Trong bài học này, chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của một hàm phức... Bài học là sự tiếp nối bài học một cách hợp lý Làm thế nào để tôi tìm thấy đạo hàm?, trên đó chúng ta đã phân tích các đạo hàm đơn giản nhất, đồng thời làm quen với các quy tắc phân biệt và một số kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không rành về đạo hàm của các hàm số, hoặc một số điểm của bài viết này chưa hoàn toàn rõ ràng, thì trước hết hãy đọc bài học trên. Xin vui lòng điều chỉnh tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không phải là một thứ dễ dàng, nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày nó một cách đơn giản và dễ tiếp cận.

Trong thực tế, bạn phải xử lý đạo hàm của một hàm phức rất thường xuyên, tôi thậm chí sẽ nói, hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.

Chúng ta xem bảng ở quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức tạp:

Hiểu biết. Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến đoạn ghi âm. Ở đây chúng ta có hai hàm - và hơn nữa, hàm, nói một cách hình tượng, được nhúng vào trong hàm. Một hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là một hàm phức.

Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài và chức năng - một hàm bên trong (hoặc lồng nhau).

! Những định nghĩa này không phải là lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của các bài tập. Tôi chỉ sử dụng các biểu thức không chính thức "hàm bên ngoài", "hàm bên trong" để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.

Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số

Dưới sin, chúng ta không chỉ có ký tự "X", mà là một biểu thức số nguyên, vì vậy sẽ không thể tìm thấy đạo hàm ngay lập tức từ bảng. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, dường như có sự khác biệt, nhưng thực tế là bạn không thể "xé nhỏ" một sin:

Trong ví dụ này, đã có từ những giải thích của tôi, trực quan rõ ràng rằng một hàm là một hàm phức, và đa thức là một hàm bên trong (lồng) và một hàm bên ngoài.

Bước đầu tiên, phải được thực hiện khi tìm đạo hàm của một hàm phức, đó là tìm ra chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.

Trong trường hợp ví dụ đơn giản, rõ ràng là một đa thức được lồng dưới sin. Nhưng nếu mọi thứ không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi khuyên bạn nên sử dụng kỹ thuật sau, có thể được thực hiện trong tinh thần hoặc trên bản nháp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần tính giá trị của một biểu thức trên máy tính (thay vì một, có thể có bất kỳ số nào).

Chúng ta sẽ tính toán điều gì đầu tiên? Đầu tiên bạn sẽ cần thực hiện hành động sau :, vì vậy đa thức sẽ là một hàm bên trong:

Thứ hai sẽ cần phải được tìm thấy, vì vậy sin sẽ là một hàm bên ngoài:

Ngay sau khi chúng ta Tìm ra với nội hàm và ngoại hàm, việc áp dụng quy luật phân biệt của một hàm phức hợp là rất cao.

Chúng tôi bắt đầu quyết định. Từ bài học Làm thế nào để tôi tìm thấy đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng thiết kế của nghiệm của bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong dấu ngoặc đơn và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Ngày thứ nhất tìm đạo hàm của hàm số ngoài (sin), nhìn vào bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp và nhận thấy điều đó. Tất cả các công thức dạng bảng đều có thể áp dụng ngay cả khi "x" được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, trong trường hợp này:

Lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.

Chà, rõ ràng là

Kết quả của việc áp dụng công thức trong thiết kế cuối cùng trông như sau:

Hệ số hằng thường được đặt ở đầu biểu thức:

Nếu có bất kỳ sự nhầm lẫn nào, hãy ghi lời giải ra giấy và đọc lại phần giải thích.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như mọi khi, chúng tôi viết ra:

Hãy tìm ra nơi chúng ta có một chức năng bên ngoài và nơi chúng tôi có một chức năng bên trong. Để làm điều này, hãy thử (tính nhẩm hoặc trên nháp) để tính giá trị của biểu thức tại. Điều gì nên được thực hiện đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng bao nhiêu: nghĩa là đa thức là hàm nội tiếp:

Và, chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là một hàm bên ngoài:

Theo công thức, trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm số bên ngoài, trong trường hợp này là độ. Chúng tôi đang tìm kiếm công thức cần thiết trong bảng:. Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kỳ công thức dạng bảng nào không chỉ hợp lệ cho "x" mà còn cho một biểu thức phức tạp... Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức như sau:

Tôi nhấn mạnh lại rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm bên ngoài, hàm bên trong không thay đổi đối với chúng ta:

Bây giờ nó vẫn còn để tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm bên trong và "lược" kết quả một chút:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Để củng cố sự hiểu biết về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ mà không cần bình luận, bạn hãy thử tự tìm hiểu, suy đoán đâu là ngoại diên và đâu là nội hàm, tại sao các nhiệm vụ lại được giải theo cách này?

Ví dụ 5

a) Tìm đạo hàm của hàm số

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt gốc, nó phải được biểu diễn dưới dạng một mức độ. Do đó, đầu tiên chúng ta đưa hàm vào một dạng thích hợp để phân biệt:

Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là một hàm số bên trong và lũy thừa là một hàm số bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt một hàm phức tạp:

Bậc một lần nữa được biểu diễn dưới dạng một căn (gốc), và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để phân biệt tổng:

Sẵn sàng. Bạn cũng có thể đưa biểu thức về một mẫu số chung trong ngoặc và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp, nhưng khi lấy được các dẫn xuất dài dòng rườm rà thì không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc lỗi không đáng có và sẽ bất tiện cho giáo viên kiểm tra).

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Điều thú vị là đôi khi, thay vì quy tắc phân biệt một hàm phức tạp, người ta có thể sử dụng quy tắc phân biệt thương , nhưng một quyết định như vậy sẽ trông buồn cười như một sự đồi bại. Đây là một ví dụ điển hình:

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Tại đây, bạn có thể sử dụng quy tắc để phân biệt thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều nếu tìm đạo hàm thông qua quy tắc phân biệt của một hàm phức:

Chúng tôi chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng tôi chuyển số trừ ra bên ngoài dấu của đạo hàm và nâng côsin lên tử số:

Cosine là một hàm bên trong, lũy thừa là một hàm bên ngoài.
Chúng tôi sử dụng quy tắc của mình:

Tìm đạo hàm của hàm số bên trong, đặt lại côsin:

Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải quyết nó bằng quy tắc , các câu trả lời phải phù hợp.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các trường hợp chúng tôi chỉ có một tệp đính kèm trong một hàm phức tạp. Trong các tác vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng vào nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta hãy hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Đang cố gắng đánh giá biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thử nghiệm. Làm thế nào chúng ta sẽ tính trên một máy tính?

Đầu tiên bạn cần tìm, có nghĩa là arcsine là tổ sâu nhất:

Sau đó, arcsine này của một sẽ được bình phương:

Và cuối cùng, nâng số 7 lên thành lũy thừa:

Tức là, trong ví dụ này, chúng ta có ba hàm khác nhau và hai tệp đính kèm, trong khi hàm trong cùng là cung arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.

Chúng tôi bắt đầu giải quyết

Theo quy tắc, trước tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm số bên ngoài. Ta xem bảng đạo hàm và tìm đạo hàm của hàm số mũ: Chỉ khác là thay vì "x" ta có một biểu thức phức, điều này không phủ nhận tính hợp lệ của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức là như sau.

Trên đó chúng ta đã phân tích các đạo hàm đơn giản nhất, đồng thời làm quen với các quy tắc phân biệt và một số kỹ thuật tìm đạo hàm. Vì vậy, nếu bạn không rành về đạo hàm của các hàm số, hoặc một số điểm của bài viết này chưa hoàn toàn rõ ràng, thì trước hết hãy đọc bài học trên. Xin vui lòng điều chỉnh tâm trạng nghiêm túc - tài liệu không phải là một thứ dễ dàng, nhưng tôi vẫn sẽ cố gắng trình bày nó một cách đơn giản và dễ tiếp cận.

Trong thực tế, bạn phải xử lý đạo hàm của một hàm phức rất thường xuyên, tôi thậm chí sẽ nói, hầu như luôn luôn, khi bạn được giao nhiệm vụ tìm đạo hàm.

Chúng ta xem bảng ở quy tắc (số 5) để phân biệt một hàm phức tạp:

Hiểu biết. Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến đoạn ghi âm. Ở đây chúng ta có hai hàm - và hơn nữa, hàm, nói một cách hình tượng, được nhúng vào trong hàm. Một hàm thuộc loại này (khi một hàm được lồng trong một hàm khác) được gọi là một hàm phức.

Tôi sẽ gọi hàm chức năng bên ngoài và chức năng - một hàm bên trong (hoặc lồng nhau).

! Những định nghĩa này không phải là lý thuyết và không nên xuất hiện trong thiết kế cuối cùng của các bài tập. Tôi chỉ sử dụng các biểu thức không chính thức "hàm bên ngoài", "hàm bên trong" để giúp bạn hiểu tài liệu dễ dàng hơn.

Để làm rõ tình hình, hãy xem xét:

ví dụ 1

Tìm đạo hàm của một hàm số

Dưới sin, chúng ta không chỉ có ký tự "X", mà là một biểu thức số nguyên, vì vậy sẽ không thể tìm thấy đạo hàm ngay lập tức từ bảng. Chúng tôi cũng nhận thấy rằng không thể áp dụng bốn quy tắc đầu tiên ở đây, dường như có sự khác biệt, nhưng thực tế là bạn không thể "xé nhỏ" một sin:

Trong ví dụ này, đã có từ những giải thích của tôi, trực quan rõ ràng rằng một hàm là một hàm phức, và đa thức là một hàm bên trong (lồng) và một hàm bên ngoài.

Bước đầu tiên, phải được thực hiện khi tìm đạo hàm của một hàm phức, đó là tìm ra chức năng nào là bên trong và chức năng nào là bên ngoài.

Trong trường hợp ví dụ đơn giản, rõ ràng là một đa thức được lồng dưới sin. Nhưng nếu mọi thứ không rõ ràng thì sao? Làm thế nào để xác định chính xác chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong? Để làm điều này, tôi khuyên bạn nên sử dụng kỹ thuật sau, có thể được thực hiện trong tinh thần hoặc trên bản nháp.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần tính giá trị của một biểu thức trên máy tính (thay vì một, có thể có bất kỳ số nào).

Chúng ta sẽ tính toán điều gì đầu tiên? Đầu tiên bạn sẽ cần thực hiện hành động sau :, vì vậy đa thức sẽ là một hàm bên trong:

Thứ hai sẽ cần phải được tìm thấy, vì vậy sin sẽ là một hàm bên ngoài:

Ngay sau khi chúng ta Tìm ra với các chức năng bên trong và bên ngoài, đã đến lúc áp dụng quy tắc phân biệt của một chức năng phức hợp .

Chúng tôi bắt đầu quyết định. Từ bài học Làm thế nào để tôi tìm thấy đạo hàm? chúng tôi nhớ rằng thiết kế của nghiệm của bất kỳ đạo hàm nào luôn bắt đầu như thế này - chúng tôi đặt biểu thức trong dấu ngoặc đơn và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Ngày thứ nhất tìm đạo hàm của hàm số ngoài (sin), nhìn vào bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp và nhận thấy điều đó. Tất cả các công thức dạng bảng đều có thể áp dụng ngay cả khi "x" được thay thế bằng một biểu thức phức tạp, trong trường hợp này:

Lưu ý rằng chức năng bên trong không thay đổi, chúng tôi không chạm vào nó.

Chà, rõ ràng là

Kết quả của việc áp dụng công thức trong thiết kế cuối cùng, nó trông như thế này:

Hệ số hằng thường được đặt ở đầu biểu thức:

Nếu có bất kỳ sự nhầm lẫn nào, hãy ghi lời giải ra giấy và đọc lại phần giải thích.

Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ví dụ 3

Tìm đạo hàm của một hàm số

Như mọi khi, chúng tôi viết ra:

Hãy tìm ra nơi chúng ta có một chức năng bên ngoài và nơi chúng tôi có một chức năng bên trong. Để làm điều này, hãy thử (tính nhẩm hoặc trên nháp) để tính giá trị của biểu thức tại. Điều gì nên được thực hiện đầu tiên? Trước hết, bạn cần tính cơ số bằng bao nhiêu: nghĩa là đa thức là hàm nội tiếp:

Và, chỉ khi đó phép lũy thừa mới được thực hiện, do đó, hàm lũy thừa là một hàm bên ngoài:

Theo công thức , trước tiên bạn cần tìm đạo hàm của hàm số bên ngoài, trong trường hợp này là độ. Chúng tôi đang tìm công thức cần thiết trong bảng:. Chúng tôi nhắc lại một lần nữa: bất kỳ công thức dạng bảng nào không chỉ hợp lệ cho "x" mà còn cho một biểu thức phức tạp... Như vậy, kết quả của việc áp dụng quy luật phân biệt của một hàm phức tiếp theo:

Tôi nhấn mạnh lại rằng khi chúng ta lấy đạo hàm của hàm bên ngoài, hàm bên trong không thay đổi đối với chúng ta:

Bây giờ nó vẫn còn để tìm một đạo hàm rất đơn giản của hàm bên trong và "lược" kết quả một chút:

Ví dụ 4

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Để củng cố sự hiểu biết về đạo hàm của một hàm phức, tôi sẽ đưa ra một ví dụ mà không cần bình luận, bạn hãy thử tự tìm hiểu, suy đoán đâu là ngoại diên và đâu là nội hàm, tại sao các nhiệm vụ lại được giải theo cách này?

Ví dụ 5

a) Tìm đạo hàm của hàm số

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Ví dụ 6

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng ta có một gốc, và để phân biệt gốc, nó phải được biểu diễn dưới dạng một mức độ. Do đó, đầu tiên chúng ta đưa hàm vào một dạng thích hợp để phân biệt:

Phân tích hàm số, chúng ta đi đến kết luận rằng tổng của ba số hạng là một hàm số bên trong và lũy thừa là một hàm số bên ngoài. Chúng tôi áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức :

Bậc một lần nữa được biểu diễn dưới dạng một căn (gốc), và đối với đạo hàm của hàm nội, chúng ta áp dụng một quy tắc đơn giản để phân biệt tổng:

Sẵn sàng. Bạn cũng có thể đưa biểu thức về một mẫu số chung trong ngoặc và viết mọi thứ dưới dạng một phân số. Tất nhiên là đẹp, nhưng khi lấy được các dẫn xuất dài dòng rườm rà thì không nên làm điều này (dễ nhầm lẫn, mắc lỗi không đáng có và sẽ bất tiện cho giáo viên kiểm tra).

Ví dụ 7

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Điều thú vị là đôi khi, thay vì quy tắc phân biệt một hàm phức tạp, người ta có thể sử dụng quy tắc phân biệt thương , nhưng một giải pháp như vậy sẽ có vẻ không bình thường như một sự sai lầm. Đây là một ví dụ điển hình:

Ví dụ 8

Tìm đạo hàm của một hàm số

Tại đây, bạn có thể sử dụng quy tắc để phân biệt thương số , nhưng sẽ có lợi hơn nhiều nếu tìm đạo hàm thông qua quy tắc phân biệt của một hàm phức:

Chúng tôi chuẩn bị hàm để phân biệt - chúng tôi chuyển số trừ ra bên ngoài dấu của đạo hàm và nâng côsin lên tử số:

Cosine là một hàm bên trong, lũy thừa là một hàm bên ngoài.
Chúng tôi sử dụng quy tắc của chúng tôi :

Tìm đạo hàm của hàm số bên trong, đặt lại côsin:

Sẵn sàng. Trong ví dụ được xem xét, điều quan trọng là không bị nhầm lẫn trong các dấu hiệu. Nhân tiện, hãy thử giải quyết nó bằng quy tắc , các câu trả lời phải phù hợp.

Ví dụ 9

Tìm đạo hàm của một hàm số

Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn).

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét các trường hợp chúng tôi chỉ có một tệp đính kèm trong một hàm phức tạp. Trong các tác vụ thực tế, bạn thường có thể tìm thấy các dẫn xuất, trong đó, giống như những con búp bê lồng vào nhau, cái này bên trong cái kia, 3 hoặc thậm chí 4-5 hàm được lồng cùng một lúc.

Ví dụ 10

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta hãy hiểu các tệp đính kèm của chức năng này. Đang cố gắng đánh giá biểu thức bằng cách sử dụng giá trị thử nghiệm. Làm thế nào chúng ta sẽ tính trên một máy tính?

Đầu tiên bạn cần tìm, có nghĩa là arcsine là tổ sâu nhất:

Sau đó, arcsine này của một sẽ được bình phương:

Và cuối cùng, nâng số 7 lên thành lũy thừa:

Tức là, trong ví dụ này, chúng ta có ba hàm khác nhau và hai tệp đính kèm, trong khi hàm trong cùng là cung arcsine và hàm ngoài cùng là hàm mũ.

Chúng tôi bắt đầu giải quyết

Theo quy luật đầu tiên bạn cần lấy đạo hàm của hàm ngoài. Ta xem bảng đạo hàm và tìm đạo hàm của hàm số mũ: Chỉ khác là thay vì "x" ta có một biểu thức phức, điều này không phủ nhận tính hợp lệ của công thức này. Vì vậy, kết quả của việc áp dụng quy tắc phân biệt của một hàm phức tiếp theo.

Sự định nghĩa. Cho hàm \ (y = f (x) \) được xác định trong khoảng nào đó chứa điểm \ (x_0 \). Cung cấp cho đối số một gia số \ (\ Delta x \) sao cho nó không vượt ra ngoài khoảng này. Tìm gia số tương ứng của hàm \ (\ Delta y \) (khi đi từ điểm \ (x_0 \) đến điểm \ (x_0 + \ Delta x \)) và soạn tỷ lệ \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \). Nếu có giới hạn của tỷ lệ này tại \ (\ Delta x \ rightarrow 0 \), thì giới hạn đã chỉ định được gọi là hàm đạo hàm\ (y = f (x) \) tại điểm \ (x_0 \) và biểu thị \ (f "(x_0) \).

$$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x_0) $$

Kí hiệu y "thường được dùng để biểu thị đạo hàm. Lưu ý rằng y" = f (x) là một hàm mới, nhưng liên quan tự nhiên với hàm y = f (x), được xác định tại mọi điểm x mà tại đó tồn tại giới hạn trên ... Hàm này được gọi như thế này: đạo hàm của hàm y = f (x).

Ý nghĩa hình học của đạo hàm là như sau. Nếu đồ thị của hàm số y = f (x) tại điểm có hoành độ x = a có thể vẽ tiếp tuyến, không song song với trục y thì f (a) biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến:
\ (k = f "(a) \)

Vì \ (k = tg (a) \) nên đẳng thức \ (f "(a) = tg (a) \) là đúng.

Bây giờ chúng ta hãy giải thích định nghĩa của đạo hàm từ quan điểm của các bằng nhau gần đúng. Để hàm \ (y = f (x) \) có đạo hàm tại một điểm cụ thể \ (x \):
$$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) = f "(x) $$
Điều này có nghĩa là gần điểm x thì bình đẳng gần đúng \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \ khoảng f "(x) \) được thực hiện, tức là \ (\ Delta y \ khoảng f" (x) \ cdot \ Delta x \). Ý nghĩa của đẳng thức gần đúng thu được như sau: số gia của hàm "gần như tỷ lệ thuận" với số gia của đối số và hệ số tỷ lệ là giá trị của đạo hàm tại một điểm x cho trước. Ví dụ, hàm \ (y = x ^ 2 \) thỏa mãn đẳng thức gần đúng \ (\ Delta y \ khoảng 2x \ cdot \ Delta x \). Nếu chúng ta phân tích kỹ định nghĩa của đạo hàm, chúng ta sẽ thấy rằng nó chứa một thuật toán để tìm ra nó.

Hãy hình thành nó.

Làm thế nào để tìm đạo hàm của hàm số y = f (x)?

1. Sửa giá trị \ (x \), tìm \ (f (x) \)
2. Cung cấp cho đối số \ (x \) một gia số \ (\ Delta x \), chuyển đến một điểm mới \ (x + \ Delta x \), tìm \ (f (x + \ Delta x) \)
3. Tìm số gia của hàm: \ (\ Delta y = f (x + \ Delta x) - f (x) \)
4. Tạo quan hệ \ (\ frac (\ Delta y) (\ Delta x) \)
5. Tính $$ \ lim _ (\ Delta x \ đến 0) \ frac (\ Delta y) (\ Delta x) $$
Giới hạn này là đạo hàm của hàm số tại điểm x.

Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x thì được gọi là vi phân tại điểm x. Quy trình tìm đạo hàm của hàm số y = f (x) được gọi là sự khác biệt hàm số y = f (x).

Chúng ta hãy thảo luận câu hỏi sau: tính liên tục và tính phân biệt của một hàm tại một điểm liên quan với nhau như thế nào?

Cho hàm số y = f (x) đồng biến tại điểm x. Sau đó, một tiếp tuyến có thể được vẽ với đồ thị của hàm số tại điểm M (x; f (x)) và nhớ lại, hệ số góc của tiếp tuyến bằng f "(x). Một đồ thị như vậy không thể" phá vỡ " tại điểm M tức là hàm số phải liên tục tại điểm x.

Đó là một suy luận "đầu ngón tay". Hãy để chúng tôi đưa ra một lý luận chặt chẽ hơn. Nếu hàm y = f (x) có thể phân biệt được tại điểm x thì đẳng thức gần đúng \ (\ Delta y \ xấp xỉ f "(x) \ cdot \ Delta x \) được giữ nguyên. Nếu trong đẳng thức này \ (\ Delta x \) có xu hướng bằng không, sau đó \ (\ Delta y \) sẽ có xu hướng bằng không và đây là điều kiện cho tính liên tục của hàm tại điểm.

Cho nên, nếu hàm là phân biệt tại điểm x, thì nó cũng liên tục tại điểm này.

Chuyện này là không đúng sự thật. Ví dụ: hàm y = | x | liên tục ở mọi nơi, cụ thể là tại điểm x = 0, nhưng tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại “điểm giao nhau” (0; 0) không tồn tại. Nếu tại một thời điểm nào đó đối với đồ thị của hàm số không thể vẽ được tiếp tuyến thì lúc này không có đạo hàm.

Thêm một ví dụ nữa. Hàm \ (y = \ sqrt (x) \) liên tục trên cả một trục số, kể cả tại điểm x = 0. Và tiếp tuyến với đồ thị của hàm tồn tại tại bất kỳ điểm nào, kể cả tại điểm x = 0 .Nhưng lúc này đường tiếp tuyến trùng với trục y, tức là vuông góc với trục abscissa thì phương trình của nó có dạng x = 0. Không có hệ số góc đối với đường thẳng như vậy nên nó không tồn tại. và \ (f "(0) \)

Vì vậy, chúng tôi đã làm quen với một thuộc tính mới của một chức năng - tính khác biệt. Và từ đồ thị của hàm số ta có thể kết luận như thế nào về tính phân biệt của nó?

Câu trả lời thực sự đã nhận được ở trên. Nếu tại một thời điểm nào đó trên đồ thị của hàm số có thể vẽ được tiếp tuyến không vuông góc với trục hoành độ thì tại thời điểm này hàm số đã phân biệt được. Nếu tại một thời điểm nào đó không tồn tại tiếp tuyến với đồ thị của hàm số hoặc vuông góc với trục hoành độ thì tại thời điểm này hàm số không phân biệt được.

Quy tắc phân biệt

Phép toán tìm đạo hàm được gọi là sự khác biệt... Khi thực hiện phép toán này, bạn thường phải làm việc với thương, tổng, tích của hàm, cũng như với "hàm của hàm", tức là những hàm phức tạp. Dựa vào định nghĩa đạo hàm có thể rút ra các quy tắc phân biệt tạo điều kiện thuận lợi cho công việc này. Nếu C là một số không đổi và f = f (x), g = g (x) là một số hàm phân biệt thì giá trị sau quy tắc phân biệt:

$$ C "= 0 $$ $$ x" = 1 $$ $$ (f + g) "= f" + g "$$ $$ (fg)" = f "g + fg" $$ (Cf) "= Cf" $$ $$ \ left (\ frac (f) (g) \ right) "= \ frac (f" g-fg ") (g ^ 2) $$ $$ \ left (\ frac (C ) (g) \ right) "= - \ frac (Cg") (g ^ 2) $$ Đạo hàm của một hàm phức:
$$ f "_x (g (x)) = f" _g \ cdot g "_x $$

Bảng đạo hàm của một số hàm

$$ \ left (\ frac (1) (x) \ right) "= - \ frac (1) (x ^ 2) $$ $$ (\ sqrt (x))" = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) $$ $$ \ left (x ^ a \ right) "= ax ^ (a-1) $$ $$ \ left (a ^ x \ right)" = a ^ x \ cdot \ ln a $$ $$ \ left (e ^ x \ right) "= e ^ x $$ $$ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) $$ $$ (\ log_a x) "= \ frac (1) (x \ ln a) $$ $$ (\ sin x) "= \ cos x $$ $$ (\ cos x)" = - \ sin x $$ $$ (\ text (tg) x) "= \ frac (1) (\ cos ^ 2 x) $$ $$ (\ text (ctg) x)" = - \ frac (1) (\ sin ^ 2 x) $$ (\ arcsin x) "= \ frac (1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ arccos x) "= \ frac (-1) (\ sqrt (1-x ^ 2)) $$ $$ (\ text (arctg) x) "= \ frac (1) (1 + x ^ 2) $$ $$ (\ text (arcctg) x)" = \ frac (-1) (1 + x ^ 2) $ $

Cấp độ đầu tiên

Đạo hàm của hàm. Hướng dẫn Toàn diện (2019)

Hãy tưởng tượng một con đường thẳng băng qua địa hình đồi núi. Tức là nó đi lên và đi xuống, nhưng không quay sang phải hoặc trái. Nếu trục hướng dọc theo đường theo phương ngang và - theo phương thẳng đứng, thì đường thẳng sẽ rất giống với đồ thị của một số hàm số liên tục:

Trục là một độ cao bằng không nhất định, trong cuộc sống chúng ta sử dụng mực nước biển như nó.

Di chuyển về phía trước dọc theo một con đường như vậy, chúng ta cũng di chuyển lên hoặc xuống. Chúng ta cũng có thể nói: khi đối số thay đổi (chuyển động dọc theo trục hoành), giá trị của hàm thay đổi (chuyển động dọc theo tọa độ). Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ về cách xác định "độ dốc" của con đường của chúng ta? Nó có thể là loại giá trị nào? Nó rất đơn giản: độ cao sẽ thay đổi bao nhiêu khi di chuyển về phía trước một khoảng cách nhất định. Thật vậy, trên các đoạn đường khác nhau, di chuyển về phía trước (dọc theo đường trục) một km, chúng ta sẽ tăng hoặc giảm một số mét khác so với mực nước biển (dọc theo đường cung).

Chúng tôi sẽ chỉ định chuyển động về phía trước (nó đọc là "delta x").

Chữ cái Hy Lạp (delta) thường được sử dụng trong toán học như một tiền tố có nghĩa là "thay đổi". Đó là - nó là một sự thay đổi về giá trị, - một sự thay đổi; thế nó là gì? Đúng vậy, một sự thay đổi về độ lớn.

Quan trọng: một biểu thức là một tổng thể duy nhất, một biến. Bạn không bao giờ được xé "delta" ra khỏi "x" hoặc bất kỳ chữ cái nào khác! Đó là, chẳng hạn,.

Vì vậy, chúng tôi đã tiến về phía trước, theo chiều ngang, về phía trước. Nếu chúng ta so sánh đường thẳng với đồ thị của một hàm số, thì làm thế nào để chúng ta chỉ định mức tăng? Chắc chắn, . Đó là, khi chúng ta tiến lên phía trước, chúng ta sẽ vươn cao hơn.

Thật dễ dàng để tính toán giá trị: nếu lúc đầu chúng ta ở độ cao và sau khi di chuyển chúng ta ở độ cao thì. Nếu điểm cuối thấp hơn điểm bắt đầu, nó sẽ là số âm - điều này có nghĩa là chúng ta không đi lên mà là đi xuống.

Quay lại "dốc": đây là giá trị cho biết chiều cao tăng lên bao nhiêu (dốc) khi bạn di chuyển về phía trước một đơn vị khoảng cách:

Giả sử trên một đoạn đường nào đó, khi tiến thêm km thì đường đi lên theo km. Sau đó, độ dốc tại thời điểm này là. Và nếu con đường khi chuyển động bằng m thì chìm đi bao nhiêu km? Khi đó độ dốc là.

Bây giờ hãy xem xét đỉnh của một ngọn đồi. Nếu bạn bắt đầu đoạn đường nửa km trước đỉnh và điểm cuối nửa km sau nó, bạn có thể thấy rằng độ cao thực tế là như nhau.

Đó là, theo logic của chúng tôi, hóa ra độ dốc ở đây gần như bằng không, điều này rõ ràng là không đúng. Nó chỉ là rất nhiều có thể thay đổi ở một khoảng cách tính bằng km. Cần phải xem xét các đoạn nhỏ hơn để đánh giá đầy đủ và chính xác hơn về độ dốc. Ví dụ, nếu bạn đo sự thay đổi của chiều cao khi bạn di chuyển một mét, kết quả sẽ chính xác hơn nhiều. Nhưng ngay cả độ chính xác này cũng có thể không đủ đối với chúng tôi - sau cùng, nếu có một cột dọc giữa đường, chúng tôi có thể vượt qua nó một cách đơn giản. Khi đó chúng ta sẽ chọn khoảng cách nào? Centimet? Milimét? Ít hơn là tốt hơn!

Trong cuộc sống thực, đo khoảng cách với độ chính xác đến từng milimet là quá đủ. Nhưng các nhà toán học luôn phấn đấu cho sự hoàn hảo. Do đó, khái niệm đã được phát minh ra nhỏ vô cùng, nghĩa là, độ lớn nhỏ hơn bất kỳ con số nào mà chúng ta có thể đặt tên. Ví dụ, bạn nói: một nghìn tỷ! Ít hơn bao nhiêu? Và bạn chia số này cho - và nó sẽ còn ít hơn. Vân vân. Nếu chúng ta muốn viết rằng giá trị là nhỏ vô hạn, chúng ta viết như sau: (chúng ta đọc "x có xu hướng bằng không"). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng con số này không phải là số không! Nhưng rất thân với anh ấy. Điều này có nghĩa là bạn có thể chia cho nó.

Khái niệm đối lập với nhỏ vô hạn là lớn vô hạn (). Bạn có thể đã gặp phải nó khi giải quyết các vấn đề bất bình đẳng: con số này lớn hơn bất kỳ con số nào bạn có thể nghĩ ra. Nếu bạn nghĩ ra con số lớn nhất có thể, chỉ cần nhân nó với hai và bạn sẽ nhận được nhiều hơn nữa. Và sự vô hạn thậm chí còn lớn hơn những gì bạn nhận được. Trong thực tế, cái lớn vô hạn và cái nhỏ vô hạn nghịch đảo với nhau, nghĩa là tại, và ngược lại: tại.

Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại con đường của chúng ta. Độ dốc được tính toán lý tưởng là độ cong được tính toán cho một phần nhỏ vô hạn của con đường, đó là:

Lưu ý rằng với một dịch chuyển nhỏ vô hạn, sự thay đổi chiều cao cũng sẽ nhỏ vô hạn. Nhưng hãy để tôi nhắc bạn rằng nhỏ vô hạn không có nghĩa là bằng không. Nếu bạn chia các số thập phân cho nhau, bạn có thể nhận được một số hoàn toàn bình thường, chẳng hạn. Nghĩa là, một giá trị nhỏ có thể lớn gấp đôi giá trị khác.

Tất cả những thứ này để làm gì? Con đường, độ dốc ... Chúng tôi không tham gia một cuộc đua mô tô, mà chúng tôi đang dạy toán. Và trong toán học, mọi thứ đều hoàn toàn giống nhau, chỉ có điều nó được gọi là khác biệt.

Khái niệm phái sinh

Đạo hàm của một hàm là tỷ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số với gia số thập phân của đối số.

Theo gia số trong toán học, sự thay đổi được gọi là. Đối số () đã thay đổi bao nhiêu trong khi di chuyển dọc theo trục được gọi là gia tăng đối số và được biểu thị Mức độ mà hàm (chiều cao) đã thay đổi khi di chuyển về phía trước dọc theo trục một khoảng được gọi là tăng hàm và được chỉ định bởi.

Vì vậy, đạo hàm của một hàm là quan hệ với at. Chúng tôi biểu thị đạo hàm bằng cùng một chữ cái với hàm, chỉ với một số nguyên tố ở trên cùng bên phải: hoặc đơn giản. Vì vậy, hãy viết công thức đạo hàm bằng cách sử dụng các ký hiệu sau:

Tương tự với đường, ở đây, khi hàm tăng, đạo hàm là dương, và khi hàm giảm, nó là âm.

Có đạo hàm bằng 0 không? Chắc chắn. Ví dụ, nếu chúng ta đang lái xe trên một con đường bằng phẳng, nằm ngang, thì độ dốc bằng không. Thật vậy, chiều cao không thay đổi chút nào. Vì vậy, nó là với đạo hàm: đạo hàm của một hàm hằng số (hằng số) bằng không:

vì gia số của một hàm như vậy là 0 đối với bất kỳ.

Hãy nhớ ví dụ về đỉnh đồi. Hóa ra là có thể sắp xếp các đầu của đoạn thẳng trên các cạnh đối diện của đỉnh sao cho chiều cao ở các đầu bằng nhau, nghĩa là đoạn thẳng song song với trục:

Nhưng những vết rạn lớn là dấu hiệu của việc đo không chính xác. Chúng ta sẽ nâng phân đoạn của mình lên song song với chính nó, sau đó độ dài của nó sẽ giảm xuống.

Cuối cùng, khi chúng ta ở gần đỉnh một cách vô hạn, độ dài của đoạn sẽ trở nên nhỏ vô cùng. Nhưng đồng thời, nó vẫn song song với trục, nghĩa là, sự khác biệt về độ cao ở hai đầu của nó bằng 0 (nó không có xu hướng, nhưng nó bằng nhau). Do đó, đạo hàm

Bạn có thể hiểu nó theo cách này: khi chúng ta đứng ở trên cùng, một sự dịch chuyển nhỏ sang trái hoặc phải sẽ làm thay đổi chiều cao của chúng ta một cách đáng kể.

Cũng có một cách giải thích thuần túy đại số: ở bên trái của đỉnh, hàm tăng, và ở bên phải, nó giảm. Như chúng ta đã tìm hiểu trước đó, khi hàm tăng, đạo hàm là dương, và khi hàm giảm, nó là âm. Nhưng nó thay đổi nhịp nhàng, không bị nhảy (vì đường không thay đổi độ dốc đột ngột ở bất kỳ đâu). Vì vậy, nhất thiết phải có giữa giá trị âm và giá trị dương. Nó sẽ là nơi mà hàm không tăng cũng không giảm - tại điểm đỉnh.

Điều này cũng đúng với phần dưới (vùng mà hàm giảm ở bên trái và tăng ở bên phải):

Thêm một chút chi tiết về số gia.

Vì vậy, chúng tôi thay đổi đối số thành giá trị. Thay đổi từ giá trị nào? Anh ta (đối số) bây giờ là gì? Chúng tôi có thể chọn bất kỳ điểm nào, và bây giờ chúng tôi sẽ nhảy từ điểm đó.

Xét một điểm có tọa độ. Giá trị của hàm trong đó là. Sau đó, chúng tôi thực hiện cùng một gia số: chúng tôi tăng tọa độ lên. Đối số bây giờ là bằng gì? Rất dễ: . Giá trị của hàm bây giờ là bao nhiêu? Đối số đi đến đâu thì hàm:. Điều gì về tăng hàm? Không có gì mới: đây vẫn là số lượng mà hàm đã thay đổi bởi:

Thực hành tìm gia số:

1. Tìm gia số của hàm tại điểm có gia số đối số bằng.
2. Tương tự đối với hàm tại điểm.

Các giải pháp:

Tại các điểm khác nhau có cùng số gia của đối số, số gia của hàm sẽ khác nhau. Điều này có nghĩa là đạo hàm tại mỗi điểm là khác nhau (chúng ta đã thảo luận điều này ngay từ đầu - độ dốc của đường tại các điểm khác nhau là khác nhau). Do đó, khi viết đạo hàm, chúng ta phải chỉ ra điểm nào:

Chức năng nguồn.

Một hàm lũy thừa được gọi là một hàm trong đó đối số ở một mức độ nào đó (hợp lý, hả?).

Và - ở bất kỳ mức độ nào:.

Trường hợp đơn giản nhất là khi số mũ:

Hãy tìm đạo hàm của nó tại điểm. Hãy nhớ định nghĩa của một đạo hàm:

Vì vậy, đối số thay đổi từ thành. Số gia của hàm là gì?

Gia số là cái này. Nhưng hàm tại bất kỳ điểm nào cũng bằng đối số của nó. Cho nên:

Đạo hàm bằng:

Đạo hàm của bằng:

b) Bây giờ ta xét hàm số bậc hai ():.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là giá trị của gia số có thể bị bỏ qua, vì nó nhỏ vô cùng, và do đó không đáng kể so với nền của một thuật ngữ khác:

Vì vậy, chúng tôi có quy tắc tiếp theo:

c) Ta tiếp tục chuỗi logic:.

Biểu thức này có thể được đơn giản hóa theo nhiều cách khác nhau: mở rộng dấu ngoặc đơn đầu tiên bằng công thức nhân viết tắt của khối lập phương của tổng, hoặc nhân toàn bộ biểu thức bằng cách sử dụng công thức cho hiệu số giữa các khối. Cố gắng tự làm theo bất kỳ cách nào được đề xuất.

Vì vậy, tôi đã kết thúc với những điều sau:

Và một lần nữa, hãy nhớ điều đó. Điều này có nghĩa là bạn có thể bỏ qua tất cả các điều khoản có chứa:

Chúng tôi nhận được:.

d) Các quy tắc tương tự có thể đạt được đối với các cấp độ cao hơn:

e) Hóa ra quy tắc này có thể được tổng quát hóa cho một hàm lũy thừa với số mũ tùy ý, thậm chí không phải là số nguyên:

(2)

Quy tắc có thể được xây dựng với các từ: "mức độ được đưa ra như một hệ số, và sau đó nó giảm đi".

Chúng tôi sẽ chứng minh quy tắc này sau (gần như ở phần cuối). Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số:

1. (theo hai cách: theo công thức và sử dụng định nghĩa của đạo hàm - bằng cách tính số gia của hàm);

1. ... Tin hay không thì tùy, đây là một hàm sức mạnh. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào như “Cái này thế nào? Và bằng cấp ở đâu? ”, Hãy nhớ lại chủ đề“ ”!
   Vâng, gốc cũng là một độ, chỉ là phân số:.
   Vì vậy, căn bậc hai của chúng ta chỉ là một lũy thừa với số mũ:
   .
   Chúng ta đang tìm đạo hàm theo công thức đã học gần đây:

   Nếu ở chỗ này, nó lại trở nên không rõ ràng, hãy lặp lại chủ đề "" !!! (về mức độ với số mũ âm)

2. ... Bây giờ là số mũ:

   Và bây giờ thông qua định nghĩa (bạn đã quên chưa?):
   ;
   .
   Bây giờ, như thường lệ, chúng tôi bỏ qua thuật ngữ có chứa:
   .

3. ... Tổng hợp các trường hợp trước đó:.

Hàm lượng giác.

Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng một thực tế từ toán học cao hơn:

Khi biểu thức.

Bạn sẽ học chứng minh trong năm đầu tiên của học viện (và để đạt được điều đó, bạn phải vượt qua kỳ thi tốt). Bây giờ tôi sẽ chỉ hiển thị nó bằng đồ thị:

Chúng ta thấy rằng đối với hàm không tồn tại - điểm trên đồ thị bị đánh thủng. Nhưng càng gần giá trị thì chức năng càng gần, đây chính là “khát vọng”.

Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra quy tắc này bằng máy tính. Vâng, vâng, đừng ngại, hãy cầm lấy máy tính, chúng tôi vẫn chưa có trong kỳ thi.

Vì vậy hãy cố gắng:;

Đừng quên đặt máy tính ở chế độ "Radians"!

Vân vân. Chúng ta thấy rằng càng nhỏ, giá trị của tỷ lệ càng gần.

a) Xét hàm. Như thường lệ, chúng ta hãy tìm gia số của nó:

Hãy chuyển đổi sự khác biệt của sines thành một sản phẩm. Đối với điều này, chúng tôi sử dụng công thức (hãy nhớ chủ đề ""):.

Bây giờ là đạo hàm:

Hãy thực hiện một sự thay thế:. Khi đó, đối với nhỏ vô hạn, nó cũng nhỏ vô hạn:. Biểu thức for có dạng:

Bây giờ hãy nhớ rằng khi biểu thức. Ngoài ra, điều gì sẽ xảy ra nếu một số lượng nhỏ vô hạn có thể bị bỏ qua trong tổng (nghĩa là tại).

Vì vậy, chúng tôi nhận được quy tắc sau: đạo hàm sin bằng côsin:

Đây là các dẫn xuất cơ sở ("bảng"). Đây là một danh sách:

Sau đó, chúng tôi sẽ thêm một vài cái nữa cho chúng, nhưng đây là những cái quan trọng nhất, vì chúng được sử dụng thường xuyên nhất.

Thực hành:

1. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm;
2. Tìm đạo hàm của hàm số.

Các giải pháp:

1. Đầu tiên, chúng tôi tìm đạo hàm ở dạng tổng quát, và sau đó thay thế giá trị của nó vào:
   ;
   .
2. Ở đây chúng ta có một cái gì đó tương tự như một hàm quyền lực. Hãy cố gắng đưa cô ấy đến
   tầm nhìn bình thường:
   .
   Tuyệt vời, bây giờ bạn có thể sử dụng công thức:
   .
   .
3. ... Eeeeee… .. Cái gì thế này ????

Được rồi, bạn nói đúng, chúng tôi chưa biết cách tìm các dẫn xuất như vậy. Ở đây chúng tôi có sự kết hợp của một số loại chức năng. Để làm việc với họ, bạn cần tìm hiểu thêm một số quy tắc:

Số mũ và lôgarit tự nhiên.

Có một hàm như vậy trong toán học, đạo hàm của nó đối với bất kỳ bằng giá trị của chính hàm đó. Nó được gọi là "số mũ", và là một hàm số mũ

Cơ sở của hàm này - một hằng số - là một phân số thập phân vô hạn tuần hoàn, tức là một số vô tỉ (chẳng hạn). Nó được gọi là "số của Euler", và do đó được biểu thị bằng một chữ cái.

Vì vậy, quy tắc là:

Nó rất dễ nhớ.

Không đâu xa, chúng ta sẽ xét ngay đến hàm ngược. Hàm số nào là nghịch biến của hàm số mũ? Lôgarit:

Trong trường hợp của chúng tôi, cơ sở là một số:

Một lôgarit như vậy (nghĩa là một lôgarit với cơ số) được gọi là "tự nhiên", và chúng tôi sử dụng một ký hiệu đặc biệt cho nó: viết thay thế.

Bằng gì? Tất nhiên, .

Đạo hàm của logarit tự nhiên cũng rất đơn giản:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của hàm số.
2. Đạo hàm của hàm số là gì?

Câu trả lời: Số mũ và lôgarit tự nhiên là những hàm đơn giản duy nhất theo quan điểm của đạo hàm. Hàm số mũ và hàm số logarit với bất kỳ cơ số nào khác sẽ có đạo hàm khác, điều này chúng ta sẽ phân tích ở phần sau, sau khi chúng ta tìm hiểu quy tắc phân biệt.

Quy tắc phân biệt

Các quy tắc của cái gì? Lại một nhiệm kỳ mới, một lần nữa?! ...

Sự khác biệt là quá trình tìm đạo hàm.

Đó là tất cả. Làm thế nào khác để gọi quá trình này bằng một từ? Không phải là một đạo hàm ... Vi phân của toán học được gọi là cùng một số gia của một hàm số tại. Thuật ngữ này xuất phát từ tiếng Latinh khácia - sự khác biệt. Nơi đây.

Khi suy ra tất cả các quy tắc này, chúng ta sẽ sử dụng hai hàm, ví dụ, và. Chúng tôi cũng cần các công thức cho gia số của chúng:

Tổng cộng có 5 quy tắc.

Hằng số được di chuyển ra ngoài dấu đạo hàm.

Nếu là một số hằng số (hằng số), thì.

Rõ ràng, quy tắc này cũng hoạt động cho sự khác biệt:.

Hãy chứng minh điều đó. Để, hoặc dễ dàng hơn.

Các ví dụ.

Tìm đạo hàm của các hàm số:

1. tại điểm;
2. tại điểm;
3. tại điểm;
4. tại điểm.

Các giải pháp:

1. (đạo hàm giống nhau ở mọi điểm, vì nó là một hàm tuyến tính, nhớ không?);

Phái sinh của một tác phẩm

Mọi thứ đều giống nhau ở đây: chúng tôi giới thiệu một hàm mới và tìm gia số của nó:

Phát sinh:

Ví dụ:

1. Tìm đạo hàm của các hàm và;
2. Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm.

Các giải pháp:

Đạo hàm của hàm mũ

Bây giờ kiến ​​thức của bạn đã đủ để học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số mũ nào, không chỉ là số mũ (bạn quên nó là gì rồi phải không?).

Vì vậy, đâu là một số con số.

Chúng ta đã biết đạo hàm của hàm, vì vậy hãy thử chuyển hàm của chúng ta sang một cơ số mới:

Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng một quy tắc đơn giản:. Sau đó:

Chà, nó đã hoạt động. Bây giờ hãy thử tìm đạo hàm, và đừng quên rằng hàm này rất khó.

Đã xảy ra?

Tại đây, hãy tự kiểm tra:

Công thức hóa ra rất giống với đạo hàm của số mũ: nó vẫn như cũ, chỉ có một cấp số nhân xuất hiện, chỉ là một số, chứ không phải là một biến số.

Ví dụ:
Tìm đạo hàm của các hàm số:

Câu trả lời:

Đây chỉ là một con số không thể tính được nếu không có máy tính, tức là nó không thể được viết dưới dạng đơn giản hơn. Do đó, trong câu trả lời, chúng tôi để nó ở dạng này.

Đạo hàm của một hàm số logarit

Ở đây nó tương tự: bạn đã biết đạo hàm của logarit tự nhiên:

Do đó, để tìm một lôgarit tùy ý với cơ số khác, ví dụ:

Bạn cần đưa logarit này về cơ số. Làm thế nào để bạn thay đổi cơ số của logarit? Tôi hy vọng bạn nhớ công thức này:

Chỉ bây giờ, thay vì chúng tôi sẽ viết:

Mẫu số chỉ là một hằng số (số không đổi, không thay đổi). Đạo hàm rất đơn giản:

Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit hầu như không bao giờ tìm thấy trong đề thi, nhưng sẽ không thừa nếu biết chúng.

Đạo hàm của một hàm phức.

Một "chức năng phức tạp" là gì? Không, đây không phải là logarit, và không phải là arctang. Các hàm này có thể khó hiểu (mặc dù nếu lôgarit có vẻ khó đối với bạn, hãy đọc chủ đề "Lôgarit" và mọi thứ sẽ trôi qua), nhưng theo quan điểm của toán học, từ "khó" không có nghĩa là "khó".

Hãy tưởng tượng một băng chuyền nhỏ: hai người đang ngồi và thực hiện một hành động nào đó với một số đồ vật. Ví dụ: cái đầu tiên bọc một thanh sô cô la trong giấy gói và cái thứ hai buộc nó bằng một dải ruy băng. Hóa ra một vật thể tổng hợp như vậy: một thanh sô cô la được bọc và buộc bằng ruy băng. Để ăn một thanh sô cô la, bạn cần thực hiện các bước ngược lại theo thứ tự ngược lại.

Hãy tạo một đường dẫn toán học tương tự: đầu tiên chúng ta sẽ tìm cosin của một số, và sau đó chúng ta sẽ bình phương số kết quả. Vì vậy, chúng ta được cho một số (thanh sô cô la), tôi tìm cosin của nó (trình bao bọc), và sau đó bạn chia vuông với những gì tôi có (bạn buộc nó bằng một dải ruy băng). Chuyện gì đã xảy ra thế? Chức năng. Đây là một ví dụ về một hàm phức tạp: khi, để tìm giá trị của nó, chúng ta thực hiện hành động đầu tiên trực tiếp với biến, sau đó thực hiện hành động thứ hai khác với kết quả của biến đầu tiên.

Chúng ta cũng có thể thực hiện các hành động tương tự theo thứ tự ngược lại: đầu tiên bạn bình phương, sau đó tôi tìm cosin của số kết quả:. Có thể dễ dàng đoán rằng kết quả hầu như sẽ luôn khác nhau. Một tính năng quan trọng của các chức năng phức tạp: khi bạn thay đổi thứ tự của các hành động, chức năng sẽ thay đổi.

Nói cách khác, một hàm phức hợp là một hàm có đối số là một hàm khác: .

Đối với ví dụ đầu tiên ,.

Ví dụ thứ hai: (giống nhau). ...

Hành động mà chúng tôi thực hiện cuối cùng sẽ được gọi là Chức năng "bên ngoài" và hành động được thực hiện trước - tương ứng Chức năng "nội bộ"(đây là những tên không chính thức, tôi chỉ sử dụng chúng để giải thích tài liệu bằng ngôn ngữ đơn giản).

Cố gắng tự xác định xem chức năng nào là bên ngoài và chức năng nào là bên trong:

Câu trả lời: Việc tách các hàm bên trong và hàm bên ngoài rất giống với việc thay đổi các biến: ví dụ: trong một hàm

1. Hành động đầu tiên cần thực hiện là gì? Đầu tiên, chúng ta sẽ tính sin, và chỉ sau đó, chúng ta mới nâng nó lên thành một khối lập phương. Điều này có nghĩa rằng nó là một chức năng bên trong, nhưng là một chức năng bên ngoài.
   Và nguyên hàm là cấu tạo của chúng:.
2. Nội bộ:; bên ngoài:.
   Kiểm tra: .
3. Nội bộ:; bên ngoài:.
   Kiểm tra: .
4. Nội bộ:; bên ngoài:.
   Kiểm tra: .
5. Nội bộ:; bên ngoài:.
   Kiểm tra: .

chúng ta thay đổi các biến và nhận được một hàm.

Vâng, bây giờ chúng ta sẽ chiết xuất thanh sô cô la của chúng ta - hãy tìm một dẫn xuất. Quy trình luôn được đảo ngược: đầu tiên chúng ta tìm đạo hàm của hàm bên ngoài, sau đó chúng ta nhân kết quả với đạo hàm của hàm bên trong. Liên quan đến ví dụ ban đầu, nó trông giống như sau:

Một vi dụ khac:

Vì vậy, cuối cùng chúng ta hãy hình thành một quy tắc chính thức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

Mọi thứ dường như trở nên đơn giản đúng không?

Hãy kiểm tra với các ví dụ:

Các giải pháp:

1) Nội bộ:;

Bên ngoài:;

2) Nội bộ:;

(chỉ cần đừng cố gắng giảm bớt ngay bây giờ! Không thể lấy gì từ bên dưới cosine, nhớ không?)

3) Nội bộ:;

Bên ngoài:;

Rõ ràng ngay lập tức rằng có một hàm phức ba cấp ở đây: xét cho cùng, bản thân nó đã là một hàm phức, và từ đó chúng ta cũng trích xuất gốc, tức là chúng ta thực hiện hành động thứ ba (chúng ta cho sô cô la vào một giấy gói và đặt nó trong một chiếc cặp với một dải ruy băng). Nhưng không có lý do gì để sợ hãi: dù sao đi nữa, chúng ta sẽ "giải nén" hàm này theo thứ tự như thường lệ: từ cuối.

Đó là, trước tiên chúng ta phân biệt gốc, sau đó là côsin, và chỉ sau đó là biểu thức trong dấu ngoặc. Và sau đó chúng tôi nhân lên tất cả những điều này.

Trong những trường hợp như vậy, thật tiện lợi để đánh số các bước. Đó là, chúng ta hãy tưởng tượng những gì chúng ta biết. Theo thứ tự nào chúng ta sẽ thực hiện các thao tác để tính giá trị của biểu thức này? Hãy lấy một ví dụ:

Hành động được thực hiện càng muộn, thì chức năng tương ứng sẽ càng “bên ngoài”. Chuỗi các hành động - như trước đây:

Ở đây lồng thường là 4 cấp. Hãy xác định một quá trình hành động.

1. Một biểu thức cấp tiến. ...

2. Gốc. ...

3. Xoang. ...

4. Hình vuông. ...

5. Kết hợp mọi thứ lại với nhau:

PHÁT SINH. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

Đạo hàm của một hàm- tỷ lệ giữa gia số của hàm với gia số của đối số với gia số nhỏ vô hạn của đối số:

Các dẫn xuất cơ bản:

Quy tắc phân biệt:

Hằng số được di chuyển ra ngoài dấu đạo hàm:

Dẫn xuất số tiền:

Phái sinh của tác phẩm:

Đạo hàm của thương số:

Đạo hàm của một hàm phức:

Thuật toán tìm đạo hàm của một hàm phức:

1. Chúng ta xác định hàm "nội tại", chúng ta tìm đạo hàm của nó.
2. Chúng ta xác định hàm "bên ngoài", chúng ta tìm đạo hàm của nó.
3. Chúng tôi nhân kết quả của điểm thứ nhất và thứ hai.

Cách tìm đạo hàm, cách lấy đạo hàm? Trong bài học này, chúng ta sẽ học cách tìm đạo hàm của hàm số. Nhưng trước khi nghiên cứu trang này, tôi đặc biệt khuyên bạn nên làm quen với tài liệu giảng dạyKhóa học Toán học Công thức Nóng... Tài liệu tham khảo có thể được mở hoặc tải xuống từ trang Công thức toán học và bảng ... Cũng từ đó chúng ta cầnBảng phái sinh, tốt hơn hết là nên in ra, bạn sẽ thường xuyên phải tham khảo, hơn nữa không chỉ bây giờ, mà còn cả offline nữa.

Có? Bắt đầu nào. Tôi có hai tin cho bạn: tốt và rất tốt. Tin tốt là bạn không cần phải biết và hiểu đạo hàm là gì để học cách tìm đạo hàm. Hơn nữa, việc phân tích định nghĩa đạo hàm của một hàm số, ý nghĩa toán học, vật lý, hình học của đạo hàm sau này sẽ dễ dàng hơn vì nghiên cứu định tính lý thuyết, theo ý kiến ​​của tôi, đòi hỏi phải nghiên cứu một số chủ đề khác. , cũng như một số kinh nghiệm thực tế.

Và bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là phải nắm vững các công cụ phái sinh này về mặt kỹ thuật. Tin tốt là học lấy đạo hàm không quá khó, có một thuật toán khá rõ ràng để giải (và giải thích) nhiệm vụ này, chẳng hạn như tích phân hoặc giới hạn, khó thành thạo hơn.

Tôi khuyên thứ tự nghiên cứu sau của chủ đề: đầu tiên, Bài viết này. Sau đó, có một bài học quan trọng cần được đọc.Đạo hàm của một hàm phức ... Hai hoạt động cơ bản này sẽ nâng cao kỹ năng của bạn từ đầu. Xa hơn, bạn có thể tự làm quen với các dẫn xuất phức tạp hơn trong bài viết Các dẫn xuất phức tạp.

Đạo hàm lôgarit... Nếu thanh quá cao, thì hãy đọc điều đầu tiên Các bài toán phổ biến đơn giản nhất với đạo hàm... Ngoài tài liệu mới, bài học còn bao gồm các dạng đạo hàm khác, đơn giản hơn và có cơ hội tuyệt vời để cải thiện kỹ thuật phân biệt của bạn. Ngoài ra, trong các bài kiểm tra, hầu như luôn có các nhiệm vụ tìm đạo hàm của các hàm được đưa ra ngầm định hoặc tham số. Cũng có một bài học như vậy: Các dẫn xuất của các hàm được xác định theo tham số và ngầm định.

Tôi sẽ thử ở dạng dễ tiếp cận, từng bước, để dạy bạn cách tìm đạo hàm của các hàm. Mọi thông tin đều được trình bày chi tiết, đơn giản.

Thực ra, hãy xem ngay một ví dụ: Ví dụ 1

Tìm đạo hàm của hàm số Lời giải:

Đây là ví dụ đơn giản nhất, bạn hãy tìm nó trong bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp. Bây giờ chúng ta hãy xem giải pháp và phân tích điều gì đã xảy ra? Và điều sau đây đã xảy ra:

chúng ta đã có một hàm, mà kết quả của giải pháp, đã biến thành một hàm.

Rất đơn giản,để tìm đạo hàm

, bạn cần biến nó thành một chức năng khác theo các quy tắc nhất định ... Nhìn lại bảng đạo hàm - có các hàm biến thành các hàm khác. Thứ duy nhất

một ngoại lệ là hàm mũ,

biến thành chính nó. Phép toán tìm đạo hàm được gọi làsự khác biệt.

Chú thích: Phái sinh biểu thị hoặc.

CHÚ Ý, QUAN TRỌNG! Quên đặt một nét (ở những nơi cần thiết), hoặc vẽ thêm một nét (ở những nơi không cần thiết) là một LỖI LỚN! Một hàm và đạo hàm của nó là hai hàm khác nhau!

Hãy quay trở lại bảng các dẫn xuất của chúng ta. Từ bảng này, nó là mong muốn ghi nhớ: quy tắc phân biệt và đạo hàm của một số hàm cơ bản, đặc biệt:

đạo hàm của một hằng số:

Một số không đổi ở đâu; đạo hàm của hàm lũy thừa:

Đặc biệt:,,.

Tại sao phải học thuộc lòng? Kiến thức này là kiến ​​thức sơ cấp về đạo hàm. Và nếu bạn không thể trả lời giáo viên cho câu hỏi "Đạo hàm của một số là gì?" Ngoài ra, đây là những công thức phổ biến nhất mà chúng ta phải sử dụng hầu hết mỗi khi chúng ta bắt gặp các đạo hàm.

V Trong thực tế, các ví dụ dạng bảng đơn giản là rất hiếm; thông thường, khi tìm đạo hàm, các quy tắc phân biệt được sử dụng đầu tiên, sau đó là bảng đạo hàm của các hàm cơ bản.

V về vấn đề này, chúng tôi tiến hành xem xétquy tắc phân biệt:

1) Một số không đổi có thể (và nên) được lấy ra khỏi dấu của đạo hàm

Trong đó một số không đổi (hằng số) Ví dụ 2

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng ta nhìn vào bảng các phái sinh. Đạo hàm cosine ở đó, nhưng chúng tôi có.

Đã đến lúc sử dụng quy tắc, chúng ta di chuyển một hệ số không đổi ra ngoài dấu của đạo hàm:

Và bây giờ chúng ta biến cosine của chúng ta theo bảng:

Chà, và kết quả là mong muốn "lược bớt" một chút - đặt dấu trừ ở vị trí đầu tiên, đồng thời loại bỏ dấu ngoặc:

2) Đạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm

Tìm đạo hàm của một hàm số

Chúng tôi quyết định. Như bạn có thể đã nhận thấy, hành động đầu tiên luôn được thực hiện khi tìm đạo hàm là chúng tôi đặt toàn bộ biểu thức trong dấu ngoặc đơn và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Chúng tôi áp dụng quy tắc thứ hai:

Xin lưu ý rằng để phân biệt, tất cả các gốc, độ phải được biểu diễn ở dạng, và nếu chúng ở mẫu số thì

di chuyển chúng lên. Làm thế nào để làm điều này được thảo luận trong tài liệu giảng dạy của tôi.

Bây giờ chúng ta nhớ lại quy tắc phân biệt đầu tiên - chúng ta di chuyển các yếu tố không đổi (số) ra bên ngoài dấu của đạo hàm:

Thông thường, trong quá trình giải, hai quy tắc này được áp dụng đồng thời (để không phải viết lại một biểu thức dài một lần nữa).

Tất cả các hàm dưới các nét đều là các hàm cơ bản của bảng, sử dụng bảng, chúng tôi thực hiện chuyển đổi:

Bạn có thể để nguyên mọi thứ, vì không còn nét nào nữa, và đạo hàm đã được tìm thấy. Tuy nhiên, các biểu thức như thế này thường được đơn giản hóa quá mức:

Người ta mong muốn đại diện lại tất cả các cấp độ của loài ở dạng rễ,

độ với số mũ âm - đặt lại về mẫu số. Trong khi bạn không cần phải làm như vậy, nó sẽ không phải là một sai lầm.

Tìm đạo hàm của một hàm số

Hãy thử tự giải ví dụ này (trả lời ở cuối bài).

3) Đạo hàm của sản phẩm của các hàm

Có vẻ như công thức tự gợi ý bằng phép loại suy ..., nhưng điều ngạc nhiên là:

Quy tắc bất thường này(trên thực tế, những người khác) theo sau từ định nghĩa của đạo hàm... Nhưng bây giờ chúng ta sẽ tạm hoãn lý thuyết - bây giờ điều quan trọng hơn là học cách giải quyết:

Tìm đạo hàm của một hàm số

Ở đây chúng tôi có sản phẩm của hai chức năng tùy thuộc vào. Đầu tiên, chúng tôi áp dụng quy tắc kỳ lạ của chúng tôi, và sau đó chúng tôi biến đổi các hàm theo bảng đạo hàm:

Cứng? Không hề, nó khá dễ tiếp cận ngay cả đối với một ấm trà.

Tìm đạo hàm của một hàm số

Hàm này chứa tổng và tích của hai hàm - tam thức bình phương và logarit. Chúng tôi nhớ từ trường rằng phép nhân và phép chia được ưu tiên hơn phép cộng và phép trừ.

Ở đây mọi thứ đều giống nhau. ĐẦU TIÊN, chúng tôi sử dụng quy tắc phân biệt sản phẩm:

Bây giờ chúng ta sử dụng hai quy tắc đầu tiên cho dấu ngoặc đơn:

Kết quả của việc áp dụng các quy tắc phân biệt dưới các nét, chúng ta chỉ có các hàm cơ bản, theo bảng đạo hàm, chúng ta biến chúng thành các hàm khác:

Với một kinh nghiệm nhất định trong việc tìm kiếm các dẫn xuất, có vẻ như các dẫn xuất đơn giản không cần phải được mô tả chi tiết như vậy. Nói chung, chúng thường được giải quyết bằng miệng và ngay lập tức được ghi lại rằng .

Tìm đạo hàm của một hàm số Đây là một ví dụ cho một giải pháp độc lập (câu trả lời ở cuối hướng dẫn)

4) Đạo hàm của các hàm thương

Một cửa sập đã mở trên trần nhà, đừng lo lắng, đây là một trục trặc. Nhưng đây là thực tế phũ phàng:

Tìm đạo hàm của một hàm số

Những gì còn thiếu ở đây - tổng, hiệu, tích, phân số…. Nơi để bắt đầu?! Có nghi ngờ, không có nghi ngờ, nhưng, TRONG BẤT KỲ TRƯỜNG HỢP NÀO, để bắt đầu, hãy vẽ dấu ngoặc và đặt một nét ở trên cùng bên phải:

Bây giờ chúng ta nhìn vào biểu thức trong ngoặc đơn, làm cách nào để đơn giản hóa nó? Trong trường hợp này, chúng tôi nhận thấy một cấp số nhân, theo quy tắc đầu tiên, nên lấy bên ngoài dấu của đạo hàm:

Đồng thời, chúng ta loại bỏ các dấu ngoặc trong tử số, không cần thiết nữa. Nói chung, các yếu tố không đổi trong việc tìm đạo hàm