Kolmnurga ja trapetsi definitsioonivalemi keskjoon. Trapetsi keskjoon

Trapetsi pindala. Tervitused! Käesolevas väljaandes vaatleme seda valemit. Miks ta täpselt selline on ja kuidas teda mõista. Kui on mõistmist, siis pole vaja seda õpetada. Kui soovite lihtsalt seda valemit vaadata ja kiiresti, saate kohe lehte alla kerida))

Nüüd üksikasjalikult ja järjekorras.

Trapets on nelinurk, selle nelinurga kaks külge on paralleelsed, ülejäänud kaks mitte. Need, mis pole paralleelsed, on trapetsi alused. Ülejäänud kahte nimetatakse külgedeks.

Kui küljed on võrdsed, nimetatakse trapetsi võrdhaarseks. Kui üks külgedest on alustega risti, siis nimetatakse sellist trapetsi ristkülikukujuliseks.

IN klassikaline vorm Trapets on kujutatud järgmiselt: suurem alus on all ja väiksem alus üleval. Kuid keegi ei keela teda kujutada ja vastupidi. Siin on visandid:

Järgmine oluline kontseptsioon.

Trapetsi keskjoon on segment, mis ühendab külgede keskpunkte. Keskmine joon on paralleelne trapetsi alustega ja võrdne nende poolsummaga.

Nüüd süveneme sügavamale. Miks see nii on?

Mõelge alustega trapetsile a ja b ja keskmise joonega l ja tehke mõned lisakonstruktsioonid: tõmmake sirgjooned läbi aluste ja risti läbi keskjoone otste, kuni need lõikuvad alustega:

*Tippude ja muude punktide tähttähistusi ei lisata tahtlikult, et vältida tarbetuid tähistusi.

Vaata, kolmnurgad 1 ja 2 on kolmnurkade teise võrdusmärgi järgi võrdsed, kolmnurgad 3 ja 4 on samad. Kolmnurkade võrdsusest tuleneb elementide võrdsus, nimelt jalad (need on tähistatud vastavalt sinise ja punasega).

Nüüd tähelepanu! Kui "lõigame" mõtteliselt ära sinised ja punased segmendid alumisest alusest, siis jääb meile segment (see on ristküliku külg), mis on võrdne keskmise joonega. Järgmiseks, kui “liimime” lõigatud sinised ja punased segmendid trapetsi ülemise aluse külge, siis saame ka lõigu (see on ka ristküliku külg), mis on võrdne trapetsi keskjoonega.

Sain aru? Selgub, et aluste summa on võrdne trapetsi kahe keskmise joonega:

Vaadake teist selgitust

Teeme nii - konstrueerime trapetsi alumist alust läbiva sirge ja punkte A ja B läbiv sirge:

Saame kolmnurgad 1 ja 2, need on piki külg- ja külgnevaid nurki võrdsed (teine ​​kolmnurkade võrdsuse märk). See tähendab, et saadud segment (visandil on see tähistatud sinisega) võrdub trapetsi ülemise alusega.

Nüüd kaaluge kolmnurka:

*Selle trapetsi keskjoon ja kolmnurga keskjoon langevad kokku.

On teada, et kolmnurk on võrdne poolega sellega paralleelsest alusest, see tähendab:

Olgu, me mõtlesime selle välja. Nüüd trapetsi pindala kohta.

Trapetsi pindala valem:

Nad ütlevad: trapetsi pindala on võrdne poole selle aluste ja kõrguse summa korrutisega.

See tähendab, et selgub, et see võrdub keskjoone ja kõrguse korrutisega:

Tõenäoliselt olete juba märganud, et see on ilmne. Geomeetriliselt saab seda väljendada järgmiselt: kui lõigata kolmnurgad 2 ja 4 trapetsist mõtteliselt ära ja asetada need vastavalt kolmnurkadele 1 ja 3:

Siis saame ristküliku, mille pindala on võrdne meie trapetsi pindalaga. Selle ristküliku pindala võrdub keskjoone ja kõrguse korrutisega, see tähendab, et võime kirjutada:

Aga mõte pole siin muidugi kirjutamises, vaid mõistmises.

Lae alla (vaata) artikli materjal *pdf formaadis

See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander.

Trapets on erijuhtum nelinurk, mille üks külgede paar on paralleelne. Mõiste "trapets" pärineb kreeka sõnast τράπεζα, mis tähendab "laud", "laud". Selles artiklis vaatleme trapetsi tüüpe ja selle omadusi. Lisaks mõtleme välja, kuidas arvutada selle üksikuid elemente Näiteks võrdhaarse trapetsi diagonaal, keskjoon, pindala jne. Materjal on esitatud elementaarse populaarse geomeetria stiilis, st kergesti ligipääsetaval kujul .

Üldine informatsioon

Kõigepealt selgitame välja, mis on nelinurk. See joonis on nelja külje ja nelja tipuga hulknurga erijuhtum. Kaks nelinurga tippu, mis ei ole kõrvuti, nimetatakse vastandlikeks. Sama võib öelda kahe mittekülgneva külje kohta. Peamised nelinurkade tüübid on rööpkülik, ristkülik, romb, ruut, trapets ja deltakujuline.

Nii et tuleme tagasi trapetside juurde. Nagu me juba ütlesime, on sellel joonisel kaks paralleelset külge. Neid nimetatakse alusteks. Ülejäänud kaks (mitteparalleelsed) on külgmised küljed. Eksamimaterjalides ja erinevates testid väga sageli võib leida trapetsidega seotud ülesandeid, mille lahendamine eeldab õpilaselt sageli programmis ettenägematuid teadmisi. Kooli geomeetria kursus tutvustab õpilastele nurkade ja diagonaalide omadusi, samuti võrdhaarse trapetsi keskjoont. Kuid lisaks sellele on mainitud geomeetrilisel kujundil muid omadusi. Aga nendest veidi hiljem...

Trapetsi tüübid

Seda kujundit on mitut tüüpi. Kuid enamasti on tavaks pidada neist kahte - võrdhaarset ja ristkülikukujulist.

1. Ristkülikukujuline trapets on kujund, mille üks külgedest on alustega risti. Tema kaks nurka on alati võrdsed üheksakümne kraadiga.

2. Võrdhaarne trapets on geomeetriline kujund, mille küljed on üksteisega võrdsed. See tähendab, et aluste nurgad on ka paarikaupa võrdsed.

Trapetsi omaduste uurimise metoodika põhiprintsiibid

Peamine põhimõte hõlmab nn ülesande lähenemisviisi kasutamist. Tegelikult pole selle kujundi uusi omadusi vaja geomeetria teoreetilises kursuses tutvustada. Neid saab avastada ja sõnastada erinevate probleemide (soovitavalt süsteemsete) lahendamise käigus. Samas on väga oluline, et õpetaja teaks, milliseid ülesandeid tuleb õpilastele ühel või teisel hetkel anda haridusprotsess. Lisaks saab iga trapetsi omadust esitada ülesannete süsteemi võtmeülesandena.

Teine põhimõte on trapetsi "tähelepanuväärsete" omaduste uurimise nn spiraalne korraldus. See tähendab õppeprotsessis naasmist antud üksikute tunnuste juurde geomeetriline kujund. Nii on õpilastel neid lihtsam meeles pidada. Näiteks nelja punkti omadus. Seda saab tõestada nii sarnasuse uurimisel kui ka hiljem vektorite kasutamisel. Ja joonise külgmiste külgedega külgnevate kolmnurkade samaväärsust saab tõestada, rakendades mitte ainult võrdse kõrgusega kolmnurkade omadusi, mis on tõmmatud samal sirgel asuvatele külgedele, vaid ka kasutades valemit S = 1/2( ab*sinα). Lisaks saab töötada sissekirjutatud trapetsil või täisnurksel kolmnurgal kirjutatud trapetsil jne.

Geomeetrilise kujundi “programmiväliste” tunnuste kasutamine sisus koolikursus- see on ülesandepõhine tehnoloogia nende õpetamiseks. Pidev uuritavatele omadustele viitamine teiste teemade läbimise ajal võimaldab õpilastel saada sügavamaid teadmisi trapetsist ja tagab määratud ülesannete lahendamise õnnestumise. Niisiis, alustame selle imelise figuuri uurimist.

Võrdhaarse trapetsi elemendid ja omadused

Nagu me juba märkisime, on sellel geomeetrilisel joonisel võrdsed küljed. Seda tuntakse ka kui õiget trapetsi. Miks see nii tähelepanuväärne on ja miks see sellise nime sai? Selle joonise eripära on see, et mitte ainult küljed ja nurgad alustel on võrdsed, vaid ka diagonaalid. Lisaks on võrdhaarse trapetsi nurkade summa 360 kraadi. Kuid see pole veel kõik! Kõigist teadaolevatest trapetsidest saab ringina kirjeldada ainult võrdhaarset. See on tingitud asjaolust, et selle joonise vastasnurkade summa on 180 kraadi ja ainult sellel tingimusel saab kirjeldada nelinurka ümbritsevat ringi. Vaadeldava geomeetrilise kujundi järgmine omadus on see, et kaugus aluse tipust kuni vastastipu projektsioonini seda alust sisaldavale sirgele on võrdne keskjoonega.

Nüüd mõtleme välja, kuidas leida võrdhaarse trapetsi nurki. Vaatleme selle probleemi lahendust, eeldusel, et joonise külgede mõõtmed on teada.

Lahendus

Tavaliselt tähistatakse nelinurka tähtedega A, B, C, D, kus BS ja AD on alused. Võrdhaarse trapetsi küljed on võrdsed. Eeldame, et nende suurus on võrdne X-ga ja aluste suurused on võrdsed Y ja Z (vastavalt väiksemad ja suuremad). Arvutamiseks on vaja nurgast B tõmmata kõrgus H. Tulemuseks on täisnurkne kolmnurk ABN, kus AB on hüpotenuus ning BN ja AN on jalad. Arvutame jala AN suuruse: lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame tulemuse 2-ga. Kirjutame selle valemi kujul: (Z-Y)/2 = F. Nüüd arvutame akuutse kolmnurga nurk, kasutame funktsiooni cos. Saame järgmise kirje: cos(β) = X/F. Nüüd arvutame nurga: β=arcos (X/F). Lisaks, teades ühte nurka, saame määrata teise, selleks teostame elementaarse aritmeetilise toimingu: 180 - β. Kõik nurgad on määratletud.

Sellele probleemile on ka teine ​​lahendus. Esiteks langetame selle nurgast kõrgusele H. Arvutame jala BN väärtuse. Me teame, et hüpotenuusi ruut täisnurkne kolmnurk võrdne jalgade ruutude summaga. Saame: BN = √(X2-F2). Järgmisena kasutame trigonomeetriline funktsioon tg. Selle tulemusena saame: β = arctan (BN/F). Leitud on teravnurk. Järgmisena määratleme selle sarnaselt esimese meetodiga.

Võrdhaarse trapetsi diagonaalide omadus

Kõigepealt paneme kirja neli reeglit. Kui võrdhaarse trapetsi diagonaalid on risti, siis:

Joonise kõrgus võrdub kahega jagatud aluste summaga;

Selle kõrgus ja keskjoon on võrdsed;

Ringi keskpunkt on punkt, kus ;

Kui külgkülg jagatakse puutepunktiga segmentideks H ja M, siis on see võrdne ruutjuur nende segmentide tooted;

Puutepunktidest, trapetsi tipust ja sisse kirjutatud ringi keskpunktist moodustatud nelinurk on ruut, mille külg on raadiusega võrdne;

Figuuri pindala on võrdne aluste korrutisega ning poole aluste summa ja selle kõrguse korrutisega.

Sarnased trapetsid

See teema on selle omaduste uurimiseks väga mugav Näiteks diagonaalid jagavad trapetsi neljaks kolmnurgaks ja alustega külgnevad kolmnurgad on sarnased ja külgedega külgnevad on võrdse suurusega. Seda väidet võib nimetada kolmnurkade omaduseks, milleks trapets on jagatud diagonaalidega. Selle väite esimene osa on tõestatud sarnasuse märgi kaudu kahe nurga all. Teise osa tõestamiseks on parem kasutada allpool toodud meetodit.

Teoreemi tõestus

Aktsepteerime, et joonis ABSD (AD ja BS on trapetsi alused) on jagatud diagonaalidega VD ja AC. Nende ristumispunkt on O. Saame neli kolmnurka: AOS - alumisel alusel, BOS - ülemisel alusel, ABO ja SOD külgedel. Kolmnurkadel SOD ja BOS on ühine kõrgus, kui lõigud BO ja OD on nende alused. Leiame, et nende pindalade erinevus (P) on võrdne nende segmentide erinevusega: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Seetõttu PSOD = PBOS/K. Samamoodi on kolmnurkadel BOS ja AOB ühine kõrgus. Nende aluseks võtame segmendid CO ja OA. Saame PBOS/PAOB = CO/OA = K ja PAOB = PBOS/K. Sellest järeldub, et PSOD = PAOB.

Materjali kinnistamiseks soovitatakse õpilastel leida seos saadud kolmnurkade pindalade vahel, millesse trapets on jagatud diagonaalidega, lahendades järgmise ülesande. On teada, et kolmnurkadel BOS ja AOD on võrdsed pindalad, selleks on vaja leida trapetsi pindala. Kuna PSOD = PAOB, tähendab see PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Kolmnurkade BOS ja AOD sarnasusest järeldub, et BO/OD = √(PBOS/PAOD). Seetõttu PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Saame PSOD = √(PBOS*PAOD). Siis PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Sarnasuse omadused

Selle teema arendamist jätkates võib tõestada teist huvitavaid funktsioone trapetsikujuline. Seega saab sarnasust kasutades tõestada selle segmendi omadust, mis läbib selle geomeetrilise kujundi diagonaalide lõikepunkti moodustatud punkti paralleelselt alustega. Selleks lahendame järgmise ülesande: peame leidma punkti O läbiva lõigu RK pikkuse. Kolmnurkade AOD ja BOS sarnasusest järeldub, et AO/OS = AD/BS. Kolmnurkade AOP ja ASB sarnasusest järeldub, et AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Siit saame, et RO=BS*BP/(BS+BP). Samamoodi järeldub kolmnurkade DOC ja DBS sarnasusest, et OK = BS*AD/(BS+AD). Siit saame, et RO=OK ja RK=2*BS*AD/(BS+AD). Diagonaalide lõikepunkti läbiv segment, mis on paralleelne alustega ja ühendab kahte külgmist külge, jagatakse lõikepunktiga pooleks. Selle pikkus on figuuri aluste harmooniline keskmine.

Vaatleme järgmist trapetsi omadust, mida nimetatakse nelja punkti omaduseks. Diagonaalide lõikepunktid (O), külgede jätkumise lõikepunkt (E), samuti aluste keskpunktid (T ja F) asuvad alati samal sirgel. Seda saab hõlpsasti tõestada sarnasuse meetodiga. Saadud kolmnurgad BES ja AED on sarnased ning mõlemas jagavad mediaanid ET ja EJ tipunurga E võrdseteks osadeks. Seetõttu asuvad punktid E, T ja F samal sirgel. Samamoodi asuvad samal sirgel punktid T, O ja Zh. Kõik see tuleneb kolmnurkade BOS ja AOD sarnasusest. Siit järeldame, et kõik neli punkti - E, T, O ja F - asuvad samal sirgel.

Sarnaseid trapetse kasutades saate paluda õpilastel leida lõigu pikkuse (LS), mis jagab joonise kaheks sarnaseks. See segment peab olema alustega paralleelne. Kuna saadud trapetsid ALFD ja LBSF on sarnased, siis BS/LF = LF/AD. Sellest järeldub, et LF=√(BS*AD). Leiame, et lõigu, mis jagab trapetsi kaheks sarnaseks, pikkus on võrdne joonise aluste pikkuste geomeetrilise keskmisega.

Kaaluge järgmist sarnasuse omadust. See põhineb segmendil, mis jagab trapetsi kaheks võrdseks numbriks. Eeldame, et trapetsikujuline ABSD on segmendiga EH jagatud kaheks sarnaseks. Tipust B jäetakse välja kõrgus, mis jagatakse segmendiga EN kaheks osaks - B1 ja B2. Saame: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ja PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Järgmiseks koostame süsteemi, mille esimene võrrand on (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 ja teine ​​(BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Sellest järeldub, et B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ja BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Leiame, et trapetsi kaheks võrdseks jagava lõigu pikkus on võrdne aluste pikkuste ruutkeskmisega: √((BS2+AD2)/2).

Sarnasuse leiud

Seega oleme tõestanud, et:

1. Trapetsi külgmiste külgede keskpunkte ühendav segment on paralleelne AD ja BS-ga ning võrdub BS ja AD aritmeetilise keskmisega (trapetsi aluse pikkus).

2. AD ja BS-ga paralleelsete diagonaalide lõikepunkti O läbiv sirge on võrdne arvude AD ja BS harmoonilise keskmisega (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Trapetsi sarnasteks jagaval lõigul on aluste BS ja AD geomeetrilise keskmise pikkus.

4. Figuuri kaheks võrdseks jagaval elemendil on arvude AD ja BS ruudu keskmine pikkus.

Materjali kinnistamiseks ja vaadeldavate segmentide vahelise seose mõistmiseks peab õpilane need konstrueerima konkreetse trapetsi jaoks. Ta suudab hõlpsasti kuvada keskjoont ja lõiku, mis läbib punkti O - joonise diagonaalide ristumiskohta - paralleelselt alustega. Aga kus asuvad kolmas ja neljas? See vastus viib õpilase soovitud seose avastamiseni keskmiste väärtuste vahel.

Lõik, mis ühendab trapetsi diagonaalide keskpunkte

Mõelge selle joonise järgmisele omadusele. Eeldame, et segment MH on alustega paralleelne ja poolitab diagonaalid. Nimetagem ristumispunkte Ш ja Ш. See segment võrdub poolega aluste erinevusest. Vaatame seda üksikasjalikumalt. MS on ABS-kolmnurga keskjoon, see on võrdne BS/2-ga. MSH on kolmnurga ABD keskjoon, see on võrdne AD/2-ga. Siis saame, et ShShch = MSh-MSh, seega ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Raskuskese

Vaatame, kuidas see element antud geomeetrilise kujundi jaoks määratakse. Selleks on vaja aluseid vastassuundades pikendada. Mida see tähendab? Peate lisama alumise aluse ülemisele alusele - mis tahes suunas, näiteks paremale. Ja alumist pikendame ülemise pikkuse võrra vasakule. Järgmisena ühendame need diagonaalselt. Selle lõigu lõikepunkt joonise keskjoonega on trapetsi raskuskese.

Sissekirjutatud ja piiritletud trapetsid

Loetleme selliste kujundite omadused:

1. Trapetsi saab kirjutada ainult siis, kui see on võrdhaarne.

2. Trapetsi saab kirjeldada ümber ringi, eeldusel, et nende aluste pikkuste summa on võrdne külgede pikkuste summaga.

Inringi järeldused:

1. Kirjeldatud trapetsi kõrgus on alati võrdne kahe raadiusega.

2. Kirjeldatud trapetsi külge vaadeldakse ringi keskpunktist täisnurga all.

Esimene tagajärg on ilmne, kuid teise tõestamiseks on vaja kindlaks teha, et nurk SOD on õige, mis tegelikult ei tähenda samuti palju tööd. Aga teadmised sellest kinnisvarast võimaldab ülesannete lahendamisel kasutada täisnurkset kolmnurka.

Nüüd täpsustame neid tagajärgi ringi sisse kirjutatud võrdhaarse trapetsi jaoks. Leiame, et kõrgus on joonise aluste geomeetriline keskmine: H=2R=√(BS*AD). Trapetsi ülesannete lahendamise põhitehnikat (kahe kõrguse joonistamise põhimõte) harjutades peab õpilane lahendama järgmise ülesande. Eeldame, et BT on võrdhaarse kujundi ABSD kõrgus. On vaja leida segmendid AT ja TD. Kasutades ülalkirjeldatud valemit, pole seda keeruline teha.

Nüüd mõtleme välja, kuidas määrata ringi raadius, kasutades piiritletud trapetsi pindala. Langetame kõrguse tipust B alusele AD. Kuna ringjoon on kantud trapetsi, siis BS+AD = 2AB või AB = (BS+AD)/2. Kolmnurgast ABN leiame sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Saame PABSD = (BS+BP)*R, sellest järeldub, et R = PABSD/(BS+BP).

Kõik trapetsi keskjoone valemid

Nüüd on aeg liikuda selle geomeetrilise kujundi viimase elemendi juurde. Mõelgem välja, millega võrdub trapetsi keskjoon (M):

1. Läbi aluste: M = (A+B)/2.

2. Läbi kõrgus, alus ja nurgad:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Läbi kõrgus, diagonaalid ja nendevaheline nurk. Näiteks D1 ja D2 on trapetsi diagonaalid; α, β - nendevahelised nurgad:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Läbiv pindala ja kõrgus: M = P/N.

Nimetatakse nelinurka, mille kaks külge on paralleelsed trapetsikujuline.

Trapetsi paralleelseid külgi nimetatakse trapetsiks põhjustel, ja neid külgi, mis pole paralleelsed, nimetatakse küljed. Kui küljed on võrdsed, on selline trapets võrdhaarne. Aluste vahelist kaugust nimetatakse trapetsi kõrguseks.

Keskmine joon trapets

Keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgede keskpunkte. Trapetsi keskjoon on paralleelne selle alustega.

Teoreem:

Kui ühe külje keskosa läbiv sirgjoon on paralleelne trapetsi alustega, siis poolitab see trapetsi teise külje.

Teoreem:

Keskjoone pikkus on võrdne keskmisega aritmeetilised pikkused selle alused

MN keskjoon, AB ja CD - alused, AD ja BC - külgmised küljed

MN = (AB + DC)/2

Teoreem:

Trapetsi keskjoone pikkus on võrdne selle aluste pikkuste aritmeetilise keskmisega.

Peamine ülesanne: Tõesta, et trapetsi keskjoon poolitab lõigu, mille otsad asuvad trapetsi aluste keskel.

Kolmnurga keskjoon

Kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse kolmnurga keskjooneks. See on paralleelne kolmanda küljega ja selle pikkus võrdub poolega kolmanda külje pikkusest.
Teoreem: Kui kolmnurga ühe külje keskpunkti lõikuv sirge on paralleelne kolmnurga teise küljega, siis poolitab see kolmanda külje.

AM = MC ja BN = NC =>

Kolmnurga ja trapetsi keskjoone omaduste rakendamine

Segmendi jagamine teatud arvuks võrdseteks osadeks.
Ülesanne: Jaga lõik AB 5 võrdseks osaks.
Lahendus:
Olgu p juhuslik kiir, mille alguspunkt on punkt A ja mis ei asu sirgel AB. Jätame järjestikku kõrvale 5 võrdset segmenti p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Ühendame A 5 B-ga ja tõmbame läbi punktide A 4, A 3, A 2 ja A 1 sellised jooned, mis on paralleelsed punktiga A 5 B. Need lõikuvad punktiga AB vastavalt punktides B 4, B 3, B 2 ja B 1. Need punktid jagavad lõigu AB 5 võrdseks osaks. Tõepoolest, trapetsist BB 3 A 3 A 5 näeme, et BB 4 = B 4 B 3. Samamoodi saame trapetsist B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Kui trapetsist B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Siis B 2 AA 2-st järeldub, et B 2 B 1 = B 1 A. Kokkuvõtteks saame:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
On selge, et lõigu AB jagamiseks teiseks arvuks võrdseteks osadeks peame projitseerima sama palju võrdseid lõike kiirele p. Ja seejärel jätkake ülalkirjeldatud viisil.

Trapetsi keskjoon on võrdne poolega summast põhjustel. See ühendab trapetsi külgede keskpunkte ja on alati alustega paralleelne.

Kui trapetsi alused on võrdsed a ja b-ga, siis keskmine joon m on võrdne m=(a+b)/2.

Kui trapetsi pindala on teada, siis keskmine joon on leitav ja muul viisil, jagades trapetsi S pindala trapetsi kõrgusega h:



See on, trapetsi keskjoon m = S/h

Trapetsi keskjoone pikkuse leidmiseks on palju võimalusi. Meetodi valik sõltub algandmetest.

Siin trapetsi keskjoone pikkuse valemid:

Trapetsi keskjoone leidmiseks võite kasutada ühte viiest valemist (ma ei kirjuta neid välja, kuna need on juba teistes vastustes), kuid seda ainult juhtudel, kui vajame lähteandmete väärtusi on teada.

Praktikas peame lahendama palju probleeme, kui andmeid pole piisavalt ja õige suurus peab ikka leidma.

Siin on sellised valikud

samm-sammult lahendus, et tuua kõik valemi alla;

teiste valemite abil koostada ja lahendada vajalikud võrrandid.

trapetsi keskkoha pikkuse leidmine meile vajaliku valemi abil teiste geomeetria ja kasutamise alaste teadmiste abil algebralised võrrandid:

Meil on võrdhaarne trapets, selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, kõrgus on 9 cm.

Teeme joonise ja näeme, et seda probleemi ei saa otsekohe lahendada (andmeid pole piisavalt)



Seetõttu lihtsustame veidi ja joonistame kõrguse läbi diagonaalide ristumispunkti.

See on esimene oluline samm, mis viib kiire lahenduseni.

tähistame kõrgust kahe tundmatuga, näeme vajalikke võrdhaarseid kolmnurki külgedega X Ja juures



ja me leiame selle hõlpsalt üles põhjuste summa trapetsid

see on võrdne 2х+2у

Ja alles nüüd saame rakendada valemit kus

ja see on võrdne x+y ja vastavalt ülesande tingimustele on see kõrguse pikkus võrdne 9 cm.

Ja nüüd oleme tuletanud mitu momenti võrdhaarse trapetsi jaoks, mille diagonaalid lõikuvad täisnurga all

sellistes trapetsides

keskmine joon on alati võrdne kõrgusega

pindala on alati võrdne kõrguse ruuduga.

Trapetsi keskjoon on lõik, mis ühendab trapetsi külgede keskpunkte.

Mis tahes trapetsi keskjoont on lihtne leida, kui kasutate valemit:

m = (a + b)/2

m on trapetsi keskjoone pikkus;

a, b trapetsi aluste pikkused.

Niisiis, trapetsi keskjoone pikkus on võrdne poole aluste pikkuste summast.

Trapetsi keskjoone valemi põhivalem: trapetsi keskjoone pikkus võrdub poolega aluste a ja b summast: MN=(a+b)2. Selle valemi tõestuseks on kolmnurga keskjoone valem Mis tahes trapetsi saab kujutada pärast otstest väiksema kõrguse aluse tõmbamist suuremale alusele Arvestatakse 2 saadud kolmnurka ja ristkülikut Pärast seda on trapetsi keskjoone valem kergesti tõestatav.

Trapetsi keskjoone leidmiseks peame teadma aluste väärtusi.

Pärast nende väärtuste leidmist või võib-olla olid need meile teada, liidame need arvud kokku ja jagame need lihtsalt pooleks.

Nii see juhtub trapetsi keskjoon.

Minu kooli geomeetria tundide mäletamist mööda tuleb trapetsi keskjoone pikkuse leidmiseks liita aluste pikkused ja jagada kahega. Seega on trapetsi keskjoone pikkus võrdne poolega aluste summast.

Selles artiklis püüame võimalikult täielikult kajastada trapetsi omadusi. Eelkõige räägime trapetsi üldistest omadustest ja omadustest, samuti trapetsi sisse kirjutatud trapetsi ja ringi omadustest. Samuti käsitleme võrdhaarse ja ristkülikukujulise trapetsi omadusi.

Näide probleemi lahendamisest käsitletud omaduste abil aitab teil selle peas kohtadesse sorteerida ja materjali paremini meelde jätta.

Trapets ja kõik-kõik-kõik

Alustuseks tuletagem lühidalt meelde, mis on trapets ja millised muud mõisted on sellega seotud.

Niisiis, trapets on nelinurkne kujund, mille kaks külge on üksteisega paralleelsed (need on alused). Ja need kaks pole paralleelsed – need on küljed.

Trapetsis saab kõrgust langetada - risti alustega. Joonistatakse keskjoon ja diagonaalid. Samuti on võimalik joonestada poolitaja trapetsi mis tahes nurga alt.

Umbes erinevaid omadusi, mis on seotud kõigi nende elementide ja nende kombinatsioonidega, räägime nüüd.

Trapetsi diagonaalide omadused

Selguse huvides visandage lugemise ajal paberile trapets ACME ja tõmmake sellesse diagonaalid.

1. Kui leiate iga diagonaali (nimetame neid punkte X ja T) keskpunktid ja ühendate need, saate lõigu. Üks trapetsi diagonaalide omadusi on see, et segment HT asub keskjoonel. Ja selle pikkuse saab, jagades aluste erinevuse kahega: ХТ = (a – b)/2.
2. Meie ees on sama trapets ACME. Diagonaalid lõikuvad punktis O. Vaatame kolmnurki AOE ja MOK, mis on moodustatud diagonaalide lõikudest koos trapetsi alustega. Need kolmnurgad on sarnased. Kolmnurkade sarnasuskoefitsienti k väljendatakse trapetsi aluste suhte kaudu: k = AE/KM.
   Kolmnurkade AOE ja MOK pindalade suhet kirjeldab koefitsient k 2 .
3. Sama trapets, samad diagonaalid, mis lõikuvad punktis O. Ainult seekord vaatleme kolmnurki, mille diagonaalide lõigud moodustasid koos trapetsi külgedega. Kolmnurkade AKO ja EMO pindalad on võrdse suurusega – nende pindalad on samad.
4. Teine trapetsi omadus hõlmab diagonaalide ehitamist. Seega, kui jätkata AK ja ME külgi väiksema aluse suunas, siis varem või hiljem need mingis punktis ristuvad. Järgmisena tõmmake sirgjoon läbi trapetsi aluste keskosa. See lõikub alustega punktides X ja T.
   Kui nüüd pikendada sirget XT, siis see ühendab kokku trapetsi O diagonaalide lõikepunkti, punkti, kus ristuvad X ja T aluste külgede ja keskkoha pikendused.
5. Läbi diagonaalide lõikepunkti joonistame lõigu, mis ühendab trapetsi aluseid (T asub väiksemal alusel KM, X suuremal AE). Diagonaalide lõikepunkt jagab selle lõigu järgmises suhtes: TO/OX = KM/AE.
6. Nüüd joonistame läbi diagonaalide lõikepunkti trapetsi (a ja b) alustega paralleelse lõigu. Lõikepunkt jagab selle kaheks võrdseks osaks. Lõigu pikkuse leiate valemi abil 2ab/(a + b).

Trapetsi keskjoone omadused

Tõmmake trapetsi keskjoon paralleelselt selle alustega.

1. Trapetsi keskjoone pikkuse saab arvutada, liites aluste pikkused ja jagades need pooleks: m = (a + b)/2.
2. Kui tõmbate mis tahes lõigu (näiteks kõrguse) läbi trapetsi mõlema aluse, jagab keskmine joon selle kaheks võrdseks osaks.

Trapetsi poolitaja omadus

Valige trapetsi suvaline nurk ja joonistage poolitaja. Võtame näiteks meie trapetsi ACME nurga KAE. Olles ise ehituse lõpetanud, saate hõlpsalt veenduda, et poolitaja lõikab alusest (või selle jätkust sirgjoonel väljaspool joonist ennast) ära küljega sama pikkuse segmendi.

Trapetsi nurkade omadused

1. Ükskõik kumma kahest nurgapaarist, mis külgnevad teie valitud küljega, on paari nurkade summa alati 180 0: α + β = 180 0 ja γ + δ = 180 0.
2. Ühendame trapetsi aluste keskpunktid lõiguga TX. Nüüd vaatame trapetsi aluste nurki. Kui mõne neist nurkade summa on 90 0, saab segmendi pikkuse TX hõlpsasti arvutada aluste pikkuste erinevuse põhjal, mis on jagatud pooleks: TX = (AE – KM)/2.
3. Kui trapetsinurga külgede kaudu tõmmatakse paralleelsed jooned, jagavad need nurga küljed proportsionaalseteks segmentideks.

Võrdhaarse (võrdkülgse) trapetsi omadused

1. Võrdhaarses trapetsis on nurgad mis tahes aluse juures võrdsed.
2. Nüüd ehitage uuesti trapets, et oleks lihtsam ette kujutada, millest me räägime. Vaata hoolikalt baasi AE – vastasaluse M tipp projitseeritakse AE-d sisaldava joone teatud punkti. Vahemaa tipust A tipu M projektsioonipunktini ja võrdhaarse trapetsi keskjooneni on võrdsed.
3. Paar sõna võrdhaarse trapetsi diagonaalide omaduste kohta - nende pikkused on võrdsed. Ja ka nende diagonaalide kaldenurgad trapetsi aluse suhtes on samad.
4. Ringi saab kirjeldada ainult võrdhaarse trapetsi ümber, kuna nelinurga vastasnurkade summa on 180 0 – see on selle eelduseks.
5. Võrdhaarse trapetsi omadus tuleneb eelmisest lõigust - kui trapetsi läheduses saab kirjeldada ringjoont, on see võrdhaarne.
6. Võrdhaarse trapetsi tunnustest tuleneb trapetsi kõrguse omadus: kui selle diagonaalid lõikuvad täisnurga all, siis kõrguse pikkus võrdub poolega aluste summast: h = (a + b)/2.
7. Jällegi tõmmake lõik TX läbi trapetsi aluste keskpunktide – võrdhaarses trapetsis on see alustega risti. Ja samal ajal on TX võrdhaarse trapetsi sümmeetriatelg.
8. Seekord langetage kõrgus trapetsi vastastipust suuremale alusele (nimetagem seda a-ks). Saate kaks segmenti. Ühe pikkuse saab, kui liita aluste pikkused ja jagada need pooleks: (a + b)/2. Teise saame, kui lahutame suuremast baasist väiksema ja jagame saadud erinevuse kahega: (a – b)/2.

Ringjoone sisse kirjutatud trapetsi omadused

Kuna me räägime juba ringikujulisest trapetsist, peatume sellel teemal üksikasjalikumalt. Eelkõige selle kohta, kus ringi keskpunkt on trapetsi suhtes. Ka siin on soovitatav võtta aega, et võtta kätte pliiats ja joonistada see, millest allpool juttu tuleb. Nii saate kiiremini aru ja mäletate paremini.

1. Ringi keskpunkti asukoha määrab trapetsi diagonaali kaldenurk selle külje suhtes. Näiteks võib diagonaal ulatuda trapetsi ülaosast täisnurga all küljele. Sel juhul lõikub suurem alus ümberringjoone keskpunkti täpselt keskel (R = ½AE).
2. Diagonaal ja külg võivad ka all kokku puutuda teravnurk– siis on ringi keskpunkt trapetsi sees.
3. Kui trapetsi diagonaali ja külje vahel on nürinurk, võib piiritletud ringi keskpunkt olla väljaspool trapetsi, selle suuremast alusest kaugemal.
4. Trapetsi ACME diagonaali ja suurema aluse (sissekirjutatud nurk) moodustatud nurk on poole väiksem kesknurk, mis sellele vastab: MAE = ½ MOE.
5. Lühidalt kahest võimalusest piiritletud ringi raadiuse leidmiseks. Esimene meetod: vaadake hoolikalt oma joonist – mida näete? Saate hõlpsasti märgata, et diagonaal jagab trapetsi kaheks kolmnurgaks. Raadiuse saab leida kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhtega, mis on korrutatud kahega. Näiteks, R = AE/2*sinAME. Sarnasel viisil saab valemi kirjutada mõlema kolmnurga mis tahes külje jaoks.
6. Teine meetod: leidke piiritletud ringi raadius läbi trapetsi diagonaali, külje ja aluse moodustatud kolmnurga pindala: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Ümberringi ümbritsetud trapetsi omadused

Kui üks tingimus on täidetud, saate trapetsi mahutada ringi. Loe selle kohta lähemalt allpool. Ja koos on sellel figuuride kombinatsioonil mitmeid huvitavaid omadusi.

1. Kui ringjoon on kantud trapetsi, saab selle keskjoone pikkuse hõlpsalt leida, liites külgede pikkused ja jagades saadud summa pooleks: m = (c + d)/2.
2. Ringi ümber kirjeldatud trapetsi ACME puhul on aluste pikkuste summa võrdne külgede pikkuste summaga: AK + ME = KM + AE.
3. Sellest trapetsi aluste omadusest järeldub vastupidine väide: trapetsi saab kirjutada ringi, mille aluste summa on võrdne selle külgede summaga.
4. Trapetsi raadiusega r ringjoone puutujapunkt jagab külje kaheks lõiguks, nimetame neid a-ks ja b-ks. Ringi raadiuse saab arvutada järgmise valemi abil: r = √ab.
5. Ja veel üks vara. Segaduste vältimiseks joonistage see näide ka ise. Meil on vana hea trapets ACME, mida kirjeldatakse ringi ümber. See sisaldab diagonaale, mis lõikuvad punktis O. Kolmnurgad AOK ja EOM, mis on moodustatud diagonaalide segmentidest ja külgmistest külgedest, on ristkülikukujulised.
   Nende kolmnurkade kõrgused, mis on langetatud hüpotenuusideni (st trapetsi külgmiste külgedeni), langevad kokku kirjutatud ringi raadiustega. Ja trapetsi kõrgus langeb kokku kirjutatud ringi läbimõõduga.

Ristkülikukujulise trapetsi omadused

Trapetsi nimetatakse ristkülikukujuliseks, kui üks selle nurkadest on õige. Ja selle omadused tulenevad sellest asjaolust.

1. Ristkülikukujulise trapetsi üks külgedest on alusega risti.
2. Trapetsi kõrgus ja külgkülg külgneb täisnurk, on võrdsed. See võimaldab teil arvutada ristkülikukujulise trapetsi pindala (üldvalem S = (a + b) * h/2) mitte ainult läbi kõrguse, vaid ka läbi õige nurgaga külgneva külje.
3. Ristkülikukujulise trapetsi puhul on olulised juba eespool kirjeldatud trapetsi diagonaalide üldomadused.

Tõendid trapetsi mõningate omaduste kohta

Võrdhaarse trapetsi aluse nurkade võrdsus:

• Tõenäoliselt arvasite juba, et siin on meil jälle vaja AKME trapetsi - joonistage võrdhaarne trapets. Tõmmake tipust M sirge MT, mis on paralleelne AK küljega (MT || AK).

Saadud nelinurk AKMT on rööpkülik (AK || MT, KM || AT). Kuna ME = KA = MT, on ∆ MTE võrdhaarne ja MET = MTE.

AK || MT, seega MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kus on AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nüüd, tuginedes võrdhaarse trapetsi omadusele (diagonaalide võrdsus), tõestame, et trapets ACME on võrdhaarne:

• Kõigepealt joonistame sirge MX – MX || KE. Saame rööpküliku KMHE (alus – MX || KE ja KM || EX).

∆AMX on võrdhaarne, kuna AM = KE = MX ja MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, seega MAE = MXE.

Selgus, et kolmnurgad AKE ja EMA on üksteisega võrdsed, kuna AM = KE ja AE on kahe kolmnurga ühine külg. Ja ka MAE = MXE. Võime järeldada, et AK = ME ja sellest järeldub, et trapets AKME on võrdhaarne.

Ülesanne üle vaadata

Trapetsi ACME põhjad on 9 cm ja 21 cm, külgkülg KA, mis võrdub 8 cm, moodustab väiksema põhjaga nurga 150 0. Peate leidma trapetsi pindala.

Lahendus: tipust K alandame kõrguse trapetsi suuremale alusele. Ja alustame trapetsi nurkade vaatamist.

Nurgad AEM ja KAN on ühepoolsed. See tähendab, et kokku annavad nad 180 0. Seetõttu KAN = 30 0 (trapetsinurkade omaduse alusel).

Vaatleme nüüd ristkülikukujulist ∆ANC-d (ma usun, et see punkt on lugejatele ilmne ilma täiendavate tõenditeta). Sellest leiame trapetsi kõrguse KH - kolmnurgas on see jalg, mis asub nurga 30 0 vastas. Seetõttu KH = ½AB = 4 cm.

Leiame trapetsi pindala järgmise valemi abil: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Järelsõna

Kui uurisite seda artiklit hoolikalt ja läbimõeldult, polnud liiga laisk, et joonistada käes pliiatsiga kõigi antud omaduste jaoks trapetse ja neid praktikas analüüsida, oleksite pidanud materjali hästi valdama.

Loomulikult on siin palju teavet, mitmekülgset ja mõnikord isegi segadust: kirjeldatud trapetsi omadusi pole nii raske segi ajada sissekirjutatud omadustega. Aga sa ise oled näinud, et vahe on tohutu.

Nüüd on sul üksikasjalik kokkuvõte kõik trapetsi üldised omadused. Nagu ka võrdhaarsete ja ristkülikukujuliste trapetside spetsiifilised omadused ja omadused. Seda on väga mugav kasutada katseteks ja eksamiteks valmistumiseks. Proovi ise ja jaga linki oma sõpradega!

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.