6.1. اطلاعات کلی

مرکز نیروهای موازی
دو نیروی موازی و یک طرفه را در نظر بگیرید که در نقاط به بدن اعمال می شود آ 1 و آ 2 (شکل 6.1). این سیستم نیروها دارای نتیجه ای است که خط عمل آن از نقطه خاصی می گذرد با... موقعیت نقطه بامی توان با استفاده از قضیه Varignon پیدا کرد:

اگر نیروها را در اطراف نقاط بچرخانید آ 1 و آ 2 در یک جهت و در یک زاویه، سپس یک سیستم جدید از سال های موازی با همان ماژول ها را دریافت می کنیم. علاوه بر این، نتیجه آنها نیز از نقطه عبور خواهد کرد با... این نقطه را مرکز نیروهای موازی می نامند.
سیستمی از نیروهای موازی و با جهت مساوی را در نظر بگیرید که به یک جسم صلب در نقاط اعمال می شود. این سیستم یک نتیجه دارد.
اگر هر نیروی سیستم حول نقاط اعمال خود در یک راستا و با یک زاویه بچرخد، سیستم های جدیدی از نیروهای موازی با جهت مساوی با مدول ها و نقاط اعمال مشابه به دست می آیند. نتیجه چنین سیستم هایی همان ماژول را خواهد داشت آراما هر بار جهت متفاوت کنار هم قرار دادن نیروها اف 1 و اف 2 متوجه می شویم که نتیجه آنهاست آر 1 که همیشه از نقطه عبور می کند با 1 که موقعیت آن با تساوی تعیین می شود. اضافه کردن بیشتر آر 1 و اف 3، نتیجه آنها را پیدا می کنیم که همیشه از نقطه عبور می کند با 2 روی خط مستقیم دراز کشیده آ 3 با 2. پس از به پایان رساندن روند جمع نیروها، به این نتیجه می رسیم که برآیند همه نیروها در واقع همیشه از یک نقطه عبور خواهد کرد. باکه جایگاه آن نسبت به امتیازات بدون تغییر خواهد بود.
نقطه با، که خط عمل سیستم حاصل از نیروهای موازی از آن عبور می کند در هر چرخش این نیروها در مورد نقاط اعمال آنها در یک جهت در یک زاویه، مرکز نیروهای موازی نامیده می شود (شکل 6.2).

شکل 6.2

مختصات مرکز نیروهای موازی را تعیین کنید. از موقعیت نقطه بابا توجه به بدن بدون تغییر است، پس مختصات آن به انتخاب سیستم مختصات بستگی ندارد. اجازه دهید تمام نیروها را در اطراف کاربرد آنها بچرخانیم تا با محور موازی شوند OUو قضیه واریگنون را برای نیروهای چرخشی اعمال کنید. زیرا R"حاصل این نیروها است، پس طبق قضیه واریگنون داریم از آنجا که ،، ما گرفتیم

از اینجا مختصات مرکز نیروهای موازی را می یابیم zc:

برای تعیین مختصات xcبیایید بیان لحظه نیروهای حول محور را بسازیم اوز.

برای تعیین مختصات ycتمام نیروها را طوری بچرخانید که با محور موازی شوند اوز.

موقعیت مرکز نیروهای موازی نسبت به مبدا (شکل 6.2) را می توان با بردار شعاع آن تعیین کرد:

6.2. مرکز ثقل جسم صلب

مرکز گرانشیک جسم صلب به نقطه ای گفته می شود که همیشه با این جسم مرتبط است با، که خط عمل حاصل از نیروهای گرانشی جسم داده شده برای هر موقعیت جسم در فضا از آن عبور می کند.
مرکز ثقل در مطالعه پایداری موقعیت‌های تعادل اجسام و محیط‌های پیوسته تحت اثر گرانش و در برخی موارد دیگر، یعنی در استحکام مواد و در مکانیک سازه - هنگام استفاده از قانون ورشچاگین استفاده می‌شود.
برای تعیین مرکز ثقل جسم دو راه وجود دارد: تحلیلی و تجربی. روش تحلیلی برای تعیین مرکز ثقل به طور مستقیم از مفهوم مرکز نیروهای موازی پیروی می کند.
مختصات مرکز ثقل، به عنوان مرکز نیروهای موازی، با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که آر- وزن کل بدن؛ pk- وزن ذرات بدن؛ xk، yk، zk- مختصات ذرات بدن
برای یک جسم همگن، وزن کل بدن و هر یک از اجزای آن متناسب با حجم است P = Vγ, pk = vk γ، جایی که γ - وزن واحد حجم، V- حجم بدن جایگزینی عبارات پ, pkبه فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل و لغو توسط یک عامل مشترک γ ، ما گرفتیم:

نقطه با، که مختصات آن با فرمول های به دست آمده مشخص می شود، نامیده می شود مرکز ثقل حجم.
اگر بدن یک صفحه نازک همگن باشد، مرکز ثقل با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که اس- مساحت کل صفحه؛ sk- مساحت قسمت آن؛ xk، yk- مختصات مرکز ثقل قطعات صفحه.
نقطه بادر این مورد نامیده می شود مرکز ثقل منطقه.
شمارنده‌های عباراتی که مختصات مرکز ثقل شکل‌های صفحه را تعیین می‌کنند، با نامیده می‌شوند لحظات تاتیک میدانبا توجه به محورها درو ایکس:

سپس مرکز ثقل ناحیه را می توان با فرمول های زیر تعیین کرد:

برای اجسامی که طول آنها چند برابر ابعاد مقطع است، مرکز ثقل خط تعیین می شود. مختصات مرکز ثقل خط با فرمول های زیر تعیین می شود:

جایی که L- طول خط؛ lk- طول قطعات آن؛ xk، yk، zk- مختصات مرکز ثقل قطعات خط.

6.3. روشهای تعیین مختصات مراکز ثقل اجسام

بر اساس فرمول های به دست آمده، می توان روش های عملی را برای تعیین مراکز ثقل اجسام پیشنهاد کرد.
1. تقارن... اگر جسم دارای مرکز تقارن باشد، مرکز ثقل در مرکز تقارن است.
اگر جسم دارای صفحه تقارن باشد. به عنوان مثال، صفحه XOU، سپس مرکز ثقل در این صفحه قرار دارد.
2. تقسیم شدن... برای اجسام متشکل از بدنه هایی با شکل ساده از روش شکاف استفاده می شود. بدن به قسمت هایی تقسیم می شود که مرکز ثقل آن با روش تقارن پیدا می شود. مرکز ثقل کل بدن با فرمول های مرکز ثقل حجم (مساحت) تعیین می شود.

مثال... مرکز ثقل صفحه نشان داده شده در شکل زیر را تعیین کنید (شکل 6.3). صفحه را می توان به طرق مختلف به مستطیل تقسیم کرد و مختصات مرکز ثقل هر مستطیل و مساحت آنها را مشخص کرد.

شکل 6.3

پاسخ: ایکسج= 17.0 سانتی متر؛ yج= 18.0 سانتی متر

3. اضافه... این روش یک مورد خاص از روش تقسیم است. در صورتی که مختصات مرکز ثقل بدن بدون بریدگی مشخص باشد بدنه دارای بریدگی، بریدگی و ... باشد استفاده می شود.

مثال... مرکز ثقل یک صفحه دایره ای با شعاع برش را تعیین کنید r = 0,6 آر(شکل 6.4).

شکل 6.4

صفحه گرد دارای مرکز تقارن است. مبدا را در مرکز بشقاب قرار دهید. مساحت صفحه بدون بریدگی، ناحیه برش. ناحیه صفحه شکاف دار؛ ...
صفحه شیاردار دارای یک محور تقارن است О1 xاز این رو، yc=0.

4. ادغام... اگر جسم را نتوان به تعداد محدودی از قطعات تقسیم کرد که موقعیت مراکز ثقل آنها مشخص است، بدن به حجم های کوچک دلخواه تقسیم می شود که فرمول با استفاده از روش تقسیم به شکل زیر است: .
سپس آنها را به حد عبور می دهند و حجم های ابتدایی را به صفر هدایت می کنند، یعنی. با کشیدن حجم ها به نقاط. مجموع ها با انتگرال های گسترش یافته به کل حجم بدن جایگزین می شوند، سپس فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل حجم به شکل زیر در می آیند:

فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل یک ناحیه:

مختصات مرکز ثقل ناحیه باید هنگام مطالعه تعادل صفحات، هنگام محاسبه انتگرال Mohr در مکانیک سازه تعیین شود.

مثال... مرکز ثقل یک کمان دایره ای با شعاع را تعیین کنید آربا گوشه وسط AOB= 2α (شکل 6.5).

برنج. 6.5

قوس دایره ای متقارن با محور است اوهبنابراین، مرکز ثقل قوس روی محور قرار دارد اوه, بله = 0.
طبق فرمول مرکز ثقل خط:

6.روش تجربی... مراکز ثقل اجسام ناهمگن با پیکربندی پیچیده را می توان به صورت تجربی تعیین کرد: با روش تعلیق و وزن. راه اول این است که بدن در نقاط مختلف بر روی طناب آویزان است. جهت طنابی که بدنه روی آن آویزان است، جهت نیروی گرانش را نشان می دهد. نقطه تلاقی این جهات مرکز ثقل بدن را مشخص می کند.
روش توزین عبارت است از تعیین وزن یک بدنه مانند اتومبیل. سپس تعادل فشار محور عقب خودرو را بر روی تکیه گاه تعیین می کند. با جمع آوری معادله تعادل نسبت به هر نقطه، به عنوان مثال، محور چرخ های جلو، می توانید فاصله این محور تا مرکز ثقل خودرو را محاسبه کنید (شکل 6.6).

شکل 6.6

گاهی اوقات هنگام حل مسائل، لازم است به طور همزمان از روش های مختلفی برای تعیین مختصات مرکز ثقل استفاده شود.

6.4. مراکز ثقل برخی از ساده ترین اشکال هندسی

برای تعیین مراکز ثقل اجسام به شکل مکرر (مثلث، قوس دایره ای، بخش، بخش)، استفاده از داده های مرجع راحت است (جدول 6.1).

جدول 6.1

مختصات مرکز ثقل برخی اجسام همگن

№	نام شکل	طراحی
	قوس دایره ای: مرکز ثقل یک کمان دایره یکنواخت روی محور تقارن است (مختصات uc=0). آرشعاع دایره است.
	بخش دایره ای همگن uc=0). جایی که α نیمی از زاویه مرکزی است. آرشعاع دایره است.
	بخش: مرکز ثقل روی محور تقارن (مختصات) قرار دارد uc=0). جایی که α نیمی از زاویه مرکزی است. آرشعاع دایره است.
	نیم دایره:
	مثلث: مرکز ثقل یک مثلث همگن در محل تلاقی وسط آن قرار دارد. جایی که x1، y1، x2، y2، x3، y3- مختصات رئوس مثلث
	مخروط: مرکز ثقل مخروط دایره ای همگن در ارتفاع آن قرار دارد و در فاصله 1/4 ارتفاع از قاعده مخروط قرار دارد.

توانایی حفظ تعادل بدون هیچ تلاشی برای مدیتیشن موثر، یوگا، چیگونگ و همچنین برای رقص شکم بسیار مهم است. این اولین نیازی است که تازه واردان به این فعالیت ها با آن مواجه هستند و یکی از دلایلی است که برداشتن اولین گام های خود را بدون مربی دشوار می کند. سوالی که نشان می دهد یک فرد مرکز ثقل خود را نمی داند ممکن است تا حدودی متفاوت به نظر برسد. به عنوان مثال، در چیگونگ، فردی می پرسد که چگونه آرام باشد و در عین حال در حالت ایستاده حرکات را انجام دهد، یک رقصنده شرقی مبتدی نمی داند که چگونه حرکات پایین و بالاتنه را جدا و هماهنگ کند و همچنین در هر دو مورد. افراد بیش از حد طولانی می شوند و اغلب ثبات خود را از دست می دهند. حرکات آنها نامطمئن و ناخوشایند خواهد بود.

بنابراین، مهم است که بدانیم چگونه می توان مرکز ثقل خود را پیدا کرد، این هم به کار ذهنی و هم مهارت نیاز دارد، اما با گذشت زمان این مهارت به سطح غریزی می رود.

کاری که باید انجام دهید تا عضلات خود را تحت فشار قرار ندهید و در عین حال از تکیه گاه های خارجی استفاده نکنید. پاسخ واضح است، شما باید پشتیبانی را به سمت داخل حرکت دهید. به طور دقیق تر، بر یک محور داخلی متعارف تکیه کنید. این محور کجاست؟ مفهوم مرکز ثقل مشروط است، اما با این وجود در فیزیک استفاده می شود. در آنجا مرسوم است که آن را به عنوان نقطه اعمال نیروهای گرانش حاصل تعریف کنیم. نیروی گرانش حاصل، مجموع تمام نیروهای گرانش است، با در نظر گرفتن جهت عمل آنها.

هنوز سخته؟ لطفا صبور باشید.

یعنی ما به دنبال نقطه ای در بدن خود هستیم که بدون اینکه آگاهانه با جاذبه زمینی مبارزه کنیم، زمین نخوریم. این بدان معناست که نیروی گرانش زمین باید طوری هدایت شود که با بقیه نیروهای عامل در جایی در مرکز بدن ما همگرا شود.

این جهت نیروها یک محور شرطی را در مرکز بدن ما ایجاد می کند، سطح عمودی عمودی مرکز ثقل است. آن قسمتی از بدن که به زمین تکیه می‌دهیم قسمت تکیه‌گاه ماست (با پاها به زمین تکیه می‌دهیم) در جایی که این عمود بر روی سطحی که روی آن ایستاده‌ایم قرار می‌گیرد، یعنی روی زمین قرار می‌گیریم، این نقطه مرکز ثقل در داخل ناحیه پشتیبانی است. اگر عمود از این مکان جابه جا شود، تعادل خود را از دست داده و سقوط می کنیم. هر چه سطح خود تکیه گاه بزرگتر باشد، نزدیک شدن به مرکز آن برای ما آسان تر است و بنابراین همه ما به طور غریزی در حالی که روی یک سطح ناپایدار ایستاده ایم گامی وسیع برمی داریم. یعنی ناحیه پشتیبانی نه تنها خود پاها بلکه فضای بین آنها نیز می باشد.

همچنین مهم است بدانید که عرض ناحیه تکیه گاه بیشتر از طول آن تأثیر می گذارد. در مورد یک فرد، این بدان معنی است که ما شانس بیشتری برای افتادن به پهلو داریم تا عقب، و حتی بیشتر به جلو. بنابراین، هنگام دویدن، حفظ تعادل برای ما سخت تر است، همین موضوع را می توان در مورد پاشنه پا نیز گفت. اما در کفش های پهن و پایدار، برعکس، مقاومت در برابر آن آسان تر است، حتی راحت تر از پابرهنه بودن. با این حال، فعالیت هایی که در ابتدا ذکر شد شامل کفش های بسیار نرم و سبک یا اصلاً بدون کفش است. بنابراین ما نمی توانیم با کفش به خود کمک کنیم.

بنابراین، پیدا کردن نقطه مرکزی خط عمودی روی پای خود بسیار مهم است. معمولاً همانطور که برخی به طور خودکار تصور می کنند در مرکز پا قرار نمی گیرد، بلکه به پاشنه نزدیکتر است، جایی در نیمه راه از مرکز پا تا پاشنه.
اما این همه ماجرا نیست.

علاوه بر خط عمودی مرکز ثقل، یک خط افقی و همچنین یک خط جداگانه برای اندام ها وجود دارد.
خط افقی برای زنان و مردان کمی متفاوت است.

در جلو، در زنان، پایین تر و در مردان، بالاتر است. در مردان حدود 4 تا 5 انگشت زیر ناف و در زنان تقریباً 10 انگشت می رود. در پشت، خط ماده تقریباً از روگرفت عبور می کند و خط نر حدود پنج انگشت بالاتر از آن است. همچنین توجه به شاقول مرکز ثقل زانو برای ثبات در هنگام مدیتیشن مهم است. کمی بالاتر از استخوان (پایین ساق پا)، اما دو یا سه انگشت زیر غضروف قرار دارد.

در هنگام مدیتیشن، مانند رقص شکم، باز کردن پاها خیلی خوب نیست، حداکثر عرض معمولاً با عرض شانه ها مطابقت دارد.

بنابراین، باید کمی به خود کمک کنید و زانوهای خود را در تلاش برای ایجاد محور عمودی تا حد ممکن صاف کنید. جلوی آینه بایستید، تمام نکاتی را که روی شما توضیح داده شده است، پیدا کنید. پاهای خود را به اندازه عرض شانه از هم باز کنید. عضلات پاها و بدن خود را شل کنید. سپس، بدون اینکه به بدنتان فشار بیاورید، پشت خود را صاف کنید، پاهای خود را با خم کردن کمی زانوها شل کنید. سه خط عمودی را تصور کنید که هر کدام در یک نقطه مربوطه در پشت تنه، جلوی تنه و اطراف زانو قرار دارند. سعی کنید نقاط را طوری قرار دهید که محور جلوی تنه تقریباً در نیمه راه بین محور عقب و محور زانو قرار گیرد. در این حالت زانوها نباید به گونه ای خم شوند که از روی انگشتان پا بروند، فقط باید کمی خم شوند و به خوبی ریلکس باشند. ترجیحاً بالای مرکز ثقل داخل ناحیه حمایتی که روی پا پیدا کردیم. در این حالت، دست ها می توانند آزادانه در امتداد خدایان قرار گیرند یا کف دست خود را روی باسن خود قرار دهید.

چگونه متوجه می شوید که مرکز ثقل خود را پیدا کرده اید؟

احساس تکان خفیفی خواهید داشت، اما در عین حال قطعاً خواهید دانست که سقوط نخواهید کرد.

یادگیری این مبحث نسبتاً آسان است، اما هنگام مطالعه دوره مقاومت مواد بسیار مهم است. توجه اصلی در اینجا باید به حل مسائل با اشکال مسطح و هندسی و با پروفیل های نورد استاندارد معطوف شود.

سوالاتی برای خودکنترلی

1. مرکز نیروهای موازی چیست؟

مرکز نیروهای موازی نقطه ای است که خط سیستم حاصل از نیروهای موازی اعمال شده در نقاط معین از هر تغییری در جهت این نیروها در فضا عبور می کند.

2. چگونه مختصات مرکز نیروهای موازی را پیدا کنیم؟

برای تعیین مختصات مرکز نیروهای موازی از قضیه Varignon استفاده می کنیم.

در مورد محور ایکس

M x (R) = ΣM x (F k), - y C R = Σy kFk و y C = Σy kFk / Σ Fk .

در مورد محور y

M y (R) = ΣM y (F k), - x C R = Σx kFk و x C = Σx kFk / Σ Fk .

برای تعیین مختصات z C تمام نیروها را 90 درجه بچرخانید تا با محور موازی شوند y (شکل 1.5، ب). سپس

M z (R) = ΣM z (F k), - z C R = Σz kFk و z C = Σz kFk / Σ Fk .

بنابراین فرمول تعیین بردار شعاع مرکز نیروهای موازی شکل می گیرد

r C = Σr kFk / Σ Fk.

3. مرکز ثقل بدن چیست؟

مرکز گرانش - نقطه ای که همیشه با جسم صلب مرتبط است که حاصل نیروهای گرانشی وارد بر ذرات این جسم در هر موقعیتی از جسم در فضا از آن عبور می کند. برای یک جسم همگن با مرکز تقارن (دایره، توپ، مکعب و غیره)، مرکز ثقل در مرکز تقارن جسم است. موقعیت مرکز ثقل یک جسم صلب با موقعیت مرکز جرم آن منطبق است.

4. چگونه مرکز ثقل مستطیل، مثلث، دایره را پیدا کنیم؟

برای پیدا کردن مرکز ثقل مثلث، باید یک مثلث بکشید - شکلی متشکل از سه بخش خطی که در سه نقطه به یکدیگر متصل هستند. قبل از پیدا کردن مرکز ثقل شکل، باید از یک خط کش برای اندازه گیری طول یک ضلع مثلث استفاده کنید. وسط ضلع علامت بگذارید سپس راس مقابل و وسط پاره را با خطی به نام میانه وصل کنید. همین الگوریتم را با ضلع دوم مثلث و سپس با ضلع سوم تکرار کنید. نتیجه کار شما سه وسط خواهد بود که در یک نقطه تلاقی می کنند که مرکز ثقل مثلث خواهد بود. اگر لازم است مرکز ثقل یک دیسک دایره ای از یک ساختار همگن تعیین شود، ابتدا نقطه تقاطع قطرهای دایره را پیدا کنید. او مرکز ثقل این بدن خواهد بود. با در نظر گرفتن شکل هایی مانند یک توپ، یک حلقه و یک متوازی الاضلاع مستطیلی یکنواخت، می توان با اطمینان گفت که مرکز ثقل حلقه در مرکز شکل خواهد بود، اما خارج از نقاط آن، مرکز ثقل توپ قرار دارد. مرکز هندسی کره، و در مورد دوم، مرکز ثقل، قطرهای تقاطع یک متوازی الاضلاع مستطیلی است.

5. چگونه مختصات مرکز ثقل مقطع مرکب مسطح را پیدا کنیم؟

روش تقسیم:اگر بتوان یک شکل مسطح را به تعداد محدودی از این قطعات تقسیم کرد، که برای هر یک از آنها موقعیت مرکز ثقل مشخص است، مختصات مرکز ثقل کل شکل با فرمول های زیر تعیین می شود:

X C = (s k x k) / S; Y C = (s k y k) / S،

که در آن x k، y k - مختصات مراکز ثقل قسمت هایی از شکل.

s k - مناطق آنها؛

S = s k - مساحت کل شکل.

6. مرکز ثقل

1. در چه صورت برای تعیین مرکز ثقل تعیین یک مختصات با محاسبه کافی است؟

در حالت اول برای تعیین مرکز ثقل کافی است یک مختصات مشخص شود.جسم به تعداد متناهی قسمت تقسیم می شود که برای هر کدام موقعیت مرکز ثقل قرار می گیرد. سی و منطقه اس شناخته شده اند. به عنوان مثال، طرح ریزی بدن بر روی هواپیما xOy (شکل 1.) را می توان به صورت دو شکل مسطح با مساحت نشان داد S 1 و S 2 (S = S 1 + S 2 ). مراکز ثقل این ارقام در نقاطی هستند C 1 (x 1، y 1) و C 2 (x 2، y 2) ... سپس مختصات مرکز ثقل بدن است

از آنجایی که مرکز شکل ها روی محور رده بندی قرار دارند (x = 0)، ما فقط مختصات را پیدا می کنیم. سبیل.

2 مساحت سوراخ در شکل 4 چگونه در فرمول برای تعیین مرکز ثقل شکل در نظر گرفته شده است؟

روش جرم منفی

این روش شامل این واقعیت است که جسمی با حفره های آزاد جامد و جرم حفره های آزاد منفی در نظر گرفته می شود. شکل فرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل بدن در این مورد تغییر نمی کند.

بنابراین هنگام تعیین مرکز ثقل جسمی با حفره های آزاد باید از روش تقسیم بندی استفاده کرد اما جرم حفره ها را منفی در نظر گرفت.

یک ایده داشتندر مورد مرکز نیروهای موازی و خواص آن؛

دانستنفرمول های تعیین مختصات مرکز ثقل شکل های هواپیما.

قادر بودن بهمختصات مرکز ثقل شکل های مسطح اشکال هندسی ساده و پروفیل های نورد استاندارد را تعیین کنید.

عناصر سینماتیک و دینامیک
با مطالعه سینماتیک یک نقطه، به این نکته توجه کنید که حرکت مستطیلی یک نقطه، اعم از ناهموار و یکنواخت، همیشه با وجود شتاب معمولی (مرکزی) مشخص می شود. با حرکت انتقالی جسم (که با حرکت هر یک از نقاط آن مشخص می شود)، تمام فرمول های سینماتیک یک نقطه قابل اجرا هستند. فرمول های تعیین مقادیر زاویه ای جسمی که حول یک محور ثابت می چرخد ​​دارای تشابه معنایی کامل با فرمول های تعیین مقادیر خطی متناظر یک جسم متحرک است.

مبحث 1.7. سینماتیک نقطه ای
هنگام مطالعه موضوع، به مفاهیم اساسی سینماتیک توجه کنید: شتاب، سرعت، مسیر، فاصله.

سوالاتی برای خودکنترلی

1. نسبیت مفاهیم سکون و حرکت چیست؟

حرکت مکانیکی عبارت است از تغییر در حرکت یک جسم یا (قطعات آن) در فضا نسبت به اجسام دیگر در طول زمان. پرواز یک سنگ پرتاب شده، چرخش چرخ نمونه هایی از حرکت مکانیکی هستند.

2. تعریفی از مفاهیم اساسی سینماتیک ارائه دهید: مسیر، مسافت، مسیر، سرعت، شتاب، زمان.

سرعت یک معیار سینماتیکی حرکت یک نقطه است که سرعت تغییر موقعیت آن در فضا را مشخص می کند. سرعت یک کمیت برداری است، یعنی نه تنها با مدول (مولفه اسکالر)، بلکه با جهت در فضا مشخص می شود.

همانطور که از فیزیک مشخص است، با حرکت یکنواخت، سرعت را می توان با طول مسیر طی شده در واحد زمان تعیین کرد: v = s / t = const (فرض می شود که مبدا مسیر و زمان بر هم منطبق هستند). در حرکت مستقیم، سرعت هم در مقدار مطلق و هم در جهت ثابت است و بردار آن با مسیر حرکت منطبق است.

واحد سرعت سیستم SIبا نسبت طول به زمان، یعنی m / s تعیین می شود.

شتاب یک اندازه گیری سینماتیکی برای تغییر سرعت یک نقطه در زمان است. به عبارت دیگر شتاب میزان تغییر سرعت است.
مانند سرعت، شتاب یک کمیت برداری است، یعنی نه تنها با مدول، بلکه با جهت در فضا مشخص می شود.

در حرکت مستقیم، بردار سرعت همیشه با مسیر منطبق است و بنابراین بردار تغییر سرعت نیز با مسیر منطبق است.

از درس فیزیک مشخص است که شتاب تغییر سرعت در واحد زمان است. اگر برای مدت زمان کوتاهی Δt سرعت نقطه با Δv تغییر کرد، آنگاه شتاب متوسط ​​در این بازه زمانی بود: a cf = Δv / Δt.

شتاب متوسط ​​نشانی از بزرگی واقعی تغییر سرعت در هر زمان معینی را ارائه نمی دهد. در این صورت بدیهی است که هر چه مدت زمان در نظر گرفته شده کوتاهتر باشد که در طی آن تغییر سرعت رخ داده است، مقدار شتاب به مقدار واقعی (آنی) نزدیکتر خواهد بود.
از این رو تعریف: شتاب واقعی (لحظه ای) حدی است که شتاب متوسط ​​زمانی که Δt به صفر میل می کند به آن میل می کند:

a = lim a cp به عنوان t → 0 یا lim Δv / Δt = dv / dt.

با توجه به اینکه v = ds / dt به دست می آید: a = dv / dt = d 2 s / dt 2.

شتاب واقعی در حرکت مستقیم با توجه به زمان برابر با مشتق اول سرعت یا مشتق دوم مختصات (فاصله از مبدأ جابجایی) است. واحد شتاب یک متر تقسیم بر یک دوم مربع (m / s 2) است.

مسیر حرکت- خطی در فضا که در امتداد آن نقطه مادی حرکت می کند.
مسیرطول مسیر است. مسیر پیموده شده l برابر است با طول قوس مسیری که بدن در مدت زمانی t پیموده است. مسیر یک اسکالر است.

فاصلهموقعیت یک نقطه را در مسیر حرکت خود تعیین می کند و از یک مبدأ مشخص اندازه گیری می شود. فاصله یک کمیت جبری است، زیرا بسته به موقعیت نقطه نسبت به مبدا و جهت پذیرفته شده محور فاصله، می تواند مثبت و منفی باشد. برخلاف مسافت، مسیر طی شده توسط یک نقطه همیشه یک عدد مثبت است. مسیر تنها در صورتی با مقدار مطلق فاصله منطبق است که حرکت نقطه از مبدا شروع شود و مسیر را در یک جهت دنبال کند.

در حالت کلی حرکت یک نقطه، مسیر برابر است با مجموع مقادیر مطلق مسافت های پیموده شده توسط نقطه برای یک دوره زمانی معین:

3- قانون حرکت یک نقطه را از چه راه هایی می توان مشخص کرد؟

1. روش طبیعی برای تعریف حرکت یک نقطه.

با روش طبیعی تعیین حرکت، فرض بر این است که پارامترهای حرکت یک نقطه در یک چارچوب مرجع متحرک که مبدأ آن با نقطه متحرک منطبق است، و مماس، نرمال و دونرمال بر مسیر حرکت تعیین شود. نقطه در هر یک از موقعیت های آن به عنوان محور عمل می کند. برای تنظیم قانون حرکت یک نقطه به صورت طبیعی، باید:

1) مسیر حرکت را بدانید.

2) مبدا را روی این منحنی تنظیم کنید.

3) جهت حرکت مثبت را ایجاد کنید.

4) قانون حرکت یک نقطه در امتداد این منحنی را ارائه دهید، یعنی. فاصله مبدا تا موقعیت یک نقطه روی منحنی را در یک زمان معین بیان می کند ∪OM = S (t) .

2. روش برداری برای تعیین حرکت نقطه

در این حالت، موقعیت یک نقطه در یک صفحه یا در فضا توسط یک تابع برداری تعیین می شود. این بردار از یک نقطه ثابت انتخاب شده به عنوان مبدا رسم می شود، انتهای آن موقعیت نقطه متحرک را مشخص می کند.

3. روش هماهنگی برای تعیین حرکت نقطه

در سیستم مختصات انتخاب شده، مختصات نقطه متحرک به عنوان تابعی از زمان تنظیم می شود. در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی، این معادلات خواهد بود:

4. بردار سرعت واقعی نقطه در حین حرکت منحنی چگونه جهت می گیرد؟

با حرکت ناهموار یک نقطه، مدول سرعت آن در طول زمان تغییر می کند.
نقطه ای را تصور کنید که حرکت آن به صورت طبیعی با معادله s = f (t) به دست می آید.

اگر در بازه زمانی کوتاه Δt نقطه ای از مسیر Δs عبور کرده باشد، سرعت متوسط ​​آن برابر است با:

vav = Δs / Δt.

سرعت متوسط ​​ایده ای از سرعت واقعی در هر لحظه از زمان به دست نمی دهد (سرعت واقعی در غیر این صورت آنی نامیده می شود). بدیهی است که هر چه بازه زمانی که سرعت متوسط ​​تعیین می شود کمتر باشد، مقدار آن به سرعت لحظه ای نزدیکتر خواهد بود.

سرعت واقعی (آنی) حدی است که سرعت متوسط ​​به آن میل می کند زیرا Δt به سمت صفر میل می کند:

v = lim v cf به عنوان t → 0 یا v = lim (Δs / Δt) = ds / dt.

بنابراین، مقدار عددی سرعت واقعی v = ds / dt است.
سرعت واقعی (آنی) برای هر حرکت یک نقطه برابر با اولین مشتق مختصات (یعنی فاصله از مبدأ حرکت) نسبت به زمان است.

وقتی Δt به صفر میل می کند، Δs نیز به صفر میل می کند، و همانطور که قبلاً فهمیدیم، بردار سرعت مماس خواهد بود (یعنی منطبق بر بردار سرعت واقعی v). از این نتیجه می شود که حد بردار سرعت شرطی v p که برابر است با حد نسبت بردار جابجایی نقطه به یک بازه زمانی بی نهایت کوچک، برابر است با بردار سرعت واقعی نقطه.

5- شتاب های مماسی و عادی یک نقطه چگونه جهت می گیرند؟

جهت بردار شتاب با جهت تغییر سرعت Δ = - 0 منطبق است

شتاب مماسی در یک نقطه معین به صورت مماس بر مسیر حرکت نقطه هدایت می شود. اگر حرکت شتاب گرفته شود، جهت بردار شتاب مماسی با جهت بردار سرعت منطبق است. اگر حرکت کند باشد، جهت بردار شتاب مماسی مخالف جهت بردار سرعت است.

6. اگر شتاب مماسی صفر باشد و شتاب عادی در طول زمان تغییر نکند، نقطه چه حرکتی انجام می دهد؟

حرکت منحنی یکنواختبا این واقعیت مشخص می شود که مقدار عددی سرعت ثابت است ( v= ثابت، سرعت فقط در جهت تغییر می کند. در این مورد، شتاب مماسی صفر است، زیرا v= ثابت(شکل ب)،

و شتاب نرمال صفر نیست، زیرا r مقدار نهایی است.

7. نمودارهای سینماتیک با حرکت یکنواخت و به همان اندازه متغیر چگونه به نظر می رسند؟

با حرکت یکنواخت، بدن مسیرهای مساوی را برای هر بازه زمانی مساوی طی می کند. برای توصیف سینماتیکی حرکت یکنواخت یکنواخت، محور مختصات گاو نربه راحتی در امتداد خط حرکت قرار گرفته است. موقعیت بدن در حین حرکت یکنواخت با مشخص کردن یک مختصات مشخص می شود ایکس... بردار جابجایی و بردار سرعت همیشه موازی با محور مختصات هدایت می شوند گاو نر... بنابراین، جابجایی و سرعت در حرکت خط مستقیم را می توان بر روی محور پیش بینی کرد گاو نرو پیش بینی های آنها را کمیت های جبری در نظر بگیرید.

با حرکت یکنواخت، مسیر بر اساس یک رابطه خطی تغییر می کند. در مختصات. نمودار یک خط مایل است.

در نتیجه مطالعه موضوع، دانشجو باید:

یک ایده داشتندر مورد مکان، زمان، مسیر حرکت؛ سرعت متوسط ​​و واقعی؛

دانستنراه های مشخص کردن حرکت یک نقطه؛ پارامترهای حرکت نقطه در طول یک مسیر معین.

بر اساس فرمول های کلی به دست آمده در بالا، می توان روش های خاصی را برای تعیین مختصات مراکز ثقل اجسام نشان داد.

1. تقارن.اگر جسم همگن دارای صفحه، محور یا مرکز تقارن باشد (شکل 7)، مرکز ثقل آن به ترتیب در صفحه تقارن، محور تقارن یا در مرکز تقارن قرار دارد.

شکل 7

2. تقسیم شدنبدن به تعداد متناهی قسمت تقسیم می شود (شکل 8) که موقعیت مرکز ثقل و مساحت هر کدام مشخص است.

شکل 8

3.روش ناحیه منفییک مورد خاص از روش پارتیشن بندی (شکل 9). اگر مرکز ثقل بدنه بدون بریدگی و قسمت بریدگی مشخص باشد، برای اجسام دارای بریدگی اعمال می شود. بدنه به شکل صفحه با بریدگی ترکیبی از یک صفحه توپر (بدون بریدگی) با مساحت S 1 و مساحت قسمت برش خورده S 2 است.

شکل 9

4.روش گروه بندیمکمل خوبی برای دو روش آخر است. پس از تقسیم شکل به عناصر تشکیل دهنده آن، می توان دوباره برخی از آنها را ترکیب کرد تا سپس با در نظر گرفتن تقارن این گروه، راه حل ساده شود.

مراکز ثقل برخی اجسام همگن.

1) مرکز ثقل قوس یک دایره.یک قوس را در نظر بگیرید ABشعاع آربا گوشه مرکزی به دلیل تقارن، مرکز ثقل این کمان روی محور قرار دارد گاو نر(شکل 10).

شکل 10

بیایید با استفاده از فرمول مختصات را پیدا کنیم. برای انجام این کار، روی قوس را انتخاب کنید ABعنصر MM'طول، که موقعیت آن توسط زاویه تعیین می شود. هماهنگ کردن ایکسعنصر MM'اراده . جایگزینی این مقادیر ایکسو د لو با در نظر گرفتن اینکه انتگرال باید به تمام طول کمان کشیده شود، به دست می آوریم:

جایی که L- طول کمان ABمساوی با.

از این رو، در نهایت متوجه می شویم که مرکز ثقل قوس یک دایره روی محور تقارن آن در فاصله ای از مرکز قرار دارد. Oمساوی با

که در آن زاویه بر حسب رادیان اندازه گیری می شود.

2) مرکز ثقل ناحیه مثلث.مثلثی را در هواپیما در نظر بگیرید اکسیکه مختصات رئوس آن مشخص است: یک آی(x i,y من), (من= 1،2،3). شکستن مثلث به نوارهای باریک موازی با ضلع آ 1 آ 2، به این نتیجه می رسیم که مرکز ثقل مثلث باید متعلق به میانه باشد آ 3 م 3 (شکل 11).

شکل 11

شکستن مثلث به نوارهای موازی با ضلع آ 2 آ 3، می توانید مطمئن شوید که باید روی میانه قرار گیرد آ 1 میکی . به این ترتیب، مرکز ثقل مثلث در محل تقاطع وسط آن قرار دارد، که همانطور که می دانید از هر میانه یک سوم جدا می کند و از طرف مربوطه می شمرد.

به ویژه، برای میانه آ 1 م 1 را با در نظر گرفتن مختصات نقطه بدست می آوریم م 1 میانگین حسابی مختصات رئوس است آ 2 و آ 3:

x c = ایکس 1 + (2/3)∙(x M 1 - ایکس 1) = ایکس 1 + (2/3)∙[(ایکس 2 + ایکس 3)/2-ایکس 1 ] = (ایکس 1 +ایکس 2 +ایکس 3)/3.

بنابراین، مختصات مرکز ثقل مثلث، میانگین حسابی مختصات رئوس آن است:

ایکس ج = (1/3) Σ x i ; y ج = (1/3) Σ y من.

3) مرکز ثقل ناحیه بخش دایره ای.بخشی از یک دایره با شعاع را در نظر بگیرید آربا زاویه مرکزی 2α که به طور متقارن حول محور قرار دارد گاو نر(شکل 12).

بدیهی است که y ج = 0، و فاصله از مرکز دایره ای که این بخش از آن بریده می شود تا مرکز ثقل آن را می توان با فرمول تعیین کرد:

شکل 12

ساده ترین راه برای محاسبه این انتگرال، تقسیم ناحیه ادغام به بخش های ابتدایی با زاویه است. دφ. تا مرتبه اول بی نهایت کوچک، چنین بخش را می توان با یک مثلث با پایه برابر با آر× دφ و ارتفاع آر... مساحت چنین مثلثی dF=(1/2)آر 2 ∙دφ و مرکز ثقل آن در فاصله 2/3 قرار دارد آراز راس؛ بنابراین در (5) قرار می دهیم ایکس = (2/3)آر∙ cosφ. تعویض در (5) اف= α آر 2، دریافت می کنیم:

با استفاده از آخرین فرمول، به طور خاص، فاصله تا مرکز ثقل را محاسبه می کنیم نیم دایره.

با جایگزینی α = π / 2 به (2)، دریافت می کنیم: ایکس ج = (4آر) / (3π) ≅ 0.4 آر .

مثال 1.اجازه دهید مرکز ثقل جسم همگن نشان داده شده در شکل 1 را تعیین کنیم. سیزده.

شکل 13

بدن همگن است که از دو قسمت با شکل متقارن تشکیل شده است. مختصات مراکز ثقل آنها:

حجم آنها:

بنابراین مختصات مرکز ثقل بدن

مثال 2.مرکز ثقل صفحه خم شده در زاویه قائمه را پیدا کنید. ابعاد - در نقاشی (شکل 14).

شکل 14

مختصات مرکز ثقل:

مربع ها:

برنج. 6.5.

مثال 3.یک سوراخ مربع از یک ورق مربع سانتی متر بریده شده است (شکل 15). مرکز ثقل برگ را پیدا کنید.

شکل 15

در این کار، راحت تر است که بدن را به دو قسمت تقسیم کنید: یک مربع بزرگ و یک سوراخ مربع. فقط مساحت سوراخ باید منفی در نظر گرفته شود. سپس مختصات مرکز ثقل ورق با سوراخ:

هماهنگ کردن از آنجایی که جسم دارای یک محور تقارن (مورب) است.

مثال 4.منگنه سیم (شکل 16) از سه بخش با طول مساوی تشکیل شده است ل.

شکل 16

مختصات مراکز ثقل مقاطع:

بنابراین، مختصات مرکز ثقل کل براکت:

مثال 5.موقعیت مرکز ثقل خرپا را که تمام میله های آن چگالی خطی یکسانی دارند، تعیین کنید (شکل 17).

به یاد بیاورید که در فیزیک، چگالی یک جسم ρ و وزن مخصوص آن g با رابطه: γ = ρ مرتبط هستند. g، جایی که g- شتاب گرانش برای یافتن جرم چنین جسم همگنی، باید چگالی را در حجم آن ضرب کنید.

شکل 17

منظور از چگالی خطی یا خطی این است که برای تعیین جرم یک میله خرپایی، چگالی خطی باید در طول این میله ضرب شود.

برای حل مشکل می توانید از روش تقسیم استفاده کنید. با نمایش یک خرپا به صورت مجموع 6 میله مجزا، به دست می آوریم:

جایی که L iطول من-ام میله خرپا، و x i, y من- مختصات مرکز ثقل آن.

این مشکل را می توان با گروه بندی آخرین 5 عضو خرپایی ساده کرد. به راحتی می توان دید که شکلی با مرکز تقارن در وسط میله چهارم، جایی که مرکز ثقل این گروه از میله ها قرار دارد، تشکیل می دهند.

بنابراین، یک خرپا معین را می توان تنها با ترکیبی از دو گروه میله نشان داد.

گروه اول شامل اولین میله، برای آن است L 1 = 4 متر، ایکس 1 = 0 متر، y 1 = 2 متر گروه دوم میله ها شامل پنج میله، برای آن است L 2 = 20 متر، ایکس 2 = 3 متر، y 2 = 2 متر

مختصات مرکز ثقل مزرعه با فرمول بدست می آید:

ایکس ج = (L 1 ∙ایکس 1 +L 2 ∙ایکس 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 0 + 20 ∙ 3) / 24 = 5/2 متر؛

y ج = (L 1 ∙y 1 +L 2 ∙y 2)/(L 1 + L 2) = (4 ∙ 2 + 20 ∙ 2) / 24 = 2 متر.

توجه داشته باشید که مرکز باروی خط مستقیم اتصال قرار دارد با 1 و با 2 و بخش را تقسیم می کند با 1 با 2 در رابطه با: با 1 با/اس اس 2 = (ایکس ج - ایکس 1)/(ایکس 2 - ایکس ج ) = L 2 /L 1 = 2,5/0,5.

سوالات خودآزمایی

به چه چیزی مرکز نیروهای موازی می گویند؟

مختصات مرکز نیروهای موازی چگونه تعیین می شود؟

چگونه می توان مرکز نیروهای موازی را که حاصل آن صفر است تعیین کرد؟

مرکز نیروهای موازی چه خاصیتی دارد؟

برای محاسبه مختصات مرکز نیروهای موازی از چه فرمول هایی استفاده می شود؟

به چه چیزی مرکز ثقل بدن گفته می شود؟

چرا نیروهای گرانش روی زمین که بر روی نقطه ای از بدن اثر می کنند را می توان سیستمی از نیروهای موازی در نظر گرفت؟

فرمول تعیین موقعیت مرکز ثقل اجسام ناهمگن و همگن، فرمول تعیین موقعیت مرکز ثقل مقاطع مسطح را بنویسید؟

فرمولی برای تعیین موقعیت مرکز ثقل اشکال هندسی ساده: مستطیل، مثلث، ذوزنقه و نیم دایره بنویسید؟

ممان ایستا مربع را چه می گویند؟

جسمی که مرکز ثقل آن خارج از بدن است را مثال بزنید.

چگونه از خواص تقارن برای تعیین مراکز ثقل اجسام استفاده می شود؟

ماهیت روش وزن های منفی چیست؟

مرکز ثقل قوس دایره ای کجاست؟

چگونه می توان به صورت گرافیکی مرکز ثقل مثلث را پیدا کرد؟

فرمول مرکز ثقل بخش دایره ای را بنویسید.

با استفاده از فرمول های مراکز ثقل مثلث و بخش دایره ای، فرمول مشابهی را برای یک قطعه دایره ای بدست آورید.

برای محاسبه مختصات مراکز ثقل اجسام همگن، شکل های صفحه و خطوط از چه فرمول هایی استفاده می شود؟

ممان ایستا مساحت یک شکل صاف نسبت به محور چه نامیده می شود، چگونه محاسبه می شود و چه ابعادی دارد؟

اگر موقعیت مرکز ثقل یک ناحیه مشخص باشد، چگونه می توان موقعیت مرکز ثقل یک ناحیه را مشخص کرد؟

برای تعیین موقعیت مرکز ثقل از چه قضایای کمکی استفاده می شود؟

کتاب درسی پایه هفتم

§ 25.3. چگونه مرکز ثقل بدن را پیدا کنیم؟

به یاد بیاورید که مرکز ثقل، نقطه اعمال نیروی گرانش است. بیایید در نظر بگیریم که چگونه می توان موقعیت مرکز ثقل یک جسم صاف را به صورت تجربی پیدا کرد - مثلاً یک شکل دلخواه بریده شده از مقوا (به کار آزمایشگاهی شماره 12 مراجعه کنید).

شکل مقوایی را با یک سنجاق یا میخ آویزان می کنیم تا بتواند آزادانه حول محور افقی که از نقطه O عبور می کند بچرخد (شکل 25.4، a). سپس این شکل را می توان به عنوان اهرمی با نقطه تکیه O در نظر گرفت.

برنج. 25.4. چگونه به طور تجربی مرکز ثقل یک شکل صاف را پیدا کنیم؟

هنگامی که یک شکل در تعادل است، نیروهای وارد بر آن یکدیگر را متعادل می کنند. این نیروی گرانش F t است که در مرکز ثقل شکل T اعمال می شود، و کنترل نیروی الاستیک F در نقطه O اعمال می شود (این نیرو از کنار یک پین یا میخ اعمال می شود).

این دو نیرو فقط در شرایطی یکدیگر را متعادل می کنند که نقاط اعمال این نیروها (نقاط T و O) روی یک عمود قرار گیرند (به شکل 25.4، a مراجعه کنید). در غیر این صورت، نیروی گرانش شکل را به دور نقطه O می چرخاند (شکل 25.4، ب).

بنابراین، هنگامی که شکل در تعادل است، مرکز ثقل روی همان خط عمودی با نقطه تعلیق O قرار می گیرد. این به ما امکان می دهد موقعیت مرکز ثقل شکل را تعیین کنیم. اجازه دهید با کمک یک شاقول که از نقطه تعلیق می گذرد یک خط عمودی بکشیم (خط آبی در شکل 25.4، ج). مرکز ثقل بدن روی خط کشیده شده قرار دارد. اجازه دهید این آزمایش را با موقعیت متفاوت نقطه تعلیق تکرار کنیم. در نتیجه، خط دومی را می گیریم که مرکز ثقل بدن روی آن قرار دارد (خط سبز در شکل 25.4، d). در نتیجه، در محل تلاقی این خطوط، مرکز ثقل مورد نظر بدن قرار دارد (نقطه قرمز D در شکل 25.4، d).