsam ja lühem.

Valmislahenduse jaoks on vaja teha väike märkus. Parameeter b ei tohi olla võrdne nulliga (b ≠ 0), kuna nulliga jagamine on lubatud.

Näide 3. Antakse sõnasõnaline võrrand. Väljendage sellest võrrandist x

Avame võrrandi mõlemal küljel olevad sulud

Kasutame terminite ülekandmist. Muutujat sisaldavad parameetrid x, rühmitame võrrandi vasakule küljele ja sellest muutujast vabad parameetrid paremale.

Vasakul küljel võtame teguri sulgudest välja x

Jagame mõlemad pooled avaldisega a − b

Vasakul küljel saab lugejat ja nimetajat vähendada a − b. Nii väljendatakse muutujat lõpuks x

Kui nüüd kohtame vormi võrrandit a(x − c) = b(x + d), siis on meil valmis lahendus. Piisab, kui asendada sellesse vajalikud väärtused.

Oletame, et meile on antud võrrand 4(x− 3) = 2(x+ 4) . See näeb välja nagu võrrand a(x − c) = b(x + d). Lahendame selle kahel viisil: kasutades identseid teisendusi ja kasutades valmislahendust:

Mugavuse huvides võtame selle võrrandist välja 4(x− 3) = 2(x+ 4) parameetrite väärtused a, b, c, d . See võimaldab meil asendamisel mitte viga teha:

Nagu eelmises näites, ei tohiks nimetaja siin olla võrdne nulliga ( a − b ≠ 0) . Kui kohtame vormi võrrandit a(x − c) = b(x + d) milles parameetrid a Ja b on sama, võime seda lahendamata öelda, et sellel võrrandil pole juuri, kuna erinevus identsed numbrid võrdne nulliga.

Näiteks võrrand 2 (x - 3) = 2 (x + 4) on vormi võrrand a(x − c) = b(x + d). In Eq. 2 (x - 3) = 2 (x + 4) valikuid a Ja b sama. Kui hakkame seda lahendama, jõuame järeldusele, et vasak pool ei võrdu paremaga:

Näide 4. Antakse sõnasõnaline võrrand. Väljendage sellest võrrandist x

Toome võrrandi vasakpoolse poole ühise nimetaja juurde:

Korrutage mõlemad pooled arvuga a

Vasakul pool x paneme selle sulgudest välja

Jagage mõlemad pooled avaldisega (1 − a)

Lineaarvõrrandid ühe tundmatuga

Selles õppetükis käsitletud võrrandeid nimetatakse esimese astme lineaarvõrrandid ühe tundmatuga.

Kui võrrand on antud esimesel astmel, ei sisalda jagamist tundmatuga ega sisalda ka juure tundmatust, siis võib seda nimetada lineaarseks. Me pole veel võimeid ja juuri uurinud, nii et oma elu mitte keerulisemaks muutmiseks mõistame sõna "lineaarne" kui "lihtsust".

Enamik selles õppetükis lahendatud võrrandeid taandus lõpuks lihtsale võrrandile, milles pidite korrutise jagama teadaoleva teguriga. Näiteks on see võrrand 2( x+ 3) = 16 . Lahendame selle ära.

Avame võrrandi vasakul küljel olevad sulud, saame 2 x+ 6 = 16. Liigutame liiget 6 paremale poole, muutes märki. Siis saame 2 x= 16 − 6. Arvutage parem külg, saame 2 x= 10. Et leida x, jagage korrutis 10 teadaoleva teguriga 2. Seega x = 5.

Võrrand 2( x+ 3) = 16 on lineaarne. See taandub võrrandile 2 x= 10, mille juure leidmiseks oli vaja korrutis jagada teadaoleva teguriga. Seda lihtsaimat võrrandit nimetatakse esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilisel kujul. Sõna "kanooniline" on sünonüüm sõnadega "lihtne" või "tavaline".

Esimese astme lineaarvõrrandit ühe tundmatuga kanoonilisel kujul nimetatakse vormivõrrandiks kirves = b.

Meie saadud võrrand 2 x= 10 on esimese astme lineaarvõrrand ühe tundmatuga kanoonilisel kujul. Sellel võrrandil on esimene aste, üks tundmatu, see ei sisalda jagamist tundmatuga ega sisalda juure tundmatust ning see esitatakse kanoonilisel kujul, st kõige lihtsamal kujul, milles väärtust saab hõlpsasti määrata x. Parameetrite asemel a Ja b meie võrrand sisaldab numbreid 2 ja 10. Kuid selline võrrand võib sisaldada ka teisi numbreid: positiivseid, negatiivseid või nulliga võrdseid.

Kui lineaarvõrrandis a= 0 ja b= 0, siis on võrrandil lõpmatult palju juuri. Tõepoolest, kui a võrdne nulliga ja b võrdub nulliga, siis lineaarvõrrand kirves= b võtab kujul 0 x= 0. Iga väärtuse eest x vasak pool on võrdne parema küljega.

Kui lineaarvõrrandis a= 0 ja b≠ 0, siis võrrandil pole juuri. Tõepoolest, kui a võrdne nulliga ja b võrdne mis tahes arvuga, mitte võrdne nulliga, öelge number 5 ja seejärel võrrand kirves = b võtab kujul 0 x= 5. Vasak pool on null ja parem külg on viis. Ja null ei võrdu viiega.

Kui lineaarvõrrandis a≠ 0 ja b võrdub mis tahes arvuga, siis on võrrandil üks juur. See määratakse parameetri jagamisel b parameetri kohta a

Tõepoolest, kui a võrdne mõne arvuga, mis ei ole null, ütleme arvuga 3 ja b võrdne mõne arvuga, ütleme arvuga 6, siis on võrrand kujul .
Siit.

On veel üks salvestusviis lineaarvõrrand esimene aste ühe tundmatuga. See näeb välja selline: kirves−b= 0. See on sama võrrand nagu kirves = b

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp VKontakte ja hakkate uute õppetundide kohta teatisi saama

§ 1 Kuidas leida tundmatut terminit

Kuidas leida võrrandi juur, kui üks terminitest on tundmatu? Selles õppetükis vaatleme võrrandite lahendamise meetodit, mis põhineb liikmete ja summa väärtuse seostel.

Lahendame selle probleemi.

Lillepeenras kasvas 6 punast tulpi ja 3 kollast. Mitu tulpi oli lillepeenras? Paneme lahenduse kirja. Niisiis, seal oli 6 punast ja 3 kollane tulp Seega saame kirja panna avaldise 6+3, peale liitmise sooritamist saame tulemuse - lillepeenras kasvas 9 tulpi.

Paneme lahenduse kirja. Niisiis kasvasid 6 punast ja 3 kollast tulpi, seetõttu võime kirjutada avaldise 6 + 3, pärast liitmist saame tulemuse - lillepeenras kasvas 9 tulpi. 6 + 3 = 9.

Muudame probleemiseisundit. Lillepeenras kasvas 9 tulpi, 6 korjati. Mitu tulpi on alles?

Et teada saada, kui palju tulpe on peenrasse jäänud, tuleb 9 tulbi koguarvust lahutada korjatud õied, neid on 6.

Teeme arvutused: 9-6 saame tulemuseks 3. Lillepeenrasse on jäänud 3 tulpi.

Muudame selle probleemi uuesti. Tulpe kasvas 9, korjati 3. Mitu tulpi on alles?

Lahendus näeb välja selline: tulpide koguarvust 9 tuleb lahutada korjatud õied, neid on 3. Tulpe jääb alles 6.

Vaatame võrdsusi lähemalt ja proovime välja mõelda, kuidas need on omavahel seotud.

Nagu näete, sisaldavad need võrdsused samu numbreid ja pöördtoiminguid: liitmist ja lahutamist.

Pöördume tagasi esimese ülesande lahendamise juurde ja vaatleme avaldist 6 + 3 = 9.

Pidagem meeles, milliseid numbreid lisamisel nimetatakse:

6 on esimene tähtaeg

3 - teine ​​tähtaeg

9 - summa väärtus

Mõelgem nüüd, kuidas saime erinevused 9 - 6 = 3 ja 9 - 3 = 6?

Võrdsuses 9 - 6 = 3 lahutati summa9 väärtusest esimene liige6 ja saadi teine ​​liige3.

Võrdsuses 9 - 3 = 6 lahutasime summa9 väärtusest teise liikme3 ja saime esimese liikme6.

Seega, kui lahutate summa väärtusest esimese liikme, saate teise liikme ja kui lahutate summa väärtusest teise liikme, saate esimese liikme.

Sõnastame üldreegli:

Tundmatu termini leidmiseks peate tuntud termini summa väärtusest lahutama.

§ 2 Näiteid tundmatu liikmega võrrandite lahendamisest

Vaatame tundmatute terminitega võrrandeid ja proovime selle reegli abil leida juured.

Lahendame võrrandi X + 5 = 7.

Selle võrrandi esimene liige on teadmata. Selle leidmiseks kasutame reeglit: tundmatu esimese liikme X leidmiseks on vaja summa 7 väärtusest lahutada teine ​​liige 5.

See tähendab, et X = 7-5,

leiame erinevuse 7 - 5 = 2, X = 2.

Kontrollime, kas leidsime võrrandi juure õigesti. Kontrollimiseks peate võrrandis asendama X-i asemel numbri 2:

7 = 7 - saime õige võrdsuse. Järeldame: arv 2 on võrrandi X+5=7 juur.

Lahendame veel ühe võrrandi 8 + Y = 17.

Selle võrrandi teine ​​liige on teadmata.

Selle leidmiseks peate summa 17 väärtusest lahutama esimese liikme 8.

Kontrollime: asendage Y arv 9. Saame:

17 = 17 - saime õige võrdsuse.

Seetõttu on arv 9 võrrandi 8 + Y = 17 juur.

Niisiis tutvusime tunnis võrrandite lahendamise meetodiga, mis põhineb terminite ja summa väärtuse seostel. Tundmatu termini leidmiseks peate tuntud termini summa väärtusest lahutama.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. I.I. Arginskaja, E.I. Ivanovskaja, S.N. Kormishina. Matemaatika: Õpik 2. klassile: Kell 2. kl. - Samara: kirjastus " Õppekirjandus»: Kirjastus"Fjodorov", 2012.
2. Arginskaja I.I. Matemaatika ülesannete kogumik iseseisvaks, kontrolltööks ja testid V Põhikool. - Samara: korporatsioon Fedorov, õppekirjanduse kirjastus, 2006.

Kasutatud pildid: