Algkooli algebralise materjali õppimise metoodika. Algebra elemendid põhikoolis

Saada oma hea töö teadmistebaasi on lihtne. Kasutage allolevat vormi

Õpilased, kraadiõppurid, noored teadlased, kes kasutavad teadmistebaasi õpingutes ja töös, on teile väga tänulikud.

Postitatud saidile http://www.allbest.ru/

SISSEJUHATUS

KOKKUVÕTE

BIBLIOGRAPHY

Sissejuhatus

Igas kaasaegses üldharidussüsteemis on matemaatika üks keskseid kohti, mis annab kahtlemata tunnistust selle teadmiste valdkonna ainulaadsusest.

Mis on kaasaegne matemaatika? Miks seda vaja on? Neid ja sarnaseid küsimusi esitavad lapsed õpetajatele sageli. Ja iga kord on vastus erinev, sõltuvalt lapse arengutasemest ja tema haridusvajadustest.

Sageli öeldakse, et matemaatika on kaasaegse teaduse keel. Sellel avaldusel näib siiski olevat oluline puudus. Matemaatika keel on nii laialt levinud ja nii sageli tõhus just seetõttu, et matemaatika pole sellele taandatav.

Silmapaistev vene matemaatik A.N. Kolmogorov kirjutas: "Matemaatika pole ainult üks keeltest. Matemaatika on keel pluss arutluskäik, see on justkui keel ja loogika koos. Matemaatika on mõtlemise tööriist. See koondab paljude inimeste täpse mõtlemise tulemused . Matemaatika abil saab ühe arutluskäigu ühendada teisega. Looduse ilmsed keerukused oma kummaliste seaduste ja reeglitega, millest igaüks tunnistab eraldi väga üksikasjalikku selgitust, on tegelikult tihedalt seotud. Kui te aga ei soovi Kui kasutada matemaatikat, ei näe te selles tohutul hulgal faktides, et loogika võimaldab teil ühelt teisele liikuda. "

Seega võimaldab matemaatika kujundada teatud mõtlemisvorme, mis on vajalikud meid ümbritseva maailma uurimiseks.

Milline on matemaatika üldine ja koolimatemaatika mõju loova inimese haridusele? Probleemide lahendamise kunsti õpetamine matemaatikatundides annab meile äärmiselt soodsa võimaluse õpilaste teatud mõtteviisi arendamiseks. Vajadus teadustegevuse vastu arendab huvi seaduste vastu, õpetab nägema inimmõtte ilu ja harmooniat. Kõik see on meie arvates üldkultuuri kõige olulisem element. Matemaatika kursusel on oluline mõju erinevate mõtlemisvormide kujunemisele: loogiline, ruumigeomeetriline, algoritmiline. Iga loominguline protsess algab hüpoteesi sõnastamisega. Matemaatika koos koolituse asjakohase korraldusega, olles hea kool hüpoteeside konstrueerimiseks ja testimiseks, õpetab meid erinevaid hüpoteese võrdlema, leidma parima variandi, seadma uusi probleeme ja otsima võimalusi nende lahendamiseks. Muuhulgas arendab ta ka metoodilise töö harjumust, ilma milleta ei kujutaks ette ühtegi loomingulist protsessi. Maksimeerides inimese mõtlemise võimalusi, on matemaatika selle kõrgeim saavutus. See aitab inimesel eneseteadvust ja tema iseloomu kujunemist. See on vaid natuke pikkast loetelust põhjustest, miks matemaatikateadmised peaksid saama üldkultuuri lahutamatuks osaks ning lapse kasvatamise ja hariduse hädavajalikuks osaks. Meie 10-aastase kooli matemaatikakursus (ilma geomeetriata) on tegelikult jagatud kolmeks põhiosaks: aritmeetika (I-V klass), algebra (VI-VIII klass) ja analüüsi elemendid (IX-X klass). Mis on sellise jaotuse aluseks? Loomulikult on igal neist osadest oma eriline "tehnoloogia".

Niisiis, aritmeetikas seostub see näiteks arvutustega, mis on tehtud mitme väärtusega numbritega, algebras - identsete teisenduste, logaritmiga, analüüsis - diferentseerimisega jne. Kuid millised on sügavamad alused iga osa kontseptuaalse sisuga? Järgmine küsimus puudutab kooli aritmeetika ja algebra (st kursuse esimene ja teine ​​osa) eristamise aluseid. Aritmeetika hõlmab looduslike arvude (positiivsed täisarvud) ja murdude (alg- ja kümnendkoha) uurimist. Erianalüüs näitab aga, et seda tüüpi numbrite kombineerimine ühes kooliaines on ebaseaduslik.

Fakt on see, et neil numbritel on erinevad funktsioonid: esimesed on seotud objektide loendamisega, teised koguste mõõtmisega. See asjaolu on väga oluline, et mõista tõsiasja, et murdarvulised (ratsionaalsed) numbrid on ainult reaalarvude erijuhtum.

Koguste mõõtmise seisukohast, nagu märkis A.N. Kolmogorov, "ratsionaalsete ja irratsionaalsete reaalarvude vahel pole nii sügavat erinevust. Pedagoogilistel põhjustel jäävad nad pikka aega ratsionaalsete numbrite juurde, kuna neid on lihtne kirjutada murdude kujul, kuid seda kasutatakse need peaksid algusest peale viima kohe reaalsete arvudeni. numbrid kogu nende kogukonnas. "

A.N. Kolmogorov pidas seda põhjendatuks nii matemaatika arenguloo seisukohalt kui ka sisuliselt A. Lebesgue ettepanekut minna õpetamisel looduslike numbrite järele kohe reaalarvude päritolu ja loogilisuse juurde. Samal ajal, nagu märkis A.N. Kolmogorovi sõnul ei ole lähenemine ratsionaalsete ja reaalarvude konstrueerimiseks koguste mõõtmise seisukohast sugugi vähem teaduslik kui näiteks ratsionaalsete numbrite kasutuselevõtt "paaride" kujul. vaieldamatu eelis "(.

Seega on reaalne võimalus loomulike (täis) numbrite põhjal moodustada kohe "kõige üldisem arvukäsitus" (A. Lebesgue terminoloogias), reaalarvu mõiste. Kuid programmi ülesehituse seisukohast ei tähenda see midagi muud kui murdude aritmeetika kõrvaldamist selle koolitõlgenduses. Üleminek täisarvudelt reaalarvudele on üleminek aritmeetikast "algebrale", analüüsi aluse loomisele. Need ideed, mis on väljendatud üle 20 aasta tagasi, on endiselt asjakohased.

1. Algebralise materjali õppimise üldteoreetilised aspektid põhikoolis

algebraline koolide võrdlusmatemaatika

1.1 Algebra elementide tutvustamise kogemus põhikoolis

Aine sisu, nagu teate, sõltub paljudest teguritest - elunõuetest õpilaste teadmistele, vastavate teaduste tasemest, laste vaimsest ja füüsilisest vanusest. Nende tegurite õige arvestamine on hädavajalik tingimus koolilaste kõige tõhusamaks õpetamiseks, laiendades nende kognitiivseid võimeid. Kuid mõnikord ei täheldata seda tingimust ühel või teisel põhjusel. Sellisel juhul ei anna õpetamine soovitud efekti nii seoses laste vajalike teadmiste assimileerimisega kui ka nende intellekti arenguga.

Tundub, et praegu ei vasta mõnede akadeemiliste ainete, eriti matemaatika, õppeprogrammid uutele elunõuetele, kaasaegsete teaduste (näiteks matemaatika) arengutasemele ning arengupsühholoogia ja loogika uutele andmetele. See asjaolu dikteerib vajaduse akadeemiliste ainete uue sisu võimalike projektide igakülgseks teoreetiliseks ja eksperimentaalseks kontrollimiseks.

Matemaatiliste teadmiste alus pannakse põhikoolis. Kuid paraku pööravad nii matemaatikud ise kui ka metoodikud ja psühholoogid elementaarse matemaatika sisule väga vähe tähelepanu. Piisab sellest, kui öelda, et põhikooli (I - IV klass) matemaatika õppekava oma põhijoontes moodustati 50 - 60 aastat tagasi ja peegeldab loomulikult tolle aja matemaatiliste, metoodiliste ja psühholoogiliste mõistete süsteemi.

Mõelge algklassi matemaatika riikliku standardi iseloomulikele tunnustele. Selle põhisisu on teatud järjestuses uuritud täisarvud ja toimingud nendega. Esiteks uuritakse nelja toimingut piirides 10 ja 20, seejärel - suulisi arvutusi 100 piires, suulisi ja kirjalikke arvutusi 1000 piires ning lõpuks miljonite ja miljardite piires. Neljandas klassis uuritakse mõningaid seoseid andmete ja aritmeetiliste toimingute tulemuste vahel ning lihtsamaid murde. Koos sellega hõlmab programm meetermõõdikute ja ajamõõtude uurimist, nende mõõtmiseks kasutamise oskuse omandamist, visuaalse geomeetria mõningate elementide tundmist - ristküliku ja ruudu joonistamine, segmentide, ristküliku ja ruut, mahtude arvutamine.

Õpilased peaksid saadud teadmisi ja oskusi rakendama probleemide lahendamisel ja lihtsaimate arvutuste tegemisel. Kogu kursuse vältel toimub probleemide lahendamine paralleelselt numbrite ja toimingute uurimisega - selleks eraldatakse pool vastavast ajast. Probleemide lahendamine aitab õpilastel mõista tegevuste konkreetset tähendust, mõista nende rakendamise erinevaid juhtumeid, luua seoseid koguste vahel ning omandada elementaarsed analüüsimise ja sünteesi oskused.

I – IV klassis lahendavad lapsed järgmisi põhitüüpe (lihtsad ja liitsõnad): summa ja jäägi, korrutise ja jagatise leidmine, nende numbrite suurendamine ja vähendamine, erinevus ja mitmekordne võrdlus lihtsa kolmekordse reeglini, proportsionaalseks jagamiseks, tundmatu leidmiseks kahe erinevuse järgi, aritmeetilise keskmise arvutamine ja mõned muud tüüpi ülesanded.

Lapsed puutuvad probleemide lahendamisel kokku erinevat tüüpi koguste sõltuvustega. Kuid see on väga tüüpiline - õpilased alustavad ülesandeid pärast ja nii, nagu nad õpivad numbreid; peamine asi, mida lahendamisel nõutakse, on numbrilise vastuse leidmine. Suure raskustega lapsed paljastavad kvantitatiivsete suhete omadused konkreetsetes, konkreetsetes olukordades, mida tavaliselt peetakse aritmeetilisteks probleemideks. Praktika näitab, et numbritega manipuleerimine asendab sageli tegeliku probleemi tingimuste analüüsi tegelike koguste sõltuvuse seisukohast. Pealegi ei kujuta õpikutesse sisse toodud probleemid süsteemi, milles "keerukamad" olukorrad oleksid seotud kvantitatiivsete suhete sügavamate kihtidega. Sama raskusega probleeme võib leida nii õpiku alguses kui ka lõpus. Need varieeruvad jagude kaupa ja klasside kaupa vastavalt süžee keerukusele (toimingute arv suureneb), vastavalt numbrite järjestusele (kümnelt miljardile), vastavalt füüsilise sõltuvuse keerukusele (levitamisprobleemidest) liikumisprobleemidele) ja muudele parameetritele. Ainult üks parameeter - süvenemine õigesse matemaatiliste seaduste süsteemi - avaldub neis nõrgalt, ebamääraselt. Seetõttu on konkreetse probleemi matemaatilise raskuse kriteeriumi kehtestamine väga raske. Miks on kahe erinevuse abil tundmatu leidmise ja aritmeetilise keskmise (III klass) määramise probleemid raskemad kui erinevuse ja mitmekordse võrdlemise ülesanded (II klass)? Metoodika ei anna sellele küsimusele veenvat ja loogilist vastust.

Seega ei saa algklasside õpilased piisavaid, täieõiguslikke teadmisi koguste sõltuvuste ja koguse üldiste omaduste kohta ei numbriteooria elementide uurimisel, sest koolikursusel seostatakse neid peamiselt arvutustehnikaga, või probleemide lahendamisel, sest viimastel puudub vastav vorm ja puudub nõutav süsteem. Kuigi metoodikute katsed õpetamismeetodeid täiustada toovad kaasa osalise edu, ei muuda need asjade üldist seisu, kuna need on eelnevalt piiratud vastuvõetava sisu raames.

Tundub, et vastuvõetud programmi kriitiline analüüs aritmeetikas peaks põhinema järgmistel sätetel:

Arvu mõiste ei ole identne objektide kvantitatiivsete omaduste kontseptsiooniga;

Number ei ole kvantitatiivsete suhete algne vorm.

Esitame nende sätete põhjendused. On hästi teada, et kaasaegne matemaatika (eriti algebra) uurib selliseid kvantitatiivsete suhete hetki, millel puudub numbriline kest. Samuti on hästi teada, et mõned kvantitatiivsed seosed on ilma numbrideta ja numbrite ees üsna väljendatavad, näiteks segmentides, mahtudes jne. (suhe "suurem kui", "vähem", "võrdne"). Esialgsete üldiste matemaatiliste mõistete esitamine kaasaegsetes käsiraamatutes toimub sümboolikas, mis ei tähenda objektide kohustuslikku väljendamist numbrites. Niisiis, raamatus E.G. Gonini "teoreetiline aritmeetika" on matemaatika põhiobjektid algusest peale tähistatud tähtede ja erimärkidega.

Iseloomulik on see, et teatud tüüpi arvud ja arvulised sõltuvused on toodud ainult näidetena, hulgaomaduste illustratsioonidena, mitte nende ainuvõimaliku ja ainsa olemasoleva väljendusvormina. Lisaks on tähelepanuväärne, et paljud üksikute matemaatiliste definitsioonide illustratsioonid on esitatud graafilisel kujul segmentide, alade suhte kaudu. Kõik hulkade ja koguste põhiomadused on tuletatavad ja põhjendatavad ilma arvusüsteeme kaasamata; pealegi saavad viimased ise õigustuse üldiste matemaatiliste mõistete alusel.

Omakorda näitavad arvukad psühholoogide ja õpetajate tähelepanekud, et lastel tekivad kvantitatiivsed esitused juba ammu enne, kui nad omandavad teadmisi numbrite ja nende kasutamise kohta. Tõsi, on kalduvus klassifitseerida need mõisted "matemaatilisteks eelvormideks" (mis on täiesti loomulik traditsiooniliste meetodite puhul, mis tuvastavad numbriga objekti kvantitatiivsed omadused), kuid see ei muuda oluliselt nende funktsiooni üldises plaanis. lapse orientatsioon asjade omadustes. Ja mõnikord juhtub, et nende väidetavalt "matemaatiliste eelsete moodustiste" sügavus on lapse enda matemaatilise mõtlemise arendamiseks hädavajalikum kui teadmised arvutamise keerukustest ja võime leida puhtalt arvulisi sõltuvusi. Tähelepanuväärne on, et akad. A.N. Kolmogorov, kes iseloomustab matemaatilise loovuse tunnuseid, märgib spetsiaalselt järgmist asjaolu: "Enamiku matemaatiliste avastuste keskmes on mõni lihtne idee: visuaalne geomeetriline konstruktsioon, uus elementaarne ebavõrdsus jne. Seda lihtsat ideed on vaja ainult asjakohaselt rakendada probleemi lahendusele, mis esmapilgul tundub kättesaamatu. "

Praegu soovitatakse erinevaid ideid uue programmi ülesehituse ja koostamise meetodite kohta. Selle ehitamise töösse on vaja kaasata matemaatikuid, psühholooge, loogikuid, metoodikuid. Kuid kõik selle konkreetsed versioonid peavad vastama järgmistele põhinõuetele:

Matemaatika sisu vahelise lõhe ületamine alg- ja keskkoolis;

Anda teadmiste süsteem objektiivse maailma kvantitatiivsete suhete põhiseaduste kohta; samal ajal peaksid numbrite omadused kui koguse väljendamise eriline vorm muutuma programmi eriliseks, kuid mitte peamiseks osaks;

Lastele sisendada matemaatilise mõtlemise tehnikaid ja mitte ainult arvutamisoskusi: see hõlmab sellise probleemide süsteemi ehitamist, mis põhineb tegelikest suurustest sõltuvuste sfääri süvenemisel (matemaatika seos füüsikaga, keemia, bioloogia ja muud teadused, mis uurivad konkreetseid koguseid);

Lihtsustage otsustavalt kogu arvutustehnikat, minimeerides tööd, mida ei saa teha ilma sobivate tabelite, teatmeteoste ja muude abivahendite (eelkõige elektrooniliste) vahenditeta.

Nende nõuete tähendus on selge: põhikoolis on täiesti võimalik õpetada matemaatikat kui teadust kvantitatiivsete suhete seadustest, koguste sõltuvustest; arvutusmeetodid ja numbriteooria elemendid peaksid saama programmi eriliseks ja privaatseks osaks.

Alates 1960. aastate lõpust läbi viidud uue matemaatikaprogrammi kavandamise ja selle eksperimentaalse kontrollimise kogemus võimaldab meil juba rääkida võimalusest viia kooli sisse matemaatika süstemaatiline kursus, alates esimesest klassist, andes teadmisi kvantitatiivsed seosed ja sõltuvused algebralises vormis ...

1.2 Algebraliste mõistete päritolu probleem ja selle tähtsus akadeemilise aine ülesehitamisel

Koolimatemaatika kursuse jagamine algebraks ja aritmeetikaks on muidugi tingimuslik. Üleminek ühelt teisele toimub järk -järgult. Koolipraktikas varjab selle ülemineku tähendust asjaolu, et murdude uurimine toimub tegelikult ilma suuruste mõõtmisele suure tuginemiseta - murrud on antud arvpaaride suhtarvudena (kuigi formaalselt tunnustatakse koguste mõõtmise tähtsust). metoodilistes käsiraamatutes). Koguste mõõtmisel põhinev murdarvude laiendatud kasutuselevõtt viib paratamatult reaalarvu kontseptsioonini. Kuid viimast lihtsalt ei juhtu, kuna õpilasi hoitakse pikka aega tööl ratsionaalsete numbritega ja see viib nende ülemineku "algebrale" edasi.

Teisisõnu algab koolialgebra täpselt siis, kui luuakse tingimused täisarvudelt reaalarvudele üleminekuks, mõõtmistulemuse väljendamiseks murdosa võrra (lihtne ja kümnendkoht - lõplik ja seejärel lõpmatu). Lisaks võib esialgne olla mõõtmisoperatsiooni tundmine, kümnendmurdude lõplik murd ja nende toimingute uurimine. Kui õpilastel on juba selline mõõtmistulemuste registreerimise vorm, siis on see eelduseks, et "loobuda" ideest, et arvu saab väljendada lõpmatu murdosana. Ja see eeldus on otstarbekas luua juba algkooli raames.

Kui murdarvulise (ratsionaalse) arvu mõiste kooliaritmeetika pädevusest välja jätta, siis kulgeb piir selle ja "algebra" vahel mööda täis- ja reaalarvude eristamise joont. Just see "lõikab" matemaatika kursuse kaheks osaks. See ei ole lihtne eristamine, vaid põhimõtteline allikate "dualism" - loendamine ja mõõtmine.

Järgides Lebesgue ideid "arvu üldmõiste" kohta, on võimalik tagada matemaatika õpetamise täielik ühtsus, kuid alles sellest hetkest ja pärast seda, kui lapsed on loendamise ja täisarvulise (loomuliku) numbriga tuttavaks saanud. Muidugi võib selle esialgse tutvumise ajastus olla erinev (traditsioonilistes põhikooli programmides on need selgelt pikenenud), praktiliste mõõtmiste elemente saab isegi elementaarse aritmeetika kursusele (mis toimub õppekavas) sisse viia, kuid kõik see ei kõrvalda erinevusi aritmeetika ja "algebra" kui akadeemiliste ainete alustes. Lähtekohtade "dualism" takistab ka koguste mõõtmise ja ehtsatele murdudele üleminekuga seotud lõikude aritmeetilises käigus tõesti juurdumist. Programmide autorid ja metoodikud püüavad säilitada aritmeetika kui kooliaine stabiilsust ja "puhtust". See allikate erinevus on peamine põhjus matemaatika õpetamiseks vastavalt skeemile - kõigepealt aritmeetika (täisarv), seejärel "algebra" (reaalarv).

See skeem tundub üsna loomulik ja kõigutamatu, pealegi on see õigustatud paljude aastate praktikaga matemaatika õpetamisel. Kuid on asjaolusid, mis loogilisest ja psühholoogilisest seisukohast nõuavad selle jäiga õpetamisskeemi legitiimsuse põhjalikumat analüüsi.

Fakt on see, et koos kõigi seda tüüpi numbrite erinevustega on need seotud konkreetselt numbritega, s.t. kvantitatiivsete suhete kuvamise erivormile. Tervik- ja reaalarvude kuulumine "numbritesse" on aluseks geneetilisele tuletamisele ning väga suurele erinevusele loendamisel ja mõõtmisel: neil on eriline ja üks allikas, mis vastab numbri kujule.

Selle ühtse loendamise ja mõõtmise aluse tunnuste tundmine võimaldab selgemalt esitada ühelt poolt nende päritolutingimusi ja teiselt poolt seost.

Mille poole pöörduda, et leida hargnenud numbripuu ühine juur? Tundub, et esiteks on vaja analüüsida suurusmõiste sisu. Tõsi, selle mõistega seostub kohe teine ​​termin - mõõtmine. Kuid sellise kombinatsiooni legitiimsus ei välista "suurusjärgu" tähenduse teatavat sõltumatust. Selle aspekti kaalumine võimaldab meil teha järeldusi, mis koondavad ühelt poolt mõõtmise loendamisega, teiselt poolt numbrite toimimise mõningate üldiste matemaatiliste seoste ja mustritega.

Niisiis, mis on "väärtus" ja mis huvi pakub see kooli matemaatika põhiosade ehitamiseks? Üldises kasutuses seostatakse mõistet "suurusjärk" mõistetega "võrdne", "suurem", "vähem", mis kirjeldavad väga erinevaid omadusi (pikkus ja tihedus, temperatuur ja valge). V.F. Kagan tõstatab küsimuse, mis ühiseid omadusi neil mõistetel on. Ta näitab, et need viitavad agregaatidele - homogeensete objektide kogumitele, mille elementide võrdlus võimaldab meil rakendada mõisteid "rohkem", "võrdne", "vähem" (näiteks kõigi sirgjooneliste segmentide agregaatide puhul, kaal, kiirus jne).

Objektide kogum muudetakse väärtuseks alles siis, kui on kehtestatud kriteeriumid, mis võimaldavad mis tahes selle elemendi A ja B puhul kindlaks teha, kas A on võrdne B -ga, suurem kui B või väiksem B. Sellisel juhul mis tahes kahe elemendi A ja B puhul üks ja ainult üks suhtarvudest: A = B, A> B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan tuvastab mõistete "võrdne", "rohkem", "vähem" järgmised kaheksa põhiomadust :.

1) Vähemalt üks seos kehtib: A = B, A> B, A<В.

2) Kui seos A = B kehtib, siis seos A<В.

3) Kui seos A = B kehtib, siis seos A> B ei kehti.

4) Kui A = B ja B = C, siis A = C.

5) Kui A> B ja B> C, siis A> C.

6) Kui A<В и В<С, то А<С.

7) Võrdsus on pöörduv seos: seos B = A tuleneb alati seosest A = B.

8) Võrdsus on vastastikune seos: olenemata vaadeldava hulga elemendist A, A = A.

Esimesed kolm lauset iseloomustavad põhisuhete lahutamist "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

kolm elementi A, B ja C. Järgmised laused 7 - 8 iseloomustavad ainult võrdsust - selle pöörduvust ja kordumist (või refleksiivsust). V.F.Kagan nimetab neid kaheksat põhipakkumist võrdluspostulaatideks, mille põhjal saab tuletada hulga muid koguse omadusi.

Need väljundomadused V.F. Kagan kirjeldab kaheksa teoreemi kujul:

I. Suhe A> B välistab suhte B> A (A<В исключает В<А).

II. Kui A> B, siis B.<А (если А<В, то В>A).

III. Kui A> B kehtib, siis A

IV. Kui A1 = A2, A2 = A3, .., An-1 = A1, siis A1 = An.

V. Kui A1> A2, A2> A3, .., An-1> An, siis A1> An.

Vi. Kui A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

Vii. Kui A = C ja B = C, siis A = B.

VIII. Kui võrdsus või ebavõrdsus A = B või A> B või A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B ja A = C, siis C> B jne).

Võrdluspostulaadid ja teoreemid, V.F. Kagan, "kõik need mõistete" võrdsed "," rohkem "ja" vähem "omadused, mis nendega matemaatikas seostuvad ja leiavad rakenduse sõltumata hulga individuaalsetest omadustest, kelle elementidele me neid erijuhtudel rakendame , on kurnatud. "

Postulaatides ja teoreemides määratletud omadused võivad iseloomustada mitte ainult neid objektide otseseid omadusi, mida oleme harjunud seostama "võrdse", "suurema", "väiksema", vaid ka paljude muude tunnustega (näiteks võivad nad iseloomustada suhe "esivanem - järeltulija"). See võimaldab meil nende kirjeldamisel võtta üldise vaatepunkti ja kaaluda näiteks nende postulaatide ja teoreemide seisukohast mis tahes kolme tüüpi seoseid "alfa", "beeta", "gamma" (antud juhul , on võimalik kindlaks teha, kas need suhted vastavad postulaatidele ja teoreemidele ning mis tingimustel).

Sellest vaatenurgast võib näiteks käsitleda asjade sellist omadust nagu kõvadus (kõvem, pehmem, sama kõvadus), sündmuste jada ajas (järjestus, eelis, samaaegsus) jne. Kõigil neil juhtudel saavad suhted "alfa", "beeta", "gamma" oma spetsiifilise tõlgenduse. Ülesanne, mis on seotud sellise seostega kehade komplekti valimisega, samuti tunnuste tuvastamine, mille abil saaks iseloomustada "alfa", "beeta", "gamma" - see on võrdluse määramise ülesanne kriteeriumid antud organite kogumis (praktikas ei ole seda mõnel juhul lihtne lahendada). "Võrdluskriteeriumide kehtestamisega muudame komplekti suurusjärguks," kirjutas V.F. Kagan. Reaalseid objekte saab vaadata erinevate kriteeriumide nurga alt. Seega võib inimrühma pidada selliseks kriteeriumiks nagu iga selle liikme sünnihetked. Teine kriteerium on suhteline asend, mille nende inimeste pead võtavad, kui nad asetatakse kõrvuti samale horisontaaltasandile. Igal juhul muudetakse rühm väärtuseks, millel on sobiv nimi - vanus, pikkus. Praktikas tähistatakse tavaliselt kogust justkui mitte elementide kogumit, vaid võrdluskriteeriumide (koguse nimetus) eristamiseks kasutusele võetud uut mõistet. Nii tekivad mõisted "maht", "kaal", "elektripinge" jne. "Samas on matemaatiku jaoks väärtus üsna kindel, kui on märgitud elementide komplekt ja võrdluskriteeriumid," märkis V.F. Kagan.

Matemaatilise suuruse kõige olulisema näitena peab autor autoriks arvude loomulikku jada. Sellise võrdluskriteeriumi seisukohast nagu positsioon, mille numbrid reas hõivavad (hõivavad ühe koha, järgnevad ..., eelnevad), vastab see rida postulaatidele ja kujutab seetõttu väärtust. Vastavate võrdluskriteeriumide kohaselt teisendatakse murdude agregaat ka väärtuseks. See on vastavalt V.F. Kagan, suurusjärgu teooria sisu, millel on oluline roll kogu matemaatika aluseks.

Töötades kogustega (nende individuaalsed väärtused on soovitatav fikseerida tähtedega), on võimalik toota keerukas teisenduste süsteem, mis määrab kindlaks nende omaduste sõltuvused, läheb võrdsusest ebavõrdsusesse, teeb liitmise (ja lahutamise) ning lisamisel saab juhinduda kommutatiivsetest ja assotsiatiivsetest omadustest. Niisiis, kui on antud suhe A = B, saab probleemide "lahendust" juhinduda suhtest B = A. Teisel juhul võime suhete A> B, B = C juuresolekul järeldada, et A> C. Kuna a> b puhul on selline, et a = b + c, siis leiate erinevuse a ja b vahel (a-b = c) jne.

Kõiki neid teisendusi saab teostada füüsilistel kehadel ja muudel objektidel, kehtestades võrdluskriteeriumid ja valitud suhete vastavuse võrdluspostulaatidele.

Ülaltoodud materjalid võimaldavad järeldada, et nii looduslikud kui ka tegelikud arvud on võrdselt kindlalt seotud koguste ja mõnede nende oluliste tunnustega. Kas neid ja muid omadusi ei saa teha lapse eriuuringu objektiks juba enne koguste suhte kirjeldamise numbrilist vormi? Need võivad olla eelduseks arvu ja selle erinevate tüüpide järgnevaks üksikasjalikuks tutvustamiseks, eriti murdude propedeutika, koordinaatide, funktsioonide ja muude juba algklassides esinevate mõistete puhul.

Mis võiks olla selle esialgse osa sisu? See on tutvumine füüsiliste objektidega, nende võrdlemise kriteeriumid, kvantiteedi esiletõstmine matemaatilise kaalutlusobjektina, tutvumine võrdlusmeetodite ja tulemuste fikseerimise vahenditega, koguste üldiste omaduste analüüsimeetoditega. Seda sisu tuleks laiendada suhteliselt üksikasjalikuks õpetamisprogrammiks ja mis kõige tähtsam - see peaks olema seotud nende lapse tegevustega, mille kaudu ta saab seda sisu valdada (muidugi sobival kujul). Samal ajal on vaja eksperimentaalselt, empiiriliselt kindlaks teha, kas 7 -aastased lapsed saavad seda programmi juhtida ja milline on selle kasutuselevõtu otstarbekus järgnevaks matemaatika õpetamiseks algklassides aritmeetika ja algklasside lähenemise suunas. algebra.

Siiani on meie arutluskäik olnud oma olemuselt teoreetiline ja selle eesmärk on selgitada matemaatilisi eeldusi sellise kursuse esialgse osa konstrueerimiseks, mis tutvustaks lastele algebralisi põhimõisteid (enne numbri erilist sissejuhatust). Peamisi omadusi, mis iseloomustavad koguseid, on kirjeldatud eespool. Loomulikult ei ole 7 -aastastel lastel mõtet nende omaduste kohta loenguid lugeda.

Oli vaja leida selline didaktilise materjaliga lastetöö vorm, mille kaudu nad saaksid ühelt poolt neid omadusi ümbritsevates asjades paljastada, teisalt õpiksid neid teatud sümbolitega kinnitama ja kandma eraldatud suhete elementaarse matemaatilise analüüsi abil.

Sellega seoses peaks programm sisaldama esiteks omandatava objekti omadusi, teiseks didaktiliste materjalide kirjeldust ja kolmandaks ning see on psühholoogilisest seisukohast peamine. nende toimingute omadused, mille abil laps valib subjekti teatud omadused ja valdab neid. Need "koostisosad" moodustavad õppekava selle sõna õiges tähenduses. Õppimisprotsessi ennast ja selle tulemusi kirjeldades on mõttekas kirjeldada selle hüpoteetilise programmi eripära ja selle "komponente".

Siin on selle programmi diagramm ja selle peamised teemad.

Teema I. Objektide tasandamine ja komplekteerimine (pikkuse, mahu, kaalu, osade koostise ja muude parameetrite osas).

Praktilised ülesanded võrdsustamiseks ja omandamiseks. Märkide eraldamine (kriteeriumid), mille järgi saab samu objekte võrdsustada või täiendada. Nende tunnuste verbaalne tähistamine ("pikkuse", kaalu järgi jne).

Need ülesanded lahendatakse didaktilise materjaliga (liistud, raskused jne) töötamise käigus:

"Sama" teema valimine,

Valitud (määratud) parameetri "sama" teema reprodutseerimine (ehitamine).

II teema. Objektide võrdlus ja selle tulemuste fikseerimine võrdsuse-ebavõrdsuse valemiga.

1. Ülesanded objektide võrdlemiseks ja selle tegevuse tulemuste sümboolne tähistamine.

2. Võrdlustulemuste suuline fikseerimine (mõisted "rohkem", "vähem", "võrdne"). Kirjalikud märgid ">", "<", "=".

3. Joonisega võrdlemise tulemuse määramine ("kopeerimine" ja seejärel "abstraktne" - read).

4. Võrdlusobjektide tähistamine tähtedega. Võrdluse tulemuse registreerimine valemitega: A = B; A<Б, А>B. Täht kui märk, mis kinnitab objekti otseselt antud konkreetse väärtuse valitud parameetri järgi (kaalu, mahu järgi jne).

5. Võimetus fikseerida võrdlustulemust erinevate valemitega. Konkreetse valemi valik antud tulemuse jaoks (suhete täielik disjunktsioon rohkem - vähem - võrdne).

III teema. Võrdsuse ja ebavõrdsuse omadused.

1. Võrdsuse pöörduvus ja refleksiivsus (kui A = B, siis B = A; A = A).

2. Suhe "rohkem" ja "vähem" ebavõrdsuses võrreldavate külgede "permutatsioonidega" (kui A> B, siis B<А и т.п.).

3. Transitiivsus kui võrdsuse ja ebavõrdsuse omadus:

kui A = B, kui A> B, kui A<Б,

a B = C, a B> C, a B<В,

siis A = B; kuni A> B; A -le<В.

4. Üleminek ainete didaktilise materjaliga töötamisest võrdõiguslikkuse-ebavõrdsuse omaduste hindamisele ainult sõnasõnaliste valemite juuresolekul. Erinevate probleemide lahendamine, mis nõuavad nende omaduste tundmist (näiteks seda tüüpi suhete seostamisega seotud probleemide lahendamine: on antud, et A> B ja B = C; selgitage välja suhe A ja C).

IV teema. Liitmine (lahutamine).

1. Objektide muutuste jälgimine ühe või teise parameetri järgi (mahu, massi, kestuse jms järgi). Suureneva ja kahaneva pildi märkidega "+" ja "-" (pluss ja miinus).

2. Varem kehtestatud võrdsuse rikkumine koos vastava muudatusega ühel või teisel poolel. Üleminek võrdsuselt ebavõrdsusele. Selliste valemite kirjutamine:

kui A = B, kui A = B,

siis A + K> B; siis A-K<Б.

3. Uuele võrdsusele ülemineku viisid (selle "taastamine":

"võrdse" lisamine "võrdseks" annab "võrdse").

Töötamine järgmiste valemitega:

siis A + K> B, kuid A + K = B + K.

4. Erinevate probleemide lahendamine, mis nõuavad liitmise (lahutamise) operatsiooni kasutamist üleminekul võrdsuselt ebavõrdsusele ja vastupidi.

Teema V. Üleminek A -tüüpi ebavõrdsusest<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Ülesanded, mis nõuavad sellist üleminekut. Vajadus määrata koguse väärtus, millega võrreldavad objektid erinevad. Võrdsuse kirjutamise võimalus, kui selle koguse konkreetne väärtus pole teada. X (x) kasutamise meetod.

Selliste valemite kirjutamine:

kui A<Б, если А>B,

siis A + x = B; siis A-x = B.

2. x väärtuse määramine. Selle väärtuse asendamine valemiga (sulgude tundmine). Sisestage valemid

3. Probleemide lahendamine (sh "maatükk-tekst"), mis nõuab nende toimingute tegemist.

Teema Vl. Võrdsuste-ebavõrdsuste liitmine-lahutamine. Asendamine.

1. Võrdsuste-ebavõrdsuste liitmine-lahutamine:

kui A = B kui A> B kui A> B

ja M = D ja K> E ning B = G, siis A + M = B + D; siis A + K> B + E; siis A + -B> B + -G.

2. Võimalus kujutada koguse väärtust mitme väärtuse summana. Asendustüüp:

3. mitmesuguste probleemide lahendamine, mis nõuavad lastega töö käigus tutvunud suhete omaduste arvestamist (paljud ülesanded nõuavad mitme omaduse samaaegset kaalumist, leidlikkust valemite tähenduse hindamisel; probleemide kirjeldus ja lahendused on toodud allpool).

See programm on mõeldud 3,5 - 4 kuuks. aasta esimesel poolel. Nagu näitab eksperimentaalse õpetamise kogemus, õppetundide õige planeerimise, õppemeetodite täiustamise ja didaktiliste abivahendite eduka valiku korral saavad lapsed kogu programmis kirjeldatud materjali lühikese aja jooksul (3 kuu jooksul) täielikult omandada. ). Kuidas meie programm järgmisena üles ehitatakse? Kõigepealt tutvuvad lapsed numbri saamise meetodiga, mis väljendab objekti kui terviku (sama kogus, mida esindab pidev või diskreetne objekt) seost selle osaga. Seda suhet ennast ja selle spetsiifilist tähendust kujutab valem A / K = n, kus n on suvaline täisarv, väljendades suhteid kõige sagedamini "ühe" täpse täisarvu täpsusega). Lapsed on algusest peale "sunnitud" meeles pidama, et mõõtmisel või loendamisel võib tekkida jääk, mille olemasolu tuleb spetsiaalselt ette näha. See on esimene samm murdosaga edasiseks tööks. Sellise numbri saamise vormiga on lihtne lapsi tuua objekti kirjeldusse valemiga A = 5k (kui suhe oli võrdne "5"). Koos esimese valemiga avab see võimaluse eriuuringuks objekti, aluse (mõõtme) ja loendamise (mõõtmise) tulemuste vaheliste sõltuvuste kohta, mis on ühtlasi propedeutikum murdarvudele üleminekuks (eriti murdosa põhiomaduste mõistmiseks). Teine programmi avamise rida, mida rakendatakse juba I klassis, on kvantiteedi põhiomaduste (võrdsuse-ebavõrdsuse disjunktsioon, transitiivsus, pöörduvus) ülekandmine arvudesse (täisarvud) ja liitmise toimimine (kommutatiivsus, assotsiatiivsus, monotoonsus) , lahutamise võimalus). Eelkõige saavad lapsed numbrikiire kallal töötades kiiresti numbrijada väärtuseks muuta (näiteks hinnata selgelt nende transitiivsust, tehes selliseid kirjeid nagu 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

Mõne võrdõiguslikkuse niinimetatud "struktuurse" tunnuse tundmine võimaldab lastel läheneda liitmise ja lahutamise seosele erineval viisil. Niisiis, ebavõrdsuselt võrdsusele üleminekul tehakse järgmised teisendused: 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2; leia valemi parema ja vasaku poole suhe 8 + 1-4 ... 6 + 3-2; ebavõrdsuse korral vähendage see väljend võrdsuseks (kõigepealt peate panema märgi "vähem" ja seejärel lisama vasakule "kaks").

Seega võimaldab numbriseeria käsitlemine kvantiteedina liite-lahutamise (ja seejärel korrutamise-jagamise) oskusi uuel viisil kujundada.

2.1 Algkool keskkooli vajaduste osas

Teatavasti pühendatakse 5. klassis matemaatikat õppides märkimisväärne osa ajast selle kordamisele, mida lapsed oleksid pidanud põhikoolis õppima. See kordus peaaegu kõigis olemasolevates õpikutes võtab aega 1,5 akadeemilist veerandit. See olukord ei olnud juhuslik. Selle põhjuseks on keskkooli matemaatikaõpetajate rahulolematus põhikooli lõpetajate ettevalmistusega. Mis on selle olukorra põhjus? Selleks analüüsiti viit tuntuimat algkooli matemaatikaõpikut. Need on M.I. Moreau, I.I. Arginskaja, N.B. Istomina, L.G. Peterson ,,,.

Nende õpikute analüüs näitas mitmeid negatiivseid aspekte, mis olid enam -vähem igas neist olemas ja mõjutasid negatiivselt edasist õppimist. Esiteks on see, et neis oleva materjali assimileerimine põhineb suuresti meeldejätmisel. Selle ehe näide on korrutustabeli meeldejätmine. Põhikoolis pühendatakse selle meeldejätmisele palju aega ja vaeva. Kuid suvevaheajal unustavad lapsed ta. Selle kiire unustamise põhjus on mälu meeldejätmine. Uuring L.S. Võgotski näitas, et mõtestatud meeldejätmine on palju tõhusam kui mehaaniline, ja järgnevad katsed tõestavad veenvalt, et materjal langeb pikaajalisse mällu ainult siis, kui see sellele materjalile vastava töö tulemusena meelde jääb.

Korrutustabeli tõhusaks valdamiseks leiti viis 50ndatel. See seisneb teatud harjutuste süsteemi korraldamises, mille sooritamisel konstrueerivad lapsed ise korrutustabeli. Kuid mitte üheski läbivaadatud õpikus pole seda meetodit rakendatud.

Teine negatiivne punkt, mis mõjutab edasist haridust, on see, et paljudel juhtudel on algklasside matemaatikaõpikutes materjali esitamine üles ehitatud nii, et tulevikus tuleb lapsed ümber koolitada, mis, nagu teate, on palju raskem kui õpetamine. Seoses algebralise materjali uurimisega on näiteks võrrandite lahendus põhikoolis. Kõigis õpikutes põhineb võrrandite lahendamine toimingute tundmatute komponentide leidmise reeglitel.

Seda tehakse mõnevõrra teisiti ainult õpikus L.G. Peterson, kus näiteks korrutamise ja jagamise võrrandite lahendus põhineb võrrandi komponentide korrelatsioonil ristküliku külgede ja pindalaga ning taandub lõpuks ka reeglitele, kuid need on reeglid ristküliku külje või ala leidmine. Vahepeal õpetatakse lastele alates 6. klassist täiesti teistsugust võrrandite lahendamise põhimõtet, mis põhineb identsete teisenduste kasutamisel. See vajadus ümberõppe järele toob kaasa asjaolu, et võrrandite lahendamine on enamiku laste jaoks üsna raske hetk.

Õpikuid analüüsides sattusime ka tõsiasja juurde, et neis olevat materjali esitades esineb sageli mõistete moonutamist. Näiteks on paljud definitsioonid sõnastatud implikatsioonide kujul, samas kui matemaatilisest loogikast on teada, et mis tahes definitsioon on samaväärne. Näitena võime tuua korrutamise definitsiooni õpikust I.I. Arginsky: "Kui kõik summas olevad tingimused on võrdsed, võib liitmise asendada teise toiminguga - korrutamisega." (Kõik summas olevad terminid on üksteisega võrdsed. Seetõttu võib liitmise asendada korrutamisega.) Nagu näete, on see puhtal kujul implikatsioon. Selline sõnastus ei ole mitte ainult matemaatika seisukohast kirjaoskamatu, mitte ainult ei kujuta lastes valesti ettekujutust sellest, mis on definitsioon, vaid on väga kahjulik ka selle poolest, et hiljem, näiteks korrutise konstrueerimisel tabelis, kasutavad õpikute autorid toote asendamist samade terminite summaga, mida esitatud sõnastus ei võimalda. Selline ebaõige töö implikatsiooni vormis kirjutatud avaldustega moodustab lastel vale stereotüübi, millest saab suurte raskustega jagu geomeetria tundides, kui lapsed ei tunneta vahet otsese ja pöördvõrdelise väite vahel figuuri tunnuse vahel ja selle vara. Viga, kui ülesannete lahendamisel kasutatakse pöördteoreemi, kuigi tõestatakse ainult otsest teoreemi, on väga levinud.

Teine näide eksiarvamustest on töö sõnasõnalise võrdsuse suhtega. Näiteks reeglid arvu korrutamiseks ühega ja arvu nulliga kõikides õpikutes on toodud sõnasõnalises vormis: ax 1 = a ja x 0 = 0. Võrdsuse suhe, nagu teate, on sümmeetriline ja seetõttu , selline märge ei näe ette mitte ainult seda, et korrutades ühega saate sama arvu, vaid ka asjaolu, et selle arvu ja ühe korrutisena saab esitada mis tahes arvu. Õpikutes soovitatud sõnaline sõnastus pärast kirjatähistust räägib aga ainult esimesest võimalusest.

Selleteemalised harjutused on suunatud ka ainult numbri ja selle numbri korrutise asendamise harjutamisele. Kõik see toob kaasa mitte ainult asjaolu, et laste teadvuse teema ei muutu väga oluliseks punktiks: toote kujul võib kirjutada suvalise arvu - mis põhjustab polünoomidega töötamisel algebras vastavaid raskusi, vaid ka asjaolu, et lapsed põhimõtteliselt ei tea, kuidas seda õigesti teha, töötavad võrdõiguslikkuse suhtega. Näiteks ruutude erinevuse valemiga töötades saavad lapsed reeglina hakkama ruutude erinevuse faktoorimisega. Kuid need ülesanded, kus on vaja vastupidist tegevust, põhjustavad paljudel juhtudel raskusi. Veel üks silmatorkav näide sellest mõttest on töö korrutamise jaotusseadusega liitmise suhtes. Ka siin, vaatamata seaduse sõnasõnalisele ülestähendusele, töötavad nii selle sõnaline sõnastus kui ka harjutuste süsteem välja ainult sulgude avamise võime. Seetõttu tekitab ühise teguri sulgudest väljavõtmine tulevikus märkimisväärseid raskusi.

Põhikoolis, isegi kui mõiste või reegel on õigesti sõnastatud, stimuleerib õppimine üsna sageli mitte neile, vaid hoopis teistsugusele tuginemist. Näiteks korrutustabelit 2 -ga uurides kõigis läbi vaadatud õpikutes näidatakse selle koostamise meetodit. Õpikus M.I. Moreau tegi seda nii:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Selle töömeetodi puhul märkavad lapsed väga kiiresti saadud numbriseeria mustrit.

Pärast 3-4 võrdsust lõpetavad nad kahe lisamise ja hakkavad täheldatud mustri põhjal tulemust kirja panema. Seega ei muutu korrutustabeli koostamise meetod nende teadvuse objektiks, mille tulemuseks on selle habras assimilatsioon.

Põhikoolis materjali õppides toetutakse esemetega seotud tegevustele ja illustreerivale visualiseerimisele, mis viib empiirilise mõtlemise kujunemiseni. Loomulikult ei saa ilma sellise selguseta algkoolis vaevalt hakkama. Kuid see peaks olema ainult selle või selle fakti illustratsioon, mitte aga kontseptsiooni kujundamise alus.

Illustratiivse selguse ja sisuliste toimingute kasutamine õpikutes toob sageli kaasa asjaolu, et kontseptsioon ise on "hägune". Näiteks 1-3 klasside matemaatikameetodis M.I. Moreau ütleb, et lapsed peavad jagama, asetades esemeid hunnikutesse või joonistades joonistuse üle 30 tunni. Selliste toimingute puhul kaotatakse jagamisoperatsiooni kui korrutamise vastase toimingu olemus. Selle tulemusena õpitakse jagamist suurimate raskustega ja palju halvemini kui teisi aritmeetilisi toiminguid.

Põhikoolis matemaatikat õpetades ei ole kusagil mingit väidet tõestada. Vahepeal pidades silmas, kui raske on keskkoolis tõestamist õpetada, peate selleks valmistuma hakkama juba algklassides. Pealegi saab seda teha materjali abil, mis on noorematele koolilastele üsna kättesaadav. Selliseks materjaliks võivad olla näiteks reeglid arvu jagamiseks 1 -ga, null arvuga ja number iseenesest. Lapsed on üsna võimelised neid tõestama jagamise definitsiooni ja vastavate korrutamisreeglite abil.

Põhikooli materjal võimaldab ka algebra propedeutikat - töötada tähtede ja täheväljenditega. Enamik õpikuid väldib tähtede kasutamist. Selle tulemusena töötavad lapsed neli aastat praktiliselt ainult numbritega, pärast mida on muidugi väga raske neid tähega töötama õpetada.

Küll aga on võimalik tagada sellise töö propedeutika, õpetada lapsi juba algklassides tähe asemel number asendama tähestikuliseks väljendiks. Seda tehakse näiteks õpikus L.G. Peterson.

Rääkides matemaatika õpetamise puudustest põhikoolis, mis takistavad edasiõppimist, tuleb rõhutada asjaolu, et sageli esitatakse õpikutes sisalduvat materjali, vaatamata sellele, kuidas see tulevikus toimima hakkab. Väga ilmekas näide sellest on korrutamise korrutamine 10, 100, 1000 jne abil. Kõigis läbi vaadatud õpikutes on selle materjali esitlus üles ehitatud nii, et see viib paratamatult laste meelest reegli tekkimiseni: „Arv korrutatakse 10, 100, 1000 jne. määrata sellele paremal pool nii palju nulle kui 10, 100, 1000 jne. " Seda reeglit õpitakse põhikoolis väga hästi. Ja see toob kaasa suure hulga vigu kümnendmurdude korrutamisel tervete bittiühikutega. Isegi kui nad on uue reegli meelde jätnud, määravad lapsed sageli automaatselt 10 -ga korrutades paremal olevale kümnendmurrule nulli.

Lisaks tuleb märkida, et naturaalarvu korrutamisel ja kümnendmurru korrutamisel tervete bittiühikutega juhtub tegelikult sama: numbri iga numbrit nihutatakse vastava numbrite arvu võrra paremale. Seetõttu pole mõtet õpetada lastele kahte eraldi ja täiesti ametlikku reeglit. Palju kasulikum on õpetada neile üldist viisi selliste asjade tegemiseks.

2.2 Mõistete võrdlus (vastandamine) matemaatikatundides

Praegune programm näeb ette, et esimeses klassis õpitakse ainult kahte esimese etapi toimingut - liitmine ja lahutamine. Esimese õppeaasta piiramine ainult kahe tegevusega on sisuliselt kõrvalekalle sellest, mis oli juba saavutatud praegustele eelnenud õpikutes: mitte ükski õpetaja ei kurtnud kunagi, et korrutamine ja jagamine, näiteks 20 üle esimese klassi õpilaste jõu ... Tähelepanuväärne on ka see, et teiste riikide koolides, kus haridus algab 6 -aastaselt, viidatakse esialgsele tutvumisele kõigi nelja aritmeetika tegevusega esimesele õppeaastale.

Matemaatika tugineb peamiselt neljale tegevusele ja mida varem need õpilase mõtlemise praktikasse kaasatakse, seda stabiilsem ja usaldusväärsem on matemaatikakursuse edasine areng.

Õigluse huvides tuleb märkida, et M. I. Moro 1. klassi õpikute esimestes versioonides nähti ette korrutamine ja jagamine. Juhtumit takistas aga juhus: uute programmide autorid pidasid järjekindlalt kinni ühest "uudsusest" - I astme kõikide liitmise ja lahutamise juhtumite kajastamisest 100 piires (37 + 58 ja 95-58 jne). . Kuid kuna sellise laiendatud teabehulga uurimiseks ei jätkunud aega, otsustati korrutamine ja jagamine täielikult üle viia järgmisele õppeaastale.

Niisiis, entusiasm programmi lineaarsuse vastu, st teadmiste puhtalt kvantitatiivne laiendamine (samad toimingud, kuid suure hulgaga) võttis aega, mis oli varem eraldatud teadmiste kvalitatiivseks süvendamiseks (kõigi nelja uurimine) toiminguid kahe tosina piires). Korrutamise ja jagamise uurimine juba esimeses klassis tähendab kvalitatiivset hüpet mõtlemises, kuna võimaldab hallata piiratud mõtteprotsesse.

Traditsiooni kohaselt uuritakse liitmise ja lahutamise toiminguid 20. piires. Sellise lähenemisviisi vajadus teadmiste süstematiseerimisel on nähtav isegi küsimuse loogilisest analüüsist: tõsiasi on see, et ühe- numbrilised arvud avanevad kahe tosina piires (0 + 1 = 1, ..., 9 + 9 = 18). Seega moodustavad numbrid 20 piires oma sisemistes seostes täieliku suhete süsteemi; siit ka otstarbekus hoida "kakskümmend" teise lahutamatu teema kujul (esimene selline teema on tegevused esimese kümne piires).

Arutatav juhtum on just see, kus kontsentrilisus (teise kümne hoidmine eriteemana) osutub kasulikumaks kui lineaarsus (teise kümne "lahustamine" teemas "Saja").

M. I. Moro õpikus on esimese kümne uurimus jagatud kaheks eraldiseisvaks osaks: esiteks uuritakse esimese kümne numbrite koosseisu ja järgmises teemas käsitletakse tegevusi 10 piires. Eksperimentaalses õpikus P.M. Vastupidiselt sellele viidi Erdnieviga läbi ühine uuring numeratsiooni, numbrite koostise ja toimingute (liitmine ja lahutamine) kohta 10 piires korraga ühes jaos. Selle lähenemisviisi korral kasutatakse numbrite monograafilist uurimist, nimelt: vaadeldava arvu piires (näiteks 3) mõistetakse kohe kogu "saadaolevat matemaatikat": 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 - 1 = 2; 3 = 2 = 1.

Kui praeguste programmide kohaselt eraldati esimese kümne uurimiseks 70 tundi, siis eksperimentaalse koolituse puhul uuriti kogu seda materjali 50 tunni jooksul (pealegi kaaluti lisaks programmile ka mõningaid lisamõisteid mis puudusid stabiilses õpikus, kuid olid struktuuriliselt seotud põhimaterjaliga).

Põhihariduse metoodikas tuleb erilist tähelepanu pöörata ülesannete liigitamise küsimusele, nende liikide nimetustele. Põlvkonnad metoodikuid on töötanud kooliprobleemide süsteemi sujuvamaks muutmise, nende tõhusate tüüpide ja sortide loomise nimel, kuni koolis õppimiseks ette nähtud probleemide nimede edukate terminite valimiseni. Teadaolevalt on matemaatikatundides vähemalt pool akadeemilisest ajast pühendatud nende lahendamisele. Kooli ülesanded vajavad muidugi süstematiseerimist ja salastamist. Millist (tüüpi) ülesannet uurida, millal õppida, millist tüüpi uurida seoses konkreetse lõigu läbimisega - see on legitiimne metoodika ja programmide keskse sisu uurimise objekt. Selle asjaolu tähtsus ilmneb matemaatika metoodika ajaloost.

Järeldus

Praegu on algkoolide matemaatilise hariduse sõnastuse radikaalseks täiustamiseks tekkinud üsna soodsad tingimused:

1) põhikool muudeti kolmeaastasest koolist neljaaastaseks;

Sarnased dokumendid

Põhikooli matemaatikatundides ajutiste esinduste moodustamise tunnused. Põhikoolis õpitud koguste omadused. Tutvumine hariduskompleksi "Venemaa kool" matemaatika algkursusel ajutiste esituste moodustamise metoodikaga.

lõputöö, lisatud 16.12.2011


Arvutiteaduse ja matemaatika lõimimine kui põhisuund õpetamise tulemuslikkuse suurendamisel. Tarkvara interaktiivsete tundide kasutamise metoodika. Õppematerjali valik matemaatika ja informaatika e-õppeks gümnaasiumis.

lõputöö, lisatud 04.08.2013


Idee aktiivsetest õpetamismeetoditest, nende rakendamise eripärad põhikoolis. Algkoolis matemaatika õpetamise aktiivsete meetodite klassifikatsioon erinevatel põhjustel. Matemaatika õpetamise interaktiivsed meetodid ja nende eelised.

kursusetöö lisatud 12.02.2015


Põhikooli matemaatika käigus tõenäosuslik-statistilise (stohhastilise) joone uurimise meetodid. Õpilaste poolt materjali tajumise analüüs: huvi aste; kättesaadavuse tase; raskused selle materjali uurimisel; assimilatsiooni kvaliteet.

lõputöö, lisatud 28.05.2008


Interaktiivse õppe olemus ja eesmärgid põhikoolis. Algklassilaste interaktiivse õpetamise meetodite ja tehnikate komplekti rakendamine matemaatikatundides. Kooliõpilaste universaalsete haridusmeetmete kujunemise taseme dünaamika paljastamine.

lõputöö, lisatud 17.02.2015


Ülesande kallal töötamise protsess. Ülesannete tüübid, oskused ja oskuste tasemed nende lahendamiseks. Ülesande muutmise õpetamise metoodika.Ülesande kallal töötamise etapid. Ülesande teisendamise kontseptsioon. Põhikooli matemaatikatundides õpetamise ja probleemi muutmise meetod.

lõputöö, lisatud 06.11.2008


Uurimisülesannete kasutamise meetod matemaatikatundides nooremate õpilaste vaimse aktiivsuse arendamise vahendina; arendavate harjutuste süstematiseerimine ja heakskiitmine, soovitused nende kasutamiseks põhikoolis.

kursusetöö, lisatud 15.02.2013


Matemaatika õppimise tunnused põhikoolis vastavalt föderaalsele põhihariduse haridusstandardile. Kursuse sisu. Matemaatiliste põhikontseptsioonide analüüs. Individuaalse lähenemise olemus didaktikas.

kursusetöö lisatud 29.09.2016


Matemaatika kui üks abstraktsemaid teadusi, mida õpiti põhikoolis. 4. klassis matemaatikatundides ajaloomaterjali kasutamise iseärasustega tutvumine. Koolinoorte kognitiivse tegevuse arengu peamiste probleemide analüüs.

lõputöö, lisatud 07.10.2015


Põhikooli loogiliste probleemide uurimise psühholoogiliste ja pedagoogiliste aluste arvestamine. Loogilise mõtlemise arendamise tunnused põhikooli matemaatikatundides föderaalse osariigi haridusstandardi nõuete seisukohast.

Põhiklassides algebralise materjali uurimise peamised eesmärgid on saada esialgset teavet võrdsuste ja ebavõrdsuste, muutujate, muutujaga võrdsuste ja ebavõrdsuste, matemaatiliste väljendite (arv- ja sõnasõnaline), nende väärtuste arvutamise, lihtsate võrrandite ja ebavõrdsus, nende väärtuste arvutamine, lihtsad võrrandid ja ebavõrdsus.koolilapsed nende lahendamise viisides, samuti probleemide lahendamine algebralisel viisil. Algebralise materjali uurimine põhikoolis aitab üldistada numbrite, aritmeetiliste toimingute ja nende omaduste mõisteid, on ettevalmistus algebra uurimiseks keskkoolis

Lapsed saavad esimesi ideid võrdsuse ja ebavõrdsuse kohta hulkade ja numbrite võrdlemisel. Nende uurimine on seotud numeratsiooni, aritmeetiliste toimingute ja koguste uurimisega. Lisaks tutvustatakse tõelise ja vale võrdsuse ja ebavõrdsuse, muutujaga võrdsuse ja ebavõrdsuse mõistet.

Võrrandit käsitletakse muutujaga võrdsusena. Võrrandi lahendamine tähendab muutuja sellise väärtuse valimist, kui see asendatakse võrrandiks, muutub see õigeks arvuliseks võrdsuseks. See on võrrandite valiku abil lahendamise meetodi alus. Algklassides lahendatakse võrrandid ka komponentide ja aritmeetiliste toimingute tulemuste vahelise seose alusel, tuginedes võrdsuste põhiomaduste rakendamisele (LV Zankovi süsteem), samuti graafikute abil ( EMC "21. sajandi algkool"). Lahendus ebavõrdsusele on piiratud valikumeetodiga. Ülesannete lahendamisel kasutatakse võrrandeid ja ebavõrdsust, kuid probleemide lahendamise algebraline viis on algklassides piiratud tuttavuse tasemega.

Lihtsamate avaldiste mõisted moodustatakse seoses aritmeetiliste toimingute uurimisega, seejärel võetakse kasutusele keerulised avaldised ja muutujaga avaldised. Nooremad õpilased õpivad arvutama tegevuste järjekorra reeglite abil keerukate arvväljendite väärtusi. Samuti õpivad nad tähtede väärtusi arvestades leidma muutujaga avaldiste väärtusi.

Tähtede sümboleid kasutatakse aritmeetiliste toimingute seaduste ja omaduste registreerimise üldistamiseks, samuti ristkülikute, kolmnurkade, hulknurkade, mahtude, kiiruste jms pindala arvutamise valemeid.

Praegu on algkooli matemaatika käigus algebralise materjali mahu määramisel kaks põhimõtteliselt vastupidist tendentsi. Üks suundumus on seotud algkooli matemaatikakursuse varajase algebraliseerimisega. Selle suundumuse esindajad on II Arginskaya, EI Aleksandrova, LG Peterson, VN Rudnitskaya jt klass (NB Istomina) Traditsioonilise kooli (MI Moro jt) õpik esindab "keskmisi" vaateid.

Küsimused ja ülesanded iseseisvaks tööks

1. Millised on geomeetrilised mõisted, mida õpetatakse põhikoolis. Miks just neid uuritakse?

2. Kas matemaatika algkursuse geomeetriline materjal moodustab iseseisva lõigu? Miks?

3. Kirjeldage õpilaste geomeetriliste mõistete moodustamise metoodikat: lõik, kolmnurk, nurk, ristkülik.

4. Millised võimalused õpilaste loogilise mõtlemise arendamiseks pakuvad geomeetrilise materjali uurimist? Too näiteid.

5. Milliseid suhteid õpilased geomeetrilist materjali õppides õpivad?

6. Mis on ülesannete koostamise funktsioon põhikoolis?

7. Too näiteid põhikoolile tüüpilistest ehitusprobleemidest.

8. Millised on ehitusprobleemide lahendamise etapid? Näidake, mil määral saab ehitusprobleemide lahendamise üldist skeemi kasutada algklassides.

Loeng 14. Algebralise materjali uurimise meetodid

1. Matemaatika põhimõisted.

2. Algklasside matemaatika käigus algebralise materjali õppimise metoodika üldküsimused.

3. Numbrilised väljendid. Aritmeetiliste toimingute tegemise järjekorra reeglite uurimine.

4. Muutujaga avaldised.

5. Võrrandite uurimise metoodika.

6. Arvuliste võrdsuste ja arvuliste ebavõrdsuste uurimise meetodid.

7. Funktsionaalse sõltuvusega õpilaste tutvustamine.

Kirjandus: (1) 4. peatükk; (2) § 27, 37, 52; (5) - (12).

Matemaatika põhimõisted

Üldiselt võib numbrilise avaldise määratleda järgmiselt.

1) Iga number on numbriline avaldis.

2) Kui A ja B on arvulised avaldised, siis (A) + (B), (A) - (B), (A) (B), (A): (B); (A) ⁽ⁿ⁾ ja f (A), kus f (x) on mingi arvfunktsioon, on samuti numbrilised avaldised.

Kui numbrilises avaldises saab kõiki selles näidatud toiminguid sooritada, siis nimetatakse saadud reaalarvu selle numbrilise avaldise arvväärtuseks ja arvavaldisel on tähendus. Mõnikord pole numbrilisel avaldisel numbrilist tähendust, sest kõik selles määratletud toimingud ei ole teostatavad; öeldakse, et sellisel arvulisel väljendil puudub (ilma jäetud) tähendus. Niisiis, järgmised numbrilised avaldised (5 - 3): (2 - 8: 4); √7 - 2,6 ja (7 - 7) ° pole mõtet.

Seega on igal arvaväljendil kas üks arvväärtus või see on mõttetu. -

Numbrilise avaldise väärtuse arvutamisel on lubatud järgmine protseduur:

1. Esiteks tehakse kõik sulgudes olevad toimingud. Kui sulgusid on rohkem kui üks paar, alustatakse arvutamist sisemisega.

2. Sulgudes on arvutuste järjekord määratud toimingute prioriteetsusega: kõigepealt arvutatakse funktsioonide väärtused, seejärel tehakse astendamine, seejärel korrutamine või jagamine, viimane - liitmine ja lahutamine.

3. Kui sama prioriteediga toiminguid on mitu, tehakse arvutused järjestikku vasakult paremale.

Arvuline võrdsus- kaks arvulist avaldist A ja B, mis on ühendatud võrdusmärgiga ("=").

Arvuline ebavõrdsus- kaks arvulist avaldist A ja B, mis on ühendatud ebavõrdsuse märgiga ("<", ">"," ≤ "või" ≥ ").

Kutsutakse avaldis, mis sisaldab muutujat ja avaldist, mis muutub arvuks, kui muutuja asendatakse selle väärtusega muutuv väljendus või numbriline vorm.

Võrrand ühes muutuja(ühe tundmatuga) on predikaat vormis f₁ (x) = f₂ (x), kus x ∊X, kus f₁ (x) ja f₂ (x) on avaldised muutujaga x, määratletud hulgal X.

Nimetatakse mis tahes muutuja x väärtust hulgast X, mille puhul võrrand muutub tõeliseks numbriliseks võrdsuseks juur(võrrandi lahendus). Lahendage võrrand- see tähendab leida kõik selle juured või tõestada, et neid pole. Võrrandi kõigi juurte kogumit (või predikaadi f₁ (x) = f₂ (x) tõeväärtust T) nimetatakse võrrandi lahenduste kogumiks

Väärtuste kogumit, mille abil määratakse võrrandi mõlemad pooled, nimetatakse muutuja x lubatud väärtuste piirkonnaks (ADV) ja võrrandi määratluspiirkonnaks.

2. Algebralise materjali uurimise meetodite üldküsimused

Koos aritmeetilise põhimaterjaliga sisaldab matemaatika algkursus ka algebra elemente, mida esindavad järgmised mõisted:

Numbrilised väljendid;

Muutuvad väljendid;

Arvuline võrdsus ja ebavõrdsus;

Võrrandid.

Algebra elementide kaasamise eesmärk põhikooli matemaatikakursusele on järgmine:

Aritmeetilist materjali põhjalikumalt ja sügavamalt kaaluda;

Viige õpilaste üldistused kõrgemale tasemele;

Luua eeldused algebra edukamaks uurimiseks kooli kesk- ja vanemas astmes.

Algebralist materjali ei ole programmis eraldi teemana esile tõstetud. Seda jagatakse põhikooli matemaatika jooksul eraldi küsimustega. Neid küsimusi uuritakse alates 1. klassist paralleelselt aritmeetika põhimaterjali uurimisega. Programmis välja pakutud küsimuste kaalumise järjestuse määrab õpik.

Uuritud algebraliste mõistete assimileerimine algklassides eeldab vastava terminoloogia kasutuselevõttu ja kõige lihtsamate toimingute sooritamist ilma vormiliselt loogiliste definitsioonide konstrueerimiseta.