Matemaatiliste tõestuste konstrueerimine. Kuidas teha matemaatilisi tõestusi

Matemaatilise uurimistöö peamine meetod on matemaatiline tõestus – range loogiline arutluskäik. Objektiivse vajaduse tõttu, ütleb Venemaa Teaduste Akadeemia korrespondentliige L.D. Kudrjavtsev L.D. Kudrjavtsev - Kaasaegne matemaatika ja selle õpetus, Moskva, Nauka, 1985, loogiline arutluskäik (mis oma olemuselt, kui see on õige, on range) esindab matemaatika meetodit, ilma nendeta pole matemaatika mõeldav. Tuleb märkida, et matemaatiline mõtlemine ei piirdu ainult loogilise arutlemisega. Sest õige seadistus Probleemi lahendamiseks, selle andmete hindamiseks, oluliste väljaselgitamiseks ja lahendamise meetodi valimiseks on vaja ka matemaatilist intuitsiooni, mis võimaldab soovitud tulemust enne selle saamist ette näha, usutava arutluskäigu abil välja tuua uurimistee. Kuid vaadeldava fakti paikapidavust ei tõesta mitte selle katsetamine mitmete näidete varal, mitte mitmete katsete läbiviimine (mis iseenesest mängib matemaatilises uurimistöös suurt rolli), vaid puhtloogilise meetodiga, vastavalt formaalse loogika seadused.

Arvatakse, et matemaatiline tõestus on ülim tõde. Otsus, mis põhineb puhtal loogikal, lihtsalt ei saa olla vale. Kuid teaduse arenguga muutuvad matemaatikute ees seisvad ülesanded üha keerukamaks.

"Oleme jõudnud ajastusse, mil matemaatiline aparaat on muutunud nii keeruliseks ja kohmakaks, et esmapilgul pole enam võimalik öelda, kas ilmnenud probleem vastab tõele või mitte," usub Kate Devlin USA-st California Stanfordi ülikoolist. Ta toob näiteks “lihtsate lõplike rühmade klassifikatsiooni”, mis formuleeriti juba 1980. aastal, kuid täielikku täpset tõestust pole veel antud. Tõenäoliselt on teoreem tõene, kuid seda on võimatu kindlalt öelda.

Ka arvutilahendust ei saa täpseks nimetada, sest sellistel arvutustel on alati viga. 1998. aastal pakkus Hayles välja 1611. aastal sõnastatud Kepleri teoreemi arvutilahenduse. See teoreem kirjeldab pallide kõige tihedamat pakkimist ruumis. Tõestus esitati 300 leheküljel ja sisaldas 40 000 rida masinkoodi. 12 retsensendit kontrollisid lahendust aasta jooksul, kuid nad ei saavutanud 100% kindlust tõendite õigsuses ja uuring saadeti revisjoni. Selle tulemusena avaldati see alles nelja aasta pärast ja ilma retsensentide täieliku sertifikaadita.

Kõik viimased arvutused rakendusprobleemide kohta tehakse arvutis, kuid teadlaste arvates tuleks suurema usaldusväärsuse huvides matemaatilised arvutused esitada vigadeta.

Tõestusteooria on välja töötatud loogikas ja sisaldab kolme struktuurset komponenti: teesi (mis peaks olema tõestatud), argumendid (vastava teaduse faktide kogum, üldtunnustatud mõisted, seadused jne) ja demonstratsiooni (protseduur, mille eesmärk on tõestada). tõestuse enda arendamine; järjestikune järelduste ahel, millal n-ndast järeldusest saab üks eeldusi n+1-ndas järeldus). Tõestuse reeglid on esile tõstetud ja võimalikud loogikavead on ära toodud.

Matemaatilisel tõestusel on palju ühist kehtestatud põhimõtetega formaalne loogika. Pealegi olid matemaatilised arutlus- ja tehtereeglid ilmselgelt üheks aluseks loogika tõestamisprotseduuri väljatöötamisel. Eelkõige usuvad formaalse loogika kujunemisloo uurijad, et omal ajal, kui Aristoteles astus esimesi samme seaduste ja loogikareeglite loomiseks, pöördus ta matemaatika ja juriidilise tegevuse praktika poole. Nendest allikatest leidis ta materjali oma kavandatud teooria loogiliseks konstrueerimiseks.

20. sajandil kaotas tõestuse mõiste oma range tähenduse, mis juhtus seoses hulgateoorias peituvate loogiliste paradokside avastamisega ja eriti seoses K. Gödeli formaliseerimise ebatäielikkuse teoreemide toodud tulemustega.

Eelkõige puudutas see matemaatikat ennast, millega seoses väljendati veendumust, et mõistel “tõestus” puudub täpne definitsioon. Aga kui selline arvamus (mis eksisteerib ka praegu) puudutab matemaatikat ennast, siis jõutakse järeldusele, et tõestust tuleks aktsepteerida mitte loogilis-matemaatilises, vaid psühholoogilises mõttes. Veelgi enam, samasugune seisukoht on ka Aristotelesel endal, kes arvas, et tõestada tähendab teostada arutluskäiku, mis veenab meid sedavõrd, et seda kasutades veename teisi millegi õigsuses. A. E. Yesenin-Volpini puhul leiame psühholoogilise lähenemise teatud varjundi. Ta on teravalt vastu tõe aktsepteerimisele ilma tõenditeta, seostades selle usuaktiga, ja kirjutab veel: "Ma nimetan kohtuotsuse tõendamist ausaks vastuvõtmiseks, mis muudab selle otsuse ümberlükkamatuks." Yesenin-Volpin teatab, et tema määratlus vajab veel täpsustamist. Samal ajal, kas tõendite „ausaks vastuvõtmiseks” kirjeldamine ei näita apellatsiooni moraalsele ja psühholoogilisele hinnangule?

Samal ajal aitas hulgateoreetiliste paradokside avastamine ja Gödeli teoreemide ilmumine kaasa intuitsionistide, eriti konstruktivistliku suuna, ja D. Hilberti matemaatilise tõestuse teooria arengule.

Mõnikord arvatakse, et matemaatiline tõestus on oma olemuselt universaalne ja esindab ideaalne variant teaduslik tõestus. Kuid see ei ole ainus meetod, on ka teisi tõenduspõhiste protseduuride ja toimingute meetodeid. Tõsi on vaid see, et matemaatilisel tõestusel on palju sarnasusi loodusteadustes rakendatava vormilis-loogilise tõestusega ning matemaatilisel tõestusel on teatud spetsiifilisus, samuti tehnikate ja tehtete kogum. Lõpetame sellega, jättes välja ühised tunnused, mis muudavad selle sarnaseks muude tõestusvormidega, st ilma algoritmi, reeglite, vigade jms kõigis etappides (isegi peamistes) laiendamata. tõestusprotsess.

Matemaatiline tõestus on arutluskäik, mille ülesandeks on põhjendada mis tahes väite tõesust (loomulikult matemaatilises, st tuletatavas mõttes).

Tõestamisel kasutatud reeglite kogum kujunes koos matemaatilise teooria aksiomaatiliste konstruktsioonide tulekuga. Kõige selgemalt ja täielikumalt realiseeriti see Eukleidese geomeetrias. Tema "põhimõtetest" sai omamoodi näidisstandard matemaatiliste teadmiste aksiomaatilisele korraldamisele ja pikka aega jäi nii matemaatikutele.

Teatud jada kujul esitatud väited peavad tagama järelduse, mis loogilise toimimise reeglite kohaselt loetakse tõestatuks. Tuleb rõhutada, et teatud arutluskäik on tõend ainult teatud aksiomaatilise süsteemi kohta.

Matemaatilise tõestuse iseloomustamisel eristatakse kahte põhitunnust. Esiteks välistab matemaatiline tõestus igasuguse viite empiirilistele tõenditele. Kogu järelduse tõesuse põhjendamise protseduur viiakse läbi aktsepteeritud aksiomaatika raames. Akadeemik A.D. Aleksandrov rõhutab sellega seoses. Kolmnurga nurki saab mõõta tuhandeid kordi ja veenduda, et need on võrdsed 2d-ga. Aga matemaatikaga ei saa midagi tõestada. Saate seda talle tõestada, kui tuletate ülaltoodud väite aksioomidest. Kordame. Siin on matemaatika lähedane skolastika meetoditele, mis lükkab põhimõtteliselt tagasi ka eksperimentaalselt etteantud faktidel põhineva argumenteerimise.

Näiteks, kui avastati segmentide võrreldamatus, siis selle teoreemi tõestamisel välistati füüsikalise katse kasutamine, kuna esiteks puudub „ühildamatuse” mõiste. füüsiline tähendus, ja teiseks ei saanud matemaatikud abstraktsiooniga tegelemisel appi tuua materiaalselt konkreetseid, sensoor-visuaalsete meetoditega mõõdetavaid laiendusi. Eelkõige ruudu külgede ja diagonaalide võrreldamatus on tõestatud täisarvude omaduse põhjal, kasutades Pythagorase teoreemi hüpotenuusi ruudu (vastavalt diagonaali) võrdsuse kohta jalgade ruutude summaga. (kaks külge täisnurkne kolmnurk). Või kui Lobatševski otsis kinnitust oma geomeetriale, pöördudes astronoomiliste vaatluste tulemuste poole, viis ta selle kinnituse läbi puhtalt spekulatiivse iseloomuga. Cayley-Kleini ja Beltrami poolt läbi viidud mitteeukleidilise geomeetria tõlgendused sisaldasid samuti pigem matemaatilisi kui füüsilisi objekte.

Matemaatilise tõestuse teine ​​omadus on selle kõrgeim abstraktsus, mille poolest see erineb teiste teaduste tõestamisprotseduuridest. Ja jälle, nagu matemaatilise objekti kontseptsiooni puhul, me räägime mitte ainult abstraktsiooniastmest, vaid selle olemusest. Fakt on see, et kõrge tase tõestus jõuab abstraktsioonini ka mitmetes teistes teadustes, näiteks füüsikas, kosmoloogias ja muidugi filosoofias, kuna viimase teemaks on olemise ja mõtlemise ülimad probleemid. Matemaatika eristub selle poolest, et siin funktsioneerivad muutujad, mille tähendus on mis tahes spetsiifilistest omadustest abstraktsioonis. Tuletagem meelde, et definitsiooni järgi on muutujad märgid, millel iseenesest pole tähendust ja mis omandavad viimase ainult siis, kui asendada need teatud objektide nimedega (üksikmuutujad) või osutades konkreetsetele omadustele ja seostele (predikaatmuutujad), või lõpuks muutuja asendamise korral tähendusliku väitega (propositsioonimuutuja).

See omadus määrab ära matemaatilises tõestuses kasutatavate märkide, aga ka väidete äärmise abstraktsiooni olemuse, mis muutujate struktuuris sisaldumise tõttu muutuvad väidete funktsioonideks.

Tõestusprotseduur ise, loogikas defineeritud kui demonstratsioon, kulgeb järeldamisreeglite alusel, mille alusel toimub üleminek ühelt tõestatud väitelt teisele, moodustades järjestikuse järelduste ahela. Levinuimad on kaks reeglit (asendus ja järeldus) ning deduktsiooni teoreem.

Asendusreegel. Matemaatikas on asendamine määratletud kui iga elemendi asendamine a antud hulga mõne teise elemendiga F ( a) samast komplektist. Matemaatilises loogikas on asendusreegel sõnastatud järgmiselt. Kui õige valem M lausearvutuses sisaldab tähte, ütleme A, seejärel asendades selle kõikjal, kus see esineb, suvalise tähega D, saame valemi, mis on sama tõene kui algne. See on võimalik ja vastuvõetav just seetõttu, et väidete arvutuses abstraheeritakse väidete (valemite) tähendusest... Arvesse lähevad ainult tähendused “tõene” või “vale”. Näiteks valemis M: A-->(B U A) kohas A asenda väljend ( A U B), selle tulemusena saame uue valemi ( A U B) -->[(B U( A U B) ].

Järelduste tegemise reegel vastab formaalses loogikas tingliku kategoorilise süllogismi modus ponens (jaatava režiimi) struktuurile. See näeb välja selline:

a-->b

a .

Antud avaldus ( a-> b) ja ka antud a. Seetõttu b.

Näiteks: kui sajab vihma, siis on teekate märg, sajab ( a), seetõttu on teekate märg ( b). Matemaatilises loogikas on see süllogism kirjutatud järgmiselt ( a-> b) a-> b.

Järeldus määratakse reeglina kaudsete jaotustega. Kui antakse vihje ( a-> b) ja selle eelkäija ( a), siis on meil õigus lisada põhjendusele (tõendile) ka selle implikatsiooni tagajärg ( b). Süllogism on kohustusliku iseloomuga, moodustades deduktiivsete tõestusvahendite arsenali, see tähendab, et see vastab absoluutselt matemaatilise arutluskäigu nõuetele.

Deduktsiooniteoreem mängib matemaatilises tõestuses olulist rolli - üldnimetus mitme teoreemi puhul, mille protseduur võimaldab kindlaks teha implikatsiooni tõestatavuse: A->B kui on loogiline järeldus valemid B valemist A. Propositsiooniarvutuse levinuimas versioonis (klassikalises, intuitsionistlikus ja muud tüüpi matemaatikas) väidab deduktsiooniteoreem järgmist. Kui on antud ruumide G süsteem ja eeldus A, millest reeglite kohaselt saame tuletada B G, A B(- tuletatavusmärk), järeldub, et ainult G eeldustest saab lause saada A-->B.

Vaatasime tüüpi, mis on otsene tõend. Samas kasutatakse loogikas ka nn kaudseid tõendeid, on kaudseid tõendeid, mis rulluvad lahti järgmise skeemi järgi. Kuna neil ei ole mitmetel põhjustel (uurimisobjekti ligipääsmatus, selle olemasolu reaalsuse kadumine jne) võimalust ühegi väite või teesi tõesuse otsest tõestamist läbi viia, loovad nad antiteesi. Nad on veendunud, et antitees viib vastuoludeni ja on seetõttu vale. Seejärel tehakse vale faktist antitees - välistatud keskmise seaduse alusel ( a v ) - järeldus lõputöö tõesuse kohta.

Matemaatikas kasutatakse laialdaselt üht kaudse tõestuse vormi – tõestust vastuoluga. See on eriti väärtuslik ja tegelikult hädavajalik matemaatika põhimõistete ja -sätete aktsepteerimisel, näiteks tegeliku lõpmatuse mõiste, mida ei saa muul viisil kasutusele võtta.

Vastuoluga tõestamise toimimine esitatakse matemaatilises loogikas järgmiselt. Antud valemite G ja eituse jada A(G, A). Kui sellest tuleneb B ja selle eitus (G, A B, mitte-B), siis võime järeldada, et valemijada G viitab tõele A. Teisisõnu, antiteesi väärusest järgneb teesi tõde.

Kui me ütleme "matemaatiline tõestus", peame silmas matemaatilise väite tõestust. Juhtimismeetodi järgi jagatakse tõendid otseseks ja kaudseks.

Otsene tõestus teoreemid T nimetatakse lõplikuks lausejadaks j 1 , j 2 , ..., jn selle teooria kohaselt, mis vastab järgmistele nõuetele:

1) pakkumine j 1 – mingi vaieldamatu algus;

2) iga lause j i järjestus või aksioom või saadud eelnevatest lausetest vastavalt mis tahes matemaatilise loogika järeldusreeglitele;

3) jada viimane lause jn Seal on T.

Tulenevalt sellest, et selle definitsiooni kohaselt on formaalsed tõestused väga pikad (koosnevad suurest arvust lausetest), on neid lühendatud, võimaldades aksioomide kõrval eeldusena ka varem tõestatud teoreeme ja definitsioone.

Tõestust nimetatakse kaudne(kaudne), kui teoreemi tõesust põhjendatakse vastuolulise teoreemi tõesuse ümberlükkamisega. Näiteks matemaatikas kasutavad nad sageli erinevaid valikuid kaudsed tõendid (tuntud alates koolikursus nimetatakse tõestuseks vastuoluga).

Teatud teoreemi kaudne tõestus T on see, et need pärinevad eitusest T ja tee sellest vale järeldus. Seda mahaarvamist nimetatakse absurdiks taandamiseks või absurdiks taandamiseks. Kaudse tõestuse põhivorm algab ja lõpeb lausega nagu . Sellise tõestuse lõpus öeldakse tavaliselt: "sellest tulenev vastuolu tõestab teoreemi."

Kaudsete tõendite hulgas on disjunktiivseid tõendeid, milles on lahknev otsus kujul " S Seal on R 1 , R 2", kus on võimalike juhtumite arv n³ 2 ja muidugi.

Tuginedes järelduste vormile, milles tõendeid tehakse, eristavad nad induktiivset ja deduktiivset. Induktiivne tõestused saadakse täieliku induktsiooni ja matemaatilise induktsiooni meetodite rakendamisel.

Matemaatilise induktsiooni meetod - eriline meetod tõend, rakendatav selliste lausete puhul nagu (" nÎ N) P(n), st. mingit omadust väljendavatele lausetele R, mis on omane mis tahes naturaalarvule n. Paljud avaldused sisaldavad täisarvu muutujat n, ja kui teil on vaja tõestada, et väide on tõene mis tahes arvu puhul n ³ n 0, siis saab seda teha kahes etapis:

1) Väidet kontrollitakse n = n 0 .

2) Eeldades, et väide on mõne jaoks tõene n = k³ n 0 , tõestage selle kehtivust jaoks n = k + 1.

Kui seda tehakse, osutub väide (1. etapp) tõeseks n = n 0 ja seega (2. etapp), jaoks n = n 0 + 1. Siis (samm 2) on see tõene n = n 0 + 2 jne.

Need sammud on matemaatilise induktsiooni meetodi aluseks.

NÄIDE Tõestagem matemaatilise induktsiooniga, et kõigi jaoks n³ 1 õige võrdsus

.

Arvutuste lihtsustamiseks tutvustame tähistust S(n) = 1 + 2 + … + n; seda tuleb kõigi jaoks tõestada n³ 1 võrdsus on tõsi.

1) jaoks n= 1 on ilmne.

2) Oletame, et jaoks n = k see on lõpetatud, s.t. . Tõestame, et siis kehtib ka algne võrdsus n = k+ 1, st. . Tõesti, S(k + 1) = 1 + 2 + … + k + (k + 1) =
= .

Kuna selle omaduse olemasolu otsene kontrollimine mis tahes naturaalarvu puhul on hulga lõpmatuse tõttu võimatu N , tehke seda: tuvastage selle atribuudi olemasolu n= 1 ja tõestage seda eeldusel, et see on olemas n= k, Kus k- meelevaldne naturaalarv, järeldub, et see omadus on olemas ka jaoks n=k+ 1, st. numbri jaoks "kohe järgneb k».

Pärast seda järeldavad nad, et väide on tõene (" nÎ N ) P(n), st. millise vara kohta R igal naturaalarvul on.

Ainuüksi tõenäosuse (tõenäosuse) järelduste, näiteks mittetäieliku induktsiooni või analoogia kasutamisel põhinevate otsuste lahtine hüpoteetiline põhjendus ei ole tõend. Valdav enamus matemaatilisi väiteid on tõestatud deduktiivse arutluskäigu – kindlusjärelduste – põhjal. Matemaatilised tõestused on enamasti puhtalt deduktiivsed tõendid. Need on deduktiivsete süllogismide ahelad.

Õiged järeldused

Järeldus- see on mõtlemise või loogilise tegevuse vorm, mille tulemusena ühest või mitmest meile teatud viisil teadaolevast seotud otsusest saadakse uus otsus, mis sisaldab uut tähendust.

Järelduse salvestamise vorm on järgmine: . Kirjutatud joone kohale R 1 , R 2 , ..., P n– esialgsed avaldused, neid nimetatakse eeldusteks. Rea alla kirjutatakse avaldus R, mis loogiliselt tuleneb algsetest ja mida nimetatakse järelduseks või järelduseks.

Järeldus tuleneb eeldustest kas formaalse loogika reeglite järgi (see on eelduste lihtne loogiline tagajärg), või tuletatakse matemaatika ja formaalse loogika reeglite järgi.

Järeldusi, mis võimaldavad üldistest hinnangutest konkreetseid konstrueerida, nimetatakse deduktiivseteks või deduktsioonideks.

Sellise arutluskäigu skeem on kirjutatud järgmiselt:

ja kutsutakse järelduse reegel.

NÄIDE Kui nelinurk on rööpkülik, siis selle diagonaalid lõikuvad ja poolitavad. ABCD- rööpkülik. Järelikult jagatakse selle ristuvad diagonaalid pooleks.

On veel kahte tüüpi deduktiivset arutluskäiku. Esitame nende diagrammid.

1) – eituse reegel.

NÄIDE Mis tahes ristküliku vastasküljed on paarides võrdsed. Nelinurgas ABCD vastasküljed ei ole paarides võrdsed, mis tähendab ABCD- mitte ristkülik.

2) – süllogismi reegel.

NÄIDE Kui lugeja on nimetajast väiksem, on murd õige. Kui murd on õige, siis on see väiksem kui 1. Seega, kui murdosa lugeja on nimetajast väiksem, on murd väiksem kui 1.

Järeldus, mille tulemusena saadakse teadmised antud hulga üksikute objektide kohta üldine järeldus, kutsus induktiivne või täieliku induktsiooni teel.

Selle diagramm näeb välja selline:

NÄIDE Naturaalarvu korrutamisel 5-ga on korrutise viimane koht 0 või 5.

Kui naturaalarv lõpeb 0-ga, siis korrutis lõpeb nulliga. Kui naturaalarv lõpeb 1-ga, siis korrutis lõpeb 5-ga jne. kuni 9. Käime läbi kõik võimalikud juhtumid. See tähendab, et kui naturaalarv korrutatakse 5-ga, on korrutise viimane number 0 või 5.

Enesetesti küsimused ja ülesanded

1. Luua võimalused järgmiste mõistete defineerimiseks algkursus matemaatika: matemaatiline avaldis, ühekohaline number, kahekohaline number, paaritu arv, jaotus, korrutis, sentimeeter.

2. Tõestage, kasutades samaväärsustabelit:

(AÚ B) Ù C Û ( A Ù C) Ú ( BÙ C);

Formaalsete tõestustega tegeleb matemaatika eriharu – tõestuse teooria. Matemaatika formaalseid tõestusi ei kasutata peaaegu kunagi, kuna need on inimese taju jaoks väga keerulised ja võtavad sageli palju ruumi. Tavaliselt on tõestus teksti kujul, milles autor, tuginedes aksioomidele ja varem tõestatud teoreemidele, kasutab loogilisi vahendeid, et näidata teatud väite tõesust. Erinevalt teistest teadustest ei ole empiirilised tõendid matemaatikas lubatud: kõik väited on eranditult tõestatud loogilistel viisidel. Matemaatikas on oluline roll matemaatilisel intuitsioonil ning analoogiatel erinevate objektide ja teoreemide vahel; Kõiki neid vahendeid kasutavad teadlased aga ainult tõendite otsimisel, tõendid ise ei saa sellistel vahenditel põhineda. Loomulikes keeltes kirjutatud tõestused ei pruugi olla väga üksikasjalikud, lootes, et koolitatud lugeja suudab üksikasjad ise rekonstrueerida. Tõenduse ranguse tagab asjaolu, et seda saab esitada dokumendina formaalses keeles (nii juhtub tõendite arvutikontrollil).

Ekslik tõestus on loogikavigu sisaldav tekst, st selline, millest ei saa vormilist tõestust rekonstrueerida. Matemaatika ajaloos on olnud juhtumeid, kus silmapaistvad teadlased avaldasid ebaõigeid “tõestusi”, kuid tavaliselt leidsid vead kiiresti nende kolleegid või nemad ise (üks kõige sagedamini valesti tõestatud teoreem on Fermat' viimane teoreem. Ikka leidub inimesi, kes seda ei tee. teavad, et see on tõestatud, ja pakuvad uusi ebaõigeid "tõendeid"). Ainult loomulikus või formaalses keeles "tõenduse" tunnistamine tõendiks võib olla ekslik; formaalne tõestus ei saa definitsiooni järgi olla ekslik.

Matemaatikas on lahendamata probleeme, millele teadlased väga tahaksid lahendust leida. Mõned neist leiate artiklist “Hüpotees”. Matemaatikaühingud annavad auhindu eriti huvitavate ja oluliste väidete tõestamise eest.

Teooriat nimetatakse täis, kui mõne väite puhul on see või selle eitus tõestatav ja järjekindel, kui selles pole tõestatavaid väiteid koos nende eitustega (või samaväärselt, kui selles on vähemalt üks tõestamatu väide). Enamik "piisavalt rikkaid" matemaatilised teooriad, nagu näitab Gödeli esimene mittetäielikkuse teoreem, on mittetäielikud või vastuolulised. Meie aja levinuim aksioomide kogum on Zermelo-Frenkeli aksioom valikuaksioomiga (kuigi mõned matemaatikud on selle kasutamise vastu). Sellel aksioomide süsteemil põhinev teooria ei ole täielik (näiteks kontiinumi hüpoteesi ei saa selles ei tõestada ega ümber lükata - eeldusel, et see teooria on järjepidev). Vaatamata selle teooria laialdasele kasutamisele matemaatikas, ei saa selle järjepidevust oma meetoditega tõestada. Sellegipoolest usub valdav enamus matemaatikuid selle järjepidevusse, arvates, et vastasel juhul oleks vastuolud juba ammu avastatud.

Ajalooline sketš

Esimestel tõestustel kasutati lihtsamaid loogilisi konstruktsioone. Eelkõige Thales of Miletos, kes tõestas, et läbimõõt jagab ringi pooleks, võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on võrdsed ja kaks ristuvat sirget moodustavad võrdsed nurgad, kasutas ilmselt oma töös kujundite painutamise ja peale asetamise meetodeid. tõendid. Kreeka filosoofi Proklose (5. sajand pKr) sõnul "vaatas ta seda küsimust mõnikord üldiselt, mõnikord selgusele tuginedes." Juba Pythagorase ajal liigub tõestus konkreetsetelt ideedelt puhtalt loogiliste järeldusteni. On teada, et irratsionaalsuse kontseptsiooni aluseks oleva ruudu külje ja diagonaali võrreldamatuse tõend kuulub suure tõenäosusega pythagoraslastele, kuigi see anti esmakordselt välja Eukleidese elementides (X), pärineb vastupidine ja põhineb arvude kahega jaguvuse teoorial. Võimalik, et eriarvamused matemaatilise tõestuse rollist olid Eudoxose ja Platoni konflikti üheks põhjuseks.

Q.E.D

Traditsiooniliselt tähistati tõestuse lõppu lühendiga "Q.E.D." ", alates Ladina väljend lat. Quod Erat Demonstrandum("Q.E.D").

Tänapäeval on tähis □ või ■, ‣, //, samuti venekeelne lühend “ jne.».

Kirjandus

• Iidsetest aegadest uusaja alguseni // Matemaatika ajalugu / Toimetanud A. P. Juškevitš, kolmes köites. - M.: Teadus, 1970. - T. I.

Märkmed

Vaata ka

• Konstruktiivne tõestus ( Inglise)

Loeng 10. Matemaatilise tõestuse meetodid

1. Matemaatilise tõestuse meetodid

2. Otsesed ja kaudsed tõendid. Tõestus vastuoluga.

3. Peamised järeldused

IN igapäevane elu Tihti peavad nad tõestusest rääkides silmas lihtsalt tehtud väite kontrollimist. Matemaatikas on kontrollimine ja tõestamine erinevad asjad, kuigi need on omavahel seotud. Olgu näiteks, et soovite tõestada, et kui nelinurgal on kolm täisnurka, siis on see ristkülik.

Kui võtta suvaline nelinurk, mille kolm nurka on õiged, ja neljandat mõõtes veendume, et see on tõepoolest õige, siis see kontroll muudab selle väite usutavamaks, kuid pole veel tõestatud.

Selle väite tõestamiseks vaatleme suvalist nelinurka, milles kolm nurka on õiged. Kuna igas kumeras nelinurgas on nurkade summa 360⁰, siis selles on see 360⁰. Kolme täisnurga summa on 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰) ja seetõttu on neljanda väärtus 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Kui nelinurga kõik nurgad on täisnurgad, siis on tegemist ristkülikuga, mistõttu see nelinurk on ristkülik. Q.E.D.

Pange tähele, et tõestuse olemus seisneb tõeste väidete (teoreemide, aksioomide, definitsioonide) jada konstrueerimises, millest loogiliselt tuleneb tõestatav väide.

Üleüldse väidet tõestada tähendab näidata, et see väide tuleneb loogiliselt tõeste ja seotud väidete süsteemist.

Loogikas arvatakse, et kui kõnealune väide tuleneb loogiliselt juba tõestatud väidetest, siis on see õigustatud ja sama tõene kui viimane.

Seega on matemaatilise tõestuse aluseks deduktiivne järeldus. Ja tõestus ise on järelduste ahel ja neist igaühe järeldus (v.a viimane) on eeldus ühes järgnevatest järeldustest.

Näiteks ülaltoodud tõendis saab eristada järgmisi järeldusi:

1. Iga kumera nelinurga nurkade summa on 360⁰; See kujund on kumer nelinurk, seetõttu on selle nurkade summa 360⁰.

2. Kui nelinurga kõigi nurkade summa ja nende kolme summa on teada, siis lahutamise teel saab leida neljanda väärtuse; antud nelinurga kõigi nurkade summa on 360⁰, kolme summa on 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), siis neljanda väärtus on 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Kui nelinurga kõik nurgad on täisnurgad, siis on see nelinurk ristkülik; Antud nelinurga kõik nurgad on täisnurgad, seega on tegemist ristkülikuga.

Kõik ülaltoodud järeldused tehakse järeldusreeglite kohaselt ja on seetõttu deduktiivsed.

Lihtsaim tõestus koosneb ühest järeldusest. See on näiteks tõestus väitele, et 6< 8.

Seega, rääkides matemaatilise tõestuse struktuurist, peame mõistma, et see hõlmab ennekõike väidet, mida tõestatakse, ja tõeste väidete süsteemi, mille abil tõestamine toimub.

Samuti tuleb märkida, et matemaatiline tõestus ei ole lihtsalt järelduste kogum, see on teatud järjekorras järjestatud järeldused.

Vastavalt manustamisviisile (vormile) nad eristavad otsene ja kaudne tõend. Varem käsitletud tõestus oli otsene – selles oli mõne tõese lause põhjal ja teoreemi tingimusi arvesse võttes üles ehitatud deduktiivsete järelduste ahel, mis viis tõese järelduseni.

Kaudsete tõendite näide on tõendid vastuolu tõttu . Selle olemus on järgmine. Olgu vaja tõestada teoreem

A ⇒ B. Vastuoluga tõestamisel eeldatakse, et teoreemi (B) järeldus on väär ja seetõttu on selle eitus tõene. Lisades lause "mitte B" tõestusprotsessis kasutatavate tõeliste eelduste hulgale (mille hulgas on ka tingimus A), loovad nad deduktiivsete järelduste ahela, kuni saadakse väide, mis on vastuolus ühe eeldusega ja eriti tingimus A. Kuidas tuvastatakse ainult selline vastuolu, lõpetatakse tõestusprotsess ja öeldakse, et tekkiv vastuolu tõestab teoreemi õigsust

Ülesanne 1. Tõesta, et kui a + 3 > 10, siis a ≠ 7. Vastuolu meetod.

Ülesanne 2. Tõesta, et kui x² on paarisarv, siis x on paarisarv. Vastupidine meetod.

Ülesanne 3. Antud on neli järjestikust naturaalarvu. Kas vastab tõele, et selle jada keskmiste arvude korrutis on 2 võrra suurem kui äärmuslike arvude korrutis? Mittetäieliku induktsiooni meetod.

Täielik induktsioon- see on tõestusmeetod, mille puhul väite tõesus tuleneb selle tõesusest kõigil konkreetsetel juhtudel.

Ülesanne 4. Tõesta, et iga liitnaturaalarvu, mis on suurem kui 4, kuid väiksem kui 20, saab esitada kahe summana algarvud.

Ülesanne 5. Kas vastab tõele, et kui naturaalarv n ei ole 3 kordne, siis on avaldise n² + 2 väärtus 3 kordne? Täieliku induktsiooni meetod.

Tõestus on järelduste ahel, mis teeb kindlaks antud otsuse tõesuse.

Toore jõu meetod on üks lihtsamaid tõendamismeetodeid. Näiteks selleks, et teha kindlaks, et antud arv, näiteks 103, on algarv, piisab, kui kontrollida, et see ei jaguks ühegi algarvuga, mis ei ületa arvu juurt. antud number, meie puhul, et see ei jagu 2, 3, 5, 7-ga.

Kui aga objektide arv on lõpmatu, ei ole enam võimalik kõiki valikuid läbida. Siin saab abiks matemaatilise induktsiooni meetod, mille abil saab tõestada väiteid lõpmatu hulga objektide kohta.

Üheks tõestusmeetodiks on Dirichlet’ printsiip (vt Dirichlet’ printsiip).

Tõestus - ainus viis tõe kindlakstegemine klassikalises matemaatikas. See ei võtnud matemaatikas kohe nii erakordset rolli. Näiteks Egiptuse ja Babüloonia matemaatikas kasutatakse arvutusvalemeid, s.o. Probleemide lahendamise “retsepte” arvati ühel või teisel viisil, neid katsetati eksperimentaalselt ja seejärel esitati motiveerimata avalduste kujul.

Tõestused ei ilmunud Kreeka geomeetriasse kohe. Archimedes (3. sajand eKr) rääkis varem "leitud, kuid mitte tõestatud" tulemustest. Alates 5. sajandist eKr. filosoofid, alustades Parmenidesest ja tema õpilasest Zenost, suures osas õppides oraatoritelt, on tuvastanud erinevaid meetodeid, kuidas ühelt tõeselt väitelt teisele liikuda. Parmenides sõnastab "välistatud keskkoha" seaduse (kahest vastandlikust väitest, üks ja ainult üks, on tõene) ning Zenon kasutab absurdi (vastuolu) taandamise meetodit.

Kuid need tehnikad ei tungi kohe matemaatikasse: ilmselt Demokritos, kes elas 5.–4. eKr e., tegi ilma tõenditeta. 4. sajandil. eKr. loogika võidab matemaatika. Kahtlemata on tõestus esmalt mitteilmsete väidete loogiline taandamine ilmseteks või juba teadaolevateks.

Meie kaasaegsed ei suuda täpselt taasluua pilti sellest, kuidas tekkis idee piirata võimalikult palju ilmsete väidete (aksioomide) hulka, mille tõepärasuses lepitakse kokku ja millest ülejäänud väited tuletatakse puhtalt loogiliselt (vt Aksiomaatika ja aksiomaatika meetod). Eukleidese elementides (3. sajand eKr) on grandioosne geomeetria aksiomatiseerimise programm juba täielikult lahendatud. Eukleidese reeglite kohaselt peavad tõestused olema puhtalt loogilised järeldused aksioomidest. Lõplikud geomeetrilised tekstid olid hoolikalt kaitstud täiendavate tõendite poole pöördumise eest. Eukleidese esimene kommentaator Proclus Diadochos (5. sajand) kirjutas: „...oleme selle teaduse pioneeridelt õppinud mitte arvestama usutavate järeldustega, kui tegemist on arutluskäiguga, mis peaks sisenema teadusesse. geomeetria." Vahepeal formaliseerib ja kataloogib Aristoteles järeldusreeglid. Tema väide nende lõplikkuse ja nähtavuse kohta pole vähem rabav kui väide aksioomide komplekti lõplikkuse kohta. Nende kahe kataloogi täielikkuse üle vaieldi alles 19. sajandil.

Reeglid, mida me loogilises arutluskäigus (tõestustes) kasutame, ei ületa lihtsaid loogilisi tehteid. Väide, mis kehtib teatud hulga (näiteks kõigi rööpkülikute) kohta, kehtib ka selle alamhulga (näiteks ristküliku) kohta. Kui väited on tõesed ja sellest järeldub, siis on see tõsi. Tõestades teoreemi, millel on vorm "see järgneb" ( - mis on antud, - mida on vaja tõestada), tuletatakse meile juba tuntud teoreemide abil mitmesuguseid tagajärgi, mis seejärel kombineeritakse ja nende põhjal tehakse uued järeldused. kombinatsioonid, kuni selle tulemusena ei tööta .

Teoreemi tõestamisel vastuoluga, "tuleneb" väite kehtivusest ja väite eitusest, tuletatakse vastulausete paari kehtivus, näiteks piisab väite või väite eituse tõestamisest. . Meenutagem üht klassikalist tõestust vastuoluga – Eukleidese tõestust algarvude hulga lõpmatuse kohta. Kui eeldame, et algarvude hulk on lõplik ja on nende täishulk, siis ei saa arv olla liitarvud, kuna see ei jagu ühegi algarvuga, kuid see ei saa olla algarvuga, kuna see on igaühest suurem.

Matemaatiliste väidete paikapidavuse kindlakstegemiseks on ka teisi viise. Nii saadi Archimedeses suurem osa tema tähelepanuväärsetest väidetest kõverjooneliste kujundite pindalade ja kehade mahtude kohta algselt puhtmehaanilise arutluskäigu abil raskuskeskmete, kangide tasakaalu jne abil. Seejärel ilmus suur hulk geomeetriliste väidete "mehaanilisi" tõestusi. Siin on üks elegantsemaid. Hulktahuka sisemisest punktist laskuvad ristid selle tahkudele. On vaja tõestada, et vähemalt ühe näo puhul on perpendikulaar näol endal, mitte selle pikendusel. "Mehaaniline" arutluskäik on järgmine. Tekib massiivne ebaühtlase tihedusega hulktahukas, mille raskuskese on antud punktis. Kui kõik perpendikulaarid langevad tahkude pikendustele, siis ei saa hulktahukas ühelegi näo peale seista ja saame igiliikuri. Kas seda arutlust saab pidada tõendiks? Geomeetrias aktsepteeritud seisukohast muidugi mitte. Pealegi puuduvad ametlikud viisid "mehaaniliste" tõestuste teisendamiseks geomeetrilisteks. Archimedes sai selle ülesandega hakkama, ta esitas leitud faktidele geomeetrilised tõendid.

Teoreemi tõestus ei anna tavaliselt teavet selle kohta, kuidas teoreemile tegelikult jõuda. Üks väheseid suurepäraseid matemaatikuid, kes lubas autsaiderid enda juurde loominguline labor, oli L. Euler. Euleri tekstid annavad meile võimaluse jälgida tema mõttekäiku. Näiteks peab ta lõpmatuks seeriaks

.

.

Avades sulgud ja arvutades koefitsiendi , saame . Muidugi mõistis Euler, et tema julge arutluskäik ei olnud tõend. Ta otsib kaudset kinnitust: ta arvutab suure hulga märkidega saadud seose vasaku ja parema külje, saab muid sarnaseid seoseid, sealhulgas juba Leibnizi poolt tõestatud: . Ta saab kindlustunde oma arutluskäigu õigsuses, kuigi ta ei suuda veel samaväärseid rangeid tõestusi läbi viia. Euler kasutab energiliselt oma tehnikat uute faktide avastamiseks. Võimalus avastada uusi fakte hüpoteeside kujul, võime uurida hüpoteeside usutavust, samuti võime läbi viia rangeid tõestusi, olulised komponendid matemaatiline loovus.

Alates 17. sajandist matemaatikud hakkavad mõistma, et erinevalt teiste teaduste esindajatest on neil olemas usaldusväärne viis tõe kindlakstegemiseks – tõestus. Sellega on seotud arvukad katsed kanda tõendeid matemaatikast kaugemale. I. Newton ehitab mehaanika aksioomidele, järgides Eukleidese “Principia” mudelit. 17. sajandi Hollandi materialistlik filosoof. B. Spinoza aksiomatiseerib eetikat. Alates prantsuse matemaatikust ja füüsikust P. S. Laplace’ist (1749–1827) püüdsid paljud juurutada matemaatilist arutluskäiku õiguspraktikasse. Probleeme püüti lahendada lõputult inimsuhted matemaatikat kasutades. Kuid loomulikult hakkasid tõestused matemaatikas endas mängima olulist rolli.

Meie sajandi alguseks ulatub aksiomaatiline meetod geomeetriast kaugemale. Enamik Pythagorase ajast teadaolevaid fakte arvude kohta olid konkreetsete arvude konkreetsete vaatluste, mitte üldiste teoreemide olemus. 16. sajandil teoreemid ilmusid algebrasse (autor G. Cardano) 17. sajandil. – arvuteoorias (autor. P. Fermat). Siin matemaatikud aga aksiomaatiliste teooriatega ei tegelenud ja tõestuse mõistmine oli eukleidieelsel tasemel, mil algväidete hulk pole fikseeritud. 19. sajandil algab kogu matemaatika aksiomatiseerumine. Uuel tasemel vormistatakse ja loetletakse järeldusreeglid – üleminek ühelt väitelt teisele. See võimaldas tõestada, et mõnda väidet ei saa aksioomidest tuletada. Üldise üllatuse tekitas saksa matemaatiku K. Gödeli arutluskäik, et aritmeetikas ja üldiselt igas seda sisaldavas aksiomaatilises teoorias on selline teoreem, et aksioomidest ei saa tuletada ei teda ennast ega selle eitust.