1. Parameetriga lineaarvõrrandisüsteemid

Parameetriga lineaarvõrrandisüsteeme lahendatakse samade põhimeetoditega nagu tavalisi võrrandisüsteeme: asendusmeetod, võrrandite liitmise meetod ja graafiline meetod. Lineaarsüsteemide graafilise tõlgenduse tundmine võimaldab kergesti vastata küsimusele juurte arvu ja olemasolu kohta.

Näide 1

Leia kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil pole lahendusi.

(x + (a 2–3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Lahendus.

Vaatame selle probleemi lahendamiseks mitmeid viise.

1 viis. Kasutame omadust: süsteemil pole lahendusi, kui x ees olevate koefitsientide suhe on võrdne y ees olevate koefitsientide suhtega, kuid mitte vabade liikmete suhtega (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Siis on meil:

1/1 \u003d (a 2–3) / 1 ≠ a / 2 või süsteem

(ja 2–3 = 1,
(a ≠ 2.

Esimesest võrrandist a 2 \u003d 4, võttes arvesse tingimust, et a ≠ 2, saame vastuse.

Vastus: a = -2.

2 moodi. Lahendame asendusmeetodil.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Pärast ühise teguri y väljavõtmist esimeses võrrandis sulgudest saame:

((a 2–4) y \u003d a – 2,
(x = 2 - y.

Süsteemil pole lahendeid, kui esimesel võrrandil pole lahendeid, see tähendab

(ja 2–4 ​​= 0,
(a - 2 ≠ 0.

On ilmne, et a = ±2, kuid teist tingimust arvesse võttes antakse ainult miinusega vastus.

Vastus: a = -2.

Näide 2

Leidke kõik parameetri a väärtused, mille võrrandisüsteemil on lõpmatu arv lahendusi.

(8x + ay = 2,
(kirves + 2a = 1.

Lahendus.

Omaduse järgi, kui koefitsientide suhe x ja y juures on sama ja võrdub süsteemi vabade liikmete suhtega, on sellel lõpmatu arv lahendusi (st a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Seega 8/a = a/2 = 2/1. Lahendades kõik saadud võrrandid, leiame, et selle näite vastus on \u003d 4.

Vastus: a = 4.

2. Ratsionaalvõrrandisüsteemid parameetriga

Näide 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Lahendus.

Korrutage süsteemi esimene võrrand 2-ga:

(6|x| + 2a = 4,
(|x| + 2y = a.

Lahutage esimesest teine ​​võrrand, saame 5|x| = 4 – a. Sellel võrrandil on a = 4 kordumatu lahendus. Muudel juhtudel on sellel võrrandil kaks lahendit (a< 4) или ни одного (при а > 4).

Vastus: a = 4.

Näide 4

Leia kõik parameetri a väärtused, mille jaoks võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Lahendus.

Lahendame selle süsteemi graafilise meetodi abil. Seega on süsteemi teise võrrandi graafik parabool, mis on piki Oy telge üles tõstetud ühe ühikulise segmendi võrra. Esimene võrrand määratleb sirgega y = -x paralleelsete sirgete hulga (pilt 1). Joonisel on selgelt näha, et süsteemil on lahendus, kui sirge y \u003d -x + a puutub koordinaatidega punktis (-0,5; 1,25) parabooliga. Asendades need koordinaadid sirgjoone võrrandis x ja y asemel, leiame parameetri a väärtuse:

1,25 = 0,5 + a;

Vastus: a = 0,75.

Näide 5

Asendusmeetodi abil saate teada, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.

(kirves - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Lahendus.

Avaldage y esimesest võrrandist ja asendage see teisega:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Toome teise võrrandi kujule kx = b, millel on kordumatu lahend väärtusele k ≠ 0. Meil ​​on:

kirves + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Ruuttrinoomi a 2 + 3a + 2 saab esitada sulgude korrutisena

(a + 2) (a + 1) ja vasakul võtame sulgudest välja x:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Ilmselgelt ei tohi 2 + 3a olla võrdne nulliga, seetõttu

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, mis tähendab a ≠ 0 ja ≠ -3.

Vastus: a ≠ 0; ≠ -3.

Näide 6

Määrake graafilise lahendusmeetodi abil, millise parameetri a väärtuse juures on süsteemil unikaalne lahendus.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Lahendus.

Tingimusest lähtuvalt ehitame ringi, mille keskpunkt on koordinaatide algpunktis ja raadius on 3 ühikulist lõiku, just see ring määrab süsteemi esimese võrrandi

x 2 + y 2 = 9. Süsteemi teine ​​võrrand (y = |x| + a) on katkendlik joon. Via joonis 2 kaalume kõiki võimalikke juhtumeid selle asukoha kohta ringi suhtes. On lihtne näha, et a = 3.

Vastus: a = 3.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas võrrandisüsteeme lahendada?
Juhendajalt abi saamiseks -.
Esimene tund on tasuta!

blog.site, materjali täieliku või osalise kopeerimisega on nõutav link allikale.

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Matemaatikas on ülesanded, mille puhul on vaja otsida lahendusi lineaar- ja ruutvõrranditele üldkujul või otsida võrrandil olevate juurte arvu sõltuvalt parameetri väärtusest. Kõik need ülesanded parameetritega.

Vaatleme illustreeriva näitena järgmisi võrrandeid:

\[y = kx,\] kus \ - muutujad, \ - parameeter;

\[y = kx + b,\] kus \ - muutujad, \ - parameeter;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] kus \ on muutuja, \[a, b, c\] on parameeter.

Võrrandi lahendamine parameetriga tähendab reeglina lõpmatu võrrandihulga lahendamist.

Kuid teatud algoritmi järgides saab hõlpsasti lahendada järgmised võrrandid:

1. Määrake parameetri "kontroll" väärtused.

2. Lahendage [\x\] algne võrrand esimeses lõigus määratud parameetrite väärtustega.

3. Lahendage [\x\] algne võrrand parameetrite väärtustega, mis erinevad esimeses lõigus valitud väärtustest.

Oletame, et on antud järgmine võrrand:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Pärast esialgsete andmete analüüsimist on selge, et \[\ge 0.\]

Moodulireegliga \ väljendame \

Vastus: \ kus \

Kust saab võrgus parameetriga võrrandit lahendada?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videojuhendit ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Märkus . Ülaltoodud näites lõppes kõigi determinantide arvutamine esitusega tegurite korrutise kujul, millest ühte (13) vähendati jagamise käigus. See olukord on väga üldine. Seetõttu ärge kiirustage tegureid korrutama, kuigi enamasti need ei tühista.

Ülesanne 4.4. Lahendage võrrandisüsteemid Crameri reegli abil:

Ülaltoodud ülesannete lahendus näitab, et Crameri valemid on ühtne ja mugav meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahenduste leidmiseks.

Märge . Crameri valemite kasutamine on oluliselt lihtsustatud, kui leida ainult üks tundmatutest: sel juhul tuleb kokku lugeda ainult kaks determinanti.

2.4.4. Võrrandisüsteemid parameetritega

Eespool käsitleti kõikjal tundmatute ja võrrandite parempoolsete fikseeritud koefitsientidega lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme. Praktilistes probleemides on väga sageli need koefitsiendid ja parempoolsete külgede väärtused ebatäpselt teada. Seetõttu on vaja analüüsida selliste parameetrite mõju süsteemide lahendusele.

Näide 4.5. Uurige võrrandisüsteemi lahendi sõltuvust

3x + 8y = a5x + 9y = b

parameetritest a ja b .

Siin sõltuvad parameetritest ainult võrrandite parempoolsed küljed. Niivõrd kui

lahenduse leidmiseks võite kasutada Crameri valemeid. Meil on:

y (a, b)

x (a, b)

Seega vastab iga parameetripaar a ja b ainsale arvude x ja y paarile, mis rahuldab antud võrrandisüsteemi. See tähendab, et võrrandisüsteemi lahenduseks on järjestatud paar ja kahe muutuja kaks funktsiooni (parameetrid a ja b ). Mõlemad funktsioonid on määratletud nende parameetrite mis tahes väärtuste jaoks ja sõltuvad lineaarselt sõltumatutest muutujatest a ja b . Lisaks suureneb x monotoonselt

ja uurida nende lahenduse sõltuvust parameetritest a ja b . Soovitus. Joonistage saadud lahendused x (a , b ) ja y (a , b )

muutuvate parameetrite a ja b funktsioonidena. Selgitage, miks kõikides ülesannetes sõltuvad lahendused lineaarselt parameetritest a ja b .

Näide 4.6. Uurige võrrandisüsteemi lahendi sõltuvust

See determinant ei ole võrdne nulliga ainult siis, kui a ≠ − 5. Seetõttu saate Crameri valemeid kasutada ainult siis, kui a ≠ − 5. Sel juhul:

Vaatleme eraldi juhtumit a = − 5 . Algne süsteem on siis järgmine:

− 2 x −10 y = 5 x +5 y = b

− 5 − c x = c, y = 2

Muidugi on mis tahes tundmatu väärtuse valimisel meelevaldsus ja lahenduse võib kirjutada ka kujul:

x = − 5 2 − 5 c, y = c

Seega võib sõltuvus algse süsteemi tundmatute koefitsientide parameetrist tekitada lahenduse puudumise või lõpmatu hulga lahendite olemasolu. Avastatud fakt on varasemalt tuntud ühe võrrandi ax = b ja kahe tundmatuga kahe lineaarvõrrandi süsteemide üldistus.

Märkus 1. Konstandi c sisestamine võrrandisüsteemi lahendusse meenutab integreerimiskonstandi valiku suvalisust.

Märkus 2. Vaadeldav näide näitab, et nagu ühe võrrandi puhul, on suure arvu võrrandite ja tundmatutega lineaarsete algebrasüsteemide puhul võimalik ainult kolm erinevat juhtumit: üks lahendus, lahendus puudub või lõpmatult palju lahendeid.

Probleem 4.6. Uurige võrrandisüsteemi lahendusi:

Probleem 4.7. Mõelge välja oma kahe tundmatu ja kahe parameetriga algebralise võrrandi süsteem ning uurige seda sõltuvalt parameetrite väärtustest.

Küsimused enesekontrolliks

1) Mis on determinandi väike element?

2) Mis vahe on algebralisel täiendil ja determinandi elemendi minooril?

3) Mis on adjointmaatriks?

4) Kuidas leida antud maatriksi jaoks seotud maatriksit?

5) Mis on seotud maatriksi järjekord?

6) Millal pöördmaatriksit ei eksisteeri?

7) Millist maatriksit nimetatakse mittedegeneratiivseks?

8) Millistel tingimustel saab Crameri valemeid kasutada?

9) Mis on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus?

10) Millised determinandid sisalduvad Crameri valemites?

11) Millal sõltuvad determinandid parameetritest?

12) Kas seotud ja algmaatriksi korrutis võib olla skalaarmaatriks?

13) Kuidas tegurite permutatsioon mõjutab tulemust lisatud ja algmaatriksite korrutamisel?

14) Mis on Crameri valemid?

15) Millistel tingimustel saab Crameri reegli (valemite) abil leida lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse?

Lahendame võrrandisüsteemi parameetriga (A. Larin, variant 98)

Leidke parameetri kõik väärtused, millest igaühe jaoks süsteem

on täpselt üks lahendus.

Vaatame süsteemi lähemalt. Süsteemi esimeses võrrandis on vasakul pool ja parem pool ei sõltu parameetrist. See tähendab, et võime seda võrrandit pidada funktsiooni võrrandiks

ja me saame selle funktsiooni joonistada.

Süsteemi teine ​​võrrand

oleneb parameetrist ja valides võrrandi vasakpoolsest servast täisruudu, saame ringvõrrandi.

Seega on mõttekas koostada iga võrrandi kohta graafikud ja vaadata, millise parameetri väärtuse juures on neil graafikutel üks lõikepunkt.

Alustame esimese võrrandiga. Kõigepealt avame moodulid. Selleks võrdsustame iga alammooduli avaldise nulliga, et leida punktid, kus märk muutub.

Esimene alammooduli avaldis muudab märki at , teine ​​- at .

Asetame need punktid koordinaatjoonele ja leiame iga alammooduli avaldise märgid igal intervallil:

Pange tähele, et võrrandil ja ei ole mõtet, seega lõikasime need punktid välja.

Nüüd laiendame iga intervalli mooduleid. (Tuletame meelde: kui alammooduli avaldis on suurem või võrdne nulliga, siis laiendame moodulit sama märgiga ja kui see on väiksem kui null, siis vastupidise märgiga.)

Mõlemad alammooduli avaldised on negatiivsed, seetõttu laiendatakse mõlemat moodulit vastupidise märgiga:

See tähendab, et algsel funktsioonil on vorm

Sellel intervallil on esimene alammooduli avaldis negatiivne ja teine ​​positiivne, seega saame:

- funktsiooni sellel intervallil ei eksisteeri.

3.title="(!LANG:x>2">!}

Sellel intervallil on mõlemad alammooduli avaldised positiivsed, laiendame mõlemat moodulit sama märgiga. Saame:

See tähendab, et title="(!LANG:x>2"> исходная функция имеет вид !}

Nii saime funktsiooni graafiku

Vaatame nüüd teist võrrandit:

Valime võrrandi vasakult küljelt täisruudu, selleks lisame võrrandi mõlemale poolele numbri 4:

Parameetri konkreetse väärtuse korral on selle võrrandi graafik ringjoon, mille keskpunkt on koordinaatidega punkt ja mille raadius on 5. Erinevate väärtuste jaoks on meil rida ringe:

Liigutame ringi alt üles, kuni see puudutab esimese funktsiooni graafiku vasakut külge. Joonisel on see ring punane. Selle ringi keskpunkt on punkt , selle koordinaadid on (-2;-3). Edasi, üles liikudes on ringil üks lõikepunkt funktsioonigraafiku vasaku küljega ehk süsteemil on unikaalne lahendus.

Jätkame ringi liigutamist ülespoole, kuni see puudutab esimese funktsiooni graafiku paremat külge. See juhtub siis, kui ringi keskpunkt on koordinaatidega punktis (-2; 0) - joonisel on see ring sinine.

Edasi ülespoole liikudes lõikab ring nii esimese funktsiooni graafiku vasakut kui paremat osa, see tähendab, et ringil on kaks lõikepunkti esimese funktsiooni graafikuga ja süsteemil on kaks lahendust. See olukord jätkub seni, kuni ringi keskpunkt on koordinaatidega punktis (-2; 5) – see ring on roheline. Sel hetkel puudutab ring graafiku vasakut külge ja ristub parema küljega. See tähendab, et süsteemil on üks lahendus.

Seega on süsteemil ainulaadne lahendus (-3;0]}