Looge oma penrose kolmnurga optilisi illusioone. Penrose'i kolmnurk. Võimatu kolmnurga loomine. Võimatu kolmnurk Perthis

Võimatu kolmnurk on üks hämmastavaid matemaatilisi paradokse. Kui te seda esimest korda vaatate, ei saa te hetkekski kahelda selle tõelises olemasolus. See on aga vaid illusioon, pettus. Ja sellise illusiooni võimalikkuse selgitab meile matemaatika!

Penroside avamine

1958. aastal avaldas British Journal of Psychology L. Penrose'i ja R. Penrose'i artikli, milles nad tutvustasid uut tüüpi optiline illusioon, mida nad nimetasid " võimatu kolmnurk».

Visuaalselt võimatut kolmnurka tajutakse kolmemõõtmelises ruumis tegelikult eksisteeriva ristkülikukujulistest ribadest koosneva struktuurina. Kuid see on vaid optiline illusioon. Võimatu kolmnurga tegelikku mudelit on võimatu ehitada.

Penrosese artikkel sisaldas mitmeid võimalusi võimatu kolmnurga kujutamiseks. - tema "klassikaline" esitlus.

Milliseid elemente kasutatakse võimatu kolmnurga konstrueerimiseks?

Täpsemalt, millistest elementidest see meile tundub olevat ehitatud? Disain põhineb ristkülikukujulisel nurgal, mis saadakse kahe identse ristkülikukujulise varda ühendamisel täisnurga all. Vaja on kolme sellist nurka ja seega kuut varda tükki. Need nurgad peavad olema üksteisega visuaalselt teatud viisil "ühendatud", nii et need moodustavad suletud ahela. See, mis juhtub, on võimatu kolmnurk.

Asetage esimene nurk horisontaaltasapinnale. Kinnitame selle külge teise nurga, suunates ühe selle servadest ülespoole. Lõpuks kinnitame selle teise nurga külge kolmanda nurga nii, et selle serv oleks paralleelne algse horisontaaltasandiga. Sel juhul on esimese ja kolmanda nurga kaks serva paralleelsed ja suunatud eri suundades.

Kui loeme riba ühikupikkuseks segmendiks, siis on esimese nurga vardade otstel koordinaadid ja teise nurga - , ja kolmanda - , ja. Saime "keerdunud" struktuuri, mis tegelikult eksisteerib kolmemõõtmelises ruumis.

Nüüd proovime seda vaimselt vaadelda ruumi erinevatest punktidest. Kujutage ette, kuidas see ühest punktist, teisest, kolmandast punktist välja näeb. Vaatepunkti muutudes näivad meie nurkade kaks "otsa" serva üksteise suhtes liikuvat. Pole raske leida positsiooni, kus nad ühendavad.

Aga kui ribide vaheline kaugus on palju väiksem kui kaugus nurkadest punktini, kust me oma struktuuri vaatleme, on mõlemad ribid meie jaoks sama paksusega ja tekib mõte, et need kaks ribi on tegelikult jätk. üksteisest. Seda olukorda on kujutatud 4.

Muide, kui vaatame samaaegselt konstruktsiooni peegeldust peeglis, siis suletud ahelat me seal ei näe.

Ja valitud vaatluspunktist näeme oma silmaga juhtunud imet: seal on kolmest nurgast koosnev suletud kett. Lihtsalt ärge muutke oma vaatluspunkti, et see illusioon kokku ei kukuks. Nüüd saate joonistada objekti, mida näete, või asetada leitud punkti kaamera objektiivi ja saada foto võimatust objektist.

Penrosed olid esimesed, kes selle nähtuse vastu huvi tundsid. Nad kasutasid ära võimalusi, mis tekivad kolmemõõtmelise ruumi ja kolmemõõtmeliste objektide kaardistamisel kahemõõtmelisele tasapinnale ning juhtisid tähelepanu mõningasele disaini ebakindlusele – kolmest nurgast koosnevat avatud struktuuri võib tajuda suletud ahelana.

Penrose'i kolmnurga võimatuse tõestus

Analüüsides tasapinnal asuvate kolmemõõtmeliste objektide kahemõõtmelise kujutise omadusi, mõistsime, kuidas selle kuva omadused viivad võimatuse kolmnurgani. Võib-olla tunneb keegi huvi puhtalt matemaatilise tõestuse vastu.

Äärmiselt lihtne on tõestada, et võimatut kolmnurka ei eksisteeri, sest selle kõik nurgad on õiged ja nende summa võrdub 270 kraadiga, mitte "positsioneeritud" 180 kraadiga.

Veelgi enam, isegi kui arvestada võimatut kolmnurka, mis on kokku liimitud alla 90-kraadise nurga all, siis sel juhul saame tõestada, et võimatut kolmnurka pole olemas.

Näeme kolme lamedat serva. Need ristuvad paarikaupa mööda sirgeid jooni. Neid tahke sisaldavad tasapinnad on paarikaupa risti, seega lõikuvad ühes punktis.

Lisaks peavad seda punkti läbima tasandite vastastikused lõikejooned. Seetõttu peavad sirged 1, 2, 3 lõikuma ühes punktis.

Aga see pole tõsi. Seetõttu on esitatud disain võimatu.

"Võimatu" kunst

Selle või teise idee saatus – teaduslik, tehniline, poliitiline – sõltub paljudest asjaoludest. Ja mitte vähemtähtis oleneb see, millisel kujul see idee täpselt esitletakse, millisel kujul see laiemale avalikkusele ilmub. Kas kehastus on kuiv ja raskesti hoomatav või vastupidi, idee ilming on helge, püüdes meie tähelepanu isegi vastu tahtmist.

Võimatul kolmnurgal on õnnelik saatus. 1961. aastal valmis hollandi kunstnikul Moritz Escheril litograafia, mida ta nimetas koseks. Kunstnik on läbinud pika, kuid kiire tee võimatu kolmnurga ideest selle vapustava kunstilise kehastuseni. Meenutagem, et Penrosese artikkel ilmus 1958. aastal.

"Juga" põhineb kahel näidatud võimatul kolmnurgal. Üks kolmnurk on suur, teine ​​kolmnurk asub selle sees. Võib tunduda, et kujutatud on kolm identset võimatut kolmnurka. Kuid see pole asja mõte, esitatud disain on üsna keeruline.

Kiire pilguga ei ole selle absurdsus kõigile kohe nähtav, kuna iga esitatud seos on võimalik. nagu öeldakse, kohapeal, st joonise väikesel alal, on selline kujundus teostatav... Kuid üldiselt on see võimatu! Selle üksikud tükid ei sobi kokku, ei sobi omavahel kokku.

Ja selle mõistmiseks peame kulutama teatud intellektuaalseid ja visuaalseid jõupingutusi.

Teeme teekonna läbi struktuuri tahkude. See tee on tähelepanuväärne selle poolest, et mööda seda, nagu meile tundub, jääb tase horisontaaltasandi suhtes muutumatuks. Seda teed mööda liikudes ei lähe me üles ega lasku.

Ja kõik oleks hästi, tuttav, kui me tee lõpus - nimelt punktis - ei avastaks, et algse, alguspunkti suhtes oleme kuidagi müstilisel, mõeldamatul moel vertikaalselt üles tõusnud!

Selle paradoksaalse tulemuseni jõudmiseks peame valima täpselt selle tee ja jälgima ka taset horisontaaltasandi suhtes... Pole lihtne ülesanne. Escher tuli oma otsuses appi...vesi. Meenutagem laulu liikumisest imelisest vokaaltsükkel Franz Schuberti "Ilus Milleri naine":

Ja esmalt kujutluses ja seejärel imelise meistri käe all muutuvad paljad ja kuivad ehitised akveduktideks, millest voolavad läbi puhtad ja kiired veejoad. Nende liikumine haarab meie pilgu ja nüüd kihutame vastu tahtmist allavoolu, järgides kõiki raja pöördeid ja käänakuid, kukume koos vooluga alla, kukume vesiveski labadele, siis kihutame uuesti allavoolu...

Käime selle raja ümber üks, kaks, kolm korda... ja alles siis taipame: alla liikudes tõuseme kuidagi fantastiliselt tippu! Esialgne üllatus areneb omamoodi intellektuaalseks ebamugavustundeks. Näib, et oleme saanud mingi praktilise nalja ohvriks, mõne nalja objektiks, millest me pole veel aru saanud.

Ja jälle kordame seda rada mööda kummalist kanalit, nüüd aeglaselt, ettevaatlikult, justkui kartes paradoksaalse pildi trikki, tajudes kriitiliselt kõike, mis sellel salapärasel teel toimub.

Püüame lahti harutada saladust, mis meid hämmastas, ja me ei pääse selle vangistusest enne, kui leiame varjatud vedru, mis peitub selle aluseks ja toob mõeldamatu keeristormide lakkamatult liikuma.

Kunstnik rõhutab konkreetselt ja surub meile peale oma maali tajumist tõeliste kolmemõõtmeliste objektide kujutisena. Mahulisust rõhutavad pilt väga ehtsatest hulktahukatest tornidel, akvedukti seintes iga tellise kõige täpsema kujutisega telliskivi ning taustal kõrguvad aedadega terrassid. Kõik on loodud selleks, et veenda vaatajat toimuva reaalsuses. Ja tänu kunstile ja suurepärane tehnoloogia see eesmärk on saavutatud.

Kui me murrame välja vangistusest, millesse meie teadvus langeb, hakkame võrdlema, vastandama, analüüsima, leiame, et selle pildi alus, allikas on peidus kujunduslikes tunnustes.

Ja saime veel ühe - "füüsilise" tõendi "võimatu kolmnurga" võimatuse kohta: kui selline kolmnurk oleks olemas, oleks olemas ka Escheri "Waterfall", mis on sisuliselt igiliikur. Kuid igiliikur on võimatu, seetõttu on võimatu ka "võimatu kolmnurk". Ja võib-olla on see "tõend" kõige veenvam.

Mis tegi Moritz Escherist fenomeni, ainulaadse fenomeni, kellel polnud kunstis ilmseid eelkäijaid ja keda ei saa jäljendada? See on tasandite ja mahtude kombinatsioon, mis pöörab suurt tähelepanu mikromaailma veidratele vormidele - elavale ja elutule, tavapärastele asjadele ebatavalistele vaatenurkadele. Tema kompositsioonide põhiefekt on tuttavate objektide vahel võimatute suhete ilmnemise efekt. Esmapilgul võivad need olukorrad nii ehmatada kui ka naeratama panna. Saate rõõmsalt vaadata kunstniku pakutavat lõbu või tõsiselt sukelduda dialektika sügavustesse.

Moritz Escher näitas, et maailm võib olla täiesti erinev sellest, kuidas me seda näeme ja oleme harjunud seda tajuma – me peame lihtsalt vaatama seda teise, uue nurga alt!

Moritz Escher

Moritz Escheril vedas rohkem teadlase kui kunstnikuna. Tema graveeringuid ja litograafiaid peeti tervet mõistust trotsivate teoreemide või originaalsete vastunäidete tõestuse võtmeteks. Halvimal juhul tajuti neid nii imelised illustratsioonid kristallograafia, rühmateooria, kognitiivse psühholoogia või arvutigraafika teaduslikele traktaatidele. Moritz Escher töötas ruumi, aja ja nende identiteedi vaheliste suhete vallas, kasutades põhilisi mosaiikmustreid ja rakendades neile transformatsioone. See Suurepärane meister optilised illusioonid. Escheri gravüürid ei kujuta valemite maailma, vaid maailma ilu. Nende intellektuaalne ülesehitus on radikaalselt vastuolus sürrealistide ebaloogilise loominguga.

Hollandi kunstnik Moritz Cornelius Escher sündis 17. juunil 1898 Hollandi provintsis. Maja, kus Escher sündis, on nüüd muuseum.

Alates 1907. aastast on Moritz õppinud puusepa erialal ja klaverit mängides, õppides kl Keskkool. Moritzi hinded olid kõigis ainetes kehvad, välja arvatud joonistamine. Kunstiõpetaja märkas poisi annet ja õpetas ta puugravüüri tegema.

1916. aastal esitas Escher oma esimese graafiline töö, graveering lillale linoleumile – tema isa G. A. Escheri portree. Ta külastab kunstnik Gert Stiegemanni ateljeed, kellel oli trükipress. Sellel pressil trükiti Escheri esimesed gravüürid.

Aastatel 1918–1919 õppis Escher Hollandi Delfti linna tehnikakolledžis. Ta saab õpingute jätkamiseks ajateenistusest edasilükkamise, kuid kehva tervise tõttu ei tulnud Moritz õppekavaga toime ja ta visati välja. Selle tulemusena ei saanud ta kunagi kõrgharidus. Ta õpib Haarlemi linna Arhitektuuri- ja Ornamendikoolis, kus ta võtab joonistustunde Samuel Geserin de Mesquite'ilt, kellel oli kujundav mõju Escheri elule ja loomingule.

1921. aastal külastas Escheri perekond Rivierat ja Itaaliat. Vahemerelise kliima taimestikust ja lilledest lummatud Moritz tegi üksikasjalikke jooniseid kaktustest ja oliivipuudest. Ta visandas palju mägimaastike visandeid, mis hiljem olid tema teoste aluseks. Hiljem naasis ta pidevalt Itaaliasse, mis oli talle inspiratsiooniallikaks.

Escher hakkab katsetama enda jaoks uues suunas, ka siis leidub tema töödes peegelpilte, kristallkujusid ja sfääre.

Kahekümnendate lõpp kujunes Moritzi jaoks väga viljakaks perioodiks. Tema töid näidati paljudel näitustel Hollandis ning 1929. aastaks oli tema populaarsus jõudnud sellisele tasemele, et ühe aasta jooksul korraldati viis isikunäitust Hollandis ja Šveitsis. Sel perioodil hakati Escheri maale esmakordselt nimetama mehaanilisteks ja "loogilisteks".

Asher reisib palju. Elab Itaalias ja Šveitsis, Belgias. Ta uurib mauride mosaiike, teeb litograafiaid ja graveeringuid. Reisivisandite põhjal loob ta oma esimese pildi võimatust reaalsusest Natüürmort tänavaga.

Kolmekümnendate lõpus jätkas Escher katseid mosaiikide ja transformatsioonidega. Ta loob kahe teineteise poole lendava linnu kujul mosaiigi, mis oli aluseks maalile “Päev ja öö”.

1940. aasta mais okupeerisid natsid Hollandi ja Belgia ning 17. mail sisenes Brüssel okupatsioonitsooni, kus Escher ja tema perekond sel ajal elasid. Nad leiavad Varnast maja ja kolivad 1941. aasta veebruaris sinna. Asher elab selles linnas oma elupäevade lõpuni.

1946. aastal hakkas Escher huvi tundma sügavtrükitehnoloogia vastu. Ja kuigi see tehnoloogia oli palju keerulisem kui see, mida Escher oli varem kasutanud ja nõudis pildi loomiseks rohkem aega, olid tulemused muljetavaldavad – peened jooned ja täpne varjude renderdamine. Üks kõige enam kuulsad teosed sügavtrükitehnikas "Kastetilk" valmis 1948. aastal.

1950. aastal saavutas Moritz Escher populaarsuse õppejõuna. Seejärel, 1950. aastal, toimus tema esimene isikunäitus USA-s ja tema töid hakati ostma. 27. aprillil 1955 löödi Moritz Escher rüütliks ja temast sai aadlik.

50. aastate keskel kombineeris Escher mosaiike lõpmatuseni ulatuvate figuuridega.

60ndate alguses ilmus esimene Escheri teostega raamat Grafiek en Tekeningen, milles 76 teost kommenteeris autor ise. Raamat aitas saavutada mõistmist matemaatikute ja kristallograafide seas, sealhulgas mõnedel Venemaal ja Kanadas.

Augustis 1960 pidas Escher Cambridge'is loengu kristallograafiast. Escheri töö matemaatilised ja kristallograafilised aspektid on muutumas väga populaarseks.

Aastal 1970 pärast uus sari Escheri operatsioonid kolisid uus maja Larenis, kus oli stuudio, kuid kehva tervise tõttu ei saanud palju töötada.

1971. aastal suri Moritz Escher 73-aastaselt. Escher elas piisavalt kaua, et näha M. C. Escheri maailma tõlgituna inglise keel ja jäi sellega väga rahule.

Matemaatikute ja programmeerijate kodulehtedelt leiab erinevaid võimatuid pilte. Enamik täisversioon nendest, mida vaatasime, on meie arvates Vlad Aleksejevi koht

Sellel saidil pole mitte ainult laia valikut kuulsad maalid, sealhulgas M. Escher, aga ka animeeritud pilte, naljakaid joonistusi võimatutest loomadest, münte, marke jne. See sait on elus, seda ajakohastatakse perioodiliselt ja täiendatakse hämmastavate joonistega.

juhendaja

matemaatika õpetaja

1. Sissejuhatus…………………………………………………………3

2. Ajalooline taust……………………………………..…4

3. Põhiosa……………………………………………………………….7

4. Penrose'i kolmnurga võimatuse tõestus......9

5. Järeldused………………………………………………………………..…………11

6. Kirjandus……………………………………………….…… 12

Asjakohasus: Matemaatika on aine, mida õpitakse algusest kuni lõpuklass. Paljudele õpilastele tundub see raske, ebahuvitav ja ebavajalik. Aga kui vaatate õpiku lehekülgedest kaugemale, loed lisakirjandust, matemaatilisi sofisme ja paradokse, siis teie ettekujutus matemaatikast muutub ja teil tekib soov õppida rohkem kui see, mida õpitakse. koolikursus matemaatika.

Töö eesmärk:

näitavad, et võimatute kujundite olemasolu avardab silmaringi, arendab ruumilist kujutlusvõimet ja seda kasutavad mitte ainult matemaatikud, vaid ka kunstnikud.

Ülesanded :

1. Tutvuge selleteemalise kirjandusega.

2. Kaaluge võimatuid kujundeid, koostage võimatust kolmnurgast mudel, tõestage, et võimatut kolmnurka tasapinnal ei eksisteeri.

3. Tee võimatust kolmnurgast arendus.

4. Vaatleme näiteid võimatu kolmnurga kasutamisest kujutavas kunstis.

Sissejuhatus

Ajalooliselt on matemaatika mänginud kujutavas kunstis olulist rolli, eriti perspektiivmaalis, mis hõlmab kolmemõõtmelise stseeni realistlikku kujutamist tasasel lõuendil või paberitükil. Kaasaegsete vaadete järgi matemaatika ja art distsipliinid üksteisest väga kaugel, esimene on analüütiline, teine ​​emotsionaalne. Matemaatika ei mängi enamikus töökohtades ilmselget rolli kaasaegne kunst, ja tegelikult kasutavad paljud kunstnikud perspektiivi harva või isegi mitte kunagi. Siiski on palju kunstnikke, kelle fookus on matemaatikal. Nendele isikutele sillutasid teed mitmed olulised kujutava kunsti tegelased.

Üldiselt ei ole matemaatilises kunstis reegleid ega piiranguid erinevate teemade, näiteks võimatute kujundite, Möbiuse ribade, moonutuste või ebatavaliste perspektiivsüsteemide ja fraktaalide kasutamisel.

Võimatute kujundite ajalugu

Võimatud kujundid on teatud tüüpi matemaatiline paradoks, mis koosneb korrapärastest osadest, mis on ühendatud ebakorrapäraseks kompleksiks. Kui prooviksime sõnastada mõiste "võimatud objektid" definitsiooni, kõlaks see ilmselt umbes nii - füüsiliselt võimalikud kujundid, mis on kokku pandud võimatusse vormi. Kuid palju meeldivam on neid vaadata, määratlusi koostades.

Vead ruumiline ehitus kohtas kunstnike seas tuhat aastat tagasi. Kuid 1934. aastal maalinud Rootsi kunstnikku Oscar Reutersvärdi peetakse õigusega esimeseks võimatute objektide konstrueerijaks ja analüüsimiseks. esimene võimatu kolmnurk, mis koosneb üheksast kuubist.

Reutersvaerdi kolmnurk

Reutersist sõltumatult avastab inglise matemaatik ja füüsik Roger Penrose uuesti võimatu kolmnurga ja avaldab selle pildi 1958. aastal Briti psühholoogiaajakirjas. Illusioon kasutab "valeperspektiivi". Mõnikord nimetatakse seda perspektiivi hiinaks, kuna sarnast joonistusmeetodit, kui joonise sügavus on "mitmetähenduslik", leiti sageli ka Hiina kunstnike töödest.

Escheri juga

1961. aastal Võimatust Penrose’i kolmnurgast inspireerituna loob hollandlane M. Escher kuulsa litograafia “Juga”. Pildil olev vesi voolab lõputult, peale vesiratast läheb edasi ja jõuab tagasi alguspunkti. Sisuliselt on see pilt igiliikurist, kuid kõik katsed seda struktuuri tegelikult ehitada on määratud läbikukkumisele.

Veel üks näide võimatutest kujunditest on toodud joonisel “Moskva”, mis kujutab Moskva metroo ebatavalist skeemi. Algul tajume pilti tervikuna, kuid kui jälgime pilguga üksikuid jooni, veendume nende olemasolu võimatuses.

« Moskva", graafika (tint, pliiats), 50x70 cm, 2003.

Joonistus “Kolm tigu” jätkab teise kuulsa võimatu kuju - võimatu kuubiku (kasti) traditsiooni.

"Kolm tigu" võimatu kuubik

Erinevate objektide kombinatsiooni võib leida ka mitte täiesti tõsiseltvõetavast joonistusest “IQ” (intelligentsuskoefitsient). Huvitav on see, et mõned inimesed ei taju võimatuid objekte, kuna nende mõistus ei suuda tuvastada tasaseid pilte kolmemõõtmeliste objektidega.

Donald Simanek on väitnud, et visuaalsete paradokside mõistmine on üks sedalaadi tunnusjooni loominguline potentsiaal, mida valdavad parimad matemaatikud, teadlased ja kunstnikud. Paljud paradoksaalsete objektidega teosed võib liigitada "intellektuaalseteks" matemaatika mängud». Kaasaegne teadus räägib 7- või 26-mõõtmelisest maailmamudelist. Sellist maailma saab simuleerida ainult kasutades matemaatilised valemid, inimene lihtsalt ei suuda seda ette kujutada. Siin tulevad kasuks võimatud arvud.

Kolmas populaarne võimatu kuju on Penrose'i loodud uskumatu trepp. Te tõusete (vastupäeva) või laskute (päripäeva) pidevalt mööda seda. Aluse moodustas Penrose'i mudel kuulus maal M. Escher "Üles ja alla" Uskumatu Penrose'i trepp

Võimatu kolmhark

"Kuradi kahvel"

On veel üks rühm objekte, mida ei saa rakendada. Klassikaline kujund on võimatu kolmhark ehk "kuradikahvel". Kui pilti hoolikalt uurite, märkate, et kolm hammast muutuvad järk-järgult kaheks ühel alusel, mis viib konfliktini. Võrdleme hammaste arvu ülal ja all ning jõuame järeldusele, et objekt on võimatu. Kui sulgeme käega kolmharu ülemise osa, näeme väga reaalset pilti – kolm ümmargust hammast. Kui kolmharu alumise osa sulgeda, näeme ka tegelikku pilti – kaks ristkülikukujulist hammast. Kuid kui arvestada kogu figuuri tervikuna, selgub, et kolm ümmargust hammast muutuvad järk-järgult kaheks ristkülikukujuliseks.

Seega on näha, et esi- ja taustal sellest pildi konfliktist. See tähendab, mis oli algselt peal esiplaanil läheb tagasi ja selg (keskmine hammas) tuleb ette. Lisaks esiplaani ja tausta muutumisele on sellel joonisel veel üks efekt - kolmiku ülemise osa lamedad servad muutuvad alt ümaraks.

Põhiosa.

Kolmnurk- 3 kõrvuti asetsevast osast koosnev kujund, mis nende osade vastuvõetamatute ühenduste kaudu loob illusiooni matemaatiliselt võimatust struktuurist. Seda kolme tala struktuuri nimetatakse ka erinevalt ruut Penroses

Selle illusiooni graafiline põhimõte võlgneb selle sõnastuse psühholoogile ja tema füüsikust Rogerile. Penruzovi väljak koosneb kolmest baarist ruudukujuline sektsioon, mis asub 3 vastastikku risti asetsevas suunas; igaüks ühendub järgmisega täisnurga all, kõik see on paigutatud kolmemõõtmelisse ruumi. Siin on lihtne retsept Penrose'i ruudu isomeetrilise projektsiooni joonistamiseks:

· Kärbi võrdkülgse kolmnurga nurki mööda külgedega paralleelseid jooni;

· Joonista kärbitud kolmnurga sees olevate külgedega paralleelid;

· Kärbi nurgad uuesti;

· Tõmba uuesti paralleele sisse;

· Kujutage ette ühte kahest võimalikust kuubikust;

· Jätkake seda L-kujulise "asjaga";

· Käivitage see kujundus ringis.

· Kui oleksime valinud teise kuubi, oleks ruut teises suunas “väänatud”. .

Võimatu kolmnurga arendamine.

Käändejoon

Lõika joon

Milliseid elemente kasutatakse võimatu kolmnurga konstrueerimiseks? Täpsemalt, millistest elementidest see meile tundub (täpselt tundub!) ehitatud? Disain põhineb ristkülikukujulisel nurgal, mis saadakse kahe identse ristkülikukujulise varda ühendamisel täisnurga all. Vaja on kolme sellist nurka ja seega kuut varda tükki. Need nurgad peavad olema üksteisega visuaalselt teatud viisil "ühendatud", nii et need moodustavad suletud ahela. See, mis juhtub, on võimatu kolmnurk.

Asetage esimene nurk horisontaaltasapinnale. Kinnitame selle külge teise nurga, suunates ühe selle servadest ülespoole. Lõpuks kinnitame selle teise nurga külge kolmanda nurga nii, et selle serv oleks paralleelne algse horisontaaltasandiga. Sel juhul on esimese ja kolmanda nurga kaks serva paralleelsed ja suunatud eri suundades.

Nüüd proovime vaadata joonist erinevatest ruumipunktidest (või teha päris traatmudel). Kujutage ette, kuidas see näeb välja ühest punktist, teisest, kolmandast... Kui vaatluspunkt muutub (või - mis on sama asi - kui struktuur on ruumis pööratud), tundub, et need kaks "lõpevad" meie nurkade servad liiguvad üksteise suhtes. Pole keeruline valida asendit, milles need ühenduvad (muidugi tundub lähinurk meile paksem kui pikem).

Aga kui ribide vaheline kaugus on palju väiksem kui kaugus nurkadest punktini, kust me oma struktuuri vaatleme, on mõlemad ribid meie jaoks sama paksusega ja tekib mõte, et need kaks ribi on tegelikult jätk. üksteisest.

Muide, kui vaatame samaaegselt peeglis oleva struktuuri kuva, ei näe me seal suletud vooluringi.

Ja valitud vaatluspunktist näeme oma silmaga juhtunud imet: seal on kolmest nurgast koosnev suletud kett. Lihtsalt ärge muutke vaatluspunkti, et see illusioon (tegelikult on see illusioon!) kokku ei kukuks. Nüüd saate joonistada objekti, mida näete, või asetada leitud punkti kaamera objektiivi ja saada foto võimatust objektist.

Penrosed olid esimesed, kes selle nähtuse vastu huvi tundsid. Nad kasutasid ära võimalusi, mis tekivad kolmemõõtmelise ruumi ja kolmemõõtmeliste objektide kaardistamisel kahemõõtmelisele tasapinnale (see tähendab disainile) ning juhtisid tähelepanu mõningasele disaini ebakindlusele – kolmest nurgast koosnev avatud struktuur võib olla tajutakse suletud ahelana.

Nagu juba mainitud, saab traadist hõlpsasti valmistada lihtsa mudeli, mis põhimõtteliselt selgitab täheldatud efekti. Võtke sirge traadijupp ja jagage see kolmeks võrdseks osaks. Seejärel painutage välimised osad nii, et need moodustaksid keskosaga täisnurga, ja pöörake üksteise suhtes 900 võrra. Nüüd pöörake seda kujundit ja vaadake seda ühe silmaga. Mõnes kohas tundub, et see on moodustatud suletud traaditükist. Laualambi põlema pannes saab jälgida lauale langevat varju, mis kujundi teatud asukohas ruumis muutub ka kolmnurgaks.

Seda disainifunktsiooni saab aga täheldada teises olukorras. Kui teete traadist rõnga ja seejärel ajate seda eri suundades laiali, saate ühe silindrilise spiraali pöörde. See silmus on muidugi avatud. Aga tasapinnale projitseerides saab kinnise joone.

Veel kord veendusime, et projektsioonist tasapinnale, jooniselt rekonstrueeritakse kolmemõõtmeline kujund mitmetähenduslikult. See tähendab, et projektsioon sisaldab teatud ebaselgust, alahinnangut, mis tekitab "võimatu kolmnurga".

Ja võime öelda, et Penrose'i "võimatu kolmnurk", nagu paljud teised optilised illusioonid, on samaväärne loogilised paradoksid ja sõnamängud.

Penrose'i kolmnurga võimatuse tõestus

Analüüsides tasapinnal asuvate kolmemõõtmeliste objektide kahemõõtmelise kujutise omadusi, mõistsime, kuidas selle kuva omadused viivad võimatuse kolmnurgani.

Äärmiselt lihtne on tõestada, et võimatut kolmnurka pole olemas, sest selle kõik nurgad on õiged ja nende summa on 2700 “positsioneeritud” 1800 asemel.

Veelgi enam, isegi kui arvestada võimatut kolmnurka, mis on kokku liimitud nurkade all, mis on väiksemad kui 900, siis sel juhul saame tõestada, et võimatut kolmnurka pole olemas.

Vaatleme veel ühte kolmnurka, mis koosneb mitmest osast. Kui osad, millest see koosneb, on paigutatud erinevalt, saate täpselt sama kolmnurga, kuid ühe väikese veaga. Üks ruut jääb puudu. Kuidas on see võimalik? Või on see ikkagi illusioon?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="Võimatu kolmnurk" width="298" height="161">!}

Taju fenomeni kasutamine

Kas on kuidagi võimalik võimetuse mõju tugevdada? Kas mõned objektid on "võimatumad" kui teised? Ja siin tulevad appi inimtaju iseärasused. Psühholoogid on leidnud, et silm hakkab objekti (pilti) uurima vasakust alumisest nurgast, seejärel libiseb pilk paremale keskele ja langeb pildi alumisse paremasse nurka. See trajektoor võib olla tingitud asjaolust, et meie esivanemad vaatasid vaenlasega kohtudes esmalt kõige ohtlikumat. parem käsi, ja seejärel liikus pilk vasakule, näole ja figuurile. Seega kunstiline taju sõltub oluliselt sellest, kuidas pildi kompositsioon on üles ehitatud. See omadus avaldus selgelt keskajal seinavaipade valmistamisel: nende disain oli peegelpilt originaalsed ning seinavaipade ja originaalide tekitatud mulje erineb.

Seda omadust saab edukalt kasutada võimatute objektidega loomingu loomisel, "võimatuse astme" suurendamisel või vähendamisel. Samuti on väljavaade saada huvitavaid kompositsioone arvutitehnoloogia abil või mitmelt pööratud maalilt (võib-olla kasutades erinevat tüüpi sümmeetriad) üksteise suhtes, luues vaatajates objektist erineva mulje ja sügavama arusaamise kujunduse olemusest või sellisest, mis pöörleb (pidevalt või tõmblevalt) lihtsa mehhanismi abil teatud nurkade all.

Seda suunda võib nimetada hulknurkseks (hulknurkseks). Illustratsioonidel on kujutatud üksteise suhtes pööratud pilte. Kompositsioon loodi järgmiselt: tindi ja pliiatsiga tehtud joonistus paberile skaneeriti, konverteeriti digitaalsele kujule ja töödeldi graafiline redaktor. Märkida võib regulaarsust - pööratud pildil on suurem “võimatuse aste” kui originaalil. Seda on lihtne seletada: kunstnik püüab töö käigus alateadlikult luua "õiget" pilti.

Järeldus

Erinevate matemaatiliste kujundite ja seaduste kasutamine ei piirdu ülaltoodud näidetega. Kõiki antud arve hoolikalt uurides võite leida ka teisi, mida selles artiklis ei mainita. geomeetrilised kehad või matemaatiliste seaduste visuaalne tõlgendamine.

Tänapäeval õitseb matemaatiline kujutav kunst ning paljud kunstnikud loovad maale Escheri stiilis ja omas stiilis. Need kunstnikud töötavad erinevates meediumites, sealhulgas skulptuuris, lamedatele ja kolmemõõtmelistele pindadele maalides, litograafias ja arvutigraafika. Ja matemaatilise kunsti kõige populaarsemateks teemadeks jäävad polüheedrid, võimatud kujundid, Möbiuse ribad, moonutatud perspektiivsüsteemid ja fraktalid.

Järeldused:

1. Seega arendab võimatute kujunditega arvestamine meie ruumilist kujutlusvõimet, aitab tasapinnast kolmemõõtmelisse ruumi “välja tulla”, mis aitab stereomeetria uurimisel.

2. Võimatute kujundite mudelid aitavad arvestada projektsioone tasapinnal.

3. Matemaatiliste sofismide ja paradokside arvestamine sisendab huvi matemaatika vastu.

Selle töö tegemisel

1. Sain teada, kuidas, millal, kus ja kelle poolt esmakordselt võimatuteks kujunditeks peeti, et selliseid figuure on palju, kunstnikud püüavad neid kujundeid pidevalt kujutada.

2. Koos isaga tegin võimatust kolmnurgast mudeli, uurisin selle projektsiooni tasapinnale ja nägin selle kuju paradoksi.

3. Uuris neid figuure kujutavate kunstnike reproduktsioone

4. Mu klassikaaslased tundsid minu uurimistöö vastu huvi.

Edaspidi kasutan omandatud teadmisi matemaatikatundides ja tundsin huvi, kas paradokse on veel?

KIRJANDUS

1. Tehnikateaduste kandidaat D. RAKOV Võimatute kujundite ajalugu

2. Rutesward O. Võimatud kujundid.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. V. Aleksejevi veebileht Illusioonid · 7 kommentaari

4. J. Timothy Unrach. – Hämmastavad kujundid.
(AST Publishing House LLC, Astrel Publishing House LLC, 2002, 168 lk.)

5. . - Graafika.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: see lõputu vanik. ( Kirjastus"Bakhrakh-M", 2001)

7. A. Konenko – Võimatute kujundite saladused
(Omsk: Levša, 199)

Täna avan uue rubriigi nimega “Lõika”, kuhu postitan nii jooniseid, malle kui ka mustreid optiliste illusioonide jaoks. Täna teeme paberist võimatu kolmnurga. Kuna võimatut kolmnurka ei saa luua, siis loome mudeli, mida vaatleme teatud nurga alt.

1. Laadige alla ja printige
2. Järgige pildil olevaid juhiseid

Kuidas pidada võimatut kolmnurka õigesti?

Seega, kuna illusioon põhineb kuubi mitmetähenduslikul joonisel isomeetriline projektsioon. Siis langevad selles orientatsioonis vaatajale lähimad ja vaatajast kaugeim nurgad kokku. See tähendab, et kui liigume kuubi lähimast servast ja kahest alumist serva alla, pöördume tagasi alguspunkt, kus tee kaugemas nurgas tegelikult lõpeb.

See võimatu Penrose'i kolmnurk

Sellises pildikunsti valdkonnas nagu inimnaha maalimine on tänapäeval uusim trend optiliste illusioonide kujundid, eelkõige Penrose’i kolmnurk ehk tribar, mida nimetatakse ka võimatuks. Selle vormi avastas või leiutas esmakordselt Rootsi maalikunstnik Oscar Reutersvard, kes esitles selle kuubikute komplektina maailmale 1935. aasta vahetusel. Hiljem, juba meie sajandi 80ndatel, hakati hõimumustrit kasutama. trükitud Rootsis postmargile.

Optiliste illusioonide kategooriasse kuuluv võimatu Penrose’i kolmnurga kujutis sai aga laiemalt tuntuks 1958. aastal pärast inglise matemaatiku Roger Penrose’i avaldamist u. võimatud arvud, avaldatud ajakirjas British Journal of Psychology. Sellest postitusest inspireerituna kuulus maalikunstnik Hollandist pärit Maurits Escher lõi 1961. aastal ühe oma populaarseima teose “Waterfall”.

Optiline illusioon

Optilised illusioonid maalikunstis on visuaalne illusioon taju päris pilt, kunstniku loodud teatud joonte paigutus tasapinnal. Sel juhul hindab vaataja valesti figuuri nurkade suurust või selle külgede pikkust, mis on selliste psühholoogia alamvaldkondade nagu näiteks gestaltteraapia uurimisobjekt. Lisaks Escherile tundis optiliste illusioonide loomise vastu huvi veel üks inimene suurepärane kunstnik- maailmakuulus Salvador Dali. Tema kire ilmekaks illustratsiooniks on näiteks maal “Elevantides peegelduvad luiged”.

Ülaltoodud kolmnurk kehtib ka optilised illusioonid, täpsemalt sellele osale neist, mida nimetatakse võimatuteks kujunditeks. Neid kutsutakse nii tunde tõttu, mis tekib, kui vaadata sellist vormi, milles selle olemasolu päris maailm See on lihtsalt võimatu.

Illusioonide rakendamine

Tänu oma ainulaadsele kujule pööravad illusoorsed objektid suurt tähelepanu mitte ainult kunstnikele ja tätoveerijatele - oma kätega või professionaalide abiga valmistatud kolmnurk võib toimida ka ettevõtte logona. Suurepärased näited sellisest illusoorsete kujundite kasutamisest on psühhedeelse folkbändi Conundum in Deed logo, mis on võimatu kuubik, või kiibitootja Digilent Inc kaubamärk, mis on klassikaline Penrose'i kolmnurkne kujutis.

Saate teha oma logo ise, ilma professionaalide poole pöördumata. Selleks järgi lihtsalt juhiseid, mida järgides saad teha kas lihtsa joonise paberile või tahvelarvutile või teha kolmemõõtmeline kujund. Seda saab paigutada oma poe sildina või välireklaamina.

Kuidas seda ise teha

Samm-sammult juhised tribari joonistamiseks Adobe Illustratori abil:

1. Kõigepealt peate ristküliku tööriista abil tegema 3 ruutu. Selleks peate esmalt minema menüüsse Vaade ja lubama Smart Guides.
2. Nüüd tuleb kõik valida ja minna menüüsse Object, sealt teisendada ja avada Transform every, kus Scale aknas tuleb sisestada väärtus Vertical Scale = 86.6% ja vajutada OK.
3. Nüüd peate määrama igale küljele oma pöördenurga ja selleks minge aknasse ja avage teisendus. Sisestage seal esmalt kalde (Shear) ja seejärel pööramise (Rotate) väärtus: kuubi ülemine pind on Shear +30°, Rotate -30°; parem pind - Nihke +30°, Pööra +30°; vasak pind - nihutamine -30°, pööramine -30°.
4. Nüüd tuleb Smart Guides joonte abil dokkida kõik kuubi osad kokku: selleks tuleb hiir ühe külje nurga külge haakida ja teise külge tõmmata, joondades need.
5. Selles etapis peate kuubikut 30° võrra pöörama: selleks minge Object, valige Transform and Rotate, sisestage sinna nurga väärtus 30° ja klõpsake nuppu OK.
6. Kuna tribari saamiseks on vaja 6 kuubikut, tuleks kuup valida, vajutada Alt ja Shift ning lohistada valitud objekt hiirega küljele, sirutades seda horisontaalsuunas. Valikut eemaldamata vajuta 6 korda CMD + D. Saame 6 kuubikut.
7. Jättes valiku viimasele kuubile, vajutage sisestusklahvi ja muutke aknas Move nurga väärtuseks 240°, seejärel vajutage Kopeeri. Seejärel vajutage uuesti CMD + D, kuni saate 6 koopiat.
8. Nüüd korrake kõike: vajutage uuesti Enter, valige viimane kuup, määrake ainult nurk 120° ja tehke ainult 5 koopiat.
9. Valikutööriista abil tuleb valida kujundi ülemine pind (selgemaks muutmiseks saab selle ümber värvida), avada menüü Object - Arrange - Send to back. Nüüd vali ülemise kuubi värvitud pind, ava Object – Arrange – Bring to Front.

Penrose'i illusioon on täielik. Saate selle postitada oma sotsiaalmeedia lehele või ajaveebi või kasutada seda äritegevuses.

Tuntud ka kui võimatu kolmnurk Ja tribar.

Lugu

See näitaja sai laialdaselt tuntuks pärast seda, kui inglise matemaatik Roger Penrose avaldas 1958. aastal ajakirjas British Journal of Psychology artikli võimatute arvude kohta. Selles artiklis kujutati võimatut kolmnurka kõige rohkem üldine vorm- V vorm kolmüksteisega täisnurga all ühendatud talad. Sellest artiklist mõjutatuna lõi Hollandi kunstnik Maurits Escher ühe oma kuulsatest litograafiatest “Juga”.

Skulptuurid

13-meetrine alumiiniumist valmistatud võimatu kolmnurga skulptuur püstitati 1999. aastal Perthis (Austraalia)

Deutsches Technikmuseum Berlin veebruar 2008 0004.JPG

Sama skulptuur vaatenurga muutmisel

Muud arvud

Kuigi Penrose'i kolmnurga analooge on täiesti võimalik konstrueerida korrapäraste hulknurkade põhjal, pole nende visuaalne efekt nii muljetavaldav. Kui külgede arv suureneb, näib objekt lihtsalt painutatud või väändunud.

Vaata ka

• Kolm jänest (inglise keeles) Kolm jänest )

Kirjutage ülevaade artiklist "Penrose'i kolmnurk"

Penrose'i kolmnurka iseloomustav väljavõte

Olles väljendanud kõike, mida talle kästi, ütles Balašev, et keiser Aleksander tahab rahu, kuid ei alusta läbirääkimisi, välja arvatud tingimusel, et... Siin Balašev kõhkles: talle meenusid need sõnad, mida keiser Aleksander kirjas ei kirjutanud, kuid mida ta kirjas ei kirjutanud. kindlasti käskis Saltõkov reskripti lisada ja mille Balašev käskis Napoleonile üle anda. Balašev mäletas neid sõnu: "kuni Vene maale ei jää ühtegi relvastatud vaenlast", kuid mingil põhjusel keeruline tunne hoidis teda tagasi. Ta ei saanud neid sõnu öelda, kuigi ta tahtis seda teha. Ta kõhkles ja ütles: tingimusel, et Prantsuse väed taganevad Nemani taha.
Napoleon märkas rääkides Balaševi piinlikkust viimased sõnad; ta nägu värises, vasak sääreosa hakkas rütmiliselt värisema. Oma kohalt lahkumata hakkas ta rääkima senisest kõrgema ja kiirustavama häälega. Järgnenud kõne ajal jälgis Balashev mitu korda silmi langetades tahtmatult Napoleoni vasaku jala vasika värisemist, mis tugevnes, mida rohkem ta häält tõstis.
"Ma soovin rahu mitte vähem kui keiser Aleksander," alustas ta. "Kas see pole mina, kes olen kaheksateist kuud teinud kõik, et seda saada?" Ma olen kaheksateist kuud selgitust oodanud. Mida aga minult nõutakse, et alustada läbirääkimisi? - ütles ta kulmu kortsutades ja oma väikese, valge ja lihava käega energilise küsiva žestiga.
"Vägede taganemine Nemani taha, söör," ütles Balašev.
- Nemani jaoks? - kordas Napoleon. - Nii et sa tahad nüüd, et nad taganeksid Nemani taha – ainult Nemani taha? – kordas Napoleon, vaadates otse Balaševile.
Balašev langetas lugupidavalt pea.
Nelja kuu taguse nõude asemel taganeda Numberaniast, siis nüüd nõuti taganemist ainult Nemani taga. Napoleon pöördus kiiresti ja hakkas toas ringi käima.
– Te ütlete, et nad nõuavad, et ma taganeksin Nemani taga, et alustada läbirääkimisi; kuid nad nõudsid minult täpselt samamoodi kaks kuud tagasi, et ma taganeksin Oderi ja Visla taha ning sellele vaatamata nõustute läbirääkimisi pidama.
Ta kõndis vaikselt toa ühest nurgast teise ja peatus taas Balaševi vastas. Ta nägu näis oma karmis väljenduses kõvaks muutuvat ja vasak jalg värises veelgi kiiremini kui varem. Napoleon teadis seda oma vasaku sääre värinat. "La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi," ütles ta hiljem.