Võimatud figuurid ja nende modelleerimine. Võimatud figuurid reaalses maailmas Võimatu maailm reaalses maailmas

Võimatu on mis
mida ei saa eksisteerida...
või juhtub...

Tunni eesmärk:õpilaste kolmemõõtmelise nägemise arendamine; oskus selgitada konkreetse kujundi olemasolu võimatust geomeetria seisukohalt; aine vastu huvi arendamine.

Varustus: ajaleht, mis põhineb saidi "Impossible World" (Internet) materjalidel, kujundite konstrueerimise tööriistad, geomeetrilised kujundid, võimatute kujundite illustratsioonid.

Tundide ajal:

Sissejuhatus:
Läbi ajaloo on inimesed kohanud üht või teist tüüpi optilist illusiooni. Piisab, kui meenutada miraaži kõrbes, valguse ja varju loodud illusioone, aga ka suhtelist liikumist. Laialt on tuntud järgmine näide: horisondist tõusev kuu näib palju suurem, kui ta kõrgel taevas on. Kõik need on vaid mõned huvitavad nähtused, mis looduses esinevad. Kui neid silmi ja mõistust eksitavaid nähtusi esimest korda märgati, hakkasid need inimeste kujutlusvõimet ergutama.

Alates iidsetest aegadest on optilisi illusioone kasutatud kunstiteoste mõju suurendamiseks või täiustamiseks välimus arhitektuuriloomingut. Vanad kreeklased kasutasid oma suurte templite välimuse täiustamiseks optilisi illusioone. Keskajal kasutati maalikunstis mõnikord nihutatud perspektiivi. Hiljem kasutati graafikas palju muid illusioone. Nende hulgas on ainus omataoline ja suhteliselt uut tüüpi optiline illusioon, mida tuntakse kui "võimatuid objekte".

Tehnilistel aladel töötavate inimeste üheks oluliseks oskuseks on võime tajuda kolmemõõtmelisi objekte kahemõõtmelises tasapinnas. "Impossible Objects" on üles ehitatud perspektiivi ja sügavusega trikkide kasutamisele kahemõõtmelises ruumis. Reaalses kolmemõõtmelises ruumis võimatud, need mõjutavad meie nägemust nihutatud perspektiivi, sügavuse ja tasapinnaga manipuleerimise, petlike optiliste näpunäidete, plaanide ebakõlade, valguse ja varju mängu, ebaselgete ühenduste, valede ja vastuoluliste suundade ja seoste, muudetud koodi kaudu. punktid ja teised. "nipid", mida graafik kasutab.

Võimatute objektide tahtlik kasutamine disainis pärineb iidsetest aegadest enne klassikalise perspektiivi tulekut. Kunstnikud püüdsid leida uusi lahendusi. Näiteks võib tuua 15. sajandist pärit kuulutuse kujutamise Maarja katedraali freskol Hollandis Breda linnas. Maalil on kujutatud peaingel Gabrieli, kes toob Maarjale teate oma tulevasest pojast. Freskot raamivad kaks kaarevõlvi, mida omakorda toetavad kolm sammast. Siiski peaksite pöörama tähelepanu keskmisele veerule. Erinevalt teistest kaob ta ahju taha taustale. Praktilisest aspektist lähtudes kasutas kunstnik seda "võimatust" erilise tehnikana, et vältida stseeni kaheks pooleks jagamist.

Sellise kaare näide on näidatud joonisel fig. 1

"Võimatud kujundid"on jagatud 4 rühma. Proovime nüüd igast rühmast välja sorteerida peamised näitajad. Niisiis, esimene:

Õpilane 1:

Hämmastav kolmnurk - tribar.

See kujund on võib-olla esimene võimatu objekt, mis on trükis avaldatud. See ilmus 1958. aastal. Selle autorid, isa ja poeg Lionell ning Roger Penrose, vastavalt geneetik ja matemaatik, määratlesid objekti kui "kolmemõõtmelist ristkülikukujulist struktuuri". Seda nimetati ka "tribariks".

Määrake, mis on geomeetriliselt võimatu.

(Esmapilgul näib tribar olevat lihtsalt võrdkülgse kolmnurga kujutis. Kuid pildi ülaosas koonduvad küljed on risti. Samal ajal paistavad allolevad vasak ja parem serv risti. Kui vaadata iga detaili eraldi, tundub see reaalne, aga üldiselt seda kujundit eksisteerida ei saa. See ei ole deformeerunud, kuid joonistamisel olid õiged elemendid valesti ühendatud.)

Siin on veel mõned näited tribaril põhinevatest võimatutest kujunditest. Proovige selgitada nende võimatust.

Kolmekordne kõverdatud tribar

Kolmnurk 12 kuubikuga

Tiivuline tribar

Kolmekordne doomino

Õpilane 2:

Lõputu trepp

Seda kuju nimetatakse kõige sagedamini "lõpututeks trepiks", "igavesteks trepiks" või "Penrose'i trepiks" - selle looja järgi. Seda nimetatakse ka "pidevalt tõusvaks ja laskuvaks teeks".

See arv avaldati esmakordselt 1958. aastal. Meie ette kerkib trepp, mis näiliselt viib üles või alla, kuid samas ei tõuse ega lange seda mööda kõndija. Pärast visuaalse marsruudi läbimist leiab ta end tee algusest.

“Lõputu treppi” kasutas edukalt kunstnik Maurits K. Escher, seekord 1960. aastal loodud litograafias “Tõus ja laskumine”.

Nelja või seitsme astmega trepp.

Selle figuuri loomiseks suur summa Autori sammud võisid olla inspireeritud tavaliste raudteeliiprite hunnikust. Kui olete sellel redelil ronimas, seisate valiku ees: kas ronida nelja või seitsme astme võrra.

Proovige selgitada, milliseid omadusi selle trepi loojad kasutasid.

(Selle trepi loojad kasutasid paralleelseid jooni, et kujundada võrdsete vahedega plokkide otsad; mõned plokid näivad olevat väänatud, et need sobiksid illusiooniga).

Soovitatav on vaadata veel ühte joonist. Astme sein.

Õpilane 3:

Järgmine figuuride rühm all üldnimetus"Kosmose kahvel" Selle kujundiga siseneme võimatuse tuuma ja olemuseni. See võib olla suurim võimatute objektide klass.

See kurikuulus kolme (või kahe?) hambaga võimatu objekt sai inseneride ja mõistatushuviliste seas populaarseks 1964. aastal. Esimene ebatavalisele figuurile pühendatud väljaanne ilmus 1964. aasta detsembris. Autor nimetas seda "kolmest elemendist koosnevaks traksiks". Selle uut tüüpi mitmetähendusliku kujundi ebakõla tajumine ja (võimaluse korral) lahendamine nõuab visuaalses fikseerimises tõelist nihet. Praktilisest vaatenurgast on see kummaline kolmharu või klambritaoline mehhanism absoluutselt rakendamatu. Mõned nimetavad seda lihtsalt "kahjuks veaks". Üks kosmosetööstuse esindajatest tegi ettepaneku kasutada selle omadusi mõõtmetevahelise kosmosehäälestushargi ehitamisel.

Nelja kaksiksambaga torn.

Õpilane 4:

Teine võimatu objekt ilmus 1966. aastal Chicagos fotograaf dr Charles F. Cochrani originaalkatsete tulemusena. Paljud võimatute kujude armastajad on Hullu Kastiga katsetanud. Autor nimetas seda algselt "vabaks kastiks" ja teatas, et see oli "mõeldud suurel hulgal võimatute objektide saatmiseks".

“Pöörane kast” on pahupidi pööratud kuubiku raam. Crazy Box'i vahetu eelkäija oli Impossible Box (autor Escher) ja selle eelkäija oli omakorda Necker Cube.

See ei ole võimatu objekt, kuid see on kujund, mille sügavuse parameetrit on võimalik mitmeti mõistetavalt tajuda.

Neckeri kuubikut kirjeldas esmakordselt 1832. aastal Šveitsi kristallograaf Lewis A. Necker, kes märkas, et kristallid muudavad mõnikord visuaalselt kuju, kui neid vaadata. Kui vaatame Neckeri kuubikut, märkame, et täpiga nägu on kas esiplaanil või tagaplaanil, see hüppab ühest asendist teise.

Veel paar võimatut kuju.

Õpetaja:

Nüüd proovige ise luua mõni võimatu kujund.

Tund lõpeb sellega, et õpilased proovivad iseseisvalt joonistada võimatut kujundit.

Paljud inimesed usuvad, et võimatud kujundid on tõesti võimatud ja neid ei saa sisse luua päris maailm. Samas alates koolikursus Geomeetrias teame, et paberilehel kujutatud joonis on ruumilise kujundi projektsioon tasapinnale. Seetõttu peab iga paberile joonistatud kujund eksisteerima kolmemõõtmelises ruumis. Veelgi enam, kolmemõõtmelised objektid, kui need projitseeritakse tasapinnale, annavad antud lame figuur lõpmatu arv. Sama kehtib ka võimatute arvude kohta.

Loomulikult ei saa sirgjooneliselt tegutsedes luua ühtegi võimatut kujundit. Näiteks kui võtate kolm identset puutükki, ei saa te neid kombineerida, et moodustada võimatu kolmnurk. Ruumilise kujundi tasapinnale projitseerimisel võivad aga mõned jooned muutuda nähtamatuks, kattuda üksteisega, liituda jne. Selle põhjal saame võtta kolm erinevat varda ja teha alloleval fotol näidatud kolmnurga (joonis 1). Selle foto lõi kuulus M.K. teoste populariseerija. Escher, autor suur kogus Bruno Ernsti raamatud. Peal esiplaanil fotodel näeme figuuri võimatu kolmnurk. Taustal on peegel, mis peegeldab sama kujundit erinevast vaatenurgast. Ja me näeme, et tegelikult pole võimatu kolmnurga kujund mitte suletud, vaid avatud kujund. Ja ainult sellest punktist, kust me figuuri vaatame, tundub, et figuuri vertikaalne riba läheb horisontaalsest ribast kaugemale, mille tulemusena näib kujund võimatuna. Kui me vaatamisnurka veidi nihutaksime, näeksime kohe joonisel tühimikku ja see kaotaks oma võimatuse efekti. See, et võimatu kujund näib võimatu ainult ühest vaatenurgast, on omane kõigile võimatutele kujudele.

Riis. 1. Bruno Ernsti foto võimatust kolmnurgast.

Nagu eespool mainitud, on antud projektsioonile vastavate kujundite arv lõpmatu, seega ülaltoodud näide seda ei ole ainus viis reaalsuses võimatu kolmnurga konstrueerimine. Belgia kunstnik Mathieu Hamaekers lõi joonisel fig 1 näidatud skulptuuri. 2. Vasakpoolsel fotol on kujutatud figuuri eestvaade, muutes selle võimatuks kolmnurgaks, keskmisel fotol on sama kujund 45° pööratud ja parempoolsel fotol 90° pööratud kujund.

Riis. 2. Foto võimatust kolmnurgast, autor Mathieu Hemakerz.

Nagu näete, pole sellel joonisel ühtegi sirged jooned, kõik joonise elemendid on teatud viisil kõverad. Kuid nagu ka eelmisel juhul, on võimatuse mõju märgatav ainult ühe vaatenurga puhul, kui kõik kõverjooned on projitseeritud sirgjoonteks ja kui te mõnele varjule tähelepanu ei pööra, tundub joonis võimatu.

Teise võimaluse võimatu kolmnurga loomiseks pakkus välja vene kunstnik ja disainer Vjatšeslav Koleitšuk, mis avaldati ajakirjas “Tehniline esteetika” nr 9 (1974). Kõik selle kujunduse servad on sirged ja servad on kumerad, kuigi see kumerus pole joonise eestvaates nähtav. Sellise kolmnurga mudeli lõi ta puidust.

Riis. 3. Vjatšeslav Koleichuki võimatu kolmnurga mudel.

Hiljem lõi selle mudeli uuesti Gershon Elber, Iisraeli Technioni Instituudi arvutiteaduse osakonna liige. Selle versioon (vt joon. 4) kujundati esmalt arvutis ja seejärel taastati tegelikkuses kolmemõõtmelise printeri abil. Kui nihutame veidi võimatu kolmnurga vaatenurka, näeme joonisel fig. 4.

Riis. 4. Elber Gershoni võimatu kolmnurga konstrueerimise variant.

Väärib märkimist, et kui vaataksime nüüd figuure endid, mitte nende fotosid, näeksime kohe, et ükski esitatud figuur pole võimatu ja mis on nende kõigi saladus. Me lihtsalt ei näeks neid arve, kuna meil on stereoskoopiline nägemine. See tähendab, et meie silmad, mis asuvad üksteisest teatud kaugusel, näevad sama objekti kahest lähedasest, kuid siiski erinevast vaatepunktist ja meie aju, olles saanud meie silmadelt kaks pilti, ühendab need üheks pildiks. Varem öeldi, et võimatu objekt näib võimatu ainult ühest vaatenurgast ja kuna me vaatame objekti kahest vaatenurgast, siis näeme kohe nippe, mille abil see või teine ​​objekt on loodud.

Kas see tähendab, et tegelikkuses on võimatut objekti ikkagi võimatu näha? Ei, sa saad. Kui sulged ühe silma ja vaatad figuuri, tundub see võimatu. Seetõttu on muuseumides võimatute kujude demonstreerimisel külastajad sunnitud neid ühe silmaga läbi väikese augu seinas vaatama.

On veel üks viis, kuidas näha võimatut kuju, mõlema silmaga korraga. See koosneb järgmisest: on vaja luua tohutu kuju, mille kõrgus on mitmekorruseline hoone, asetada see avarasse avatud ruumi ja vaadata seda väga kaugelt. Sel juhul, isegi mõlema silmaga figuuri vaadates, tajute seda võimatuna, kuna teie mõlemad silmad saavad pilte, mis praktiliselt ei erine üksteisest. Selline võimatu kuju loodi Austraalia linnas Perthis.

Kui reaalses maailmas on võimatut kolmnurka suhteliselt lihtne konstrueerida, siis kolmemõõtmelises ruumis võimatu kolmnurkse loomine pole nii lihtne. Selle figuuri eripäraks on vastuolu olemasolu figuuri esiplaani ja tausta vahel, kui figuuri üksikud elemendid sulanduvad sujuvalt taustaga, millel figuur asub.

Riis. 5. Disain on sarnane võimatule kolmharule.

Aacheni (Saksamaa) asuv silmaoptika instituut suutis selle probleemi lahendada spetsiaalse installatsiooni loomisega. Disain koosneb kahest osast. Ees on kolm ümmargust kolonni ja ehitaja. See osa on valgustatud ainult alt. Sammaste taga on poolläbilaskev peegel, mille ees paikneb peegeldav kiht ehk vaataja ei näe seda, mis on peegli taga, vaid näeb selles vaid sammaste peegeldust.

Riis. 6. Paigaldusskeem, mis jäljendab võimatut kolmharu.

Võimatud kujundid - kujutava kunsti eritüüpi objektid. Tavaliselt nimetatakse neid nii, sest nad ei saa reaalses maailmas eksisteerida.

Täpsemalt on võimatud kujundid paberile joonistatud geomeetrilised objektid, mis jätavad mulje ruumilise objekti tavalisest projektsioonist, kuid hoolikal uurimisel tulevad nähtavale vastuolud kujundi elementide seostes.

Võimatud kujundid liigitatakse eraldi optiliste illusioonide klassi.

Võimatud ehitused on tuntud juba iidsetest aegadest. Neid on ikoonidelt leitud juba keskajast. Rootsi kunstnikku peetakse võimatute kujude "isaks". Oscar Reutersvard, kes joonistas 1934. aastal kuubikutest tehtud võimatu kolmnurga.

Võimatud figuurid said laiemale avalikkusele tuntuks eelmise sajandi 50. aastatel pärast Roger Penrose'i ja Lionel Penrose'i artikli avaldamist, milles kirjeldati kahte põhifiguuri - võimatut kolmnurka (mida nimetatakse ka kolmnurgaks).Penrose) ja lõputu trepp. See artikkel sattus kuulsa Hollandi kunstniku kätteM.K. Escher, kes võimatute kujundite ideest inspireerituna lõi oma kuulsad litograafiad "Juga", "Tõus ja laskumine" ja "Belvedere". Tema järel hakkas tohutu hulk kunstnikke üle maailma kasutama oma töös võimatuid kujundeid. Tuntuimad neist on Jos de Mey, Sandro del Pre, Ostvan Oros. Nende, aga ka teiste kunstnike tööd eristuvad eraldi suunana kujutav kunst - " imp-kunst" .

Võib tunduda, et kolmemõõtmelises ruumis ei saa tõesti eksisteerida võimatuid kujundeid. Sööma teatud viisid, mis võimaldavad reprodutseerida reaalses maailmas võimatuid kujundeid, kuigi need näivad võimatud vaid ühest vaatenurgast.

Kõige kuulsamad võimatud kujundid on: võimatu kolmnurk, lõpmatu trepp ja võimatu kolmhark.

Artikkel ajakirjast Science and Life "Võimatu reaalsus" lae alla

Oscar Ruthersward(venekeelses kirjanduses tavapärane perekonnanime kirjapilt; õigemini Reuterswerd), ( 1 915 - 2002) on Rootsi kunstnik, kes on spetsialiseerunud võimatute kujundite kujutamisele, st nendele, mida saab kujutada, kuid mida ei saa luua. Üks tema kujudest sai edasine areng nagu Penrose'i kolmnurk.

Alates 1964. aastast Lundi ülikooli ajaloo ja kunstiteooria professor.

Rutersvardi mõjutasid suuresti vene immigrandi, Peterburi Kunstiakadeemia professori Mihhail Katzi õppetunnid. Esimese võimatu kuju – kuubikute komplektist tehtud võimatu kolmnurga – lõi ta kogemata 1934. aastal. Hiljem joonistas ta loovuse aastate jooksul üle 2500 erineva võimatu kuju. Kõik need on tehtud paralleelsest "jaapani" vaatenurgast.

1980. aastal andis Rootsi valitsus välja rea ​​kolmest postmargid kunstniku maalidega.

tehnikateaduste kandidaat D. RAKOV (A. A. Blagonravov RASi nimeline mehaanikateaduste instituut).

On suur hulk pilte, mille kohta võib öelda: "Mida me näeme? Midagi kummalist." Need on moonutatud perspektiiviga joonised ja meie jaoks võimatud kolmemõõtmeline maailm objektid ja kujuteldamatud kombinatsioonid väga reaalsetest objektidest. 11. sajandi alguses ilmunud sellistest “veidratest” joonistustest ja fotodest on tänaseks saanud terve kunstiliik, mida nimetatakse imp art’iks.

William Hogard. "Impossible Perspective", kus tehakse teadlikult vähemalt neliteist vaateviga.

Madonna ja laps. 1025

Pieter Bruegel. "Harakas õngepuul" 1568

Oscar Rootesward. "Oopus 1" (nr 293aa). 1934. aastal

Oscar Rootesward. "Oopus 2B". 1940. aasta

Maurits Cornelius Escher. "Tõus ja laskumine."

Roger Penrose. "Võimatu kolmnurk" 1954. aastal

"Võimatu kolmnurga" ehitamine.

Skulptuur "Võimatu kolmnurk", vaade erinevatest külgedest. See on ehitatud kumeratest elementidest ja tundub võimatu vaid ühest punktist.

Ill. 1. Morfoloogiline tabel võimatute objektide klassifitseerimiseks.

Inimene hakkab pilti uurima vasakust alumisest nurgast (1), seejärel suunab pilgu esmalt keskele (2) ja seejärel punkti 3.

Olenevalt suunast, mida me vaatame, näeme erinevaid objekte.

Võimatu tähestik on kombinatsioon võimalikest ja võimatutest kujunditest, mille hulgas on isegi raami element. Autori joonistus.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

"Moskva" (metrooliini skeem) ja "Kaks saatusejoont". Autori joonistused; arvuti töötlemine. 2003. aasta Joonised demonstreerivad uusi võimalusi diagrammide ja graafikute loomiseks.

Teadus ja elu // Illustratsioonid

Kuubik kuubis ("Kolm tigu"). Pööratud pildil on suurem "võimatus" kui originaalil.

"Kuradi kahvel." Selle joonise põhjal on loodud palju võimatuid pilte.

Mida me näeme – püramiidi või ava?

Natuke ajalugu

Moonutatud perspektiiviga maale võib leida juba I aastatuhande alguses. Miniatuuris Henry II raamatust, mis on loodud enne 1025. aastat ja mida hoitakse Baierimaal riigiraamatukogu Münchenis maalitakse Madonna ja laps. Maalil on kujutatud kolmest sambast koosnevat võlvi, mille keskmine sammas peaks perspektiiviseaduste järgi asuma Madonna ees, kuid jääb tema taha, mis annab maalile sürreaalse efekti. Kahjuks ei saa me kunagi teada, kas see tehnika oli kunstniku teadlik tegu või tema viga.

Mitmete keskaja maalikunstnike seas leidub kujundeid võimatutest figuuridest, mitte teadliku suunana maalikunstis, vaid kui võtteid, mis suurendavad pildi tajumise mõju. Pieter Bruegeli 1568. aastal loodud maal "Harakas õngedel" näitab võimatu disainiga võllapuud, mis lisab kogu maalile efekti. 18. sajandi inglise kunstniku William Hogarthi tuntud gravüür "False Perspective" näitab absurdsust, milleni võib viia kunstniku teadmatus perspektiiviseadustest.

Kunstnik Marcel Duchamp maalis 20. sajandi alguses reklaammaali "Apolinere enameled" (1916-1917), mida hoiti Philadelphia kunstimuuseumis. Lõuendil oleva voodi kujunduses näete võimatuid kolm- ja nelinurki.

Võimatu kunsti suuna – imp-art (imp-kunst, võimatu kunst) rajajat kutsutakse õigusega Rootsi kunstnikuks Oscar Rutesvardiks (Oscar Reutersvard). Esimese võimatu kuju "Opus 1" (N 293aa) joonistas meister 1934. aastal. Kolmnurk koosneb üheksast kuubist. Kunstnik jätkas katseid ebatavaliste objektidega ja lõi 1940. aastal kujundi “Opus 2B”, mis on vähendatud võimatu kolmnurk, mis koosneb vaid kolmest kuubist. Kõik kuubikud on tõelised, kuid nende paiknemine kolmemõõtmelises ruumis on võimatu.

Sama kunstnik lõi ka “võimatu trepi” prototüübi (1950). Tuntuima klassikalise kuju, võimatu kolmnurga, lõi inglise matemaatik Roger Penrose 1954. aastal. Ta kasutas lineaarne perspektiiv, mitte paralleelne, nagu Rootesward, mis andis pildile sügavuse ja väljendusrikkuse ning seega suurema võimatuse.

Enamik kuulus kunstnik M. C. Escherist sai imp art. Tema kuulsaimate tööde hulka kuuluvad maalid “Juga” (1961) ja “Tõusev ja laskuv”. Kunstnik kasutas "lõputu trepi" efekti, mille avastas Rootesward ja mida hiljem laiendas Penrose. Lõuendil on kujutatud kahte rida mehi: päripäeva liikudes mehed pidevalt tõusevad, vastupäeva liikudes laskuvad.

Natuke geomeetriat

Optiliste illusioonide loomiseks on palju võimalusi (ladina sõnast "iliusio" - viga, pettekujutelm - objekti ja selle omaduste ebapiisav tajumine). Üks suurejoonelisemaid on imp art’i suund, mis põhineb võimatute kujundite kujutistel. Võimatud objektid on joonistused tasapinnal (kahemõõtmelised kujutised), mis on teostatud nii, et vaatajale jääb mulje, et sellist struktuuri meie reaalses kolmemõõtmelises maailmas eksisteerida ei saa. Klassikaline, nagu juba mainitud, ja üks lihtsamaid selliseid kujundeid on võimatu kolmnurk. Iga kujundi osa (kolmnurga nurgad) eksisteerib meie maailmas eraldi, kuid nende kombineerimine kolmemõõtmelises ruumis on võimatu. Kogu figuuri tajumine selle tegelike osade ebakorrapäraste ühenduste kompositsioonina toob kaasa võimatu struktuuri petliku mõju. Pilk libiseb mööda võimatu kuju servi ega suuda seda loogilise tervikuna tajuda. Tegelikkuses püüab vaade rekonstrueerida tegelikku kolmemõõtmelist struktuuri (vt joonist), kuid satub lahknevusse.

Geomeetrilisest vaatenurgast on kolmnurga võimatus see, et kolm kiirt on ühendatud paarikaupa, kuid mööda kolme erinevat telge Descartes'i süsteem koordinaadid, moodustage suletud kujund!

Võimatute objektide tajumise protsess jaguneb kaheks etapiks: kujundi äratundmine kolmemõõtmelise objektina ning objekti “ebakorrapärasuse” ja kolmemõõtmelises maailmas eksisteerimise võimatuse mõistmine.

Võimatute kujundite olemasolu

Paljud inimesed usuvad, et võimatud kujundid on tõesti võimatud ja neid ei saa reaalses maailmas luua. Kuid me peame meeles pidama, et iga joonis paberilehele on kolmemõõtmelise kujundi projektsioon. Seetõttu peab iga paberile joonistatud kujund eksisteerima kolmemõõtmelises ruumis. Võimatud objektid maalidel on kolmemõõtmeliste objektide projektsioonid, mis tähendab, et objekte saab realiseerida kujul skulptuursed kompositsioonid(kolmemõõtmelised objektid). Nende loomiseks on palju võimalusi. Üks neist on kõverate joonte kasutamine võimatu kolmnurga külgedena. Loodud skulptuur näib võimatu vaid ühest punktist. Sellest hetkest alates näevad kumerad küljed sirged ja eesmärk saavutatakse - luuakse tõeline "võimatu" objekt.

Impkunsti eelistest

Oscar Rootesvaard räägib raamatus “Omojliga figurer” (on venekeelne tõlge) imp art joonistuste kasutamisest psühhoteraapias. Ta kirjutab, et maalid oma paradoksidega äratavad üllatust, koondavad tähelepanu ja dešifreerimishimu. Rootsis kasutatakse neid hambaravis: ootesaalis pilte vaadates juhitakse patsiente hambaarsti kabineti ees ebameeldivatest mõtetest eemale. Meenutades, kui kaua tuleb Venemaa erinevates bürokraatlikes ja muudes asutustes vastuvõttu oodata, võib arvata, et võimatud pildid vastuvõtualade seintel võivad ooteaega ilmestada, rahustades külastajaid ja vähendades seeläbi sotsiaalset agressiooni. Teine võimalus oleks paigaldada vastuvõtualadesse mänguautomaadid või näiteks nooleviske sihtmärkideks vastavate nägudega mannekeenid, kuid kahjuks ei soodustatud Venemaal sellist uuendust kunagi.

Taju fenomeni kasutamine

Kas on kuidagi võimalik võimetuse mõju tugevdada? Kas mõned objektid on "võimatumad" kui teised? Ja siin tulevad appi inimtaju iseärasused. Psühholoogid on leidnud, et silm hakkab objekti (pilti) uurima vasakust alumisest nurgast, seejärel libiseb pilk paremale keskele ja langeb pildi alumisse paremasse nurka. See trajektoor võib olla tingitud asjaolust, et meie esivanemad vaatasid vaenlasega kohtudes esmalt kõige ohtlikumat. parem käsi, ja seejärel liikus pilk vasakule, näole ja figuurile. Seega kunstiline taju sõltub oluliselt sellest, kuidas pildi kompositsioon on üles ehitatud. See omadus avaldus selgelt keskajal seinavaipade valmistamisel: nende disain oli peegelpilt originaalsed ning seinavaipade ja originaalide tekitatud mulje erineb.

Seda omadust saab edukalt kasutada võimatute objektidega loomingu loomisel, "võimatuse astme" suurendamisel või vähendamisel. Väljavaade saada huvitavad kompositsioonid kasutades arvutitehnoloogiat või mitmest pööratud pildist (võib-olla kasutades erinevat tüüpi sümmeetriad) üksteise suhtes, luues vaatajates objektist erineva mulje ja sügavama arusaamise kujunduse olemusest või sellisest, mis pöörleb (pidevalt või tõmblevalt) lihtsa mehhanismi abil teatud nurkade all.

Seda suunda võib nimetada hulknurkseks (hulknurkseks). Illustratsioonidel on kujutatud üksteise suhtes pööratud pilte. Kompositsioon loodi järgmiselt: tindi ja pliiatsiga tehtud joonistus paberile skaneeriti, konverteeriti digitaalsele kujule ja töödeldi graafiline redaktor. Märkida võib regulaarsust - pööratud pildil on suurem “võimatuse aste” kui originaalil. Seda on lihtne seletada: kunstnik püüab töö käigus alateadlikult luua "õiget" pilti.

Kombinatsioonid, kombinatsioonid

On rühm võimatuid objekte, mille skulptuurne teostus on võimatu. Võib-olla kõige kuulsam neist on "võimatu kolmhark" või "kuradi kahvel" (P3-1). Kui vaatate objekti tähelepanelikult, märkate, et kolm hammast muutuvad järk-järgult kaheks ühisel alusel, mis viib tajukonfliktini. Võrdleme hammaste arvu ülal ja all ning jõuame järeldusele, et objekt on võimatu. “Kahvli” põhjal on loodud väga palju võimatuid objekte, sealhulgas selliseid, mille ühest otsast silindrikujuline osa muutub teisest kandiliseks.

Peale selle illusiooni on veel palju teisi liike optilised illusioonid nägemine (illusioonid suurusest, liikumisest, värvist jne). Sügavuse tajumise illusioon on üks vanemaid ja kuulsamaid optilisi illusioone. Neckeri kuubik (1832) kuulub sellesse rühma ja 1895. aastal avaldas Armand Thiery artikli selle kohta. eriline vorm võimatud arvud. Selles artiklis joonistati esimest korda objekt, mis sai hiljem Thierry nime ja mida opkunsti kunstnikud kasutasid lugematuid kordi. Objekt koosneb viiest identsest rombist, mille küljed on 60 ja 120 kraadi. Joonisel näete kahte kuubikut, mis on ühendatud piki ühte pinda. Alt üles vaadates on selgelt näha alumine kuubik, mille ülaosas on kaks seina, ja ülalt alla vaadates on selgelt näha ülemine kuubik, mille seinad on allpool.

Kõige lihtne kujund Thierry-laadsetest on see ilmselt "püramiidi avamise" illusioon, mis on korrapärane romb, mille keskel on joon. On võimatu täpselt öelda, mida me näeme – pinnast kõrgemale kerkivat püramiidi või sellel olevat avaust (depressiooni). Seda efekti kasutati 2003. aasta graafikas "Labürint (püramiidplaan)". Maal sai diplomi 2003. aastal Budapestis toimunud rahvusvahelisel matemaatikakonverentsil ja näitusel "Ars(Dis)Symmetrica" 03. Teoses on kasutatud sügavuse tajumise illusiooni ja võimatute kujundite kombinatsiooni.

Kokkuvõtteks võib öelda, et imp art suund on nagu komponent optiline kunst areneb aktiivselt ja lähitulevikus ootame selles valdkonnas kahtlemata uusi avastusi.

KIRJANDUS

Rutesward O. Võimatud kujundid. - M.: Stroyizdat, 1990.

Illustratsioonide pealdised

Ill. 1. Artikli autori konstrueeritud tabel ei pretendeeri täielikkusele ja range kord, kuid võimaldab hinnata kõiki võimatuid kujundeid. Tabel sisaldab üle 300 tuhande erinevate elementide kombinatsiooni. Illustratsioonidena kasutati artikli autori graafikat ja Vlad Aleksejevi veebisaidi materjale.

Sissejuhatus…………………………………………………………………………………..2

Põhiosa. Võimatud arvud……………………………………………4

2.1. Natuke ajalugu…………………………………………………………….4

2.2. Võimatute kujundite tüübid……………………………………………….6

2.3. Oscar Ruthersward – võimatu kuju isa…………………………..11

2.4. Võimalikud on võimatud arvud!………………………………………..13

2.5. Võimatute arvude rakendamine………………………………………14

Järeldus……………………………………………………………………………………..15

Bibliograafia………………………………………………………………16

Sissejuhatus

Juba mõnda aega on mind huvitanud figuurid, mis esmapilgul tunduvad tavalised, kuid lähemal vaatlusel on näha, et nendega on midagi valesti. Minu jaoks olid põhihuvi n-ö võimatud kujundid, mida vaadates jääb mulje, et neid ei saa päris maailmas eksisteerida. Tahtsin nende kohta rohkem teada.

“Võimatute kujude maailm” on üks kõige huvitavamad teemad, mis sai oma kiire arengu alles kahekümnenda sajandi alguses. Kuid palju varem tegelesid selle probleemiga paljud teadlased ja filosoofid. Isegi selliseid lihtsaid mahulisi kujundeid nagu kuubik, püramiid, rööptahukas saab kujutada mitmete kujundite kombinatsioonina, mis asuvad vaatleja silmast erinevatel kaugustel. Alati peaks olema joon, mida mööda üksikute osade kujutised ühendatakse terviklikuks pildiks.

"Võimatu kujund on paberile tehtud kolmemõõtmeline objekt, mis reaalsuses eksisteerida ei saa, kuid mida võib siiski vaadelda kahemõõtmelise kujutisena." See on üks tüüpidest optilised illusioonid, figuur, mis esmapilgul näib tavalise kolmemõõtmelise objekti projektsioonina, mille hoolikal uurimisel tulevad nähtavale kujundi elementide vastuolulised seosed. Luuakse illusioon sellise kujundi kolmemõõtmelises ruumis eksisteerimise võimatusest.

Ma seisin silmitsi küsimusega: "Kas reaalses maailmas on võimatuid kujusid?"

Projekti eesmärgid:

1. Uuri välja, mida tehaak loodudIlmuvad ebareaalsed kujundid.

2. Otsige rakendusivõimatud arvud.

Projekti eesmärgid:

1. Uurige kirjandust teemal "Võimatud kujundid".

2 .Tehke klassifikatsioonvõimatud arvud.

3.PMõelge võimatute kujundite konstrueerimise võimalustele.

4. Seda on võimatu luuauus figuur.

Minu töö teema on aktuaalne, sest paradokside mõistmine on üks selle tüübi tunnuseid loominguline potentsiaal, mida valdavad parimad matemaatikud, teadlased ja kunstnikud. Paljusid ebareaalsete objektidega teoseid võib liigitada "intellektuaalseteks" matemaatika mängud" Sellist maailma saab simuleerida ainult kasutades matemaatilised valemid, inimene lihtsalt ei suuda seda ette kujutada. Ja võimatud kujundid on kasulikud ruumilise kujutlusvõime arendamiseks. Inimene loob väsimatult vaimselt enda ümber midagi, mis on tema jaoks lihtne ja arusaadav. Ta ei suuda isegi ette kujutada, et mõned objektid tema ümber võivad olla "võimatud". Tegelikult on maailm üks, kuid seda saab vaadata erinevate nurkade alt.

Võimatuuued kujundid

Natuke ajalugu

Üsna sageli leidub võimatuid figuure iidsetelt gravüüridelt, maalidelt ja ikoonidelt – mõnel juhul on meil perspektiivi ülekandmisel ilmsed vead, teistel – kunstilisest kujundusest tingitud tahtlike moonutustega.

Keskaegses Jaapani ja Pärsia maalikunstis on võimatud objektid lahutamatu osa idapoolne kunstiline stiil, mis annab pildist vaid üldise kontuuri, mille detailid vaataja “peab” iseseisvalt, vastavalt oma eelistustele välja mõtlema. Siin on kool meie ees. Meie tähelepanu juhitakse arhitektuurne struktuur taustal, mille geomeetriline ebaühtlus on ilmne. Seda võib tõlgendada kas ruumi siseseina või hoone välisseinana, kuid mõlemad tõlgendused on valed, kuna tegemist on tasapinnaga, mis on nii välis- kui ka välissein ehk pilt kujutab tüüpilist võimatut objekti.

Moonutatud perspektiiviga maale võib leida juba I aastatuhande alguses. Miniatuur Henry II raamatust, mis on loodud enne 1025. aastat ja mida hoitakse Münchenis Baieri riigiraamatukogus, kujutab Madonnat ja last. Maalil on kujutatud kolmest sambast koosnevat võlvi, mille keskmine sammas peaks perspektiiviseaduste järgi asuma Madonna ees, kuid asub tema taga, mis annab maalile ebareaalsuse efekti.

Liigidvõimatud arvud.

“Võimatud kujundid” on jagatud 4 rühma. Niisiis, esimene:

Hämmastav kolmnurk - tribar.

See kujund on võib-olla esimene võimatu objekt, mis on trükis avaldatud. See ilmus 1958. aastal. Selle autorid, isa ja poeg Lionell ning Roger Penrose, vastavalt geneetik ja matemaatik, määratlesid objekti kui "kolmemõõtmelist ristkülikukujulist struktuuri". Seda nimetati ka "tribariks". Esmapilgul näib tribar olevat lihtsalt võrdkülgse kolmnurga kujutis. Kuid pildi ülaosas koonduvad küljed on risti. Samal ajal paistavad allolevad vasak ja parem serv risti. Kui vaadata iga detaili eraldi, tundub see reaalne, kuid üldiselt ei saa seda kujundit eksisteerida. See ei ole deformeerunud, kuid joonistamisel olid õiged elemendid valesti ühendatud.

Siin on veel mõned näited tribaril põhinevatest võimatutest kujunditest.

Lõputu trepp

Seda kuju nimetatakse kõige sagedamini "lõpututeks trepiks", "igavesteks trepiks" või "Penrose'i trepiks" - selle looja järgi. Seda nimetatakse ka "pidevalt tõusvaks ja laskuvaks teeks".

See arv avaldati esmakordselt 1958. aastal. Meie ette kerkib trepp, mis näiliselt viib üles või alla, kuid samas ei tõuse ega lange seda mööda kõndija. Pärast visuaalse marsruudi läbimist leiab ta end tee algusest.

“Lõputu treppi” kasutas edukalt kunstnik Maurits K. Escher, seekord 1960. aastal loodud litograafias “Tõus ja laskumine”.

Nelja või seitsme astmega trepp. Selle suure astmete arvuga figuuri loomine võis olla inspireeritud tavaliste raudteeliiprite hunnikust. Kui olete sellel redelil ronimas, seisate valiku ees: kas ronida nelja või seitsme astme võrra.

Selle trepi loojad kasutasid paralleelseid jooni, et kujundada võrdsete vahedega plokkide otsad; Mõned klotsid näivad olevat väänatud, et need sobiksid illusiooniga.

Kosmose kahvel.

Järgmist figuuride rühma nimetatakse ühiseks nimeks "Space Fork". Selle kujundiga siseneme võimatuse tuuma ja olemuseni. See võib olla suurim võimatute objektide klass.

See kurikuulus kolme (või kahe?) hambaga võimatu objekt sai inseneride ja mõistatushuviliste seas populaarseks 1964. aastal. Esimene ebatavalisele figuurile pühendatud väljaanne ilmus 1964. aasta detsembris. Autor nimetas seda "kolmest elemendist koosnevaks traksiks".

Praktilisest vaatenurgast on see kummaline kolmharu või klambritaoline mehhanism absoluutselt rakendamatu. Mõned inimesed nimetavad seda lihtsalt "kahjuks veaks". Üks kosmosetööstuse esindajatest tegi ettepaneku kasutada selle omadusi mõõtmetevahelise kosmosehäälestushargi ehitamisel.

Võimatud kastid

Teine võimatu objekt ilmus 1966. aastal Chicagos fotograaf dr Charles F. Cochrani originaalkatsete tulemusena. Paljud võimatute figuuride austajad on “Crazy Box”-ga katsetanud. Autor nimetas seda algselt "vabaks kastiks" ja teatas, et see oli "mõeldud suurel hulgal võimatute objektide saatmiseks".

“Pöörane kast” on pahupidi pööratud kuubiku raam. "Crazy Box" vahetu eelkäija oli "Impossible Box" (autor Escher) ja selle eelkäija oli omakorda Necker Cube.

See ei ole võimatu objekt, kuid see on kujund, mille sügavuse parameetrit on võimalik mitmeti mõistetavalt tajuda.

Kui vaatame Neckeri kuubikut, märkame, et täpiga nägu on kas esiplaanil või tagaplaanil, see hüppab ühest asendist teise.

Oscar Ruthersvard - võimatu kuju isa.

Võimatute figuuride “isa” on Rootsi kunstnik Oscar Rutersvard. Rootsi kunstnik Oscar Ruthersvard, kes on võimatute kujundite kujutiste loomise spetsialist, väitis, et tunneb matemaatikat halvasti, kuid tõstis sellegipoolest oma kunsti teaduse tasemele, luues terve teooria võimatute kujundite loomisest teatud arvu järgi. mustrid.

Ta jagas figuurid kahte põhirühma. Ta nimetas ühte neist "tõelisteks võimatuteks kujudeks". Need on kahemõõtmelised kujutised kolmemõõtmelistest kehadest, mida saab paberil värvida ja varjutada, kuid neil puudub monoliitne ja stabiilne sügavus.

Teine tüüp on kahtlased võimatud kujundid. Need arvud ei kujuta üksikuid tahkeid kehasid. Need on kahe või enama kujundi kombinatsioon. Neid ei saa värvida, samuti ei saa neile valgust ja varju kanda.

Tõeline võimatu kujund koosneb kindlast arvust võimalikest elementidest, samas kui kahtlane "kaob" teatud arvu elemente, kui neid silmaga jälgida.

Üks versioon neist võimatutest kujunditest on väga lihtne teostada ja paljud neist, kes joonistavad automaatselt geomeetrilisi

numbrid telefoniga rääkides, seda on tehtud rohkem kui üks kord. Peate joonistama viis, kuus või seitse paralleelset joont, viimistlema need jooned erinevatest otstest erineval viisil - ja võimatu kujund ongi valmis. Kui joonistada näiteks viis paralleelset joont, võivad need lõppeda kahe talaga ühel ja kolmel teisel pool.

Joonisel näeme kahtlaste võimatute kujundite jaoks kolme võimalust. Vasakul on seitsmest joonest ehitatud kolmest seitsmest tala struktuur, milles kolm tala muutuvad seitsmeks. Keskel olev figuur, mis on ehitatud kolmest joonest, milles üks tala muutub kaheks ümaraks talaks. Parempoolne neljast joonest konstrueeritud kujund, milles kaks ümmargust tala muutuvad kaheks talaks

Oma elu jooksul maalis Ruthersvard umbes 2500 figuuri. Ruthersvardi raamatuid on avaldatud paljudes keeltes, sealhulgas vene keeles.

Võimalikud on võimatud arvud!

Paljud inimesed usuvad, et võimatud kujundid on tõesti võimatud ja neid ei saa reaalses maailmas luua. Kuid me peame meeles pidama, et iga joonis paberilehele on kolmemõõtmelise kujundi projektsioon. Seetõttu peab iga paberile joonistatud kujund eksisteerima kolmemõõtmelises ruumis. Võimatud objektid maalidel on kolmemõõtmeliste objektide projektsioonid, mis tähendab, et objekte saab realiseerida skulptuurikompositsioonide kujul. Nende loomiseks on palju võimalusi. Üks neist on kõverate joonte kasutamine võimatu kolmnurga külgedena. Loodud skulptuur näib võimatu vaid ühest punktist. Sellest hetkest alates näevad kumerad küljed sirged ja eesmärk saavutatakse - luuakse tõeline “võimatu” objekt.

Meie kaasaegne vene kunstnik Anatoli Konenko jagas võimatud kujundid kahte klassi: mõnda saab tegelikkuses simuleerida, teisi mitte. Võimatute kujundite mudeleid nimetatakse Amesi mudeliteks.

Tegin oma võimatust kastist Amesi mudeli. Võtsin nelikümmend kaks kuubikut ja liimisin need kokku, et moodustada kuubik, mille servast osa oli puudu. Märgin, et täieliku illusiooni loomiseks on vajalik õige vaatenurk ja õige valgustus.

Uurisin Euleri teoreemi abil võimatuid kujundeid ja jõudsin selleni järgmisele järeldusele: Euleri teoreem, mis kehtib iga kumera hulktahuka kohta, on vale võimatute arvude puhul, kuid õige nende Amesi mudelite puhul.

Loon oma võimatud kujundid O. Rutherswardi nõuandeid kasutades. Joonistasin paberile seitse paralleelset joont. Ühendasin need altpoolt katkendjoonega ja ülevalt andsin neile rööptahuka kuju. Vaadake seda kõigepealt ülalt ja siis alt. Selliseid kujundeid võib välja mõelda lõpmatult palju. Vt lisa.

Võimatute arvude rakendamine

Võimatud kujundid leiavad mõnikord ootamatu kasutuse. Oscar Ruthersvard räägib oma raamatus “Omojliga figurer” imp art joonistuste kasutamisest psühhoteraapias. Ta kirjutab, et maalid oma paradoksidega äratavad üllatust, koondavad tähelepanu ja dešifreerimishimu. Psühholoog Roger Shepard kasutas võimatu elevandi maalimisel kolmharu ideed.

Rootsis kasutatakse neid hambaravis: ootesaalis pilte vaadates juhitakse patsiente hambaarsti kabineti ees ebameeldivatest mõtetest eemale.

Võimatud figuurid inspireerisid kunstnikke looma maalikunstis täiesti uut liikumist, mida nimetatakse impossibilismiks. Hollandi kunstnikku Escherit peetakse võimatuks. Ta on kuulsate litograafiate “Juga”, “Tõus ja laskumine” ja “Belvedere” autor. Kunstnik kasutas Rooteswardi avastatud "lõputu trepi" efekti.

Välismaal linnatänavatel näeme arhitektuursed teostused võimatud arvud.

Kõige kuulsam võimatute kujundite kasutamine on aastal populaarne kultuur - autokontserni "Renault" logo

Matemaatikud väidavad, et eksisteerida võivad paleed, kus saab trepist alla minna. Selleks peate lihtsalt ehitama sellise konstruktsiooni mitte kolmemõõtmelisse, vaid näiteks neljamõõtmelisse ruumi. Ja sisse Virtuaalne maailm, mille kaasaegne arvutitehnoloogia meile paljastab, ja seda te ei saa teha. Nii realiseeruvad tänapäeval inimese ideed, kes sajandi koidikul uskus võimatute maailmade olemasolusse.

Järeldus.

Võimatud kujundid sunnivad meie meelt esmalt nägema seda, mis ei tohiks olla, seejärel otsima vastust – mida tehti valesti, mis on paradoksi varjatud olemus. Ja mõnikord pole vastust nii lihtne leida - see on peidetud jooniste optilises, psühholoogilises ja loogilises tajumises.

Teaduse areng, vajadus mõelda uutel viisidel, ilu otsimine – kõik need nõuded kaasaegne elu Need sunnivad meid otsima uusi meetodeid, mis võivad muuta ruumilist mõtlemist ja kujutlusvõimet.

Olles uurinud selleteemalist kirjandust, sain vastata küsimusele "Kas reaalses maailmas on võimatuid kujusid?" Sain aru, et võimatu on võimalik ja ebareaalseid figuure saab teha oma kätega. Lõin Amesi mudeli "Impossible Cube" ja katsetasin sellel Euleri teoreemi. Olles uurinud võimalusi võimatute kujundite konstrueerimiseks, suutsin joonistada oma võimatud kujundid. Ma suutsin seda näidata

Järeldus1: kõik võimatud kujundid võivad reaalses maailmas eksisteerida.

Järeldus2: Euleri teoreem, mis kehtib iga kumera hulktahuka kohta, on vale võimatute arvude puhul, kuid õige nende Amesi mudelite puhul.

Järeldus 3: on palju rohkem valdkondi, kus kasutatakse võimatuid arve.

Seega võib öelda, et võimatute kujundite maailm on äärmiselt huvitav ja mitmekesine. Võimatute kujundite uurimine on geomeetria seisukohalt üsna oluline. Tööd saab kasutada matemaatikatundides õpilaste ruumilise mõtlemise arendamiseks. Sest loomingulised inimesed Need, kes on altid leiutamisele, on võimatud figuurid omamoodi hoob millegi uue ja ebatavalise loomiseks.

Bibliograafia

Levitin Karli geomeetriline rapsoodia. – M.: Teadmised, 1984, -176 lk.

Penrose L., Penrose R. Võimatud objektid, Quantum, nr 5, 1971, lk 26

Reutersvard O. Võimatud arvud. – M.: Stroyizdat, 1990, 206 lk.

Tkacheva M.V. Pöörlevad kuubikud. – M.: Bustard, 2002. – 168 lk.