Sigma valemi keskmise standardhälbe arvutamine. Standardhälve

Õppetund nr 4

Teema: “Kirjeldav statistika. Tunnuste mitmekesisuse näitajad kokku"

Peamised kriteeriumid tunnuse mitmekesisuse kohta statistilises populatsioonis on: piir, amplituud, keskmine standardhälve, võnketegur ja variatsioonitegur. Eelmises õppetükis arutati, et keskmised väärtused annavad ainult uuritava tunnuse üldistatud omaduse koondmaterjalina ega võta arvesse selle üksikute variantide väärtusi: miinimum- ja maksimumväärtused, keskmisest kõrgemad, allapoole. keskmine jne.

Näide. Kahe erineva numbrijada keskmised väärtused: -100; -20; 100; 20 ja 0,1; -0,2; 0,1 on absoluutselt identsed ja võrdsedKOHTA.Nende suhteliste keskmiste järjestuste andmete hajuvusvahemikud on aga väga erinevad.

Loetletud tunnuse mitmekesisuse kriteeriumide määramine toimub peamiselt selle väärtust üksikutes elementides arvesse võttes statistiline populatsioon.

Tunnuse varieerumise mõõtmise indikaatorid on absoluutne Ja sugulane. Variatsiooni absoluutnäitajate hulka kuuluvad: varieeruvuse vahemik, piir, standardhälve, dispersioon. Variatsioonitegur ja võnketegur viitavad suhtelistele variatsioonimõõtudele.

Limiit (lim) – See on kriteerium, mille määravad variatsiooniseeria variandi äärmuslikud väärtused. Teisisõnu, see kriteerium on piiratud atribuudi minimaalse ja maksimaalse väärtusega:

Amplituud (am) või variatsiooni vahemik - See on äärmuslike võimaluste erinevus. Selle kriteeriumi arvutamiseks lahutatakse atribuudi maksimaalsest väärtusest selle minimaalne väärtus, mis võimaldab meil hinnata valiku hajumise astet:

Piiri ja amplituudi kui varieeruvuse kriteeriumide puuduseks on see, et need sõltuvad täielikult variatsioonirea karakteristiku äärmuslikest väärtustest. Sel juhul ei võeta seeriasiseseid atribuutide väärtuste kõikumisi arvesse.

Kõige täielikuma kirjelduse tunnuse mitmekesisusest statistilises populatsioonis annab standardhälve(sigma), mis on optsiooni keskmisest väärtusest kõrvalekaldumise üldine mõõt. Sageli nimetatakse standardhälvet standardhälve.

Standardhälve põhineb iga variandi võrdlusel antud üldkogumi aritmeetilise keskmisega. Kuna agregaadis on alati valikuid nii vähem kui ka rohkem, siis märgiga "" kõrvalekallete summa tühistatakse märgiga "" kõrvalekallete summa võrra, st. kõigi kõrvalekallete summa on null. Et vältida erinevuste märkide mõju, võetakse kõrvalekalded aritmeetilisest keskmisest ruudust, s.o. . Ruuthälvete summa ei võrdu nulliga. Muutuvust mõõtva koefitsiendi saamiseks võtke ruutude summa keskmine - seda väärtust nimetatakse hälbed:

Sisuliselt on dispersioon tunnuse üksikute väärtuste kõrvalekallete keskmine ruut selle keskmisest väärtusest. Dispersioon – standardhälbe ruut.

Dispersioon on mõõtmete suurus (nimetatakse). Seega, kui arvurea variandid on väljendatud meetrites, siis dispersioon annab ruutmeetreid; kui variandid on väljendatud kilogrammides, siis dispersioon annab selle mõõdu ruudu (kg 2) jne.

Standardhälve – Ruutjuur dispersioonist:

, siis dispersiooni ja standardhälbe arvutamisel murdosa nimetaja asemeltuleb panna.

Standardhälbe arvutamise võib jagada kuueks etapiks, mis tuleb läbi viia kindlas järjekorras:

Standardhälbe rakendamine:

a) variatsiooniridade varieeruvuse hindamiseks ja aritmeetiliste keskmiste tüüpilisuse (representatiivsuse) võrdlevaks hindamiseks. See on vajalik diferentsiaaldiagnostikas sümptomite stabiilsuse määramisel.

b) rekonstrueerida variatsioonirida, s.o. alusel selle sageduskarakteristiku taastamine kolm sigma reeglit. Vaheajal (М±3σ) 99,7% seeria kõigist variantidest asuvad intervallis (М±2σ) - 95,5% ja vahemikus (М±1σ) - 68,3% reavalik(joonis 1).

c) "hüpikakna" valikute tuvastamiseks

d) määrata normi ja patoloogia parameetrid sigma hinnangute abil

e) variatsioonikoefitsiendi arvutamiseks

f) arvutada aritmeetilise keskmise keskmine viga.

Et iseloomustada mis tahes populatsiooni, millel onnormaaljaotuse tüüp , piisab kahe parameetri teadmisest: aritmeetilisest keskmisest ja standardhälbest.

Joonis 1. Kolme sigma reegel

Näide.

Pediaatrias kasutatakse standardhälvet laste füüsilise arengu hindamiseks, võrreldes konkreetse lapse andmeid vastavate standardnäitajatega. Standardiks võetakse tervete laste füüsilise arengu aritmeetiline keskmine. Näitajate võrdlemine standarditega toimub spetsiaalsete tabelite abil, milles on toodud standardid koos neile vastavate sigma skaaladega. Arvatakse, et kui lapse füüsilise arengu näitaja on normi piires ( keskmine) ±σ, siis füüsiline areng laps (selle näitaja järgi) vastab normile. Kui indikaator jääb normi ±2σ piiresse, siis on normist väike kõrvalekalle. Kui näitaja ületab neid piire, erineb lapse füüsiline areng normist järsult (patoloogia on võimalik).

Lisaks absoluutväärtustes väljendatud variatsiooninäitajatele kasutatakse statistilistes uuringutes suhtelistes väärtustes väljendatud variatsiooninäitajaid. võnkekoefitsient - see on variatsioonivahemiku ja tunnuse keskmise väärtuse suhe. Variatsioonikoefitsient - see on standardhälbe ja tunnuse keskmise väärtuse suhe. Tavaliselt väljendatakse neid väärtusi protsentides.

Suhtelise variatsiooni näitajate arvutamise valemid:

Ülaltoodud valemitest on selge, et mida suurem on koefitsient V on nullile lähemal, seda väiksem on tunnuse väärtuste kõikumine. Rohkem V, seda muutuvam on märk.

Statistilises praktikas kasutatakse kõige sagedamini variatsioonikordajat. Seda ei kasutata mitte ainult varieeruvuse võrdlevaks hindamiseks, vaid ka populatsiooni homogeensuse iseloomustamiseks. Populatsioon loetakse homogeenseks, kui variatsioonikordaja ei ületa 33% (normaallähedaste jaotuste korral). Aritmeetiliselt neutraliseerib σ ja aritmeetilise keskmise suhe nende tunnuste absoluutväärtuse mõju ning protsentuaalne suhe muudab variatsioonikordaja dimensioonideta (nimeta) väärtuseks.

Saadud variatsioonikordaja väärtust hinnatakse vastavalt tunnuse mitmekesisuse astme ligikaudsele gradatsioonile:

nõrk - kuni 10%

Keskmine – 10–20%

Tugev - üle 20%

Variatsioonikoefitsiendi kasutamine on soovitatav juhtudel, kui on vaja võrrelda erineva suuruse ja mõõtmetega omadusi.

Variatsioonikoefitsiendi ja muude hajuvuskriteeriumide erinevus on selgelt näidatud näiteks.

Tabel 1

Tööstusettevõtete töötajate koosseis

Näites toodud statistiliste tunnuste põhjal saame teha järelduse ettevõtte töötajate vanuselise koosseisu ja haridustaseme suhtelise homogeensuse kohta, arvestades uuritava kontingendi madalat ametialast stabiilsust. On lihtne mõista, et katse hinnata neid sotsiaalseid suundumusi standardhälbe järgi viiks ekslikule järeldusele ning katse võrrelda raamatupidamistunnuseid "töökogemus" ja "vanus" raamatupidamisnäitajaga "haridus" oleks üldiselt nende omaduste heterogeensuse tõttu valed.

Mediaan ja protsentiilid

Järjekorraliste (asukoha) jaotuste puhul, kus rea keskkoha kriteeriumiks on mediaan, ei saa standardhälvet ja dispersiooni kasutada variandi dispersiooni tunnustena.

Sama kehtib ka avatud variatsiooniseeriate kohta. See asjaolu on tingitud asjaolust, et hälbeid, millest dispersioon ja σ arvutatakse, mõõdetakse aritmeetilisest keskmisest, mida ei arvutata avatud variatsiooniridades ja kvalitatiivsete tunnuste jaotuste jadades. Seetõttu kasutatakse jaotuste tihendatud kirjelduse jaoks teist hajumise parameetrit - kvantiil(sünonüüm - "protsentiil"), sobib kvalitatiivsete ja kvantitatiivsete omaduste kirjeldamiseks nende mis tahes jaotusvormis. Seda parameetrit saab kasutada ka kvantitatiivsete tunnuste teisendamiseks kvalitatiivseteks. Sel juhul määratakse sellised hinnangud sõltuvalt sellest, millisele kvantiili järjekorrale konkreetne valik vastab.

Biomeditsiiniliste uuringute praktikas kasutatakse kõige sagedamini järgmisi kvantiile:

– mediaan;

, – kvartiilid (kvartiilid), kus – alumine kvartiil, – ülemine kvartiil.

Kvantiilid jagavad variatsioonirea võimalike muutuste ala teatud intervallideks. Mediaan (kvantiil) on variant, mis on variatsioonirea keskel ja jagab selle seeria pooleks kaheks võrdseks osaks ( 0,5 Ja 0,5 ). Kvartiil jagab seeria neljaks osaks: esimene osa (alumine kvartiil) on optsioon, mis eraldab optsioonid, mille arvväärtused ei ületa 25% antud seeria maksimaalsest võimalikust; kvartiil eraldab optsioonid, mille arvväärtus on kuni 50% maksimaalsest võimalikust. Ülemine kvartiil () eraldab valikud kuni 75% maksimaalsetest võimalikest väärtustest.

Asümmeetrilise jaotuse korral muutuja aritmeetilise keskmise suhtes, selle iseloomustamiseks kasutatakse mediaani ja kvartiile. Sel juhul kasutatakse keskmise väärtuse kuvamiseks järgmist vormi - meh (;). Näiteks, on uuritav tunnus – „periood, mil laps hakkas iseseisvalt kõndima“ – jaotus õpperühmas asümmeetriliselt. Samal ajal vastab alumine kvartiil () kõndimise algusele - 9,5 kuud, mediaan - 11 kuud, ülemine kvartiil () - 12 kuud. Vastavalt sellele esitatakse määratud atribuudi keskmise trendi tunnuseks 11 (9,5; 12) kuud.

Õppetulemuste statistilise olulisuse hindamine

Andmete statistilise olulisuse all mõistetakse seda, mil määral need vastavad kuvatavale reaalsusele, s.t. statistiliselt olulised andmed on need, mis ei moonuta ja kajastavad õigesti objektiivset tegelikkust.

Uurimistulemuste statistilise olulisuse hindamine tähendab määramist, millise tõenäosusega on võimalik valimikogumilt saadud tulemusi üle kanda kogu üldkogumile. Statistilise olulisuse hindamine on vajalik, et mõista, kui suure osa nähtusest saab hinnata nähtust tervikuna ja selle mustreid.

Uurimistulemuste statistilise olulisuse hindamine koosneb:

1. esindusvead (keskmiste ja suhteliste väärtuste vead) - m;

2. keskmiste või suhteliste väärtuste usalduspiirid;

3. keskmiste või suhteliste väärtuste erinevuse usaldusväärsus vastavalt kriteeriumile t.

Aritmeetilise keskmise standardviga või esindusviga iseloomustab keskmise kõikumist. Tuleb märkida, et mida suurem on valimi suurus, seda väiksem on keskmiste väärtuste levik. Keskmise standardviga arvutatakse järgmise valemi abil:

Kaasaegses teaduskirjanduses kirjutatakse aritmeetiline keskmine koos representatiivsusveaga:

või koos standardhälbega:

Vaatleme näiteks andmeid riigi 1500 linnakliiniku kohta (üldrahvastik). Kliinikus teenindatavate patsientide keskmine arv on 18 150 inimest. Juhuslik valik 10% kohtadest (150 kliinikut) annab keskmiseks patsientide arvuks 20 051 inimest. Valimi võtmise viga, mis tuleneb ilmselt asjaolust, et valimisse ei kaasatud kõiki 1500 kliinikut, on võrdne nende keskmiste erinevusega - üldkeskmise ( M geen) ja proovi keskmine ( M valitud). Kui moodustame oma populatsioonist teise sama suurusega valimi, annab see erineva veaväärtuse. Kõik need piisavalt suurte valimitega valimi keskmised jaotuvad normaalselt ümber üldkeskmise, kusjuures sama arvu objektide valimi korduste arv on piisavalt suur. elanikkonnast. Keskmise standardviga m- see on valimi keskmiste vältimatu levik üldkeskmise ümber.

Juhul, kui uurimistulemused esitatakse suhtelistes kogustes (näiteks protsentides) - arvutatakse murdosa standardviga:

kus P on näitaja %, n on vaatluste arv.

Tulemus kuvatakse kujul (P ± m)%. Näiteks, paranemise protsent patsientide seas oli (95,2±2,5)%.

Juhul, kui populatsiooni elementide arv, siis keskväärtuse standardvigade arvutamisel ja murdosa nimetaja murdosa asemeltuleb panna.

Normaaljaotuse korral (valimi keskmiste jaotus on normaalne) teame, milline osa populatsioonist jääb mis tahes keskmist ümbritsevasse intervalli. Eriti:

Praktikas on probleem selles, et üldkogumi tunnused on meile tundmatud ning valim tehakse just nende hindamise eesmärgil. See tähendab, et kui teeme sama suurusega proovid nüldkogumikust, siis 68,3% juhtudest sisaldab intervall väärtust M(95,5% juhtudest on see intervallil ja 99,7% juhtudest intervallil).

Kuna tegelikult võetakse ainult üks valim, on see väide sõnastatud tõenäosuse alusel: tõenäosusega 68,3%, atribuudi keskmine väärtus üldkogumis asub intervallis, tõenäosusega 95,5%. - intervallis jne.

Praktikas ehitatakse valimi väärtuse ümber intervall nii, et etteantud (piisavalt suure) tõenäosusega usalduse tõenäosus –"kataks" selle parameetri tegeliku väärtuse üldpopulatsioonis. Seda intervalli nimetatakse usaldusvahemik.

Usalduse tõenäosusP – see on usaldusväärsuse aste, et usaldusvahemik sisaldab tegelikult üldkogumi parameetri tõelist (tundmatut) väärtust.

Näiteks kui usalduse tõenäosus R on 90%, see tähendab, et 90 proovi 100-st annavad populatsiooni parameetri õige hinnangu. Vastavalt sellele on vea tõenäosus, s.o. valimi üldkeskmise vale hinnang on võrdne protsentides: . Selle näite puhul tähendab see, et 10 proovi 100-st annavad vale hinnangu.

Ilmselgelt sõltub usalduse aste (usaldustõenäosus) intervalli suurusest: mida laiem on intervall, seda suurem on kindlus, et sellesse satub üldkogumi jaoks tundmatu väärtus. Praktikas kasutatakse vähemalt 95,5% usaldusväärsuse tagamiseks usaldusvahemiku koostamiseks vähemalt kahekordset valimiviga.

Keskmiste ja suhteliste väärtuste usalduspiiride määramine võimaldab meil leida nende kaks äärmist väärtust - minimaalne võimalik ja maksimaalne võimalik, mille piires võib uuritav näitaja esineda kogu populatsioonis. Selle põhjal usalduspiirid (või usaldusvahemik)- need on keskmiste või suhteliste väärtuste piirid, millest üle on juhuslike kõikumiste tõttu ebaoluline tõenäosus.

Usaldusvahemiku saab ümber kirjutada järgmiselt: , kus t– usalduskriteerium.

Aritmeetilise keskmise usalduspiirid üldkogumis määratakse järgmise valemiga:

M geen = M vali + t m M

suhtelise väärtuse jaoks:

R geen = P vali + t m R

Kus M geen Ja R geen- üldrahvastiku keskmiste ja suhteliste väärtuste väärtused; M vali Ja R vali- valimipopulatsioonist saadud keskmiste ja suhteliste väärtuste väärtused; m M Ja m P- keskmiste ja suhteliste väärtuste vead; t- usalduskriteerium (täpsuskriteerium, mis kehtestatakse uuringu planeerimisel ja võib olla võrdne 2 või 3-ga); t m- see on usaldusvahemik või Δ - näidisuuringus saadud indikaatori maksimaalne viga.

Tuleb märkida, et kriteeriumi väärtus t teatud määral seotud veavaba prognoosi tõenäosusega (p), väljendatuna %. Selle valib uurija ise, juhindudes vajadusest saada nõutava täpsusega tulemus. Seega veavaba prognoosi tõenäosuse 95,5% korral on kriteeriumi väärtus t on 2, 99,7% - 3 puhul.

Antud usaldusvahemiku hinnangud on vastuvõetavad ainult statistiliste üldkogumite puhul, kus on rohkem kui 30 vaatlust.Väiksema populatsiooni (väikesed valimid) korral kasutatakse t-kriteeriumi määramiseks spetsiaalseid tabeleid. Nendes tabelites asub soovitud väärtus populatsiooni suurusele vastava joone ristumiskohas (n-1), ja veerg, mis vastab teadlase valitud veavaba prognoosi tõenäosustasemele (95,5%; 99,7%). Meditsiiniuuringutes on mis tahes näitaja usalduspiiride kehtestamisel veavaba prognoosi tõenäosus 95,5% või rohkem. See tähendab, et valimikogumist saadud näitaja väärtus tuleb leida üldkogumist vähemalt 95,5% juhtudest.

Küsimused tunni teemal:

Tunnuste mitmekesisuse näitajate asjakohasus statistilises populatsioonis.

Absoluutsete variatsiooninäitajate üldised omadused.

Standardhälve, arvutamine, rakendamine.

Variatsiooni suhtelised mõõdud.

Mediaan, kvartiil.

Õpitulemuste statistilise olulisuse hindamine.

Aritmeetilise keskmise standardviga, arvutusvalem, kasutusnäide.

Proportsiooni ja selle standardvea arvutamine.

Usaldustõenäosuse mõiste, kasutusnäide.

10. Usaldusvahemiku mõiste, selle rakendamine.

Testülesanded sellel teemal standardvastustega:

1. MUUTUMISE ABSOLUUTSEID NÄITAJAID, KUIDAS VIIDATE

1) variatsioonikoefitsient

2) võnkekoefitsient

4) mediaan

2. VARIATSIOONI SUHTELISED NÄITAJAD SEOTUD

1) dispersioon

4) variatsioonikoefitsient

3. KRITEERIUM, MIS ON MÄÄRATUD VARIATSIOONSERIA OPTIONI ÄRIVÄÄRTUSTE ALUSEL

2) amplituud

3) hajutamine

4) variatsioonikoefitsient

4. Äärmusvalikud ERINEVUSED ON

2) amplituud

3) standardhälve

4) variatsioonikoefitsient

5. ISELOOMULIKU KESKMISEST VÄÄRTUSEST ON INDIVIDUAALVÄÄRTUSTE HÕLMETE KESKMINE RUUT

1) võnkekoefitsient

2) mediaan

3) hajutamine

6. VARIATION SSKAALA SUHE MÄRGI KESKMISSE VÄÄRTUSEGA ON

1) variatsioonikoefitsient

2) standardhälve

4) võnkekoefitsient

7. KESKMISE RUUTHÄLBE SUHE TUNNUSLIKU KESKMISSE VÄÄRTUSEGA ON

1) dispersioon

2) variatsioonikoefitsient

3) võnkekoefitsient

4) amplituud

8. VARIANT, MIS ON VARIATSIOONIDE SERIA KESKES JA JAGAB SELLE KAHEKS VÕRDSEKS OSAKS, ON

1) mediaan

3) amplituud

9. MEDITSIINILISES UURINGUS MIS TAHES INDIKAATORILE KINNITUSLIIME KEHTES ON AKTSEPTEERITUD VEATETA ENNUSTUSE TÕENÄOSUSEGA

10. KUI 90 PROOVI 100-st ANNAVAD POPULATSIOONI PARAMEETRI ÕIGE HINNANGUSE, TÄHENDAB SEE, ET KINNITUSE TÕENÄOSUS P VÕRDSED

11. KUI 10 PROOVI 100-st ANNAVAD VALE HINNANGUSE, ON VEA TÕENÄOSUS VÕRDNE

12. KESKMISTE VÕI SUHTELISTE VÄÄRTUSTE PIIRID, MILLE ÜLEMINE JUHUSLIKUTE VÕNKUMISTE PÄRAST ON VÄIKE TÕENÄOSUS – SEE ON

1) usaldusvahemik

2) amplituud

4) variatsioonikoefitsient

13. VÄIKSEKS VALIMIKS LOETAKSE, KELLES

1) n on väiksem kui 100 või sellega võrdne

2) n on väiksem kui 30 või sellega võrdne

3) n on väiksem kui 40 või sellega võrdne

4) n on nullilähedane

14. 95% KRITEERIUMI VÄÄRTUSE VEATEVABA PROGNOOSIDE TÕENÄOSUSE KOHTA t ON

15. 99% KRITEERIUMI VÄÄRTUSE VEATETA PROGNOOSIDE TÕENÄOSUSE KOHTA t ON

16. NORMAALSELE LÄHEDASTE JAOTUSTE PUHUL LOETAKSE RAHVASTIK HOMOGEENSEKS, KUI VARIatsiooniKOefitsient EI ÜLETA

17. VALIK, ERALDAMISVÕIMALUSED, MILLISTE ARVUVÄÄRTUSED EI ÜLE 25% ANNETUD SERIES MAKSIMAALSEST VÕIMALIKUST – SEE ON

2) alumine kvartiil

3) ülemine kvartiil

4) kvartiil

18. ANDMEID, MIS EI MOONUTA JA OBJEKTIIVSET REAALSUST ÕIGESTI Peegeldavad, nimetatakse

1) võimatu

2) võrdselt võimalik

3) usaldusväärne

4) juhuslik

19. VASTAVALT "KOLME SigMA" REEGLILE, KES TAVALINE JAOTUS
ASUTAKSE

1) 68,3% optsioon

Materjal Wikipediast – vabast entsüklopeediast

Standardhälve(sünonüümid: standardhälve, standardhälve, ruuthälve; seotud terminid: standardhälve, standardne levik) - tõenäosusteoorias ja statistikas kõige levinum näitaja juhusliku suuruse väärtuste hajuvuse kohta selle matemaatilise ootuse suhtes. Piiratud väärtusnäidiste massiivide jaoks asemel matemaatiline ootus kasutatakse valimi üldkogumi aritmeetilist keskmist.

Põhiandmed

Standardhälvet mõõdetakse mõõtühikutes juhuslik muutuja ja seda kasutatakse aritmeetilise keskmise standardvea arvutamisel, usaldusvahemike koostamisel, hüpoteeside statistilisel kontrollimisel, juhuslike muutujate vahelise lineaarse seose mõõtmisel. Määratletakse juhusliku suuruse dispersiooni ruutjuurena.

Standardhälve:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Standardhälve(juhusliku suuruse standardhälbe hinnang x võrreldes selle matemaatilise ootusega, mis põhineb selle dispersiooni erapooletul hinnangul) $s$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash paremal)^2);$

Kolme sigma reegel

Kolme sigma reegel ($3\backslash sigma$) - peaaegu kõik normaalse jaotusega juhusliku suuruse väärtused asuvad intervallis $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Täpsemalt – ligikaudu tõenäosusega 0,9973 asub normaalse jaotusega juhusliku suuruse väärtus määratud intervallis (eeldusel, et väärtus $\backslash bar(x)$ tõsi ja seda ei saadud proovi töötlemise tulemusena).

Kui tegelik väärtus $\backslash bar(x)$ on teadmata, siis ei tohiks te seda kasutada $\backslash sigma$, A s. Seega kolme reegel sigma teisendatakse kolme reegliks s .

Standardhälbe väärtuse tõlgendamine

Standardhälbe suurem väärtus näitab väärtuste suuremat levikut esitatud komplektis keskmine suurus rahvahulgad; väiksem väärtus näitab vastavalt, et komplekti väärtused on rühmitatud keskmise väärtuse ümber.

Näiteks on meil kolm arvukomplekti: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ja (6, 6, 8, 8). Kõigi kolme komplekti puhul on keskmised väärtused 7 ja standardhälbed vastavalt 7, 5 ja 1. viimane komplekt standardhälve on väike, kuna komplektis olevad väärtused on rühmitatud keskmise väärtuse ümber; esimeses komplektis on kõige rohkem suur tähtsus standardhälve - seatud väärtused erinevad suuresti keskmisest väärtusest.

Üldises mõttes võib standardhälvet pidada määramatuse mõõdupuuks. Näiteks füüsikas kasutatakse standardhälvet mingi suuruse järjestikuste mõõtmiste jada vea määramiseks. See väärtus on väga oluline uuritava nähtuse usutavuse määramiseks võrreldes teooria ennustatud väärtusega: kui mõõtmiste keskmine väärtus erineb suuresti teoorias ennustatud väärtustest (suur standardhälve), siis tuleks saadud väärtused või nende saamise meetod uuesti üle kontrollida.

Praktiline kasutamine

Praktikas võimaldab standardhälve hinnata, kui palju väärtused komplektist võivad erineda keskmisest väärtusest.

Majandus ja rahandus

Portfelli tootluse standardhälve $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ tuvastatud portfelliriskiga.

Kliima

Oletame, et on kaks linna, mille keskmine ööpäevane maksimaalne temperatuur on sama, kuid üks asub rannikul ja teine ​​tasandikul. On teada, et rannikul asuvates linnades on palju erinevaid maksimaalseid päevaseid temperatuure, mis on madalamad kui sisemaal asuvates linnades. Seetõttu on rannikulinna maksimaalsete ööpäevaste temperatuuride standardhälve väiksem kui teise linna puhul, hoolimata asjaolust, et selle väärtuse keskmine väärtus on sama, mis praktikas tähendab, et tõenäosus, et maksimaalne õhutemperatuur mis tahes päev aastas erineb sisemaal asuva linna keskmisest väärtusest kõrgem.

Sport

Oletame, et on mitu jalgpallimeeskonda, keda hinnatakse teatud parameetrite järgi, näiteks löödud ja löödud väravate arv, väravavõimalused jne. Suure tõenäosusega saab selle grupi parim meeskond. parimad väärtused Kõrval rohkem parameetrid. Mida väiksem on meeskonna standardhälve iga esitatud parameetri puhul, seda prognoositavam on meeskonna tulemus; sellised meeskonnad on tasakaalus. Seevastu suure standardhälbega meeskonnal on raske tulemust ennustada, mis omakorda on seletatav tasakaalustamatusega nt. tugev kaitse, kuid nõrga rünnakuga.

Meeskonna parameetrite standardhälbe kasutamine võimaldab ühel või teisel määral ennustada kahe meeskonna vahelise matši tulemust, hinnates tugevusi ja nõrgad küljed käsud ja seega ka valitud võitlusmeetodid.

Vaata ka

Kirjutage ülevaade artiklist "Keskmine ruuthälve"

Kirjandus

• Borovikov V. STATISTIKA. Andmeanalüüsi kunst arvutis: Professionaalidele / V. Borovikov. - Peterburi. : Peeter, 2003. - 688 lk. - ISBN 5-272-00078-1..

Statistilised näitajad Kirjeldav statistikat Statistiline väljund ja läbivaatus hüpoteesid Üldine hinnang Korrelatsioon ja regressioon Graafika meetodid

Standardhälvet iseloomustav väljavõte

Ja kiiresti ukse avades astus ta otsustavate sammudega rõdule. Vestlus katkes järsku, mütsid ja mütsid võeti peast ning kõigi pilgud tõusid välja tulnud krahvi poole.
- Tere kutid! - ütles krahv kiiresti ja valjult. - Tänan, et tulite. Ma tulen nüüd teie juurde, kuid kõigepealt peame kaabakaga hakkama saama. Peame karistama kurikaela, kes tappis Moskva. Oota mind! "Ja krahv naasis sama kiiresti oma kambrisse, paugutades ukse kindlalt.
Rahvahulgast jooksis läbi mõnumürin. "See tähendab, et ta kontrollib kõiki kaabakad! Ja sa ütled prantsuse keelt... ta annab sulle kogu distantsi! - ütlesid inimesed, justkui heites üksteisele ette nende usu puudumist.
Mõni minut hiljem tuli üks ohvitser kiiruga välisustest välja, käskis midagi ja lohe tõusid püsti. Rahvas rõdult liikus innukalt veranda poole. Vihaste ja kiirete sammudega verandale jalutades vaatas Rostopchin kähku enda ümber ringi, justkui otsiks kedagi.
- Kus ta on? - ütles krahv ja samal minutil, kui ta seda ütles, nägi ta maja nurga tagant kahte draakone välja tulemas. noor mees pika peenikese kaelaga, poolraseeritud ja ülekasvanud peaga. See noormees oli riietatud kunagisesse uhkesse, sinise riidega kaetud räbalasse rebase lambanahast kasukasse ja määrdunud vangihaaremipükstesse, mis olid topitud puhastamata kulunud õhukestesse saabastesse. Köidikud rippusid tugevalt tema peenikeste nõrkade jalgade küljes, mistõttu oli noormehel raske otsustamatult kõndida.
- A! - ütles Rastopchin, pöörates kiiruga pilgu rebase lambanahast kasukas noormehelt kõrvale ja osutades veranda alumisele astmele. - Pane see siia! “Noormees astus köidikuid kõlksutades raskelt näidatud astmele, hoides sõrmega suruvast lambanahast mantli kraest, keeras kaks korda oma pikka kaela ja pani ohates oma peenikesed mittetöötavad käed käe ette. ta kõhtu alistuva žestiga.
Vaikus kestis mitu sekundit, kuni noormees end astmele sättis. Vaid ühte kohta pressivate inimeste tagumistes ridades oli kuulda oigamist, oigamist, värinat ja liikuvate jalgade trampimist.
Rastopchin, oodates, kuni ta märgitud kohas peatub, kortsutas kulmu ja hõõrus käega nägu.
- Poisid! - ütles Rastoptšin metalselt heliseval häälel, - see mees, Vereštšagin, on sama lurjus, kelle käest Moskva hukkus.
Rebase lambanahast kasukas noormees seisis allaheitlikus poosis, lõi käed kõhu ees kokku ja kummardus kergelt. Tema kõhn, lootusetu näoilme, mida moonutas raseeritud pea, oli langenud. Krahvi esimeste sõnade peale tõstis ta aeglaselt pea ja vaatas alla krahvile, nagu tahaks talle midagi öelda või vähemalt tema pilku kohata. Kuid Rastopchin ei vaadanud talle otsa. Noormehe pikal peenikesel kaelal tõmbus kõrvatagune veen nagu köis pingesse ja muutus siniseks ning ühtäkki muutus tema nägu punaseks.
Kõikide pilgud olid talle suunatud. Ta vaatas rahvahulka ja justkui julgustatuna inimeste nägudest, naeratas ta nukralt ja arglikult ning, taas langetades pead, sättis jalgu astmele.
"Ta reetis oma tsaari ja isamaa, andis end üle Bonaparte'ile, ainult tema kõigist venelastest häbistas venelase nime ja Moskva on temast hävimas," ütles Rastoptšin tasasel ja teraval häälel; kuid järsku vaatas ta kiiresti alla Vereštšaginile, kes seisis jätkuvalt samas alistuvas poosis. Justkui see pilk oleks teda plahvatanud, kätt tõstes peaaegu karjus, pöördudes inimeste poole: "Tegelege temaga oma otsusega!" Ma annan selle sulle!
Inimesed vaikisid ja ainult surusid üksteist aina lähemale. Üksteise hoidmine, selle nakatunud umbsuse hingamine, liikumiseks jõudu puudumine ja millegi tundmatu, arusaamatu ja kohutava ootamine muutusid väljakannatamatuks. Esiridades seisnud inimesed, kes nägid ja kuulsid kõike, mis nende ees toimus, kõik hirmsalt lahtiste silmade ja avatud suuga, kogu oma jõu pingutades, hoidsid selja taga olijate survet tagasi.
- Pekske teda!.. Lase reetur surra ja ärge tehke venelase nime häbisse! - karjus Rastopchin. - Ruby! Ma tellin! - Kuuldes mitte sõnu, vaid Rastopchini vihaseid hääli, ohkas rahvas ja liikus edasi, kuid peatus uuesti.
"Krahv!..." ütles Vereštšagini pelglik ja samal ajal teatraalne hääl keset taas saabunud hetkelist vaikust. "Krahv, üks jumal on meie kohal..." ütles Vereštšagin, tõstes pead ja jälle täitus paks veen tema õhukesel kaelal verega ning värv ilmus kiiresti ja jooksis ta näost minema. Ta ei lõpetanud seda, mida tahtis öelda.
- Haki ta! Ma tellin!.. - hüüdis Rastoptšin, muutudes järsku kahvatuks nagu Vereštšagin.
- Saalid välja! - karjus ohvitser lohedele ise mõõka tõmmates.
Veel üks veelgi tugevam laine pühkis inimestest läbi ja esiridadesse jõudes liigutas see laine jahmatades esiridu ja viis nad veranda astmetele. Vereštšagini kõrval seisis pikk mees, kivistunud näoilme ja seisma tõstetud käega.
- Ruby! - sosistas peaaegu ohvitser lohedele ja üks sõduritest lõi ootamatult vihast moonutatud näoga Vereshchaginile nüri laimõõgaga pähe.
"A!" - hüüdis Vereštšagin lühidalt ja üllatunult, vaadates hirmunult ringi ja justkui ei mõistaks, miks temaga nii tehti. Rahvahulgast jooksis läbi samasugune üllatuse ja õuduse oigamine.
"Oh mu jumal!" – kõlas kellegi kurb hüüatus.
Kuid pärast Vereštšaginist pääsenud üllatushüüdu karjus ta haletsusväärselt valust ja see kisa hävitas ta. See barjäär ulatus kõrgeima tasemeni inimlik tunne, mis ikka veel rahvast kinni hoidis, murdis silmapilkselt läbi. Kuritegu oli alustatud, see oli vaja lõpule viia. Haleda etteheite oigamise summutas rahvahulga ähvardav ja vihane möirgamine. Nagu viimane seitsmes laine, mis lõhkus laevu, tõusis see viimane pidurdamatu laine tagumistest ridadest, jõudis eesmiste ridadesse, lõi nad maha ja neelas kõik alla. Löönud lohe tahtis oma lööki korrata. Vereštšagin tormas õudusega, kätega varjades inimeste poole. Pikakasvuline mees, kellele ta vastu põrkas, haaras kätega Vereštšagini peenikesest kaelast ja langes metsiku nutuga möirgavate inimeste jalge alla.
Mõned peksid ja rebisid Vereštšaginit, teised olid pikad ja väikesed. Ja purustatud inimeste ja nende inimeste karjed, kes püüdsid pikka meest päästa, äratasid ainult rahva raevu. Draaunid ei suutnud pikka aega vabastada verist, pooleldi surnuks pekstud vabrikutöölist. Ja pikka aega, vaatamata palavikule kiirustamisele, millega rahvas kunagi alustatud tööd lõpule viia püüdis, ei suutnud need inimesed, kes Vereštšaginit peksid, kägistasid ja rebisid, teda tappa; kuid rahvahulk surus neid igalt poolt, nende keskel, nagu üks mass, õõtsudes küljelt küljele ega andnud neile võimalust teda lõpetada ega visata.

Kogemustest saadud väärtused sisaldavad paratamatult väga erinevatel põhjustel vigu. Nende hulgas tuleks eristada süstemaatilisi ja juhuslikke vigu. Süstemaatilised vead on põhjustatud põhjustest, mis toimivad väga spetsiifiliselt ja mida saab alati kõrvaldada või üsna täpselt arvesse võtta. Juhuslikud vead on põhjustatud väga paljudest individuaalsetest põhjustest, mida ei saa täpselt arvesse võtta ja mis toimivad igal üksikul mõõtmisel erinevalt. Neid vigu ei saa täielikult välistada; neid saab arvesse võtta ainult keskmiselt, mille jaoks on vaja teada seadusi, mis reguleerivad juhuslikke vigu.

Mõõdetud suurust tähistame A-ga ja juhuslikku mõõtmisviga x-ga. Kuna viga x võib omandada mis tahes väärtuse, on see pidev juhuslik suurus, mida iseloomustab täielikult selle jaotusseadus.

Lihtsaim ja tegelikkust kõige täpsemalt kajastav (valdav enamus juhtudel) on nn tavaline vigade jaotuse seadus:

Selle jaotusseaduse võib saada erinevatest teoreetilistest eeldustest, eelkõige nõudest, et tundmatu suuruse kõige tõenäolisem väärtus, mille jaoks saadakse otsese mõõtmise teel sama täpsusastmega väärtuste jada, on aritmeetiline keskmine need väärtused. Kogust 2 nimetatakse dispersioon sellest tavalisest seadusest.

Keskmine

Dispersiooni määramine katseandmete põhjal. Kui mis tahes väärtuse A korral saadakse n väärtused a i otsemõõtmisel sama täpsusastmega ja kui väärtuse A vead alluvad normaaljaotuse seadusele, siis on A kõige tõenäolisem väärtus keskmine:

a - aritmeetiline keskmine,

a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Vaadeldava väärtuse (iga vaatluse puhul) a i väärtuse A kõrvalekalle aritmeetiline keskmine: a i - a.

Sel juhul normaalse veajaotuse seaduse dispersiooni määramiseks kasutage valemit:

2 - dispersioon,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,

Standardhälve

Standardhälve näitab mõõdetud väärtuste absoluutset kõrvalekallet aritmeetiline keskmine. Vastavalt lineaarse kombinatsiooni täpsuse mõõtmise valemile keskmine ruutviga Aritmeetiline keskmine määratakse järgmise valemiga:

, Kus

a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Variatsioonikoefitsient

Variatsioonikoefitsient iseloomustab mõõdetud väärtuste kõrvalekalde suhtelist mõõdet aritmeetiline keskmine:

, Kus

V - variatsioonikoefitsient,
- standardhälve,
a - aritmeetiline keskmine.

Mida suurem on väärtus variatsioonikoefitsient, seda suurem on uuritud väärtuste hajuvus ja väiksem ühtlus. Kui variatsioonikoefitsient alla 10%, siis loetakse variatsioonirea varieeruvus ebaoluliseks, 10% kuni 20% keskmiseks, üle 20% ja alla 33% loetakse oluliseks ning kui variatsioonikoefitsientületab 33%, see näitab teabe heterogeensust ja vajadust välistada suurimad ja väikseimad väärtused.

Keskmine lineaarne hälve

Üks varieerumise ulatuse ja intensiivsuse näitajaid on keskmine lineaarne hälve (keskmise kõrvalekalde moodul) aritmeetilisest keskmisest. Keskmine lineaarne hälve arvutatakse valemiga:

, Kus

_
a - keskmine lineaarne hälve,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Kontrollida uuritud väärtuste vastavust seadusele normaaljaotus suhtumist rakendama asümmeetria indikaator tema veale ja suhtumisele kurtoosi indikaator tema veale.

Asümmeetria indikaator

Asümmeetria indikaator(A) ja selle viga (m a) arvutatakse järgmiste valemite abil:

, Kus

A - asümmeetria indikaator,
- standardhälve,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Kurtoosi indikaator

Kurtoosi indikaator(E) ja selle viga (m e) arvutatakse järgmiste valemite abil:

, Kus

$X$. Alustuseks tuletagem meelde järgmist määratlust:

Definitsioon 1

Rahvaarv-- teatud tüüpi juhuslikult valitud objektide kogum, mille saamise eesmärgil tehakse vaatlusi konkreetsed väärtused juhuslik suurus, mis viiakse läbi konstantsetes tingimustes, kui uuritakse ühte antud tüüpi juhuslikku muutujat.

2. definitsioon

Üldine dispersioon- populatsioonivariandi väärtuste keskväärtusest kõrvalekallete ruudu aritmeetiline keskmine.

Olgu valiku $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ väärtustel vastavalt sagedused $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Seejärel arvutatakse üldine dispersioon järgmise valemi abil:

Mõelgem erijuhtum. Olgu kõik valikud $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ erinevad. Sel juhul $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Leiame, et sel juhul arvutatakse üldine dispersioon järgmise valemi abil:

Seda mõistet seostatakse ka üldise standardhälbe mõistega.

3. määratlus

Üldine standardhälve

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Valimi dispersioon

Olgu meile antud valimipopulatsioon juhusliku suuruse $X$ suhtes. Alustuseks tuletagem meelde järgmist määratlust:

4. määratlus

Näidispopulatsioon-- osa üldpopulatsioonist valitud objektidest.

Definitsioon 5

Valimi dispersioon- valimi üldkogumi väärtuste aritmeetiline keskmine.

Olgu valiku $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ väärtustel vastavalt sagedused $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$. Seejärel arvutatakse valimi dispersioon järgmise valemi abil:

Vaatleme erilist juhtumit. Olgu kõik valikud $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ erinevad. Sel juhul $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Leiame, et sel juhul arvutatakse valimi dispersioon järgmise valemi abil:

Selle kontseptsiooniga on seotud ka valimi standardhälbe mõiste.

Definitsioon 6

Näidis standardhälve-- ruutjuur üldisest dispersioonist:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Parandatud dispersioon

Parandatud dispersiooni $S^2$ leidmiseks on vaja valimi dispersioon korrutada murdosaga $\frac(n)(n-1)$, see tähendab

Seda mõistet seostatakse ka korrigeeritud standardhälbe mõistega, mis leitakse valemiga:

Juhul, kui variantide väärtused ei ole diskreetsed, vaid esindavad intervalle, siis üld- või näidisvariansside arvutamise valemites võetakse $x_i$ väärtuseks intervalli keskkoha väärtus. kuhu $x_i.$ kuulub.

Probleemi näide dispersiooni ja standardhälbe leidmiseks

Näide 1

Valimipopulatsioon määratakse järgmise jaotustabeli abil:

Pilt 1.

Leiame selle jaoks valimi dispersiooni, valimi standardhälbe, korrigeeritud dispersiooni ja korrigeeritud standardhälbe.

Selle probleemi lahendamiseks koostame esmalt arvutustabeli:

Joonis 2.

Tabeli väärtus $\overline(x_в)$ (proovi keskmine) leitakse järgmise valemiga:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Leiame valimi dispersiooni valemi abil:

Näidis standardhälve:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\umbes 5,12\]

Parandatud dispersioon:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26.1875\umbes 27.57\]

Parandatud standardhälve.

Juhised

Olgu homogeenseid suurusi iseloomustavaid numbreid mitu. Näiteks mõõtmiste tulemused, kaalumine, statistilised tähelepanekud ja nii edasi. Kõik esitatud suurused tuleb mõõta sama mõõtmise abil. Standardhälbe leidmiseks tehke järgmist.

Määrake kõigi arvude aritmeetiline keskmine: liitke kõik arvud ja jagage summa arvude koguarvuga.

Määrake arvude dispersioon (hajuvus): liidage eelnevalt leitud hälvete ruudud ja jagage saadud summa arvude arvuga.

Palatis on seitse patsienti, kelle temperatuur on 34, 35, 36, 37, 38, 39 ja 40 kraadi Celsiuse järgi.

On vaja kindlaks määrata keskmine kõrvalekalle keskmisest.
Lahendus:
“palatis”: (34+35+36+37+38+39+40)/7=37 ºС;

Temperatuuri kõrvalekalded keskmisest (in sel juhul normaalväärtus): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, selgub: -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3 (ºС);

Jagage varem saadud arvude summa nende arvuga. Täpsete arvutuste tegemiseks on parem kasutada kalkulaatorit. Jagamise tulemuseks on liidetud arvude aritmeetiline keskmine.

Pöörake tähelepanu arvutamise kõikidele etappidele, kuna viga isegi ühes arvutuses toob kaasa vale lõppnäitaja. Kontrollige oma arvutusi igal etapil. Aritmeetilisel keskmisel on sama meeter kui summeeritud numbritel, see tähendab, et kui määrate keskmise külastatavuse, on kõik teie näitajad "inimene".

Seda arvutusmeetodit kasutatakse ainult matemaatilistes ja statistilistes arvutustes. Nii et näiteks keskmine aritmeetiline väärtus arvutiteaduses on erinev arvutusalgoritm. Aritmeetiline keskmine on väga suhteline näitaja. See näitab sündmuse tõenäosust, eeldusel, et sellel on ainult üks tegur või näitaja. Kõige põhjalikuma analüüsi jaoks tuleb arvestada paljude teguritega. Selleks kasutatakse üldisemate suuruste arvutamist.

Aritmeetiline keskmine on üks keskse tendentsi mõõte, mida kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja statistilistes arvutustes. Mitme väärtuse aritmeetilise keskmise leidmine on väga lihtne, kuid igal ülesandel on oma nüansid, mida on õigete arvutuste tegemiseks lihtsalt vaja teada.

Sarnaste katsete kvantitatiivsed tulemused.

Kuidas leida aritmeetiline keskmine

Otsige keskmist aritmeetiline arv arvude massiivi puhul peaksite alustama nende väärtuste algebralise summa määramisega. Näiteks kui massiiv sisaldab numbreid 23, 43, 10, 74 ja 34, siis on nende algebraline summa 184. Kirjutamisel tähistatakse aritmeetilist keskmist tähega μ (mu) või x (x koos a. baar). Järgmisena tuleks algebraline summa jagada massiivi arvude arvuga. Vaadeldavas näites oli viis arvu, nii et aritmeetiline keskmine on 184/5 ja on 36,8.

Negatiivsete arvudega töötamise omadused

Kui massiiv sisaldab negatiivsed arvud, siis leitakse aritmeetiline keskmine sarnase algoritmi abil. Erinevus esineb ainult programmeerimiskeskkonnas arvutamisel või kui probleemil on lisatingimused. Nendel juhtudel arvude aritmeetilise keskmise leidmine koos erinevad märgid taandub kolmele etapile:

1. Üldaritmeetilise keskmise leidmine standardmeetodil;
2. Negatiivsete arvude aritmeetilise keskmise leidmine.
3. Positiivsete arvude aritmeetilise keskmise arvutamine.

Iga toimingu vastused on kirjutatud komadega eraldatuna.

Naturaalsed ja kümnendmurrud

Kui esitatakse arvude massiiv kümnendkohad, lahendatakse täisarvude aritmeetilise keskmise arvutamise meetodil, kuid tulemust vähendatakse vastavalt ülesande nõuetele vastuse täpsusele.

Töötades koos looduslikud fraktsioonid need tuleks taandada ühise nimetajani, mis korrutatakse massiivi arvude arvuga. Vastuse lugejaks saab algsete murdosaelementide etteantud lugejate summa.