Erinevate geomeetriliste, füüsikaliste ja tehniliste probleemide lahendamine viib sageli võrranditeni, mis seovad konkreetset probleemi iseloomustavad sõltumatud muutujad nende muutujate mõne funktsiooniga ja selle funktsiooni erinevat järku tuletistega.

Näitena võime vaadelda materiaalse punkti ühtlaselt kiirendatud liikumise lihtsaimat juhtumit.

On teada, et materjali punkti nihkumine ühtlaselt kiirendatud liikumisel on aja funktsioon ja seda väljendatakse valemiga:

Omakorda kiirendus a on tuletis aja suhtes t kiirusest V, mis on ka aja tuletis t kolimisest S. Need.

Siis saame:
- võrrand ühendab funktsiooni f(t) sõltumatu muutujaga t ja funktsiooni f(t) teist järku tuletisega.

Definitsioon. Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatud muutujad, nende funktsioonid ja selle funktsiooni tuletised (või diferentsiaalid).

Definitsioon. Kui diferentsiaalvõrrandil on üks sõltumatu muutuja, siis seda nimetatakse tavaline diferentsiaalvõrrand , kui on kaks või enam sõltumatut muutujat, siis nimetatakse sellist diferentsiaalvõrrandit osaline diferentsiaalvõrrand.

Definitsioon. Nimetatakse võrrandis esinevate tuletiste kõrgeimat järku diferentsiaalvõrrandi järjekord .

Näide.

- 1. järku tavaline diferentsiaalvõrrand. IN üldine vaade salvestatakse
.

- 2. järku tavaline diferentsiaalvõrrand. Üldiselt on kirjas

- esimest järku osadiferentsiaalvõrrand.

Definitsioon. Üldine lahendus diferentsiaalvõrrand on selline diferentseeruv funktsioon y = (x, C), mis asendades tundmatu funktsiooni asemel algse võrrandiga, muudab võrrandi identiteediks

Üldlahenduse omadused.

1) Sest konstant C on suvaline väärtus, siis üldiselt on diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendeid.

2) Mis tahes algtingimustel x = x 0, y(x 0) = y 0, on olemas väärtus C = C 0, mille korral diferentsiaalvõrrandi lahendus on funktsioon y = (x, C 0).

Definitsioon. Nimetatakse lahendit kujul y = (x, C 0). privaatne lahendus diferentsiaalvõrrand.

Definitsioon. Cauchy probleem (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – prantsuse matemaatik) on mis tahes konkreetse lahenduse leidmine diferentsiaalvõrrandile kujul y = (x, C 0), mis vastab algtingimustele y(x 0) = y 0.

Cauchy teoreem. (teoreem esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendi olemasolu ja kordumatuse kohta)

Kui funktsioonf(x, y) on mõnes piirkonnas pidevDlennukisXOYja sellel on selles piirkonnas pidev osaline tuletis
, siis olenemata sellest (x 0 , y 0 ) piirkonnasD, on ainult üks lahendus
võrrandid
, defineeritud mingis punkti x sisaldavas intervallis 0 , võttes x = x 0 tähenduses (X 0 ) = y 0 , st. diferentsiaalvõrrandil on ainulaadne lahendus.

Definitsioon. Integraalne Diferentsiaalvõrrand on mis tahes võrrand, mis ei sisalda tuletisi ja millele antud diferentsiaalvõrrand on tagajärg.

Näide. Otsi ühine otsus diferentsiaalvõrrand
.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahendust otsitakse võrrandi vasaku ja parema külje integreerimisega, mis on eelnevalt teisendatud järgmiselt:

Nüüd integreerime:

on algse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Oletame, et on antud mõned algtingimused: x 0 = 1; y 0 = 2, siis on meil

Asendades saadud konstandi väärtuse üldlahendusega, saame antud algtingimuste jaoks konkreetse lahenduse (Cauchy probleemi lahendus).

Definitsioon. Integraalkõver nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahenduse graafikuks y = (x) XOY tasapinnal.

Definitsioon. Eriotsusega Diferentsiaalvõrrandi lahendus on selline lahendus, mille kõigis punktides nimetatakse Cauchy kordumatuse tingimust (vt. Cauchy teoreem.) ei ole täidetud, s.o. mingi punkti (x, y) läheduses on vähemalt kaks integraalkõverat.

Erilahendused ei sõltu konstandist C.

Üldlahendist ei saa erilahendusi saada ühegi konstandi C väärtuse jaoks. Kui konstrueerida diferentsiaalvõrrandi integraalkõverate perekond, siis erilahendust kujutatakse sirgega, mis puudutab igas punktis vähemalt ühte integraalkõverat. .

Pange tähele, et igal diferentsiaalvõrrandil pole erilahendusi.

Näide. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus:
Leidke spetsiaalne lahendus, kui see on olemas.

Sellel diferentsiaalvõrrandil on ka erilahendus juures= 0. Seda lahendit ei saa üldisest, kuid algsesse võrrandisse asendades saame identiteedi. Arvamus, et lahendus y = 0 saab üldlahendusest koos KOOS 1 = 0 vale, sest C 1 = e C  0.

Ma arvan, et me peaksime alustama sellise kuulsusrikka matemaatilise tööriista nagu diferentsiaalvõrrandid ajaloost. Nagu kõik diferentsiaal- ja integraalarvutused, leiutas need võrrandid 17. sajandi lõpus Newton. Ta pidas seda konkreetset oma avastust nii oluliseks, et krüpteeris isegi sõnumi, mida tänapäeval võib tõlkida umbes nii: "Kõiki loodusseadusi kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid." See võib tunduda liialdusena, kuid see on tõsi. Nende võrranditega saab kirjeldada mis tahes füüsika-, keemia-, bioloogiaseadust.

Tohutu panus teooria arendamisse ja loomisse diferentsiaalvõrrandid panustasid matemaatikud Euler ja Lagrange. Juba 18. sajandil avastasid ja arendasid nad seda, mida nad praegu ülikooli vanematel kursustel õpivad.

Uus verstapost diferentsiaalvõrrandite uurimisel sai alguse tänu Henri Poincaréle. Ta lõi "diferentsiaalvõrrandite kvalitatiivse teooria", mis koos keeruka muutuja funktsioonide teooriaga andis olulise panuse topoloogia - ruumiteaduse ja selle omaduste - alusesse.

Mis on diferentsiaalvõrrandid?

Paljud inimesed kardavad ühte fraasi, kuid selles artiklis kirjeldame üksikasjalikult selle väga kasuliku matemaatilise aparaadi kogu olemust, mis pole tegelikult nii keeruline, kui nimest paistab. Selleks, et hakata rääkima esimest järku diferentsiaalvõrranditest, peaksite esmalt tutvuma põhimõistetega, mis on selle definitsiooniga olemuslikult seotud. Ja alustame diferentsiaaliga.

Diferentsiaal

Paljud inimesed on seda kontseptsiooni teadnud juba kooliajast. Vaatame seda siiski lähemalt. Kujutage ette funktsiooni graafikut. Saame seda suurendada nii palju, et selle mis tahes segment on sirgjooneline. Võtame sellel kaks punkti, mis on üksteisele lõpmatult lähedal. Nende koordinaatide (x või y) erinevus on lõpmata väike. Seda nimetatakse diferentsiaaliks ja seda tähistatakse märkidega dy (y diferentsiaal) ja dx (x diferentsiaal). On väga oluline mõista, et diferentsiaal ei ole lõplik suurus ja see on selle tähendus ja põhifunktsioon.

Nüüd peame arvestama järgmise elemendiga, mis on meile kasulik diferentsiaalvõrrandi mõiste selgitamisel. See on tuletis.

Tuletis

Tõenäoliselt kuulsime seda mõistet koolis kõik. Tuletis on kiirus, millega funktsioon suureneb või väheneb. Sellest määratlusest jääb aga palju ebaselgeks. Proovime tuletist diferentsiaalide kaudu selgitada. Pöördume tagasi funktsiooni lõpmatu väikese lõigu juurde, mille kaks punkti on üksteisest minimaalsel kaugusel. Kuid isegi selle vahemaa tagant õnnestub funktsioon teatud määral muutuda. Ja selle muutuse kirjeldamiseks leidsid nad tuletise, mille saab muidu kirjutada diferentsiaalide suhtena: f(x)"=df/dx.

Nüüd tasub kaaluda tuletise põhiomadusi. Neid on ainult kolm:

1. Summa või erinevuse tuletist võib esitada tuletiste summa või erinevusena: (a+b)"=a"+b" ja (a-b)"=a"-b.
2. Teine omadus on seotud korrutamisega. Korrutise tuletis on ühe funktsiooni ja teise funktsiooni korrutiste summa: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Erinevuse tuletise saab kirjutada järgmise võrrandina: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Kõik need omadused on meile kasulikud esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmisel.

On ka osatuletisi. Oletame, et meil on funktsioon z, mis sõltub muutujatest x ja y. Selle funktsiooni osalise tuletise arvutamiseks, näiteks x suhtes, peame muutuja y võtma konstantina ja lihtsalt diferentseerima.

Integraalne

Teine oluline mõiste on lahutamatu. Tegelikult on see tuletise täpne vastand. Integraale on mitut tüüpi, kuid kõige lihtsamate diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks vajame kõige triviaalsemaid

Niisiis, oletame, et meil on mingi f sõltuvus x-st. Võtame sellest integraali ja saame funktsiooni F(x) (mida sageli nimetatakse ka antiderivaadiks), mille tuletis on võrdne algfunktsiooniga. Seega F(x)"=f(x). Sellest järeldub ka, et tuletise integraal on võrdne algfunktsiooniga.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel on väga oluline mõista integraali tähendust ja funktsiooni, kuna lahenduse leidmiseks peate neid väga sageli kasutama.

Võrrandid varieeruvad sõltuvalt nende olemusest. Järgmises osas vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandite tüüpe ja õpime seejärel neid lahendama.

Diferentsiaalvõrrandite klassid

"Difuurid" jagatakse vastavalt neisse kaasatud tuletisinstrumentide järjestusele. Seega on esimene, teine, kolmas ja rohkem korda. Neid võib jagada ka mitmesse klassi: tavalised ja osatuletised.

Selles artiklis vaatleme esimest järku tavalisi diferentsiaalvõrrandeid. Samuti käsitleme näiteid ja nende lahendamise viise järgmistes osades. Vaatleme ainult ODE-sid, kuna need on kõige levinumad võrrandite tüübid. Tavalised jagunevad alamliikideks: eraldatavate muutujatega, homogeensed ja heterogeensed. Järgmisena saate teada, kuidas need üksteisest erinevad ja kuidas neid lahendada.

Lisaks saab neid võrrandeid kombineerida nii, et saame esimest järku diferentsiaalvõrrandite süsteemi. Kaalume ka selliseid süsteeme ja õpime neid lahendama.

Miks kaalume ainult esimest tellimust? Sest alustada tuleb millestki lihtsast ja kõike diferentsiaalvõrranditega seonduvat on ühes artiklis lihtsalt võimatu kirjeldada.

Eraldatavad võrrandid

Need on ehk kõige lihtsamad esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Nende hulgas on näiteid, mida saab kirjutada järgmiselt: y"=f(x)*f(y). Selle võrrandi lahendamiseks vajame valemit tuletise esitamiseks diferentsiaalide suhtena: y"=dy/dx. Seda kasutades saame järgmise võrrandi: dy/dx=f(x)*f(y). Nüüd saame pöörduda standardnäidete lahendamise meetodi poole: jagame muutujad osadeks, st liigutame muutujaga y kõik sellesse ossa, kus asub dy, ja teeme sama muutujaga x. Saame võrrandi kujul: dy/f(y)=f(x)dx, mis lahendatakse mõlemalt poolt integraalide võtmisega. Ärge unustage konstanti, mis tuleb pärast integraali võtmist määrata.

Mis tahes "diffuuri" lahendus on funktsioon x sõltuvusest y-st (meie puhul) või kui arvuline tingimus on olemas, siis vastus arvu kujul. Vaatame edasi konkreetne näide kogu lahendus:

Liigutame muutujaid eri suundades:

Nüüd võtame integraalid. Kõik need leiate spetsiaalsest integraalide tabelist. Ja me saame:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Vajadusel võime väljendada "y" funktsioonina "x". Nüüd võime öelda, et meie diferentsiaalvõrrand on lahendatud, kui tingimust pole täpsustatud. Tingimuse saab määrata, näiteks y(n/2)=e. Seejärel asendame lihtsalt nende muutujate väärtused lahendusega ja leiame konstandi väärtuse. Meie näites on see 1.

Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid

Liigume nüüd edasi raskema osa juurde. Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid saab kirjutada üldkujul järgmiselt: y"=z(x,y). Tuleb märkida, et kahe muutuja parempoolne funktsioon on homogeenne ja seda ei saa jagada kaheks sõltuvuseks : z x-l ja z y-l. Kontrollige, kas võrrand on homogeenne või mitte, on üsna lihtne: asendame x=k*x ja y=k*y Nüüd tühistame kõik k. Kui kõik need tähed tühistatakse , siis on võrrand homogeenne ja võid julgelt seda lahendama hakata.Edaspidi vaadates ütleme: nende näidete lahendamise põhimõte on samuti väga lihtne.

Peame tegema asendus: y=t(x)*x, kus t on teatud funktsioon, mis samuti sõltub x-ist. Siis saame tuletise väljendada: y"=t"(x)*x+t. Asendades selle kõik oma algsesse võrrandisse ja lihtsustades seda, saame näite eraldatavate muutujatega t ja x. Lahendame selle ja saame sõltuvuse t(x). Kui me selle kätte saime, asendame lihtsalt y=t(x)*x oma eelmise asendusega. Siis saame y sõltuvuse x-st.

Et oleks selgem, vaatame näidet: x*y"=y-x*e y/x .

Asendusega kontrollimisel väheneb kõik. See tähendab, et võrrand on tõeliselt homogeenne. Nüüd teeme teise asendus, millest me rääkisime: y=t(x)*x ja y"=t"(x)*x+t(x). Pärast lihtsustamist saame järgmise võrrandi: t"(x)*x=-e t. Lahendame saadud näite eraldatud muutujatega ja saame: e -t =ln(C*x). Peame vaid asendama t y/x-ga (lõppude lõpuks, kui y =t*x, siis t=y/x), ja saame vastuse: e -y/x =ln(x*C).

Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

On aeg vaadata teist laia teemat. Analüüsime esimest järku mittehomogeenseid diferentsiaalvõrrandeid. Mille poolest need eelmisest kahest erinevad? Selgitame välja. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid üldkujul võib kirjutada järgmiselt: y" + g(x)*y=z(x). Tasub selgitada, et z(x) ja g(x) võivad olla konstantsed suurused.

Ja nüüd näide: y" - y*x=x 2 .

Lahendusi on kaks ja me vaatame mõlemat järjekorras. Esimene on suvaliste konstantide muutmise meetod.

Võrrandi selliseks lahendamiseks peate esmalt võrdsustama parema külje nulliga ja lahendama saadud võrrandi, mis pärast osade ülekandmist saab järgmise kuju:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C1*e x2/2.

Nüüd peame asendama konstanti C 1 funktsiooniga v(x), mille peame leidma.

Asendame tuletise:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Ja asendage need avaldised algse võrrandiga:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Näete, et vasakul pool tühistatakse kaks terminit. Kui mõnes näites seda ei juhtunud, siis tegite midagi valesti. Jätkame:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nüüd lahendame tavalise võrrandi, milles peame muutujad eraldama:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Integraali eraldamiseks peame siin rakendama integreerimist osade kaupa. See pole aga meie artikli teema. Kui olete huvitatud, saate õppida, kuidas selliseid toiminguid ise teha. See pole keeruline ning piisava oskuse ja hoolega ei võta see palju aega.

Pöördume teise ebahomogeensete võrrandite lahendamise meetodi juurde: Bernoulli meetod. Milline lähenemine on kiirem ja lihtsam, on teie otsustada.

Seega, kui lahendame võrrandi selle meetodi abil, peame tegema asendused: y=k*n. Siin on k ja n mõned x-st sõltuvad funktsioonid. Siis näeb tuletis välja selline: y"=k"*n+k*n". Asendame võrrandisse mõlemad asendused:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Rühmitamine:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Nüüd peame võrdsustama sulgudes oleva nulliga. Nüüd, kui ühendame kaks saadud võrrandit, saame esimest järku diferentsiaalvõrrandi süsteemi, mis tuleb lahendada:

Esimese võrrandi lahendame tavavõrrandina. Selleks peate muutujad eraldama:

Võtame integraali ja saame: ln(n)=x 2 /2. Siis, kui väljendame n:

Nüüd asendame saadud võrrandi süsteemi teise võrrandiga:

k"*e x2/2 =x 2 .

Ja teisendades saame sama võrdsuse nagu esimeses meetodis:

dk=x2/e x2/2.

Samuti ei aruta me edasisi tegevusi. Tasub öelda, et esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine tekitab esmapilgul olulisi raskusi. Kui aga teemasse süveneda, hakkab see järjest paremini välja tulema.

Kus kasutatakse diferentsiaalvõrrandeid?

Diferentsiaalvõrrandeid kasutatakse füüsikas väga aktiivselt, kuna peaaegu kõik põhiseadused on kirjutatud diferentsiaalvormis ja valemid, mida näeme, on nende võrrandite lahendused. Keemias kasutatakse neid samal põhjusel: nende abiga tuletatakse põhiseadused. Bioloogias kasutatakse diferentsiaalvõrrandeid süsteemide, nagu kiskja ja saakloomade, käitumise modelleerimiseks. Neid saab kasutada ka näiteks mikroorganismide kolooniate paljunemismudelite loomiseks.

Kuidas saavad diferentsiaalvõrrandid teid elus aidata?

Vastus sellele küsimusele on lihtne: üldse mitte. Kui te pole teadlane ega insener, pole neist tõenäoliselt teile kasu. Kuid selleks üldine areng Ei tee paha teada, mis on diferentsiaalvõrrand ja kuidas see lahendatakse. Ja siis poja või tütre küsimus on "mis on diferentsiaalvõrrand?" ei aja sind segadusse. Noh, kui olete teadlane või insener, siis mõistate ise selle teema tähtsust mis tahes teaduses. Kuid kõige tähtsam on see, et nüüd tekib küsimus "kuidas lahendada esimest järku diferentsiaalvõrrandit?" alati saab vastata. Nõus, alati on tore, kui saad aru millestki, mida inimesed isegi kardavad mõista.

Peamised probleemid õppimisel

Peamine probleem selle teema mõistmisel on nõrk oskus funktsioonide integreerimisel ja eristamisel. Kui teil on tuletisi ja integraale kehv võtta, tasub seda ilmselt uurida ja õppida erinevaid meetodeid lõimimine ja eristamine ning alles seejärel asuge uurima artiklis kirjeldatud materjali.

Mõned inimesed on üllatunud, kui saavad teada, et dx saab üle kanda, sest varem (koolis) väideti, et murd dy/dx on jagamatu. Siin peate lugema tuletise kirjandust ja mõistma, et see on lõpmata väikeste suuruste suhe, mida võrrandite lahendamisel saab manipuleerida.

Paljud inimesed ei saa kohe aru, et esimest järku diferentsiaalvõrrandite lahendamine on sageli funktsioon või integraal, mida ei saa võtta, ja see eksiarvamus tekitab neile palju probleeme.

Mida saab veel paremaks mõistmiseks uurida?

Kõige parem on alustada diferentsiaalarvutuse maailma edasist sukeldumist spetsiaalsete õpikutega, näiteks mittematemaatika erialade üliõpilaste matemaatilise analüüsi kohta. Seejärel saate liikuda erialasema kirjanduse juurde.

Tasub öelda, et lisaks diferentsiaalvõrranditele on olemas ka integraalvõrrandid, nii et teil on alati, mille poole püüelda ja mida uurida.

Järeldus

Loodame, et pärast selle artikli lugemist saate aimu, mis on diferentsiaalvõrrandid ja kuidas neid õigesti lahendada.

Igal juhul tuleb matemaatika meile elus mingil moel kasuks. See arendab loogikat ja tähelepanu, ilma milleta on iga inimene ilma käteta.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna tekitavad tavainimesel tavaliselt hirmu. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat paljude õpilaste jaoks üle jõu käivad ja raskesti omandatavad. Uuuuuu... diferentsiaalvõrrandid, kuidas ma seda kõike üle elan?!

See arvamus ja suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIVÕRRADID – SEE ON LIHTNE JA ISEGI LÕBUS. Mida peate teadma ja oskama, et õppida diferentsiaalvõrrandeid lahendama? Difuuside edukaks õppimiseks peate olema osav integreerimises ja eristamises. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis Ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema peaaegu omandatud! Mida rohkem integraale erinevat tüüpi sa tead, kuidas otsustada – seda parem. Miks? Peate palju integreerima. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppige leidma.

95% juhtudest sisse testid Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on kolme tüüpi: eraldatavad võrrandid mida me selles õppetükis vaatleme; homogeensed võrrandid Ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Neil, kes hakkavad difuusoreid õppima, soovitan lugeda õppetükke täpselt selles järjekorras ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee paha oma oskusi kinnistada. lisatöökoda – võrrandid taandades homogeenseks.

On olemas veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: diferentsiaalvõrrandid, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kahest viimasest tüübist kõige olulisemad on võrrandid täisdiferentsiaalid, kuna lisaks sellele kaugjuhtimispuldile ma kaalun uus materjal – osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, See ülikiireks valmistamiseks Seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on seatud - lähme:

Kõigepealt meenutagem tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide: . Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leidmist numbrite komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. Lihtne on märgata, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime leitud juurt ja asendame selle võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leiti õigesti.

Difuusorid on disainitud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimusüldiselt sisaldab:
1) sõltumatu muutuja;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" ja/või "y", kuid see ei ole oluline - oluline juhtimisruumi minema oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised – jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt, mis vastavad sellele võrrandile. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm (– suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt peate tuletise veidi teistsugusel kujul ümber kirjutama. Tuletame meelde tülikat määratlust, mis ilmselt tundus paljudele naeruväärne ja tarbetu. See kehtib hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik eraldi muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "kreeklased", A paremal pool korraldada ainult "X". Muutujate jagamine toimub “kooli” manipulatsioonide abil: sulgudest välja jätmine, terminite ülekandmine osast osasse märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse proportsioonireegli järgi jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Vaadeldavas näites on muutujad hõlpsasti eraldatavad, visates tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool on ainult "Y", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, paneme integraalid mõlemale poole:

Muidugi peame võtma integraalid. IN sel juhul need on tabelina:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (kuna konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi lahendust kaudsel kujul nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Vastus sellisel kujul on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus.

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilistes ülesannetes: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL kirjed kirjutatakse tavaliselt .

Miks see vajalik on? Ja selleks, et "mängu" väljendamine oleks lihtsam. Logaritmide omaduse kasutamine . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

– saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend rahuldab võrrandit, mida oli vaja kontrollida.

Konstanti andmine erinevaid tähendusi, võite saada lõpmatult palju privaatsed lahendused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. Selles näites üldlahendus - see on perekond lineaarsed funktsioonid, õigemini, otsese proportsionaalsuse perekond.

Pärast esimese näite põhjalikku läbivaatamist on asjakohane vastata mõnele naiivsed küsimused diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites saime muutujad eraldada. Kas seda saab alati teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid, peate selle esmalt välja vahetama. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid tehnikaid ja meetodeid. Eraldatavate muutujatega võrrandid, mida käsitleme esimeses õppetükis - lihtsaim tüüp diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda “väljamõeldud” võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid sarnaseid DE-sid saab ligikaudu lahendada kasutades spetsiaalsed meetodid. D’Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, lurkmore.et just praegu palju lugeda, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites saime lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldist lahendust, st väljendada "y" eksplitsiitselt? Ei mitte alati. Näiteks: . No kuidas saab siin "kreeka keelt" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks on mõnikord võimalik leida üldine lahendus, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirjutatud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ... ehk praegu piisab. Esimeses näites, millega me kokku puutusime Veel üks oluline punkt , kuid selleks, et mitte katta "mannekeenid" laviiniga uut teavet, jätan selle järgmise õppetunnini.

Me ei kiirusta. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine ​​tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt seisukorrale tuleb leida privaatne lahendus DE, mis vastab antud algtingimusele. Seda küsimuse sõnastust nimetatakse ka Cauchy probleem.

Kõigepealt leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks segadusse ajada, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise nõutud kujul ümber:

Ilmselgelt saab muutujaid eraldada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siia olen joonistanud tärniga konstandi, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime muuta üldise integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutagem vanu häid asju kooliajast: . Sel juhul:

Indikaatori konstant näeb kuidagi ebakosher välja, nii et see on tavaliselt maa peale toodud. Üksikasjalikult see juhtub nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mingi konstant, nimetame selle ümber tähega:

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine ​​tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamisel.

Seega on üldine lahendus: . See on kena eksponentsiaalsete funktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus, et tingimus oleks täidetud.

Seda saab vormindada erineval viisil, kuid see on ilmselt kõige selgem viis. Üldlahenduses asendame "X" asemel nulliga ja "Y" asemel kahega:



See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendusega:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollime. Privaatse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Kõigepealt peate kontrollima, kas leitud lahendus vastab tõesti algtingimusele? "X" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
- jah, tõepoolest, kahene saadi, mis tähendab, et esialgne tingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendame algsesse võrrandisse:

– saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leiti õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hindame, kas muutujaid on võimalik eraldada? Saab. Teisaldame teise liikme märgivahetusega paremale:

Ja me kanname kordajad üle vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Pean teid hoiatama, et kohtupäev läheneb. Kui sa pole hästi õppinud määramata integraalid, on lahendanud vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna – peate need nüüd selgeks tegema.

Vasaku külje integraali on lihtne leida, me käsitleme kotangensi integraali standardtehnikas, mida tunnis vaatlesime Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine eelmisel aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja vastavalt minu esimesele tehniline nõustamine, tuleb ka konstant kirjutada logaritmi alla.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused"Pakime" logaritme nii palju kui võimalik. Panen selle väga üksikasjalikult kirja:

Pakend on viimistletud barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "mängu"? Saab. Mõlemad osad on vaja ruudukujuliseks muuta.

Kuid te ei pea seda tegema.

Kolmas tehniline nõuanne: kui üldlahenduse saamiseks on vaja tõsta võimule või juurduda, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraali kujul. Heaks tavaks peetakse selle esitamist kujul , st paremale küljele jätke võimalusel ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada mitte ainus viis. Seega, kui teie tulemus ei kattu varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali on ka üsna lihtne kontrollida, peaasi, et leiaks kaudselt määratud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid arvuga:

Ja jagage:

Algne diferentsiaalvõrrand on saadud täpselt, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 4

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Tehke kontroll.

See on näide sõltumatu otsus.

Lubage mul teile meelde tuletada, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontrollimine toimub samuti kahes etapis (vt näidist näites nr 2), peate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täielik lahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leidke diferentsiaalvõrrandile konkreetne lahendus , mis rahuldab esialgset tingimust. Tehke kontroll.

Lahendus: Esiteks leiame üldlahenduse, see võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja seetõttu on lahendus lihtsustatud. Eraldame muutujad:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud funktsiooni diferentsiaalmärgi alla liitmise meetod:

Üldintegraal on saadud, kas üldlahendit on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, pole moodulmärgid vajalikud:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus järgmine:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele.
Üldlahenduses asendame “X” asemel nulli ja “Y” asemel kahe logaritmi:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollime, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Tuletise leidmine:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algse võrrandiga :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leiti õigesti.

Teine kontrollimeetod on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist Avaldame tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-sse asendame saadud osalahendi ja leitud tuletise. Lihtsustuste tulemusena tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Esitage vastus üldise integraali kujul.

See on näide, mida saate ise lahendada, lõpetage lahendus ja vastake tunni lõpus.

Millised raskused seisavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti „teekannu“ puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Vaatleme tingimuslikku näidet: . Siin tuleb sulgudest välja võtta tegurid: ja eraldada juured: . On selge, mida edasi teha.

2) Integratsiooni endaga seotud raskused. Integraalid ei ole sageli kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja koolituskäsiraamatute koostajate seas populaarne loogika “kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis olgu integraalid vähemalt keerulisemad”.

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandites konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte tingimuslikku näidet: . Soovitatav on kõik terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal küljel on logaritm, on soovitatav konstant ümber kirjutada teise konstandi kujul: .

Probleem on selles, et nad sageli ei näe vaeva indeksite pärast ja kasutavad sama tähte. Selle tulemusena on otsuse protokoll järgmisel kujul:

Missugune ketserlus? Seal on vigu! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu pole, sest muutujakonstandi teisendamise tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine ​​näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldine integraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on siin veel üks viga – see tuleks kirjutada paremale. Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on ikkagi konstant ( mis võib sama lihtsalt võtta mis tahes tähenduse!), seega pole miinuse panemine mõttekas ja võite kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja siiski määran konstantidele nende teisendamisel erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Tehke kontroll.

Lahendus: See võrrand võimaldab muutujaid eraldada. Eraldame muutujad:

Integreerime:

Siin ei ole vaja konstanti defineerida logaritmina, sest sellest ei tule midagi kasulikku.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust (kaudne funktsioon):

Murdudest vabaneme, korrutades mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on näide, mille saate ise lahendada. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini öeldes peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid osaline integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Artikli sisu

DIFERENTSIVÕRDED. Paljud füüsikalised seadused, mis reguleerivad teatud nähtusi, on kirjutatud matemaatilise võrrandi kujul, mis väljendab teatud seost teatud suuruste vahel. Sageli me räägime ajas muutuvate suuruste seostest, näiteks mootori kasutegur, mõõdetuna vahemaaga, mille auto suudab ühe liitri kütusega läbida, sõltub auto kiirusest. Vastav võrrand sisaldab ühte või mitut funktsiooni ja nende tuletisi ning seda nimetatakse diferentsiaalvõrrandiks. (Kauguse muutumise kiiruse ajas määrab kiirus; seetõttu on kiirus vahemaa tuletis; samamoodi on kiirendus kiiruse tuletis, kuna kiirendus määrab kiiruse muutumise kiiruse ajas.) Suur tähtsus, mis diferentsiaalvõrranditel on matemaatika ja eriti selle rakenduste jaoks, on seletatav asjaoluga, et paljude füüsikaliste ja tehniliste probleemide uurimine taandub selliste võrrandite lahendamisele. Diferentsiaalvõrrandid mängivad olulist rolli ka teistes teadustes, näiteks bioloogias, majanduses ja elektrotehnikas; tegelikult tekivad need kõikjal, kus on vajadus nähtuste kvantitatiivse (numbrilise) kirjelduse järele (kuna maailm muutub aja jooksul ja tingimused muutuvad ühest kohast teise).

Näited.

Järgmised näited annavad parema ülevaate sellest, kuidas erinevaid probleeme diferentsiaalvõrrandite keeles formuleeritakse.

1) Mõnede radioaktiivsete ainete lagunemise seadus on see, et lagunemiskiirus on võrdeline selle aine saadaoleva kogusega. Kui x– aine kogus teatud ajahetkel t, siis saab selle seaduse kirjutada järgmiselt:

Kus dx/dt on lagunemiskiirus ja k– mingi antud ainet iseloomustav positiivne konstant. (Paremal küljel olev miinusmärk näitab seda x aja jooksul väheneb; plussmärk, mis on alati viidatud, kui märki pole selgesõnaliselt öeldud, tähendaks seda x suureneb aja jooksul.)

2) Anumas on algselt 10 kg soola lahustatuna 100 m 3 vees. Kui puhas vesi valab anumasse kiirusega 1 m 3 minutis ja seguneb lahusega ühtlaselt ning saadud lahus voolab sama kiirusega anumast välja, siis kui palju soola on anumas igal järgneval ajahetkel? Kui x– soola kogus (kg) mahutis korraga t, siis igal ajal t 1 m 3 lahust mahutis sisaldab x/100 kg soola; seetõttu väheneb soola kogus kiirusega x/100 kg/min või

3) Kehal olgu massid m vedru otsast riputatud, toimib taastav jõud võrdeliselt vedru pingega. Lase x– keha tasakaaluasendist kõrvalekaldumise suurus. Seejärel vastavalt Newtoni teisele seadusele, mis ütleb, et kiirendus (teine ​​tuletis x aja järgi, määratud d 2 x/dt 2) võrdeline jõuga:

Paremal küljel on miinusmärk, kuna taastav jõud vähendab vedru venitust.

4) Keha jahtumise seadus ütleb, et soojushulk kehas väheneb võrdeliselt kehatemperatuuri erinevusega ja keskkond. Kui 90°C temperatuurini kuumutatud kohvitass on ruumis, kus temperatuur on 20°C, siis

Kus T– kohvi temperatuur õigel ajal t.

5) Blefuscu osariigi välisminister väidab, et Lilliputi vastu võetud relvaprogramm sunnib tema riiki suurendama sõjalisi kulutusi nii palju kui võimalik. Lilliputi välisminister teeb sarnaseid avaldusi. Tekkinud olukorda (selle kõige lihtsamas tõlgenduses) saab täpselt kirjeldada kahe diferentsiaalvõrrandiga. Lase x Ja y- Lilliputi ja Blefuscu relvastuse kulud. Eeldades, et Lilliput suurendab oma kulutusi relvastusele proportsionaalselt Blefuscu relvastusele tehtavate kulutuste kasvumääraga ja vastupidi, saame:

kus liikmed on kirves Ja - kõrval kirjeldada iga riigi sõjalisi kulutusi, k Ja l on positiivsed konstandid. (Selle probleemi sõnastas esmakordselt sel viisil 1939. aastal L. Richardson.)

Peale ülesande kirjutamist diferentsiaalvõrrandite keeles tuleks proovida neid lahendada, s.t. leidke suurused, mille muutumismäärad on võrrandites sisalduvad. Mõnikord leitakse lahendused selgesõnaliste valemite kujul, kuid sagedamini saab neid esitada vaid ligikaudsel kujul või saab nende kohta kvalitatiivset teavet. Sageli võib olla keeruline kindlaks teha, kas lahendus on üldse olemas, rääkimata selle leidmisest. Diferentsiaalvõrranditeooria olulise osa moodustavad nn “eksistentsi teoreemid”, milles tõestatakse lahenduse olemasolu üht või teist tüüpi diferentsiaalvõrrandi jaoks.

Esialgne matemaatiline sõnastus füüsiline probleem sisaldab tavaliselt lihtsustavaid eeldusi; nende mõistlikkuse kriteeriumiks võib olla matemaatilise lahenduse kooskõla aste olemasolevate vaatlustega.

Diferentsiaalvõrrandite lahendused.

Näiteks diferentsiaalvõrrand dy/dx = x/y, ei rahulda mitte arv, vaid funktsioon, antud juhul nii, et selle graafikul on mis tahes punktis, näiteks punktis koordinaatidega (2,3), puutuja, mille nurkkoefitsient on võrdne koordinaadid (meie näites 2/3). Seda on lihtne kontrollida, kui koostate suure hulga punkte ja joonistate igast lühikese lõigu vastava kaldega. Lahenduseks on funktsioon, mille graafik puudutab iga punkti vastava lõiguga. Kui punkte ja segmente on piisavalt, siis saame ligikaudselt visandada lahenduskõverate kulgemise (joonis 1 on näidatud kolm sellist kõverat). Iga punkti läbib täpselt üks lahenduskõver y Nr 0. Iga üksikut lahendit nimetatakse diferentsiaalvõrrandi osalahendiks; kui on võimalik leida valem, mis sisaldab kõiki konkreetseid lahendusi (välja arvatud mõned erilahendused), siis öeldakse, et on saadud üldlahend. Konkreetne lahendus esindab ühte funktsiooni, samas kui üldine lahendus esindab tervet nende perekonda. Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab kas selle konkreetse või üldise lahenduse leidmist. Vaadeldavas näites on üldlahendusel vorm y 2 – x 2 = c, Kus c– suvaline number; punkti (1,1) läbival konkreetsel lahendusel on vorm y = x ja selgub millal c= 0; punkti (2,1) läbival konkreetsel lahendusel on vorm y 2 – x 2 = 3. Tingimust, mis nõuab lahenduskõvera läbimist näiteks punktist (2,1), nimetatakse algtingimuseks (kuna see määrab lahenduskõvera alguspunkti).

Võib näidata, et näites (1) on üldlahendusel vorm x = ce –kt, Kus c– konstant, mida saab määrata näiteks aine koguse näidates juures t= 0. Võrrand näitest (2) – erijuhtum võrrand näitest (1), vastav k= 1/100. Esialgne seisund x= 10 kl t= 0 annab konkreetse lahenduse x = 10e –t/100 . Näite (4) võrrandil on üldlahend T = 70 + ce –kt ja privaatne lahendus 70 + 130 – kt; väärtuse määramiseks k, on vaja täiendavaid andmeid.

Diferentsiaalvõrrand dy/dx = x/y nimetatakse esimest järku võrrandiks, kuna see sisaldab esimest tuletist (diferentsiaalvõrrandi järku peetakse tavaliselt selles sisalduva kõrgeima tuletise järguks). Enamiku (kuigi mitte kõigi) esimest tüüpi diferentsiaalvõrrandite puhul, mis praktikas tekivad, läbib iga punkti ainult üks lahenduskõver.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on mitut olulist tüüpi, mida saab lahendada valemite kujul, mis sisaldavad ainult elementaarsed funktsioonid– astmed, astendajad, logaritmid, siinused ja koosinused jne. Sellised võrrandid hõlmavad järgmist.

Eraldatavate muutujatega võrrandid.

Vormi võrrandid dy/dx = f(x)/g(y) saab lahendada, kirjutades selle diferentsiaalidesse g(y)dy = f(x)dx ja mõlema osa integreerimine. Halvimal juhul saab lahenduse esitada integraalide kujul tuntud funktsioonid. Näiteks võrrandi puhul dy/dx = x/y meil on f(x) = x, g(y) = y. Kirjutades selle vormi ydy = xdx ja integreerides saame y 2 = x 2 + c. Eraldatavate muutujatega võrrandid hõlmavad võrrandeid näidetest (1), (2), (4) (neid saab lahendada ülalkirjeldatud viisil).

Võrrandid summaarsetes diferentsiaalides.

Kui diferentsiaalvõrrandil on vorm dy/dx = M(x,y)/N(x,y), Kus M Ja N on kaks antud funktsiooni, siis saab seda esitada kui M(x,y)dx – N(x,y)dy= 0. Kui vasak pool on mõne funktsiooni erinevus F(x,y), siis saab diferentsiaalvõrrandi kirjutada kujul dF(x,y) = 0, mis on võrdne võrrandiga F(x,y) = konst. Seega on võrrandi lahenduskõverad funktsiooni “konstantsete tasemete jooned” ehk võrranditele vastavate punktide asukohad. F(x,y) = c. Võrrand ydy = xdx(joon. 1) - eraldatavate muutujatega ja sama - summaarsetes diferentsiaalides: viimases veendumiseks kirjutame selle kujul ydy – xdx= 0, st. d(y 2 – x 2) = 0. Funktsioon F(x,y) on sel juhul võrdne (1/2)( y 2 – x 2); Mõned selle konstantse taseme jooned on näidatud joonisel fig. 1.

Lineaarvõrrandid.

Lineaarvõrrandid on "esimese astme" võrrandid - tundmatu funktsioon ja selle tuletised esinevad sellistes võrrandites ainult esimesel astmel. Seega on esimest järku lineaarsel diferentsiaalvõrrandil vorm dy/dx + lk(x) = q(x), Kus lk(x) Ja q(x) – funktsioonid, mis sõltuvad ainult x. Selle lahenduse saab alati kirjutada tuntud funktsioonide integraalide abil. Paljud muud tüüpi esimest järku diferentsiaalvõrrandid lahendatakse spetsiaalsete tehnikate abil.

Kõrgemat järku võrrandid.

Paljud diferentsiaalvõrrandid, millega füüsikud kokku puutuvad, on teist järku võrrandid (st võrrandid, mis sisaldavad teist tuletist). Selline on näiteks lihtsa harmoonilise liikumise võrrand näitest (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Üldiselt võime eeldada, et teist järku võrrandil on osalahendused, mis vastavad kahele tingimusele; Näiteks võib nõuda, et lahenduskõver läbiks antud punkti punktis selles suunas. Juhtudel, kui diferentsiaalvõrrand sisaldab teatud parameetrit (arvu, mille väärtus sõltub asjaoludest), on nõutavat tüüpi lahendused olemas ainult selle parameetri teatud väärtuste jaoks. Näiteks kaaluge võrrandit md 2 x/dt 2 = –kx ja me nõuame seda y(0) = y(1) = 0. Funktsioon yє 0 on ilmselgelt lahendus, kuid kui see on täisarv lk, st. k = m 2 n 2 lk 2, kus n on täisarv, kuid tegelikult on ainult sel juhul muid lahendusi, nimelt: y= patt npx. Parameetrite väärtusi, mille jaoks võrrandil on erilahendused, nimetatakse iseloomulikeks või omaväärtused; neil on paljude ülesannete täitmisel oluline roll.

Lihtsa harmoonilise liikumise võrrand on näide olulisest võrrandiklassist, nimelt konstantsete koefitsientidega lineaarsetest diferentsiaalvõrranditest. Rohkem üldine näide(ka teist järku) – võrrand

Kus a Ja b- antud konstandid, f(x) on antud funktsioon. Selliseid võrrandeid saab lahendada erinevatel viisidel, kasutades näiteks integraali Laplace'i teisendust. Sama võib öelda konstantsete koefitsientidega kõrgema järgu lineaarsete võrrandite kohta. Mitte väike roll nad mängivad ka lineaarvõrrandid muutuva koefitsiendiga.

Mittelineaarsed diferentsiaalvõrrandid.

Võrrandeid, mis sisaldavad tundmatuid funktsioone ja nende tuletisi astmetest, mis on suuremad kui esimene või mõnel keerulisemal viisil, nimetatakse mittelineaarseteks. IN viimased aastad nad tõmbavad üha rohkem tähelepanu. Fakt on see, et füüsikalised võrrandid on tavaliselt lineaarsed ainult esimese lähendusega; Edasised ja täpsemad uuringud nõuavad reeglina mittelineaarsete võrrandite kasutamist. Lisaks on paljud probleemid olemuselt mittelineaarsed. Kuna mittelineaarsete võrrandite lahendused on sageli väga keerulised ja neid on raske ette kujutada lihtsad valemid, Oluline osa kaasaegne teooria on pühendatud nende käitumise kvalitatiivsele analüüsile, s.t. meetodite väljatöötamine, mis võimaldavad ilma võrrandit lahendamata öelda midagi olulist lahenduste olemuse kohta tervikuna: näiteks, et need kõik on piiratud või perioodilised või sõltuvad teatud viisil koefitsiendid.

Diferentsiaalvõrrandite ligikaudseid lahendusi võib leida numbriliselt, kuid see nõuab palju aega. Kiirete arvutite tulekuga vähenes see aeg oluliselt, mis avas uued võimalused paljude probleemide arvuliseks lahendamiseks, mis varem olid sellise lahenduse jaoks raskesti lahendatavad.

Olemasoluteoreemid.

Eksisteerimise teoreem on teoreem, mis väidab, et teatud tingimustel on antud diferentsiaalvõrrandil lahendus. On diferentsiaalvõrrandeid, millel pole lahendusi või on neid oodatust rohkem. Olemisteoreemi eesmärk on veenda meid, et antud võrrandil on tegelikult lahendus, ja kõige sagedamini kinnitada, et sellel on täpselt üks nõutavat tüüpi lahend. Näiteks võrrand, mida oleme juba kohanud dy/dx = –2y millel on täpselt üks lahendus, mis läbib iga tasandi punkti ( x,y) ja kuna oleme ühe sellise lahenduse juba leidnud, oleme seega selle võrrandi täielikult lahendanud. Teisest küljest võrrand ( dy/dx) 2 = 1 – y 2-l on palju lahendusi. Nende hulgas on sirged y = 1, y= –1 ja kõverad y= sin( x + c). Lahendus võib koosneda nende sirgjoonte ja kõverate mitmest segmendist, mis lähevad kokkupuutepunktides üksteise sisse (joonis 2).

Osadiferentsiaalvõrrandid.

Tavaline diferentsiaalvõrrand on väide ühe muutuja tundmatu funktsiooni tuletise kohta. Osaline diferentsiaalvõrrand sisaldab kahe või enama muutuja funktsiooni ja selle funktsiooni tuletisi vähemalt kahe erineva muutuja suhtes.

Füüsikas on selliste võrrandite näideteks Laplace'i võrrand

X, y) ringi sees, kui väärtused u määratud piiritleva ringi igas punktis. Kuna füüsikas on rohkem kui ühe muutujaga seotud probleemid pigem reegel kui erand, on lihtne ette kujutada, kui ulatuslik on osadiferentsiaalvõrrandite teooria teema.

Tavaline diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja, selle muutuja tundmatu funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi (või diferentsiaale).

Diferentsiaalvõrrandi järjekord nimetatakse selles sisalduva kõrgeima tuletise järguks.

Lisaks tavalistele uuritakse ka osadiferentsiaalvõrrandeid. Need on võrrandid, mis seostavad sõltumatuid muutujaid, nende muutujate tundmatut funktsiooni ja selle osalisi tuletisi samade muutujate suhtes. Kuid me kaalume ainult tavalised diferentsiaalvõrrandid ja seetõttu jätame lühiduse huvides sõna "tavaline".

Diferentsiaalvõrrandite näited:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Võrrand (1) on neljandat järku, võrrand (2) on kolmandat järku, võrrandid (3) ja (4) on teist järku, võrrand (5) on esimest järku.

Diferentsiaalvõrrand n järjekord ei pea tingimata sisaldama selgesõnalist funktsiooni, kõiki selle tuletisi esimesest kuni n-th järk ja sõltumatu muutuja. See ei tohi selgesõnaliselt sisaldada teatud järjestuste, funktsiooni või sõltumatu muutuja tuletisi.

Näiteks võrrandis (1) puuduvad selgelt kolmandat ja teist järku tuletised, samuti funktsioon; võrrandis (2) - teist järku tuletis ja funktsioon; võrrandis (4) - sõltumatu muutuja; võrrandis (5) - funktsioonid. Ainult võrrand (3) sisaldab eksplitsiitselt kõiki tuletisi, funktsiooni ja sõltumatut muutujat.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine kutsutakse iga funktsioon y = f(x), kui võrrandisse asendada, muutub see identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse selle protsessiks integratsiooni.

Näide 1. Leia diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Lahendus. Kirjutame selle võrrandi kujul . Lahendus on leida funktsioon selle tuletisest. Algfunktsioon, nagu on teada integraalarvutusest, on antiderivaat, s.o.

Seda see on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus . Muutumine selles C, saame erinevaid lahendusi. Saime teada, et esimest järku diferentsiaalvõrrandil on lõpmatu arv lahendusi.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend n järjekord on selle lahendus, mis on sõnaselgelt väljendatud tundmatu funktsiooni suhtes ja sisaldab n sõltumatud suvalised konstandid, st.

Näite 1 diferentsiaalvõrrandi lahendus on üldine.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahendust, kus suvalistele konstantidele antakse konkreetsed arvväärtused.

Näide 2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahendus ja konkreetne lahendus .

Lahendus. Integreerime võrrandi mõlemad pooled mitu korda, mis on võrdne diferentsiaalvõrrandi järjekorraga.

,

.

Selle tulemusena saime üldise lahenduse -

antud kolmandat järku diferentsiaalvõrrandist.

Nüüd leiame konkreetse lahenduse kindlaksmääratud tingimustel. Selleks asendage suvaliste koefitsientide asemel nende väärtused ja hankige

.

Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile on algtingimus antud kujul , siis sellist ülesannet nn. Cauchy probleem . Asendage väärtused ja võrrandi üldlahendisse ning leidke suvalise konstandi väärtus C, ja seejärel leitud väärtuse võrrandi konkreetne lahendus C. See on Cauchy probleemi lahendus.

Näide 3. Lahendage näite 1 diferentsiaalvõrrandi Cauchy ülesanne objektiga .

Lahendus. Asendame algtingimuse väärtused üldlahendusega y = 3, x= 1. Saame

Kirjutame selle esimest järku diferentsiaalvõrrandi Cauchy probleemi lahenduse:

Diferentsiaalvõrrandite, ka kõige lihtsamate, lahendamine nõuab häid integreerimis- ja tuletamisoskusi, sealhulgas keerulisi funktsioone. Seda võib näha järgmises näites.

Näide 4. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Lahendus. Võrrand on kirjutatud sellisel kujul, et saate kohe integreerida mõlemad pooled.

.

Rakendame integreerimise meetodit muutuja muutmise teel (asendamine). Las siis olla.

Kohustuslik võtta dx ja nüüd - tähelepanu - teeme seda vastavalt kompleksfunktsiooni eristamise reeglitele, kuna x ja seal on keeruline funktsioon("õun" - ekstraheerimine ruutjuur või mis on sama asi - "pooleks" tõstmine ja "hakkliha" on juure all olev väljend):

Leiame integraali:

Tulles tagasi muutuja juurde x, saame:

.

See on selle esimese astme diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel pole vaja mitte ainult kõrgema matemaatika eelmiste osade oskusi, vaid ka alg-, st koolimatemaatika oskusi. Nagu juba mainitud, ei pruugi mis tahes järku diferentsiaalvõrrandis olla sõltumatut muutujat, see tähendab muutujat x. Seda probleemi aitavad lahendada koolist saadud teadmised proportsioonide kohta, mis pole (olenevalt aga kes) koolist unustatud. See on järgmine näide.